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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA Facultad de Ciencias Escuela de Física FS – 0411 Laboratorio de Física General III Grupo 06

Respuesta a la frecuencia -primera y segunda parte-

Elaborado por: Douglas Pacheco Vargas (A74754) Ronny Obando Solano (A74643)

Profesor Jefferson Villaplana Sánchez

San José, 4 de noviembre de 2008

Respuesta a la frecuencia – primera parte Objetivos En esta práctica se desea estudiar la influencia de la frecuencia suministrada por una fuente de voltaje senosoidal de amplitud constante sobre los circuitos RC serie y RL serie. Específicamente: 1. Estudiar el comportamiento del voltaje a través del resistor con la variación en la frecuencia de la señal de entrada. 2. Estudiar el comportamiento del ángulo de desfase entre el voltaje de la fuente y la corriente del circuito con la variación en la frecuencia de la señal de entrada. 3. Obtener experimentalmente la frecuencia media potencial.

Equipo 1. Generador de señales 2. Digitalizador de señales. 3. Detector de voltaje. 4. Caja de sustitución de resistencias. 5. Caja de sustitución de capacitancias 6. Bobina.

Trabajo previo 1. Haga las gráficas cualitativas de las funciones Φ(ω) dadas en (12) y (13) del manual de laboratorio. Incluya los casos límite ω→0 y ω→∞

2. Repita lo anterior para VR(ω) expresadas en (14) y (15)

3. ¿Qué significa “frecuencia de media potencia (f1/2)? ¿Cuáles son las expresiones de f1/2 para los circuitos RC y RL? f1/2 es la frecuencia requerida para que la potencia sea la mitad de su máximo RC:

RL:

f1 / 2 =

1 2πRC

f1 / 2 =

R 2πL

Marco Teórico a. Circuito RLC Un circuito RLC es aquel conformado por un resistor, un capacitor y un inductor, para efectos de este laboratorio nos interesa cuando este es alimentado por una fuente de voltaje senosoidal de voltaje pico E o y frecuencia f. Este circuito se puede analizar por medio de la ley de voltajes de Kirchhoff, obteniendo la ecuación: L

di q + Ri + = e( t ) dt C

(1)

Aquí i(t) es la corriente instantánea que pasa por el circuito, q(t) la carga almacenada en el capacitor y e(t) la tensión instantánea de la fuente que tiene la forma: e( t ) = E o sen( ωt )

(2)

Donde ω = 2πf es la frecuencia angula. Estos circuitos serán analizados por medio de diagramas fasores, los cuales son vectores representados por flechas abiertas que giran alrededor del origen con una velocidad angular constante. Las propiedades de los fasores son: •

Su longitud es proporcional al valor máximo de la magnitud alternante en cuestión

•

La proyección desde un fasor en el eje vertical nos da el valor instantáneo de la magnitud alternante en cuestión

b. Diagrama fasorial de un circuito con resistor R Para este primer caso la ecuación (1) se disminuye a: R ⋅ i ( t ) = e( t ) = E o sen( ωt ) De la cual se puede obtener que

(3)

(4) ( ωt ) i ( t ) = I 0sen De esta expresión se infiere que el fasor de la corriente y el de la fuente son colineales pues no presentan ángulo de desfase entre ellos.

Fasores asociados con el circuito del resistor

c. Diagrama fasorial del circuito con capacitor Al igual que en el caso anterior par el análisis de este circuito se despeja la ecuación (1) que para este caso resulta: q( t ) = E 0sen( ωt ) C

(5)

La cual al derivar, y utilizar 1/ωC = XC (reactancia capacitiva) obtenemos: i( t ) =

E0 π  sen ωt +  XC 0 

(6)

Esta expresión nos permite concluir que el fasor de la fuente y el de la corriente se encuentran desfasados 90º, lo cual se puede expresar como que la corriente del circuito está adelantada con respecto al voltaje de la fuente. Fasores asociados con el circuito del capacitor

El concepto señalado anteriormente de reactancia capacitiva representa la capacidad del capacitor de oponerse al paso de la corriente, lo cual es un papel semejante al que realiza un resistor de ahí que su unidad es el ohm. Además es importante destacar que esta se comporta de forma inversamente proporcional a la frecuencia, lo que implica que a altas frecuencias el capacitor es un buen conductor de corriente. d. Diagrama fasorial de un circuito con un inductor En este último caso se obtiene de la ecuación (1) L

di ( t ) = E o sen( ωt ) dt

Integrando y utilizando ωL=XL (reactancia inductiva) obtenemos: E π  i ( t ) = o sen ωt −  XL 2 

(7)

(8)

Donde se puede observar que la fuente se encuentra desfasada de la corriente -90º, lo cual se puede traducir como que la corriente en el circuito está atrasada con respecto al voltaje de la fuente. El término reactancia inductiva representa la propiedad del inductor de oponerse al paso de la corriente y al igual que la reactancia capacitiva posee unidad de ohm.

