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• Girard Garcia

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Instituto Politécnico Nacional.

Escuela Superior de Comercio y Administración. Unidad Tepepan.

Unidad de Aprendizaje: Matemáticas para negocios.

Resumen Unidad I y II.

Grupo: 1CM6.

Equipo:

Profesor: Ruiz Piña José Refugio.

Integrantes: Andrés Granados Cristofer. Díaz Villarruel Alma Rosa. García Montañez Ángel Girard. García Tavera Vania Victoria. Martínez Suárez Diana María. Vargas Morales Natalia.

Contenido. Unidad temática 1. 1. Matrices. 1.1. Definición de matriz, orden y nomenclatura. 1.2. Clasificación de matrices. 1.2.1. Matriz cuadrada, rectangular, diagonal, identidad o unitaria y triangular. 1.3. Operaciones entre matrices: 1.3.1. Suma y resta. 1.3.2. Producto de un escalar por una matriz. 1.3.3. Producto de matrices. 1.4. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. 1.4.1. Matriz inversa. 1.4.2. Solución de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan, matriz ampliada. Unidad temática 2. 2. Línea recta. 2.1. Definición y características: Ecuación general de la línea recta. 2.2. Ecuación general de la línea recta en sus diferentes formas conocido un punto y pendiente, conocidos dos puntos. 2.3. Funciones lineales: 2.3.1. Ingreso. 2.3.2. Costo. 2.3.3. Utilidad. 2.3.4. Punto de equilibrio de la empresa. 2.3.5.Ley de la oferta. 2.3.6.Ley de la demanda. 2.3.7.Punto de equilibrio del mercado.

Matrices. 1.1. Definición de matriz, orden y nomenclatura. Entendemos por “matriz” a todo aquel conjunto de números o expresiones en forma rectangular y estas forman filas y columnas. Cada uno de los elementos que conforman estas matrices llevan por nombre “elemento” estos se distinguen de otros por la posición que ocupan y con esto nos referimos a la fila y columna a la que pertenece. Dentro de estas matrices existen dimensiones las cuales son el número de filas y columnas de una matriz, por ejemplo: De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas), ... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ... El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij). El número de elementos que conforman una matriz lo obtenemos de multiplicar el número de filas por el número de columnas, ejemplo: (m x n) y a dicho producto que obtenemos es al cual llamamos orden de matriz. Por ejemplo: Cuando decimos que una matriz es de orden 4x5 sabemos que se trata de una matriz de 4 filas y 5 columnas. Nomenclatura Es una matriz de dimensión m x n. Es decir: m filas n columnas El elemento aij está en la fila i y columna. La matriz es cuadrada cuando m = n (igual número de filas que de columnas) La matriz traspuesta de una matriz A, designada por A es la que se obtiene al poner las filas de A como columnas en A t . Por tanto, si dim(A) = m x n dim(A t ) = n x m. Una matriz es simétrica cuando A = A. Todas las matrices simétricas son cuadradas. Una matriz cuadrada se dice diagonal si todos los elementos son cero, salvo los de la diagonal principal.

Una matriz cuadrada se dice triangular superior si todos los elementos bajo la diagonal principal son cero, como la adjunta a estas líneas. (Si son sobre la diagonal principal los ceros, es triangular inferior). Matriz nula es aquella cuyos términos son todos cero. Se designa por Om n. Matriz unidad es una matriz diagonal cuyos términos son 0 todos, salvo los de la diagonal principal, que valen todos 1. Se designa por In. O bien por I, si la dimensión es conocida. 1.2. Clasificación de matrices. 1.2.1. Matriz cuadrada, rectangular, diagonal, identidad o unitaria y

triangular. Cuando una matriz que tiene el mismo número de columnas que de renglones, por ejemplo, n renglones y n columnas, es llamada matriz cuadrada de orden n. Esto es, una matriz m*n es cuadrada si y sólo si m=n. Por ejemplo, las matrices. Son cuadradas con órdenes 3 y 1, respectivamente. 2 7 4 6 2 0

y

3

4 6 1

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que, de columnas, siendo su dimensión m*n.

