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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE INGENIERÍA MÁQUINAS ELÉCTRICAS I REPORTE DE PROYECTO FINAL

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UN SISTEMA DE COJINETES MAGNÉTICOS ACTIVOS DE DOS GRADO DE LIBERTAD.

PROFESOR: DR. JUAN CARLOS ANTONIO JÁUREGUI CORREA REALIZÓ: 

OSCAR JAVIER RICO NIETO



SUÁREZ SOTO JESÚS ISMAEL.

MÉXICO , QUERÉTARO 3 DE ENERO DE 2016 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. La presente memoria descriptiva se refiere a una solicitud de análisis matemático por parte del maestro de Maquinas Eléctricas I relativa a “sistema de cojinetes magnéticos activos de dos grados de libertad” , cuya utilidad reside en permitir que un rotor levite gracias a los campos magnéticos generados por los electroimanes. Realizó : Oscar Javier Rico Nieto y Suárez Soto Jesús Ismael. P004-LABMAQELEC-CD 1

El análisis matemático solo describe el movimiento vertical del rotor. OBJETIVO GENERAL. Realizar el analístico matemático del movimiento vertical de un rotor bajo el sustento de cojinetes magnéticos activos, mostrando la descripción de la parte dinámica mecánica y dinámica eléctromagnética del sistema. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 

Hacer uso de los conocimientos del curso de Maquinas Eléctricas I para analizar un sistema de cojinetes magnéticos activos.



Analizar el flujo magnético del sistema.



Simular el sistema con la ayuda del software ANSYS y ver el flujo magnético en la simulación. JUSTIFICACIÓN

Este trabajo de grado se realiza con el fin de reforzar los conocimientos de electricidad, magnetismo y maquinas eléctricas I y hacer uso de los conocimientos adquiridos para analizar un sistema de cojinetes magnéticos activos. También se realiza para ayudar al ingeniero Santana en el proceso del un controlador del sistema.

I.-INTRODUCCIÓN. Un rodamiento magnético (o cojinete magnético) es un dispositivo conformado por una colección de electroimanes, los cuales tienen como objetivo remplazar las partes mecánicas, como rodillos o esferas metálicas, que integran comúnmente a los rodamientos mecánicos (Figura 1), mediante la aplicación de fuerzas electromagnéticas. La finalidad de ello es permitir el movimiento del rotor sin la necesidad de que exista contacto físico. Figura 1.- La operación de un rodamiento se sustenta en la levitación magnética provista por electroimanes. Los rodamientos magnéticos activos (AMB's, por sus siglas en inglés), forman parte de una de las aplicaciones de la levitación magnética, y en los últimos años han cobrado una gran importancia, debido a las ventajas que ofrecen en comparación a los rodamientos mecánicos. Dentro de las ventajas que ofrecen los AMBs se mencionan las siguientes: Realizó : Oscar Javier Rico Nieto y Suárez Soto Jesús Ismael. R00F-LABMAQELEC-OJ

2



No requiere el uso de lubricantes. Esto posibilita su aplicación en procesos en donde la contaminación de estos agentes es perjudicial. Por ejemplo, en aplicaciones al vacío, procesos químicos, biológicos, farmacéuticos, etc.



Reducción en las pérdidas por fricción. Lo que proporciona al rodamiento una mayor durabilidad, llegando a ser de cinco a veinte veces menores tales pérdidas.



Reducción en los costos por mantenimiento.



Aislamiento de la vibración. El espacio libre existente entre el rotor y el resto de la máquina, permite aislar la vibración además del ruido. Este espacio puede aprovecharse en algunas aplicaciones en donde se requiera la circulación de fluidos.

Las dimensión del espacio libre existente entre el rotor y el rodamiento (denominado gap , en inglés) es del orden de décimas de milímetro, sin embargo, para algunas aplicaciones puede llegar hasta los 20 milímetros. 