Además

es

directamente

proporcional a la frecuencia, de lo que concluimos

que

a

mayor

frecuencia

mayor reactancia. Fasores asociados con el circuito del inductor

e. Circuitos RC y RL Ahora se analizará tanto el circuito RL como el RC por el método de fasores, para lo cual se suman las contribuciones de las caídas de voltaje fasorialmente. En estos casos se incluye la contribución del resistor por lo que E o ya no es

colineal con VR, sino que esta separado por un ángulo Φ, denominado ángulo de desfase de la fuente con respecto a la corriente. El valor de Φ es negativo para el circuito RC y positivo para el RL. Por medio de triángulos rectángulos se puede hallar expresiones para Φ definidos por VR y Eo para ambos circuitos: a. RC:

tan φ = −

 1  Vc X I 1  =− C o =− ⇒ φ ( ω ) = − tan −1  V Rtot Rtot I o ωRtot C ω R C  tot 

(9)

b. RL: tan φ =

 ωL X I VL ωL = L o = ⇒ φ ( ω ) = tan −1  V Rtot Rtot I o Rtot  Rtot

  

(10)

Fasores asociados con los circuitos en estudio: izquierda RC; derecha RL.

Ahora la caída de potencial en el resistor se obtiene aplicando la siguiente fórmula: a. RC:

VR ( ω ) =

RE 0  1  R +   ωC 

2

2 tot

b. RL:

VR ( ω ) =

RE 0 2 Rtot + ( ωL )

2

(11)

(12)

Procedimiento Circuito RC: a. Arme el circuito de la figura 7 del manual de prácticas. Seleccione: R = 12 kΩ, C = 0.033 μF, Eo = 6 V y fgenerador = 50 Hz. b. Conecte el sensor de voltaje del canal A, del digitalizador de señales, entre los terminales de la resistencia y los terminales del sensor del voltaje del canal B entre los terminales de la fuente. c. Busque la práctica correspondiente en el DATAESTUDIO. d. Proceda a variar la frecuencia del generador de modo que VR vaya tomando los valores: = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0,… V hasta tratar de alcanzar los 6 V( no sobrepase el valor de 10 kHz en frecuencia). e. Asegúrese que el voltaje pico de la señal de entrada se mantenga constante. Lleve el registro del periodo experimental de la señal de entrada (T) y calcule su frecuencia experimental f = 1/T. Tome simultáneamente las medidas necesarias para medir el ángulo de desfase. f. Elabore las gráficas VR vs. f y Φ vs. f por separado. Use un eje logarítmico para la frecuencia. Señale en sus gráficas el punto correspondiente a la frecuencia de media potencia. Circuito RL a. Arme el circuito de la figura 8 del manual de laboratorio. Seleccione: R = 2 kΩ, E0 = 6 V y fgenerador = 50 Hz. Recuerde que L = 840 mH.

b. Conecte el sensor de voltaje del canal A entre los terminales de la resistencia y los terminales del sensor del voltaje del canal B entre los terminales de la fuente. c. Busque la práctica correspondiente en el DATAESTUDIO. d. Proceda a variar la frecuencia del generador de modo que VR vaya tomando los valores: = 5.5, 5.0, 4.5, 4.0,… V hasta tratar de alcanzar los 0 V( no sobrepase el valor de 10 kHz en frecuencia). e. Asegúrese que el voltaje pico de la señal de entrada se mantenga constante. Realice las mismas medidas que para el circuito anterior. f. Elabore las gráficas VR vs. f y Φ vs. f por separado. Use un eje logarítmico para la frecuencia. Señale en sus gráficas el punto correspondiente a la frecuencia de media potencia.

Resultados

Tabla 1.1.: Datos generales aplicados al circuito RC.