1 2 5 9 1 3

Triangular superior Se trata de un matriz triangular que es superior a los elementos situados por debajo de la diagonal principal. Son ceros. Ejemplo:

Triangular inferior

Matriz triangular que es inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal. Son ceros. Ejemplo:

Diagonal Matriz diagonal con todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal, son nulos. Ejemplo:

Escalar Se trata de una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales, por ejemplo:

Identidad Matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Por ejemplo:

Potencia Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces. Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces ...... ⋅A Se conviene en que: A- k = (A- 1) k " k OE Õ A0 = I

Traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At Simétrica Se trata de una matriz cuadrada que verifica A=At. Anti simétrica Matriz cuadrada que verifica: A =-At. Conjugada Es aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo). Hermitiana o hermitica Matriz cuadrada que cuenta con elementos completos que tienen la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. o, escrita con la traspuesta conjugada A*: Por ejemplo,

Anti hermitiana Se trata de una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz.

A * = -A o en su forma componente, si (A = ai,j): las j.

Para todas las i y

Ortogonal Se trata de una matriz cuadrada e invertible. A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1. 1.3 Operaciones entre matrices. Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

1.3.1 Suma y Resta. El proceso de combinar dos o más matrices en una matriz equivalente, representado por el símbolo +. La suma de matrices sólo se puede efectuar entre matrices con la misma dimensión, es decir, las que tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas. La matriz resultante tiene las mismas dimensiones, cada uno de cuyos elementos es la suma aritmética de los elementos en las posiciones correspondientes en las matrices originales.

Comenzamos con la primera columna (es decir, con los números en sentido vertical): 3 + (-1) = 2 0+2=2 7+0=7 Luego seguimos con la segunda columna: 1+2=3 5 + 5 = 10

0+1=1 Finalmente, restamos los elementos de la tercera columna: 2+4=6 -3 + 8 = 5 4 + (-2) = 2 El proceso de combinar dos o más matrices en una matriz equivalente, representado por el símbolo -. La resta de matrices sólo se puede efectuar entre matrices con la misma dimensión, es decir, las que tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas. La matriz resultante tiene las mismas dimensiones, cada uno de cuyos elementos es la resta aritmética de los elementos en las posiciones correspondientes en las matrices originales.

Comenzamos con la primera columna (es decir, con los números en sentido vertical): 3 - (-1) = 4 0 - 2 = -2 7-0=7 Luego seguimos con la segunda columna: 1 - 2 = -1 5-5=0 0 - 1 = -1 Finalmente, restamos los elementos de la tercera columna: 2 - 4 = -2 -3 - 8 = -11 4 – (-2) = 6

1.3.2 Producto de un escalar por una matriz

El producto de un por una matriz, será el producto del escalar por cada término de la matriz. Ejemplo:

-1

0

4

2* 5 -4

1

2 3

8

-2 0 8 =

10 -8 2 4

6 16

1.3.3 Producto de matrices El producto de matrices se obtiene multiplicando el primer miembro de la matriz A por cada miembro de la primera columna de la matriz B, más la sumatoria del producto del segundo miembro por la primera columna de la matriz B, más la sumatoria del tercer miembro por la primera columna de la matriz y así se hace con el resto. Ejemplo:

A*B

3

2

1

4

5

3

6

2

1

a 5 b4 d* 3 e4 6

2

2 1 3

3*5 + 3*4 + 3*2

2*5 + 2*4 + 2*2

1*5 + 1*4 + 1*2

4*3 + 4*4 + 4*1

5*3 + 5*4 + 5*1

3*3 + 3*4 + 3*1

6*6 + 6*2 + 6*3

2*6 + 2*2 + 2*3

1*6 + 1*2 + 1*3

=

1.4 Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales Todo sistema de ecuación lineal puede escribirse matricialmente. Esta forma matricial permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma:

ax + by = c

dx + ey = f

x | | |c | y = f

La primera matriz representa los coeficientes numéricos, la segunda matriz representa las incógnitas, la tercera matriz representa el vector de términos independientes. 1.4.1 Matriz inversa La matriz inversa de A es la única que al multiplicarla por ella obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente.

