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UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA FACULTAD DE INGENIERIA, CIENCIAS Y ADMINISTRACION DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA TEMUCO

CONVERSION ELECTROMECANICA DE LA ENERGIA

PROFESOR: MANUEL VILLARROEL M.

-2001-

I

INDICE CAPITULO 1

CAPITULO 2

MATERIALES Y CIRCUITOS MAGNETICOS 1.1.- Campo Magnético en un toroide hueco 1.1.1.- Cálculo de la Inducción magnética B 1.1.2.- Cálculo del flujo magnético φ en el toroide 1.2.- Toroide con núcleo de material magnético 1.3.- Curvas de Imanación y características de los materiales magnéticos 1.3.1.- Curvas de Imanación 1.3.2.- Pérdidas en núcleos magnéticos a.Pérdidas por Histéresis Fórmula de Steinmetz b.Pérdidas por Histéresis Rotatoria c.Pérdidas por Corrientes Parásitas (Foucault) Factor de Apilamiento d.Pérdida total en el núcleo e.Separación de las pérdidas por Histéresis y por corrientes de Foucault 1.4.- Ley de Faraday 1.5.- Inductancias propias y mutuas 1.6.- Forma de onda de la Corriente de excitación i0 en un reactor con núcleo saturable, para un flujo senoidal Cálculo Gráfico de los Coeficientes de la Serie de Fourier de i0(t) 1.7.- Valor eficaz y Potencia de la función i0(t) 1.7.1.- Valor eficaz 1.7.2.- Potencia 1.8.- Representación Fasorial de la Corriente de Excitación 1.9.- Circuito Equivalente de un reactor con núcleo saturable Determinación de Parámetros a.Resistencia de la bobina Rb b.Conductancia de pérdida gc y susceptancia de magnetización bm 1.10.- Medición de Pérdidas en núcleos magnéticos 1.11.- El Circuito Magnético 1.12.- El Toroide con un entrehierro pequeño 1.13.- Algunas consideraciones generales en la resolución de Circuitos Magnéticos

1 1 1 2 3 4 4 5 5 7 8 8 9 9 9 10 11 12

TRANSFORMADOR MONOFASICO DE DOS ENROLLADOS 2.1.- Introducción 2.2.- Algunos aspectos constructivos 2.3.- Flujos magnéticos en Transformador 2.4.- Obtención del Circuito Equivalente del Transformador 2.5.- Otros circuitos equivalentes del transformador 2.5.1.- Circuito equivalente referido al primario 2.5.2.- Circuito equivalente referido al secundario 2.5.3.- Circuitos equivalentes aproximados 2.6.- Diagrama fasorial de un Transformador 2.7.- Polaridad en el Transformador 2.8.- Determinación experimental de los parámetros del circuito equivalente del Transformador 2.8.1.- Prueba de vacío 2.8.2.- Prueba de cortocircuito 2.8.3.- Cálculo separado de las resistencias y reactancias de cada bobinado R1, R2, X1, X2 a.Separación directa (analítica)

24 24 24 26 27 29 29 30 30 31 32 33

14 15 15 15 16 17 17 17 17 18 19 20 22

33 34 35 35

II

CAPITULO 3

b.Con Corriente Continua 2.9.- Pérdidas dispersas (PSL) 2.10.- Corrección del valor de los parámetros del transformador por efecto de la temperatura 2.11.- Determinación de la razón de transformación 2.12.- Rendimiento del transformador 2.12.1.-Rendimiento convencional (η) 2.12.2.-Rendimiento máximo (ηmáx) 2.12.3.-Rendimiento diario o energético (ηd) 2.13.- Sistema en tanto por unidad 2.13.1.-Introducción 2.13.2.-Condiciones bajo las cuales deben calcularse las cantidades en por unidad a.Sin transformadores − Conservación de la Ley de Ohm Conservación de la Ley de Joule − b.Presencia de transformadores 2.13.3.-Cambio de base 2.13.4.-Ventajas del sistema en tanto por unidad 2.13.5.-Sistemas en tanto por unidad en circuitos trifásicos 2.13.6.-Valores en por unidad en la base propia de los parámetros del transformador 2.14.- Regulación de tensión del transformador (Reg) 2.14.1.-Definición 1 2.14.2.-Definición 2 2.15.- Conexión de transformadores en paralelo 2.15.1.-Introducción 2.15.2.-Conexión en paralelo de transformadores con igual razón de transformación 2.15.3.-Conexión en paralelo de transformadores de distinta razón de transformación 2.16.- El autotransformador 2.16.1.-Introducción 2.16.2.-Obtención del circuito equivalente del autotransformador elevador referido al primario 2.16.3.-Autotransformador reductor 2.16.4.-Determinación de los parámetros 2.16.5.-Comparación entre las potencias nominales del autotransformador y del transformador 2.16.6.-Comparación entre las impedancias equivalentes del autotransformador y del transformador respectivo

35 36 36

TRANSFORMADORES TRIFASICOS Y BANCOS 3.1.- Introducción 3.1.1.- Transformadores trifásicos tipo acorazado 3.1.2.- Transformador trifásico tipo núcleo con tres columnas 3.2.- Polaridad en transformadores trifásicos 3.3.- Conexiones trifásicas de transformadores 3.3.1.- Consideraciones generales 3.3.2.- Deducción de algunas conexiones a.Conexión YY0 ó YY12 b.Conexión ∆Y5 c.Conexión YZ11 3.3.3.- Determinación experimental del Desplazamiento angular de la conexión 3.3.4.- Conclusiones 3.3.5.- Normas internacionales

51 51 51 52 53 53 53 54 54 54 55 55 56 56

37 37 37 37 38 39 39 39 39 40 40 40 42 42 42 43 44 44 45 45 45 46 46 47 47 48 49 50 50 50

III

a.b.3.4.3.4.1.3.4.2.3.4.3.3.4.4.3.4.5.3.4.6.3.4.7.3.4.8.3.4.9.3.5.3.6.3.6.1.3.6.2.a.b.3.6.3.3.6.4.3.6.5.-

Normas americanas Normas alemanas Circuito equivalente de un transformador trifásico Introducción Conexión estrella-estrella Conexión delta-delta Conexión delta-estrella Conexión estrella-delta Característica de excitación Valor de los parámetros en por unidad Determinación experimental de los parámetros del circuito equivalente “por fase” Razón de transformación trifásica (aT) Pérdidas dispersas Armónicos en transformadores trifásicos y bancos Introducción Transformador estrella-estrella sin neutro Tipo acorazado o banco Tipo núcleo Transformador estrella-estrella con neutro encadenado Transformador estrella-triángulo Transformador estrella-zigzag

56 56 56 56 57 58 59 59 59 59 60 60 61 61 61 63 63 63 64 65 66

CAPITULO 4

PRINCIPIOS DE CONVERSION ELECTROMECANICA 4.1.- Introducción 4.2.- Estado y variables de estado 4.3.- Sistema de acoplamiento electromecánico de campo magnético 4.3.1.- Función de Estado Energía 4.3.2.- Fuerza de origen eléctrico a partir de la Función de Estado Energía 4.3.3.- Función de Estado Coenergía Magnética 4.3.4.- Fuerza de origen eléctrico a partir de la Coenergía 4.3.5.- Sistema de N entradas eléctricas y M entradas mecánicas 4.3.6.- Relación terminal en el sistema de acoplamiento de campo magnético 4.3.7.- Observaciones generales 4.4.- Sistema de acoplamiento de Campo Eléctrico 4.4.1.- Consideraciones generales 4.4.2.- Relación terminal en un sistema de campo eléctrico 4.4.3.- Funciones de Estado Energía y Coenergía y Fuerza de origen eléctrico en el sistema de campo eléctrico

67 67 67 68 68 70 71 72 72 72 72 73 73 74 75

CAPITULO 5

CONCEPTOS BASICOS DE MAQUINAS ROTATORIAS 5.1.- Introducción 5.2.- Consideraciones generales 5.2.1.- Máquinas síncronas elementales 5.2.2.- Máquinas elementales de Corriente Continua 5.2.3.- Máquinas elementales de Inducción 5.3.- Tensiones inducidas 5.3.1.- Máquinas de Corriente Alterna 5.3.2.- Máquinas de Corriente Continua 5.4.- Fuerzas magnetomotrices de los devanados distribuidos 5.4.1.- Devanado de paso completo 5.4.2.- Devanado de paso fraccionario 5.5.- Torque en máquinas de polos no salientes

77 77 78 78 80 81 82 82 84 85 85 90 94

1

CAPITULO 1 MATERIALES Y CIRCUITOS MAGNETICOS 1.1.-

Campo magnético en un toroide hueco

Un bobina de forma toroidal es la configuración mas sencilla en cuanto al campo magnético establecido al circular una corriente por ella. Esto permite visualizar mejor los fenómenos que ocurren y obtener una mejor aproximación en la descripción de ellos. Así entonces, para este estudio, consideraremos el toroide de la Figura 1.1 donde supondremos que:

C Rf

Rb

i R

+

v

a dl

θ

r

x

O

-

B z Figura 1.1.- Bobina devanada sobre un núcleo de forma toroidal −

El conductor de la bobina es de diámetro pequeño y uniforme. Tiene una resistencia total Rb y está enrollado en N vueltas distribuidas uniformemente sobre un toroide de pared muy delgada de material no magnético con núcleo de aire.

−

La bobina está conectada a una fuente de voltaje con resistencia interna Rf

−

No hay ningún objeto magnéticamente susceptible, ubicado cerca de la bobina

En base a las consideraciones anteriores, se puede postular que todos los puntos ubicados a la misma distancia r del centro O del toroide, se encuentran en idéntica situación o estado magnético, en cuanto al campo magnético establecido por la corriente i que circula en la bobina. 1.1.1.- Cálculo de la Inducción magnética B Para deducir la expresión de la Inducción Magnética B establecida por la corriente que circula en la bobina, utilizaremos la Ley Circuital de Ampere:

r

r

∫ B • dl = µ0 I

C

en que: r Cr : Curva sobre la que se evalúa B y que enlaza la corriente neta I. Br : Inducción magnética en un punto sobre C [Weber/m2] dl : Elemento de longitud sobre la curva C µ 0 : Permeabilidad del vacío: 4 π · 10 -7 [Hy/m]

(1.1)

2

Aplicando (1.1) a la Figura 1.1 se tiene:

Cr

: Circunferencia de centro O y radio r B = B θˆ r d l = r dθ θˆ , de donde : B=

µ0 I 2π r

(1.2)

Para la curva C , se presentan 3 casos: − − −

Que C sea tal que: Que C sea tal que: Que C sea tal que:

0 〈 r 〈 (R − a ) ⇒ I = 0; B = 0 r 〉 (R + a ) ⇒ I = 0; B = 0 (R − a ) 〈 r 〈 (R + a ) ⇒ I = + N i

Por lo que se puede escribir r µ Ni θˆ B= 0 2π r

para (R - a ) 〈 r 〈 (R + a )

(1.3)

1.1.2.- Cálculo del flujo magnético φ en el toroide

Por definición se tiene que: r φ = B • nˆ dA

∫

(1.4)

S

donde : φ

: flujo que atraviesa la superficie

r B : Inducción magnética sobre S n$ : vector unitario normal a la superficie S dA : Elemento de área en S. Para evaluar (1.4) consideremos la Figura 1.2 en que se muestra una sección cualquiera del toroide.

Eje Toroide dA dα α x dx

a

R r Figura 1.2.- Sección de un toroide

3

En ella se puede escribir:

r = R + x cos α dA = x dα dx r B • nˆ = B Luego, (1.4) queda: φ=∫

x =a

x =0

α=2π

∫α=0

µ 0 N i x dx dα 2π (R + x cos α )

(1.5)

Por lo que el flujo φ que atraviesa la sección transversal del toroide es[4]: φ = µ 0 N i  R − R 2 − a 2   

(1.6)

Para el toroide de sección rectangular, se obtiene: φ=

µ0 N i c b Ln   2π a

(1.7)

Donde a y b son las distancias medidas desde el eje del toroide a cada lado del rectángulo (b 〉 a) y c es la altura. Si se supone que la inducción magnética B es constante en el interior del toroide y su valor corresponde al que existe en el centro de su sección transversal; es decir en (1.2), r se reemplaza por R, se obtiene: −

para el toroide de sección circular:

φ= BA = −

µ0 N i a 2 2R

(1.8)

y para el toroide de sección rectangular: φ=

µ 0 N i c (b − a ) π (a + b )

(1.9)

A manera de ejemplo, consideremos el toroide de sección rectangular, para evaluar el flujo usando las expresiones anteriores con: a = 4 cm; b = 6 cm; c = 2 cm; N = 600 espiras y una corriente de 1 Amp. en la bobina. Los valores obtenidos son φ = 9,73 · 10-7 [Weber] y φ = 9,6 · 10-7 [Weber] según se utilice (1.7) y (1.9) respectivamente. Se puede observar que utilizando la expresión aproximada en lugar de la mas exacta, se comete un error del 1,34 %. Por lo tanto, en lo sucesivo, para evaluar el flujo de un toroide de sección r rectangular o circular, se usarán las expresiones aproximadas que consideran que la inducción magnética B es constante en toda la sección transversal e igual al valor que tiene en el centro. 1.2.-

Toroide con núcleo de material magnético

Si el toroide de la Figura 1.1 se rellena con material ferromagnético, las expresiones anteriores deben modificarse. En ausencia del material ferromagnético, la densidad de flujo en el centro de la sección del toroide que designaremos por B0 es: B0 =

µ0 N i 2π R

(1.10)

4

Con el núcleo de material ferromagnético, este valor que se designará por B, se incrementa. No entraremos en detalles para explicar esta situación. Sin embargo, es conveniente indicar que existen materiales en los cuales el efecto es contrario, es decir, la densidad de flujo disminuye (materiales diamagnéticos). Los materiales en los cuales B aumenta se denominan paramagnéticos y, cuando el efecto es importante se denominan ferromagnéticos. Para el toroide con núcleo ferromagnético, se puede afirmar ahora que: r r r B = B0 + Bi

(1.11)

En que Bi es la inducción magnética proveniente de la magnetización del material. Si consideramos que el comportamiento del material del núcleo es lineal se puede escribir: r r Bi = χ m B 0 (1.12) Donde χ m es la susceptibilidad magnética del material y de esta forma: r r B = (1 + χ m )B 0

(1.13)

Según lo planteado, la ley circuital de Ampere se puede escribir: r r ∫ B0 • d l = µ 0 N i

(1.14)

Despejando B0 de (1.13), introduciéndolo en (1.14) y despejando se obtiene: r r ∫ H • dl = N i

(1.15)

C

C

En donde se ha definido: µ = µ 0 (1 + χ m )

y

r r B=µ H

(1.16)

r

La expresión (1.15) corresponde a la ley circuital de Ampere cuando existe material magnético. H es el vector intensidad de campo y µ es la permeabilidad magnética del material (constante sólo si la relación BH es lineal). 1.3.-

Curvas de Imanación y características de los materiales magnéticos

1.3.1.- Curvas de Imanación

La Figura 1.3 muestra una disposición para determinar la curva de imanación (Curva de Histéresis o Curva B-H). La intensidad H se mide a través de la corriente, según (1.17) H=

N i 2π R

(1.17)

En cuanto a B, se supone medida de una forma que por ahora no interesa. Por intermedio del interruptor K se puede invertir la polaridad, para obtener valores negativos de la corriente. En primer lugar se debe desmagnetizar la muestra y luego se aumenta la corriente hasta el valor de H máximo fijado para la prueba; en seguida se disminuye hasta cero, se invierte la polaridad y se repite el proceso. Se debe tener cuidado en no volver a retomar un valor ya pasado, debido a las características de histéresis del material. La curva obtenida se muestra en la Figura 1.4, donde se puede observar que:

5

a i

A K

+ -

φ R

+ e -

B Figura 1.3.- Circuito para determinar la curva B-H − −

existe una densidad de flujo residual (Br) aún cuando la intensidad de campo H (y la corriente) sea cero. existe una fuerza coercitiva (Hc) aún cuando la densidad de flujo B sea cero.

La Curva de Magnetización Normal se define como el lugar geométrico de todos los puntos (Bmax, Hmáx) de los distintos lazos de Histéresis. B Bmáx1 Bmáx2 Br

- Hmáx1 - Hmáx2 - Hc Hc

Hmáx2 Hmáx1

H

Curva de Magnetización Normal

-Br - Bmáx2 - Bmáx1

Figura 1.4.- Familia de anillos de Histéresis y Curva de Magnetización Normal 1.3.2.- Pérdidas en núcleos magnéticos a.-

Pérdidas por Histéresis

La existencia de un campo eléctrico o magnético indica siempre una acumulación de Energía. En ciertas condiciones, que dependen de las propiedades del medio, la energía entregada cuando se establecen los campos, vuelve al sistema inicial cuando éstos se suprimen. En el vacío, el proceso es totalmente reversible.

6

En toda pieza de un aparato en la que existan los campos eléctrico y magnético, los procesos de acumulación y liberación de energía no son totalmente reversibles. Cierta cantidad de energía se disipa siempre en forma de calor, en el medio ocupado por el campo. En general, la densidad volumétrica de energía ω entregada al medio, cuando B varía desde un valor B1 cualquiera a otro B2 es: ω=∫

B2

B1

H dB

(1.18)

Para realizar la integración indicada es preciso conocer H como función de B, para la variación de inducción magnética que se considere. Por ejemplo, si la variación de B es cíclica y la región ocupada por el campo contiene un material ferromagnético, se necesitará la curva de imanación del material del núcleo (Figura 1.4) para todo el ciclo. Si se considera constante la permeabilidad (relación lineal entre B y H) la histéresis deberá considerarse despreciable, por lo que, usando (1.16) se puede escribir: ω=

(

1 B 22 − B12 2µ

)

(1.19)

o bien: ω=

B2 µ H 2 = 2µ 2

Cuando la inducción magnética B se establece a partir de cero.

Figura 1.5.- Pérdidas de histéresis por ciclo de magnetización de un material ferromagnético

(1.20)

7

A partir de (1.18) y las Figuras 1.5 a), b), c) y d) se puede mostrar que la densidad volumétrica de energía ω disipada en el núcleo, en un ciclo de magnetización es igual al área encerrada en este ciclo. En efecto: ωa = ∫

B max

− Br

H dB = Area Achurada en la Figura 1.5 a)

como H 〉 0 y B max 〉 - B r ⇒ ωa 〉 0 , es decir esta área corresponde a energía absorbida por el sistema. De la misma forma: Br

ω b = ∫ H dB = Area Achurada en la Figura 1.5 b) 〈 0 Bmáx

ωc = ∫

− Bmáx

ωd = ∫

− Br

Br

⇒ el sistema cede energía (a la fuente)

H dB = Area Achurada en la Figura 1.5 c) 〉 0 ⇒ el sistema absorbe energía (de la fuente)

H dB = Area Achurada en la Figura 1.5.a) 〈 0

− B máx

⇒ el sistema cede energía (a la fuente)

Luego, la densidad de energía total absorbida por el sistema, por ciclo de histéresis será: ωH = ωa + ω b + ωc + ωd = A H

(1.21)

Donde AH es el área en [Weber/m2] x [ Amp. vuelta/m ] del ciclo de histéresis. En un núcleo magnético excitado con Corriente Alterna de frecuencia f, se tendrá f ciclos de histéresis por segundo, por lo que la potencia PH disipada en el núcleo de volumen V, será: PH = f V ω H = f V A H

(1.22)

Fórmula de Steinmetz

Empíricamente Steinmetz encontró que la energía perdida por unidad de volumen y por ciclo está dada aproximadamente por: ωH = η B nmax

(1.23)

En que: η (coeficiente de Steinmetz) y n (exponente de Steinmetz) tienen valores que dependen del material del núcleo. Los valores de η y n, en la actualidad, pueden no ser constantes para un material, por lo que deben evaluarse para un cierto dominio de Bmáx y usarse luego sólo en éste. Aplicando logaritmo en ambos miembros de (1.23) se tiene: log ωH = log η + n log B max

(1.24)

La expresión (1.24) indica que existe una relación lineal entre log ω H y log B máx , tal como se muestra en la Figura 1.6 , donde a= log ω H y la pendiente n es la razón entre ∆V y ∆U Si en forma experimental, se construye el gráfico de la Figura 1.6 para un cierto material y éste corresponde a una línea recta, se podrá verificar que n es constante.

8

La pérdida total por histéresis en un volumen V en que la inducción magnética sea uniforme y varíe cíclicamente con una frecuencia de f [ciclos/seg] se puede expresar como: PH = η V f B nmax

(1.25)

log ω H

V U

a

log B máx Figura 1.6 .- Gráfico que muestra la Ecuación (1.24) b.-

Pérdidas por histéresis rotatoria

Son causadas por la variación del estado de imanación debido a los cambios en la dirección de magnetización. Este efecto ocurre en máquinas eléctricas cuando un núcleo se mueve en un campo magnético constante y puede, en algunos casos llegar a ser importante. c.-

Pérdidas por corriente parásitas (Foucault)

El material de un núcleo es conductor y, si la inducción magnética varía, cambia el flujo enlazado por trayectorias en él. Esto da lugar a tensiones inducidas y en consecuencia, se establecen corrientes, si las trayectorias constituyen caminos cerrados, razón por lo cual, los núcleos excitados con flujos variables en el tiempo, se construyen laminados. Las corrientes anteriormente mencionadas, se denominan parásitas o de Foucault y por supuesto dan origen a pérdidas de potencia en el núcleo. La determinación analítica de ellas es bastante engorrosa y no tiene sentido efectuarla en este curso; sin embargo, es posible demostrar que, si el voltaje inducido en la bobina de excitación y el flujo en el núcleo son funciones sinusoidales del tiempo, la potencia media perdida por unidad de volumen pF es [1]: pF =

π 2 f 2 t 2 B 2max 6 ρ

(1.26)

donde: t es el espesor de las láminas, f es la frecuencia de la fuente de alimentación y ρ es la resistividad del material. Si B es uniforme en todo el volumen, las pérdidas totales debido a las corrientes parásitas PF son: PF =

V π 2 f 2 t 2 B 2max 6 ρ

(1.27)

9

Factor de Apilamiento

Como una forma de disminuir las pérdidas por corrientes parásitas, el material que forma el núcleo está constituído por chapas (láminas) delgadas, recortadas en forma adecuada y apretadas entre si. Entre ellas se coloca una capa de material aislante, como forma de evitar el contacto eléctrico. Esto significa que el volumen ocupado por las láminas (de material magnético) es menor que el volumen total del núcleo. La zona entre las láminas tiene una permeabilidad menor que la del material y por lo tanto conduce menor flujo. El factor de apilamiento relaciona el área ocupada por el material magnético con la que ocupa toda la sección del núcleo, es decir: Fap =

A ef At

(1.28)

donde: Aef es el área efectiva ocupada por el material magnético y At es el área total del núcleo. Los valores del Factor de Apilamiento varían entre 0,95 y 0,90 para láminas con espesores comprendidos entre 0,63 y 0,35 mm y entre 0,75 y 0,40 para láminas con espesores entre 0,12 y 0,025 mm. d.-

Pérdida total en el núcleo

Corresponde a la suma de las pérdidas por histéresis y corrientes parásitas. Es decir, por unidad de volumen se tiene: p n = η f B nmax +

π

2

f 2 t 2 B 2max 6 ρ

(1.29)

Si la inducción magnética B es uniforme en todo el volumen, entonces la pérdida total Pn será el producto de pn por el volumen V. e.-

Separación de las pérdidas por Histéresis y por corrientes de Foucault

Aún cuando lo que interesa a menudo es la magnitud de la pérdida total en el núcleo, en algunos casos se hace necesario conocer los valores de PH y PF separados. Esto permite saber sobre que factores se debe actuar con el objeto de disminuir la pérdida total en forma económica. La separación se puede efectuar en principio considerando que PH depende de f y PF depende de f 2 . Para ello se hacen mediciones a dos frecuencias distintas f1 y f2. Sean: Pn1 y Pn2

: Potencia total perdida en el núcleo a las frecuencias f1 y f2 respectivamente.

PH1 y PH2 : Potencia perdida por histéresis a f1 y f2. PF1 y PF2 : Potencia perdida por corrientes parásitas a f1 y f2. Se puede plantear entonces, el siguiente sistema de ecuaciones:

(1) PH 1 + PF 1 = Pn 1

(2) PH 2 + PF 2 = Pn

2

(3)

PH 1 f1 = PH 2 f 2

(4)

PF 1 f12 = PF 2 f 22

(1.30)

10

Donde se ha supuesto que al hacer las mediciones a las dos frecuencias, se mantiene constante el valor de Bmáx. La resolución del sistema de 4 ecuaciones (1.30) permite determinar, por ejemplo, PH1 y PF1:

1.4.-

PH 1 =

f 22 Pn 1 − f12 Pn 2 f 2 (f 2 − f1 )

(1.31)

PF 1 =

f1 (f1 Pn 2 − f 2 Pn 1 ) f 2 (f 2 − f1 )

(1.32)

Ley de Faraday

La Ley de Faraday (Faraday-Henry), expresa que en una trayectoria cerrada C, que enlaza un flujo magnético que varía en el tiempo se induce una tensión e, dada por: e=−

d r B • nˆ dA dt ∫S

(1.33)

en que las distintas variables se asocian a la Figura 1.7. n Curva C dA

B i

R

+

+

e -

-

v

S Figura 1.7.- Lazo de corriente para explicar la ley de Faraday Por definición: r φ = ∫ B • nˆ dA

(1.34)

S

entonces: e=−

dφ dt

(1.35)

En la ley de Faraday, la tensión inducida se considera en el sentido positivo de la curva cerrada orientada C, es decir, como fuente. El signo menos (-) expresa el hecho que el sentido que tiene la tensión inducida es tal, que al poder hacer circular una corriente por la trayectoria C, se produzca una inducción magnética que tienda a evitar que el enlace de flujo cambie (ley de Lenz). En la Figura 1.7, e corresponde a una caída de tensión, por lo que a partir de ella se puede escribir: v = R i+e =R i+

dφ dt

(1.36)

En general, el flujo enlazado λ se define como: λ = N φ . Por otra parte, si consideramos el toroide de la Figura 1.1, la curva C es la descrita por todo el conductor de la bobina, que matemáticamente es muy complicada. Sin embargo, se puede calcular el enlace de flujo pensando en una sola espira, considerando que:

11

B =

µ0 N i 2π R

(1.37)

De este modo, el flujo enlazado por una espira λ1 será: λ1 = B A = φ . Para cada espira se tiene el mismo resultado, por lo que el flujo total enlazado λ corresponderá a:

λ = N λ1 = N φ

(1.38)

Supongamos que el toroide de la Figura 1.1 se conecta a una tensión alterna sinusoidal v = 2 V cos ω t volt y se desprecia la resistencia de la bobina y de la fuente. En estas condiciones: e = v = 2 V cos ω t = N

dφ dt

(1.39)

Resolviendo esta ecuación se obtiene:

φ=

2V sin ω t ωN

(1.40)

Es decir, en las condiciones planteadas, el flujo es sinusoidal y su magnitud es independiente de las características del núcleo. Escribiendo (1.40) como:

φ = φ máx sin ω t

(1.41)

V 4,44 f N

(1.42)

φ máx =

Donde V es el valor eficaz de la tensión, ω = 2 π f es la frecuencia angular y 2 π/ 2 es aproximadamente igual a 4,44. A partir de (1.42) se puede escribir: V = 4,44 f N φ máx

(1.43)

o bien: V = 4,44 f N A B máx

(1.44)

Esta última expresión permite medir en forma aproximada la inducción magnética máxima en el núcleo a través de la tensión efectiva V. 1.5.-

Inductancias propias y mutuas

Consideremos los circuitos C1 y C2 magnéticamente acoplados que se muestran en la Figura 1.8 suponiendo en principio que sólo circula corriente en el circuito C1 Definición 1: El flujo producido por la corriente i1 que recorre la trayectoria C1 , que es enlazado por C1 se denomina enlace propio λ11 y está dado por: r (1.45) λ11 = ∫ B • nˆ dA s1

Definición 2: El flujo producido sólo por i1 que es enlazado por la trayectoria C2 se denomina enlace de flujo mutuo λ1 2 y vale: r (1.46) λ1 2 = ∫ B • nˆ dA s2

12

C1

C2

i1

i2 S1

S2 B

Figura 1.8.- Circuitos magnéticamente acoplados Según lo anterior, las inductancias propia L11 y mutua L12 se definen como: L11 =

λ 11 i1

y

L1 2 =

λ1 2 i1

(1.47)

Análogamente podemos definir la inductancia propia de la trayectoria C2, L22 y mutua L21 L 22 =

λ 22 i2

y

L 21 =

λ 21 i2

(1.48)

Estas definiciones se pueden extender a más de 2 circuitos acoplados. Además: L12 = L21 = M Si como ocurre normalmente, circula corriente en las dos bobinas y éstas están acopladas se puede escribir:

λ1 = λ11 ± λ 21 = L11 i1 ± L 21 i 2

(1.49)

λ 2 = ±λ12 + λ 22 = ± L12 i1 + L 22 i 2

(1.50)

Donde λ1 y λ 2 son los flujos totales enlazados por C1 y C2 respectivamente. Por otra parte el doble signo depende de los sentidos relativos de las corrientes en las trayectorias. 1.6.-

Forma de onda de la Corriente de excitación i0 en un reactor con núcleo saturable, para un flujo senoidal

Consideremos el toroide de la Figura 1.1. La resistencia es despreciable y la tensión aplicada es v = 2 V cos ω t =e, con lo que se puede escribir: φ=

2V sen ω t ωN B=

i=

2πR H N

φ 2V = sen ω t A ωNA

(1.51)

(1.52) (1.53)

La relación entre B y H ( φ e i0 en este caso), corresponde a la curva de imanación del núcleo. La Figura 1.9 muestra las ondas de tensión, flujo y la curva de histéresis así como la curva obtenida para i0(t), la que se muestra separada en la Figura 1.10. Según esta Figura, se puede concluir que cuando el flujo es forzado a ser sinusoidal y el núcleo es saturable, la corriente de excitación, no es sinusoidal.