Altas velocidades de operación (hasta de 60000 rpm). Los AMBs son idóneos para aplicaciones en donde se requieran altas velocidades de giro, por ejemplo, en generadores, turbinas y equipos aeroespaciales.

Los elementos que integran a un rodamiento magnético activo son: electroimanes, sensores, procesadores digitales, amplificadores operacionales y las interconexiones (cableado) entre todas estas partes. Esto convierte al AMB en un dispositivo mecatrónico el cual, mediante la programación de algoritmos de control, es capaz de monitorear su estado de operación. La información proporcionada por los sensores puede emplearse para determinar algún desperfecto, como por ejemplo, aumento en la carga, descomposición de algún electroimán, mal funcionamiento en los sensores, etc. Esto brinda una operación segura, pudiéndose implementar acciones de emergencia, como alarmas o el paro de la máquina en su totalidad. En la actualidad, se dispone en el mercado de AMBs para distintas aplicaciones. Las empresas dedicadas a la fabricación de estos dispositivos han aprovechado los avances tecnológicos, con el fin de reducir costos de producción, además de hacerlos más compactos, simples y de fácil montaje.

Realizó : Oscar Javier Rico Nieto y Suárez Soto Jesús Ismael. R00F-LABMAQELEC-OJ

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II.-DESCRIPCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL COJINETE MAGNÉTICO. En esta parte se muestran las bases que sustentan el modelo matemático que se utilizara para el análisis completo del sistema.. Esta parte es importante ya que mediante el modelo matemático del rodamiento se podrá determinar las ecuaciones que rigen el sistema del rodamiento magnético. Para los propósitos de este trabajo se utiliza un modelo para un cojinete magnético el cual se obtiene mediante el análisis de los enlaces de flujo , ya que de esta manera es posible obtener la relación entre la parte mecánica y la parte eléctromagnética que caracteriza la dinámica del rodamiento. A través de los enlaces de flujo, es posible determinar la fuerza magnética generada por los electroimanes, por medio de los circuitos eléctricos que a su vez componen a éstos. En este caso, se establece que el sistema puede desacoplarse en dos subsistemas, en donde cada uno controla la posición del rotor con respecto a un eje, ya sea el horizontal o al eje vertical. En ese trabajo únicamente se presenta el análisis para el subsistema vertical ,dando por hecho que el análisis para el eje horizontal es prácticamente el mismo. A continuación se presenta el desarrollo que conlleva a la obtención del modelo matemático de acuerdo a la configuración del cojinete. 2.1.-Principio de la levitación magnética El principio de funcionamiento de un cojinete magnético activo es básicamente el mismo que el de un sistema de levitación magnética, con la diferencia de que un cojinete magnético posee un mayor número de electroimanes con la finalidad de lograr una mayor estabilidad en la posición del rotor. En la Figura 2 se muestran, de manera simple, los elementos principales que integran a un sistema de levitación magnética, el cual incluye un controlador realimentado. El sistema incluye un sensor de posición; una fuente controlada de voltaje o corriente, la cual puede estar constituida por algún amplificador operacional; y un electromagneto. Suele designarse como actuador al conjunto formado por el amplificador operacional y al electromagneto . Realizó : Oscar Javier Rico Nieto y Suárez Soto Jesús Ismael. R00F-LABMAQELEC-OJ

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El desplazamiento del objeto levitado se detecta mediante el sensor de posición, y tal información se envía al controlador. El objetivo del actuador es generar la fuerza magnética necesaria para contrarrestar a la fuerza ejercida por la gravedad, y mantener la posición del objeto a una distancia constante con respecto al electromagneto. El controlador se encarga de gobernar al actuador, controlando la cantidad de corriente que circula a través del embobinado del electroimán

Figura 2.-Sistema de levitación magnética. La corriente, al circular a través de las espiras del devanado del electromagneto genera una fuerza magnetomotriz,que a su vez produce un flujo magnético que circulará a través del núcleo ferromagnético del electroimán, del espacio libre y del propio objeto levitado (Figura 3). Sea F = Ni la fuerza magnetomotriz, donde que circula a través de ellas, la expresión de N es el número de espiras e i es la corriente que circula a través de ellas, la expresión F en términos del flujo magnético total ψ es la siguiente. F=ψ ( R lc + R go+ R l )

