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• David Flores Silvestre

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RESONANCIA EN SERIE Y RESONANCIA EN PARALELO

A. RESONANCIA EN SERIE

1. Definición: En un circuito RLC en serie, la resonancia en serie ocurre cuando XC = XL la frecuencia a la cual tiene lugar la resonancia se llama “Frecuencia Resonante” y se designa mediante ƒr.

En un circuito RLC es serie, la resonancia es una condición en la cual la reactancia capacitiva e inductiva son iguales en magnitud; por tanto, se eliminan entre si y el resultado es una impedancia puramente resistiva. Para un circuito RLC en serie, la impedancia total fue establecida en la ecuación 17.2 como:

Z = R + jXL – jXC

En condición resonante, XL = XC y los términos “j” se eliminan; por tanto, la impedancia es puramente resistiva. Estas condiciones resonantes se establecen en la siguiente ecuación. XL = XC

Zr = R

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Solución: XL = XC en frecuencia resonante. Por tanto, XC = XL=500Ω. En condición resonante la impedancia es: Zr = R +jXL – jXC = 100Ω + j500Ω - j500Ω = 100∠0° Ω Esto muestra que bajo condiciones de resonancia la impedancia es igual a la resistencia porque las reactancias son iguales en magnitudes y por consiguiente se cancelan.

Es la frecuencia resonante en serie (ƒr) los voltajes entre los terminales de C y L son iguales en magnitudes porque las reactancias son iguales. Fluye la misma corriente a través de ambos componentes porque están en serie (IXC = IXL). Además, VL y VC están desfasados siempre en 180 ° entre sí. Durante cualquier ciclo dado, las polaridades de los voltajes en C y L son opuestas entre las terminales de C y L se cancelan y quedan en 0 volts del punto. A al punto B como se muestra. Puesto que no hay caída de voltaje de A a B pero sigue habiendo corriente, la reactancia debe ser de 0 según indica la parte (c). También el diagrma fasorial de voltaje en la parte (d) muestra que VC y VL son iguales en magnitud y están desfasados por 180 ° entre sí.

2. Frecuencia resonante en serie: Para un circuito RLC en serie dado, la resonancia ocurre a sólo una frecuencia específica. Una forma para esta frecuencia resonante se desarrolla como sigue: XL = XC 

Sustituyendo las fórmulas de reactancias: 𝟐𝝅𝒇𝒓 𝑳 =



𝟏 𝟐𝝅𝒇𝒓𝑪

Luego modificando ambos miembros por 𝑓𝑟2𝜋𝐿: 𝟐

∫ 𝒓

𝟏 𝟒𝝅𝟐 𝑳𝑪

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

Se toma la raíz cuadrada de ambos miembros. La fórmula para frecuencia resonante en serie es: 𝒇𝒓 =

𝟏 𝟐𝝅√𝑳𝑪

3. Análisis de circuitos RLC en serie: Hasta ahora hemos visto que los tres componentes R, L y C tienen diferentes relaciones de fase entre sí cuando está conectado a un suministro de corriente alterna sinusoidal. La diferencia de fase, Φ depende del valor reactiva de los componentes que se utiliza.

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En lugar de analizar cada elemento por separado, podemos combinar los tres juntos en un circuito en serie RLC. Circuitos en serie RLC se clasifican como circuitos de segundo orden, ya que contienen dos elementos de almacenamiento de energía, un inductor L y un capacitor C.

4. Circuito RLC en serie:

La siguiente figura muestra que en un circuito RLC en serie la impedancia total se comporta como así: al empezar a una frecuencia muy baja, XC es alta, XL es baja, y el circuito es predominantemente capacitivo. Conforme se incrementa la frecuencia, XC disminuye y XL aumenta hasta que se alcanza un valor donde XC = XL y las dos reactancias se eliminan, lo cual vuelve al circuito puramente resistivo. Esta condición se denomina resonancia en serie, de la cual se hablará más adelante. A medida que la frecuencia se incrementa aún más, XL llega a ser mayor que XC, y el circuito es predominantemente inductivo.

