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• Isabel Restrepo

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1. Mecanismo de movimiento intermitente: Rueda de Ginebra La rueda de ginebra es fundamentalmente un mecanismo que trasforma un movimiento rotativo continuo en uno intermitente. En las figuras 1 y 2 se muestran bocetos del mecanismo en dos posiciones. El conductor es la rueda 2 con un pasador P, y el elemento accionado es la rueda ranurada 3. La rotación de este último tiene lugar solo cuando el pasador está enganchado con la ranura.

Ilustración 1. Mecanismo de Ginebra en una posición cerrada (Vinogradov, 2000).

En la figura 1 el mecanismo se muestra en una posición bloqueada; es decir, la rueda 3 no gira mientras el conductor está girando. Para evitar que la rueda 3 gire (para bloquearla en su posición), la superficie convexa de la placa 2 coincide con la superficie cóncava de la rueda 3 hasta que el pasador P se engancha. En este momento la rueda 3 comienza a girar (figura 2).

Ilustración 2. Mecanismo de Ginebra en una posición desbloqueada (Vinogradov, 2000).

Desde el punto de vista de la transferencia de movimiento durante el acoplamiento, el mecanismo de Ginebra puede reducirse a un mecanismo de manivela deslizante en el que la rotación del está limitada a un ángulo específico. El esqueleto del mecanismo de manivela deslizante equivalente se muestra en la figura 3 en dos posiciones extremas de acoplamiento y desenganche. A diferencia de los mecanismos convencionales de manivela deslizante analizados anteriormente, el mecanismo que se muestra en la figura 3 debe cumplir con algunas restricciones en la dimensión de los enlaces y también debe relacionar estas dimensiones con el número de ranuras en la rueda 3.

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Para que el acoplamiento y desenganche sea lo más suave posible, el ángulo entre la biela 𝑟2 y la ranura debe ser de 90 ° en estas posiciones. Este es el primer requisito que debe cumplir el diseño del mecanismo, que conduce a una relación entre el cigüeñal y los radios de la rueda ranurada, y la distancia central 𝑟1 .

Ilustración 3. Manivela y ranura en dos posiciones extremas durante el acoplamiento (Vinogradov, 2000).

El segundo requisito se refiere a la cinemática, relacionando la rotación de la manivela y la rueda. El problema de diseñar una rueda de Ginebra es el siguiente. Dada la velocidad de rotación de la manivela 𝜔2 , ¿cuántas ranuras se necesitan para realizar un solo movimiento intermitente en el tiempo 𝜏? Si el número de ranuras es 𝑁, entonces el ángulo 𝛾, correspondiente a la rotación de la rueda, es igual a: 𝛾 𝑚á𝑥 =

2𝜋 𝑁

(1)

El número mínimo de ranuras es 𝑁𝑚𝑖𝑛 = 3. Desde el triángulo en la figura 3, la relación entre 𝛽 y 𝛾 es la siguiente: 𝛽 𝑚á𝑥 = 𝜋 − 𝛾 𝑚á𝑥

(2)

Dado que las rotaciones a través de los ángulos 𝛽 𝑚á𝑥 y 𝛾 𝑚á𝑥 se realizan durante el mismo tiempo 𝜏, de la relación 𝛽 𝑚á𝑥 = 𝜔2 𝜏 que sigue, utilizando las ecuaciones 1 y 2, 𝜏=𝜋

𝑁−2 𝑁𝜔2

(3)

Tenga en cuenta que la ecuación anterior deja claro por qué el número de ranuras no debe ser menor de tres. 1.1. Análisis del movimiento de la rueda de Ginebra En la figura 4, el ángulo de rotación de una rueda de Ginebra de cuatro ranuras en función del ángulo 𝛽 para el caso de

2

𝑟2 𝛽 𝑚á𝑥 1 = cos = 𝑟1 2 √2

(4)

se muestra. La última relación se desprende del triángulo rectángulo en la figura 3 Tenga en cuenta también que para la rueda de cuatro ranuras 𝛽 𝑚á𝑥 = 𝛾 𝑚á𝑥 = 𝜋. En las figuras 4 y 5, la velocidad angular y la aceleración de la rueda de Ginebra se muestran durante la rotación del conductor a través del ángulo 𝛽.

Ilustración 4. Ángulo de rotación de la rueda de Ginebra de cuatro ranuras (Vinogradov, 2000).

Ilustración 5. Velocidad angular de la rueda de cuatro ranuras de Ginebra (Vinogradov, 2000).

Ilustración 6. Aceleración angular de la rueda de Ginebra de cuatro ranuras (Vinogradov, 2000).

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1.2. Análisis de la posición de la rueda de Ginebra Se tiene como objetivo determinar el comportamiento de la salida de esta barra apinada con movimiento completamente rotacional. Por ende, se hará un análisis usando un método directo. Teniendo en cuenta el esquema presentado en la figura 7, en la posición inicial el triángulo mostrado es isósceles con 𝛼 = 𝛽 = 𝜋⁄4.

Ilustración 7. Esquema del mecanismo (Bolaño, 2014).

