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• Marcelo Del Angel Hernandez

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TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL

ALUMNO: DEL ANGEL HERNANDEZ MARCELO.

NO. DE COTROL: 17500133.

SEMESTRE: 2°.

CARRERA: INGENIERIA CIVIL.

GRUPO: 1.

DOCENTE: ING. JOSE VICTOR TRINIDAD PUENTE.

MATERIA: CALCULO VECTORIAL.

TRABAJO: RESUMEN DE LA UNIDAD 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL.

INDICE INTRODUCCION………………………………………………………..3 3.1. DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL………………………………………………….4 3.2. GRAFICACION DE CURVAS EN FUNCION DEL PARAMETRO t……………………………………………………6 3.3. DERIVACION DE FUNCIONES VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES………………………………………………..8 3.4. INTEGRACION DE FUNCIONES VECTORIALES…………….11 3.5. LONGITUD DE ARCO…………………………………………….13 3.6. VECTOR TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL………………16 3.7. CURVATURA………………………………………………………19 3.8. APLICACIONES…………………………………………………...27 CONCLUSION …………………………………………………………29 BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………30

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INTRODUCCION En el presente trabajo se menciona la definición de una función vectorial de una variable real algunos ejemplos de la traficación de curvas en función al parámetro t así como también la derivación de la función vectorial para poder encontrar los vectores posición de la curva. Se lleva a cabo la integración de la función vectorial para poder calcular la longitud de arco, se lleva a cabo también el cálculo del vector tangente. Se incluyen también algunas de las aplicaciones y áreas donde se pueden aplicar los vectores y las curvas.

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3.1. DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL Las funciones vectoriales, también conocidas con el nombre de funciones valoradas vectoriales, son funciones matemáticas cuyo dominio es un conjunto de números reales y su rango es un conjunto infinito de vectores dimensionales. La notación convencional para tal función es,

De la ecuación anterior está claro que el rango de tal función es R3 o Rm. La interpretación de esta oración sería que la función está asociada con tres o más funciones de variables reales f1, f2,f3 … fm. Por tanto, se puede escribir de tal manera que,

Una función vectorial puede tomar como valor de entrada tanto cantidades escalares como cantidades vectoriales, pero el resultado siempre será una cantidad vectorial. Como podemos ver aquí el rango de dicha función está infinitamente extendido, pero no afecta el rango del dominio de la función de alguna manera. Dado que el rango de la función es infinito, por tanto puede ser dividido sus componentes constitutivos. Por ejemplo, si el rango es de dos dimensiones entonces el rango se puede dividir en sus componentes como,

Y si el rango es de tres dimensiones, entonces puede ser dividida en sus componentes como,

Un punto digno de mención es que el dominio de la función vectorial es la intersección de los dominios de todas las funciones constituyentes que en su totalidad forman el rango de la función vectorial. 4

Después de haber leído la definición de una función valorada vectorial, es importante saber, ¿por qué surgió la necesidad de desarrollar funciones vectoriales cuando ya teníamos otras funciones con nosotros? Una función vectorial representa principalmente una función que varía con respecto al tiempo. Tomemos el ejemplo de una abeja. La trayectoria que esta traza mientras vuela puede ser descrita en términos de variables de x e y en un espacio tridimensional, pero esta no nosproveería ninguna información con respecto al tiempo de vuelo. En otras palabras, tal función solo nos daría información sobre el camino recorrido por la abeja. Así que imaginemos que la abeja comenzó su vuelo en la posición r1. Por tanto el vector de posición que describe la posición de inicio de la abeja puede ser representado como,

Ahora, después de un tiempo esta abeja se detiene en la posición r2 sobre el plano x-y. En consecuencia, podemos utilizar otro vector para representar la posición final de la abeja como,

Entonces, el camino recorrido por esta abeja sería una serie de vectores que comienzan en r1 y terminan en r2. Estos vectores son los vectores de posición, que representan sólo la punta de la flecha del vector en el diagrama anterior. Y a medida que pasa el tiempo, los vectores cambian de r1 a r2.