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La gráfica de XL es una línea recta y la gráfica de XC es una curva, como se muestra en la figura. La ecuación general de una línea recta es y = mx + b, donde m es la pendiente de la línea y b es el punto de intersección con el eje y. La fórmula XL = 2πfL se ajusta a esta fórmula general de la línea recta, donde y = XL (una variable), m = 2πL (una constante), x =f (una variable), y b= 0 como sigue: XL = 2πLf + 0. La curva XC se llama hipérbola, y su ecuación general es xy = k. La ecuación de capacitancia reactiva, XC = 1/2 πfC, puede ser reordenada como XCf = 1/2πC, donde x = XC (una variable), y = f (una variable), y k = 1/2 πC (una constante).

En un circuito RLC en serie, el voltaje entre las terminales del capacitor y entre las terminales del inductor siempre están desfasados entre sí por 180°. Por esa razón, VC y VL se restan entre sí, y por tanto el voltaje de L y C combinados siempre es menor que el voltaje individual más grande que pueda haber entre las terminales de uno u otro componente, tal como se muestra en la siguiente figura.

VCL es la suma algebraica de VL y VC. Debido a la relación de fase, VL y VC efectivamente se restan.

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5. Resonancia en serie: En un circuito RLC en serie, la resonancia es una condición en la cual las reactancias capacitiva e inductiva son iguales en magnitud; por tanto, se eliminan entre sí y el resultado es una impedancia puramente resistiva. Para un circuito RLC en serie, la impedancia total fue establecida como

En condición resonante, XL = XC y los términos j se eliminan; por tanto, la impedancia es puramente resistiva. Estas condiciones resonantes se establecen en las siguientes ecuaciones: XL = XC Z=R

XC y XL se eliminan entre sí y el resultado es un circuito puramente resistivo. 6. Frecuencia resonante en serie: Para un circuito RLC en serie dado, la resonancia ocurre a sólo una frecuencia específica. Una fórmula para esta frecuencia resonante se desarrolla como sigue: XL=XC



Sustituyendo las fórmulas de reactancia:



Multiplicando ambos miembros por:

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

Se toma la raíz cuadrada de ambos miembros. La fórmula para frecuencia resonante en serie es:

7. Corriente y voltajes en un circuito RLC en serie: En la frecuencia resonante en serie, la corriente es máxima (I máx Vs/R). Por encima y por debajo de la condición de resonancia, la corriente disminuye porque la impedancia se incrementa. Una curva de respuesta que muestra la gráfica de corriente en función de la frecuencia aparece en la figura (a). El voltaje entre las terminales del resistor, VR, sigue a la corriente y es máximo (igual a Vs) en condición de resonancia y de cero cuando f = 0 y cuando f = ∞, como se indica en la figura (b). Las configuraciones generales de las curvas VC y VL aparecen en las figuras (c) y (d). Advierta que VC = Vs cuando f = 0, porque la capacitancia aparece abierta. Observe además que VL tiende a Vs conforme f tiende a infinito, porque el inductor aparece abierto. El voltaje en la combinación de C y L disminuye conforme aumenta la frecuencia por debajo de la condición de resonancia, alcanzando un mínimo de cero en la frecuencia de resonancia; luego este voltaje se incrementa por arriba de la frecuencia de resonancia según muestra la figura (e).