(1)

0

Figura 3.Esquema del principio de funcionamiento de la suspensión electromagnética. Realizó : Oscar Javier Rico Nieto y Suárez Soto Jesús Ismael. R00F-LABMAQELEC-OJ

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donde R

,R

yR

corresponden a la reluctancia del núcleo del electromagneto, la del espacio

lc g0 lo libre, y la del objeto levitado, respectivamente. Tales reluctancias pueden calcularse mediante: lc μ Ac

(2)

2 ( g0 − x ) μ0⋅ Ag0

(3)

l0 μ Al

(4)

Rl = c

❑

Rg 0 =

Rl = o

o

donde los parámetros l , A , l y A corresponden a la construcción propia del electro- magneto y c c o lo del objeto levitado (longitud y área de la sección transversal de los mismos). Mientras que μ y μ 0 corresponden a la permeabilidad magnética relativa para el material ferromagnético, y la permeabilidad magnética del aire. La expresión g − x indica que la separación entre el objeto 0 levitado y el electromagneto puede variar cierta longitud x .

Figura 4.- Circuito magnético equivalente. En la mayoría de los casos, la reluctancia de los núcleos ferromagnéticos puede despreciarse si se compara con reluctancia opuesta por el espacio libre, ya que R >> R +R . Llevando a cabo esta suposición, g0 lc l0 el flujo magnético total puede calcularse como: ψ (t ) ≈

μ0 A g 0 F =N i ( t ) Rg0 2 ( g0 − x )

(5)

Considerando una geometría fija por parte del embobinado, los enlaces de flujo determinan la cantidad de campo magnético que circula a través de ellas, y se calculan multiplicando el número de espiras N por el flujo magnético total ψ (t) Realizó : Oscar Javier Rico Nieto y Suárez Soto Jesús Ismael. R00F-LABMAQELEC-OJ

6

ϕ=N ψ ( t )

(6)

Por su parte, la inductancia L es una medida que determina la oposición ante un cambio en la corriente en un inductor bajo la presencia de un campo magnético. Considerando que la permeabilidad magnética es constante, o bien, con un entrehierro dominante, se define a la inductancia como: L=

ϕ N ψ (t) = i i

(7)

Sustituyendo Texto en Texto , es evidente que el valor de la inductancia está en función de la posición x del objeto levitado, quedando como: L ( x )=

N 2 μ0 A g0 2 ( g0 − x )

(8)

A partir de la expresión Texto ,los enlaces de flujo φ pueden expresarse en términos de la inductancia L, quedando también en función del desplazamiento x, además de depender de la corriente i ,la cual está en función del tiempo: ϕ ( x , i ) =L ( x ) i

(9)

La relación entre los enlaces de flujo de la separación existente φ y la corriente i depende de la magnitud de ésta, y de la separación existente g entre el electroimán y el objeto levitado (Figura 0 4). Dicha relación se acerca más a la linealidad para una mayor separación, y a una no linealidad para una separación más pequeña. Esto se debe precisamente a que la curva de magnetización depende más de la reluctancia del núcleo ferromagnético, el cual puede llegar a saturarse, que de la reluctancia del espacio libre. Un espacio libre más grande lleva a características lineales ya que la reluctancia del espacio libre no es saturable.

