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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS ÁREA DE ESTADÍSTICA

MATERIAL DE APOYO ESTADÍSTICA 2 UNIDAD 3 INGA. MAYRA CARVAJAL

UNIDAD 3: ENSAYOS DE HIPÓTESIS PARTE 1 ENSAYOS DE HIPÓTESIS PARA UNA POBLACIÓN Glosario: 

Hipótesis estadística: suposición o conjetura respecto a una o más poblaciones.



Hipótesis nula: suposición que desea validarse o invalidarse. Siempre se tiene cierto grado de igualdad. Se denota con Ho



Hipótesis alternativa: Establece lo contrario a Ho, se denota con Ha o H1, también nos indica el número de colas que se utilizaran para el ensayo.



Error tipo I: rechazo de la hipótesis nula cuando es verdadera. Se denota con la letra α.



Error tipo II: no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa, se denota con la letra β.



Nivel de significancia: probabilidad de cometer el error tipo I. Denotada con la letra griega α. Suele definirse como el 1%, 5% o 10%



Potencia de la prueba: es la probabilidad de rechazar Ho dado que una alternativa específica es verdadera.

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PRUEBAS DE HIPÓTESIS Un ensayo o prueba de hipótesis es el procedimiento que permite validar o no una hipótesis nula con un nivel de significancia dado. Cuando se realiza un ensayo debemos definir dos hipótesis distintas para realizar suposiciones sobre un parámetro de la población estudiado. Podemos realizar pruebas para la media, la varianza o proporción de una población. La hipótesis nula siempre considera la igualdad, puede denotarse con las comparaciones ≤; ≥ 𝑜 =. Para identificarla se pueden buscar expresiones como el mínimo, el máximo, a lo sumo, por lo menos, entre otros. La hipótesis alterna en cambio es lo opuesto a la hipótesis nula por lo que nunca incluirá la igualdad, puede denotarse con las comparaciones 𝑜 ≠. Para identificarla se pueden buscar expresiones como, más, menos, mayor, menor, difiere de, distinto de, incrementa, decrece, entre otros. Cabe mencionar que no siempre se definirá la hipótesis nula en el enunciado del problema, en ocasiones se desea comprobar una hipótesis alterna por medio de rechazar una hipótesis nula, es importante leer cuidadosamente los enunciados para definir las hipótesis correctamente. 

Tipos de errores Cuando se realizan pruebas de hipótesis puede incurrirse en dos tipos de errores diferentes, el error tipo I y el error tipo II. o Error tipo I: Es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula que es verdadera, también es llamado nivel de significación. Se denota como α y usualmente toma los valores de 1, 5, o 10%. Es fijado por el investigador antes de elegir una muestra. Si el problema no nos lo proporciona asumiremos el 5%. o Error tipo II: Es la probabilidad de aceptar una hipótesis nula que es falsa. Se denota como β. Este valor depende del verdadero valor del parámetro o de una hipótesis alterna previamente definida.

No rechazar Ho Rechazar Ho

Ho es verdadera Decisión correcta Error tipo I

Ho es falsa Error tipo II Decisión correcta

La probabilidad de cometer ambos tipos de errores se reduce al aumentar n

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o Potencia de la prueba: es la probabilidad de rechazo de Ho dado que una hipótesis alternativa específica es verdadera, se calculará por medio de la expresión 1-β. 

Tipos de ensayos Dependiendo de la comparación que se realice, se pueden tener ensayos bilaterales o unilaterales, es la hipótesis alternativa Ha quién nos indicará el número de colas para el ensayo. o Ensayo bilateral o a dos colas Se realizará un ensayo bilateral cuando se esté comparando la igualdad de una hipótesis nula contra que el parámetro sea diferente de lo supuesto.

Zona de rechazo

Zona de rechazo Zona de aceptación

𝐻𝑜 𝜃 = 𝜃𝑜 𝐻𝑎 𝜃 ≠ 𝜃𝑜 o Ensayo unilateral o a una cola Se realizará un ensayo unilateral cuando se compare con hipótesis alternas que indiquen que el estadístico será mayor o menor a lo supuesto.