13 v, φ v (t)

φ

φ (t) 4'

4''

2 1

3 3'

2' 0 a

9

5'

4 b

c

d

6'

e

f

8

7' 1'

5

g

5''

3''

6'' h

t

2''

i0

7''

9'

1" - 9''

7 6

8'' 8'

1''' 2'''

3'''

a b

i0

4'''

c 5''' d

6''' 7'''

e

8'''

f

9'''

g t

Figura 1.9.- Determinación gráfica de la Corriente de excitación en un reactor de núcleo ferromagnético, para un flujo sinusoidal y considerando que la resistencia óhmica de la bobina es despreciable

14

i0(t) i0(k) i0(t 1)

t 1+T/2

t 1 αk

i0(t 1+T/2)

T

t, ω t

Intervalo m

Figura 1.10.- Forma de onda de la corriente de excitación La corriente de excitación de la Figura 1.10 presenta las siguientes características: − −

Es periódica, de período T (2 π ) Tiene simetría de media onda, es decir: i 0 (t 1 + T 2) = −i 0 (t 1 ) Por lo anterior, puede ser desarrollada en serie de Fourier como sigue: ∞

i 0 (t ) = ∑ [I 0 a n cos n ω t + I o b n sen n ω t ]

(1.54)

0

donde Ioan e Iobn son los valores máximos de los coeficientes de la serie, esto es: I0 a n =

2 T2 i 0 (t ) cos n ω t dt T ∫−T 2

(1.55)

I0 b n =

2 T2 i 0 (t ) sen n ω t dt T ∫−T 2

(1.56)

Por las características de i0(t), la serie de Fourier no tiene término constante (su valor medio es cero) y además sólo existen los armónicos impares ( n = 1,3,5....). De acuerdo con ésto, el desarrollo de la serie hasta el quinto armónico tiene la forma de las ecuaciones (1.57) ó (1.58) siguientes: i 0 ( t ) = I 0 a1 cos ω t + I 0b1senω t + I 0 a3 cos 3ω t + I 0b3sen3ω t + I 0a5 cos 5ω t + I 0b5 sen5ω t

(1.57)

i 0 ( t ) = I 01 cos(ωt - φ1 ) + I 03 cos(3ωt - φ 3 ) + I 05 cos(5ωt - φ 5 )

(1.58)

Donde: I 0 n = I 02an + I 02bn

y

φ n = tg -1

I 0 bn I 0 an

con n=1,3,5,..

(1.59)

Cálculo Gráfico de los Coeficientes de la Serie de Fourier de i0(t)

En la práctica, no se dispone de la función i0(t) en forma analítica y por lo tanto no es posible aplicar las expresiones (1.55) y (1.56) para determinar los coeficientes de la serie de Fourier. Sin embargo, se puede obtener un gráfico de i0(t) y a partir de él, determinar los coeficientes en forma aproximada. Para ello existen diversos métodos, uno de los cuales veremos a continuación con ayuda de la Figura 1.10. El método consiste en lo siguiente:

15 − −

Se divide el período 0 - 2π de la onda de i0(t) en m intervalos iguales de longitud 2π/m cada uno. En el punto medio de cada intervalo, se mide el valor de i0 dado por la curva en conjunto con el valor del ángulo, es decir, para el intervalo k: i0(k) y α k . Bajo esas condiciones: I 0 an =

2 k =m ∑ i 0 (k ) cos n α k m k =1

(1.60)

I 0 bn =

2 k =m ∑ i 0 (k ) sen n α k m k =1

(1.61)

donde n= 1,3,5, ..... y α k =

2 π  2 k - 1   m  2 

La precisión que se obtiene al calcular los coeficientes de esta forma depende de la cantidad de intervalos que se consideren. Mientras mayor sea m, mejor será la precisión. 1.7.-

Valor Eficaz y Potencia de la función i0(t)

1.7.1.- Valor Eficaz

En general, el valor eficaz o efectivo de una función periódica desarrollada en serie de Fourier, es igual al valor medio en un período más la raíz cuadrada de la suma cuadrática de los valores eficaces de los armónicos de la onda. En el caso de i0(t), su valor medio es nulo y por lo tanto su valor efectivo Ioef será (considerando hasta el quinto armónico): I 0 e f = I 02a1ef + I 02 b1ef + I 02a 3ef + I 02b 3ef + I 02a 5ef + I 02b 5ef

(1.62)

1.7.2.- Potencia

La potencia eléctrica instantánea p es: p( t ) = v( t ) i( t )

(1.63)

Donde v( t ) = 2 V cos ω t e i(t) = i0(t) corresponde a las expresiones (1.57) ó (1.58) La potencia media P es por definición: P=

1 T p( t ) dt T ∫0

Al reemplazar (1.57) en (1.64) se tiene 3 tipos de términos: a)

Producto de 2 cosenos de la misma frecuencia

b)

Productos de coseno por seno de igual y distinta frecuencia

c)

Productos de coseno por coseno de distinta frecuencia

(1.64)

16

Las integrales de b) y c) en un período son nulas y por lo tanto, sólo queda la integral correspondiente al tipo de término indicado en a) cuyo valor es: P = V I 0a1ef

(1.65)

Este resultado expresa el hecho que la potencia es igual al producto del valor eficaz de la tensión por el valor eficaz de la componente de la corriente de la misma frecuencia y que está en fase con la tensión. Por otra parte, como se ha considerado que la resistencia de la bobina es despreciable, representa la potencia disipada en el núcleo. Reconsiderando la expresión (1.57) y el resultado obtenido en (1.65) se puede apreciar que existen términos de la corriente de excitación que no contribuyen a la potencia media P. Ello permite considerar a la corriente de excitación como la suma de dos (2) componentes. − −

Ip : Componente de pérdidas en el núcleo, que en este caso corresponde a Ioa1 Im: Componente magnetizante, que considera todos los términos que no contribuyen a la potencia disipada y que en este caso se puede escribir como:

I m = I 2ob1 + I 20a 3 + I 20 b 3 + I 20a 5 + I 20 b5

(1.66)

En que todos los valores pueden ser efectivos o máximos según corresponda. 1.8.-

Representación Fasorial de la Corriente de Excitación

La corriente de excitación que se ha estudiado es la misma que existe por ejemplo, en un transformador. Su valor, en este caso, es del orden del 1 al 8% de la corriente nominal. Por ello, aún cuando no es sinusoidal, se puede considerar como tal, como una buena aproximación en la mayoría de los casos. Esto significa despreciar los armónicos de orden mayor que 1. Es decir: i 0 ( t ) = 2 I 0a1ef cos ω t + 2 I 0b1ef sen ω t

(1.67)

definiendo: i p = 2 I 0a1ef cos ω t

Componente de Pérdida

(1.68)

i m = 2 I 0b1ef sen ω t

Componente de Magnetización

(1.69)

o bien, utilizando (1.58): i 0 ( t ) = I 0 cos(ωt − ϕ) ⇒ &I 0 = I 0 ∠ − ϕ con I 0 = ( 2 I 0 a1ef ) 2 + ( 2 I 0b1ef ) 2

(1.70)

 2 I 0b1ef y ϕ = tg -1   2I 0a1ef 

   

(1.71)

El ángulo ϕ representa el desfase del fasor &I 0 respecto de la tensión aplicada, por lo que se puede dibujar el siguiente diagrama fasorial (Figura 1.11).

17

ϕ

Ip

V

Im Io

φ

Figura 1.11.- Diagrama fasorial que representa la corriente de excitación De la Figura 1.11 se puede escribir: I p = I 0 cos ϕ 1.9.-

I m = I 0 sen ϕ

e

(1.72)

Circuito Equivalente de un reactor con núcleo saturable

No obstante las características no lineales del núcleo, las bobinas con núcleo saturable se pueden representar sin mucho error, por un circuito eléctrico de parámetros constantes como se muestra en la Figura 1.12, donde: −

gc : Conductancia (recíproco de la resistencia) que representa las pérdidas en el núcleo.

−

bm : Susceptancia (recíproco de la reactancia) asociada a la magnetización del núcleo. Io

Rb

Im +

Ip

E

gc

+ V -

- jbm

-

Figura 1.12.- Circuito equivalente de un reactor con núcleo saturable Determinación de Parámetros a.Resistencia de la bobina Rb: Se puede medir utilizando el método del Vóltmetro y Ampérmetro, efectuando varias lecturas y calculando el promedio. También podría emplearse algún tipo de puente (de Wheatstone por ejemplo). En los dos se usa corriente continua. El valor obtenido, se puede considerar como resistencia efectiva (de corriente alterna), ya que el efecto de la frecuencia es poco influyente hasta valores de alrededor de 60 ciclos/seg. b.Conductancia de pérdida gc y susceptancia de magnetización bm: Para este propósito se usa el circuito mostrado en la Figura 1.13. Se aplica a la bobina una tensión sinusoidal, de magnitud y frecuencia conocidas y se miden: la potencia total P disipada en el reactor a través del wátmetro W, el voltaje aplicado, con el vóltmetro V y la corriente de excitación establecida I0, con el ampérmetro A. Según lo ésto, la potencia perdida en el núcleo Pn será:

Pn = P - I 02 R b

(1.73)

18

A

+ v

+-

+W

Io

V -

Figura 1.13.-Circuito para determinar los parámetros gc y bm Como se conoce Rb, la expresión (1.73) permite calcular Pn. Por otra parte, de la Figura 1.12 se tiene: Pn = E 2 g c = V 2 g c

(1.74)

Si se desprecia la caída de tensión en Rb. De (1.73) y (1.74) se obtiene entonces: gc =

P - I 02 R b V2

(1.75)

Análogamente, la susceptancia de magnetización bm se puede obtener a partir de la potencia reactiva Qn asociada a la magnetización del núcleo; es decir: bm =

Qn = V2

(V I 0 ) 2 − Pn2 V2

(1.76)

1.10.- Medición de Pérdidas en núcleos magnéticos

La forma mas sencilla de medir las pérdidas en núcleos magnéticos consiste en emplear el circuito de la Figura 1.13 y utilizar la ecuación (1.73). Este método es sencillo y razonablemente satisfactorio cuando no se requiere mucha precisión. Sin embargo, para que el valor de la potencia perdida tenga un significado preciso, deben especificarse los valores de la inducción magnética B, la frecuencia f y las dimensiones y peso del núcleo e indicarse de que manera se obtuvo y dispuso la muestra. De ellos, el único que presenta alguna dificultad para su medición, es la inducción magnética B (o Bmáx). Si se puede despreciar la resistencia del conductor de la bobina (o la caída de tensión en ella), la inducción magnética máxima Bmáx se puede determinar a partir de (1.44). Cuando se requiere mediciones más precisas, se puede bobinar sobre el devanado inicial, otro idéntico (la misma cantidad de vueltas, sección y número de espiras) y utilizar el circuito de la Figura 1.14, en que el wáttmetro W mide directamente la potencia perdida en el núcleo. Por otra parte, debido a que el flujo φ es enlazado por todas las espiras de la bobina 2, se inducirá en ésta, una tensión: E 2 = 4,44 f N 2 A B max . Como la carga del bobinado 2 corresponde a las impedancias de las bobinas de tensión del Wáttmetro y el vóltmetro (ambas de valor elevado), la corriente en este devanado será pequeña y por lo tanto, el voltaje medido por el vóltmetro V2 y la tensión inducida en la bobina 2, E2 tendrán

19

una diferencia despreciable. Así entonces, la densidad de flujo máxima se podrá calcular a partir de la lectura del vóltmetro V2 B max =

V2 4,44 f N A

(1.77)

A

+-

+-

N : N

W

+ V1

V

Bob 1

Bob 2

V2

-

Figura 1.14.- Circuito para medir las pérdidas en el núcleo Debido a que la forma del toroide no permite efectuar pruebas con distintos tipos de muestras magnéticas, se ha diseñado y construido un dispositivo especial con este fin, denominado Aparato o Puente de Epstein cuyas características se muestran en la Figura 1.15. 1.11.- El Circuito Magnético

De acuerdo con lo estudiado hasta ahora, estamos en condiciones de asociar una serie de ecuaciones y variables tanto del sistema de campo magnético, como de los circuitos eléctricos. Por ello se puede emplear el concepto de circuito magnético y establecer entonces las respectivas analogías con el circuito eléctrico. El cuadro siguiente muestra un resumen de ellas. Tabla 1.1.- Cuadro de Analogías Circuito Eléctrico Símbolo Nombre i Corriente v Voltaje Conductividad σ =1/ ρ R Resistencia Ecuación Nombre l Resistencia de un R= Conductor eléctrico σA

Circuito Magnético Símbolo Nombre Flujo φ Ni Fuerza Magnetomotriz Permeabilidad µ Reluctancia ℜ Ecuación Nombre Reluctancia de una rama l ℜ= de un núcleo magnético µA

v R ∑ik = 0

Ni ℜ ∑ φk = 0

i=

r J ∫s • n$ dA = 0 r r ∫ E • dl = 0 c

Ley de Ohm en el Circuito Eléctrico

φ=

I Ley de Kirchhof Ley de Conservación de la carga II Ley de Kirchhof

r B ∫s • n$ dA = 0 r r ∫ H • dl = N i c

Ley de Ohm en el Circuito Magnético Ley de Conservación del Flujo (Sumatoria) Ley de Conservación del Flujo (forma integral) Ley Circuital de Ampere

20

Figura 1.15.- Planta y perfil del Aparato o Puente de Epstein 1.12.- El Toroide con un entrehierro pequeño

Consideremos el toroide de la Figura 1.16 que corresponde al de la Figura 1.1 en el cual se ha sacado una parte del núcleo (entrehierro g). Supongamos que el largo del entrehierro es mucho menor que el largo total del toroide, por lo que la inducción magnética B mantiene las misma características que tenía sin entrehierro, es decir, despreciemos el flujo de dispersión. Aplicando la ley circuital de Ampere, se tiene: r ar r r r br H • d l = H • d l + H • d l = Ni Fe g ∫ ∫ ∫

(1.78)

H Fe (l − g) + H g g = N i

(1.79)

c

a

b

Se puede obtener otra ecuación considerando la continuidad de B (ley de conservación del flujo), dado que despreciamos los flujos de dispersión., es decir. BFe=Bg

21

HFe R Hg g

a b

Figura 1.16.- Bobina Toroidal cuyo núcleo tiene un entrehierro g (GAP) En cuanto a las relaciones entre BFe y HFe se tienen dos posibilidades: a)

Que exista una ecuación que permita calcular BFe como función de HFe ( o viceversa). Por ejemplo:

a1)

BFe= µFe HFe; si en el cálculo se supone µFe constante y conocido (parte lineal de la curva). El problema es de tipo lineal.

a2)

BFe= a HFe/(b+HFe); ecuación que corresponde a una aproximación de la curva B-H del material, donde a y b son conocidos y que recibe el nombre de “Ecuación de Fröelich”. El problema es de tipo no lineal y se debe resolver por métodos iterativos. En estos casos, se dispone de un sistema de 4 ecuaciones y 4 variables, a saber: H Fe (l − g) + H g g = N i

b)

(1.80)

B Fe = B g

(1.81)

B Fe = B Fe ( H Fe )

(1.82)

Bg = µ 0 H g

(1.83)

Que no se disponga de la ecuación (1.82), pero se tenga la curva de magnetización normal del material. En este caso, se puede resolver el sistema de ecuaciones mediante un método gráfico o por iteraciones con aproximaciones sucesivas. En los dos métodos anteriores, conviene introducir las ecuaciones (1.81) a (1.83) en la (1.80) que queda de la siguiente forma: B Fe =

µ 0 N i µ 0 H Fe (l − g ) − g g

(1.84)

22

b1)

Método Gráfico: La ecuación (1.84), como se aprecia, corresponde a una recta con pendiente negativa en el plano BFe-HFe. El punto en que esta recta corta a la curva de magnetización normal dará la solución del sistema de ecuaciones tal como se muestra en la Figura 1.17.

µo N i g

B'

Fe

BFe

HFe

Ni l-g

H' Fe

Figura 1.17.- Solución mediante el método gráfico b2)

Método iterativo: En este método, se da un valor inicial a HFe (generalmente HFe (0) = 0). Con este valor se calcula BFe (0) según (1.84). Con BFe (0) se va la curva de magnetización (que en este caso conviene tener en forma de una tabla discreta de valores) y se determina un nuevo valor para HFe (HFe (1)) que permite calcular BFe (1) con la ecuación (1.84), etc.

Cuando se dispone de una tabla con valores discretos de BFe y de HFe y el valor de BFe no coincide con alguno de los valores tabulados, se puede considerar una interpolación lineal entre los puntos donde se encuentra este valor, para encontrar el nuevo valor de HFe. El proceso se repite hasta que se cumpla algún "criterio de convergencia ", tal como, por ejemplo:

B kFe+1 − B kFe ≤ ε

(1.85)

Donde ε es un valor positivo pequeño, que está relacionado con la precisión que se requiera, k es la iteración anterior y k+1 corresponde a la iteración actual. 1.13.- Algunas consideraciones generales en la resolución de Circuitos Magnéticos

De acuerdo con lo visto en este Capítulo, podemos indicar a manera de resumen lo siguiente: a)

La inducción magnética B es igual en todos los puntos de una sección normal al sentido del flujo.

b)

En todas las secciones de una rama del circuito magnético, el flujo tiene el mismo valor.

c)

Se desprecian los flujos de dispersión.

d)

Para aplicar la Ley Circuital de Ampere se debe considerar como partes de las trayectorias, los ejes de simetría de la estructura magnética.

e)

Para circuitos magnéticos con núcleos de buena calidad, con entrehierros pequeños y trabajando sin saturación, la permeabilidad del material del núcleo (µFe) es mucho mayor que la de los entrehierros (µ0); es decir µFe >> µ0 y por lo tanto se puede además, hacer la consideración que µFe → ∞, por lo

23

que al aplicar la Ley Circuital de Ampere, la intensidad de campo H tiende a cero en toda trayectoria de material magnético. Mas aun, en la resolución de problemas, se considera que HFe es igual a cero en estas condiciones. Esta consideración es importante porque representa una aproximación que permite simplificar bastante la resolución de circuitos magnéticos. Sin embargo, se debe tener cuidado al emplearla, pues por tratarse de la aplicación de límite, se podrían producir indeterminaciones que hagan imposible resolver el problema.

24

CAPITULO 2 TRANSFORMADOR MONOFASICO DE DOS ENROLLADOS 2.1.-

Introducción

En general, un transformador (T/F) es un dispositivo eléctrico formado por un conjunto de bobinas, (enrollados, bobinados) acopladas magnéticamente entre si. Cada enrollado tiene un par de terminales, a través de los cuales puede entrar o salir energía eléctrica. En forma esquemática, el transformador de dos bobinados se puede representar según la Figura 2.1.

Núcleo

Terminales Bobinado 1 (Primario)

Bobinado 1 con N1 espiras

Bobinado 2 con N 2 espiras

Terminales Bobinado 2 (Secundario)

Figura 2.1.- Representación esquemática de un transformador El transformador recibe energía a una cierta tensión (terminales del bobinado 1) y la entrega con muy pocas pérdidas a otra tensión (terminales del bobinado 2) más baja (reductor) o más alta (elevador). Por otra parte, permite aislar eléctricamente dos partes de un dispositivo o de un sistema eléctrico. Según el área de aplicación, los transformadores se pueden clasificar en tres grupos: a) Transformadores de Comunicación: Usados generalmente como transformadores de salida para equilibrar la impedancia de la carga (Parlante) a la de salida del amplificador con el fin de obtener máxima transferencia de Potencia. En algunos casos se usan también para aislar dos secciones de un sistema. b) Transformadores de Medida: Utilizados para medir altas corrientes ó altas tensiones por medio de instrumentos de escala reducida o bien para alimentar dispositivos de protección de equipos o sistemas eléctricos. c) Transformadores de Poder o de Potencia: Se usan en conjunto con los generadores para una transmisión y distribución eficiente de Energía Eléctrica. Así, para transmitir grandes bloques de Energía entre dos puntos alejados, se requiere elevar la tensión para diminuir la corriente y con ello las pérdidas. Por otra parte, en los centros de consumo, se requieren tensiones de valores más bajos, por lo que se deben ocupar de nuevo los transformadores, para reducirlas. En este curso nos ocuparemos en particular de los transformadores de Poder. 2.2.-

Algunos aspectos constructivos

La Figura 2.2 muestra diferentes tipos de transformadores, desde uno monofásico de tamaño y voltajes bajos, hasta el de mayor tamaño que requiere ventiladores de refrigeración exteriores.

25

a)

b)

c)

e)

d) Figura 2.2.- Diversos tipos de Transformadores

Constructivamente se pueden destacar las siguientes partes componentes: a) Núcleo: Las dos formas fundamentales de estructuras de transformadores son "tipo núcleo" y "tipo acorazado", que se muestran esquemáticamente en la Figura 2.3. La sección suele ser cuadrada ó rectangular (transformadores pequeños) y también circular (transformadores grandes), en los que las láminas se agrupan en capas de anchura variable. Las láminas pueden tener formas de E, L, o I.

Núcleo Bobinados de Alta y Baja

Bobinados de Alta y Baja

a)

Núcleo Bobinados de Alta y Baja b)

Fig. 2.3.- Tipos de núcleo usados en transformadores monofásicos a) Tipo núcleo, b) Acorazado

26

En algunos transformadores monofásicos de distribución de baja potencia se utilizan 1 o 2 tiras largas de acero enrolladas sobre el bobinado, con el fin de conseguir que el flujo tenga siempre la dirección del laminado y además que no existan entrehierros. b) Enrollados: Se construyen sobre formas de material aislante impregnado, de adecuada resistencia mecánica. El conductor puede ser redondo (transformadores pequeños) o rectangular (transformadores de gran potencia). En el caso de conductores grandes, éstos se subdividen en hebras aisladas entre si y transpuestas cada cierta longitud, con el fin de reducir la pérdida adicional, producida por la distribución no uniforme de la corriente en el interior de él. c) Refrigeración y Aislamiento: En los transformadores muy pequeños, la superficie es relativamente grande frente al volumen, por lo que la refrigeración por radiación y por convección natural es suficiente para mantener una temperatura de funcionamiento adecuada. Al aumentar el tamaño, es necesario incrementar la superficie que disipa calor ó proveer medios para forzar la disipación, tal como los ventiladores de la Figura 2.2. e). Además se hace necesario dotar de ductos de ventilación a los devanados y al núcleo. La refrigeración se puede conseguir por aire (con o sin ventiladores) o por aceite (autorefrigerado, refrigerado por aire forzado o agua, o por aceite forzado) d) Tanques: Los transformadores que emplean refrigeración por aceite, deben tener sus núcleos y devanados encerrados en tanques, construidos de acero soldado y de formas redonda, ovalada o rectangular. En el volumen del tanque debe quedar un espacio para permitir la dilatación del aceite. En la mayoría de los casos, está constituido por un estanque, llamado de dilatación; ubicado sobre el transformador (Figura 2.2. b). 2.3.-

Flujos Magnéticos en el Transformador

En la Figura 2.4. se muestra la situación de un transformador funcionando normalmente, es decir, con su enrollado primario (1) conectado a una fuente de tensión v1 y el secundario (2) conectado a una impedancia de carga Zc. Las resistencias óhmicas R1 y R2 de los bobinados se han considerado fuera de éstos.

φ12

φ 11 R1 v1

+ -

φm

φ 21

φ 22

i1

R2

+ dφ N1 11 dt -

+ N1

φL1

φL2

N2

N2 -

dφ

22 dt

i2 + v 2 -

Figura 2.4.- Flujos magnéticos en un Transformador Los flujos indicados en la Figura 2.4. son: φ11: Flujo enlazado por la bobina 1. φ22: Flujo enlazado por la bobina 2. φL1: Parte del flujo establecido por la corriente i1, que no es enlazado por la bobina 2. φL2: Parte del flujo establecido por la corriente i2, que no es enlazado por la bobina 1. φ12: Parte del flujo establecido por la corriente i1, que es enlazado por la bobina 2.

Zc

27

φ21: Parte del flujo establecido por la corriente i2, que es enlazado por la bobina 1. φm: Flujo mutuo, común a los dos bobinados.

Es importante consignar que φL1 y φL2 (llamados también flujos de fuga o de dispersión) tienen gran parte de su circuito magnético en el aire, por lo que la magnitud de ellos se puede considerar prácticamente proporcional a las corrientes respectivas. De acuerdo con la Figura 2.4, en el circuito magnético del transformador existen tres fuerzas magnetomotrices (fmm), a saber: − − −

2.4.-

Fuerza magnetomotriz primaria: N1i1, que establece φL1 Fuerza magnetomotriz secundaria: N2i2, que establece φL2 Fmm resultante: FR= N1i1 - N2i2; que establece el flujo mutuo φm, enlazado por todas las espiras de los enrollados primario y secundario. Obtención del Circuito Equivalente del Transformador

En la Figura 2.4, se pueden plantear las siguientes ecuaciones: Para los flujos: φ11 = φ m + φ L1

(2.1)

φ 22 = φ m − φ L2

Para los circuitos eléctricos: dφ11 dt dφ v 2 = − R 2 i 2 + N 2 22 dt v 1 = R 1i 1 + N 1

(2.2)

Combinando (2.1) y (2.2) se tiene: dφ dφ L1 + N1 m dt dt dφ dφ v 2 = − R 2i 2 − N 2 L 2 + N 2 m dt dt v1 = R 1i1 + N1

(2.3)

Sea: dφ m dt dφ m e2 = N2 dt

e1 = N 1

⇒

e1 N 1 = =a e2 N2

(2.4)

donde “a” se denomina “razón o relación de transformación” del transformador, la que como se aprecia, depende exclusivamente del número de espiras de ambos bobinados. Reemplazando en (2.3) e introduciendo la derivada de la corriente se obtiene:

28

v 1 = R 1i 1 + N 1

dφ L1 di1 + e1 di1 dt

dφ di v 2 = −R 2 i 2 − N 2 L 2 2 + e 2 di 2 dt

(2.5)

Según lo planteado, φL1 y φL2 son prácticamente proporcionales a i1 e i2 respectivamente, por lo que se puede escribir finalmente: di1 + e1 dt di v 2 = −R 2 i 2 − L L 2 2 + e 2 dt v1 = R 1i 1 + L L1

(2.6)

en que: L L1 = N 1 L L2

dφ L1 di1

dφ = N 2 L2 di 2

(2.7)

son las inductancias de dispersión o de fuga de los bobinados 1 y 2. Para las corrientes se tiene:

FR = N1i1 − N 2 i 2

(2.8)

Si escribimos la Fuerza magnetomotriz resultante FR como N1i0, la expresión (2.8) queda: N 1i 0 = N 1i 1 − N 2 i 2

(2.9)

Cuando i2=0, se tiene que i0=i1, es decir, la corriente i0 es la que circula en el primario del transformador, cuando éste está funcionando sin carga (en vacío). Por lo tanto, i0 es la corriente de excitación del transformador, con las características ya citadas en el capítulo anterior, para el toroide. Dividiendo (2.9) por N1 se tiene: i 0 = i1 −

i2 a

(2.10)

con “a”, definido según (2.4). Pasando (2.4), (2.6) y (2.10) al dominio de la frecuencia s = jω se puede escribir: & = R &I + jX &I + E& V 1 1 1 1 1 1

(2.11)

& = − R &I − jX &I + E& V 2 2 2 2 2 2

(2.12)

E& 1 N 1 = =a E& 2 N 2 & &I = &I − I 2 0 1 a

(2.13)

(2.14)

29

En que X1 y X2 son las respectivas reactancias de dispersión de los bobinados, definidas como: X 1 = ωL L1

(2.15)

X 2 = ωL L 2

Con ω = 2πf; frecuencia angular. Por otra parte, según se demostró en el Capítulo 1, se puede escribir: &I = &I + &I 0 c m &I = g E& c c 1 &I = − jb E& m

m

(2.16) (2.17) (2.18)

1

Las ecuaciones (2.11) a (2.18) permiten representar el transformador mediante el circuito equivalente de la Figura 2.5.

I

jX 1

R1

1

Ic

I /a 2

g

c

jX 2

R2

I0 Im

+ V1

N1 : N 2

-jbm

I

2

+ +

+

E

1

E2

-

-

-

V2

C A R G A

Transformador Ideal Figura 2.5.- Circuito equivalente de un transformador de dos enrollados En el circuito equivalente de la Figura 2.5, se ha incluido un transformador ideal que permite relacionar las tensiones inducidas E1 y E2; de esta forma, quedan enlazadas las ecuaciones (2.11) y (2.12), por medio de (2.13). Se supone que este transformador no tiene pérdidas de ningún tipo y la permeabilidad magnética es infinita. 2.5.-

Otros circuitos equivalentes del transformador

2.5.1.- Circuito equivalente referido al primario

En el circuito mostrado en la Figura 2.5, sigue existiendo un transformador; lo que dificulta un tanto su uso. Como una forma de eliminar el transformador ideal, pueden combinarse las ecuaciones (2.11) a (2.13) en una sola. Para ello, amplifiquemos (2.12) por a: & = −a (R + jX ) &I + aE& aV 2 2 2 2 2

(2.19)

Los términos de (2.19) reciben el nombre de tensiones (voltajes o caídas de voltaje) del secundario referidas al primario. Por otra parte, la caída de tensión en la impedancia de fuga del secundario se puede expresar como: &I a (R 2 + jX 2 ) &I 2 = a 2 R 2 + ja 2 X 2 2 a

(

)

(2.20)

30

De esta forma, la corriente del secundario I2 queda referida al primario como I2/a y además, a2R2 y a X2 corresponden a la resistencia y reactancia de fuga del secundario referidas al primario. Luego, despejando aE2 de (2.19) y considerando (2.13) y ( 2.20), la ecuación (2.19) queda: 2

(

)

& & + a 2 R + ja 2 X I 2 = E& aE& 2 = aV 2 2 2 1 a

(2.21)

reemplazando (2.21) en (2.11) se obtiene finalmente: & & = R &I + jX &I + a 2 R + ja 2 X I 2 + aV & V 1 1 1 1 1 2 2 2 a

(

)

(2.22)

Las ecuaciones (2.14) a (2.18) no tienen cambios, ya que corresponden al primario y por lo tanto el circuito equivalente referido al primario queda:

I

R1

1

jX 1

I /a 2

ja 2 X 2

I0 Im

Ic

a 2R 2 +

+

+ V1

g

c

E = aE2 1

-

-jbm

a V2

-

C A R G A

Fig. 2.6.- Circuito equivalente de un transformador de dos enrollados, referido al primario 2.5.2.- Circuito equivalente referido al secundario

Procediendo en forma análoga, es posible obtener un circuito que tiene la misma forma que el de la Figura 2.6, pero en el cual, los parámetros y variables quedan referidos al secundario. En estas condiciones se tiene: (R1/a2 +jX1/a2): Impedancia del primario referida al secundario (a2gc-ja2bm): Admitancia de excitación referida al secundario V1/a; aI1; aI0; aIc;aIm: Tensión y corrientes primarias, referidas al secundario 2.5.3.- Circuitos equivalentes aproximados

La caída de tensión en la impedancia de fuga del primario de un transformador es habitualmente pequeña comparada con la tensión V1, por lo que es una buena aproximación considerar la admitancia de excitación conectada en la entrada, tal como se muestra en la Figura 2.7 (referido al primario); donde las resistencia y reactancia equivalentes referidas al primario Req1 y Xeq1 son: R eq1 = R 1 + a 2 R 2 X eq1 = X1 + a 2 X 2

(2.23)

31

I

R eq1

I /a 2

1 I0

Ic

jX eq1 +

Im

+

+ g

V 1

c

E = aE2 1

-jbm

C A R G A

a V2

-

Fig. 2.7.- Circuito equivalente aproximado (con la admitancia de excitación conectada en la entrada) Por otra parte, como la corriente de excitación I0 es pequeña comparada con la corriente nominal del lado respectivo (del 1 al 8%), en muchos casos no se considera, por lo que, en este caso, el circuito equivalente referido al primario, queda de la forma mostrada en la Figura 2.8. Los circuitos equivalentes aproximados, pueden también referirse al secundario. En cualquier caso, el uso de uno u otro circuito, dependerá de la condición de funcionamiento del transformador.