Para la posición de entrada de P a la ranura, 𝑎 y 𝑏 son iguales y 𝑏(𝑡) es máximo. Y teniendo en cuenta que el ángulo entre a y b es de 90°, obtenemos que 𝑎 = 𝑏 𝑚á𝑥 = 𝑙 sin 𝜋⁄4. Con esto podemos ahora calcular 𝑏(𝑡) con el teorema del coseno, como sigue: (5)

𝑏(𝑡) = √𝑎2 + 𝑙 2 − 2𝑎𝑙 cos 𝛼 Además, para cualquier instante t en donde ambas ruedas estén en contacto se cumple: 𝑎 𝜋 = sin = 𝑥 𝑙 4

(6)

Por lo tanto, la ecuación 5 la podemos reescribir de la siguiente manera (7)

𝑏(𝑡) = 𝑙 √𝑥 2 + 1 − 2𝑥 cos 𝛼

Ahora el punto P pertenece a ambas barras (a la ranura y a la manivela a), por lo cual los vectores correspondientes a cada barra comparten la componente en y. Lo que significa que: 𝑎 sin 𝛼 = 𝑏(𝑡) sin 𝛽. Utilizando la ecuación 7 podemos reescribir la expresión de la siguiente manera: sin 𝛽 =

𝑎 sin 𝛼 𝑥 sin 𝛼 = 𝑏(𝑡) √𝑥 2 + 1 − 2𝑥 cos 𝛼

Así que 𝛽 = sin−1 (

𝑥 sin 𝛼 √𝑥 2 + 1 − 2𝑥 cos 𝛼

) + 2𝜋𝑛,

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ Ζ

(8)

4

Debido a que la función seno inverso es multivaluada (que a cada valor le hacen corresponder infinitos valores y no son por tanto verdaderas funciones) se tiene el 2𝜋𝑛. Ahora teniendo en cuenta que 𝜓 = 𝜋 − 𝛽 , reescribimos la ecuación en términos de 𝜓(𝛼): 𝑥 sin 𝛼 𝜓(𝛼) = π(1 − 2𝑛) − sin−1 ( ) √𝑥 2 + 1 − 2𝑥 cos 𝛼 Para la condición de frontera 𝜓(𝛼) = 𝜋, es necesario que 𝑛 sea 0, por lo cual 𝑥 sin 𝛼 𝜓(𝛼) = π − sin−1 ( ) √𝑥 2 + 1 − 2𝑥 cos 𝛼

(9)

En el intervalo [−𝜋, 𝜋] se cumple la condición de que se dé una revolución completa y en el intervalo [0,2𝜋] se evalúa la mitad de la interacción de la manivela con la ranura y la mitad de la interacción de la manivela con la ranura siguiente. 1.3. Análisis de la velocidad de la rueda de Ginebra En este caso derivamos 𝜓(𝛼) con respecto al tiempo, obteniéndose así la velocidad angular : 𝑑𝜓 𝑑𝜓 𝑑𝛼 𝑑𝜓 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = = 𝜔 𝑑𝑡 𝑑𝛼 𝑑𝑡 𝑑𝛼 𝑑𝜓 𝑑 𝑥 sin 𝛼 = )] [sin−1 ( 𝑑𝛼 𝑑𝛼 √𝑥 2 + 1 − 2𝑥 cos 𝛼 𝑑𝜓 𝑥(cos 𝛼 − 𝑥) = 2 𝑑𝛼 𝑥 + 1 − 2𝑥 cos 𝛼 Reorganizando 𝜔 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 =

𝑥2

𝑥(cos 𝛼 − 𝑥) 𝜔𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 + 1 − 2𝑥 cos 𝛼

(10)

Se puede observar que la relación entre 𝜔 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 y 𝜔𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 es lineal para un 𝛼 dado. 1.4. Análisis de la aceleración de la rueda de Ginebra Análogo al análisis de la velocidad de la rueda de Ginebra, obtenemos la aceleración de la misma al derivar la velocidad. 2 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝜔𝑒𝑚𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝐴=

2 𝜔𝑒𝑚𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑑2 𝜓 𝑑2 𝛼

−𝑥(1 − 𝑥 2 ) sin 𝛼 𝑥 2 + 1 − 2𝑥 cos 𝛼

(11)

La aceleración es alta debido a que rueda cambia bruscamente de velocidad. Además, en el momento en que 𝑃 sale de la ranura la aceleración es discontinua. Por lo tanto, es necesario utilizar un mecanismo de seguro para que este guarde su posición una vez la iteración acabe (Bolaño, 2014).

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2. Aplicaciones de la rueda de Ginebra El primer uso que se le dio fue en los proyectores de cine, debido a que las películas no pueden correr continuamente ya que tenía que avanzar fotograma a fotograma permaneciendo frente al 1/24 de segundo. Es por este motivo que la rueda de ginebra es ideal para lograr de forma satisfactoria este movimiento intermitente. La rueda de ginebra ha sido utilizada generalmente en relojes mecánicos entre otros (Garcia, 2013). Referencias Bolaño, S. D. (21 de 9 de 2014). Scribd. Obtenido de https://www.scribd.com/document/240462261/Analisis-Cinematico-de-Una-Rueda-deGinebra-1 Garcia,

F. N. (8 de Mayo de 2013). Rueda de Ginebra. Obtenido http://introingruedadeginebra.blogspot.com/2013/05/rueda-de-ginebra.html

de

Vinogradov, O. (2000). Intermittent-Motion Mechanisms: Ginebra Wheel. En O. Vinogradov, Fundamentals of Kinematics and Dynamics of Machines and Mechanisms (págs. 60-63). Boca Raton London New York Washington, D.C.: CRC Press.

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