Zona de rechazo Zona de aceptación

𝐻𝑜 𝜃 ≤ 𝜃𝑜 𝐻𝑎 𝜃 > 𝜃𝑜

Zona de rechazo Zona de aceptación

𝐻𝑜 𝜃 ≥ 𝜃𝑜 𝐻𝑎 𝜃 < 𝜃𝑜

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Los pasos básicos para el desarrollo de una prueba de hipótesis son: 1. Definir la hipótesis nula Ho 2. Definir la hipótesis alterna Ha o H1 3. Definir el nivel de significancia, α 4. Definir la zona de rechazo 5. Calcular el estadístico de prueba 6. Definir la regla de decisión PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL µ Las pruebas de hipótesis para la media de una población buscan validar suposiciones sobre el comportamiento de la media en base a una muestra, se tendrán dos casos cuando se conozca σ o y cuando se desconozca σ. 

Pruebas para muestras grandes con σ conocida Para este tipo de pruebas se trabajará con muestras mayores o iguales a 30 y se conocerá la desviación estándar de la población. Los pasos básicos para el desarrollo de una prueba de hipótesis son:

1. 2. 3. 4.

Ho Ha 𝜶 Zona de rechazo

5. Estadístico de prueba

6.

Regla de decisión

𝜇 = 𝜇𝑜 𝜇 ≤ 𝜇𝑜 𝜇 ≠ 𝜇𝑜 𝜇 > 𝜇𝑜 Usualmente se define como 1%, 5% o 10%

P. Infinita 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝑍= 𝜎 ⁄ 𝑛 √ Si 𝑍 > 𝑍𝛼⁄2 o 𝑍 < −𝑍𝛼⁄2 se rechaza Ho

Si 𝑍 > 𝑍𝛼 se rechaza Ho

𝜇 ≥ 𝜇𝑜 𝜇 < 𝜇𝑜

P. Finita 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝑍= 𝜎 √𝑁 − 𝑛 √𝑛 𝑁 − 1 Si 𝑍 < −𝑍𝛼 se rechaza Ho

Si se diera el caso en el que no se conoce la desviación estándar de la población, pero se tiene una muestra de tamaño mayor o igual a 30, se puede utilizar la distribución normal Z en la prueba debido al teorema del límite central, lo único que cambia es el estadístico de prueba: Población Infinita Población finita 𝑍=

𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝑠̂⁄ √𝑛

𝑍=

𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝑠̂ √𝑁 − 𝑛 √𝑛 𝑁 − 1

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

1. 2. 3. 4.

Pruebas para muestras pequeñas con σ desconocida Para este tipo de pruebas se trabajará con muestras menores a 30 y se desconocerá la desviación estándar de la población. En este caso utilizaremos la distribución de t student en lugar de la distribución normal. Los pasos básicos para el desarrollo de una prueba de hipótesis son:

Ho Ha 𝜶 Zona de rechazo

5. Estadístico de prueba

6.

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Regla de decisión

𝜇 = 𝜇𝑜 𝜇 ≤ 𝜇𝑜 𝜇 ≠ 𝜇𝑜 𝜇 > 𝜇𝑜 Usualmente se define como 1%, 5% o 10%

𝑔. 𝑙. = 𝑛 − 1 P. Infinita 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝑡= 𝑠̂⁄ √𝑛

𝑔. 𝑙. = 𝑛 − 1

Si 𝑡 > 𝑡𝛼⁄2 o 𝑡 < −𝑡𝛼⁄2 se rechaza Ho

Si 𝑡 > 𝑡𝛼 se rechaza Ho

𝜇 ≥ 𝜇𝑜 𝜇 < 𝜇𝑜

𝑔. 𝑙. = 𝑛 − 1 P. Finita 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝑡= 𝑠 ̂ √𝑁 − 𝑛 √𝑛 𝑁 − 1 Si 𝑡 < −𝑡𝛼 se rechaza Ho

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIÓN Las pruebas de hipótesis para la proporción de una población buscan validar suposiciones sobre el comportamiento de la proporción que cumple cierta condición en base a una muestra. 1. 2. 3. 4.

Ho Ha 𝜶 Zona de rechazo

5. Estadístico de prueba

6.