I

1

R eq1

jX eq1

I /a 2 + C A R G A

+ V1

a V2

-

Fig. 2.8.- Circuito equivalente aproximado de un transformador, despreciando la corriente de excitación 2.6.-

Diagrama fasorial de un Transformador

Consideremos de nuevo las ecuaciones del transformador, a partir de las cuales se obtuvo el circuito equivalente referido al primario, es decir:

& & = R &I + jX &I + a 2 R + ja 2 X I 2 + aV & V 1 1 1 1 1 2 2 2 a & &I = &I + I 2 1 0 a &I = &I + &I 0 c m &I = g E&

(

c

c

1

&I = − jb E& m m 1

)

(2.24)

32

& y suponiendo que la carga del transformador es de tipo Tomando como referencia el fasor aV 2 inductivo, se puede dibujar el diagrama fasorial de la Figura 2.9. V1 E1= aE 2 Ic

a V2 θ2

Im I0

jI1 X1

jI2 /a a2X 2

I2/a a 2R 2

θ1

I1R1

I2/a

φ

I1 Figura 2.9.- Diagrama fasorial de un transformador, referido al primario

En la Figura 2.9, θ1 es el ángulo de desfase entre la tensión y la corriente del primario y θ2 es el que existe entre la tensión y la corriente del secundario, los que determinan el factor de potencia en la entrada y en la salida del transformador. Es conveniente hacer notar que este diagrama se puede dibujar referido al secundario, así como también considerando los circuitos equivalentes aproximados del transformador. 2.7.-

Polaridad en el transformador

Cuando los devanados de los transformadores se conectan en paralelo o formando grupos polifásicos, las conexiones deben realizarse con las polaridades relativas correctas. Con el fin de simplificar esto, la American Standard Association (ASA), ha adoptado ciertas marcas normalizadas para los terminales. La Figura 2.10 muestra estas marcas para transformadores (TT/FF) de potencia y distribución de dos devanados. Los terminales de alta tensión se designan como H1 y H2 y los de baja, como X1 y X2, donde H1 y X1 son bornes para los cuales, las polaridades de las tensiones instantáneas inducidas por el flujo resultante en el núcleo, son las mismas.

X1 H 1

H2

X2

H1

H2

H2

+

VH

-

+

VH

-

+

VX

-

-

VX

+

X1 a)

H1

X2 b)

X2

X1 c)

Fig. 2.10.- a) Marcas de Polaridad según ASA; b) Terminales con polaridad sustractiva; c) Aditiva

33

Los conductores terminales suelen sacarse por los lados opuestos de la cubierta, ó por la parte superior del tanque ó a través de la tapa, según se muestra en la Figura 2.10 a). En la Figura 2.10 b), los terminales de igual polaridad relativa son adyacentes; de modo que si se interconectan H2 y X2, se aplica tensión entre los bornes H1 y H2, la tensión entre H1 y X1 es aproximadamente igual a la diferencia entre las tensiones VH y VX, por lo que esta disposición exterior de los terminales se denomina “polaridad externa sustractiva”. De la misma forma se puede demostrar que la Figura 2.10 c) corresponde a “polaridad externa aditiva”. 2.8.-

Determinación experimental de los parámetros del circuito equivalente del Transformador

Se pueden determinar a partir de los datos obtenidos al efectuar las dos pruebas siguientes: 2.8.1.- Prueba de vacío

Consiste en alimentar el transformador a tensión y frecuencia nominal, con el otro enrollado en circuito abierto. En estas condiciones se miden: la corriente I0; la tensión V0 y la Potencia P0. Normalmente se acostumbra alimentarlo por el lado de baja tensión (porque es mas cómodo trabajar a un nivel de tensión menor) con el lado de alta abierto (sin carga). De esta forma se obtienen los parámetros de excitación, los que según lo indicado, resultan referidos al lado de baja tensión.

Rb

I0

jX b A

Im

Ic

+

+ (gc ) b

V0

B

Eb

-

A

W

+ -j(b m )b

V -

a)

b)

Figura 2.11.- Prueba de vacío de un transformador: a) Circuito equivalente; b) Circuito empleado El circuito equivalente y el circuito empleado se muestran en la Figura 2.11 a) y b) donde: Rb: Resistencia del enrollado de baja tensión. Xb: Reactancia del enrollado de baja tensión. (gc)b: Conductancia de pérdidas en el núcleo referida al lado de baja tensión. (bm)b: Susceptancia de magnetización referida al lado de baja tensión. Según las condiciones en que se realiza la prueba, se cumple que: (R b + jX b ) I 0 〈 〈 E b ⇒ E b ≈ V0 , por lo que se obtiene:

(g c )b = (b m )b =

P0 V02 Q0 V02

=

(V0 I 0 )2 − P02 V02

(2.25)

34

Estos valores corresponden a los del transformador, si el lado de baja tensión es el primario, es decir:

(g c )1 = (g c )b (b m )1 = (b m )b

(2.26)

Si el lado de baja corresponde al secundario, entonces, los parámetros referidos al primario son:

(g c )1 =

(g c )b

(b m )1 =

a2 (b m )b

(2.27)

a2

2.8.2.- Prueba de cortocircuito

Consiste en alimentar el transformador a frecuencia nominal, ajustando el voltaje de entrada de manera que con el otro lado en cortocircuito, circule la corriente nominal. En estas condiciones se miden: la corriente Icc; la tensión Vcc y la Potencia Pcc. Normalmente se acostumbra alimentarlo por el lado de alta tensión (porque es más cómodo trabajar a una nivel de corriente menor) con el lado de baja en cortocircuito. De esta forma se obtienen los parámetros impedancia equivalente Zeq y resistencia equivalente Req, los que según lo indicado, resultan referidos al lado de alta tensión. El circuito equivalente aproximado y el circuito empleado, se muestran en la Figura 2.12. Considerando el circuito equivalente y el circuito de medición se puede escribir:

(Z )

eq a

=

(R ) + (X ) 2 eq a

2 eq a

=

Vcc I cc

(2.28)

y por otra parte:

(R )

eq a

=

I cc

Pcc

(2.29)

2 I cc

(Req ) a

j(Xeq ) a

A A

+

B

W

+ Vcc

V

-

-

a)

b)

Figura 2.12.- Prueba de cortocircuito: a) Circuito equivalente aproximado; b) Circuito empleado En general, los parámetros resultarán siempre referidos al lado por el cual se alimenta el transformador. Si el lado de alta tensión corresponde al primario, los parámetros quedan referidos a este lado, es decir:

35

(Z )

eq a

= Z eq1 = R eq1 + jX eq1

(2.30)

R eq1 = R 1 + a 2 R 2

donde:

(2.31)

X eq1 = X1 + a 2 X 2

Si el lado de alta corresponde al secundario:

(Z )

eq a

= Z eq 2 = R eq 2 + jX eq 2

(2.32)

R1 + R2 a2 X = 21 + X 2 a

R eq 2 =

con: X eq 2

(2.33)

2.8.3.- Cálculo separado de las resistencias y reactancias de cada bobinado R1, R2, X1, X2

La prueba de cortocircuito permite determinar solamente los valores de Req y Xeq. A partir de ella no es posible obtener en forma separada los valores de resistencia y reactancia de cada bobinado. En muchos casos; sin embargo, conviene conocer estos valores (cuando se utiliza el circuito equivalente exacto, por ejemplo). Para obtenerlos, se puede emplear uno de los dos métodos siguientes: a) Separación directa (analítica): Considerando las características constructivas de los transformadores, se pueden hacer las siguientes suposiciones:

− − −

Los dos bobinados tienen la misma longitud por vuelta. El área de la sección transversal del conductor de la bobina es proporcional a la corriente nominal del devanado. La trayectoria magnética de los flujos de dispersión de los dos bobinados, es la misma. A partir de ellas se obtiene: R1 = a 2R 2

X1 = a 2 X 2

(2.34)

Por lo que:

R1 = X1 =

R eq1 2 X eq1 2

R2 = X2 =

R eq1 2a 2 X eq1

(2.35)

2a 2

b) Con Corriente Continua (CD): En este caso es necesario hacer medidas adicionales de las resistencias óhmicas en corriente continua de los bobinados 1 (RCD)1 y 2 (RCD)2. Se pueden utilizar el método de Vóltmetro-Ampérmetro, por ejemplo; o bien usar un Puente de Wheatstone, etc. Se supone proporcionalidad tanto entre las resistencias en corriente alterna de ambos bobinados (R1 y R2) como entre las inductancias de dispersión (LL1 y LL2), con las respectivas resistencias de Corriente Continua medidas, es decir:

R 1 L L1 (R CD )1 = = R 2 L L 2 (R CD )2

(2.36)

36

Con esta consideración se obtiene: R 1 = K 1 R eq1

R 2 = K 2 R eq1

X 1 = K 1 X eq1

X 2 = K 2 X eq1

(2.37)

donde: K1 =

(R CD )1 (R CD )1 + a 2 (R CD )2

K2 =

(R CD )2 (R CD )1 + a 2 (R CD )2

(2.38)

Es conveniente indicar que los dos métodos anteriores, por el hecho de hacer consideraciones distintas, pueden entregar resultados diferentes. 2.9.-

Pérdidas dispersas (PSL)

Se denomina así, a la diferencia entre la potencia de cortocircuito Pcc y el producto entre la resistencia equivalente de corriente continua (Req)CD y la corriente de cortocircuito Icc al cuadrado, es decir:

( )

PSL = Pcc − R eq

I2 CD cc

(2.39)

o bien:

[

( ) ]I

PSL = R eq − R eq

CD

2 cc

(2.40)

donde, Req es la Resistencia Equivalente calculada en la prueba de cortocircuito (en corriente alterna) y (Req)CD corresponde a la Resistencia Equivalente a los dos enrollados, medida con corriente continua. Ambos valores deben estar referidos al mismo lado del transformador. Las pérdidas dispersas incluyen todas aquellas que existen en Corriente Alterna y que no están presentes en Corriente Continua, a saber: las pérdidas en el núcleo y las debidas a las corrientes parásitas en los conductores y estructuras del transformador, al efecto pelicular, etc. 2.10.- Corrección del valor de los parámetros del transformador por efecto de la temperatura

El valor de la Resistencia Equivalente Req obtenido en la prueba de corto circuito corresponde normalmente a la temperatura ambiente que se puede estimar en 20ºC. Sin embargo, la temperatura de trabajo es mas elevada y, por lo tanto, la resistencia que presentan los enrollados es mayor que la medida en la prueba. En general, para determinar la resistencia ReqT2 a la temperatura de trabajo T2, suponiendo conocido el valor que tiene a la temperatura ambiente T1, tanto en corriente continua (ReqCDT1) como en corriente alterna (ReqT1), se puede emplear la expresión:

[R ]

eq T2

[

= R eqCD

]

T1

[

234,5 + T2 + R eq − R eqCD 234,5 + T1

]

T1

(2.41)

Donde 234,5 corresponde al recíproco del coeficiente de variación de resistencia del cobre con la temperatura, a 0ºC. Si se desprecian las pérdidas dispersas, la expresión (2.41) se puede escribir:

37

[R ]

eq T2

[ ]

= R eq

T1

234,5 + T2 234,5 + T1

(2.42)

La diferencia [Req- ReqCD] se supone constante con la temperatura. En todo caso, ambas resistencias deben estar referidas a la misma temperatura. En cuanto a los valores de la conductancia de pérdidas gc, la susceptancia de magnetización bm y las reactancias de dispersión X1 y X2; ellas no son afectados por los cambios de temperatura. 2.11.- Determinación de la razón de transformación

La razón de transformación se determina en forma aproximada a través de la razón entre las tensiones medidas en los terminales de los bobinados con el transformador en vacío. Se usan dos vóltmetros para medir las tensiones de los lados de alta y baja tensión, los que deben ser leídos simultáneamente. Se hace una segunda lectura intercambiando los instrumentos. El cuociente entre el promedio de las mediciones de primario y secundario es el valor de la razón de transformación. 2.12.- Rendimiento del transformador 2.12.1.- Rendimiento convencional (η)

Corresponde a la definición habitual de rendimiento; es decir, es la razón entre la potencia de salida (Ps) y la potencia de entrada (Pe), es decir: η% =

Ps * 100 Pe

(2.43)

Para una carga de corriente I2, Factor de Potencia cos θ2 y suponiendo tensión nominal en la carga V2N, la potencia de salida es V2N I2 cos θ2. Luego, la potencia de entrada corresponderá a la potencia de salida mas la potencia perdida en los conductores de las bobinas R eq 2 I 22 y en el núcleo P0, supuesta independiente de la carga. Así entonces, se puede escribir: η% =

V2N I 2 cos θ 2 V2N I 2 cos θ 2 + R eq2 I 22 + P0

* 100

(2.44)

La expresión (2.44), se puede arreglar de la siguiente forma: η% =

S N K cos θ 2 S N K cos θ 2 + K 2 Pcc + P0

*100

(2.45)

En que SN es la Potencia Aparente Nominal del transformador, Pcc es la potencia medida en la prueba de cortocircuito a corriente nominal y K es el “Factor de Carga”; definido como la razón entre la corriente de carga I2 y la corriente nominal del transformador IN, es decir: K=

I2 I 2N

(2.46)

2.12.2.- Rendimiento máximo (ηmáx)

En la expresión (2.44), V2N, Req2 y P0 son constantes, por lo que el rendimiento es función de dos variable; la corriente de carga I2 y el Factor de potencia cos θ2. En la práctica; sin embargo, el factor de

38

potencia debe tener un rango de variación estrecho, alrededor de la unidad. En estas condiciones, la única variable es entonces la corriente I2. Existe un valor de la corriente I2, para el cual el rendimiento es máximo. Este valor se puede obtener haciendo dη/dI2 = 0. Si para este valor de la corriente, d2η/dI22< 0, la función será máxima, es decir, el rendimiento será máximo. Derivando (2.44) respecto a la corriente se obtiene:

P0 R eq 2

I 2 (η máx ) =

(2.47)

La expresión (2.45) es el valor de I2 que hace que el rendimiento sea máximo, ya que para él, la segunda derivada es negativa. Por otra parte, la expresión (2.47) se puede arreglar del siguiente modo: Pérdidas nominales en vacío Pérdidas nominales en cortocircuito

I 2 (η máx ) = I 2 N

(2.48)

Como normalmente las pruebas de vacío y cortocircuito se hacen en condiciones nominales, el Factor de Carga para el cual se obtiene el rendimiento máximo K(ηmáx) será: K (η máx ) =

I 2 (η máx ) P0 = I 2N Pcc

(2.49)

Introduciendo (2.49) en (2.45) se obtiene el rendimiento máximo ηmáx para las condiciones planteadas: SN η máx % = SN

P0 cos θ 2 Pcc

P0 cos θ 2 + 2 P0 Pcc

(2.50)

* 100

Como se puede apreciar, a Factor de Potencia constante, el rendimiento máximo depende sólo de las características del transformador. Idealmente sería conveniente que P0 y Pcc fueran iguales 2.12.3.- Rendimiento diario o energético (ηd)

Cuando un transformador está operando en un sistema eléctrico, queda sometido a las variaciones que la carga experimenta durante un cierto tiempo que puede ser un día, un mes o un año, por ejemplo. De acuerdo con esto, es necesario estudiar su comportamiento, desde el punto de vista de su rendimiento, ante las fluctuaciones que la carga servida experimenta. Así entonces, se puede definir por ejemplo, el rendimiento diario ηd, como la razón entre la energía entregada y la energía recibida por el transformador en 24 horas. Es decir: 24

ηd % =

∑ S N K i cos θ 2i t i t =0

24

24

t =0

t =0

∑ S N K i cos θ 2i t i + ∑

K i2

*100

(2.51)

Pcc t i + 24 P0

donde se ha supuesto que el transformador, con carga o en vacío, está conectado a la red de alimentación las 24 horas del día y ti es el tiempo de duración de cada intervalo en el cual el trabaja con un factor de carga Ki y factor de potencia de la carga cos θ2i. Además, se ha considerado que las pérdidas en el núcleo no dependen de la carga.

39

2.13.- Sistema en tanto por unidad 2.13.1.- Introducción

Las líneas de transmisión de Energía Eléctrica se operan a niveles en que el kilovolt (kV) es la unidad más conveniente para expresar los voltajes. Debido a que se transmite una gran cantidad de potencia, los términos comunes son los kilowatt (kW) o megawatt (MW) y los kilovoltamperes (kVA) o megavoltamperes (MVA). Sin embargo, estas cantidades, al igual que los Volt, los amperes y los ohm, se expresan frecuentemente en por ciento o en por unidad de un valor base o de referencia especificado para cada una. Por ejemplo, si se selecciona una base de voltaje de 120 kV, los voltajes de 108, 120, y 126 kV equivaldrán a 0,9, 1,0 y 1,05 en por unidad o a 90, 100 y 105 % respectivamente, del valor base 120 kV. El valor en por unidad de cualquier cantidad se define como la razón entre la cantidad y su base. La relación en por ciento es 100 veces el valor en por unidad. Ambos métodos de cálculo, porcentual y en por unidad, son más simples y mas informativos que los Volt, los amperes y los ohm reales. El método en por unidad tiene una ventaja sobre el porcentual: el producto de dos cantidades expresadas en por unidad queda expresado también en por unidad, mientras que el producto de dos cantidades dadas en por ciento se debe dividir por 100 para obtener el resultado en por ciento. El método que más se emplea en la resolución de problemas en que intervienen transformadores, generadores, líneas, etc.; consiste en representar estos elementos a través de sus circuitos equivalentes. Los parámetros de los circuitos equivalentes y las variables asociadas, pueden expresarse en unidades convencionales (ohm, volt, watt, etc.) o bien en por unidad (pu) o en tanto por uno (º/1). Cuando se emplean valores en por unidad, se simplifica la resolución de problemas, entre otras cosas, porque ello permite eliminar las razones de transformación, cuando existen transformadores, y efectuar comparaciones en forma mucho más sencilla. 2.13.2.- Condiciones bajo las cuales deben calcularse las cantidades en por unidad

En esta sección, se estudiará el sistema en pu aplicado al análisis de los sistemas monofásicos y a la resolución de problemas relacionadados con los transformadores monofásicos, donde es más sencillo introducir estos conceptos que en los sistemas trifásicos. Sin embargo, la extensión a los sistemas trifásicos es inmediata, como se verá posteriormente. Las magnitudes de base en una red eléctrica deben seleccionarse de tal forma, que el circuito equivalente resultante en por unidad sea isomorfo al real, es decir, que las leyes fundamentales de la electricidad sean también válidas en el sistema equivalente en por unidad. Consideremos en principio dos situaciones: a) Sin transformadores: Como las características topológicas de la red no se alteran, sólo interesa como invariante la forma de las ecuaciones de las leyes de Ohm y de Joule, debido a que las asociadas a las leyes de Kirchhoff se conservarán automáticamente. De acuerdo con lo planteado en la sección anterior, los valores en tanto por unidad de los fasores (indicados con un punto sobre el respectivo símbolo) de tensión (voltaje), corriente, impedancia, potencia aparente y admitancia se definen de la forma indicada en las expresiones (2.52) siguientes:

& & (pu) = V(volts) V VB (volts)

& &I(pu ) = I(Amperes) I B (Amperes)

Z& (Ohm) Z& (pu) = Z B (Ohm) (2.52)

S& (Volt − Amperes) S& (pu) = S B (Volt − Amperes)

& & (pu) = Y(Mho) Y YB (Mho)

40

Obsérvese que los valores en por unidad son complejos si en unidades convencionales lo son, ya que las bases son cantidades modulares. Si se escogen VB e IB como voltaje y corriente base respectivamente, será necesario determinar las otras cantidades de base, es decir: ZB , SB y YB. En la Figura 2.13 siguiente se han representado los sistemas original y transformado (en tanto por unidad). +

I (amp)

V(volt)

+ Z(ohm)

I(pu) Z(pu)

V(pu) -

-

a)

b)

Fig. 2.13.- Circuitos equivalentes: a) Sistema original; b) Sistema transformado (en por unidad) -

Conservación de la ley de Ohm

Para que se cumpla la ley de ohm, en ambos circuitos, las cantidades de base deben satisfacerla, es decir: VB = Z B I B -

⇒ ZB =

VB IB

(2.53)

Conservación de la Ley de Joule

De la misma forma se puede demostrar que en este caso: S B = VB I B

(2.54)

Para la admitancia se cumple que: YB =

1 ZB

(2.55)

Las ecuaciones (2.53) a (2.55) muestran que sólo se necesita definir dos magnitudes de base. Lo habitual es considerar como tales a la potencia aparente SB y la tensión VB, en cuyo caso, la corriente base se obtiene a partir de la ecuación (2.54) y la impedancia base se puede escribir como: ZB =

(VB ) 2 (kVB ) 2 = SB MVA B

(2.56)

donde kVB y MVAB son los kilovolt base y Megavolt-amperes base respectivamente. b) Presencia de transformadores: En un sistema eléctrico aparecen distintos niveles de voltaje. Con el objeto de eliminar este inconveniente, se requiere determinar que relación, además de las dos anteriores, deben cumplir las bases elegidas en los diferentes niveles de tensión, al utilizar el sistema en pu. Consideremos para el análisis, la Figura 2.14. que representa el circuito equivalente aproximado (se ha despreciado la corriente de excitación) de un transformador en cantidades convencionales y el circuito

41

respectivo en tanto por unidad. Z1 y Z2 corresponden a las impedancias de cortocircuito de cada uno de los enrollados, N1 y N2 corresponden al número de espiras de cada bobinado.

.

+

.

.

I1 (A) Z (Ω) 1

V1 (V)

.

.

.

E 2 (V)

E 1 (V)

.

V2 (V)

-

-

.

.

Z 2(Ω) I2 (A) +

N1 : N2 a : 1

a)

+

I1 (pu) Z. (pu) 1

.

.

Z2 (pu) I 2(pu) +

.

.

V1 (pu)

V2 (pu)

-

-

b)

Fig. 2.14.- Circuitos equivalentes: a) Sistema original ; b) Sistema transformado (por unidad) En la Figura 2.14 a) se puede escribir (en unidades convencionales) & − &I Z& E& 1 = V 1 1 1

& + &I Z& E& 2 = V 2 2 2

(2.57)

de donde se obtiene: & − &I Z& E& 1 V N = 1 1 1 = 1 =a & + &I Z& N2 E& 2 V 2 2 2

(2.58)

En la Figura 2.14 b), en por unidad se tiene: & ( pu ) − &I ( pu ) Z& ( pu ) = V & ( pu ) + &I ( pu ) Z& ( pu ) V 1 1 1 2 2 2

queda:

(2.59)

Tomando como bases de voltaje a ambos lados del transformador, VB1 y VB2 la expresión (2.59) & − &I Z& & + &I Z& & − &I Z& V V V V 1 1 1 2 2 = 2 ⇒ 1 1 1 = B1 & + &I Z& VB1 VB 2 VB 2 V 2 2 2

(2.60)

Comparando (2.60) con (2.58), se puede escribir: VB1 N 1 = =a VB 2 N 2

(2.61)

O sea, las tensiones bases de ambos lados deben estar en relación directa con el número de espiras. Por lo mismo, las corrientes bases de ambos lados quedan en relación inversa con el número de espiras. I B1 N 2 1 = = I B2 N1 a

(2.62)

A partir de (2.61) y (2.62), la potencia base a ambos lados del transformador debe ser la misma. S B1 = S B 2 = S B

(2.63)

42

2.13.3.- Cambio de base

En general, los fabricantes expresan las impedancias de transformadores y otras máquinas eléctricas en por unidad o porcentaje, tomando como bases el voltaje y la potencia aparente nominales del equipo. Como en los problemas aparecen involucrados diferentes aparatos (con distintas características nominales) se hace necesario expresar las impedancias en tanto por unidad, respecto a otra base, que sea común para todas. Para una impedancia dada o antigua Za (pu) es posible calcular una impedancia nueva Zn (pu) o respecto a otra base, utilizando la siguiente expresión:  kV Z n (pu) = Z a (pu) Ba  kVBn

  

2

 kVA Bn   kVA Ba

  

(2.64)

donde kVABa y kBABn son los kVA bases dado o antiguo y nuevo respectivamente y kVBa y kVBn corresponden a los respectivos kV bases dado y nuevo. 2.13.4.- Ventajas del sistema en tanto por unidad

−

Los valores en por unidad, base propia, característicos de máquinas similares, aunque de tamaños muy diferentes, varían muy poco.

−

En los transformadores, la impedancia equivalente en por unidad es independiente del lado a que está referida.

−

En los cálculos se manejan cantidades que están en un margen estrecho alrededor de la unidad (condiciones normales), lo que permite comprobar los valores por inspección.

2.13.5.- Sistema en tanto por unidad en circuitos trifásicos

Recordemos que los circuitos trifásicos balanceados se resuelven considerando una fase, con un neutro de retorno, en el llamado circuito equivalente monofásico o por fase; por ello, las bases para las diferentes cantidades en los diagramas de impedancias son los kVA (o MVA) por fase y los kV de línea a neutro. Generalmente, los datos que se dan son los kVA o MVA trifásicos totales y los kV de línea a línea (entre líneas o de línea). Debido a esta costumbre de especificar el voltaje línea a línea y los kilovoltamperes o megavoltamperes totales, puede surgir alguna confusión al considerar la relación entre el valor por unidad del voltaje de línea y el del voltaje de fase. Aunque se puede especificar un voltaje de línea como base, el voltaje que se requiere para la solución del circuito monofásico es el voltaje a neutro. El voltaje base a neutro es el voltaje base línea a línea dividido por 3 . Debido a que ésta es también la relación entre los voltajes línea a línea y línea a neutro de un sistema trifásico balanceado, el valor en por unidad de un voltaje línea a neutro sobre el voltaje base línea a neutro es igual al valor en por unidad del voltaje línea a línea en el mismo punto sobre el voltaje base línea a línea, siempre que el sistema esté balanceado. Igualmente, los kilovoltamperes trifásicos son tres veces los kilovoltamperes monofásicos, y la base de los kilovoltamperes trifásicos es tres veces la base de los kilovoltamperes monofásicos. Por lo tanto, el valor en por unidad de los kilovoltamperes trifásicos sobre los kilovoltamperes base trifásicos es idéntico al valor en por unidad de los kilovoltamperes monofásicos sobre los kilovoltamperes base monofásicos. Para los sistemas monofásicos o para los sistemas trifásicos, donde el término corriente se refiere a la corriente de línea IL, el de voltaje se refiere a voltaje al neutro VLN y el de la potencia aparente corresponde al valor por fase S1φ , las siguientes expresiones relacionan las distintas cantidades:

43

IB =

S B1φ VBLN

=

S B3φ 3 VBLL

ZB =

VBLN VBLL (VBLL ) 2 = = IB S B 3φ 3 IB

(2.65)

donde SB3φ corresponde a la potencia base total (trifásica). Por comodidad se acostumbra usar como bases los MVA trifásicos (MVAB3φ ) y los kV entre líneas (kVBLL), en cuyo caso, la impedancia base se puede determinar simplemente como: ZB =

(kVBLL )2

(2.66)

MVA B3φ

Con la excepción de los subíndices, las expresiones (2.56) y (2.66) son idénticas. En lo que sigue de este curso, las ecuaciones se utilizarán sin los subíndices, pero se deben usar con los voltajes y potencias correspondientes. Es conveniente dejar claro también, que en los cálculos en por unidad donde intervienen transformadores trifásicos, se requiere que los voltajes base en los dos lados del transformador tengan la misma relación que la de los voltajes nominales entre líneas de ambos lados, lo que es independiente del tipo de conexión de los enrollados. Como se dijo, la potencia base es la misma en ambos lados y por lo tanto las corrientes bases quedan en relación inversa con la razón de transformación trifásica. 2.13.6.- Valores en por unidad en la base propia de los parámetros del transformador

En la prueba de cortocircuito se tiene: Z eq =

Vcc I cc

(2.67)

Expresando la corriente y el voltaje en pu, en la base propia (VB=VN; IB=IN y SB=SN) se puede escribir: Z eq (pu) =

Vcc / VN I cc / I N

(2.68)

Si, como normalmente ocurre, la prueba de cortocircuito se hace a corriente nominal; Icc=IN, y por lo tanto, la impedancia equivalente en pu queda: Z eq (pu ) =

Vcc VN

(2.69)

o bien: Z eq % =

Vcc * 100 VN

(2.70)

Lo que justifica el que, al valor de la impedancia equivalente de un transformador, expresado en porcentaje en la base propia se le denomina "tanto por ciento de caída de tensión" o "tensión de cortocircuito en por ciento". En las mismas condiciones, se puede demostrar que: R eq (pu) =

Pcc SN

X eq (pu) =

Q cc SN

(2.71)

44

Por otra parte, se puede demostrar también, que si la prueba de vacío se hace a Voltaje nominal, los valores de gc y bm quedan: g c (pu) =

P0 SN

Q0 SN

b m (pu) =

(2.72)

2.14.- Regulación de tensión del transformador (Reg) 2.14.1.- Definición 1:

Reg% =

Tensión Secundaria en Vacío − Tensión Secundaria nominal en Carga Tensión Secundaria nominal en Carga

* 100

(2.73)

Deducción de la expresión de la regulación en función de los parámetros

Consideremos el circuito equivalente aproximado (se desprecia la corriente de excitación) referido al secundario de la Figura 2.15 siguiente.