Aquí los vectoresr1 y r2 son iguales, de hecho el vector r1cambia con el tiempo para tomar la posición de r2. Es por esto que una función vectorial puede ser escrita como,

Es decir, todos los componentes de la presente función son funciones del tiempo, dado que varían con el tiempo. Utilizando coordenadas cartesianas, una función vectorial A ( t ) es un vector dependiente de la variable escalar t y definido en el espacio x,y, z, o sea: A ( t ) = Ax ( t ) i + Ay ( t ) j + Az ( t ) k

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Por lo tanto todos los conceptos y definiciones de las funciones ordinarias son aplicables a las funciones vectoriales haciéndolo a cada una de las componentes del vector.

3.2. GRAFICACION DE CURVAS EN FUNCION DEL PARAMETRO t Sea la función vectorial r : I  R  V 3 / r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) Para cada t  I

se obtiene un vector r (t ) , que es el vector posición del punto

P ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) . Si la función vectorial es continua en I , es decir sus funciones

componentes f, g y h son continuas en I , define una curva C en el espacio formada por los extremos del vector r (t ) donde t varía de a a b. z

t

t

P (f (t),g(t),h(t)) •

C t

r(t)

r

y

x

Entonces la curva C es el conjunto de todos los puntos P ( x, y , z ) del espacio tal que

 x  f ( t)   y  g ( t ) con t  I  z h(t ) 

, a estas ecuaciones se las llama ecuaciones

paramétricas de la curva C y t es el parámetro. Cuando se grafica una curva descrita por una función vectorial r ( t ) , cada punto de la misma (extremo del vector r ( t ) ) queda determinado por un valor elegido para el parámetro t. Al trazar los puntos resultantes de valores crecientes de t, la curva se va trazando en una dirección específica, en este caso se dice que la curva está orientada positivamente. Ejemplo 1: Sea r (t )   3  t ,  2  2 t ,1 3t  con t  R , cómo r es continua en R define una curva C en el espacio. Las ecuaciones paramétricas de C son

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 x  3 t   y   2  2t  z  1 3 t 

con t  I

Estas son las ecuaciones paramétricas de una recta que contiene al punto P0 ( 3,  2, 1) y es paralela al vector u  (  .1, 2, 3 ) . Ejemplo 2: Sea r (t )  cos t , sen t , t  con t  R , cómo r es continua en R define una x    y z  

curva cos t

sen t t

C

en

con t  R

el

espacio,

cuyas

ecuaciones

paramétricas

son

(*)

Veamos cual es la curva C definida por la función vectorial r . Para ello consideremos las dos primeras igualdades de las ecuaciones (*)

 x  cos t   y  sen t

2 2   x  cos t , de donde  2 y sumando miembro a miembro resulta 2   y  sen t

x 2  y 2  1 , esta ecuación en el espacio es la de un cilindro circular cuyo eje es el eje “z”, entonces la curva C está contenida en dicho cilindro. La curva que se obtiene es un espiral alrededor del cilindro y se la llama hélice. Nota: se ha definido función vectorial de una variable real en el espacio, en forma similar se puede definir función vectorial de un variable real en el plano y también en el espacio n-dimensional V n . Para estas funciones vectoriales también se definen los conceptos de límite y continuidad en forma similar a las definiciones dadas para funciones vectoriales en el espacio. Para el caso particular de una función vectorial en el plano, si la misma es continua en un intervalo I  R su representación gráfica es una curva plana C determinada por los puntos extremos de los vectores r (t ) que se obtienen al variar t en I. Si r (t )  ( f (t ) , g (t ) )  f (t ) i  g (t ) j con t  I , las ecuaciones paramétricas de la

 x  f ( t) con t  I curva C son   y  g (t ) Ejemplo 3: Sea r (t )  cos t , sen t  con t  0, 2  una curva C en el  x  cos t con t 0, 2     y  sen t

plano,

cuyas

 , cómo r

es continua en R define

ecuaciones

paramétricas

son

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Para determinar cuál es la curva C, elevando ambos miembros de las ecuaciones paramétricas al cuadrado y sumando miembro a miembro obtenemos la ecuación cartesiana x 2  y 2  1 , que en el plano representa una circunferencia con centro en ( 0, 0 ) y radio 1.