Regla de decisión

𝜋 = 𝜋𝑜 𝜋 ≤ 𝜋𝑜 𝜋 ≠ 𝜋𝑜 𝜋 > 𝜋𝑜 Usualmente se define como 1%, 5% o 10%

P. Infinita 𝑝̂ − 𝜋𝑜 𝑍= √𝜋𝑜 (1 − 𝜋𝑜 ) 𝑛 Si 𝑍 > 𝑍𝛼⁄2 o 𝑍 < −𝑍𝛼⁄2 se rechaza Ho

𝜋 ≥ 𝜋𝑜 𝜋 < 𝜋𝑜

𝑍= Si 𝑍 > 𝑍𝛼 se rechaza Ho

P. Finita 𝑝̂ − 𝜋𝑜

√𝜋𝑜 (1 − 𝜋𝑜 ) √𝑁 − 𝑛 𝑛 𝑁−1 Si 𝑍 < −𝑍𝛼 se rechaza Ho

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PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA DE UNA POBLACIÓN 1. 2. 3. 4.

Ho Ha 𝜶 Zona de rechazo

𝜎 2 = 𝜎 2𝑜 𝜎 2 ≤ 𝜎 2𝑜 2 2 𝜎 ≠𝜎 𝑜 𝜎 2 > 𝜎 2𝑜 Usualmente se define como 1%, 5% o 10%

𝑔. 𝑙. = 𝑛 − 1

Regla de decisión

𝑔. 𝑙. = 𝑛 − 1

𝑔. 𝑙. = 𝑛 − 1 2

5. Estadístico de prueba 6.

𝜎2 ≥ 𝜎2𝑜 𝜎2 < 𝜎2𝑜

(n − 1)s = σ2 Si χ2 > χ2 𝛼 se

χ2 Si χ2 > χ2 𝛼⁄ o χ2 < 2 2 χ 1−𝛼⁄ se rechaza 2 Ho

rechaza Ho

Si χ2 < χ2 1−𝛼 se rechaza Ho

CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA Es posible que se nos proporcione las condiciones que deseamos tener para realizar una prueba de hipótesis, los errores tipo I y tipo II que aceptaremos y se nos solicite determinar el tamaño de la muestra para el cual cumpliremos con dichas condiciones. La fórmula para el tamaño de la muestra es generada a partir de tener la gráfica para los errores tipo I y tipo II. Veremos a continuación las demostraciones para pruebas bilaterales y unilaterales. Prueba unilateral, cola derecha

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En la figura podemos observar dos curvas normales, en la curva de la izquierda tenemos la gráfica para 𝜇𝑜 con un error tipo I α, en la curva de la derecha podemos ver la gráfica para una Ha alternativa para el cálculo del error tipo II β que tendría nuestra la hipótesis nula original. Nuestra fórmula del tamaño de muestra en este caso se genera de la expresión que nos permite calcular los valores de Z para media. 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝑍= 𝜎 ⁄ 𝑛 √

En base a la figura de arriba procederemos a definir Z para β, en este caso tendremos un valor negativo pues si observamos Zβ está en la cola izquierda. −𝑍𝛽 =

𝑥̅ − (𝜇𝑜 + 𝛿) 𝜎 ⁄ 𝑛 √

Al reordenar la expresión anterior encontraremos un equivalente a la definición de Zα. −𝑍𝛽 =

𝑥̅ − 𝜇𝑜 − 𝛿 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝛿 = − 𝜎 𝜎 𝜎 ⁄ 𝑛 ⁄ 𝑛 ⁄ 𝑛 √ √ √ 𝛿 −𝑍𝛽 = 𝑍𝛼 − 𝜎 ⁄ 𝑛 √

Es de esta expresión que despejaremos n para calcular el tamaño de la muestra. 𝑛=

Prueba unilateral, cola izquierda

(𝑍𝛼 + 𝑍𝛽 )2 ∗ 𝜎 2 𝛿2

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En la figura podemos observar dos curvas normales, en la curva de la derecha tenemos la gráfica para 𝜇𝑜 con un error tipo I α, en la curva de la izquierda podemos ver la gráfica para una Ha alternativa para el cálculo del error tipo II β que tendría nuestra la hipótesis nula original. Nuestra fórmula del tamaño de muestra en este caso se genera de la expresión que nos permite calcular los valores de Z para media. 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝑍= 𝜎 ⁄ 𝑛 √

En base a la figura de arriba procederemos a definir Z para β, en este caso tendremos un valor positivo pues si observamos Zβ está en la cola derecha. 𝑍𝛽 =

𝑥̅ − (𝜇𝑜 − 𝛿) 𝜎 ⁄ 𝑛 √

Al reordenar la expresión anterior encontraremos un equivalente a la definición de Zα. 𝑍𝛽 =