R eq2

jX eq2

+

I

2 +

V1 /a

V2N -

-

Figura 2.15.- Circuito equivalente del transformador para determinar la regulación tensión Para deducir la expresión de la regulación de tensión, se considerará como referencia, la tensión en la carga, es decir, V2N∠0º y se supondrá que el consumo es inductivo; o sea, la corriente I2 atrasa al voltaje V2N un ángulo de θ2º, determinado por el Factor de Potencia de la carga. En estas condiciones, resolviendo el circuito de la Figura 2.15, se obtiene que el módulo de la tensión secundaria en vacío, que corresponde a la tensión de entrada V1/a es:

& V 1 = a

(V

2N

+ R eq2 I 2 cos θ 2 + X eq2 I 2 sin θ 2

) + (R 2

eq2

I 2 sin θ 2 − X eq2 I 2 cos θ 2

)

2

(2.74)

Introduciendo (2.74) en (2.73), arreglando y ordenando se obtiene:

(

Reg% =  R eq I 2 + cos θ 2 

) + (X 2

eq

I 2 + sin θ 2

)

2

− 1 * 100 

(2.75)

donde Req, Xeq, I2 están expresados en por unidad en la base propia del transformador. La expresión (2.75) se obtuvo al suponer que el consumo es inductivo. En el caso de que éste sea capacitivo, se puede emplear la misma expresión cambiando θ2 por -θ2.

45

2.14.2.- Definición 2

Reg% =

Tensión Secundaria en Vacío Nominal − Tensión Secundaria en Carga Tensión Secundaria en Vacío Nominal

* 100

(2.76)

es decir; según el circuito de la Figura 2.15 & V 1N & −V 2 a Reg% = * 100 & V

(2.77)

1N

a Para deducir la expresión de regulación en función de los parámetros se puede utilizar nuevamente la expresión (2.74), despejando V2N que ahora corresponderá a V2, considerando V1/a como V1N/a. Se obtiene así: 2

(

)

(

)

& =  V1N  − R sin θ − X cos θ 2 I 2 − R cos θ + X sin θ I V 2 eq2 2 eq2 2 2 eq2 2 eq2 2 2  a 

(2.78)

Introduciendo (2.78) en (2.77), desarrollando la raíz en serie de potencia y ordenando se obtiene:

[(

)

Reg% = R eq cos θ 2 + X eq sin θ 2 I 2 +

1 2

(R

) ] 2

eq

sin θ 2 − X eq cos θ 2 I 22 * 100

(2.79)

en que Req, Xeq, I2, están en por unidad base propia del transformador y donde sólo se han considerado dos términos de la serie de potencia. Es importante hacer notar que como las definiciones son distintas, los resultados obtenidos son diferentes. Para efectos prácticos, en muchos casos se usa la expresión:

[(

) ]

Reg% = R eq cos θ 2 + X eq sin θ 2 I 2 *100

(2.80)

2.15.- Conexión de transformadores en paralelo 2.15.1.- Introducción

La conexión de dos o más transformadores en paralelo permite: − −

Ampliar la capacidad de una subestación para atender consumos adicionales permanentes o periódicos. Alimentar un consumo desde dos o más líneas o redes, con fines de seguridad de servicio y eficiencia.

En principio y sin mayor análisis, podemos indicar que para un buen funcionamiento de transformadores en paralelo, se debería cumplir en lo posible que: − − − −

Sus potencias nominales no sean muy diferentes (relación no mayor de 1 : 3). Tengan iguales razones de transformación. La carga se distribuya entre ellos, en proporción a sus potencias nominales. La conexión se haga considerando las polaridades.

46

2.15.2.- Conexión en paralelo de transformadores con igual razón de transformación

La Figura 2.16 a) muestra el diagrama de la conexión en paralelo de dos transformadores de igual razón. La Figura 2.16 b) corresponde al circuito equivalente, despreciando la corriente de excitación, donde Zeq2k=Req2k+jXeq2k, con k=1,2; es la impedancia equivalente de cada uno de ellos, referida al secundario e I2k es la corriente de cada transformador, referida al secundario. I1

+

I 11

I21

I12

I2 I 22

V1

+ V2 -

-

I 21 +

jXeq 21

Req 21

I2

a I1 I 22

Req 22

jXeq 22

V1 a

+ V2

-

-

a)

b)

Figura 2.16.- Conexión en paralelo de transformadores de igual razón: a) Conexiones; b) Circuito Equivalente A partir de la Figura 2.16 b) se puede escribir: Z eq21I 21 = Z eq22 I 22

⇒

I 21 Z eq22 = I 22 Z eq21

o bien

I 21 Yeq21 = I 22 Yeq22

(2.81)

Es decir, los transformadores de igual razón, conectados en paralelo, toman carga en proporción a sus admitancias equivalentes o sea en razón inversa a sus impedancias equivalentes. Por otra parte, si en (2.81) consideramos corrientes nominales y amplificamos el segundo miembro por V2N, podemos escribir: Z eq21 Z eq22

=

S2N S1N

(2.82)

Lo que permite concluir que, cuando se conectan en paralelo transformadores de igual razón, ellos tomarán cargas proporcionales a sus potencias nominales, si sus impedancias equivalentes son inversamente proporcionales a sus potencias aparentes nominales. En las expresiones (2.81) y (2.82) no se ha considerado el ángulo de las impedancias; esto se debe a que no tiene gran incidencia en las relaciones obtenidas. 2.15.3.-Conexión en paralelo de transformadores de distinta razón de transformación

Esta situación se puede presentar cuando a alguno de los transformadores se le cambia el número de espiras en uno de los enrollados (cambio de TAP o cambio del derivaciones). A pesar de que sus tensiones nominales son iguales (condición necesaria para la puesta en paralelo), el hecho indicado hace que las tensiones inducidas en los secundarios sean distintas. Se considera aceptable el funcionamiento de transformadores con cambio de derivaciones, siempre que la "Corriente de circulación" no sea mayor que el 10% de la corriente nominal del transformador más pequeño. La Figura 2.17 muestra esta situación, donde:

47

& /a : Tensión inducida en el secundario del transformador 1 V 1 1 & V /a : Tensión inducida en el secundario del transformador 2 1

2

a1 y a2 son las respectivas razones de transformación luego del cambio de TAP Zeq 21 Zeq21 I 21 +

+ V1 a1 -

V1 -

IL ZL

-

+ V1 a2 -

I 22

+

I 22 Zeq 22

+ VL

I 21

+ +

+ V1

V1 a

1

IL

VL

ZL

V1 a2

-

a)

Zeq 22

-

-

b)

Figura 2.17.- Conexión en paralelo de dos transformadores de distinta razón: a) Diagrama, b) Circuito equivalente referido al secundario A partir del circuito equivalente se puede obtener: Z eq22

&I = 21

Z eq21 + Z eq22

&I = 22

&I = c

Z eq21 Z eq21 + Z eq22

&I + &I L c (2.83) &I − &I L c

& (1 − 1) V 1 a1 a2 Z eq21 + Z eq22

(2.84)

Donde Ic, se denomina “corriente de circulación”; la que como se observa, no depende de la corriente de carga y circula por lo tanto, entre los transformadores, debido a la diferencia entre las razones de transformación. Se aprecia también, que si a1=a2, la corriente de circulación es cero. 2.16.- El autotransformador 2.16.1.- Introducción

Un transformador ordinario de dos enrollados, cuyos devanados primario y secundario se conectan en serie, recibe el nombre de autotransformador. Las Figuras 2.18 a), b), c), d) muestran la forma en que se puede obtener un autotransformador elevador a partir del correspondiente transformador, donde las variables, a' , I1' , I '2 , V1' , V2' corresponden al transformador; I1 , I 2 , V1 , V2 son las del autotransformador. E1 y E2 son las mismas en ambos casos. El bobinado 2 suele llamarse bobinado serie y el devanado 1, bobinado común. Por otra parte, Y0 = gc- jbm es la admitancia de excitación y Z1=R1+jX1; Z2=R2+jX2 son las respectivas impedancias de los enrollados primario y secundario del transformador.

48

2.16.2.- Obtención del circuito equivalente del autotransformador elevador referido al primario

Normalmente la caída de tensión en la impedancia del primario Z1, es mucho menor que E1 y por lo tanto, no se comete un gran error si en la Figura 2.18 d) se coloca la admitancia de excitación Y0 en la entrada, tal como se muestra en la Figura 2.19. I1'

+

+

V1'

E1

-

-

I 2'

a' : 1

+

+

+

V2'

E2 -

I1

V1

-

-

+

+

E1

E2 -

-

a) ' I 2' a' a' : 1 Z2 I2 + + + Y0 E1 E2 V2'

V1'

-

-

-

+ V2 -

b)

I1' Z 1

+

I2

a' : 1

-

I1

Z1

+ V1

Y0

I 2 a' a' : 1 + + E1 E -

-

-

c)

Z2 I2

2

+ V2 -

d)

Figura 2.18.- Formación de un autotransformador a partir de un transformador: a) Diagrama del transformador b) Diagrama del autotransformador, c) y d) Circuitos equivalentes de ambos I1 + V1 -

Z1 Y0

I 2 a' a' : 1 + + E1 E -

Z2 I2

2

-

+ V2 -

Fig. 2.19.- Circuito equivalente aproximado de un Autotransformador elevador En la Figura 2.19 se pueden plantear las siguientes ecuaciones:

& & = (R + jX ) I 2 + E& V 1 1 1 1 a' & =V & + E& − (R + jX )&I V 2 1 2 2 2 2 &E = a' E& 1

(2.85)

2

Combinando las ecuaciones anteriores se puede obtener finalmente:

[

]

& & = (1 − a) 2 (R + jX ) + a 2 (R + jX ) I 2 + aV & V 1 1 1 2 2 2 a

(2.86)

Ecuación en que todas las tensiones están referidas al primario y donde: a=

N1 a' = 〈1 a'+1 N1 + N 2

(2.87)

49

es la razón de transformación del autotransformador elevador. La ecuación (2.86) se puede representar mediante el circuito equivalente mostrado en la Figura 2.20, donde: R eq1 = (1 − a) 2 R 1 + a 2 R 2

(2.88)

X eq1 = (1 − a) 2 X1 + a 2 X 2 son las resistencia y reactancia equivalentes referidas al primario, respectivamente Req

I1 +

1

jXeq

1

I2 a

I0 ( g c )1

V1

-j(b m )1

-

+

aV

2

-

Fig. 2.20.- Circuito equivalente aproximado y referido al primario del autotransformador elevador A partir de (2.88) se puede escribir también: R eq1 (Autotransformador) = (1 − a) 2 R eq1 (Transformador) X eq1 (Autotransformador) = (1 − a) 2 X eq1 (Transformador )

(2.89)

El circuito equivalente se puede referir también al secundario, en cuyo caso: R eq2 = X eq2 =

R eq1 2

a X eq1 a2

= =

R1 a' 2 X1 a' 2

+ R2 (2.90) + X2

Es decir, bajo las consideraciones planteadas, las resistencia y reactancia equivalentes del autotransformador y del transformador elevador referidas al secundario son iguales. Además: (g c ) 2 = a 2 (g c )1 (b m ) 2 = a 2 (b m )1

(2.91)

2.16.3.- Autotransformador reductor

Bajo las mismas condiciones anteriores, se puede demostrar que: Z eq1 (Autotransformador reductor) = Z eq2 (Autotransformador elevador) Z eq2 (Autotransformador reductor) = Z eq1 (Autotransformador elevador)

(2.92)

50

2.16.4.- Determinación de los parámetros

Las pruebas, la forma de efectuarlas y los cálculos para obtener los parámetros del circuito equivalente aproximado del autotransformador son similares a lo establecido para el transformador. 2.16.5.- Comparación entre las potencias nominales del autotransformador y del transformador

Considerando que en su funcionamiento como autotransformador, no se excedan las corrientes y tensiones de los enrollados del transformador, se puede demostrar que: S 2 N = (1 + a ' )S' 2 N =

1 S' 2 N 1− a

(2.93)

Es decir; si la razón de transformación del autotransformador es cercana a la unidad, éste puede transferir una potencia nominal mucho mayor que la del transformador a partir del cual se armó. Ello se debe a que ahora, además de la potencia de transformación (T), se agrega la potencia de conducción (C). De acuerdo con esto, la potencia aparente S2N se puede descomponer en dos partes: T = (1 − a) S 2N = V' 2N I'2N C = a S 2N = V2N I 2N - V' 2N I'2N

(2.94)

2.16.6.- Comparación entre las impedancias equivalentes del autotransformador y del transformador respectivo Según (2.89) se tiene que: Z eq1 (autotransformador) = (1 − a) 2 Z eq1 ( transformador )

(2.95)

Como a < 1, se tendrá que la impedancia equivalente como autotransformador es menor que la del respectivo transformador. Este hecho trae dos consecuencias: −

Las pérdidas por efecto Joule (y totales) son menores en el autotransformador. Por lo tanto, el rendimiento es superior al del transformador.

−

Las corrientes de cortocircuito son mayores en el autotransformador, por lo tanto, en el caso de una falla, los bobinados quedarán sometidos a corrientes mayores que para el respectivo transformador.

51

CAPITULO 3 TRANSFORMADORES TRIFASICOS Y BANCOS 3.1.-

Introducción

La transformación de potencia trifásica, puede hacerse mediante transformadores trifásicos o bancos formados por tres unidades monofásicas. El transformador trifásico es menos costoso que un banco de igual potencia, porque sus devanados están colocados sobre un núcleo magnético común, lo que, como se demostrará luego, permite un considerable ahorro de material. Los transformadores trifásicos pueden ser de tipo acorazado y de tipo núcleo. 3.1.1.- Transformador trifásico tipo acorazado Puede considerarse como tres transformadores monofásicos de tipo acorazado, colocados uno junto a otro, tal como se muestra en la Figura 3.1 a). La única diferencia entre esta disposición y la de la Figura 3.1 b), que corresponde a un transformador trifásico, es que las láminas del núcleo de este último están entrelazadas, es decir, las tres partes del núcleo no están separadas. Esto hace que los flujos en el núcleo, correspondientes a fases diferentes, se superpongan en las partes indicadas por D-E-F y G.

Devanados H

D A

I

F B

E

J C

G

K

Núcleos a)

b)

Figura 3.1.- Transformador de tipo acorazado: a) Tres transformadores monofásicos, b) La unidad trifásica correspondiente Supongamos que el transformador funciona con tensiones inducidas sinusoidales equilibradas. En estas condiciones, los flujos en el núcleo deberán ser sinusoidales y estar equilibrados; por lo tanto pueden & ,Φ & yΦ & de la Figura 3.2 a). representarse por los vectores Φ A B C

Los 3 devanados primarios pueden conectarse simétricamente en el circuito, de manera que los sentidos positivos de los flujos en el núcleo sean los mismos (Figura 3.2 b), o bien, pueden invertirse las conexiones de la fase central (Figura 3.2 c). En el primer caso:

& =Φ & = Φ D E

1 2

(Φ&

A

)

& = −Φ B

3 2

Φ

(3.1)

& = Φ & = Φ & . Lo mismo vale para Φ y Φ donde Φ = Φ F G A B C

En la Figura 3.2 c) en cambio: &' =Φ &' = Φ D E Es decir:

1 2

(Φ&

A

)

& = 1Φ +Φ B 2

Φ'D 1 = = 0,577 ΦD 3

(3.2) (3.3)

52

ΦD

ΦA Φ'D

ΦC

ΦB a)

Φ'D

ΦD

X

ΦA

ΦB

ΦC

ΦA

X

X

X

X

ΦB

ΦC X

Φ'E

ΦE b)

c)

Fig. 3.2.- Relaciones de los flujos en un transformador trifásico de tipo acorazado; a) diagrama fasorial para tensiones de fase equilibrada, b) sentidos positivos de los flujos para devanados conectados simétricamente, c) sentidos positivos de los flujos cuando se invierten las conexiones de la fase central. El método normal de conexión es el indicado en c) Por lo tanto, invirtiendo la conexión del enrollado central, el flujo en esta parte del núcleo es sólo del 57,7%, del que había con la conexión de la Figura 3.2.b). Se puede concluir entonces, que en estas condiciones, en las zonas D-E-F y G, el flujo es igual a la mitad del que existe en las zonas A-B y C e igual al flujo en las zonas H-I-J y K, lo que permite ahorrar una importante cantidad de material, tal como se indica en la Figura 3.3 (zona sombreada). En todas las partes del núcleo, excepto en las zonas D-E-F y G, los flujos son los mismos que existirían en los transformadores monofásicos. La superposición de los flujos no afecta de manera importante el funcionamiento del transformador trifásico de tipo acorazado, salvo en modificar la formas de onda y desequilibrar ligeramente las intensidades de las corrientes de excitación.

Figura 3.3.- Comparación de diseños con transformadores monofásicos y trifásicos del tipo acorazado 3.1.2.- Transformador trifásico tipo núcleo, con tres columnas

En la Figura 3.4, se muestra la formación de un transformador trifásico tipo núcleo a partir de tres unidades monofásicas. Si las tensiones aplicadas son sinusoidales, simétricas y equilibradas, los flujos de la Figura 3.4 a) cumplirán la relación:

& +Φ & +Φ & =0 Φ A B C

(3.4)

53

Por lo tanto, se puede omitir la parte central del núcleo, tal como se muestra en la Figura 3.4 b). Sin embargo, por razones de construcción, se usa la disposición del núcleo mostrada en la Figura 3.4.c), lo que produce un ligero desequilibrio del circuito magnético para las tres fases, pero permite un importante ahorro de material del núcleo. ΦB

ΦB

B

ΦA

ΦA Φ

A

C

A

B

ΦC

D

H1

C

X1

C

H2

A

ΦA

H3

B

X2

ΦB

X3

C

ΦC

E

núcleos a)

b)

c)

Figura 3.4.- Síntesis de un transformador trifásico de tres ramas, tipo de núcleo, a partir de tres unidades monofásicas 3.2.-

Polaridad en transformadores trifásicos

En el caso de un banco trifásico formado por tres unidades monofásicas, se tiene para cada unidad, el concepto de polaridad explicado en 2.7. Lo mismo ocurre para cada fase de un transformador trifásico tipo acorazado. En el transformador trifásico tipo núcleo, la situación es diferente. La polaridad se puede establecer sólo para los enrollados que están sobre una misma pierna o columna del núcleo. Junto al concepto de “marcas de polaridad”, se tiene el de “comienzos de enrollado” o “puntas de enrollado”, debido a la necesidad de que en todo instante se cumpla la relación (3.4). De esta forma, se puede considerar como “comienzos de enrollado” a los terminales tales que si por ellos entran corrientes, se establezcan flujos como los mostrados en la Figura 3.4 c). Para cada columna entonces; H1 y X1 (o H2 y X2 o H3 y X3) serán homólogos o no, dependiendo de si la polaridad es sustractiva o aditiva. 3.3.-

Conexiones trifásicas de transformadores

Para efectos del análisis que se hará en este punto, se considerará como equivalentes a tres transformadores monofásicos, las tres columnas de un transformador trifásico tipo núcleo ó las tres fases de un transformador trifásico tipo acorazado. 3.3.1.- Consideraciones generales

Se utilizarán las siguientes convenciones: −

Los enrollados ubicados en una misma fase, se dibujan siempre paralelos y con las marcas de polaridad o de comienzo de enrollado en el mismo sentido.

−

Los enrollados se dibujan ubicados formando ángulos entre si, iguales a la diferencia de fase entre las tensiones que existen en ellos y, por comodidad se representan por un trazo.

54

−

Los transformadores se consideran ideales.

−

Para todos los casos se considera secuencia positiva en los sistemas trifásicos de tensiones a ambos lados del transformador.

−

Se considera positivo el ángulo en que las tensiones secundarias atrasan a las tensiones respectivas del primario.

−

A cada tipo de conexión trifásica se le asigna un subíndice numérico (entre 0 y 12) que indica por que múltiplo de 30º, el fasor voltaje del lado secundario atrasa al fasor voltaje del primario. Esto se denomina desplazamiento angular de la conexión.

−

Los bornes sacados al exterior, se designan con las letras H1, H2 y H3, para el primario y X1, X2 y X3 para el secundario.

3.3.2.- Deducción de algunas conexiones a) Conexión YY0 o YY12: Según lo indicado, significa que el primario y el secundario están en estrella y que el desfase entre ellos es de 0º (ó 360º) H1

11

1

H1

H2

H3

X1

X2

X

X

X3

X

X

X

X

10 9

X3

H3

2

X1

X

N

3

X

X

X2

X

7

X

X

H2 5

6

a)

b)

Figura 3.5.- Conexión YY0: a) Diagrama fasorial b) Conexión de los enrollados b) Conexión ∆Y5: Significa que el primario está conectado en delta o triángulo y el secundario en estrella y que el secundario atrasa al primario en 150º. H1

11

X

X3

10

H1

H2

X

X

X

X

X

X

X1

X2

X3

H3

2

X2

X

X

N

X

H3

3

X X

7

6

a)

X1

H2

b)

Figura 3.6.- Conexión ∆Y5 : a) Diagrama fasorial b) Conexión de los enrollados

55

c) Conexión YZ11: La conexión Z, llamada Zig-Zag, requiere que cada fase tenga dos secundarios iguales, los que se interconectan por pares en serie, teniendo presente que la serie esté formada por enrollados de distinta fase. Uno de los objetivos de esta conexión, es que las corrientes de secuencia cero, que circulan por todas las fases con igual dirección y sentido, que producen fuerzas magnetomotrices (fmm) iguales y opuestas en cada fase, se compensen entre si. H2

H1 X1 X

10

H3

2"

X

X

X

3

1'

X

2'

X3 X

3'

X X

3' 6

X2

X

H2 X3

3

2

X1

X2

2

1" X

X

2 2'

3" XN

X

1

1

1'

9

1

X

H3

X

X

H1

5

X

X

2"

1"

a)

3"

b)

Figura 3.7.- Conexión YZ11: a) Diagrama fasorial b) Conexión de los enrollados 3.3.3.- Determinación experimental del Desplazamiento angular de la conexión o del Diagrama fasorial

Se utiliza un método de corriente alterna, que permite determinar directamente el diagrama fasorial, efectuando una serie de medidas de voltaje en los bornes del transformador. Este consiste en lo siguiente: Se conectan juntos un borne primario con uno secundario (H1 y X1, por lo general) y se excita el transformador con un voltaje igual o inferior al nominal y de secuencia conocida, efectuándose medidas de tensión entre todos los otros terminales. Con los valores obtenidos se dibuja el diagrama fasorial a escala, lo que permite determinar el desplazamiento angular de la conexión. A manera de ejemplo, consideremos la Figura 3.8 siguiente, que muestra la conexión ∆Y5 ya vista. X3

150º

X2 VH X 2 2 VH X 3 2

VH X 2 3 X1

H1

VH X 3 3

H3

H2

Figura 3.8.- Diagrama fasorial obtenido para la conexión ∆Y5 En la Figura 3.8 se aprecia que:

56

VH 2X3 = VH 2X 2 = VH3X3 〉 VH3X 2

(3.5)

3.3.4.- Conclusiones

A modo de resumen podemos indicar lo siguiente: −

En los transformadores trifásicos no basta conocer la polaridad, ya que ella no indica de una manera completa las relaciones fasoriales.

−

Debe usarse el concepto de desplazamiento angular, que indica el ángulo en que el fasor X1-N atrasa al fasor H1-N (o el fasor X1-X2 atrasa al H1-H2).

−

La polaridad puede ser aditiva o sustractiva. Cuando es sustractiva, se obtienen desplazamientos angulares de 0º y ± 30º. Con polaridad aditiva, los desplazamientos angulares pueden ser de 180º y 180º ± 30º.

−

Estos tipos de conexiones corresponden cuando se tiene secuencia positiva. Cuando la secuencia es negativa, se tiene lo siguiente: Aquellos grupos de conexiones de desplazamiento angular 0º ó 180º, no cambian. Los grupos de 0 ± 30º ó 180 ± 30º, cambian a 0 m 30º o 180 m 30º, respectivamente.

3.3.5.- Normas internacionales a) Normas americanas: Designan los bornes como H1, H2 y H3 para el lado de alta tensión y x1, x2 y x3 para el lado de baja tensión. En cuanto al desplazamiento angular, aceptan sólo dos grupos de conexiones: −

Grupo Nº 1: Con un desplazamiento angular de cero grados, obtenido con transformadores conectados en estrella-estrella ó delta-delta.

−

Grupo Nº 2: Con un desplazamiento angular de 30º, en que el lado de baja tensión atrasa 30º al lado de alta. Este se obtiene con conexiones estrella-delta ó delta-estrella.

Esta clasificación pone en evidencia el hecho de que sólo se acepta polaridad sustractiva. b) Normas alemanas: Designan los bornes con las letras U,V y W para el lado de alta tensión y u, v y w para el de baja tensión. Admiten las conexiones tanto de polaridad aditiva como sustractiva. 3.4.-

Circuito equivalente de un transformador trifásico

3.4.1.- Introducción

Cuando un transformador trifásico o un banco trifásico opera en condiciones balanceadas, puede analizarse considerando el circuito equivalente “por fase”. Este consiste en representar el transformador por una sola fase. Con el objeto de mostrar más claramente la obtención del circuito equivalente, consideraremos un banco trifásico, formado por tres unidades monofásicas. El circuito equivalente de una de las unidades monofásicas se muestra en la Figura 3.9, donde se ha incluido un transformador ideal de razón a:1, con el fin de realizar las conexiones delta ó estrella de primario y del secundario del transformador trifásico ó del banco trifásico.

57

I +

r eq1

1

jx eq1

a : 1

+

V1

V2

-

Transformador Ideal

Figura 3.9.- Circuito equivalente aproximado de un transformador monofásico 3.4.2.- Conexión estrella-estrella (YY)

En la Figura 3.10 se muestra la conexión de un transformador trifásico ó de tres transformadores monofásicos formando un banco trifásico en conexión estrella tanto para el primario como para el secundario. Se puede apreciar que para obtener el circuito equivalente “por fase”, basta con considerar una de las tres fases, ya que existe un punto común (neutro).

H1

H2

r eq1

IA + VA -

IB

r eq1

jx eq1

+ VB -

H3

jx eq1

IC

+ VC -

N

r eq1

Ia

a : 1 + Va -

Ib

a : 1 + Vb -

jx eq1

Ic

a : 1 + Vc -

X1

X2

X3 n

Figura 3.10.- Transformador trifásico en conexión estrella-estrella La Figura 3.11, muestra el circuito equivalente por fase correspondiente, donde:

R eq1 = req1 X eq1 = x eq1

(3.6)

aT = a En la ecuación (3.6), aT es la razón de transformación trifásica, es decir, la razón entre las tensiones de línea del primario y secundario. En este caso se tiene:

aT =

VH1H 2 VX1X 2

=

3VA 3Va

=a

(3.7)

58

Es decir, las razones de transformación trifásica y monofásica son iguales. I +

I

jX eq1

R eq1

1

2

a

T +

V 1

a

-

V 2

T

-

Figura 3.11.- Circuito equivalente por fase referido al primario de un transformador en conexión YY 3.4.3.- Conexión Delta-Delta (∆∆)

La Figura 3.12 muestra un transformador ó banco trifásico en conexión delta-delta. Como se observa, no es posible considerar una sola fase ya que no existe un punto común. Si se cortocircuita el secundario; desde el primario se ve el circuito de la Figura 3.13 a), el que puede transformarse en una estrella equivalente, tal como el de la Figura 3.13 b), donde se puede obtener un “punto común” o “punto neutro”. Este punto no es real; sin embargo, permite considerar una sola fase del transformador trifásico. H1

r eq1

IA

jx eq1

Ia

a : 1

+ VA -

H2

req1

IB

jx eq1

Ib

a : 1

+

+ Vb -

VB H3

X1

+ Va -

req1

IC +

jx eq1

X2

Ic

a : 1

X3

+ Vc -

VC -

. Figura 3.12.- Transformador trifásico en conexión delta-delta

H1

IA

H1

IA

req1 + jx eq1 I H2

H3

I

B

IC

r'eq1 + jx'eq1

req1 + jx eq1

H2

req1 + jx eq1 H3

a)

B

IC

r'eq1 + jx'eq1 N' r'eq1 + jx'eq1

b)

Figura 3.13.- Transformador trifásico en conexión ∆∆ visto desde el primario al cortocircuitar el secundario: a) Delta; b) Estrella equivalente

59

Para la Figura 3.13 b) se tiene:

z'eq1 = r'eq1 + jx' eq1 =

z eq 3

=

req1 + jx eq1 3

(3.8)

De acuerdo con esto, el circuito equivalente “por fase” del transformador trifásico en conexión ∆∆ será el de la Figura 3.11, donde: req1

R eq1 = r ' eq1 = X eq1 = x ' eq1 = aT =

VH1H 2 VX1X 2

3 x eq1

(3.9)

3 V = A =a Va

3.4.4.- Conexión delta-estrella

Bajo las mismas consideraciones anteriores, el circuito equivalente por fase, es el de la Figura 3.11, donde Req1 y Xeq1 corresponde a los dados en la expresión (3.9) y aT es de la forma: aT =

VH1H 2 VX1X 2

=

VA 3Va

=

a 3

(3.10)

3.4.5.- Conexión estrella-delta

En las condiciones planteadas, el circuito equivalente es el de la Figura 3.11, donde Req1 y Xeq1 están dados por la expresión (3.6) y aT está dado por la expresión (3.11): aT =

VH1H 2 VX1X 2

=

3VA = 3a Va

(3.11)

3.4.6.- Característica de excitación

Cuando se requiere, la característica de excitación se pueden representar por medio de una conductancia gc y una susceptancia bm conectadas en paralelo, a la entrada del circuito equivalente ya visto. En este caso, es posible demostrar, que si los parámetros están referidos a un lado del transformador trifásico que esté conectado en triángulo, su valor por fase es: Y0 = g c − jb m = 3 Y' 0 = 3 (g'c − jb' m )

(3.12)

donde Y’0 corresponde al valor de la admitancia de excitación en cada lado del triángulo. 3.4.7.- Valor de los parámetros en por unidad

Cuando los parámetros del circuito equivalente por fase se expresan en por unidad, sus valores son independientes de la conexión, es decir:

60

Z Y (pu) = Z ∆ (pu) (3.13) YY (pu) = Y∆ (pu) donde el subíndice ∆ indica que el enrollado está en triángulo y el subíndice Y, la estrella equivalente. Por otra parte, al igual que en el transformador monofásico, al expresar los parámetros en (pu) en la base propia y considerando que la prueba de cortocircuito se ha hecho a corriente nominal y que la de vacío se hizo a voltaje nominal, se tiene:

Z eq (pu) =

VCC VN

R eq (pu) =

PCC SN

(3.14)

P g C (pu) = 0 SN b m (pu) =

Q0 SN

en que todas las tensiones y potencias deben ser trifásicas (o todas por fase). 3.4.8.- Determinación experimental de los parámetros del circuito equivalente “por fase”

El procedimiento es similar al empleado en el transformador monofásico, excepto que todas las conexiones y mediciones son trifásicas; es decir, las tensiones se miden entre líneas (VCC, V0), las corrientes son las de línea (ICC, I0) y la potencia es la total (PCC y P0). Los valores de los parámetros del circuito equivalente “por fase” se calculan con la tensión “por fase” (VCC/ 3 , V0/ 3 ), corrientes de línea (ICC, I0) y potencia por fase (PCC/3; P0/3). Para cualquier tipo de conexión de los enrollados del transformador trifásico se tiene entonces:

VCC

Z eq = gc =

3 I CC P0

V02

R eq = bm =

PCC 2 3 I CC

Q0 V02

=

( 3V0 I 0 ) 2 − P02

(3.15)

V02

3.4.9.- Razón de transformación del transformador trifásico (aT)

Es conveniente hacer notar que debido a que en general, las tensiones primaria y secundaria de un transformador trifásico presentan desfases que dependen del tipo de conexión; la razón de transformación es un número complejo. En la práctica; sin embargo, es usual considerarla como un número real positivo (módulo de a& T ) y tomar en cuenta el desfase por inspección, de acuerdo a la conexión particular. Por ejemplo, para la conexión ∆Y5 se puede demostrar que a& T = a& T ∠150º .