E (V)

C(μF)

R

RTot

F1/2

5,92±0,01

0,033

12000

12178,200

396,025

Tabla 1.2.: Datos obtenidos del circuito RC. T(s)

f(Hz)

VR,exp(V)

VR,teo(V)

0,0130 0,0100 0,0069 0,0054 0,0043 0,0034 0,0027 0,0016 0,0004

76,92 100,00 144,93 185,19 232,56 294,12 370,37 625,00 2325,58

1,13 1,49 2,04 2,50 3,00 3,50 4,00 4,99 6,01

1,13 1,45 2,03 2,50 2,99 3,53 4,04 4,99 5,83

%Error V 0,24 2,94 0,40 0,17 0,21 0,71 0,95 0,08 3,12

A(V)

B(V)

ΦExp(rad)

Φteo(rad)

16,50 16,50 15,90 15,60 15,00 14,00 13,50 12,00 8,20

17,00 17,00 16,40 16,80 16,80 17,00 17,00 16,90 16,80

-1,33 -1,33 -1,32 -1,19 -1,10 -0,97 -0,92 -0,79 -0,51

-1,39 -1,38 -1,32 -1,22 -1,13 -1,04 -0,93 -0,82 -0,56

Gráfico 1.: Ángulo de desfase en función de la frecuencia para el circuito RC.

%Error Φ 4,32 3,72 0,02 2,41 2,62 6,94 1,55 3,58 9,72

Gráfico 2.: Voltaje en función de la frecuencia para el circuito RC.

Tabla 2.1.: Datos generales aplicados al circuito RL. E (V) 6,0±0,1

L(mH) 840

R 2000

RTot 2249,6

F1/2 426,2321

Tabla 2.2.: Datos obtenidos del circuito RL.

T(s)

f(Hz)

VR,exp(V)

VR,teo(V)

0,0046 0,0026 0,0017 0,0011 0,0009 0,0004 0,0002 0,0001

217,39 384,62 588,24 909,09 1176,47 2380,95 4347,83 8695,65

5,51 4,50 3,50 2,50 2,01 1,00 0,50 0,00

5,36 4,47 3,53 2,56 2,05 1,06 0,59 0,29

%Error V 2,74 0,68 0,91 2,17 1,97 5,73 14,87 14,13

A(V)

B(V)

ΦExp(rad)

Φteo(rad)

8,10 12,00 14,00 15,60 16,10 16,70 16,40 15,50

16,80 16,80 16,80 16,80 17,00 17,10 16,60 15,60

0,50 0,80 0,99 1,19 1,24 1,35 1,42 1,46

0,52 0,79 1,00 1,18 1,26 1,41 1,48 1,53

Gráfico 3.: Ángulo de desfase en función de la frecuencia para el circuito RL.

%Error Φ 3,41 0,35 1,34 1,25 1,21 4,17 4,61 4,57

Gráfico 4.: Voltaje en función de la frecuencia para el circuito RL.

Análisis de resultados

Como se observa en las tablas 1 y 2, donde se encuentran anotados los datos obtenidos de un circuito RC y un circuito RL respectivamente y de donde se construyeron

las graficas que aparecen posterior a cada tabla;

para

diferentes valores en la frecuencia del generador, se producen diferentes valores de voltaje no lineales, que para el caso RC estos cambios son crecientes y para el caso RL son decrecientes. Además que los valores de voltajes experimentales y teóricos presentan muy pocas diferencias, o sea los porcentajes de error son muy pequeños. Lo que también se aprecia con respecto a la variación del ángulo de desfase teórico y experimental; lo que deduce un buen desempeño en la toma de datos dado en el experimento practicado. En la gráfica 2, como era de esperarse, se nota que conforme aumenta la frecuencia se aumenta el valor del voltaje en el resistor, esto tanto en los valores experimentales como en los teóricos. En cambio en la gráfica 4, se observa el comportamiento contrario para el circuito RL, donde conforme se aumenta la frecuencia del generador, se tiende a disminuir la diferencia de voltaje presente en el resistor. Luego en las cuatro graficas, se puede notar que los valores experimentales presentan variaciones muy pequeñas con respecto a los teóricos, lo que se sustenta con el bajo porcentaje de error obtenido en el muestreo de datos para los diferentes circuitos. En la gráfica 1 se observa que para el caso del circuito RC al aumentar la frecuencia disminuye el valor del ángulo de fase. Y en la gráfica 3, que corresponde al circuito RL, al aumentar la frecuencia se presenta un aumento del ángulo de fase. Esto sustenta la teoría y demuestra el modelo físico aplicado a estos circuitos. Como se observa al aplicar un eje logarítmico en la gráfica a los valores de la frecuencia se logra apreciar una relación aproximadamente lineal tanto en el crecimiento como en el decrecimiento en las situaciones antes citadas. Y también, que la frecuencia de media potencia recae aproximadamente en el voltaje RMS (esto es a 4,19 V para el RC y 4,24 para el RL) en la curva de voltaje con respecto a la frecuencia del generador tanto en el circuito RC como en el circuito RL, lo que indica que equivale a la mitad de la potencia disipada en el receptor como indica la teoría.