𝑥̅ − 𝜇𝑜 + 𝛿 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝛿 = + 𝜎 𝜎 𝜎 ⁄ 𝑛 ⁄ 𝑛 ⁄ 𝑛 √ √ √ 𝛿 𝑍𝛽 = −𝑍𝛼 + 𝜎 ⁄ 𝑛 √

Tendremos que el valor de Z de alfa es negativo pues se encuentra en la cola izquierda. Es de esta expresión que despejaremos n para calcular el tamaño de la muestra. 𝑛=

(𝑍𝛼 + 𝑍𝛽 )2 ∗ 𝜎 2 𝛿2

Podemos corroborar que utilizaremos la misma expresión para el tamaño de la muestra para los casos de las pruebas unilaterales.

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Prueba bilateral, cola derecha

En la figura podemos observar dos curvas normales, en la curva de la izquierda tenemos la gráfica para 𝜇𝑜 con un error tipo I α, en la curva de la derecha podemos ver la gráfica para una Ha alternativa para el cálculo del error tipo II β que tendría nuestra la hipótesis nula original. Nuestra fórmula del tamaño de muestra en este caso se genera de la expresión que nos permite calcular los valores de Z para media. 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝑍= 𝜎 ⁄ 𝑛 √

En base a la figura de arriba procederemos a definir Z para β, en este caso tendremos un valor negativo pues si observamos Zβ está en la cola izquierda. −𝑍𝛽 =

𝑥̅ − (𝜇𝑜 + 𝛿) 𝜎 ⁄ 𝑛 √

Al reordenar la expresión anterior encontraremos un equivalente a la definición de Zα. −𝑍𝛽 =

𝑥̅ − 𝜇𝑜 − 𝛿 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝛿 = 𝜎 −𝜎 𝜎 ⁄ 𝑛 ⁄ 𝑛 ⁄ 𝑛 √ √ √ 𝛿 −𝑍𝛽 = 𝑍𝛼⁄ − 𝜎 2 ⁄ 𝑛 √

Tendremos que el valor de Z de alfa medios es positivo pues se encuentra en la cola derecha. Es de esta expresión que despejaremos n para calcular el tamaño de la muestra. 𝑛=

(𝑍𝛼⁄ + 𝑍𝛽 )2 ∗ 𝜎 2 2

𝛿2

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Prueba bilateral, cola izquierda

En la figura podemos observar dos curvas normales, en la curva de la derecha tenemos la gráfica para 𝜇𝑜 con un error tipo I α, en la curva de la izquierda podemos ver la gráfica para una Ha alternativa para el cálculo del error tipo II β que tendría nuestra la hipótesis nula original. Nuestra fórmula del tamaño de muestra en este caso se genera de la expresión que nos permite calcular los valores de Z para media. 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝑍= 𝜎 ⁄ 𝑛 √

En base a la figura de arriba procederemos a definir Z para β, en este caso tendremos un valor positivo pues si observamos Zβ está en la cola derecha. 𝑍𝛽 =

𝑥̅ − (𝜇𝑜 − 𝛿) 𝜎 ⁄ 𝑛 √

Al reordenar la expresión anterior encontraremos un equivalente a la definición de Zα. 𝑍𝛽 =

𝑥̅ − 𝜇𝑜 + 𝛿 𝑥̅ − 𝜇𝑜 𝛿 = 𝜎 +𝜎 𝜎 ⁄ 𝑛 ⁄ 𝑛 ⁄ 𝑛 √ √ √ 𝛿 𝑍𝛽 = −𝑍𝛼⁄ + 𝜎 2 ⁄ 𝑛 √

Tendremos que el valor de Z de alfa medios es negativo pues se encuentra en la cola izquierda. Es de esta expresión que despejaremos n para calcular el tamaño de la muestra. 𝑛=

(𝑍𝛼 + 𝑍𝛽 )2 ∗ 𝜎 2 𝛿2

Podemos corroborar que utilizaremos la misma expresión para el tamaño de la muestra para los casos de las pruebas bilaterales.

