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1. Con el fin de estudiar el número medio de flexiones continuadas que pueden realizar los alumnos, un profesor de educación física somete a 75 de ellos, elegidos aleatoriamente, a una prueba. El número de flexiones realizado por cada alumno, así como su sexo y si realizan o no deporte se muestran en el fichero. Se sabe que el número de flexiones se distribuye según una Normal de varianza poblacional 7.5. ¿Determinar el intervalo de confianza a un nivel de confianza del 95% para el número medio de flexiones? Solución: El contraste de hipótesis asociado a este ejercicio es

En primer lugar, debemos importar en R los datos que contienen el número de flexiones realizadas por cada alumno. Para ello, utilizamos la orden read.table. > setwd(“D:/”) # cambiar al directorio de trabajo donde están los datos > datos alpha alpha media mu_0 varianza  n ZZ [1] -15.47408 Y también el valor crítico, que en este caso coincide con z 1-α/2, el cuantil 1-α/2 de una distribución normal de media 0 y varianza 1.  > cuantil cuantil

[1] 1.959964 Como el valor absoluto del estadístico de contraste (15.47408) es mayor que el valor crítico (1.959964), en este caso se rechaza la hipótesis nula en favor de la hipótesis alternativa. Es decir, no puede asumirse que el número medio de flexiones que realizan los alumnos es de 55.

2. Se desea estimar con un nivel de confianza del 95 % la talla media de los hombres de 18 o más años de un determinado lugar. La desviación típica se desconoce, obtenga el intervalo de confianza con una muestra de n=15 hombres seleccionados al azar, cuyas alturas son: 167

167 168 168 168 169 171 172 173 175 175 175 177 182 195.

Primero es fundamental determinar la media de la muestra, X, y los valores de los cuantiles, z α/2, en la distribución normal. Dado que se trabaja al 95% en el modelo o forma normal, el cuantil de orden es 0.975 lo notamos con Z:0,025 = 1,96 y el de orden 0.025 se nota con Z: 0,975 = -1,96, o bien podemos cambiar el signo al cuantil de orden 0.975, que es lo que hacemos cuando la distribución es simétrica (caso normal y caso t de Student), −z0,025 = −1,96. La media se obtiene mediante:

La distribución de los datos en la muestra y la correspondiente columna de cálculo para la media se muestran en la tabla para cálculo de la media. Tallas 167 168 169 171 172 173 175 177 182 195

freq Tallas X freq 2 331 3 504 1 169 1 171 1 172 1 173 3 525 1 177 1 182 1 195 15 2602 Sustituyendo los datos en la expresión del intervalo tenemos: (173,47 − 1,96 × 1,03, 173,47 + 1,96 × 1,03) (171.45, 175.49)

Tenemos una confianza del 95 % de que la talla media, µ, en el país esté comprendida entre 171.45 y 175.49. 3. Usando los datos de apartados anteriores, construiremos un intervalo de confianza para la varianza de las tallas masculinas de adultos donde se ha extraído la muestra, a un nivel de confianza del 90%. La cuasivarianza en la muestra se obtuvo en apartados anteriores s 2 = 54,12. Por tanto, solo es necesario determinar los cuantiles en el modelo χ 214. Los valores de los cuantiles son χ2 0,05 = 6,58 y χ2 0,95 = 23,8. Por tanto, sustituyendo en la expresión del intervalo: (14 × 54.12, 14 × 54.12) 23.8 6.58 (31.86, 115.25) Tenemos una confianza del 90 % de que la varianza en la población esté comprendida entre 31.86 y 115.25.

4. Ejemplo: se realiza un estudio para comparar dos tratamientos que se aplicarán a frijoles crudos con el objetivo de reducir el tiempo de cocción. El tratamiento T1 es a base de bicarbonato de sodio, el T2 es a base de cloruro de sodio o sal común. La variable respuesta es el tiempo de cocción en minutos. Los datos son: T1: 76, 85, 74, 78, 82, 75, 82. T2: 57, 61, 67, 55, 64, 63, 63. Construir un IC del 90% para μ1−μ 2 Asuma que las muestras provienen de poblaciones normales con varianzas desconocidas pero iguales. Tratamiento T1 76 T2 57

85 67

74 55

78 64

82 61

75 63

82 63

a)     Formulamos la hipótesis para probar la igualdad de medias de los tratamientos Ho=μ1=μ2 HA= μ1≠μ2 X1=78.86 s1=4.18 X2=61.43 s2=4.16 X=70.143 S=9.89 t0 =n(X-μ)/s=7(78.86-70.143)/4.182=1.32 2.447≠1.32 b)    Anotamos la formula del estadístico de prueba para probar la hipótesis t0=n(X-μ)/s c)     Probamos la hipótesis a un nivel de significancia de 5%. Para rechazar o no la hipótesis, apoyándose tanto en el criterio del valor-p como en el valor critico de tablas: Se rechaza el experimento sin embargo es bueno porque casi entra en el área de aceptación d)    Se prueba la hipótesis de igualdad de varianzas entre tratamientos Ho= s1=s2 HA=s1≠s2 X2=(n-1)s2 /σ2=1.072 14.44≠1.072 e)    De acuerdo con el análisis hecho aquí ¿hay algún tratamiento mejor? Si existen mejores tratamientos, pero solo con más datos

5. se desea determinar si un cambio en el proceso de fabricación de cierto tipo de piezas ha sido efectivo o no. Para esto se toman dos m.a., una antes y otra después del cambio. Los resultados se presentan en la tabla. Construir un intervalo de confianza del 90% para decidir si el cambio tuvo efecto positivo o no

Solución: Sean P1 y P2 las proporciones reales de defectuosos para los procesos actual y nuevo, respectivamente. De aquí, p1=75/1500 = 0.05 y p2 = 80/2000 = 0.04. con el uso de la tabla encontramos que z para un nivel de confianza del 90% es de 1.645.

Como el intervalo contiene el valor de cero, no hay razón para creer que el nuevo procedimiento producirá una disminución significativa en la proporción de artículos defectuosos comparado con el método existente.