3.3. DERIVACION DE FUNCIONES VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también para ser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta es la función vectorial. Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales. Asuma que es la función vectorial que será diferenciada para obtener dr/dt o . Aquí la diferenciación se lleva a cabo con respecto al tiempo ‘t’ porque una función valorada vectorial se define con respecto a la variable tiempo.Entonces la derivada de esta función se denota como, lim = [ (t + h) - (t)]/ h Los conceptos del cálculo Cartesiano son aplicables aquí también, lo que significa que esta derivada de la función vectorial representaría la tangente a la curva de la función dada en algún punto. Hay ciertas cosas que deben tenerse en cuenta mientras se diferencia la función: 1. (t) es real en el tiempo t sólo existe una derivada de en ‘t’. 2. Para un intervalo abierto (a, b) si el valor de (t) existe en cada punto, entonces podemos decir que la función dada es diferenciable para ese intervalo. Al considerar los límites de un lado esta diferenciación se puede extender también al intervalo cerrado. 8

Ahora diferenciemos una función valorada vectorial. (t) = t cos (t), −2 sin (t)> f(t) = t cos (t) g(t) = −2 sin (t) d(f(t))/ dt = cos (t) – t sin (t) d(g(t))/ dt = −2 cos (t) (t) = < cos (t) – t sin (t), −2 cos (t) Existen ciertas propiedades de la derivada de una función vectorial. Algunas de ellas se analizan a continuación. Asuma que que y y son dos funciones vectoriales cuya derivada se puede determinar en el instante de tiempo ‘t’. También que es una función valorada real que puede ser diferenciada en el instante de tiempo ‘t’, y que s es una cantidad escalar.Entonces, 1. La diferenciación del producto de una cantidad escalar con una función vectorial es producto de esa cantidad escalar con la derivada de la función vectorial.

2. La diferenciación de la suma de dos funciones vectoriales valor es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones vectoriales.

Esta regla también es aplicable a la diferencia de dos funciones valoradas vectoriales. 3. La diferenciación del producto de una función vectorial y una función valorada real es igual a la suma del producto de la función real con la derivada de la función vectorial y la derivada de la función real con la función vectorial. Sea r una función vectorial, se define su derivada r ' como r ( t   t)  r ( t ) r ' (t )  lim t t  0 siempre que este límite exista. Interpretación geométrica de la derivada de una función vectorial

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Supongamos que r ( t ) sea el vector posición del punto P y r ( t   t ) el vector posición del punto Q, entonces r ( t   t )  r (t )  PQ se puede considerar como un vector secante a la curva C. Si  t  0 el vector 1 r ( t   t )  r (t )   1 PQ tiene la misma dirección y sentido que el vector PQ t t

, entonces cuando  t  0 el vector

1 PQ se aproxima a un vector que está en la t

recta tangente a la curva C en el punto P. Si  t  0 con un razonamiento similar se llega a la misma conclusión. Por lo que al vector r ' ( t ) se lo denomina vector tangente a la curva C en el punto P, siempre que r ' ( t ) exista y r ' ( t )  0 . La recta tangente a la curva C en el punto P es la recta que contiene a P y tiene la dirección del vector r ' ( t ) . También se puede considerar el vector tangente unitario T (t ) 

r '(t ) . r '(t )