61

3.5.-

Pérdidas dispersas

De la misma forma que en el transformador monofásico, las pérdidas dispersas se calculan restando las pérdidas RI2 en corriente continua a las medidas en la prueba de cortocircuito. De esta forma, si R1 y R2 son las resistencias medidas con corriente continua, entre dos terminales del lado primario y dos del secundario respectivamente, siendo I1 e I2 las respectivas corrientes de línea; las pérdidas totales RI2, independiente del tipo de conexión de los enrollados, serán:

(

RI 2total = 1,5 R 1 I12 + R 2 I 22

)

(3.16)

Por lo que las pérdidas dispersas se determinan como:

(

PSL = PCC - 1,5 R 1 I12 + R 2 I 22

)

(3.17)

Donde PCC corresponde a las pérdidas medidas en la prueba de cortocircuito, para las mismas corrientes. 3.6.-

Armónicos en transformadores trifásicos y bancos

3.6.1.- Introducción

En los transformadores monofásicos, suele despreciarse los armónicos de la corriente de excitación, debido a su pequeño valor. Sin embargo, los fenómenos de armónicos en sistemas trifásicos pueden, en algunos casos, ejercer efectos importantes en las características del sistema, particularmente, en el comportamiento de los bancos trifásicos estrella-estrella. Por otra parte, a pesar de su tamaño relativamente pequeño, los armónicos de la corriente de excitación de un banco trifásico pueden, en ciertas ocasiones, inducir en los circuitos de comunicaciones cercanos, tensiones que interfieran seriamente con el funcionamiento adecuado de dichos circuitos. Según lo estudiado en el Capítulo 1, la corriente de excitación de un reactor con núcleo saturable (equivalente al comportamiento de un transformador en vacío), no es sinusoidal y se puede representar aproximadamente por: i 0 (t) = I 01 cos (ω t − φ1 ) + I 03 cos (3 ω t − φ 3 ) + I 05 cos (5 ω t − φ 5 )

(3.18)

donde se han despreciado los armónicos de orden superior a cinco. En la realidad, el tercer armónico es el más importante debido a que en muchos casos su valor eficaz es comparativamente grande frente al valor de la fundamental y adicionalmente, como su período es un tercio del de ésta, las componentes de las tres fases quedan en fase, tal como se muestra en la Figura 3.14. Según esto, presentan características de componentes de secuencia cero. En cuanto a los quintos armónicos y, de acuerdo con lo que se muestra en la Figura 3.15, presentan características de componentes de secuencia negativa; es decir, tienen invertido el orden de las corrientes de las fases, según se puede verificar en la misma Figura. Se analizará a continuación, el comportamiento de los transformadores trifásicos y bancos, de acuerdo a la conexión de sus enrollados y al tipo de núcleo que tengan, considerando solamente los terceros armónicos, en consideración a lo ya indicado.

62

1,5 I

I a1

1

I

b1

c1

0,5 I b3

I a3

0 0

50

100

150

I c3 200

250

360 300

350

-0,5 -1 Angulo[Grados]

-1,5

Figura 3.14.- Corriente de excitación de primer y tercer armónico en un transformador trifásico

1,5 I a1

1

I c1

I b1

0,5

0

-0,5

50 I a5

100

150

200 I b5

250

300

350

I c5

-1

-1,5

Angulo [Grados]

Figura 3.15.- Corriente de excitación de primer y quinto armónico en un transformador trifásico

63

3.6.2.- Transformador estrella-estrella sin neutro a) Tipo acorazado ó banco: Consideremos la Figura 3.16 que esquematiza esta situación.

A

I 0A

a : 1 +

+

Va I 0B B

C

N I 0C

a

Vab

a : 1

-

b

n a : 1

c

Figura 3.16.- Transformador trifásico en conexión estrella-estrella sin neutro (con neutro flotante) Considerando los sentidos de las corrientes y al hecho de que no existe conductor entre el neutro del primario del transformador y el neutro de la fuente de alimentación (que no se muestra), la suma (fasorial) de las corrientes de excitación de las tres fases debe ser cero; es decir, para los terceros armónicos se debe cumplir: &I & & 0A3 + I 0B3 + I 0C3 = 0

(3.19)

La única forma para que (3.19) se cumpla es que I0A3 = I0B3 = I0C3 = 0, es decir, si se desprecia los armónicos superiores al tercero, la corriente de excitación sería sinusoidal, (ya que los terceros armónicos están obligados a ser cero debido a la conexión), pero entonces, dadas las características no lineales del núcleo, el flujo deja de ser sinusoidal. Esto significa, que aparecen terceros armónicos en la onda del flujo establecido en el núcleo y en las tensiones inducidas en los enrollados. Sin embargo, por el hecho de que los terceros armónicos están todos en fase, las tensiones entre líneas no presentan terceros armónicos (recuérdese & =V & −V & ) que V ab a b La tensión eficaz por fase (conteniendo terceros armónicos) es: Va = Va12 + Va32

(3.20)

Donde Va1 y Va3 son los valores efectivos de la fundamental y del tercer armónico respectivamente. Va3 suele variar entre un 30 y un 70% de Va1. Si como valor representativo consideramos que Va3 es un 50% de Va1, se tiene que Vab = 1,12 3 Va1 . b) Tipo núcleo: Debido a la configuración del núcleo y a los sentidos de arrollamiento y corriente en ellos, los flujos de tercer armónico, que en las tres columnas tienen en todo instante la misma magnitud y sentido (Figura 3.4.c) están obligados a cerrar su circuito magnético a través del aire. Como la reluctancia del aire es más elevada que la del material magnético, se tiene que la magnitud de estos flujos es pequeña. Por ello, en el

64

transformador trifásico tipo núcleo, aún cuando no pudieran circular corrientes de tercer armónico en las líneas, las tensiones por enrollado se deforman muy poco. 3.6.3.- Transformador estrella-estrella con neutro encadenado

Las corrientes de tercer armónico pueden circular por las líneas si se conectan los neutros del primario del transformador y del generador (fuente). Esto permite eliminar los terceros armónicos de las tensiones fase neutro, pero se puede producir interferencia inductiva en circuitos cercanos, sobre todo en el caso en que la conexión entre los neutros se realiza a través del suelo. Para verificar esto, consideremos la Figura 3.17 donde se muestra una línea de potencia trifásica A-B-C y una línea telefónica a-b descubierta. Para mayor sencillez supondremos que ambos circuitos están en un mismo plano y que en el instante considerado los sentidos de las corrientes son los indicados. XA A

B

IA

XB

C IB

XC

a

b

IC B

Figura 3.17.- Líneas de potencia A-B-C y telefónica a-b, paralelas Aplicando la Ley Circuital de Ampere se tiene: &I  &I r µ  &I B = 0  A + B + C  2π  X A X B X C 

(3.21)

r En que B , es la inducción magnética total sobre el circuito telefónico. Si se supone que la separación entre conductores de potencia es bastante menor que las distancias al circuito de comunicación, se tiene, en forma aproximada que XA=XB=XC=X y por lo tanto: r µ B = 0 &I A + &I B + &I C 2π X

(

)

(3.22)

Si las corrientes de línea están equilibradas, las corrientes sinusoidales desfasadas 120º (tales como los armónicos fundamentales, quintos, séptimos, etc.) dan una suma nula en todo instante y si, según lo indicado, las distancias de las tres fases al circuito de comunicación es prácticamente la misma, la inducción r magnética B resultante creada por estos armónicos es aproximadamente cero. No obstante, si la línea de potencia suministra la corriente de excitación a un transformador o banco estrella-estrella con neutro encadenado, las corrientes de las líneas contienen terceros armónicos. Para mayor sencillez, supongamos que la conexión de los neutros se hace a través del suelo y que el efecto inductivo del tercer armónico de la corriente de tierra es despreciable debido a la altura a la que los circuitos se encuentra sobre el suelo. Los terceros armónicos de las tres corrientes de línea están en fase en las tres fases y por lo tanto, los valores instantáneos de las inducciones magnéticas debidos a ellos se suman directamente, produciendo un efecto inductivo importante. Por otra parte, la frecuencia es el triple de la fundamental, por lo que la tensión inducida es de esta frecuencia y su valor es tres veces mayor que la tensión de frecuencia fundamental que induciría un flujo fundamental igual. Recordemos para justificar lo anterior, que: E ind = 4,44 f N A B máx

(3.23)

65

3.6.4.- Transformador estrella-triángulo

Consideremos el banco estrella-triángulo de la Figura 3.18. En el lado primario, el banco se comporta de la misma forma que el banco estrella-estrella visto en 3.6.3. Es decir, las tensiones primarias varían sinusoidalmente; cada transformador monofásico ó cada fase recibe su corriente de excitación y los terceros armónicos de la corriente de excitación circulan por el conductor neutro. I A

I

0A

a : 1

0B

a : 1

B IN I C

0C

p

Vpq N

a : 1

q

Figura 3.18 .- Transformador estrella-delta abierta Los terceros armónicos, de las corrientes de excitación crean pequeñas caídas de tensión en las impedancias de fuga de los transformadores y por lo tanto, las fuerzas electromotrices inducidas por el flujo mutuo contienen terceros armónicos débiles que aparecen como componentes pequeños de las tensiones de los secundarios. Como estas componentes (de tercer armónico) están en fase en los tres transformadores, la tensión en el vértice del triángulo secundario (bornes pq) contiene un tercer armónico Vpq, cuyo valor es el triple del de cada transformador monofásico o de cada fase. Aún cuando esta tensión suele ser pequeña comparada con las tensiones secundarias, si se unen lo bornes pq, es capaz de crear una corriente de tercer armónico que circula por el Delta del secundario. La acción combinada de las corrientes de excitación de tercer armónico que circulan por el primario y secundario, crea las fuerzas magnetomotrices de esta frecuencia, necesarias para permitir variaciones prácticamente sinusoidales del flujo, como ocurre en forma mejor aún, en la conexión delta-delta. Por ello, al cerrar el delta del secundario, se reducen los terceros armónicos de las corrientes de excitación del primario. Si al cerrar la delta del secundario, se desconecta el neutro, la corriente de excitación del primario no contiene terceros armónicos. El triángulo cerrado del secundario proporciona un camino para los terceros armónicos de las corrientes. Como para crear esta corriente se requiere una fuerza electromotriz de dicha frecuencia, el flujo mutuo se ajusta por si mismo para contener el tercer armónico necesario para generarla. Por lo tanto, el flujo mutuo induce un tercer armónico de la tensión respecto al neutro en el primario, pero por lo general, éste es de valor muy pequeño y la onda de tensión primaria respecto al neutro es prácticamente sinusoidal. Para las conexiones delta-estrella y delta-delta ocurre algo similar, por lo que podemos consignar a manera de conclusión, lo siguiente: Los componentes de tercer armónico de la corriente de excitación necesarios para una variación sinusoidal del flujo, circulan por los devanados conectados en delta, de un banco triángulo-triángulo; triángulo-estrella ó estrella-triángulo, pero (para transformadores exactamente iguales) no están presentes en

66

las líneas trifásicas conectadas a los transformadores, cuando se aíslan los neutros de los devanados conectados en estrella, de los otros sistemas de neutros. Debido a la ausencia de terceros armónicos en las corrientes de línea que alimentan enrollados conectados en triángulo, los valores eficaces de las corrientes de línea y de enrollados en vacío, no quedan relacionados por 3 . Sean I01, I03, los valores eficaces del primer y tercer armónico respectivamente en los 3 transformadores conectados en delta e I0∆, el valor eficaz de la corriente de excitación de cada uno de ellos. Entonces se puede escribir: 2 2 I 0∆ = I 01 + I 03

(3.24)

La corriente de la línea en vacío IL es: I 0L = 3 I 01 y por lo tanto: 2 I 0L = 3 I 02 ∆ − I 03

(3.25)

Si por ejemplo I03 es el 40% de I0∆, entonces : I 0L = 0,92 3 I 0 ∆

(3.26)

3.6.5.- Transformadores estrella-zig zag

Si el neutro de la estrella está aislado, no hay terceros armónicos en la corriente de excitación. Esto significa que el flujo mutuo debe contener terceros armónicos al igual que las tensiones secundarias inducidas. Sin embargo, como a cada fase del secundario le corresponden dos enrollados en oposición, los terceros armónicos de la tensión se anulan, por lo que no existen terceros armónicos en las tensiones de fase y de línea, en el secundario. Esta es una de las propiedades de la conexión zig-zag.

67

CAPITULO 4 PRINCIPIOS DE CONVERSION ELECTROMECANICA 4.1.-

Introducción

La Figura 4.1 muestra un sistema electromecánico típico. La parte eléctrica está constituida por la fuente de tensión, la bobina de N espiras y el circuito magnético. La parte mecánica está compuesta por el cuerpo de masa M, el vástago que lo une al resorte y el resorte mismo. El acoplamiento electromecánico se produce en la parte encuadrada por las líneas de segmentos. Guía del Vástago

i Fuente

+ v -

Bobina de N Espiras

Resorte

M

x Fe Referencia

Figura 4.1.- Sistema Electromecánico Las cantidades en función de las cuales se expresan las relaciones matemáticas que representan el comportamiento de los sistemas eléctrico y mecánico, se denominan “Coordenadas básicas” o “Magnitudes fundamentales” del sistema electromecánico. A continuación (Cuadro 4.1) se indican las coordenadas básicas y sus primeras derivadas respecto al tiempo, para los sistemas eléctrico y mecánico. Cuadro 4.1.- Coordenadas básicas y sus primeras derivadas respecto al tiempo Coordenadas básicas eléctricas Símbolo

Nombre

Unidad

q λ

Carga Eléctrica Flujo enlazado

Coulomb weber

Coordenadas básicas mecánicas Símbolo Nombre Unidad

p x l θ 4.2.-

momentum posición momen. angular posición angular

Newton-seg metro Newton-m-seg Radian

Primeras derivadas respecto al tiempo Símbolo i = q& v = λ&

Nombre

Unidad

Corriente Tensión

Ampere Volt

Primeras derivadas respecto al tiempo Símbolo Nombre Unidad F = p& Fuerza Newton u = x& Velocidad metros/seg Torque Newton-m T = &l Veloc. angular Radian/seg ω = θ&

Estado y variables de estado

En general, estado de un sistema es cualquier propiedad o conjunto de propiedades características que se pueden presentar en el transcurso del tiempo. El comportamiento de un sistema respecto de una o varias de sus propiedades, se puede especificar por un conjunto de pares “Entrada-salida”. Las entradas están constituidas por las acciones aplicadas al sistema, que producen efectos en su comportamiento.

68

La salida es la respuesta del sistema a la ó las entradas. Generalmente, el conjunto de pares “entradasalida” puede ser representado por una función de las variables de entrada. Una función de las variables de entrada tal, que su valor queda determinado para todo t > t0 por los valores que asumen las variables de entrada para t > t0, se llama “Función de Estado”. Es decir, los valores de una función de estado, son independientes de la forma como las variables de entrada alcancen sus valores finales. A continuación se modelará el Sistema Electromecánico de la Figura 4.1, de manera que pueda separarse el “Sistema de Acoplamiento Electromecánico” para definir en él, una “Función de Estado”. 4.3.-

Sistema de acoplamiento electromecánico de campo magnético

4.3.1.- Función de Estado Energía

El sistema de la Figura 4.1, puede considerarse separado en cuatro partes, tal como se muestra en la Figura 4.2, donde: Zf : Impedancia de la fuente Rb: Resistencia óhmica de la bobina (Pérdidas en el conductor ) gc: Conductancia que representa las pérdidas en el núcleo Las partes indicadas con líneas de segmentos corresponden a: 1. 2. 3. 4.

Sistema eléctrico que entrega (absorbe) energía eléctrica al (del) sistema de acoplamiento. Sistema de acoplamiento electromecánico conservativo (sin pérdidas). Aquí se almacena energía. Sistema mecánico que absorbe (entrega) energía desde (al) sistema de acoplamiento. Parte que representa las pérdidas del sistema electromecánico. R

Zf +

v+ f

v

-

b

i +

gc

e

M a s x a Fe M

N

-

-

1 2

3 Resorte K Roce D 4

Fig. 4.2.- Sistema electromecánico separado El sistema electromecánico de la Figura 4.2 puede representarse circuitalmente, haciendo una analogía fuerza-corriente en la parte mecánica, tal como se muestra en la Figura 4.3.

R

Zf vf+ -

+

v -

b

gc

i

.

Sistema de

Fe

. e =λ Campo Magnético u=x M + -

sin pérdidas

+ -

D

K,l

Figura 4.3.- Representación circuital del sistema electromecánico

69

De acuerdo con la Figura 4.3, en un tiempo dt, la energía eléctrica que entra al sistema de acoplamiento sin pérdidas es: i e dt = i

dλ dt = i dλ dt

(4.1)

En el mismo tiempo, la energía mecánica que entra al sistema de acoplamiento es: - F e u dt = i

dx dt = F e dx dt

(4.2)

El signo negativo se debe a que Fe se define como positiva cuando actúa sobre el sistema mecánico, en el sentido de aumentar la magnitud de la variable x. La energía total que entra al sistema de acoplamiento, considerando que éste es conservativo, (las pérdidas se han representado aparte) sólo se puede almacenar en el campo magnético. Luego, la energía almacenada en el campo magnético en el tiempo dt será: dWm = i dλ − F e dx

(4.3)

Wm es función de las variables i, λ, Fe, x. Si pensamos que el acoplamiento está desconectado de los circuitos eléctrico y mecánico, podemos elegir dos variables independientes, que fijarán los valores de las otras dos. Por la forma de la ecuación (4.3), es conveniente elegir a λ y x como variables independientes. Así entonces se puede escribir: Wm = Wm (λ, x )

i = i (λ, x )

(4.4)

F = F (λ, x ) e

e

Wm (λ,x) es una función de estado, ya que el sistema es conservativo es decir, su valor sólo depende de los valores que tomen λ y x, independientemente de como lleguen a obtenerse. Para obtenerla, se puede integrar (4.3) a través de un cierto recorrido (integral de línea) que una los puntos inicial (a) y final (b), es decir:

∫a(λa ,xa ) dWm = Wm (λ b , x b ) − Wm (λ a , x a ) b(λ b , x b )

(4.5)

Según lo expuesto, se tiene la posibilidad de elegir aquella trayectoria que permita evaluar (4.5) en la forma más cómoda y sencilla. En la Figura 4.4 se muestran cuatro maneras posibles como las variables λ y x alcanzan sus valores finales. λ λb

λa

d

b

c

a xa

xb

x

Figura 4.4.- Cuatro posibles trayectorias para evaluar la expresión (4.5)

70

Utilizando la trayectoria “a-c-b” se tiene: Wm (λ b , x b ) − Wm (λ a , x a ) = − ∫ F e (λ a , x) dx + ∫ i (λ, x b ) dλ xb

λb

xa

λa

(4.6)

Con la trayectoria “a-d-b”: Wm (λ b , x b ) − Wm (λ a , x a ) = ∫ i (λ, x a ) dλ − ∫ F e (λ b , x ) dx λb

xb

λa

xa

(4.7)

Si a=0, se tiene que: Wm (λ a , x a ) = 0 y F e (λ a , x ) = 0 , por lo que las ecuaciones (4.6) y (4.7) quedan: Wm (λ b , x b ) = ∫ i (λ, x b ) dλ λb

(4.8)

0

Wm (λ b , x b ) = ∫ i (λ,0) dλ − ∫ F e (λ b , x ) dx λb

xb

0

0

(4.9)

Como se aprecia; de las dos trayectorias analizadas (las más sencillas), es más conveniente utilizar la primera, es decir, “a-c-b”, lo que significa emplear la ecuación (4.8), ya que ésta no requiere la función F e (λ b , x ) , la que no se conoce. Quitando el subíndice b y colocando “prima” a las variables, la función de estado energía se puede evaluar utilizando la expresión: Wm (λ, x ) = ∫ i' (λ' , x ) dλ ' λ

0

(4.10)

4.3.2.- Fuerza de origen eléctrico a partir de la Función de Estado Energía

Suponiendo que Wm es continua, que existen sus primeras y segundas derivadas parciales y que ellas son continuas, a partir de (4.4) se puede escribir: dWm =

∂Wm ∂Wm dλ + dx ∂λ ∂x

(4.11)

Restando (4.11) a (4.3) se obtiene:  ∂Wm   e ∂Wm  i dλ −  F + dx = 0 ∂λ  ∂x   

(4.12)

Como λ y x son variables independientes, para satisfacer (4.12) se requiere que los términos dentro de los paréntesis sean cero y por lo tanto: i=

∂Wm (λ, x ) ∂λ

Fe = −

∂Wm (λ, x ) ∂x

(4.13) (4.14)

La expresión (4.14) permite determinar la fuerza de origen eléctrico a partir de la función de estado energía, siempre que ésta se exprese en función del enlace de flujo λ y de la variable mecánica x.

71

4.3.3.- Función de Estado Coenergía Magnética Wm'

En la práctica, se acostumbra a trabajar con corrientes en lugar de enlaces de flujo, debido a que es más sencillo el manejo matemático y porque es mucho más fácil medirlas. Por lo tanto, existe la necesidad de encontrar una expresión que permita determinar la fuerza eléctrica, en función de las corrientes, lo que conduce a introducir el concepto de coenergía magnética. Diferenciando el producto i λ, se obtiene: d(i λ ) = i dλ + λ di , de donde: i dλ = d(i λ ) − λ di

(4.15)

Introduciendo (4.15 ) en (4.3) y despejando se obtiene: dWm' (i, x) = λ di + Fe dx

(4.16)

En que: Wm' = i λ − Wm

(4.17)

Es por definición, la coenergía magnética y donde i y x son las variables independientes. Como Wm' (i, x) es también una función de estado, se puede integrar (4.16) en la misma forma que se hizo para Wm (λ,x) y por lo tanto: i

Wm' (i, x) = ∫ λ' (i' , x) di'

(4.18)

0

La Figura 4.5, ilustra los conceptos de Energía y Coenergía magnética λ' λ Wm(λ ,x)

W'm(i,x)

i

i'

Figura 4.5.- Areas correspondientes a la Energía Wm y la Coenergía Wm' Cuando el comportamiento magnético del sistema de acoplamiento es lineal, es decir, cuando los enlaces de flujo son funciones lineales de las corrientes, la Energía y la Coenergía magnética tienen en todo instante, el mismo valor. No obstante lo anterior, son conceptualmente diferentes y por lo tanto, no deben confundirse.

72

4.3.4.- Fuerza de origen eléctrico a partir de la Coenergía La función de Estado Coenergía magnética es también continua y tiene primeras y segundas derivadas continuas, por lo que, tal como se demostró en 4.3.2, en este caso se puede escribir:

λ=

∂Wm' (i, x) ∂i

Fe =

(4.19)

∂Wm' (i, x) ∂x

(4.20)

La expresión (4.20) permite determinar la fuerza de origen eléctrico a partir de Wm' , siempre que ésta sea función de la corriente i y de la posición x. 4.3.5.- Sistemas con N entradas eléctricas y M entradas mecánicas

Las expresiones (4.10), (4.18), (4.14) y (4.20) pueden extenderse a sistemas de entradas múltiples tal como se indica a continuación.

∑ (λ1' ,....., λ 'N , x 1 ,....., x M ) dλ 'K

λ1 ,..., λ N K = N ' iK 0,...,0 K =1

Wm (λ 1 ,....., λ N , x 1 ,....., x M ) = ∫ Wm' (i1 ,....., i N , x 1 ,....., x M ) = ∫

0,...,0

Fje = −

Fje

=

∑ λ 'K (i1' ,....., i 'N , x 1 ,....., x M ) di 'K

i1 ,...,i N K = N

(

)

∂x j

(

(4.22)

K =1

∂Wm λ1 ,....., λ N , x 1 ,..., x j ,.., x M

∂Wm' i1 ,....., i N , x 1 ,..., x j ,.., x M

(4.21)

)

∂x j

(4.23)

(4.24)

4.3.6.- Relación terminal en el sistema de acoplamiento de campo magnético

Puesto que λ se puede obtener como función de i y de x, es decir, λ=λ(i,x) y por otra parte e=dλ/dt; la relación terminal en este sistema se puede escribir como: e=

∂λ di ∂λ dx + ∂i dt ∂x dt

(4.25)

En el segundo miembro, el primer término existe sólo cuando la corriente es variable en el tiempo y el segundo, cuando existe movimiento. 4.3.7.- Observaciones generales

− − −

La propiedad matemática de la Función de Estado Energía, es que depende de la coordenada básica presente en el fenómeno. En este caso, el enlace de flujo λ. La Función de Estado Coenergía depende de la derivada de la coordenada básica que no está presente en el fenómeno. En este caso, la corriente i. Si el movimiento es rotatorio, la coordenada mecánica es θ (en vez de x) y se produce un torque de origen eléctrico Te (en lugar de Fe)

73

4.4.-

Sistema de acoplamiento electromecánico de Campo Eléctrico

4.4.1.- Consideraciones generales

La energía almacenada en el campo eléctrico es bastante menor que la almacenada en el campo magnético, por lo que muy pocos dispositivos electromecánicos la utilizan para producir fuerza. Sin embargo, es necesario e instructivo estudiar la conversión electromecánica incluyendo el campo eléctrico. A modo de resumen, se indican a continuación las principales ecuaciones del campo eléctrico:

∫c

r r E • dl = 0

(4.26)

r

∫S D • nˆ dA = ∫V ρ f dv = Q T

(4.27)

r r r D = ε0 E + P

(4.28)

r

d

∫S J f • nˆ dA = − dt ∫V ρ f dv

(4.29)

donde: r E : Vector intensidad de campo eléctrico r D : Vector desplazamiento eléctrico ρ f : Densidad volumétrica de carga r P : Vector polarización J f : Densidad de corriente ε 0 : Permitividad del vacío (8,85 x 10-12 F/m) La expresión (4.27) corresponde a la ley de Gauss. Si el dieléctrico es lineal, se tiene: r r P = ε0 χ E

(4.30)

y de (4.28) r r D=εE

(4.31)

en que ε = ε 0 (1 + χ) es la permitividad del dieléctrico y χ es la susceptibilidad eléctrica del material. Por otra parte, si no existe polarización (en el vacío) P=0 y por lo tanto (4.28) queda: r r D = ε0 E

(4.32)

Por lo que la expresión (4.27) se puede escribir como: r

1

∫S E • nˆ dA = ε 0 ∫V ρ f dv =

QT ε0

que corresponde a la ley de Gauss en el vacío.

(4.33)

74

4.4.2.- Relación terminal en un sistema de campo eléctrico

Es conveniente establecer, que un sistema de campo eléctrico sin pérdidas y con parámetros concentrados, consiste en un grupo de cuerpos equipotenciales que no están conectados entre si mediante conductores. Los terminales se disponen de manera que se pueda aplicar una alimentación a ellos. Por convención se selecciona un cuerpo equipotencial como referencia y su potencial se considera igual a cero; así entonces, los potenciales de los otros cuerpos conductores se especifican con respecto a él. Consideremos dos cuerpos equipotenciales, como un ejemplo simple para encontrar las relaciones en los terminales (Figura 4.6). Se supone que la tensión v es aplicada entre los dos cuerpos equipotenciales y se desea calcular la corriente i i, q

J n

+

Superficie S que encierra un Volumen V que contiene cargas eléctricas Cuerpos equipotenciales

v -

Figura 4.6.- Dos cuerpos equipotenciales Si se elige la superficie S que encierra sólo el cuerpo equipotencial superior y se aplica la ley de conservación de la carga, expresión (4.29) se obtiene: i=

dq = q& dt

(4.34)

En un sistema en el cual se imponen diferencias de potencial, las cantidades de campos y la densidad de carga son determinados por las ecuaciones (4.26), (4.27) y (4.28), siendo todas ellas funciones de las tensiones aplicadas, las propiedades del material dieléctrico (polarización) y la geometría del sistema. Si en la Figura 4.6 especificamos que la geometría varía en función de una sola coordenada x, respecto a un sistema de referencia fijo, podemos escribir la carga eléctrica en forma funcional, como: q = q(v, x)

(4.35)

Aplicando la ecuación (4.34), la relación terminal para el sistema de campo eléctrico queda entonces: i=

dq ∂q dv ∂q dx = q& = + dt ∂v dt ∂x dt

(4.36)

En el segundo miembro, el primer término existe sólo cuando la tensión aplicada es variable en el tiempo y el segundo, cuando existe movimiento. Si se define un parámetro C (capacitancia o capacidad) de modo que: C(v, x ) =

∂q(v, x ) ∂v

(4.37)

75

Se tendrá, que cuando la polarización P es una función lineal de las cantidades de campo y por lo tanto el sistema es eléctricamente lineal. C(x ) =

q(v, x ) v

(4.38)

La capacidad C contiene la parte dependiente de la geometría y bajo estas condiciones: i=

dq dv dC(x) dx = q& = C(x) +v dt dt dx dt

(4.39)

Si la geometría se fija en el espacio, es decir, la velocidad es nula; aunque el sistema sea no lineal, se tiene: i=

dq dv = q& = C dt dt

(4.40)

donde C puede ser definida como: C=

dq dv

(4.41)

que bajo condiciones lineales se reduce a: C=

q v

(4.42)

4.4.3.- Funciones de estado Energía y Coenergía y Fuerza de origen eléctrico en el sistema de campo eléctrico

Siguiendo las mismas líneas de razonamiento expuestas para el campo magnético, se obtienen los siguientes resultados para el campo eléctrico. dWe = v dq − F e dx

(4.43)

We = We (q, x )

(4.44)

We (q, x ) = ∫ v' (q' , x ) dq'

(4.45)

q

0

v=

∂We (q, x) ∂q

Fe = −

∂We (q, x) ∂x

(4.46)

(4.47)

We + We' = vq

(4.48)

dWe' = q dv + F e dx

(4.49)

76

We' = We' (v, x) v

We' (v, x) = ∫ q' (v' , x) dv' 0

q=

∂We' (v, x) ∂v

Fe =

∂We' (v, x) ∂x

(4.50) (4.51)

(4.52)

(4.53)

Igual que para el campo magnético, las relaciones (4.43) a (4.53) se pueden extender a sistemas con entradas eléctricas y mecánicas múltiples.