=

Si multiplicamos por la izquierda (premultiplicamos) o multiplicamos por la derecha (posmultiplicamos) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad A·A-1 = I = A-1·A

1.4.2 Solución de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que resaltaremos como A−1, seguiremos los siguientes pasos:  Primero: Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

 2. Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1. F2 = F2 − F1

F3 = F3 + F2

F2 = F2 − F3

F1 = F1 + F2

F2 = (−1) F2

La matriz inversa es:

Línea recta. 2.1.

Definición y características: Ecuación general de la línea recta. “Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.” Ecuación de la línea recta Si A, B y C son constantes con A y B distintas de 0, y x y y son variables, la gráfica de dicha ecuación será: Ax + By = C Características:   

Los dos puntos marcados en la graficase encuentran a una mínima distancia entre sí. De acuerdo a la forma de la recta esta puede llegar hasta el infinito tanto de forma negativa como de forma positiva. Una recta se sitúa de un conjunto de puntos a lo largo de planos.

2.2.

Ecuación general de la línea recta en sus diferentes formas conocido un punto y pendiente, conocidos dos puntos. Pendiente de una recta Cuando una recta atraviesa por 2 puntos distintos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) su pendiente m se obtendrá por la siguiente formula: m= y2 – y1 x2 – x1

= Cambio vertical (elevación) Cambio horizontal (desplazamiento)

La P (pendiente) es la elevación de una recta, al cambio de x se le conoce como desplazamiento y al cambio en y elevación. Forma pendiente – intersección Cuando m es la pendiente de una recta por la ecuación y=mx + b es la forma pendiente – intersección de la ecuación de dicha recta. y= mx +b m= Elevación = Pendiente Desplazamiento m= intersección con el eje y Forma punto – pendiente A la ecuación de la recta con pendiente m y que pasa por (x1, y1) se le conoce como forma punto – intersección. y - y1 = m(x – x1) Permite encontrar la ecuación de la recta siempre y cuando se conozcan las coordenadas y la pendiente de un punto sobre la recta. Rectas horizontales y verticales Para cualquier número siempre y cuando x = a será una recta vertical que cruce en el eje x en (a, 0). x + 0y = a

o

x=a

Para cualquier número siempre y cuando y = b será una recta horizontal que cruce en el eje y en (0, b). 0x + y = b

o

y=b

Rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas verticales siempre serán paralelas entre si y una recta horizontal y una vertical siempre serán perpendiculares un con respecto a la otra. Dadas 2 rectas no verticales L1 y L2 con pendientes m1 y m2 respectivamente: L1 ll L2 L1 _l_ L2

2.3.

si y solo si si y solo si

m1 = m2 m1m2 = -1

Funciones lineales.

De acuerdo con la ecuación lineal en x y y, se escribe de la siguiente forma: Ax+By+C=0, donde A, B y C son constantes y A y B no son 0. Si B es ≠ 0, la ecuación siempre puede resolverse para y en función de x. La ecuación puede escribirse en la forma de pendiente-ordenada: y = mx + b (m y b son constantes) La ecuación anterior define a y como la función de x. El dominio y el rango de esta función entra en conjunto con los números reales. Además, si se grafica esta función, se dice que es una línea recta en el plano cartesiano. Por esta razón f(x) = mx + b, se llama función lineal. y Grafica de una función lineal. x Aplicación de las funciones lineales (ejemplo)