Fórmula de cálculo de r ' ( t ) Sea la función vectorial r (t )  f (t ) i  g (t ) j  h (t ) k  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) con t  I tal que f , g y h son funciones derivables en I entonces

r ' (t )  f ' (t ) i  g ' (t ) j  h ' (t ) k  ( f ' (t ) , g ' (t ), h ' (t ) ) Demostración: z P •

r’(t) Q

r(t) r(t+∆t) y

x

C t

r t

t+∆t

t

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r ' (t )  lim t  0

r ( t   t)  r ( t )  t

1  f ( t   t ) , g ( t   t ) , h ( t   t )    f ( t ) , g (t ) , h ( t )   t  0  t

 lim

1  f ( t   t )  f ( t ) , g ( t   t )  g ( t ) , h ( t   t )  h ( t )  t  0  t

 lim

 f ( t   t)  f ( t ) g ( t   t)  g ( t ) h ( t   t)  h ( t )      lim , lim , lim t t t t  0 t  0  t  0  (*)   f ' (t ) , g ' (t ) , h ' (t ) 

La igualdad (*) es válida pues por hipótesis f , g y h son funciones derivables. Ejemplo: Sea r (t )  cos t , sen t , t  con t  R , vimos que su representación gráfica es una hélice.  r ' (t )   sen t , cos t , 1    

r ' (0)   sen 0 , cos 0 , 1   0, 1, 1  r ' (0)  1 1  T (0 )   0, , r ' (0)  2 2  Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice en el punto P ( 1, 0, 0 ) son x 1   y  t con t  R z t 

3.4. INTEGRACION DE FUNCIONES VETORIALES Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como,

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Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada. La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora,

Aquí la integración se hace con respecto a ‘t’, la cual es la variable. Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para quela integración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de ‘t’ está incrementandose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 … k, entonces la integración definida de la función será,

El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para una función valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f, entonces

si, f R en [a, b]. Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensión acerca del tema. Calcule la función r(t), dada r’(t) = - y r(0) = + 2 . Para determinar la función r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar ‘r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales, r’(t) = r(0) = Ahora integremos r’(t) como, r’(t) dt = dt - dt + dt r(t) =

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Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuación 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integración como, r(0) = = c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2 Entonces la función r(t) se calcula como . Por lo general, en el caso que la función vectorial esté en lugar de la constante de integración hacemos uso del vector integración, el cual es un vector arbitrario. De manera similar, un campo vectorial completo también puede ser integrado lo cual nos ayuda a determinar la cantidad de trabajo realizado por el campo vectorial. Esto se hace tomando la integral de línea del campo vectorial dado.

3.5. LONGITUD DE ARCO Usualmente medimos la longitud con una línea recta, pero las curvas también tienen longitud. Un ejemplo familiar es la circunferencia de un círculo de radio rrr, cuya longitud es 2\pi r2πr2, pi, r. En general, le llamamos a la longitud de una curva "longitud de arco".

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La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas x = a y x = b viene dado por la integral definida:

Ejemplo

Hallar la longitud del arco de curva

en el

intervalo [0, 1].

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Ahora se asociarán a cada punto de una curva de dos vectores, el vector tangente unitario y el vector normal unitario. Estos vectores aparecen en muchas aplicaciones de las funciones vectoriales. DEFINICION DE VECTOR TANGENTE UNITARIO Si R(t) es el vector de posición de una curva C en el punto P de C el Vector Tangente Unitario de C en P, denotado por T(t), es el vector unitario en la dirección de Dt R(t) si Dt R(t) ≠ 0. Como el vector unitario en la dirección de Dt R(t) está dado por Dt R(t) / || Dt R(t) ||, entonces: T(t) = Dt R (t) || Dt R(t) || T(t) es el vector unitario, Dt R(t) debe ser ortogonal a T(t). Mientras Dt T(t) que no necesariamente el un vector unitario, el vector Dt T(t) / || Dt T(t) || es unitario y tiene la misma dirección de Dt T(t). Por tanto, Dt T(t) / || Dt T(t) || es un vector ortogonal a T(t), y se denomina vector normal unitario. EJEMPLO: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por:

Se calcula la primera derivada de

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La dirección del vector tangente unitario depende de la orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada por:

T(1) sería todavía el vector tangente unitario en el punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta.