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CÁLCULO DE ERROR TIPO II β Como se definió con anterioridad el error tipo II es la probabilidad de aceptar una hipótesis falsa. El procedimiento para calcular el error Tipo II, para un valor específico de  supuesto en H0 es el siguiente: 1. Establecer la región de aceptación para H0, utilizando el valor supuesto en H0 y los datos del problema. 2. Utilizar la tabla de la distribución normal para determinar los puntos críticos correspondientes a  ±𝑍𝛼⁄2 si la prueba es a dos colas o si la prueba es a una cola 𝑍𝛼 si la prueba es de cola derecha o −𝑍𝛼 si es de cola izquierda). 3. Determinar los valores o valor de 𝑥̅ correspondientes a los valores críticos, utilizando la igualdad 𝑥 ̅ −𝜇 𝑥 ̅ −𝜇 ±𝑍𝛼⁄2 = 𝜎 𝑜 ±𝑍𝛼 = 𝜎 𝑜 ⁄√𝑛

⁄√𝑛

4.

Dibujar la distribución de la media verdadera (correspondiente a Ha verdadera o H0 falsa), de acuerdo a lo indicado en el problema.

5.

Determinar los valores críticos 𝑍𝛽 correspondientes a los valores de calculados en el paso 3 utilizando la igualdad 𝑥 ̅−𝜇 𝑍𝛽 = 𝜎 𝑎 ⁄ 𝑛 √

6. Usar la tabla de la distribución normal para calcular el valor de β.

,

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EJERCICIOS RESUELTOS Pruebas de hipótesis para medias con sigma conocido y muestras grandes 1. La tensión de salida de un determinado circuito deber ser por lo menos 130, una muestra de 40 mediciones independientes de la tensión en este circuito dio un promedio de 128.6. Se tiene una desviación estándar de 2.1 Utilice un nivel de significancia del 5%. Datos: 𝜇𝑜 = 130 𝑥̅ = 128.6 𝜎 = 2.1 𝑛 = 40 𝛼 = 0.05 1. Ho 𝜇 ≥ 130 2. Ha 𝜇 < 130 3. 𝛼 = 0.05 4. −𝑍𝛼 = −1.645

5. Estadístico de prueba 𝑥̅ − 𝜇 128.6 − 130 𝑍=𝜎 = = −4.216 2.1⁄ ⁄ 𝑛 √ √40 6. Si 𝑍 < −𝑍𝛼 se rechaza Ho. −4.216 < −1.645 Se rechaza Ho R//Le tensión media en el circuito es menor de 130. 2. En el ejercicio anterior si la tensión desciende hasta 129 se pueden tener consecuencias graves. Para probar que 𝐻𝑜 𝜇 ≥ 130 contra 𝐻𝑎 𝜇 = 129 . Determinar la probabilidad de un error tipo II para la región de rechazo que se utilizó en el ejercicio anterior. Datos: 𝜇𝑎 = 129 𝜎 = 2.1 𝑛 = 40

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1. Dado que en Ho comparábamos que la media fuera menor que 130 se definirá la cola izquierda como zona de rechazo. 2. Dado que tenemos una prueba unilateral utilizaremos el valor del nivel de significancia completo, 𝛼 = 0.05 y −𝑍𝛼 = −1.645 3. Determinar los valores o valor de 𝑥̅ correspondientes a despejando 𝑥̅ de la siguiente expresión. 𝑥 ̅−130

−𝑍𝛼 = −1.645

−1.645 = 2.1

⁄ 40 √

𝑥̅ =129.45 4.

Dibujar la distribución de la media verdadera (correspondiente a Ha verdadera o H0 falsa), de acuerdo a lo indicado en el problema.

5.

Determinar los valores críticos 𝑍𝛽 correspondientes a los valores de calculados en el paso 3 utilizando la igualdad 𝑍𝛽 =

,

129.45 − 129 = 1.36 2.1⁄ √40

6. Usar la tabla de la distribución normal para calcular el valor de β. Dado que el error tipo II está en la cola derecha tendremos que realizar la siguiente corrección para encontrar la probabilidad de un error tipo II. 𝛽 = 1 − 𝑃(𝑍𝛽 ) 𝛽 = 1 − 𝑃(1.36) 𝛽 = 1 − 0.91309 𝜷 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟔𝟗𝟏 R// La probabilidad de cometer un error tipo II es del 8.691%

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3. Determinar para el problema anterior el tamaño de muestra que produzca un alfa del 5% y un beta del 1%. Datos: 𝛿=1 𝜎 = 2.1 𝛼 = 0.05 𝛽 = 0.01 𝑍𝛼 = 1.645 𝑛=