Depreciación en la línea recta. Un servidor web tiene un valor original de $10,000 y debe depreciarse en línea recta durante 5 años con un valor de recuperación de $3000. Encuentre una expresión que dé el valor en libros al final del año t. ¿Cuál será el valor en libros del servidor al final del segundo año? ¿Cuál es la tasa de depreciación del servidor? Solución: Solución Sea V(t) el valor en libros del servidor web al final del año t. Puesto que la depreciación es lineal, V es una función lineal de t. Del mismo modo, la gráfica de la función es una línea recta. Ahora, para determinar una ecuación de la línea recta observe que V =10,000 cuando t =0; esto indica que la línea pasa por el punto (0, 10,000). Asimismo, la condición de que V = 3000 cuando t = 5 indica que la línea también pasa por el punto (5, 3000). La pendiente de la línea es m = 10,000 – 3000 = - 7000 = -1400 0–5 5 Utilizando la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea con el punto (0, 10,000) y la pendiente m = -1400, obtenemos: V - 10,000 = - 1400 (t - 0) V= -1400t + 10,000 la expresión requerida. El valor de los libros al final del segundo año es: V (2) = -1400(2) +10,000 = 7200 o $7200. La tasa de depreciación del servidor es el negativo de la pendiente de la línea de depreciación. Como la pendiente de la línea es m = -1400, la tasa de depreciaciones de $1400 por año. La gráfica de V = -1400t + 10,000, es: V ($) 10,000

3000

depreciación lineal de un activo.

(5,3000) 1 2 3 4 5 Años

t

Funciones lineales de ingreso, costo y utilidad. Sea en una empresa pequeña de propiedad individual o una gran empresa, el dueño o ejecutivo en jefe, deberá rastrear, costos de operación, ingresos por la venta de productos y servicios, y finalmente, la utilidad que se obtiene. Existen tres funciones que ayudan a medir o calcular estas cantidades, la cuales son: Ingreso, costo y utilidad. Sea x el número de unidades de un producto fabricado o vendido. Entonces la función… 2.3.1. Ingreso. La función de ingreso es: R(x)= Ingreso total realizado por la venta de x unidades de producto. 2.3.2. Costo. La función de costo total es: C(x)= Costo total de fabricación de x unidades del producto. 2.3.3. Utilidad. La función de la utilidad es: P(x)= Utilidad total realizada por la fabricación y la venta de x unidades del producto. En general, las funciones de ingreso, costos o costos totales y utilidad asociadas con una empresa tal vez no serán lineales (estas pueden tener una mayor compresión con herramientas de cálculo). Sin embargo, las funciones lineales de ingreso, costos o costos totales y utilidad no surgen en la práctica. Regresando a los costos, los costos incurridos se pueden clasificar en dos categorías que son: Costos fijos: Estos costos pueden permanecer más o menos constantes independientemente del nivel de la actividad empresarial. Algunos ejemplos de estos costos pueden ser:  

tarifas de renta, y los sueldos de los ejecutivos.

Costos variables: Estos costos pueden variar con la producción o con las ventas. Algunos ejemplos de estos costos pueden ser:  

salarios, y costos de la materia prima.

Aplicación de estas tres funciones (ejemplos): 1.Una empresa tiene un costo fijo de F dólares, un costo de producción tiene c dólares por unidad y precio de ventas s dólares por unidad. Entonces, la función de ingreso R(x), la función de costo C(x) y la función de utilidad P(x) son de la siguiente forma: C(x)= cx + F R(x)= sx P(x)= R(x) – C(x) ingresos-costo = (s-c) x –F Donde x denota el número de unidades del producto fabricado o vendido. Las funciones C, R y P son funciones lineales a x. 2.Puritrion, un fabricante de litros de agua tiene un costo mensual de $20,000, un costo de producción de $20 por unidad y un precio de venta de $30 por unidad. Determine la función del costo, la función del ingreso y la función de la utilidad de Puritrion. Sea x el número de unidades producidas y vendidas. Entonces: C(x)= 20x + 20,000 R(x)= 30x P(x)= R(x) – C(x) = 30x – (20x + 20,000) = 10x – 20,000 2.3.4. Punto de equilibro de la empresa. El Punto de Equilibrio es aquel punto en el cual los ingresos totales son exactamente equivalentes a los costos totales asociados con la venta o creación de un producto (no existe utilidad, ni pérdida) Las fórmulas empleadas en la determinación del punto de equilibrio en unidades son las siguientes: Punto de equilibrio(P . E . Q)=

Costos fijos totales (C . F .) Margende contribuciónunitario ( M .CU .)