Los voltajes son máximos en condición de resonancia, pero disminuyen por encima y por debajo de fr. Los voltajes en L y C en condición de resonancia son exactamente iguales en magnitud, pero desfasados por 180°, de modo que se cancelan. Por tanto, el voltaje total en L y en C es de cero, y VR = Vs en condición de resonancia, como indica la figura 17-14. Individualmente, VL y VC pueden ser mucho más grandes que el voltaje de fuente, según veremos más adelante. Tenga en cuenta que VL y VC siempre son de polaridades opuestas sin importar la frecuencia, pero sólo en condición de resonancia sus magnitudes son iguales. 7

Circuito RLC en resonancia

8. Impedancia en serie: A frecuencias por debajo de 𝑓𝑟, 𝑋𝐶 > 𝑋𝐿 así, el circuito es capacitivo, A la frecuencia resonante, 𝑋𝐶 = 𝑋𝐿 de modo que el circuito es puramente resistivo. A frecuencias por encima de 𝑓𝑟, 𝑋𝐶 < 𝑋𝐿 por tanto, el circuito es inductivo. La magnitud de la impedancia es mínima en resonancia 𝑍 = 𝑅 y su valor aumenta por encima y por debajo del punto resonante. La gráfica de siguiente figura ilustra cómo cambia la impedancia con la frecuencia. A frecuencia de cero, tanto 𝑋𝐶 como 𝑍 son infinitamente grandes y 𝑋𝐿 tiene valor de cero porque el capacitor se comporta como una abertura a 0 Hz y el inductor se comporta como un corto. Conforme se incrementa la frecuencia, 𝑋𝐶 disminuye y 𝑋𝐿 aumenta. Como 𝑋𝐶 es más grande que 𝑋𝐿 a frecuencias por debajo de 𝑓𝑟, 𝑍 disminuye junto con 𝑋𝐶 . A 𝑓𝑟, 𝑋𝐶 = 𝑋𝐿 y 𝑍 = 𝑅. A frecuencias por encima de 𝑓𝑟, 𝑋𝐿 se vuelve cada vez más grande que 𝑋𝐶 , lo cual propicia que 𝑍 aumente.

Figura 1. Impedancia RLC en serie

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9. Ángulo de fase de un circuito RLC en serie: A frecuencias por debajo de la frecuencia de resonancia 𝑋𝐶 > 𝑋𝐿 , y la corriente adelanta al voltaje de fuente. El ángulo de fase disminuye conforme la frecuencia se aproxima al valor resonante y es de 0° en condición de resonancia. A frecuencias por encima de la frecuencia de resonancia 𝑋𝐶 < 𝑋𝐿 , y la corriente se retrasa con respecto al voltaje de fuente. Conforme se eleva la frecuencia, el ángulo de fase se aproxima a 90°.

Figura 3. Por debajo de fr, I adelanta a Vs

Figura 2.A fr, I está en fase con Vs

Figura 4. Por encima de fr, I se retrasa con

Figura 5.Ángulo de fase en función de la frecuencia

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Aplicaciones de la resonancia: La resonancia no es un fenómeno que se presente solamente en la destrucción. Existen muchos fenómenos en los que la resonancia se utiliza como una ventaja. Por ejemplo, el sintonizador de un radio es un circuito electrónico que contiene un condensador y una bobina, y como todos los circuitos electrónicos, estos oscilan y tiene una frecuencia característica. 

Las ondas eléctricas que se emiten en las estaciones de radio son captadas por la antena del radio y son enviadas al sintonizador. Todas estas ondas tienen diferentes frecuencias y para sintonizar la estación que nos interesa, nosotros damos vuelta a la perilla del sintonizador y lo que se está haciendo es cambiar el valor de la capacidad de su condensador, para así modificar la frecuencia característica del circuito, tratando de encontrar la frecuencia que tenga el mismo valor que la frecuencia de la onda que se desea recibir. Al ser iguales las frecuencias el sistema entra en resonancia, provocando una respuesta muy grande. De esta forma se logra seleccionar una onda determinada de todas las que emiten las estaciones de la localidad.

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Otro ejemplo del uso de la resonancia se da cuando se hace el diseño de estructuras como edificios y puentes. Es importante tomar en cuenta las frecuencias de las perturbaciones a las que la estructura puede estar sometida, de manera que la frecuencia natural de la estructura sea lo más alejada posible a ellas. Estas perturbaciones a las que está sometida una estructura pueden ser vientos, temblores, terremotos, etcétera. Tomando en cuenta la resonancia se pueden salvar muchas vidas.