𝑍𝛽 = 2.325

(𝑍𝛼 + 𝑍𝛽 )2 ∗ 𝜎 2 (1.645 + 2.325)2 ∗ 2.12 = = 69.51 ≅ 70 𝛿2 12

R// Es necesario tomar una muestra con 70 observaciones. 4. En otoño de 2007, el restaurante Hardee’s fue adquirido por una compañía en California que planea eliminar la línea de pollo frito. La afirmación era que los ingresos recientes habían descendido por debajo de la media de $ 4, 500 que habían presentado en el pasado. ¿Parece sabia la decisión si 144 observaciones revelan una media de $4, 477 y una desviación estándar de $ 1, 228? La gerencia está dispuesta a aceptar una probabilidad de error tipo I del 2% Datos: 𝜇𝑜 = 4500 𝑥̅ = 4477 𝑠 = 1228 𝑛 = 164 𝛼 = 0.02 A pesar que de que no conocemos el valor de la desviación estándar poblacional podemos utilizar la distribución normal al tener una muestra de tamaño mayor a 30 observaciones. 1. Ho 𝜇 ≥ 4500 2. Ha 𝜇 < 4500 3. 𝛼 = 0.02 4. −𝑍𝛼 = −2.055

5. Estadístico de prueba 𝑥̅ − 𝜇 4477 − 4500 𝑍=𝜎 = = −0.2398 1228⁄ ⁄ 𝑛 √ √164

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6. Si 𝑍 < −𝑍𝛼 se rechaza Ho. −0.2398 < −2.055 Se acepta Ho. R// No es necesario eliminar la línea de pollo frito dado que en realidad las ventas se han mantenido y han aumentado sobre el valor de $4,500 que se tenía con anterioridad. 5. Se entrevistó a un grupo de 150 personas en de Villa Nueva sobre el número promedio de veces que llevó a su mascota con el médico veterinario a consulta durante el año 2016, el número promedio obtenido fue de 5.8 veces con una desviación estándar de 3.1 veces. A un nivel de significancia del 10% establezca si estos datos proporcionan suficiente evidencia para indicar que en promedio la gente de ese municipio lleva a sus mascotas 5 veces al año a consulta con el médico veterinario. Calcule e interprete el valor de p. Datos: 𝜇𝑜 = 5 𝑥̅ = 5.8 𝜎 = 3.1 𝑛 = 150 𝛼 = 0.10 1. 2. 3. 4.

Ho 𝜇 = 5 Ha 𝜇 ≠ 5 𝛼 = 0.10 𝛼/2 = 0.05 𝑍𝛼⁄2 = 1.645

5. Estadístico de prueba 𝑥̅ − 𝜇 5.8 − 5 𝑍=𝑠 = = 3.16 ⁄ 𝑛 3.1⁄ √ √150 6. Si 𝑍 > 𝑍𝛼 se rechaza Ho. 3.18 < 1.645 Se rechaza Ho. Para el cálculo del valor de P, dado que repartimos nuestro alfa en dos colas, tendremos que multiplicar por 2 el valor de la probabilidad de Z para realizar la comparación. Dado que nuestro valor de Z está del lado derecho se hace la corrección de 1- P(Z) 𝑃 = 2 ∗ (1 − 𝑃(𝑍))

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𝑃 = 2 ∗ (1 − 𝑃 (3.18)) 𝑃 = 2 ∗ (1 − 0.99926) 𝑷 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟖 Otra manera de poder determinar si la hipótesis nula se acepta o se rechaza es por medio de comparar el valor de P con el nivel de significancia. Si la probabilidad del valor calculado es mayor que el nivel de significancia, se acepta la hipótesis nula. Sí 𝑃 < 𝛼 Se rechaza Ho. 0.00148 < 0.02 Se acepta Ho. R// La suposición sobre el número de veces que las personas de un Villa Nueva llevan a sus mascotas a consulta con el médico veterinario no es 5 como se supuso, la media real aparenta estar por encima de la media supuesta. 6. A comienzos de los años 90 Sony Corporation introdujo su PlayStation de 32 bits en el mercado de los juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo producto incrementara las ventas mensuales en Estados Unidos por encima de los $283, 000, 000 que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra de 40 meses reportó una media de $297, 000, 000. Se asumen una desviación estándar de $97, 000, 000. Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor de p. Datos: 𝜇𝑜 = 283,000,000 𝑥̅ = 297,000,000 𝜎 = 97,000,000 𝑛 = 40 𝛼 = 0.01 1. 2. 3. 4.