M .C . U .=Precio de ventaunitario ( P .V ) −Costo Variable Unitario(C .V . U .) P . E . Q=

C .F . P .V −C . V . U .

NOTA: Costo variable unitario (C.V.U) se obtiene al dividir los costos variables totales entre el número de unidades producidas. La fórmula empleada en la determinación del punto de equilibrio en valores monetarios es la siguiente: P . E . Q .=

Costos fijostotales Costo Variable Unitario 1−( ) Precio de ventaunitario

Una de las herramientas más interesantes que presenta el punto de equilibrio es sin duda su análisis gráfico, dado que a partir de este puede facilitarse la aprehensión de diversos conceptos asociados con la rentabilidad de un proceso productivo.

2.3.5 Ley de la oferta. La ley de la oferta establece que, al mayor precio de un producto, mayor es la cantidad ofrecida por la venta de dicho producto.

La curva de la oferta tiene pendiente positiva porque, con todo lo demás constante, a mayor precio, mayor será la cantidad ofrecida. Matemáticamente la oferta pueda expresarse con la siguiente función: Q=f ( Costo de producción , Tecnología , Precio delbien ) Para representar la gráfica de la oferta se utiliza coordenadas, en donde el eje de las (x) representa la cantidad ofrecida y el eje de las (y) representa los precios de los bienes.

2.3.6 Ley de la demanda. La ley establece que, cuando los precios disminuyen, la cantidad demandada aumenta y, cuando los precios aumentan, la cantidad demandada disminuye. La curva de la demanda tiene pendiente negativa porque, con una reducción de precio eleva la cantidad demandada. Matemáticamente la demanda pueda expresarse con las siguientes funciones: Demanda individual: D=f ( P ,G , Y , PE , PS ) Los precios posibles del satisfactor (P) Los ingresos de los compradores (Y). Los gastos de los compradores (G) Los precios de los bienes complementarios (PE)y los sustitutos (PS) Demanda total: D=f ( P ,G , Y , PE , PS , p , dy )

La población (p) La distribución del ingreso nacional (dy)

2.3.7 Punto de equilibrio del mercado. El equilibrio de mercado es donde el precio y la cantidad del bien deseado por la oferta y demanda son iguales. El punto donde coinciden la oferta y la demanda se conoce como precio de equilibrio. Gráficamente en el eje de las x representa la cantidad ofrecida y demandada. En el eje de la y representa los diferentes precios. (E) representa el punto de equilibrio. Pe= Precio equilibrio. Qe= Cantidad de equilibrio.

Bibliografía: Ernest. Haeussler, Jr. Richard S. Paul. Matemáticas para administración y económica. Editorial: Pearson Prentice Hall Décima edición Tan, Soo. Matemáticas Aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la vida, CENGAGE Learning, México, Sexta edición, 2015. ZIEGLER, BARNETT, BYLEEN. Álgebra. México: McGRAW INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Sexta Edición. 2000

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Cibergrafía: Matriz y clasificación: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/23-clasificacion-de-las-matrices.html https://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices.html https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/10a.-TIPOS-DE-MATRICES-1.pdf http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/a/additionofmatrices.htm https://www.sectormatematica.cl/contenidos/matsyr.htm

Matriz inversa:

HILL

http://www.ieszaframagon.com/matematicas/matematicas2/algebra/3_matriz_inver sa.html https://www.vitutor.com/algebra/matrices/inversa.html Punto de equilibrio en la empresa: https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingenieroindustrial/producci%C3%B3n/an%C3%A1lisis-del-punto-de-equilibrio/ Ley de la demanda: https://es.scribd.com/doc/287393972/Fundamentos-de-Econ-de-Mendez Punto de equilibrio del mercado: http://knoow.net/es/cieeconcom/economia-es/equilibrio-de-mercado/ Ley de la oferta: https://sites.google.com/site/economia20parabachillerato/temario/tema-4-laempresa-y-la-produccion/4-la-funcion-de-oferta