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• Debbie García

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FLEXIÓN EN VIGAS Resumen Se analizó las características de una viga de acero, sometida a dos cargas; con el fin de determinar el comportamiento mecánico de la viga. Encontrando sus esfuerzos teóricos e experimentales y deformaciones unitarias encontradas, para un sistema de siete galgas colocadas a lo largo de la viga en estudio. Así mismo por medio de gráficas se analizó el comportamiento de la viga, para los esfuerzos teóricos e experimentales y la carga con la deformación unitaria.

1 DESCRIPCIÓN DE LA PRÁCTICA         

Para una viga de Acero, con medidas en general de 8.42x15.24 (cm), se sometió a una carga puntual de 1723.65 kg. y otra carga de 3401.943 kg. Se colocó un sistema de 7 galgas, distanciadas a 2.54 cm. Se encontró 7 deformaciones unitarias para cada carga. Con un módulo de Young proporcionado en el laboratorio con el valor de 2.1x10^6 kg/cm². Posteriormente por métodos matemáticos se encontraron los esfuerzos teóricos y experimentales. Se comparó ambos esfuerzos determinando el porcentaje de error entre ellos. Se calculó los esfuerzos de corte a flexión para la viga. Se calculó la deflexión máxima producida en milímetros. Se analizaron los datos encontrados por medio de gráficas.

Figura 1. Viga de Acero

2 DATOS DE LABORATORIO 2.1 Tabla 1. Datos proporcionados en el laboratorio.

DEFORMACIÓN cm/cm CARGA (lb)

1

2

3 4

5

6

7

3800

0.000039

0.000024

0.000015 0

0.000015

0.000014

0.000039

7500

0.000078

0.000053

0.000033 0

0.000033

0.000053

0.000078

Tabla 1. Fuente: datos de laboratorio.

2.2 Tabla 2. Datos – carga en kg.

DEFORMACIÓN cm/cm CARGA (kg)

1

2

3 4

5

6

7

1723.65

0.000039

0.000024

0.000015 0

0.000015

0.000014

0.000039

3401.943

0.000078

0.000053

0.000033 0

0.000033

0.000053

0.000078

Tabla 2. Fuente: datos de laboratorio.

3 CALCULOS

Figura 2. Viga utilizada en Ensayo de Flexión.

Figura 3. Distribución de galgas en la viga.

3.1 Esfuerzo Experimental. 𝜎𝑒𝑥𝑝. = 𝐸 ∗ 𝜀 𝜎𝑒𝑥𝑝. = 0.0000021 ∗ 0.000015 𝜎𝑒𝑥𝑝. = 31.50 𝑘𝑔/𝑐𝑚² Ecuación (1) σ exp. = Esfuerzo Experimental E = Modulo de Young ε = Deformación unitaria. -. Se calculó de esta manera para los datos de las dos cargas registradas en kg, los esfuerzos experimentales.

3.2 Esfuerzo Teórico. 𝜎 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜. =

𝑀𝑓 ∗ 𝑌𝑖 𝐼 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Ecuación (2) σ teórico = Esfuerzo Teórico. Mf= Momento Flexionante. Yi= distancia entre galgas, desde el punto de referencia. I total = Momento de Inercia total de la viga.

3.3 Determinación del momento flexionante. 𝑀𝑓 =

24 ∗ 𝑀𝑚𝑎𝑥. 40

Ecuación (3).

Donde Mmax es:

𝑀 𝑚𝑎𝑥. =

𝑃𝐿 40

Ecuación (4).

𝑀 𝑚𝑎𝑥. =

1723.65(80) 40

𝑀 𝑚𝑎𝑥. = 3447.302 𝑘𝑔 − 𝑐𝑚 24 ∗ 3447.302 40 𝑀𝑓 = 2068.3812 𝑘𝑔 − 𝑐𝑚. 𝑀𝑓 =

3.4 Determinación del Momento de Inercia total. El Momento de inercia total de la figura se encuentra de la siguiente manera: Observando la figura 1.