77

CAPITULO 5 CONCEPTOS BASICOS DE MAQUINAS ROTATORIAS 5.1.-

Introducción

En este capítulo, se describen en forma breve y elemental, tres tipos de máquinas rotatorias (síncrona, de inducción y de corriente continua), cuyos principios básicos son esencialmente los mismos. En ellas, las tensiones se inducen debido al movimiento relativo de un campo magnético respecto a un devanado (grupos de bobinas girando dentro de un campo magnético fijo o viceversa, o bien variando la reluctancia al girar el rotor) y el torque se produce por la interacción entre los campos magnéticos del estator (parte fija de la máquina) y del rotor (parte móvil). La Figura 5.1 muestra en forma esquemática estos tres tipos de máquinas. Estator

Interpolo Rotor Ranuras

a)

b)

c) Figura 5.1.- Estructuras magnéticas de Máquinas Eléctricas Rotatorias: a) Corriente Continua;

b) Síncrona o Sincrónica; c) Asíncrona o de Inducción

78

5.2.-

Consideraciones generales

5.2.1.- Máquinas síncronas elementales La Figura 5.2 muestra una máquina síncrona elemental de dos polos (operando como generador de corriente alterna). En la mayoría de los casos, el devanado inducido, está ubicado en el estator. El inductor se excita con corriente continua (C.C.) a través de contactos o “escobillas” de carbón apoyadas sobre “anillos rozantes”. Como el inductor es de menor potencia, es más práctico que esté ubicado en el rotor. El devanado inducido está formado por N espiras, representada en la Figura por a y a’, alojadas en dos ranuras diametralmente opuestas practicadas en la parte interior del estator. Devanado de Campo

a' a

Rotor Trayectorias del Flujo

Devanado de Armadura Estator

Figura 5.2.- Generador síncrono elemental de polos salientes Los conductores que forman los laterales de esta bobina son paralelos al eje de la máquina y están conectados en serie. El rotor gira a velocidad uniforme en virtud de una potencia mecánica aplicada a su eje. La distribución radial de la densidad de flujo B en el entrehierro, es función de la posición del rotor. En las máquinas reales, puede conseguirse que la onda de B tenga una forma aproximadamente sinusoidal, tal como se muestra en la Figura 5.3 a), perfilando adecuadamente las expansiones polares. Al girar el rotor, la onda de flujo barre los laterales a y a’ de la bobina, induciéndose en ella una tensión que es función del tiempo y que tiene la misma forma que la distribución espacial de B, (Figura 5.3 b)

B

e

π 0

θ

a)

0

t

b)

Figura 5.3.- a) Distribución espacial de B; b) Onda de tensión inducida La tensión inducida pasa por un ciclo completo de valores por cada revolución de la máquina de dos polos de la Figura 5.2.- Su frecuencia en ciclos por segundo (hertz) es igual a la velocidad del rotor en revoluciones por segundo, es decir, la frecuencia eléctrica está sincronizada con la velocidad mecánica, razón

79

por la cual, estas máquinas se denominan síncronas. De acuerdo con esto, una máquina síncrona de dos polos debe girar a 50 rps (revoluciones por segundo) es decir 3000 rpm (revoluciones por minuto) para generar una tensión con una frecuencia de 50 Hz. La mayor parte de las máquinas síncronas tienen más de dos polos, en cuyo caso puede considerarse únicamente un par de ellos, teniendo en cuenta que las condiciones eléctricas, magnéticas y mecánicas relativas a cada uno de los restantes, no son más que una repetición de las existentes para el par considerado. Por este motivo resulta más conveniente expresar los ángulos como θ en grados o radianes eléctricos, más que como θm en unidades geométricas o mecánicas corrientes. Un par de polos o un ciclo de distribución de flujo en una máquina de P polos equivale a 360º eléctricos o a 2π radianes eléctricos, y puesto que en una revolución completa existen P/2 ondas o ciclos, se tiene que:

θ=

P θm 2

(5.1)

La frecuencia angular ω de la tensión inducida se puede obtener derivando la expresión (5.1) respecto al tiempo, es decir: ω=

P ωm 2

(5.2)

De donde la frecuencia f de la onda de tensión inducida en Hz y la velocidad mecánica n en rpm quedan relacionadas como: f=

P n 2 60

(5.3)

El rotor mostrado en la Figura 5.2 es de polos salientes con los devanados concentrados, mientras que el de la Figura 5.4 es de polos no salientes o cilíndrico, en el que el bobinado está distribuido, alojado en ranuras y dispuesto de manera que el campo es de dos polos y aproximadamente sinusoidal. El uso de uno u otro tipo de rotor depende del tipo de aplicación de la máquina.

Figura 5.4.- Devanado inductor elemental de dos polos sobre rotor cilíndrico

80

El rotor de polos salientes se utiliza en generadores hidroeléctricos, debido a que las velocidades de las turbinas hidráulicas son bajas y se requiere un número de polos relativamente alto para conseguir la frecuencia normalmente usada en los sistemas de potencia (50 Hz). En cambio, los turboalternadores (movidos por turbinas a vapor o gas) funcionan a gran velocidad, por lo que acostumbran a tener 2 ó 4 polos, siendo el rotor cilíndrico. Los generadores síncronos mostrados son monofásicos; sin embargo, la gran mayoría es de tipo trifásico, debido a las ventajas que este sistema tiene en la producción, transmisión y utilización de grandes potencias. Para la creación de tres tensiones desfasadas 120 grados eléctricos entre sí, se necesitan por lo menos tres bobinas desplazadas 120º eléctricos, tal como se muestra en la Figura 5.5.

c' a b

a

a' c'

b'

c b'

b

a'

c

a)

b)

Figura 5.5.- Generador trifásico elemental a) Representación esquemática, b) Conexión en estrella de los enrollados La máquina síncrona, puede también utilizarse como motor síncrono, cuya velocidad depende del número de polos y de la frecuencia de la corriente de alimentación, de la misma forma que lo expuesto para el generador síncrono, es decir, según las expresiones (5.2) y (5.3). Por lo tanto, un motor síncrono alimentado por corriente alterna de frecuencia constante girará a velocidad constante (velocidad síncrona). En ambos casos, funcionando como motor o como generador, existe un torque electromagnético y una fuerza contraelectromotriz, siendo éstos los fenómenos más importantes en la Conversión Electromecánica de la Energía. 5.2.2.- Máquinas elementales de Corriente Continua (C.C.)

El devanado inducido de un generador de C.C. ó dínamo está situado en el rotor, tomándose la corriente de él, a través de escobillas de carbón. El devanado inductor está en el estator y se excita con Corriente Continua. En la Figura 5.6 a) se representa esquemáticamente una dínamo muy elemental de dos polos. El bobinado inducido consiste en una única bobina de N espiras, cuyos laterales a y a’ están situados paralelamente al eje y diametralmente opuestas en el rotor. Este gira a velocidad uniforme, arrastrado mecánicamente por su eje. El flujo en el entrehierro se distribuye según una onda aproximadamente plana como se muestra en la Figura 5.6 b), en lugar de hacerlo en forma sinusoidal como en las máquinas de

81

corriente alterna. La rotación de la bobina induce en ella una tensión que es función del tiempo y cuya forma de onda es semejante a la de la distribución espacial de la densidad de flujo.

Bobina de Armadura N vueltas

Distribución espacial de densidad de flujo B a

a'

π

Escobilla de Carbón Segmentos de Conmutador de Cobre

ω

a'

a

2π

-B

3π

Angulo θ

b)

Tensión entre escobillas

a)

Tiempo t c)

Figura 5.6.- a) Esquema de una dínamo elemental; b) Distribución espacial de B; c) Onda rectificada de tensión entre escobillas Como el objetivo de la máquina es generar una tensión continua, es necesario rectificar la alterna producida, lo que se puede hacer exteriormente, a través de rectificadores de semiconductores, por ejemplo, en cuyo caso la máquina es un alternador. En las dínamos clásicas, la rectificación se hace mecánicamente por medio del colector, que es un cilindro formado por segmentos de cobre, denominados delgas aislados entre si y montados sobre el mismo eje del rotor (aunque eléctricamente aislado de él). A través de unas escobillas fijas que se apoyan sobre la superficie del colector se conecta el devanado inducido con el circuito exterior. Esta es la razón por la cual las máquinas de C.C. tienen el inducido en el rotor. Para la máquina elemental de la Figura 5.6 a), la onda de tensión entre escobillas, es la que se muestra en la Figura 5.6 c), considerando una distribución espacial de B, tal como la de la Figura 5.6.b). La máquina descrita puede funcionar también como motor, en cuyo caso se debe aplicar una corriente continua al inducido a través del colector. Tanto si funciona como motor o como generador, se producirá una fuerza electromotriz inducida inducida y un torque electromagnético. 5.2.3.- Máquinas elementales de inducción

En estas máquinas, circulan corrientes alternas tanto en el rotor como en el estator. Se utilizan habitualmente como motores, en los que la corriente alterna se aplica directamente al devanado del estator y por inducción (al igual que el transformador) en el rotor, produciéndose un cambio de frecuencia y apareciendo una potencia mecánica. Raramente se utilizan como generadores, debido a que son inadecuados para muchas aplicaciones. Se emplean también como cambiadores de frecuencia. La Figura 5.7 muestra en forma esquemática, una máquina de inducción con “Rotor tipo Jaula de Ardilla”. El devanado del estator es semejante al de la máquina síncrona. En el rotor, el devanado está habitualmente cortocircuitado y es frecuente que no tenga terminales exteriores. La relación entre la velocidad y el torque es tal, que al aumentar la carga en el eje, la velocidad disminuye ligeramente (deslizamiento).

82

Estator Bobina del Estator Ranura del Estator Rotor cilíndrico

Barras metálicas (Jaula)

Figura 5.7.- Esquema de una máquina de Inducción con rotor tipo Jaula de Ardilla 5.3.-

Tensiones inducidas

El estudio de las tensiones inducidas en cualquiera de los devanados de una máquina rotatoria, se reduce a determinar la tensión inducida en las bobinas simples, sumando luego las tensiones individuales de todas las que forman el devanado completo, considerando la forma en que están conectadas entre si. La naturaleza de las tensiones inducidas se estudió en 5.2. A continuación se determinará su magnitud utilizando la ley de Faraday. 5.3.1.- Máquinas de Corriente Alterna (C.A.)

La Figura 5.8 muestra la sección de una máquina elemental de C.A. El bobinado inducido está formado por una bobina única de N espiras, que abarca 180º eléctricos, o sea, un paso polar completo. La densidad de flujo B creada por el devanado inductor del rotor se puede suponer con una distribución sinusoidal a lo largo de la superficie del estator. El rotor gira a la velocidad angular uniforme de ω rad eléctricos/seg. Cuando los polos del rotor están alineados con el eje magnético de la bobina del estator, el flujo enlazado con ésta es Nφ, siendo φ el flujo por polo en el entrehierro. Para la distribución de B supuesta, se tiene:

B(θ ) = B máx cos θ

(5.4)

donde Bmáx es el valor máximo de B (en el centro del polo del rotor) y θ es el ángulo en radianes eléctricos medido desde el eje magnético del rotor. El flujo φ por polo en el entrehierro se puede determinar como: φ=

π 2 −π 2

∫

l r B máx cos θ dθ = 2 l r B máx

En que l es la longitud axial del rotor y r su radio en el entrehierro.

(5.5)

83

Figura 5.8.- Flujos en una máquina elemental de Corriente Alterna de 2 Polos En una máquina de P polos, el área correspondiente a cada polo es 2/P veces la que tendría una máquina de dos polos de igual longitud y diámetro; luego, el flujo φ es de la forma: φ=

2 2 l r B máx P

(5.6)

Al girar el rotor, el flujo enlazado varía con el coseno del ángulo α. Si el rotor gira a la velocidad angular ω, α=ωt y el flujo enlazado por la bobina del estator λ es:

λ = N φ cos ωt

(5.7)

donde t=0 cuando la máxima densidad de flujo coincide con el eje magnético de la bobina del estator. Según la ley de Faraday; la tensión inducida e en la bobina es: e(t ) = −

dλ dφ = ω N φ sin ωt − N cos ωt dt dt

(5.8)

El signo menos que aparece en esta expresión tiene relación con las referencias direccionales de la Figura 5.8, es decir, que al disminuir el flujo enlazado por la bobina, se induce en ella una tensión de signo tal que tienda a producir una corriente que se oponga a esa disminución. El primer término del segundo miembro de la ecuación (5.8) es la tensión inducida por el movimiento relativo entre la bobina y el campo. El segundo término corresponde al efecto de transformador, que existirá únicamente si hay variación del flujo φ respecto al tiempo, lo que en la mayor parte de las máquinas rotatorias no ocurre. Por ello, se tiene simplemente que: e(t ) = ω N φ sin ωt = E máx sin ωt

(5.9)

donde: E máx = ω N φ = 2 π f N φ

(5.10)

Cuyo valor eficaz o efectivo Eef, para una frecuencia f en Hz es: E ef =

E máx 2

= 4,44 f N φ

(5.11)

84

Estas ecuaciones son idénticas a las obtenidas en los transformadores. Es decir, el movimiento relativo entre la bobina y una onda de distribución espacial de densidad de flujo de amplitud constante en una máquina rotatoria, produce los mismos efectos, en cuanto a tensiones se refiere, que la variación de flujo y bobinas fijas de un transformador. La tensión inducida es monofásica. Para obtener un sistema trifásico de tensiones, se requiere tres bobinas desplazadas 120º eléctricos entre si, tal como se indicó en la Figura 5.5. En este caso, la ecuación (5.11) da la tensión efectiva por fase si N es el número total de espiras en serie por cada fase. Todos estos devanados elementales son concentrados y abarcan un paso polar, ya que los dos lados de cualquier bobina están separados 180º eléctricos y todas sus espiras están concentradas en un par de ranuras. En la práctica, las bobinas del inducido correspondiente a cada fase se distribuyen en un cierto número de ranuras, con el fin de aprovechar mejor el material del núcleo y de los conductores y además mejorar la forma de onda. En ese caso, las tensiones inducidas en cada una de las bobinas que forman un grupo de fase, quedan algo desfasadas entre sí, por lo que al conectarlas en serie, su suma vectorial es menor que la suma aritmética, siendo necesario introducir un factor de reducción Kω, el que en general, para bobinados trifásicos, se acota entre 0,85 y 0,95. Así entonces, para devanados distribuidos, de Nf espiras en serie por fase, la expresión (5.11) queda: E ef = 4,44 f K ω N f φ

(5.12)

5.3.2.- Máquinas de corriente Continua (C.C.)

Con el colector elemental de la Figura 5.6 a), se produce una rectificación mecánica de onda completa. Suponiendo siempre una distribución sinusoidal del flujo, la onda de tensión entre escobillas tiene la forma indicada en la Figura 5.9. La tensión media (continua) entre escobillas Ea es: Ea =

1 π 2 ω N φ sin ωt d(ωt ) = ω N φ 0 π π

∫

(5.13)

Para una máquina de P polos y expresando la tensión en función de la velocidad mecánica ωm se tiene, según (5.2) Ea =

P N φ ωm π

(5.14)

Si la velocidad mecánica se expresa en rpm se tiene: Ea =

2PNφn 60

(5.15)

e

0

π

2π

ωt

Figura 5.9.- Tensión entre escobillas de una máquina de C.C. elemental

85

A pesar de que la bobina única aquí supuesta no es lo que se tiene en la realidad, las ecuaciones (5.14) y (5.15) son válidas para la mayor parte de los devanados de C.C., siempre que N corresponda al número total de espiras en serie comprendida entre los terminales del inducido. Normalmente, la tensión se expresa en función del número total de conductores activos “Z” y del número “a” de circuitos en paralelo del devanado. De esta forma, el número total de espiras en serie N es: N=

Z 2a

(5.16)

Por lo tanto: Ea = 5.4.-

P Z ωm ωZ PZ n φ= φ= φ πa 2πa 60 a

(5.17)

Fuerzas magnetomotrices de los devanados distribuidos

5.4.1.- Devanado de paso completo

La mayor parte de los inducidos tienen el devanado distribuido; es decir, repartido sobre un determinado número de ranuras alrededor de la periferia del entrehierro. Las bobinas individuales se conectan entre sí de forma que el campo magnético resultante tenga el mismo número de polos que el devanado inductor. De la misma forma que se hizo para el estudio de las tensiones inducidas, los campos magnéticos de los devanados distribuidos pueden estudiarse por aproximación, analizando el campo producido por una bobina única de N espiras tal como se muestra en la Figura 5.10. Como la permeabilidad del núcleo del inducido y del inductor es muy superior a la del aire, se puede suponer que la energía almacenada se encuentra confinada sólo en los entrehierros (HFe=0). Por otra parte, se pueden despreciar los flujos de dispersión y considerar además, que el rotor y el estator tienen superficies lisas, es decir, no tomar en cuenta el efecto de las ranuras. Para entender mejor como determinar la fuerza magnetomotriz (fmm) a partir de las leyes de campos y de las condiciones de simetría, consideremos la Figura 5.10. C1

N espiras

C2 a H1

θ Eje Magnético Bobina de estator

H2

R g a'

Figura 5.10.- Determinación de la fmm de una bobina concentrada de paso diametral

86

Aplicando ley circuital de Ampere en la trayectoria cerrada C1 se tiene: H1 g − H 2 g = N i

(5.18)

Por condiciones de simetría, H1=-H2, donde: H 1 = H (θ )

y

H 2 = H (θ + π )

(5.19)

Resolviendo estas ecuaciones se obtiene: F(θ ) = H(θ ) g =

Ni 2

para −

π π 〈θ 〈 2 2

(5.20)

π 3π 〈θ 〈 2 2

(5.21)

Considerando la trayectoria C2, el resultado es: F(θ ) = H(θ ) g = −

Ni 2

para

Desarrollando en forma rectilínea (5.20) y (5.21) se obtiene la onda de distribución de fmm mostrada en la Figura 5.11. F( θ ) Ni 2

−2 π a

2π

π

−π a'

0

a

a'

θ

− Ni 2 Figura 5.11.- Distribución de fmm en una bobina concentrada de paso diametral En cuanto a la distribución de la inducción magnética B(θ), dado que el entrehierro es uniforme y su permeabilidad es µ0, tiene la misma forma de F(θ), es decir: B(θ ) =

µ0 µ Ni F(θ ) = 0 g 2g

para −

π π 〈θ〈 2 2 (5.22)

B(θ ) =

µ0 µ Ni F(θ ) = − 0 g 2g

para

π 3π 〈θ〈 2 2

Consideremos ahora, una máquina con cuatro bobinas de paso completo (diametral), tal como se muestra en la Figura 5.12.

87

Eje Magnético Bobina 3

C

Eje Magnético Bobina 2

Eje Magnético Bobina 4 1

4'

2

θ 3'

γ= π4 Eje Magnético Bobina 1

3 2' 4

1'

Fig. 5.12.- Cuatro bobinas concentradas de paso completo Al aplicar la ley circuital de ampere, se deben considerar 8 trayectorias distintas, ya que la separación entre bobinas γ es de π/4 radianes, lo que hace bastante engorroso el proceso. Sin embargo, como se ha supuesto que el sistema es lineal, puede calcularse separadamente al aporte de cada bobina, sumando los resultados. De todas formas, al aumentar el número de bobinas, el proceso de cálculo por cualquiera de los dos métodos es largo y complejo. Como se aprecia en la Figura 5.12; el eje magnético de la bobina 2 está desplazado en π/4 radianes, respecto al de la bobina 1, por lo que según (5.20) y (5.21) podemos escribir, la fmm de la bobina 2 como: Ni 2 Ni F2 (θ ) = − 2 F2 (θ ) =

π 3π 〈 θ 〈 4 4 3π 7π 〈 θ 〈 4 4

para − para

(5.23)

Para la bobina 3, el eje queda desplazado en π/2 radianes, luego: Ni 2 Ni F3 (θ ) = − 2

F3 (θ ) =

para

0 〈 θ 〈 π (5.24)

para

π 〈 θ 〈 2π

Para la bobina 4, el eje queda desplazado en 3π/4 radianes y por lo tanto: Ni 2 Ni F4 (θ ) = − 2

F4 (θ ) =

para para

π 〈 θ 〈 4 5π 〈 θ 〈 4

5π 4 π 4

(5.25)

88

Los desarrollos rectilíneos para cada bobina, así como la suma, se muestran en la Figura 5.13. A partir de estos resultados podemos concluir que la fmm total tiene un valor máximo Fmáx dado por: Fmáx = 4

Ni 2

(5.26)

Es decir, siendo n el número de bobinas podríamos escribir en forma general: Fmáx = n

Ni 2

(5.27)

El método presentado es una forma gráfica de obtención de la fmm resultante y se puede esperar que a medida que el número de bobinas aumenta, la onda de fmm se asemeje a una onda triangular. Es importante señalar que al proyectar máquinas de corriente alterna, se trata en lo posible que el devanado se distribuya en forma tal, que la fmm resultante se aproxime a una onda senoidal. La onda rectangular de fmm mostrada en la Figura 5.11, puede descomponerse por el método de Fourier en una componente fundamental y una serie de armónicos, de la forma general: F(θ) =

∞

∑

(−1)

k =1

k −1 2

4 Ni cos k θ π 2 k

para todo k impar

(5.28)

La fundamental, es decir para k=1, es: F1 (θ) =

4 Ni cos θ π 2

(5.29)

Cuyo valor máximo se tiene cuando θ=0, es decir, en el eje magnético de la bobina. Como el devanado se distribuye en varias ranuras, la fmm total (resultante) debe ser menor que la suma de los componentes de cada una de las bobinas individuales, ya que los ejes magnéticos de ellas no coinciden. Así entonces, la fundamental de la fmm resultante F1R(θ), considerando n bobinas, queda: F1R (θ) =

4 Ni n K d1 cos θ π 2

(5.30)

Si por ejemplo: i = 2 I cos (ωt − ϕ) se tiene: F1R (θ) = 0,9 N n I K d1 cos (ωt - ϕ) cos θ

(5.31)

Donde Kd1 es el coeficiente de distribución para la fundamental y vale: nγ 2 = γ n sin 2 sin

K d1

(5.32)

En que γ es el ángulo eléctrico de desplazamiento entre las bobinas, cuyo valor, en este caso es: γ=

π rad n

(5.33)

89 F1 N i 2 -π

π

0

θ

- N i 2 F2 N i 2

0

θ

- N i 2 F3 N i 2

0

θ

- N i 2 F4 N i 2

0

θ

F

- N i 2

4

2

0

θ

-2

-4

Figura 5.13.- Fuerza magnetomotriz resultante de 4 bobinas de paso completo

90

5.4.2.- Devanado de paso fraccionario

Consideremos la Figura 5.14, que muestra una bobina cuyos lados están a menos de 180º.

θ C

1

ρ

2

H2 H1

n

θ=0

n

R g

1'

ρ

2

Figura 5.14.- Bobina de paso fraccionario

Aplicando la ley circuital de Ampere en C, se tiene:

∫C

r r r r r r H ⋅ d l = N i ⇒ H1 ⋅ l1 + H 2 ⋅ l2 = N i

(5.34)

Pero, en la Figura 5.14 se observa que:

r H1 = H (θ = 0) rˆ = H (0) rˆ r l1 = l (θ = 0) rˆ = g rˆ

r H 2 = H (θ = θ) rˆ = H(θ) rˆ r l2 = l (θ = θ) (-rˆ ) = −g rˆ

(5.35)

Por lo tanto, en (5.34) se tiene: H(0) g − H(θ) g = N i

(5.36)

o bien: F(0) − F(θ) = N i

(5.37)

Evaluando para distintos valores de θ, se obtiene: F(θ) = F(0) F(θ) = F(0) - N i

para − para

ρ ρ 〈θ 〈 2 2 ρ ρ 〈 θ 〈 2π 2 2

(5.38)

91

Para determinar F(0), usaremos la ley de conservación de flujo en el rotor, de largo l. r B ⋅ nˆ dA = 0

∫S

(5.39)

donde: r B = B rˆ nˆ = rˆ

(5.40)

dA = R l dθ

r

ρ/2

2 π −ρ / 2

∫SB ⋅ nˆ dA = ∫−ρ / 2 B(θ) R l dθ + ∫ρ / 2

B(θ) R l dθ = 0

(5.41)

pero en el entrehierro, B(θ) = µ 0 F(θ) / g y por lo tanto a partir de (5.41) se obtiene F(0) y de esta forma, F(θ) queda: 2π − ρ 2π ρ F(θ) = -N i 2π F(θ) = N i

para para

−

ρ ρ 〈θ〈 2 2 ρ ρ 〈 θ 〈 2π 2 2

(5.42)

F(θ )

(2 π - ρ) Ni 2π

-π

-ρ

2

0 1'

ρ

2 1

π

2π 1'

θ

- ρ Ni 2π

Fig. 5.15.- Distribución de fmm para una bobina de paso fraccionario La Figura 5.15 muestra la distribución de fmm, que como se aprecia es asimétrica. Al desarrollarla en serie de Fourier se obtiene: F(θ) =

4 Ni π 2

∞

∑

k =1

K pk k

cos k θ

donde el “Factor de Paso” Kpk para el k-ésimo (k=1,2,3,.....) armónico es:

(5.43)

92

K pk = sin

kρ 2

(5.44)

La importancia del Factor de Paso está en que a través de él, es posible eliminar o reducir la amplitud de algún armónico y sus múltiplos. En efecto, si Kpk=0 se tiene que: sin

kρ =0 2

⇒ρ=

2πm k

con m = 1,2,3,......

