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Universidad Nacional Del Callao Facultad De Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Escuela Profesional De Ingeniería Electrónica Ciclo 2015 - A

Resolución del parcial Profesor: ASTOCONDOR

Integrantes:

 Zapana De La Cruz, Neil  Santiago león juan, José  Paredes Acha, Christian  Palma Florentino, Kevin

1123220118 1023220503 1123220074 1123220154

Asignatura: Control Digital

Grupo Horario: 01L Titulo:

2015 – A

Control Digital Resolución del Parcial

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1. Sea el siguiente sistema por las siguientes ecuaciones de estado

x1( k 1)  1x 2 ( k )  0u ( k ) x 2 ( k 1)  2 x1( k )  3 x 2 ( k )  1u ( k ) y ( k )  x 2 ( k )  0u ( k ) a. Función de transferencia

 x1( k 1)   0 1   x1( k )   0          u ( k )    x   x  2 3 2 ( k  1 ) 2 ( k )       1  x  y ( k )  (0 1) 1   (0)u ( k )  x2  Otra forma para hallar la función transferencia de pulso es de la siguiente manera

G( Z ) 

Y( Z ) U (Z )

 C ( ZI  G ) 1 H  D

1   z 0  0 1  z         0 z    2 3   2 z  3

ZI  G  

( ZI  G ) 1 

G( Z)=

2   z     1 z  3

( z )( z  3)  2

Z ( Z −2 ) (Z −1)

[ [ ][ ][ ]]

b ¿ [ M GH ] = 0 0 1 0 1 2 3 1

M=

[ ] 0 1 1 3

→ det ( M )=−1

Determinante de M es diferente de CERO, entonces ES CONTROLABLE

[ CT G T G T ] =

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[[ ][ ][ ]] 0 0 −2 0 1 1 3 1

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N=

[ ] 0 2 1 3

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→ det ( N )=−2

Determinante de N es diferente de CERO, entonces ES OBSERVABLE.

y (Z)=

C¿

Z2 ( Z −2 ) (Z −1)2

U(Z)

¿

Z Z−1

y ( KT )=Z−1 ( Y ( Z ) )=RES ( F ( Z ) ,2 ) + RES ( F ( Z ) , 1 )

F ( Z ) =Y ( Z )−Z−K

K +1

F ( k )=2

−( K +2)

Probado en Matlab.

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2.- Dado un sistema continúo definido por la función de transferencia:

G s  

1 s ( s  2)

Determinar: a) Obtener las ecuaciones de estado del sistema continuo:

G( s ) 

y( s ) 1  s ( s  2) u( s )

u( s )  y( s ) S 2  y( s ) S Sacando la trasformada inversa de Laplace.



L1 u( s )  y( s ) S 2  y( s ) S 





u( t )  y ( t )  y ( t )

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Haciendo las siguientes asignaciones de valores:

x1( t )  y (t ) 







x1( t )  y (t )  x2 ( t ) x2 (t )  y (t ) Ordenando 

x1( t )  0 x1( t )  x2( t )  0u ( t ) 

x2 ( t )  0 x1( t )  2 x2( t )  u ( t ) y( t )  x1( t )  0 x2 ( t ) Entonces el sistema en Espacio de estados seria: Modelo del sistema en variables de estado en tiempo continúo es decir con el tiempo t



  x x 1  ( t )    0 1   1( t )    0 u  x    0  2  x2( t )   1 ( t )  2(t ) 

 x1( t )  y( t )  1 0    x2(t )  b) La ecuación de estado discreto con retenedor de orden 0: Ahora para proceder al cambio de variables de estado continuo a ecuaciones de estado en tiempo discreto se pueden utilizar dos formas la más sencilla es la desratización directa pero en el problema nos indican no usar ese método por ende usamos el siguiente: Modelo del sistema en variables de estado en tiempo discreto 

x ( t )  A x( t )  B u ( t ) y ( t )  C x( t )  D u ( t )

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x( k 1)  G x( k )  H u ( k )   y ( k )  C x( k )  D u ( k ) 

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

  x x  1( t )    0 1   1( t )    0 u (t )     x  0  2  x2 (t )   1        2(t )  B



x ( t )  A x( t )  B u ( t ) y ( t )  C x( t )  D u ( t )

A

,

 x1( t )  y ( t )  1 0   0u    x2( t )  D ( t )   C Donde:



G  e AT  L1  sI  A

1



 T  H    e T . d  B  0  y

 s 0  0 1   s  1        0 s   0  2   0 s  2

sI  A  

 1 s  2 1    s  sI  A 1  1   s   s ( s  2)  0 0 

1

L

e

AT

1

L

 sI  A  1

 sI  A  

1

1 G   0

  1    L1   s   0  

1  e 2T 2 e 2T

1  s ( s  2)   1  s  2  



1  s ( s  2)   1  s  2 



1     0 

1  e  2T 2 e  2T

   

   

Para T=1s

 1 0.4323 G   0 0.1353

  H    e T . d   0  T

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  1  e 2  T 1  d  B   B    2   0   0 e 2     0    T

T e 2T  1  2 4  B 1  e  2T  2 

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

T

H 

 0 

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T e 2T  1   2 4  1  e  2T  2 

 T e  2T  1   0   4   1   2  2T    0.5 1  e 





Para T=1s

 0.2838 H    0.4323 Reemplazando lo obtenido

 1 0.4323  0.2838 x( k 1)   x( k )     u( k )  0 0.1353  0.4323 y( k )  1 0 x( k )

c) La función de transferencia pulso G(z); donde T = 1s:

Tenemos la función de transferencia de la planta:

FT 

Y( S ) U (S )

1 s ( s  2)

 G( S ) 

La correspondiente función de transferencia pulso se determina de la relación:

Y( Z ) U (Z )

 G( s )    s 

 G( Z )  (1  z 1 ) Z 



 1   s ( s  2) 

G( Z )  (1  z 1 ) Z 

2

Usando fracciones parciales:

1 A B C A( s  2) Bs ( s  2) Cs 2       s 2 ( s  2) s 2 s s  2 s 2 ( s  2) s 2 ( s  2) s 2 ( s  2) Control Digital Resolución del Parcial

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A( s  2)  Bs ( s  2)  Cs 2  s 2 ( B  C )  s ( A  2 B )  2 A  1

A Tenemos que

1 2

B

1 1 C 4 4

 1  1  1  1 1   1 1 1  1  1  Z 2  Z    1 ( 1  z )  Z   2      4 s 4( s  2)   2s  2  s  4  s  4  ( s  2) 

G( Z )  (1  z 1 ) Z 

   

 1 T z 1  1 1 1 1  G( Z )  (1  z 1 )   1 2 1  2T 1  4 (1  z ) 4 (1  e z )   2 (1  z )  1 T z 1 1 1 (1  z 1 )   G( Z )     1  2T 1   2 (1  z ) 4 4 (1  e z )  Sea: T = 1s

 1 z 1 1 1 (1  z 1 )   G( Z )     1 1   2 (1  z ) 4 4 (1  0.135 z ) 

d) Escribir los códigos en Matlab para obtener la respuesta del sistema para entrada escalon en tiempo discreto.

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3. Calcular las posiciones que debe tener los polos de un sistema discreto con Ts=0.1s, para que este verifique las siguientes especificaciones: - Máximo sobreimpulso - Tiempo pico

MP=15 %

tp=3s

MP Sobre impulso

del 15% y un tiempo pico de 3s como máximo.



MP  e

1 2

  1 2

 0.15 despejando 

d

 2.302

 2 2  5.201 1  2   0.517

  3  d  n 1   2 d

TP 

1

 1  0.517 2

2

 n

 n

 n  1.53

Encontramos los polos en tiempo continuo se sabe que:

S1, 2    n  j n 1   2

S1, 2  (0.517) (1.53)  j1.31 S1, 2  0.791  j1.31 Además para hallar los polos en el tiempo discreto:

Z1, 2  e sT

Z1, 2  e ( 0.791 j1.31) 0.1  e 0.0791  e  j 0.131 Z 1, 2  0.9239 cos(0.131)  jsen(0.131) Z 1, 2  0.9239 0.9510565983  j 0.309016742 Z 1, 2  0.91598  j 0.1207

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CODIGO EN MATLAB

RESULTADO DE DEPURAR EL CODIGO

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La figura de abajo muestra el mapeo de líneas de coeficiente de amortiguamiento constante (c) y la frecuencia natural (Wn). El

límite de estabilidad ya no es el eje imaginario, sino el círculo unitario |z|=1. El sistema es estable cuando todos los polos se ubican dentro del círculo unitario e inestable cuando cualquier polo se ubica afuera de él. Por lo tanto el sistema es estable.

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