Pero al final, aunque los bajos índices de error en la comparación de los voltajes y los ángulos de desfase indican un buen desempeño, se obtuvo errores debido a la mala toma de datos obtenidos por el programa DataStudio y al mal uso de los instrumentos.

Cálculos matemáticos •

ω = 2πf Ejemplo:

•

VR ( ω ) =

ω = 2πf ω = 2π ( 217.39 ) ω = 1365.90 rad / s

RE 0  1  R +   ωC 

2

2 tot

Ejemplo:

VR ( ω ) =

RE 0  1  R +   ωC 

2

2 tot

VR ( ω ) =

(12178 .20 )

2

V R ( ω ) = 1.45V

•

VR ( ω ) =

(12000 )( 6)  1 +  −6  ( 628.32 ) 0.033 × 10

(

RE 0 2 Rtot + ( ωL )

Ejemplo:

2

VR ( ω ) = VR ( ω ) =

RE 0 2 Rtot + ( ωL )

2

( 2000 )( 6) ( 2249.6) 2 + ( (1365.90 ) (840 × 10 −3 ) ) 2

V R ( ω ) = 5.36V

)

  

2

•

 1   φ ( ω ) = − tan −1   ωRtot C 

Ejemplo:

 1   φ ( ω ) = − tan −1   ωRtot C    1  φ ( ω ) = − tan −1  −6  ( )( ) 628 . 32 12178 . 20 ( 0 . 033 × 10 )  

φ ( ω ) = −1.38rad

•

 ωL   φ ( ω ) = tan −1  R  tot 

Ejemplo:

 ωL   φ ( ω ) = tan −1   Rtot  −3 −1  (1365 .90 ) ( 840 × 10 )    φ ( ω ) = tan  ( ) 2249 . 6  

φ ( ω ) = 0.52rad

•

 A φexp = arcsen  B Ejemplo:

Cuestionario

 A φexp = arcsen  B  8.10  φexp = arcsen   16.80  φexp = 0.50rad

1. Dibuje un diagrama del circuito que emplearía para medir el ángulo de fase entre el voltaje de entrada y el voltaje a través del capacitor en el circuito RC.

2. Estos circuitos se pueden denominar “filtro paso bajo” y “filtro paso alto”. ¿A cuál corresponde el circuito RC y el RL? El circuito RC corresponde al “filtro paso alto” y el circuito RL corresponde al “filtro paso bajo”. 3. ¿Cómo luciría cualitativamente la gráfica de Vc vs. ω en el RC? ¿Y la gráfica VL vs.ω en el RL? Gráfica VC vs w en el RC: 6 5 4 3 2 1 20000

Gráfica VL vs w en el RL:

40000

60000

80000

100000

6 5 4 3 2

200

400

600

800

4. ¿Qué se puede decir de la concordancia teória-experimento entre los valores de f1/2? Según el experimento realizado y sus resultados, se puede decir que la frecuencia de media potencia obtuvo una gran concordancia entre la teoría y el experimento, esto debido a que se apreció que su valor se situaba en aproximadamente el valor RMS del voltaje aplicado por la fuente, además del poco error generado en todo el experimento.

Conclusiones

•

En un circuito RC al aumentar el valor de la frecuencia del generador el valor del voltaje en el resistor también aumenta. Mientras en un circuito RL el valor del voltaje del resistor disminuye al aumentar la frecuencia del generador.

•

Con respecto al ángulo de fase entre la corriente y el voltaje en un circuito RC al aumentar el valor de la frecuencia disminuye el ángulo de fase, mientras que en el circuito RL se da lo contrario ya que al aumentar la frecuencia aumenta el ángulo de fase.

•

Se logró obtener experimentalmente la frecuencia de media potencia que resultó ser 396 Hz para el caso del circuito RC y 426 para el caso del circuito RL.