Figura 5.- Energía magnética y coenergía en un sistema de levitación magnética. Realizó : Oscar Javier Rico Nieto y Suárez Soto Jesús Ismael. R00F-LABMAQELEC-OJ

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Suponiendo al punto A de la Figura 4 como un punto de operación (unos enlaces de flujo φ con 0 una corriente i ), la energía magnética almacenada W en el sistema se obtiene por: 0 m i0

W m =∫ i d ϕ

(10)

0

que corresponde al área determinada por los puntos O, C y A, mientras que la coenergía es el área determinada por los puntos O , B y A. i0

W´ m =∫ ϕ ( x ,i ) di

(11)

0

Aún cuando la coenergía almacenada no tenga en sí un sentido físico real, es de mayor utilidad para el desarrollo de un modelo matemático de este sistema, ya que está en términos de la posición x y de la corriente i , que en la práctica, son variables medibles. La expresión para la coenergía magnética almacenada será de utilidad más adelante. Esta consideración es importante a la hora de establecer las ecuaciones dinámicas que describan el comportamiento del sistema de levitación magnética. Por ejemplo, utilizando la Ley de voltajes de Kirchhoff se puede establecer la siguiente ecuación: V ( t )=Ri (t ) + ϕ˙ ( t )

(12)

en donde V(t) es la fuente de alimentación, i(t) es la corriente, R es la resistencia propia del conductor y φφ (t) es la tensión inducida en el electromagneto, la cual es igual a la derivada con respecto a tiempo de los enlaces de flujo. Utilizando la expresión para los enlaces de flujo dada en Texto, y sustituyendo en Texto queda como: V ( t )=Ri (t ) +

d ( L ( x ) i) dt

(13)

Y al derivar con respecto al tiempo, resulta en ∂ L dx di +L(x) (14) ∂ x dt dt Por otra parte, como el objeto levitado se encuentra bajo el efecto de una fuerza magnética fm , la cual debe contrarrestar la fuerza ejercida por la acción de la gravedad fg , se puede establecer una ecuación diferencial que modele esta interacción. Basándose en la Segunda Ley de Newton (F=ma), se establece la siguiente expresión: V ( t )=Ri (t ) +i ( t )

m x=f ¨ m+ f g

(15) Siendo mẍ la resultante de tal interacción. De acuerdo a (H. H. Woodson y J. R. Melcher, Electromechanical Dynamics Part 1 .Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, 1968.), la fuerza magnética generada por un campo magnético se puede determinar a través de la coenergía magnética almacenada, mediante la siguiente expresión:

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f m=

∂ W´ m ( i, x ) ∂x

(16)

De este modo, es posible relacionar la parte eléctrica del sistema con la ecuación Sustituyendo Texto en Texto se obtiene: m x= ¨ ∂ m x= ¨ ∂x

Texto.

∂ W´ m ( i , x ) +f g ∂x i0

(∫ (∫

) )

ϕ ( x ,i ) di + f g

0

i0

∂ m x= L ( x ) i di + f g ¨ ∂x 0 Las ecuaciones Texto y Texto se pueden utilizar para obtener un modelo matemático para un sistema de levitación magnética. Además, presentan una gran similitud para el caso del modelo del cojinete magnético.

2.2.-Configuración del CMA Existen diferentes tipos de configuraciones de cojinetes magnéticos, dependiendo de las condiciones de operación del sistema, de los materiales de construcción, de su capacidad de carga, etc., aunque el principio de operación básicamente es el mismo. La construcción de un CMA también depende del tipo de movimiento del rotor que se requiere controlar. En aplicaciones prácticas se disponen de cojinetes radiales, así como transversales. Tanto el cojinete radial como el transversal tienen el objetivo de mantener constante el espacio libre entre el rotor y el resto de la maquinaria. La configuración del cojinete con el que se va a tratar, y que corresponde al mismo utilizado en (Ing. Sergio Miguel Delfín Prieto. (2014). Control no lineal robusto para un sistema de rotor horizontal y cojinetes magnéticos activos. C.U. Querétaro, Querétaro: UAQ.), se muestra en la Figura 6. Esta configuración corresponde a un rodamiento radial de cuatro polos, con los cuales se pretende controlar la posición del rodamiento en la dirección horizontal y vertical. 2.3.-Modelo matemático del CMA Así como en muchos procesos de modelado de sistemas, el modelo matemático del rodamiento se se puede simplificar gracias a ciertas suposiciones sin perder información sustancial sobre el comportamiento real del sistema. Nosotros supondremos que:

1. No se considera la dinámica propia de los sensores y actuadores, por lo tanto, no se incluye tal información dentro del modelo matemático. Realizó : Oscar Javier Rico Nieto y Suárez Soto Jesús Ismael. R00F-LABMAQELEC-OJ

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2. El rotor se considera como un cuerpo rígido, cuya masa está uniformemente distribuida. Se desprecia el efecto giroscópico, considerando que la velocidad de giro no rebasa a la frecuencia natural del sistema. Por ende, el rotor se considera como un cuerpo rígido. 3. El rodamiento magnético no tiene ninguna relación con la acción de giro del rotor. Para ello se supone que el eje está acoplado en uno de sus extremos a un motor, el cual realiza esta acción. 4. Los niveles de corriente están acotados. Esto con la finalidad de evitar posibles saturaciones magnéticas en los núcleos ferromagnéticos de cada electromagneto. 5. Los embobinados son altamente inductivos, y la inductancia depende únicamente de la variación en el espacio libre entre el rotor y el estator. 6. La resistencia magnética (reluctancia) que oponen los núcleos ferromagnéticos de cada electroimán es despreciable (de la misma manera que para el caso del sistema de levitación magnética mostrado en la Sección 2.1)

Figura 6.- Configuración de cuatro polos del rodamiento magnético. Considerando que el sistema de la Figura 6 se puede dividir en dos subsistemas: uno que controla la Realizó : Oscar Javier Rico Nieto y Suárez Soto Jesús Ismael. R00F-LABMAQELEC-OJ

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parte vertical y otro a la parte horizontal, y que ambas partes se describen mediante ecuaciones diferenciales similares , únicamente se presenta y analiza el modelo de la parte vertical (Figura 7). Para obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales que modelen la dinámica del subsistema vertical, éste se puede dividir en dos partes: una parte mecánica y una parte eléctrica, de la misma manera que para el caso del sistema de levitación magnética mostrado en la Figura 3.

Figura 7.- Subsistema del eje vertical del cojinete. 2.4.-Parte eléctrica Para la parte eléctrica, se consideran los dos circuitos eléctricos integrados por: las fuentes de alimentación V y V ,la resistencia eléctrica correspondiente a cada alambrado R y R 3 4 3 4 y la tensión inducida o fuerza electromotriz de cada electroimán φφ (x, i ) y φφ (x, i ) . Aplicando 3 3 4 4 la ley de voltajes de Kirchhoff para cada circuito, se tiene que: R3 i 3 ( t ) + ϕ˙ 3 ( x ,i 3 )=V 3

(17)

R4 i 4 ( t ) + ϕ˙ 4 ( x , i 4 )=V 4

(18)

Recordando la expresión Texto como una función de i y x, y particularizando para este caso, se Realizó : Oscar Javier Rico Nieto y Suárez Soto Jesús Ismael. R00F-LABMAQELEC-OJ

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tiene que los enlaces de flujo son: λ3 =L3 ( x ) i 3

(19)

λ 4=L4 ( x ) i 4

(20)

en donde las inductancias son funciones de la posición x , ya que su valor depende de la variación en la separación del rotor y del estator. Las expresiones utilizadas para las inductancias son, respectivamente: L3 ( x ) =

L4 ( x ) =

L0

(21)

2 ( g 0 + x ) + Lc

L0 2 ( g0 + x ) + Lc

(22)

Donde Lc y L0 son constantes positivas que dependen de la construcción del electroimán (número de espiras en el embobinado, la permeabilidad magnética de los núcleos ferromagnéticos, la permeabilidad magnética del espacio libre, etc.), g0 es el espacio libre existente entre la superficie del rotor y los electroimanes dispuestos en el estator, y x es la posición del rotor. Sustituyendo k = 2g0 + Lc en Texto y Texto , las expresiones para las inductancias se pueden reescribir de una manera compacta: L3 ( x ) =