(5.45)

Se utiliza bastante el concepto de paso fraccionario, que corresponde a la razón entre el paso de bobina ρ y π (ρ/π). De acuerdo con esto, si se quiere eliminar, por ejemplo, el quinto armónico, el paso fraccionario debe ser: ρ 2πm = π 5π

(5.46)

Con m=1 se tiene que ρ/π= 2/5 y con m=2; ρ/π= 4/5. En este caso, se toma la fracción más cercana a la unidad, por lo tanto el paso fraccionario será de 0,8; es decir, el paso de bobina ρ es de 144º. Si se quiere eliminar el séptimo armónico, ρ/π=6/7 (m=3). En la práctica, se usa un paso intermedio que permita disminuir ambos armónicos. Este paso es 5/6 Aún cuando la distribución del campo para una bobina de paso fraccionario es asimétrica, es posible lograr simetría de campo, si se realiza el devanado, de manera que frente a cada bobina, se tenga otra igual y recorrida por la misma corriente. La Figura 5.16 muestra la disposición de las bobinas. C

ρ

1 2

2

θ

1' 2'

ρ

2

Fig. 5.16.- Dos bobinas de paso fraccionario que producen una distribución de fmm simétrica Al evaluar la fmm total para los diferentes tramos se puede obtener por inspección:

93

F(θ ) = 2

Ni 2

0 〈 θ 〈

ρ ρ 〈 θ 〈π2 2 ρ ρ π- 〈θ 〈 π+ 2 2 ρ ρ π + 〈 θ 〈 2π − 2 2 ρ 2 π − 〈 θ 〈 2π 2

F(θ ) = 0 F(θ ) = −2

Ni 2

F(θ ) = 0 F(θ ) = 2

ρ 2

Ni 2

(5.47)

F( θ ) Ni

π - ρ2

0

-π 2'

-ρ

1' 2

ρ 2

1

2

π

π +ρ 2 2'

2π 1' 2π- ρ2

1 θ

-Ni

Fig. 5.17.- Distribución de fmm de dos bobinas de paso fraccionario La Figura 5.17, corresponde a la distribución de la fuerza magnetomotriz que, como se puede apreciar, es simétrica, en cuyo caso el desarrollo en serie de Fourier no contiene armónicos pares. Por lo tanto, para n bobinas de paso fraccionario, la fmm resultante se puede escribir: F(θ) =

4 Ni n π 2

∞

∑ K pk K dk k =1

cos k θ k

(5.48)

Donde el Factor de Paso Kpk fue definido en (5.44) y el Factor de Distribución para el k-ésimo armónico Kdk es: nkγ 2 = kγ n sin 2 sin

K dk

(5.49)

Por otra parte se puede definir ahora el Factor de Devanado Kwk, para el k-ésimo armónico como el producto entre el Factor de Distribución y el Factor de Paso, es decir: K wk = K dk K pk

(5.50)

94

5.5.-

Torque en máquinas de polos no salientes

El funcionamiento de cualquier dispositivo electromagnético, como componente de un sistema electromecánico, puede definirse en función de las ecuaciones de tensión (Ley de Kirchhoff) y su torque electromagnético. Deduciremos aquí, las ecuaciones de tensiones y torque considerando una máquina elemental; sin embargo, los resultados pueden aplicarse luego, a máquinas más complejas. Para la deducción, se puede partir de dos puntos de vista distintos, a saber, el punto de vista de circuitos magnéticos acoplados, o bien haciendo el estudio directamente del campo magnético. Se puede demostrar que básicamente, ambos conducen a resultados semejantes. En este curso obtendremos el torque, considerando solamente el punto de vista de circuitos magnéticos acoplados. Consideremos la máquina elemental de la Figura 5.18, con un devanado en el estator (s) y otro en el rotor (r), distribuidos en un cierto número de ranuras de forma que la onda de distribución de fmm espacial sea aproximadamente senoidal. En la Figura 5.18 a), los lados de bobina s, s’ y r, r’; señalan la posición central de la zona abarcada por los conductores distribuidos, pudiéndose representar también éstos, en la forma mostrada en la Figura 5.18 b), donde se ha indicado además, la dirección de las tensiones y corrientes (flujos). s

r r’

Eje Magnético del Estator

θ

s’ a)

+ r

+

ss

-

θ

Eje Magnético del Rotor

b)

Figura 5.18.- Máquina elemental de dos polos con entrehierro uniforme. a) Distribución de los devanados, b) representación esquemática Con las mismas consideraciones hechas en 5.4.1, podemos decir que las autoinductancias del estator Lss y del rotor Lrr son constantes, pero la inductancia mutua estator-rotor Lsr depende del ángulo θ, de manera que tiene un máximo positivo cuando θ = 0 ó 2π; se anula para θ = ±π/2 y tiene un máximo negativo cuando θ = ±π. Si las ondas de distribución de fmm son senoidales y el entrehierro es uniforme se tendrá que: L sr (θ) = L sr cos θ

(5.51)

En que Lsr es el valor máximo (constante) de Lsr(θ), el que se obtiene cuando coinciden los ejes magnéticos del estator y rotor. Por otra parte, los flujos enlazados por el estator λs y rotor λr son, respectivamente: λ s = L ss i s + L sr (θ) i r λ r = L sr (θ) i s + L rr i r

(5.52)

95

o bien, en forma matricial: λ s  L ss  = λ r  L sr (θ)

L sr (θ) i s     L rr  i r 

(5.53)

Las tensiones en los terminales, considerando que los devanados tienen resistencias Rs y Rr para el estator y rotor respectivamente son: dλ s dt dλ vr = R r ir + r dt vs = R s is +

(5.54)

es decir: di s di dθ + L sr cos θ r − L sr i r sinθ dt dt dt di s di r dθ + L sr cos θ − L sr i s sinθ v r = R r i r + L rr dt dt dt

v s = R s i s + L ss

(5.55)

en que dθ/dt es la velocidad instantánea en radianes eléctricos por segundo. Los segundos y terceros términos del segundo miembro de (5.55) son tensiones inducidas semejantes a las que se obtienen en circuitos estáticos acoplados, tales como los devanados de transformadores. Los cuartos términos se deben al movimiento mecánico y relacionan el intercambio de potencia entre los sistemas eléctrico y mecánico. El torque electromagnético puede evaluarse a partir de la coenergía del campo magnético en el entrehierro, en que ésta vale: Wm' (i s , i r , θ) = 12 L ss i s2 + 12 L rr i 2r + L sr i s i r cos θ

(5.56)

Luego, el torque eléctrico Te es de la forma: ∂Wm' (i s , i r , θ m ) ∂Wm' (i s .i r , θ) dθ T = = dθ m dθ dθ m e

(5.57)

Las derivadas se deben hacer respecto al ángulo mecánico θm, debido a que se está operando variables mecánicas. Aplicando (5.57) a (5.56) y considerando (5.1) se obtiene finalmente: Te = −

P P  L sr i s i r sin  θ m  2 2 

(5.58)

El torque queda expresado en newton-metro y el signo negativo indica que actúa en un sentido tal, que tiende a alinear los campos magnéticos de estator y rotor. Las ecuaciones (5.55) y (5.58) constituyen un conjunto de tres ecuaciones diferenciales que relacionan entre si las variables eléctricas vs, is, vr, ir y las variables mecánicas Te y θ. Estas ecuaciones, junto con las limitaciones impuestas a las variables eléctricas por la red exterior conectada a sus terminales

96

(alimentación o carga e impedancias exteriores) ó a las variables mecánicas (torques aplicados, inercias, roces, etc.) determinan el comportamiento del dispositivo. En el caso en que la máquina tenga varios devanados tanto en el rotor como en el estator, se pueden aplicar los mismos principios generales del modelo elemental de la Figura 5.18. Cada devanado tiene su propia autoinducción y su inducción mutua con los restantes. Las inductancias propias y mutuas entre devanados situados en el mismo lado del entrehierro serán constantes bajo las suposiciones hechas. Pero entre devanados situados a uno y otro lado del entrehierro, la inductancia mutua varía con el coseno del ángulo formado por sus respectivos ejes. El torque se puede expresar como suma de términos semejantes a la ecuación (5.58). En las máquinas de entrehierro no uniforme (de polos salientes), también es posible aplicar estos mismos principios para la determinación del torque. Sin embargo, en este caso, las inductancias propias del estator ó del rotor ó de ambos, dependerán de la posición del rotor; es decir, también serán funciones del ángulo formado por sus respectivos ejes.

97

BIBLIOGRAFIA [1] Gourishankar Vembu: “Conversión de Energía Electromecánica”, Alfaomega Editores, México, 1990 [2] Slemon G. R.; Straughen, A.: “Electric Machines”, Addison Wesley Publishing Company, 1982 [3] Garrido, Manuel: “Apuntes de Conversión Electromecánica de la Energía”, Universidad de Santiago de Chile, 1980 [4] Larsen, Harold D.: “Tablas Matemáticas, Fórmulas y Curvas de Rinehart”, Nueva Editorial Interamericana, S. A. de C. V., México, 1973 [5] E.E. Staff of MIT : “Circuitos Magnéticos y Transformadores”, Editorial Reverté S. A., México, 1965 [6] Chapman Stephen J.: “Máquinas Eléctricas”, Editorial McGraw-Hill, Colombia 1993 [7] Fitzgerald, A. E.; Kingsley, Charles; Kusko Alexander: “Teoría y Análisis de las Máquinas Eléctricas”, Editorial Hispano Europea, Barcelona, España, 1980 [8] Meisel, Jerome: “Principios de Conversión de Energía Electromecánica”, Editorial McGraw-Hill, España, 1969 [9] Langdorf, Alexander: “Teoría de las Máquinas de Corriente Alterna”; Editorial McGraw-Hill, México, 1967

98

PROBLEMAS CAPITULO 1: MATERIALES Y CIRCUITOS MAGNETICOS 1.1.- El toroide de la Figura 1.1 tiene una bobina con 600 espiras, su radio medio “R” es de 10 cm. y el radio “a” de la sección del núcleo es de 2 cm. Si se aplica una tensión v(t)= 150 2 cos 100π t volt, determine:

C Rb v

a

i R

+

θ

r

x

O

-

B z Figura 1.1 a) Los valores máximos de la inducción magnética y del flujo, despreciando la resistencia de la bobina. b) El valor efectivo de la corriente suponiendo que el material del núcleo no se satura, ni se producen pérdidas en él y que su permeabilidad µ es de 1,256 x 10-3 Hy/m. Desprecie la resistencia de la bobina. c) La corriente en función del tiempo, en las condiciones de b), pero considerando que la bobina del toroide tiene una resistencia “Rb” de 8,5 ohm y que en t=0, la corriente es nula. d) La inductancia de la bobina en las mismas condiciones de b). e) Sobre la bobina anterior se coloca otra de 1200 espiras de modo que quede lo más simétrica y apegada a ella. Determine la inductancia mutua entre ambas bobinas. 1.2.- Al medir las pérdidas de un núcleo de material ferromagnético se obtuvo: P1= 150 watt, con una frecuencia f1= 50 Hz y P2= 1100 watt con f2= 70 Hz; donde la medición a 70 Hz se realizó al doble de inducción magnética que la de 50 Hz. Considerando que el exponente de Steinmetz tiene un valor de 1,6; determine las pérdidas por histéresis y las pérdidas por corriente de Foucault a 50 Hz. Determine además, como podría disminuirse la mayor de ellas, a la cuarta parte. 1.3.- En el sistema de la Figura 1.2, considere que la permeabilidad del material magnético del núcleo es 500 µ0. Los datos son: N1= 1000 espiras; i1= 2,5 Amperes; N2= 1500 espiras, i2= 1,2 Amperes. Todas las dimensiones están dadas en cm. a) Dibuje el circuito magnético y determine los valores de todas las reluctancias. b) Utilizando el circuito anterior, determine el flujo en cada uno de los entrehierros.

30

40 5

5 N1 30

i

i1

N2 2 0.3

6

5

5 5

5

Figura 1.2

99 1.4.- En el sistema electromecánico de la Figura 1.3, las dimensiones están dadas en centímetros, la corriente efectiva es de 0,5 amperes y se tiene un flujo de 1,5 mweber en el entrehierro de la pierna central. Determine el número de espiras de las bobinas suponiendo que la permeabilidad del material del núcleo es mucho mayor que la de los entrehierros es decir, µFe>>µ0 y despreciando los flujos de dispersión.

2

2

i N 2

N 4

4 0,05 0,05

4

i 2

2

Figura 1.3

1.5.- Se aplica una tensión de 220 2 sin ωt volt a un reactor con núcleo saturable de resistencia óhmica muy pequeña. El valor efectivo de la corriente de excitación es de 0,5 amperes y ésta tiene la forma: i 0 ( t ) = 0,72 I máx sin (ωt − 15º ) + 0,22 I máx sin (3ωt + 92º ) + 0,055 I máx sin (5ωt + 214º ) . Determine: a) Las componentes de pérdidas y de magnetización de la corriente de excitación a) Los parámetros del circuito equivalente b) La potencia perdida en el núcleo 1.6.- La corriente de excitación de un reactor de núcleo saturable con resistencia óhmica despreciable es de la forma: i 0 ( t ) = I1 cos (ωt − 60º ) + I 3 cos (3ωt + 15º ) − I 5 cos 5ωt . La bobina tiene 100 espiras y se tiene un flujo de la forma: φ( t ) = 5 x 10 −3 cos ωt weber con una frecuencia de 50 Hz. El valor efectivo de la corriente de excitación es de 5 amperes y los valores efectivos del tercer y quinto armónico respecto a la fundamental son del 40 y 10 % respectivamente. Determine los parámetros del circuito equivalente y la potencia absorbida. 1.7.- La Figura 1.4 muestra un reactor con núcleo saturable y la curva B-H idealizada (linealizada en dos tramos) del material del núcleo. Las dimensiones están en centímetros. Si v( t ) = 220 2 cos 100 π t volt y la corriente de excitación es: i 0 ( t ) = 0,141 cos 100 π t + 0,4 sin 100 π t + 0,2 cos 300 π t + 0,08 sin 300 π t; determine, despreciando la resistencia óhmica de la bobina (de 400 espiras) y los flujos de dispersión: a) Los parámetros del circuito equivalente b) La densidad del flujo máxima en el entrehierro c) La intensidad de campo máxima y la densidad de flujo máxima en las distintas secciones del núcleo. B[Tesla] 5

5 i

1,3 1,1

g

N

10 5 1100

Figura 1.4

1200 H[A-v/m]

100 1.8.- La corriente de excitación de un reactor con núcleo saturable con resistencia óhmica pequeña tiene la forma: i 0 ( t ) = 2 { I1 cos (ωt − 50º ) + 0,7 I1 cos (3ωt + 50º ) − 0,2 I1 cos (5ωt − 35º )} . El valor efectivo de la corriente de excitación es de 6 Amperes cuando se aplica un voltaje v( t ) = 311 sin ωt volt . a) Determine los parámetros del circuito equivalente b) Si la resistencia de la bobina es de 2,5 ohm, determine la potencia disipada en el núcleo y en el conductor de la bobina cuando al reactor se le aplica una tensión de la forma v( t ) = 400 cos ωt volt 1.9.- Para el sistema electromecánico de campo magnético de la Figura 1.5 encuentre las expresiones de las inductancias propias y mutuas en función de los datos indicados, considerando que la permeabilidad del núcleo es mucho mayor que la de los entrehierros (µFe>>µ0) y que la longitud de éstos es mucho menor que la de los circuitos magnéticos totales.

i1 N2

N1 2a 0,05g

a

i2 a

b

Figura 1.5 1.10.- Los valores de la mitad superior de un anillo de histéresis simétrico de un material ferromagnético están dados en la Tabla 1.1 siguiente. El valor máximo de la densidad de flujo es de 1 weber/m2. Suponiendo que el flujo es senoidal, la sección transversal es de 100 cm2, la longitud de la trayectoria magnética es 1 metro y la bobina tiene 100 espiras: a) Trace la onda de corriente de excitación , en función del tiempo. b) Determine gráficamente la Serie de Fourier hasta el quinto armónico y determine su valor efectivo. c) Determine el valor de los parámetros del circuito equivalente. B(w/m2) 0 0,2 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

H (A-v/m) 47,8 51,8 58,0 73,3 85,1 103,5 135,0 194,0

Tabla 1.1

B(w/m2) 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6 0,4 0,2 0

H(A-v/m) 79,6 42,2 2,39 -18,3 -29,4 -39,8 -45,4 -47,8

1.11.- En el reactor de la Figura 1.6, determine la energía total almacenada en el entrehierro y en el núcleo considerando los siguientes datos: i1= 2,5 A; i2= 1 A; N1= 750 espiras y N2= 250 espiras. Las dimensiones están dadas en cm y la característica B-H del material del núcleo se indican en la Tabla 1.2

N1 i1 20

4

g 0,5 i2

Tabla 1.2 H (A v/m) B (Tesla)

0 0

64 0,25

92 0,5

110 0,75

185 1,0

500 1000 2000 1,25 1,4 1,55

4

4

N2 20

Figura 1.6

4

101 1.12.- En el circuito magnético de la Figura 1.7, determine el valor efectivo de la corriente necesaria para tener en el entrehierro de valor 2g, una inducción magnética máxima de 0,6 w/m2. Calcule además, la energía por unidad de volumen almacenada en los entrehierros. La bobina tiene 400 espiras y el entrehierro g es de 2 mm. Considere que la permeabilidad del material del núcleo es mucho mayor que la del entrehierro (µFe >> µ0) y desprecie los flujos de dispersión

i N

g

N N

2g

Figura 1.7 1.13.- Para el circuito magnético de la Figura 1.8, determine el número de espiras N de la bobina, necesario para que el flujo en el entrehierro sea de 0,5 mweber. La corriente que circula en la bobina es de 1,0 ampere y todas las dimensiones están en centímetros. Suponga que la permeabilidad del núcleo es mucho mayor que la del entrehierro (µFe >> µ0) y desprecie los flujos de dispersión. Piense antes de resolver

4

4

i 16

N 4

4

8

0,2 4

8 4

4

Figura 1.8 1.14.- En la estructura magnética de la Figura 1.9, la fuerza magnetomotriz de la bobina es de 2000 Amp-vuelta. Si la permeabilidad del núcleo es mucho mayor que la del entrehierro (µFe >> µ0) y no existen flujos de dispersión , determine: a) El flujo en el entrehierro y en las ramas laterales b) La inductancia de la bobina cuando la corriente es de 4 amperes Todas las longitudes están dadas en cm.

30

20 5

5

0,2

i 30

N 5

5

5 5

5

Figura 1.9 1.15.- Para el circuito magnético de la Figura 1.10, las corrientes son de 1,0 y 4,0 Amperes respectivamente, las bobinas tienen 500 espiras cada una y la dimensiones está dadas en cm, determine: a) Con los datos indicados, el flujo en el entrehierro, considerando que la permeabilidad del núcleo es mucho mayor que la del entrehierro (µFe>>µ0). b) La permeabilidad del núcleo si la densidad de energía en la sección central es de 5 Joule/m3. 1.16.- Para el sistema de la Figura 1.10, N1=500 espiras, N2=300 espiras, i1=2 A, i2=3,5 A. Suponga que el núcleo de material magnético tiene comportamiento eléctrico lineal de forma que µFe = 1200 µ0: a) Dibuje el circuito magnético correspondiente, determinando los valores de todas las reluctancias

102 b) Determine el flujo en el entrehierro c) Calcule todas las inductancias propias y mutuas. 1.17.- El núcleo magnético de la Figura 1.11 tiene una sección transversal uniforme de (8 x 8)cm2. Según los datos indicados, determine la corriente que debe circular en la bobina 2 (de 200 espiras), cuando en la bobina 1 (de 1000 espiras) circulan 0,5 amperes y el flujo en la bobina 2 es nulo.

40

80

5

8

5

i1

i2

N1 20

5

i2

N1

N2

0,5

5

i1

10

8

N2

8

8

5

8

8

28

8

5

Figura 1.11

Figura 1.10 1.18.-En el dispositivo de la Figura 1.12, encuentre la expresión de la tensión inducida en la bobina 2, en función de las características indicadas, considerando que la permeabilidad del núcleo es mucho mayor que las de los entrehierros (µFe>>µ0) y que las longitudes de los circuitos magnéticos en el núcleo son mucho mayores que la de los entrehierros. Suponga que la corriente en la bobina 1 es de la forma i = 2 I1 sin 314t Amperes y que la corriente en la bobina 2 es nula

d

g

a i1

i2 N1

N2

g

c

c

c g

b

Figura 1.12 1.19.- El material del núcleo del sistema de la Figura 1.13 tiene una curva de magnetización normal que se puede representar por la ecuación de Fröelich, donde a=1,6 y b=180. Si la corriente que circula por la bobina de 500 espiras es de 2 Amperes, determinar: a) La densidad de flujo y la intensidad de campo en el núcleo b) La densidad de flujo y la intensidad de campo en el entrehierro Todas las dimensiones están dadas en cm. Desprecie los flujos de dispersión

3

2

i N 2

6 8

g 0,2 2

2 Figura 1.13

103 CAPITULO 2: TRANSFORMADORES MONOFASICOS DE DOS ENROLLADOS

2.1.- En un transformador de distribución monofásico de 10 kVA, 2.300/575 volt, 60 Hz, el valor máximo del flujo es de 0,0144 weber. Determine: a) Las corrientes nominales del primario y del secundario b) El número de espiras del primario y del secundario. 2.2.- En un transformador monofásico de 500 kVA, 13,8/2,3 kV, 50 Hz, cuyo flujo máximo es de 0,01727 Weber, determine: a) Las corrientes nominales del primario y secundario b) Las fuerzas magnetomotrices nominales del primario y secundario 2.3.- Un transformador monofásico de 15.000 kVA, 60/15 kV, tiene los siguientes parámetros: R1=0,55 ohm, R2=0,025 ohm, X1=9,5 ohm, X2=0,5 ohm, gc1=1,5 x 10-5 mho, bm1=15 x 10-5 mho. Determine los valores de: a) Los parámetro referidos al primario b) Los parámetros referidos al secundario c) La Corriente, el Voltaje y el Factor de Potencia en la entrada cuando se alimenta la carga nominal, Factor de Potencia 0,85 inductivo a 14,5 kV. (Utilice el circuito equivalente exacto referido al primario). 2.4.- Un transformador monofásico de 100 kVA, 200/2.000 Volt, tiene los siguientes parámetros: R1=0,0025 ohm; R2=0,35 ohm; X1=0,01 ohm; X2=0,98 ohm; gc1=0,01 mho; bml=0,05 mho. Si este transformador alimenta una carga de 75 kW, Factor de Potencia 0,8 capacitivo, a 1.900 volt, determine el voltaje, la corriente y Factor de Potencia en la entrada. (Utilice el circuito equivalente aproximado con la admitancia de excitación conectada en la entrada y referido al primario) 2.5.- Un transformador monofásico de 1.000 kVA, 66,6/3,3 kV, tiene los siguientes parámetros: R1=30 ohm, R2=0,08 ohm, X1=150 ohm, X2=0,42 ohm, gc=bm=0. Si este transformador alimenta una carga de 90 kVA, Factor de Potencia unitario y el voltaje del primario se mantiene constante en 66 kV, determine el voltaje y la corriente en la carga. (Utilice circuito equivalente aproximado con la admitancia de excitación conectada en la entrada y referido al primario). 2.6.- Resuelva el Problema 2.5 utilizando el circuito equivalente referido al secundario. Compare los resultados y explique cualquier diferencia. 2.7.- En el Problema 2.5 determine las potencias activa y reactiva en la entrada del transformador. Calcule además el factor de potencia en la entrada y compárelo con el de la carga. Explique. 2.8.- Una carga monofásica de 45 kVA, cos θ2=0,866 inductivo, 240 volt, se alimenta mediante el sistema que muestra la Figura 2.1 siguiente. Las impedancias totales de las líneas así como los parámetros del transformador están indicados en la Figura. Con 240 volt, en la carga (Barra 4) y considerando la admitancia de excitación conectada en la entrada del circuito equivalente del transformador (Barra 2) determine: a) Tensión y corriente en el primario del transformador (Barra 2) b) Potencias activa y reactiva suministradas al transformador c) Tensión y corriente en la alimentación (Barra 1) G 1

Línea 1-2 2 0,015+j1,0 ohm

3

Línea 3-4 4 (0,5+j2) m ohm

50 kVA 2.400/240 Volt Z eq1 =1,43+j1,81 ohm Y02 =(3-j22) m mho

Figura 2.1

240 Volt 45 kVA F. de P. = 0,866 Ind.

104 2.9.- Dibuje, utilizando una escala conveniente, el diagrama complejo o fasorial del transformador del Problema 2.4; referido al primario considerando tensión secundaria nominal y carga nominal, con Factor de Potencia 0,866 en atraso; 0,866 en adelanto y unitario. En cada caso, determine gráficamente el valor de la tensión y la corriente del primario, así como el ángulo de desfase entre ellos. 2.10.- A partir de los datos obtenidos en las pruebas de vacío y cortocircuito (Tabla 2.1) realizadas a un transformador monofásico de 2 bobinados, 5 kVA, 250/100 volt, calcule los parámetros del circuito equivalente referidos al primario y al secundario. Tabla 2.1 PRUEBA VOLTAJE (V) CORRIENTE (A) POTENCIA(W) Circuito abierto 100 2 100 Corto circuito 40 20 200 2.11.- Los datos de la Tabla 2.2 corresponden a las pruebas realizadas a un transformador monofásico de 2 bobinados, 10 kVA, 2.000/200 volt. Determine los valores de los parámetros del circuito equivalente referidos al primario y al secundario. Tabla 2.2 PRUEBA VOLTAJE CORRIENTE POTENCIA FACTOR DE POTENCIA Circuito abierto Valor Nominal No registrado 250 W 0,250 (inductivo) Corto circuito No registrado Valor nominal 200 W 0,707 (inductivo) 2.12.- Se tiene un transformador monofásico de 5.000/500 volt, 100 kVA, 75ºC (temperatura de trabajo). Con los datos de las pruebas de vacío y cortocircuito indicados en la Tabla 2.3 y considerando despreciables las pérdidas dispersas, determine los parámetros del circuito equivalente referidos al primario y al secundario, a 75ºC. Tabla 2.3 PRUEBA VOLTAJE (V) CORRIENTE (A) POTENCIA (W) TEMPERAT. (ºC) Circuito abierto 500 16 1389 20 Corto circuito 224 20 2000 20 2.13.- Con los datos del problema anterior, determine los parámetros del circuito equivalente exacto del transformador; es decir, R1, R2, X1, X2, gc1 y bm1. A partir de ellos y utilizando el circuito equivalente exacto referido al primario, determine además, la tensión primaria que se debe aplicar para alimentar la carga nominal, con Factor de Potencia 0,8 en atraso, a tensión secundaria nominal. 2.14.- Un transformador monofásico de 100 kVA, 4.400/220 volt tiene los siguientes parámetros: R1=0,85 ohm, R2=0,002 ohm; X1=8 ohm; X2=0,02 ohm; gc1=0,000045 mho; bm1=0,00025 mho. a) Determine las lecturas de los instrumentos al hacer las pruebas de Vacío y Cortocircuito en forma convencional. b) Utilizando el circuito equivalente exacto referido al primario, calcule la tensión que se debe aplicar en el lado de baja tensión cuando se alimenta una carga de 80 kW, Factor de Potencia 0,8 inductivo a 4.400 volt 2.15.- Las pruebas de Vacío y Cortocircuito de un transformador monofásico de distribución de 15 kVA, 2.400/240 volts, 60 Hz, 75ºC, se indican en la Tabla 2.4: PRUEBA Circuito abierto Corto circuito

VOLTAJE (V) Nominal 74,5

Tabla 2.4 CORRIENTE (A) 1,7 Nominal

POTENCIA (W) 84 237

TEMPERATURA (ºC) 25 25

Al aplicar corriente continua a ambos devanados, los resultados son: R(2.400 V)=2,8 ohm, R(240 V)=0,0276 ohm, ambos a 25 ºC. Determine:

105 a) El circuito equivalente referido al primario y a 75ºC. b) Las pérdidas dispersas c) La tensión, la corriente y el Factor de Potencia en la entrada cuando el transformador alimenta una carga de 12 kVA, cos θ2=0,866 capacitivo a 240 volt. Utilice el circuito equivalente determinado en a) 2.16.- Una carga monofásica se alimenta a través de una línea de 33 kV (tensión nominal), cuya impedancia es de (105+j360) Ohm y un transformador de 33/2,4 kV cuya impedancia equivalente referida a su lado de baja tensión es de (0,26+j1,08) Ohm. La carga es de 180 kVA, Factor de Potencia 0,85 capacitivo y 2,25 kV. Determine el voltaje, la potencia y el factor de potencia en el extremo desde donde se envía la energía. 2.17.- Los parámetros del circuito equivalente en por unidad, base propia, de un transformador monofásico de 13.200/400 volt, 30 kVA, son: Req=0,015; Xeq=0,04; gc=0,0125; bm=0,0325. Determine: a) Los parámetros en Ohm, referidos al primario y al secundario. b) Los valores de tensión, corriente y potencia que se obtendrán en las pruebas de vacío y cortocircuito, si éstas se realizan por el primario. c) La tensión de Volt, que debe aplicarse al primario para alimentar un consumo de 20 kW, Factor de Potencia 0,85 en atraso a tensión secundaria nominal. Utilice el circuito equivalente en pu aproximado, con la admitancia de excitación ubicada en la entrada 2.18.- Los parámetros del circuito equivalente en pu base propia de un transformador monofásico de 10 kVA, 220/4.400 volt son: R1=0,005; X1=0,018; R2=0,006; X2=0,022; gc=0,01 y bm=0,03. Determine la regulación y el rendimiento cuando el transformador alimenta una carga de 8 kW, Factor de Potencia 0,8 inductivo y el voltaje aplicado en el primario es de 220 volt. T2 2.19.- El sistema monofásico de la Figura 2.2 tiene las T1 siguientes características: Línea T1: 150 kVA, 13.800/2.300 volt, Vcc=0,03 pu; Pcc=0,008 pu; Icc=0,9 pu; base propia. Además, P0=1,2 kW a Voltaje nominal Carga T2: 100 kVA, 2.300/230 volt, Vcc=0,052 pu; Pcc=0,01 pu, Figura 2.2 Icc=1,1 pu, base propia. Además, P0=0,7 kW a Voltaje nominal Línea: Z=(0,45 + j0,96) Ohm; Carga: 72 kW, Factor de Potencia 0,9 inductivo a 230 volt a. Determine Req y Xeq en pu, base propia para cada uno de los dos transformadores b. Utilizando una SB=100 kVA y un VB=13.800 volt en el primario del Transformador Nº 1, determine la regulación de voltaje y el rendimiento del sistema para la carga indicada.

2.20.- El sistema monofásico de la Figura 2.2 tiene las siguientes características: T1: 9,6 kVA, 500/1500 volt, X=5 %, base propia T2: 7,2 kVA, 1.200/120 volt, X=4 %, base propia Línea: Z=(0,5+j3,0) Ohm; Carga: 6 kVA, Factor de Potencia 0,8 inductivo a 120 volt Utilizando una SB=10 kVA y un VB=120 volt en el lado de la carga, determine: a. Los voltajes bases en el sector de la línea y en el primario del transformador T1 b. Las corrientes bases en el sector de la línea y en el primario del transformador T1 c. El voltaje (Volt) y las potencia activa (Watt) y reactiva (VAR) en la entrada del transformador T1 2.21.- Cuando un transformador monofásico de 50 kVA, 2.300/230 volt es operado a carga nominal, las caídas de tensión en la resistencia equivalente y reactancia equivalente son 1,2% y 1,8% respectivamente, de la tensión nominal. Despreciando la corriente de excitación, calcule la potencia y el factor de potencia en la entrada, cuando el transformador alimenta una carga de 30 kW, factor de potencia 0,85 inductivo, a 230 volt. 2.22.- Determine la regulación de un transformador en el cual, la caída por resistencia es el 1% y la caída por reactancia es de 5% de la tensión nominal a plena carga. a) Para la carga nominal, Factor de Potencia 0,8 en atraso b) Para 75% de la carga nominal, Factor de Potencia 0,8 en adelanto.