Respuesta a la frecuencia – segunda parte

Objetivos En esta práctica se desea estudiar la influencia de la frecuencia suministrada por una fuente de voltaje senosoidal de amplitud constante sobre un circuito RLC. Específicamente: 1. Estudiar el comportamiento del voltaje a través del resistor con la variación en la frecuencia de la señal de entrada. 2. Estudiar el comportamiento del ángulo de desfase entre el voltaje de la fuente y la corriente del circuito con la variación en la frecuencia de la señal de entrada. 3. Comparar las curvas de VR vs. f

y Φ vs. f

para dos casos de

capacitancia distintas. 4. Obtener el valor experimental de la frecuencia de resonancia.

Equipo 1. Generador de señales. 2. Un detector de voltaje. 3. Un digitalizador de señales. 4. Caja de sustitución de resistencias. 5. Caja de sustitución de capacitancias. 6. Bobina

Trabajo previo

1. Demuestre las expresiones de la (2) a la (6). (Del folleto de prácticas de laboratorio). •

•

1    ωL −  V − Vc X L I o − X c I o ω L   ⇒ tan θ = L φ (ω ) = arctan = R I o RT  RT      1    ωL −  ωL  ⇒ φ = arctan   RT     

E o = zI o E = V R + V L + Vc = E m sen(ωt ) i = im sen(ωt − φ )

(

E m sen(ωt ) = Rim sen(ωt − φ ) + X L i m sen ωt − φ + π E m sen(ωt ) = i m [ Rsen( ωt − φ ) + X L − X C ] 2 i sen(ωt ) R + ( X L − X C ) Em = m ⋅ sen(ωt ) z ⇒ E m = im z

•

X L = ωL XC =

1 ωC

z = R 2T + ( X L − X C )

⇒z= R

2

T

2

1   +  ωL −  ωC  

2

V R = RI E = iz

•

i=

E = z

⇒ VR =

E 1   RT2 +  ωL −  ωC  

2

RE o 1   R +  ωL −  ωC   2 T

2

2

2

) + X i sen(ωt − φ − π 2 ) c m

2. Haga una gráfica cualitativa de VR vs. ω y Φ vs. ω

Marco Teórico

En esta segunda parte del laboratorio “Respuesta a la frecuencia” se analiza un circuito RLC enserie, el cual mediante la regla de la malla se puede describir como: E = ∆V R + ∆V L + ∆VC

(1)

Conociendo que ΔVC = q/C y ΔVL = L di/dt la ecuación anterior se puede escribir diferencialmente como: E=L

di q + Rtot i + dt C

(2)

Donde Rtot = R + Rgen + RL. Aplicando el método de fasores, explicado en la primera parte de este laboratorio, se observa que VL y VC están desfasados 180º por lo que el ángulo de desfase de la fuente y la corriente está dado por: Fasores asociados con el circuito RLC.

1   ωL − ωC φ = arctan   Rtot  

     

(3)

Además obtenemos la relación directa entre corriente y el voltaje denotado por: E = zI o

(4)

En esta ecuación z representa la impedancia la cual es la oposición al paso de corriente y cuya unidad es el Ohm. La impedancia se utiliza cuando la corriente varia con el tiempo en cuyo caso la resistencia y la corriente se denotan por los números complejos, donde la parte real es la resistencia y la imaginaria representa la reactancia. Cuando el generador y la corriente tienen la misma frecuencia y sus amplitudes son

constantes, el sistema se encuentra en un estado estacionario y sus soluciones son senosoidales. El uso de la impedancia para la solución de circuitos se restringe a los de corriente alterna. La expresión de la inductancia es: z= R

2

T

1   +  ωL −  ωC  

2

(5)

Ahora bien ahora despejando la corriente de (4) y usando V R= RIo se obtiene la ecuación para el voltaje del resistor:

VR =

RE o 1   R +  ωL −  ωC  

2

2 T

(6)

Se puede notar la existencia dentro de la ecuación (6) de una frecuencia angular la cual se denomina frecuencia de resonancia del circuito y representa la máxima caída de voltaje en el resistor. En tal caso, se tiene que los fasores VL y VC tienen la misma magnitud y se cancelas, por lo que el circuito se comporta como uno totalmente resistivo. Una consideración similar se puede hacer para el ángulo de desfase dado en (3). Cuando el circuito se encuentra en resonancia, se tiene Φ= 0 y el fasor de la fuente coincide con el fasor de corriente. Si el circuito no está en resonancia, dependiendo de los valores de ω, L y C, se puede tener Φ>0 o bien Φ