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• Alejandro Rendic

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Departamento de Economía – Estadística II

Profesor: Mauricio Oyarzo A. Ayudante: Karina Churruca M.

Guía de ejercicios N°9 Test de Hipótesis y tamaño muestral Desarrollar los ejercicios propuestos, interpretar los resultados obtenidos según el contexto del problema y utilizar 3 decimales para los cálculos.

1. El número de accidentes mortales en una ciudad es, en promedio de 12 mensuales. Tras una campaña de señalización y reparación de las vías urbanas, se contabilizaron en una muestra de 6 meses sucesivos, 8-11-9-7-10-9 accidentes mortales. De acuerdo a ello, ¿fue efectiva la campaña? Considere un margen de error del 10% 𝑺 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒕 = −𝟓, 𝟏𝟗𝟕 𝑺𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂 2. El peso medio de las mujeres en un centro de madres es de 53 kilogramos. Un estudio realizado en 16 mujeres de dicho centro, las cuales realizan dieta vegetariana, entrega como resultado un peso medio de 50 kilogramos y una desviación típica de 5 kilogramos. Con una confianza del 95% ¿la dieta modifica el peso medio de las mujeres? 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒕 = −𝟐, 𝟒 𝑺𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂 3. Una población infantil compuesta por 12.637 menores se dice que es susceptible de recibir una campaña de educación e higiene si su porcentaje de niños con dientes cariados es superior al 15%, ¿debe hacerse la campaña si de 387 niños, 70 tenían al menos un diente cariado? Use 𝛼 = 0,1 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒁 = 𝟏, 𝟔𝟓 𝑺𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂 𝑷𝑽 = 𝟒, 𝟗𝟓% 4. Se conoce que un 6% de los individuos tratados crónicamente con una droga fuerte (junto a otros medicamentos) sufren una reacción adversa por causa de ella. A 40 pacientes se les administró el fármaco durante largo tiempo en mayor cantidad que los otros medicamentos y 6 de ellos presentaron los efectos adversos, ¿puede afirmarse que la asociación entre la droga y los otros remedios hace variar el número de reacciones adversas a un 94% de confianza? ¿cuál es el verdadero error contenido en los datos? 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒁 = 𝟐, 𝟑𝟗𝟕 → 𝟐, 𝟒 𝑺𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂 𝑷𝑽 = 𝟏, 𝟔𝟒% 5. Se sabe que el 70% de los pacientes internados en un hospital traumatológico requieren algún tipo de intervención quirúrgica. Para determinar si un nuevo método de fisioterapia reduce el porcentaje de intervenciones, se aplica éste a 30 pacientes de los cuales 17 requieren alguna intervención quirúrgica. Comprobar que no hay razones suficientes para afirmar la eficacia del método con un nivel de confianza del 95%.

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Profesor: Mauricio Oyarzo A. Ayudante: Karina Churruca M.

𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒁 = −𝟏, 𝟓𝟗 𝑵𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂 La variabilidad de un proceso en condiciones correctas es de 3 unidades. Los fallos del proceso se manifiestan por un aumento de la variabilidad. Se dispone de una muestra de tamaño 15 con los valores siguientes :27, 17, 18, 30, 17, 22, 16, 23, 26, 20, 22, 16, 23, 21, 17. Se pide: a. Contrastar la hipótesis de funcionamiento correcto con el 5% de significancia. 𝑆 2 = 𝟏𝟖, 𝟓𝟕𝟏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝑿𝟐 = 𝟖𝟔, 𝟔𝟔𝟓 𝑺𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂 b. Encontrar P-V de este contraste. Buscar con 14 grados de libertad el valor 86,665; encontrarán que el valor de alfa correspondiente a él es menor a 0,005 por lo que prácticamente a cualquier nivel de significancia se rechazará la hipótesis nula (el PV tiende a cero). Una cadena de producción, ensambla piezas con longitudes que se distribuyen normalmente con media de 190mm y desviación de 10mm. Se toma una muestra de 5 piezas, obteniendo las siguientes longitudes en mm: 187 212 195 208 192 a. Con un 98% de confianza, ¿se puede decir que la longitud media de las piezas ha variado? 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒁 = 𝟏, 𝟗𝟔𝟖 → 𝟏, 𝟗𝟕 𝑵𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂 b. Contrastar que la varianza de la población de la cual provienen es efectivamente 100, frente a la alternativa bilateral, con significación del 2%. 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝑿𝟐 = 𝟒, 𝟓𝟖𝟖 𝑺𝟐 = 𝟏𝟏𝟒, 𝟕 𝑵𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂 Debido a la inasistencia de un inspector gubernamental, se instaló un nuevo sistema de seguridad en una cadena de ensamblaje, después de la instalación de este sistema, una muestra aleatoria de la producción de ocho días presentó los siguientes resultados: 618 660 638 625 571 598 639 582 La dirección tiene interés en conocer la variabilidad del número de piezas producidas diariamente y considera negativa una varianza superior a 500. Contrastar, tolerando un error del 10%, la hipótesis nula de que la varianza poblacional no es superior a 500. 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝑿𝟐 = 𝟏𝟑, 𝟎𝟕𝟔 𝑺𝟐 = 𝟗𝟑𝟑, 𝟗𝟖𝟐 𝑺𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒏𝒖𝒍𝒂 Si en la secretaría de cierta universidad, se comprobado que la nota media de admisión a un postgrado tiene una desviación de 0,45. Encuentre el número de observaciones que son necesarias en la muestra para construir un intervalo del 95% de confianza para la nota media y se requiere de una amplitud de 0,05 puntos a cada lado del promedio.

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Profesor: Mauricio Oyarzo A. Ayudante: Karina Churruca M.

1,962 ∗ 0,452 𝑛= = 311,17 → 312 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 0,052 10. El peso de los ladrillos producidos en una fábrica tiene una desviación estándar de 0,12 kilogramos. De acuerdo a ello determine el tamaño muestral necesario para que la longitud de un intervalo del 90% de confianza para el peso medio sea de 0,01 kilogramos. 1,6452 ∗ 0,122 𝑛= = 389,668 → 390 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 0,012 11. Un gabinete de investigación quiere estimar la proporción de consumidores que, siempre que as demás condiciones fuesen las mismas, adquirirían antes un producto de fabricación nacional que uno extranjero. Su intención es construir un intervalo de confianza del 99% para la proporción poblacional con una amplitud máxima de 0,04 a cada lado de la media muestral, para ello ¿cuántas observaciones se necesitan? 0,52 ∗ 2,5752 𝑛= = 1036,035 → 1037 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 0,042