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B. RESONANCIA EN PARALELO 1. Concepto: La resonancia de un circuito RLC paralelo es un poco más compleja que la resonancia serie. La frecuencia resonante se puede definir de tres formas diferentes, que convergen en la misma expresión que la frecuencia resonante serie, si la resistencia del circuito es pequeña. 

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La frecuencia a la cual 𝜔𝐿 = 1/𝜔𝐶 , es decir, la frecuencia resonante del circuito serie equivalente RLC. Esto es satisfactorio si las resistencias son pequeñas. La frecuencia a la cual la impedancia paralela es máxima. La frecuencia a la cual la corriente está en fase con el voltaje, factor de potencia igual a la unidad.

2. Condición para una resonancia ideal en paralelo: De manera ideal, la resonancia en paralelo ocurre cuando 𝑋𝐶 = 𝑋𝐿 . La frecuencia a la cual ocurre la resonancia se llama frecuencia resonante, exactamente como en el caso serie. Cuando 𝑋𝐶 = 𝑋𝐿 , la corrientes de rama, 𝐼𝐶 𝑒𝐼𝐿 , son iguales en magnitud y siempre están desfasadas entre sí en 180°. Por tanto, las dos corrientes se cancelan y la corriente total es de cero.

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Dado que la corriente total es de cero, la impedancia del circuito LC en paralelo es infinitamente grande(q). Estas condiciones resonantes se formulan como sigue: 𝑋𝐿 = 𝑋𝐶 𝑍𝑟 = ∞ 3. Frecuencia resonante en paralelo: Para un circuito resonante ideal (sin resistencia) dispuesto en paralelo, la frecuencia a la cual ocurre la resonancia se determina con la misma fórmula utilizada para un circuito resonante en serie; es decir. 𝐹𝑟 =

1 2𝜋√𝐿𝐶

4. Circuito tanque: Al circuito LC resonante dispuesto en paralelo a menudo se le llama circuito tanque. El término circuito tanque se refiere al hecho de que el circuito resonante en paralelo guarda energía en el campo magnético de la bobina y en el campo eléctrico del capacitor. La energía almacenada se transfiere alternadamente entre el capacitor y la bobina en semi ciclos alternos conforme la corriente fluye en un sentido y luego en el otro cuando el inductor pierde energía y el capacitor se carga, y viceversa. (a) La bobina pierde energía a medida que el capacitor se carga.

Fig. 01: Almacenamiento de energía en un circuito tanque ideal resonante en paralelo con pérdida de energía en la bobina.

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(b) El capacitor se descarga a medida que la bobina adquiere energía.

Fig. 02: Almacenamiento de energía en un circuito tanque ideal resonante en paralelo con ganancia de energía en la bobina.

5. Variación de la impedancia con la frecuencia: De manera ideal, la impedancia de un circuito resonante dispuesto en paralelo es infinita. En la práctica, la impedancia es máxima a la frecuencia resonante y disminuye a frecuencias más bajas y más altas.

Fig. 03: Curva generalizada de impedancia para un circuito resonante dispuesto en paralelo. El circuito es inductivo por debajo de fr, resistivo en fr, y capacitivo por encima de fr.

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Explicación de la figura 03: A frecuencias muy bajas, XL es muy pequeña y XC muy alta, así que la impedancia total es igual a la de la rama inductiva. Conforme aumenta la frecuencia, la impedancia también se incrementa y la reactancia inductiva domina (porque es menor que XC) hasta que se alcanza la frecuencia resonante. En este momento, desde luego, XL XC (con Q 10) y la impedancia llega a su máximo. A medida que la frecuencia se incrementa por encima de la condición de resonancia, la reactancia capacitiva domina (porque es menor que XL) y la impedancia disminuye.

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