L0 k −2 x

(23)

L4 ( x ) =

L0 k−2x

(24)

Las tensiones inducidas en cada embobinado están dadas como la derivadas con respecto al tiempo de los enlaces de flujo Textoy Texto, por lo tanto: di d L3 ( x ) dx ϕ˙ 3 ( x , i3 ) =L3 ( x ) 3 +i 3 dt dx dt L0 d 2 L0 i3 dx ϕ˙ 3 ( x , i3 ) = i3 + k −2 x dt ( k − 2 x )2 dt ϕ˙ 4 ( x ,i 4 ) =L4 ( x )

(25)

di4 d L4 ( x ) dx +i 4 dt dx dt

L0 d 2 L0 i 4 dx ϕ˙ 4 ( x ,i 4 ) = i4 + k −2 x dt ( k −2 x )2 dt Sustituyendo

Texto y

Texto en

Texto y

(26)

Texto respectivamente. Se obtiene las siguientes

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ecuaciones diferenciarles que corresponden a los voltajes V y V . 3 4

R3 i 3 ( t ) +

L0 d 2 L0 i 3 dx i3 + =V 3 k −2 x dt ( k −2 x )2 dt

(27)

R4 i 4 ( t ) +

L0 d 2 L0 i 4 dx i 4+ =V 4 k −2 x dt ( k − 2 x )2 dt

(28)

2.5- Parte mecánica La ecuación que muestra la interacción entre las fuerzas F y F que actúan sobre el rotor, es la 3 4 siguiente: m x=F ¨ 3 ( x , i 3 ) − F 4 ( x , i 4 ) −mg

(29)

en donde x es la posición, ẋ y ẍ son la velocidad y aceleración, respectivamente, g es la aceleraron de la gravedad, m es la masa del rotor mientras que las corrientes que circulan a través de cada embobinado son i e i . 3 4 Recordando que la fuerza magnética está dada como la derivada parcial de la coenergía magnética almacenada con respecto a x , de la misma manera como se describe en Texto para el sistema de levitación magnética visto anteriormente, entonces es posible calcular F y F de la siguiente 3 4 manera: f 3 ( x ,i )=

∂ W´ 3 ∂x

(30)

f 4 ( x , i )=

∂ W´ 4 ∂x

(31)

Al sustituir Texto y Texto respectivamente en Texto, se obtiene: m x= ¨

∂ W´ 3 ∂ W´ 4 − ∂x ∂x

(32)

donde la coenergía almacenada para cada circuito electromagnético es: i0

W´ 3=∫ L3 ( x ) i 3 di

(33)

0

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i0

W´ 4 =∫ L4 ( x ) i 4 di

(34)

0

Sustituyendo las expresiones para la inductancia L

y L , dadas en 3 4 respectivamente, en las expresiones anteriores, queda entonces:

Texto y

Texto

W´ 3=

L0 i23 2 ( k −2 x )

(35)

W´ 4 =

L0 i2 2(k + 2 x ) 4

(36)

Por último, sustituyendo Texto y Texto en la ecuación Texto, la ecuación diferencial para la parte mecánica queda como: m x= ¨

L0 i 23 2

2 ( k −2 x )

−

L0 i 24 2 (k +2 x )

2

−mg

(37)

CONCLUSIÓN Una buena descripción del modelo matemático, y la buena comprensión sobre las leyes naturales que lo sustentan ayuda en gran medida en el diseño de un controlador. En este caso, conocer la estructura de las ecuaciones diferenciales ayudará a determinar las posibles fallas a las cuales el controlador tratará de disminuir su efecto.

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BIBLIOGRAFÍA 

Ing. Sergio Miguel Delfín Prieto. (2014). Control no lineal robusto para un sistema de rotor horizontal y cojinetes magnéticos activos. C.U. Querétaro, Querétaro: UAQ.

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H. H. Woodson y J. R. Melcher, Electromechanical Dynamics Part 1 .Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, 1968.

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