106 2.23.- Los voltajes medidos en la entrada y salida de un transformador monofásico de 13.200/400 volt operando con carga nominal y Factor de Potencia 0,866 fueron de 13.821,72 y 400 volt, respectivamente. Por otra parte, su rendimiento máximo es de 95,39% y ocurre cuando se tiene el 83,66% de la carga nominal y al mismo Factor de Potencia anterior. A partir de los datos anteriores, determine: a) Los parámetros Req y Xeq en pu, base propia b) El rendimiento cuando se tiene carga nominal y al mismo Factor de Potencia. 2.24.- Un transformador monofásico de 1.000 kVA, 60 Hz, 66/11 kV tiene una impedancia equivalente de (1,0+j4,9) ohm, referida al lado de baja tensión y una pérdida en vacío de 5.500 watt a la tensión nominal. a) Si el transformador suministra su potencia aparente nominal a la tensión nominal a una carga de Factor de Potencia variable, calcule el Factor de Potencia para el cual la regulación de tensión es cero. b) Para el Factor de Potencia determinado en a) calcule el rendimiento máximo y el rendimiento para carga nominal. 2.25.- Un transformador monofásico de 1.000 kVA; 66/3,3 kV; tiene los siguientes parámetros: R1=30 Ohm; R2=0,08 Ohm X1=150 Ohm; X2=0,42 Ohm. Con 3.300 volt aplicados a la parte de baja tensión, mientras la de alta está en circuito abierto, la componente de potencia de la corriente en vacío es 2,8 Amperes y la componente de magnetización es 14,5 Amperes. El transformador es alimentado por un generador de 3.300 volt y se utiliza para elevar la tensión hasta el valor constante de 66000 volt. Determine: a) La tensión, corriente y Factor de Potencia en bornes del generador cuando el transformador suministra la carga nominal, a tensión nominal con un Factor de Potencia 0,8 capacitivo. b) El rendimiento y la regulación de voltaje en las condiciones de a). 2.26.- Un transformador monofásico de 200 kVA, tiene un rendimiento del 98% a plena carga. Si el rendimiento máximo tiene lugar para el 75% de plena carga, determine: a) Las pérdidas en el núcleo. b) Las pérdidas en el cobre a plena carga. c) El rendimiento al 50% de plena carga, con Factor de Potencia 0,8 capacitivo. d) El rendimiento máximo con Factor de Potencia 0,8 capacitivo. 2.27.- Un transformador de dos bobinados tiene el mismo rendimiento tanto a una tercera parte, como al valor nominal de su salida. El voltaje de salida y Factor de Potencia de la carga son los mismos en ambos casos. Determine el porcentaje de la potencia nominal de salida al cual el transformador tiene su rendimiento máximo. 2.28.- Un transformador de 1.000 kVA se conecta al circuito de alimentación durante 12 horas al día. Las pérdidas en el hierro son de 7.000 Watt y las pérdidas en el cobre a plena carga son de 18.000 Watt. El régimen de carga es el de la Tabla 2.5. Determine su rendimiento energético HORAS 0 - 4 4 - 9 9 - 12

Tabla 2.5 POTENCIA (kW) 700 500 0

FACTOR DE POTENCIA 0,70 0,85 --

2.29.- Dos transformadores monofásicos de 66/6,6 kV; 60 Hz; se prueban en cortocircuito a corriente nominal y se anotan los siguientes datos en por unidad, base propia (Tabla 2.6). TRANSFORMADOR Nº 1 2

Tabla 2.6 kVA NOMINALES 1.000 3.000

TENSION 0,05 0,06

POTENCIA 0,008 0,007

107 Si los transformadores se conectan en paralelo a ambos lados y alimentan una carga de 3.500 kVA a Factor de Potencia 0,85 en atraso y 6.600 volt, determine: a) La corriente, potencia y Factor de Potencia de salida de cada transformador. b) La tensión en la entrada (primario) de los transformadores. 2.30.- Dos transformadores monofásicos A y B de 500 kVA cada uno, 11/2,2 kV, tienen las impedancias ZA=1,6+j5,6 y ZB=1,9+j20,7; ambas en Ohm y referidas al primario. Si estos transformadores se conectan en paralelo y la tensión primaria se mantiene en 11 kV, encontrar, despreciando la corriente de excitación: a) La máxima potencia que puede suministrar el conjunto a una carga con Factor de Potencia 0,8 inductivo, sin que ningún transformador se sobrecargue. b) Para la condición anterior, el valor de la regulación de voltaje del banco. 2.31.- Dos transformadores monofásicos de 11/2,3 kV; 60 Hz, de 100 y 500 kVA, tienen las impedancias equivalentes en pu base propia: Z1=0,01+j0,022 y Z2=0,007 +j0,031 respectivamente. Se conectan en paralelo para alimentar una carga inductiva, a un Factor de Potencia de 0,8. Con tensión nominal en el primario. a) ¿Cuál es la carga máxima en kW que pueden alimentar sin que las tensiones de los secundarios bajen de 2.250 volt? b) A esta carga total, ¿qué potencia aparente suministra cada transformador? 2.32.- Dos transformadores monofásicos de 600 y 400 kVA, 2.300/230 Volt, se conectan en paralelo para alimentar una carga de 1.000 kVA, Factor de Potencia 0,8 inductivo. Los parámetros en pu base propia de sus parámetros son: Z1=0,016+j0,07 y Z2=0,025+j0,06 respectivamente. Con tensión nominal constante en la entrada, calcule la carga en kVA y el Factor de Potencia que entrega cada transformador. 2.33.- La prueba de cortocircuito a corriente nominal efectuada a dos transformadores monofásicos A y B de 10.000 kVA, 132/66 kV cada uno, entregó los siguientes resultados: PccA=121 kW; VccA=9.400 Volt; PccB=140 kW; VccB=8.580 Volt. Si estos transformadores se conectan en paralelo para alimentar una carga inductiva de Factor de Potencia 0,8 a 66 kV, determine: a) La carga máxima (kW y kVAr) que puede alimentar el conjunto, sin que ningún transformador se sobrecargue. b) La tensión que se debe aplicar en el primario en las condiciones de a) 2.34.- Dos transformadores monofásicos de 2.300/230 Volt, se prueban en cortocircuito a corriente nominal y se anotan los siguientes valores en pu base propia: Transformador A: 200 kVA; Vcc=0,07; Pcc=0,007 Transformador B: 300 kVA; Vcc=0,04; Pcc=0,006 Si los transformadores funcionan en paralelo alimentando una carga de Factor de Potencia 0,866 inductivo a 230 Volt, determine la máxima potencia que puede suministrar el conjunto sin que la regulación sobrepase el 3%. ¿Se sobrecarga algún transformador? Si es así, ¿En cuánto se sobrecarga? 2.35.- Dos TT/FF monofásicos se conectan en paralelo en ambos lados para alimentar una carga de 25 MVA, a 12.600 volt. Las características de los transformadores y los valores de las pruebas de cortocircuito realizadas a ellos se indican en la Tabla 2.7. Determine la potencia suministrada por cada transformador a la carga, si el Factor de Potencia de ésta es: a) 0,8 Inductivo b) 0,8 Capacitivo c) Unitario Tabla 2.7 TRANSFORMADOR Nº SN (kVA) V1N/V2N (kV) Vcc (kV) Icc Pcc (kW) 1 15.000 66/13,2 5 90% IN 60 2 10.000 63/12,6 6,3 110% IN 60

108 2.36.- Dos transformadores monofásicos tienen tensiones a circuito abierto en los secundarios de 440 y 430 volt cuando sus devanados primarios se conectan en paralelo a una fuente común. La impedancia de cada transformador referido al secundario es de (0,02+j1,0) Ohm. Los secundarios se conectan en paralelo y se aplica una carga total de 500 amperes, que se retrasa en un ángulo de 30º con respecto a las tensiones en circuito abierto de los secundarios. Determine: a) La corriente, potencia y Factor de Potencia de salida de cada transformador. b) La tensión en la entrada (primario) de los transformadores. 2.37.- Dos transformadores monofásicos de 33/11 kV, con cambiadores de TAP funcionan en paralelo para alimentar una carga de 22+j16 ohm. Si el primario se alimenta con 33 kV las tensiones inducidas en los secundarios son de 11,2 y 10,8 kV respectivamente. Los datos de los transformadores se pueden ver en la Tabla 2.8 siguiente, donde las resistencias y reactancias equivalentes están en % base propia. Determine: a) La potencia suministrada por cada transformador a la carga b) La tensión en la carga c) La “Corriente de Circulación” Tabla 2.8 TRANSFORMADOR Nº POTENCIA NOMINAL (kVA) Req Xeq E2 (kV) 1 3.000 1 6 11,2 2 2.000 1 5 10,8 2.38.- Dos transformadores monofásicos A y B cuyos datos se indican en la Tabla 2.9, se conectan en paralelo a ambos lados para alimentar una carga total de 80 kW, Factor de Potencia 0,8 capacitivo. La tensión en la entrada de ambos transformadores se mantiene en 6450 volt. En estas condiciones, determine: a) La tensión en la carga y la corriente proporcionada por cada transformador a la carga. b) La “Corriente de Circulación” Tabla 2.9 TRANSFORMADOR Nº SN (kVA) V1N/V2N (V) Zeq2 (Ohm) A 50 6.600/330 j0,0980 B 60 6.900/340 j0,1156 2.39.- Se quiere utilizar autotransformador para alimentar una carga de 150 amperes a 120 volt, Factor de Potencia unitario, desde una línea de 220 volt. Considere ideal el transformador. a) Haga un esquema de la conexión del autotransformador b) Determine la corriente en la línea de 220 volt c) Calcule el porcentaje de la potencia suministrada a la carga que se transmite por efecto de conducción. 2.40.- Un transformador de dos bobinados, 600 kVA, 2.300/230 volt, con una impedancia equivalente en por unidad, base propia de 0,016 +j 0,07 se conecta como autotransformador de 2.530/230 volt. a) Determine la potencia aparente nominal del autotransformador. De esta potencia, ¿Cuánta se transfiere por efecto de conducción y cuánta por efecto de transformador? b) Calcule la impedancia equivalente del autotransformador referida a su primario. 2.41.- Considere un transformador monofásico de 200 kVA, 12/20 kV. Los parámetros del circuito equivalente son: Zeq1=37,8+j99,06 Ohm ; gc1=1,1 x 10-5 mho; bm1=4,5 x 10-5 mho. Determine los parámetros del circuito equivalente referido al primario en cada uno de los siguientes casos: a) Autotransformador elevador 12/14 kV b) Autotransformador reductor 14/12 kV c) Autotransformador elevador 2/14 kV d) Autotransformador reductor 14/2 kV e) Para todos los casos anteriores, determine la potencia aparente total que puede suministrar el autotransformador, indicando la o las conexiones que desde este punto de vista son las mas convenientes.

109 2.42.- Un transformador de 5 kVA, 100/200 volt, se conecta como autotransformador para elevar 200 a 300 volt. Si el rendimiento nominal del transformador es del 95% cuando el Factor de Potencia de la carga es unitario, determine su rendimiento nominal como autotransformador a Factor de Potencia unitario. 2.43.- Un transformador de 14 kVA, 2.300/230 Volt, tiene los siguientes parámetros: R1=2,5 ohm; R2=0,021 ohm; X1=10,2 ohm; X2=0,1 ohm. Determine: a) La regulación de voltaje cuando se usa como autotransformador de 2.300/2.530 Volt y se alimenta la carga nominal a 2.530 Volt, Factor de Potencia 0,8 capacitivo. b) La tensión aplicada en el lado de 2.300 cuando circula la corriente nominal en los enrollados y se tiene el lado de 2.530 Volt en Cortocircuito. b 2.44.- En la Figura 2.3 se puede ver el esquema de un autotransformador de 10 kVA, 440/220 volt, 50 Hz. Los datos obtenidos en las pruebas de vacío y cortocircuito se indican en la Tabla 2.9: a a) Si se aplican 440 volt en los terminales ac, con los terminales bc cortocircuitados ¿cuál es la corriente que circula por cada devanado? b) Si en los terminales bc se conecta la carga nominal, Factor de Potencia 0,75 en atraso, determine la tensión en los terminales ac, si c c en bc se tiene tensión nominal. Figura 2.3 c) Para las condiciones de b) determinar la regulación y el rendimiento. Tabla 2.10 VOLTAJE (V) CORRIENTE (A) Nominal 3,7 19,2 Nominal

PRUEBA Circuito abierto Cortocircuito

POTENCIA (W) 142 176

2.45.- El autotransformador de la Figura 2.4 se considera ideal. Determine la relación entre las impedancias de carga Zb/Za tal que la corriente en el bobinado entre las derivaciones ab sea cero. En estas condiciones, ¿Cuál es la impedancia equivalente referida al primario. 2.46.- Considerando que el dispositivo de la Figura 2.5 se armó a partir de un transformador ideal y que las cargas tienen las siguientes características: S1=2.000 kVA; Factor de Potencia 0,7 inductivo; S2=1.500 kVA; Factor de Potencia 0,8 capacitivo y S3=1.000 kVA; Factor de Potencia 0,65 Inductivo., determine: a) La corriente y Factor de Potencia en la entrada b) Las corrientes en cada uno de los enrollados. +

+

+

+ 2.440 V

120 V

-

+

a 2.640 V

+

-

Za Zb

-

Figura 2.4

+ 1.000 V S 3

120 V b

2.300 V S 2

4.160 V

-

-

Figura 2.5

S1

110 CAPITULO 3: TRANSFORMADORES TRIFASICOS Y BANCOS

3.1.- Considere un transformador trifásico de 1.000 kVA, 154/13,8 kV, conexión ∆Υ5 y determine: c) Los voltajes y las corrientes nominales de cada enrollado del primario y del secundario d) Las corrientes nominales de línea del primario y del secundario e) La conexión de los enrollados del primario y del secundario f) Los voltajes entre los bornes H2X2-H2X3-H3X2 y H3X3 cuando se unen los terminales H1 y X1 y se aplica al primario el voltaje nominal, estando el secundario en vacío. 3.2.- Repita el problema 3.1 considerando que la conexión del transformador es ∆Υ11 3.3.- Se dispone de tres transformadores monofásicos idénticos de 500 kVA, 12/2,4 kV cada uno. Si se conectan formado un banco trifásico en conexión Υ∆7, determine: d) La potencia aparente nominal del banco e) La razón de transformación del banco f) Las corrientes nominales de línea del primario y secundario g) Las corrientes nominales del primario y secundario de cada unidad monofásica h) La conexión de los enrollados del primario y del secundario i) Los voltajes entre los bornes H2X2-H2X3-H3X2 y H3X3 cuando se unen los terminales H1 y X1 y se aplica al primario el voltaje nominal, estando el secundario en vacío. 3.4.- Repita el problema 3.3 considerando que la conexión del banco es Υ∆1. 3.5.- Repita el problema 3.3 considerando que la conexión del banco es ∆∆6. 3.6.- Considere el transformador trifásico de 15 MVA, 66/13,2 kV conectado según se muestra en la Figura 3.1 y determine: a) El desplazamiento angular de la conexión b) Las corrientes nominales de línea del primario y del secundario c) Los voltajes entre los bornes H2X2-H2X3-H3X2 y H3X3 cuando se unen los terminales H1 y X1 y se aplica al primario el voltaje nominal, estando el secundario en vacío. Figura 3.1

H1

X1

H2

X2

H3

X3

3.7.- En un transformador trifásico conexión ∆Υ, de 15/5 kV, se unen los bornes H1 y X1, se aplica voltaje nominal en el primario con el secundario abierto y se miden los siguientes voltajes aproximados entre los otros pares de bornes: VH2X2= VH3X2=VH3X3=10,96 kV y VH2X3=15,81 kV. Dibuje (utilizando una escala adecuada), el diagrama fasorial de voltajes y determine, a partir de éste, el desplazamiento angular de la conexión. 3.8.- A un transformador trifásico de 1.500 kVA, 13.800/4.000 Volt, conexión ∆Υ se le hacen las pruebas de vacío y cortocircuito. Los valores obtenidos se indican en la Tabla 3.1. Determine: a) Los parámetros de circuito equivalente “por fase”, referidos al primario y al secundario. b) Los Factores de Potencia en Vacío y Cortocircuito c) El Factor de Carga para el cual el transformador tiene su rendimiento máximo d) El rendimiento y la regulación de voltaje cuando alimenta la carga nominal a voltaje secundario nominal y Factor de Potencia 0,85 inductivo.

111 PRUEBA Circuito abierto Corto circuito

VOLTAJE (V) Nominal 600

Tabla 3.1 CORRIENTE (A) 6,9 nominal

POTENCIA(W) 8.500 10.500

3.9.- A un transformador trifásico de 125 kVA, 5.000/400 Volt, conexión Υ∆ se le hacen las pruebas de vacío y cortocircuito. Los valores obtenidos se indican en la Tabla 3.2. Determine: a) Los parámetros de circuito equivalente en por unidad, base propia b) El porcentaje de regulación de voltaje a plena carga, Factor de Potencia 0,9 inductivo y tensión secundaria nominal c) El porcentaje de regulación de voltaje a plena carga, Factor de Potencia 0,9 inductivo y tensión primaria nominal. Compare este valor con el obtenido en b). Explique. PRUEBA Circuito abierto Corto circuito

VOLTAJE (V) 5000 550

Tabla 3.2 CORRIENTE (A) 0,82 14,4

POTENCIA(W) 2.000 3.000

3.10.- Tres transformadores monofásicos de 500 kVA, 2.400/240 Volt cada uno tienen los siguientes parámetros en por unidad base propia: R1=0,008; R2=0,007; X1=0,025; X2=0,025; gc=0,004; bm=0,02. Se conectan como banco trifásico en conexión ∆Υ. c) Determine las lecturas de los instrumentos al hacer las pruebas de Vacío y Cortocircuito en forma convencional al banco trifásico. d) Utilizando el circuito equivalente en pu base propia, con la admitancia de excitación conectada en la entrada, calcule la tensión, la corriente, la potencia y el Factor de Potencia en el primario, cuando se alimenta una carga de 1.200 kW, Factor de Potencia 0,8 inductivo a 240 volt 3.11.- Un banco trifásico de 1.500 kVA, 12.000/2.400 3 Volt , conectado en ∆Υ está formado por tres transformadores monofásicos idénticos. Los valores de los parámetros del circuito equivalente en pu base propia del banco son: R1=0,00521; R2=0,00434; X1=0,02257; X2=0,02604; gc=0,0034; bm=0,01317. Determine: a) La corriente (Amperes), la tensión (Volt) y la potencia (Watt) que se medirían al hacer las pruebas de vacío y cortocircuito a cada transformador monofásico, en forma convencional. b) El voltaje, la corriente y el Factor de Potencia en el primario de cada transformador monofásico, cuando el banco alimenta una carga de 1.200 kW, Factor de potencia 0,8 inductivo a tensión secundaria nominal. Utilice el circuito equivalente aproximado con la admitancia de excitación conectada en la entrada. 3.12.- Se dispone de tres transformadores monofásicos cuyas características son: 500 kVA; 12.000/2.400 Volt; R1=1,52 ohm; R2=0,049 ohm; X1=6,4 ohm; X2=0,26 ohm. Además, de la prueba de vacío a tensión nominal se obtuvo: P0=1700 Watt, cos ϕ0=0,26. Si se conectan formando un banco trifásico de 12.000/2.400 3 Volt, determine: a) El circuito equivalente por fase del banco, referido al primario b) La tensión, corriente y Factor de Potencia del primario, cuando el banco alimenta una carga trifásica equilibrada de 1.200 kVA, Factor de Potencia 0,8 capacitivo a tensión secundaria nominal. Considere la admitancia de excitación conectada en la entrada del circuito equivalente por fase. 3.13.- Un banco trifásico de 300 kVA, 15.000/500 Volt, conexión ∆Υ está formado por 3 transformadores monofásicos idénticos. Los valores de los parámetros del circuito equivalente de cada transformador monofásico son: R1=18 ohm; R2=0,0174 ohm; X1=54 ohm; X2=0,06 ohm; gc1=0,5 x 10-5 mho; bm1=1,5 x 10-5 mho. Si se conecta como elevador (500/15.000 Volt, conexión Υ∆), para alimentar una carga de 252 kW,

112 Factor de Potencia 0,9 inductivo a 14.500 Volt; determine (utilizando el circuito equivalente por fase aproximado, con la admitancia de excitación conectada en la entrada): a) La tensión entre líneas, la corriente del línea y el Factor de Potencia en el lado de baja tensión b) La regulación de voltaje y el rendimiento. Analice estos resultados. c) El porcentaje de carga para el cual ocurre el rendimiento máximo y el valor de éste 3.14.- Un banco trifásico está formado por tres unidades monofásicas idénticas. Cada una de ellas es de 1.200/120 volt, 7,2 kVA y su reactancia es de 0,05 pu base propia. En el secundario del banco se conecta una carga trifásica balanceada en estrella, con una reactancia de 5 ohm/fase. Determine la reactancia total por fase referida al primario del banco, cuando éste se conecta en: a) YY; b) Y∆; c) ∆∆; d) ∆Y. 3.15.- Una carga consume potencia suministrada por el sistema trifásico que se muestra en la Figura 3.2. El banco trifásico Nº 1 está formado por tres transformadores monofásicos cuya impedancia equivalente se puede suponer puramente reactiva y de valor Zeq=jX ohm. El banco Nº 2 también está formado por tres transformadores monofásicos de 1/3 MVA cada uno, con Zeq1=0,145+j0,78 ohm.¿Cuál sería el valor límite de la impedancia de cada transformadores monofásico del Banco Nº 1 si la regulación de voltaje del sistema completo debe mantenerse en un 10% para plena carga (1 MVA), a 240 Volt y Factor de Potencia 0,9 inductivo?. Refiera el valor calculado al lado de 23.000 Volt.

G

Banco 1

Linea 0,14+j0,51 ohm/fase

Banco 2

4,16/0,24 kV ConexiónY/∆

23/4,16 kV Conexión ∆/ Y

Carga

Figura 3.2

3.16.- Un transformador trifásico de 2.000 kVA, 6,6/33 kV está conectado en ∆Y1 y los parámetros de cada enrollado son: R1=0,5 ohm, R2=4,3 ohm; X1=2,6 ohm; X2=21,7 ohm; gc1= bm1=0. Si se conecta como elevador para alimentar la plena carga, Factor de Potencia 0,8 capacitivo, manteniendo constante la tensión en el primario en su valor nominal, determine: a) La tensión entre líneas y la corriente de línea en el secundario b) La potencia activa y reactiva en la entrada c) La regulación de voltaje d) La tensión y la corriente tanto en el primario como en el secundario de cada enrollado del transformador trifásico. 3.17.- Los parámetros del circuito equivalente por fase de un transformador trifásico de 300 kVA, 15/0,5 kV, conexión ∆Y1 son : R1=6 ohm; R2=5,8 x 10-3 ohm; X1=18 ohm; X2=0.02 ohm; gc1=1,5 x 10-5 mho, bm1=4,5 x 10-5 mho. Determinar las lecturas de los instrumentos al hacer las pruebas de vacío (a voltaje nominal) y cortocircuito (a corriente nominal) en forma convencional. 3.18.- El transformador trifásico del problema 3.17 alimenta una carga de Factor de potencia 0.8 inductivo a tensión secundaria nominal. Utilizando el circuito equivalente por fase, referido al primario y con la admitancia de excitación conectada en la entrada, determine la potencia activa y reactiva que el transformador puede alimentar de manera que la regulación de voltaje sea del 3 %.

113 CAPITULO 4: PRINCIPIOS DE CONVERSION ELECTROMECANICA

4.1.- En un transductor de campo magnético, la relación entre el flujo enlazado λ y la corriente i, se puede expresar de la siguiente forma, cuando la corriente varía entre 0 y 4 Amperes: λ = 0,6 i

λ = 0,45 + 0,2 i

2

para

0 ≤ i ≤ 1,5 A

para

1,5 ≤ i ≤ 4,0 A

Determine la Energía y la Coenergía almacenada. 4.2.- En un transductor de campo magnético, la relación entre el flujo enlazado λ, el desplazamiento x y la corriente i, es de la forma: λ 3 λ (i, x ) = 02 i 2 x Donde λ0 es una constante. Determine las expresiones para: a) La Energía (en función del flujo enlazado). b) La Coenergía (en función de la corriente). c) La fuerza de origen eléctrico a partir de la Energía y de la Coenergía. Compare ambas expresiones de la fuerza de origen eléctrico. Explique. 4.3.- La relación λ-i de un sistema de conversión de campo magnético es la que se muestra en la Figura 4.1, en función del desplazamiento x. Determine: a) La inductancia de la bobina en los distintos tramos (como función de x). b) La Energía y Coenergía almacenadas (como función de x). c) La fuerza de origen eléctrico. 4.4.- En el sistema de acoplamiento electromecánico de la Figura 4.2, considere que la permeabilidad del núcleo es mucho mayor que la de los entrehierros. Las dimensiones y otras características están indicadas en la Figura. La pieza superior es fija y la inferior solo se puede desplazar verticalmente. Determine la fuerza de origen eléctrico que se ejerce sobre la pieza inferior.

λ (Weber) 0,2 x

b i1 N1

0,05 x a

0,5

2,5

i (Amp)

Figura 4.1

N2 2a 0,05

i2 a

x

Figura 4.2

4.5.- En un transductor de campo magnético rotatorio con dos puertas eléctricas y una puerta mecánica, cuya relación entre los flujo enlazados λ1 y λ2 , las corrientes i1 e i2 y el ángulo de desplazamiento de la pieza móvil θ es de la forma indicada, determine:

λ 1 (i 1 , i 2 , θ) = (0,6 + 0,3 cos 2θ) i1 − 0,8 cos θ i 2

λ 2 (i 1 , i 2 , θ) = −0,8 cos θ i 1 + (0,8 + 0,4 cos 2θ) i 2 a) La energía y coenergía del sistema. b) El Torque de origen eléctrico sobre la pieza móvil (rotor).

114 c) Los voltajes inducidos en ambas puertas eléctricas, suponiendo que las corrientes y el desplazamiento son funciones variables del tiempo. d) ¿Es eléctricamente lineal este sistema? Justifique 4.6.- Considere un sistema electromecánico con dos puertas eléctricas y dos puertas mecánicas. Sus ecuaciones características son: 4 x3 λ 1 (i1 , i 2 , x 1 , x 2 ) = 3 x 12 x 2 i16 + 21 i 2 x2

λ 2 (i 1 , i 2 , x 1 , x 2 ) =

4 x 13 x 22

i 1 + 7 x 1 x 52 i 32

Determine las funciones de estado energía y coenergía y la fuerza de origen eléctrico sobre cada una de las puertas mecánicas. 4.7.- La capacitancia de un sistema de acoplamiento de campo eléctrico tiene los siguientes valores (en función del desplazamiento x), cuando el voltaje varía entre 0 y 200 volt C(x)= 25 ∗ 10-6 / x -6

C(x)= 6,25 ∗ 10 / x a) b) c) d)

Farad

para 0 ≤ v ≤ 40 volt

Farad

para 40 ≤ v ≤ 200 volt

Exprese la carga q como función de v y de x en los distintos tramos. ¿Es eléctricamente lineal este sistema? Justifique. Determine la energía y coenergía eléctrica. Haga una comparación entre ellas y explique. Calcule la Fuerza de origen eléctrico.

4.8.- La relación entre la carga q almacenada en un condensador con una pieza fija y otra móvil y el voltaje v es de la forma: 10 −6 q(v, x ) = 1 − e − 0,5 v x x

(

)

Determine la fuerza eléctrica ejercida sobre la pieza móvil. 4.9.- En un transductor de campo eléctrico, la relación entre la carga q y el voltaje v, es de la forma: q(v, x) =

4 23 v x

Determine las expresiones para: a) La Energía (en función de la carga q) y la Coenergía (en función del voltaje v). b) La fuerza de origen eléctrico a partir de la Energía y de la Coenergía. Compare ambas expresiones de la fuerza de origen eléctrico. Explique. c) La corriente i, considerando que tanto v como x son funciones variables en el tiempo. 4.10.- Cierto transductor de campo eléctrico con dos puertas eléctricas y dos puertas mecánicas tiene las siguientes ecuaciones características: x4 q1 (v1 , v 2 , x1 , x 2 ) = 6 x1 x 22 + 1 v 2 x2

q 2 (v1 , v 2 , x1 , x 2 ) =

1 x14 v1 + 3 x12 x 42 (v 2 ) 3 x2

Determine las funciones de estado energía y coenergía, la fuerza eléctrica en cada puerta mecánica y la corriente en las dos puertas eléctricas, suponiendo que los voltajes y desplazamientos son funciones variables en el tiempo.

115 CAPITULO 5: CONCEPTOS BASICOS DE MAQUINAS ROTATORIAS

5.1.- A una máquina síncrona de 8 polos se le aplica una tensión v( t ) = 2 V cos 120 π t volt. Determine la velocidad a la que gira la máquina en rpm y rad/seg. 5.2.- La tensión inducida en una máquina elemental de Corriente Continua, de 4 polos, con 5 circuitos en paralelo, 50 conductores activos que se encuentra en un campo magnético constante de 0,1 weber, es de 100 volt. Determine la velocidad en rpm y rad eléct/seg. 5.3.- Un generador de Corriente Alterna tiene las siguientes características: Longitud axial: 30 cm, diámetro medio: 12 cm, 4 polos en el rotor que se alimenta con Corriente Continua y gira a 1.500 rpm. El estator tiene 8 bobinas de paso completo distribuidas uniformemente en 16 ranuras. Cada bobina tiene 30 espiras. Considere como factor de devanado el que se tiene para la fundamental del desarrollo en serie de Fourier de la fmm resultante. Determine el valor efectivo de la tensión inducida en el estator si la densidad de flujo del rotor tiene un valor máximo de 1,2 Tesla y las 8 bobinas se conectan en paralelo. 5.4.- Para la máquina de entrehierro uniforme con dos bobinas de paso diametral de la Figura 5.1, dibuje la onda de fuerza magnetomotriz (fmm) resultante y determine el coeficiente de distribución, el factor de paso y el factor de devanado, para la fundamental. 5.5.- Repetir el problema 5.1 para la máquina de la Figura 5.2. 60º 1'

θ

1'

2'

2

2'

θ= 0º

60º θ θ= 0º

1

Figura 5.1

2

1

Figura 5.2

5.6.- Una máquina rotatoria de entrehierro uniforme tiene 10 bobinas de paso completo uniformemente distribuidas en el estator. Cada una de ellas tiene 10 espiras y la corriente en cada una de ellas es de 0,5 Amperes. Determine el valor máximo de la onda de fmm resultante y el valor máximo de cada uno de los armónicos (hasta el quinto) del desarrollo en serie de Fourier. 5.7.- Una máquina de entrehierro uniforme tiene dos bobinas de paso fraccionario en el estator, de manera que la onda de fmm es simétrica. El factor de paso para el primer armónico es de 0,707. Cada bobina tiene 30 espiras y circulan 2 Amperes por cada una de ellas. Determine a) El valor máximo de la onda de fmm resultante b) El valor efectivo del desarrollo en serie de Fourier de la onda resultante, considerando hasta el quinto armónico. 5.8.- Considere la máquina de entrehierro uniforme de la Figura 5.3 con 4 bobinas de paso fraccionario, distribuidas uniformemente sobre el estator. Cada bobina tiene 50 espiras y circulan 3 amperes por cada una de ellas.

116 a) b) c) d)

Exprese la fmm resultante como función de θ para 0 ≤ θ ≤ 360º. Dibuje la onda de fmm resultante para 0 ≤ θ ≤ 360º. Determine el valor máximo de la fmm resultante. Determine el factor de distribución, el factor de paso y el factor de devanado para el primer armónico.

5.9.- Para la máquina de la Figura 5.4, determine las inductancias propias y mutuas de los bobinados, en función de los datos indicados. Suponga que los dos enrollados del estator son idénticos con N1 espiras cada uno, que el enrollado del rotor tiene N2 vueltas; que la permeabilidad del material del núcleo es mucho mayor que la del entrehierro (µFe >> µ0) y que g