Ho 𝜇 ≤ 283,000,000 Ha 𝜇 > 283,000,000 𝛼 = 0.01 𝑍𝛼 = 2.325

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5. Estadístico de prueba 𝑥̅ − 𝜇 297000000 − 283000000 𝑍=𝜎 = = 0.9128 97000000⁄ ⁄ 𝑛 √ √40 6. Si 𝑍 > 𝑍𝛼 se rechaza Ho. 0.9128 < 2.325 Se acepta Ho. Para calcular el valor de P nos enfocaremos en el valor de nuestro estadístico de prueba. Necesitamos encontrar la probabilidad de ocurrencia para el Z calculado. Dado que en este caso tenemos que la cola derecha de la curva normal debemos realizar la resta de la probabilidad a 1 pues nuestras tablas nos proporcionan el valor de probabilidad desde la cola izquierda de la curva. 𝑃 = 1 − 𝑃(𝑍) 𝑃 = 1 − 𝑃(0.9128) 𝑃 = 1 − 0.81859 𝑷 = 𝟎. 𝟏𝟖𝟏𝟒𝟏 Otra manera de poder determinar si la hipótesis nula se acepta o se rechaza es por medio de comparar el valor de P con el nivel de significancia. Si la probabilidad del valor calculado es mayor que el nivel de significancia, se acepta la hipótesis nula. Sí 𝑃 < 𝛼 Se rechaza Ho. 0.1814 > 0.01 Se acepta Ho. R// El producto no tuvo los resultados esperados al obtenerse ventas promedio por debajo de las de años anteriores.

Pruebas de hipótesis para medias con sigma desconocido y muestras pequeñas 7. Un contratista eléctrico ha concluido que los hogares promedio utilizan 500 yardas de cableado eléctrico. Usted encuentra que una muestra de 15 casas utilizó 545.3 yardas con una desviación estándar de 166.4 yardas. ¿A un valor del 5%, está usted de acuerdo con el contratista. Datos: 𝜇𝑜 = 500𝑦𝑑 𝑥̅ = 545.3𝑦𝑑 𝑠 = 166.4𝑦𝑑 𝑛 = 15 𝛼 = 0.05 1. Ho 𝜇 = 500 2. Ha 𝜇 ≠ 500

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3. 𝛼 = 0.05 𝛼⁄2 = 0.025 4. g.l. = n-1= 14 𝑡𝛼⁄2 = 2.1448

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5. Estadístico de prueba 𝑥̅ − 𝜇 545.3 − 500 𝑡=𝜎 = = 1.054 166.4⁄ ⁄ 𝑛 √ √15 6. Si 𝑡 > 𝑡𝛼⁄2 𝑜 𝑡 < −𝑡𝛼⁄2 se rechaza Ho. 1.054 < 2.1448 Se acepta Ho. R// La suposición del contratista es correcta, se encontró que las casas utilizan en promedio 500 yds de cableado.

Pruebas de hipótesis para la proporción de una población

8. Midwest Products planea comercializar un nuevo producto sólo si por lo menos al 40% del público le gusta. El departamento de investigación selecciona 500 personas y encuentra que 225 lo prefieren al de la competencia más cercana. ¿A un nivel de significancia del 2%, Midwest debería comercializar el producto? Datos: 𝑥 = 225

1. Ho 𝜋 ≥ 0.4 2. Ha 𝜋 < 0.4

𝑛 = 500 𝜋 = 0.4 𝑥 225 𝑝̂ = = = 0.45 𝑛 500

𝛼 = 0.02

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3. 𝛼 = 0.02 4. −𝑍𝛼 = −2.055

5. Estadístico de prueba 𝑍=

𝑝̂ − 𝜋𝑜 √𝜋𝑜 (1 − 𝜋𝑜 ) 𝑛

=

0.45 − 0.40 √0.4(0.6) 500

= 2.28

6. Si 𝑍 < −𝑍𝛼 se rechaza Ho. 2.28 > −2.055 Se acepta Ho. R// Midwest Products si debería comercializar el nuevo producto. 9. The Wall Street Journal informó que la insatisfacción laboral estaba alcanzando proporciones de epidemia. Un estimado del 70% de los trabajadores de Estados Unidos cambiaría su trabajo si pudieran. Si esto es cierto en los trabajadores de su empresa, usted planea instituir un programa para mejorar la moral de los empleados. Usted descubre que 1, 020 trabajadores de una muestra de 1, 500 expresaron insatisfacción con su trabajo. ¿A un nivel de significancia del 5%, debería usted implementar el programa? Datos: 𝑥 = 1020 𝑛 = 1500 𝜋 = 0.4 𝛼 = 0.02 𝑥 1020 𝑝̂ = = = 0.68 𝑛 1500 1. 2. 3. 4.