3.6. VECTOR UNITARIO DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL UNITARIO Si T(t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C el Vector Normal Unitario, denotado por N(t), es el vector unitario en la dirección de Dt T(t) .

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N(t)= Dt N (t) || Dt N(t) || Ejemplo: Calcule T(t) y N(t) para la curva que tiene la ecuación vectorial. R(t)=(t 3 – 3t)i + 3 t 2 j Dibuje una porcion de la curva que contenga al punto donde t=2 y las representaciones de t(2) y N(2) cuyo punto inicial es pra el cual t=2. Dt R (t)=(3t 2 – 3)i + 6 t j || Dt N(t) ||= √ (3t 2 – 3)2i + (6 )2 = √ (3t 2 – 3)2i + 36 t 2 = √ 9 ( t 4 – 2t2)i + 1= 3 ( t 2 )i + 1 De(1): T(t)= Dt R (t) = t 2 – 1 i + 2t j || Dt R(t) || t 2 + 1 t 2 + 1 al diferenciar T(t) con respectoa t se obtiene. Dt T (t) = 4t i + 2 – 2 t 2 j (t 2 + 1)2 (t 2 + 1)2 Por tanto: ||Dt T (t) ||= √16 t 2 + 4 – 8 t 2 + 4 t 4 (t 2 + 1)4 ( t 2 + 1)4 =√ 4 + 8 t 2 + 4 t 4=√ 4( t 2 + 1)2 = 2 ( t 2 + 1)4 ( t 2 + 1)4 t 2 + 1 CURVATURA Es un proceso importante en el estudio de la geometría diferencial y del movimiento rectilíneo. Dicho concepto proporciona la tasa de variacion o cambio de la dirección de una curva con respecto a la variacion en su logitud. El estudio de la curvatura se inicia en la curva plana C, y se considera que Ø radianes es la medida del ángulo, medido en el sentido contrario al giro de las

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manecillas del reloj, desde la dirección del eje x positivo hasta la dirección del vector tangente unitarioT(t) en el punto P de C. A continuación veremos un ejemplo de ello en el cual se muestra Ø y T(t) donde s unidades es la longitud del arco a partir de un punto P0 de C hasta P. En el punto Q de C, la medida en radianes del ángulo que determina la dirección de T(t+ ∆t) es Ø + ∆Ø y s + ∆s unidades es la longitud de arco de P0 a Q.

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3.7. CURVATURA

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Una aplicación del parámetro longitud de arco consiste en el cálculo de la curvatura, la medida de cuán rápidamente se comba una curva. Por ejemplo, en la figura la curva se comba más de prisa en P que en Q, y decimos que la curvatura es mayor en P que en Q. Se puede hallar la curvatura calculando la magnitud de la tasa de cambio del vector tangente unitario T(t) con respecto a s, como indica la figura

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La curva es mayor en P que en Q Magnitud de la tasa de cambio de T con respecto a la longitud de área es la curvatura DEFINICIÓN DE CURVATURA Sea C una curva suave (en el punto o en el espacio) dada por r(s), donde s denota el parámetro longitud de arco. Se define la curvatura de C en s como:

Un círculo tiene la misma curvatura en todos sus puntos y es igual al inverso del radio. Esto es, un círculo de radio grande tiene curvatura pequeña, mientras que un círculo de radio pequeño posee una gran curvatura. FORMULAS PARA CALCULAR LA CURVATURA Si C es una curva suave dada por r(t), la curvatura de C en t viene dada por:

Si C es la grafica de una función y=f(x), dos veces derivable, su curvatura en un punto (x,y) viene dada por:

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CÁLCULO DE LA CURVATURA DE UNA CURVA EN EL ESPACIO EJEMPLO: Hallar la curvatura de la curva definida por:

SOLUCIÓN: no se sabe a simple vista si este parámetro es la longitud de arco, así que debemos usar la fórmula

Longitud de r´(t)

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Longitud de T´(t) Por tanto la curvatura es:

Curvatura Sea C una curva con curvatura k en un punto P. El círculo que pasa por P con radio r = 1/k se llama el círculo de curvatura, si el centro del círculo está en la concavidad de la curva y tiene una recta tangente común con la curva y el punto P. El radio de dicho círculo se denomina radio de curvatura en P y su centro se llama centro de curvatura. El círculo de curvatura permite estimar gráficamente la curvatura k en un punto P. Usando un compás, se traza un círculo que se adapte a la curvatura en P por el lado cóncavo, como indica la figura 11.35. si ese círculo tiene radio r, cabe estimar la curvatura como k = 1/r CÁLCULO DE LA CURVATURA EN COORDENADAS RECTANGULARES

EJEMPLO 2: Calcular la curvatura de la parábola y hacer un esbozo de su círculo de curvatura en el punto (2, 1) Solución: Hallamos la curvatura en x=2 como sigue: Al ser la curvatura en P(1, 2), el radio del círculo de curvatura en ese punto es 2. Por tanto, el centro de curvatura es (2, -1), como ilustra la figura 11.36

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3.8. APLICACIONES Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contradominio es un conjunto de vectores. x= f (t) x=g (t) x=h (t) A continuación mencionaremos las aplicaciones de las funciones vectoriales, estas se aplican en: * * * Ingeniería

Geometría Física

Las aplicaciones goemétricas incluyen la longitud de arco, vectores tangentes, normales a una curva y curvatura. En las aplicaciones de física e ingeniería se emplean los vectores para estudiar el movimiento de la partícula a lo largo de una curva, al cual se le denomina movimiento curvilíneo. DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL: Sean f, g y h, funciones reales de la variable real t. Entonces se define la funcion vectorial R mediante: R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k donde t es un número real del dominio común de f, g y h. En el plano, se define una funcion vectorial R mediante: R(t)= f (t) i + g (t) j 28

Donde t pertecene al dominio común de f y g. Por ejemplo: R(t)= f (t) i + g (t) j R(t)= (4-t2)i + (t2+4t) j x=4–t2y=t2+4t

La ecuación vectorial de una curva proporcionada a una dirección a la curva en cada punto. Esto si se piensa que la curva esta descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida que el parámetro t aumenta. En tal caso, t puede ser una medida de tiempo, de modo que el vector R(t) se le llama vector de posición. Al eliminar t de las ecuaciones paramétricas se obtiene dos ecuaciones en x , y y z, son ecuaciones cartesianas de la curva C. La gráfica de la ecuación cartesiana es una superficie, y C es la intersección de dos superficies. Las ecuaciones de cuales quiera dos superficies que contienen C pueden considerarse como las ecuaciones que definen C.

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CONCLUSION En este trabajo se comprendió la definición de funciones vectoriales de una variable real, sus aplicaciones y las operaciones que se tienen que realizar para encontrar varios de los elementos que conforman las funciones vectoriales tales como la curva de las ecuaciones paramétricas, la curva que se forma según los valores que demos a el parámetro t de la función vectorial, la longitud de la curva por medio de la integral de la función original, la obtención de los vectores posición agregando valores al parámetro t, en conclusión se en este trabajo se presentan las características mas importantes de las funciones vectoriales.

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BIBLIOGRAFIA http://itsav-calculovectorial.blogspot.mx/2012/12/31-definicion-de-funcion-vectorialde.html http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/3_prueba.pdf http://itsav-calculovectorial.blogspot.mx/2012/12/33-derivacion-de-funcionesvectoriales.html http://itsav-calculovectorial.blogspot.mx/2012/12/34-integracion-de-funcionesvectoriales.html https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariablefunctions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-length http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/apunte_26_febrero.pdf

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