Ho 𝜋 = 0.7 Ha 𝜋 ≠ 0.7 𝛼 = 0.05 𝛼/2 = 0.025 𝑍𝛼⁄2 = 1.96

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5. Estadístico de prueba 𝑍=

𝑝̂ − 𝜋𝑜 √𝜋𝑜 (1 − 𝜋𝑜 ) 𝑛

=

0.68 − 70 √0.7(0.3) 1500

= −1.69

6. Si 𝑍 < −𝑍𝛼 se rechaza Ho. −1.69 > −1.96 Se acepta Ho. R// Es necesario instituir un programa para mejorar la moral de los empleados.

Pruebas de hipótesis para la varianza de una población 10. Un fabricante de detergente líquido está interesado en la uniformidad del llenado de las botellas que realiza un máquina, es deseable que la varianza sea de 0.01 onzas2. Al tomar una muestra de 20 botellas se obtiene una varianza de 0.0153. El fabricante desea saber si la variación es mayor que el 0.01 esperado. Con un nivel de significancia del 1%, que se puede decir de la varianza del llenado. Datos: 𝜎 2 = 0.01 𝑛 = 20 𝑠 2 = 0.0153 𝛼 = 0.01 g.l.=19 1. Ho 𝜎 2 ≤ 0.01 2. Ha 𝜎 2 > 0.01 3. 𝛼 = 0.01 4. χ2 = 36.191 𝛼

0.01

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5. Estadístico de prueba

(n − 1)s 2 (20 − 1)0.0153 χ = = = 29.07 σ2 0.01 2

6. Si χ2 > χ2 𝛼 se rechaza Ho

29.07 < 36.191 Se acepta Ho. R// La variación no es mayor a la esperada. El proceso de llenado de botellas es adecuado. 11. Un negocio debe pagar horas extra dada la demanda incierta de su producto, por lo cual en promedio se pagan 50 horas extra a la semana; el gerente de recursos humanos considera que siempre se ha tenido una varianza de 25 en las horas extras demandadas. Si se toma una muestra de 16 semanas se obtiene una varianza muestral de 28.1. Determine con alfa = 0.10 si la varianza poblacional de las horas extras demandadas a la semana puede considerarse igual a 25. Datos: 𝜎 2 = 25

𝑛 = 16

𝑠 2 = 28.1

𝛼 = 0.10

g.l.=15

1. Ho 𝜎 2 = 25 2. Ha 𝜎 2 ≠ 25 3. 𝛼 = 0.1 𝛼/2 = 0.05 1 − 𝛼/2 = 0.95 4. χ2 𝛼⁄ = 24.996 χ21−𝛼⁄ = 7.261 2

2

0.01

5. Estadístico de prueba

(n − 1)s 2 (16 − 1)28.1 χ = = = 16.86 σ2 25 2 2 2 2 Si χ > χ 𝛼 o χ < χ 1−𝛼⁄ se rechaza Ho ⁄2 2 2

6.

16.86 < 24.996 Se acepta Ho. R// La varianza de las horas extras si puede considerarse igual a 25.

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12. La desviación estándar de las temperaturas anuales de una ciudad en un período de 100 años fue de 16° F. Se tomó la temperatura media cada año durante los últimos 15 años y se encontró una desviación estándar de 10° F. Con un nivel de significancia de 5% podríamos decir que las temperaturas de dicha ciudad presentan menos variación que en el pasado. Datos: 𝜎 = 16

𝑛 = 15

𝑠 = 10

𝛼 = 0.05

g.l.=4

1. Ho 𝜎 2 ≥ 16 2. Ha 𝜎 2 < 16 3. 𝛼 = 0.05 4. χ2 = 6.571 1−𝛼

5. Estadístico de prueba

χ2 Si χ

2