𝐼 (𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒) =

𝑏 ∗ ℎ³ 12

Ecuación (5).

𝐼 (𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒) =

0.64 ∗ 14.16³ 12

𝐼 (𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒) = 151.422 𝑐𝑚^4

𝐼 (𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛 𝑟𝑜𝑗𝑜) = 2(

𝑏 ∗ ℎ³ + 𝑏 ∗ ℎ ∗ 𝑑²) 12

Ecuación (6).

𝐼 (𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛 𝑟𝑜𝑗𝑜) = 2(

8.42 ∗ 0.543 + 8.42 ∗ 0.54 ∗ 0.27²) 12

𝐼 (𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛 𝑟𝑜𝑗𝑜) = 0.884 𝑐𝑚^4

𝐼 (𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛 𝑎𝑧𝑢𝑙) = 4 (

𝑏 ∗ ℎ3 𝑏 ∗ ℎ ∗ 𝑑 2 + ) 36 2

Ecuación (7).

3.89 ∗ 0.73 3.89 ∗ 0.7 ∗ 0.352 𝐼 (𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛 𝑎𝑧𝑢𝑙) = 4 ( + ) 36 2 𝐼 (𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛 𝑎𝑧𝑢𝑙) = 0.815 𝑐𝑚^4

𝐼 (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙) = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 Ecuación (8).

𝐼 (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙) = 151.422 + 0.884 + 0.815 𝐼 (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙) = 153.121 𝑐𝑚^4

Retomando la ecuación de Esfuerzo teórico: 𝜎 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜. = Ecuación (9).

𝜎 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜. =

𝑀𝑓 ∗ 𝑌𝑖 𝐼 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

2068.3812 ∗ 2.54 153.121

𝜎 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜. = 34.311 𝑘𝑔/𝑐𝑚² 3.5 Porcentaje de error entre Esfuerzo Experimental y Teórico.

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 % =

𝜎𝑡𝑒𝑜. −𝜎𝑒𝑥𝑝. ∗ 100 𝜎𝑡𝑒𝑜.

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 % =

34.1 − 31.5. ∗ 100 34.1

Ecuación (10).

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 % = 8.19 % 3.6 Esfuerzo de Corte

𝜎 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 = Ecuación (11).

𝑉 ∗ 𝑄𝑖 𝐵∗𝐼

𝑉=

𝑃 2

Ecuación (12).

Determinación de Qi: 𝑄𝑖 = ∑𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛 𝑦 (𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑎𝑙𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜) Ecuación (13).

Q4: Area 1= b*h*dist. c.c Area 1= 0.64* 7.08* 3.54 Area 1 = 16.04 cm³

Area 2 = b*h*dist. c.c Area 2 = 8.42*0.54*7.35 Area 2= 33.419 cm³

Area 3 = 2 [(b*h*1/2*)(2/3*h + d/2)] Area 2 = 2 [(3.89*0.70*1/2*)(2/3(0.70)*+12.76/2)] Area 2= 18.653 cm³ Q4= 68.112 cm³ Area 4= 0, Area=5=3, Area 6=2, Area 7= 1. Por lo tanto: 𝜎 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 = 𝜎 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 =

𝑉 ∗ 𝑄4 𝐵∗𝐼

861.825 ∗ 68.112 0.64 ∗ 153.121

𝜎 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 = 599.001 𝑘𝑔/𝑐𝑚²

3.7 Deflexión Máxima:

ƍ𝑚á𝑥. =

𝑃 ∗ 𝑙³ 48 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼

Ecuación (14).

ƍ𝑚á𝑥. =

1723.65 ∗ 800³ 48 ∗ 2.1 ∗ 1.53121𝑒06

ƍ𝑚á𝑥. = 5717.731 𝑚𝑚.

4 RESULTADOS 4.1 Tabla 3. Esfuerzos obtenidos – Carga 1. Esfuerzo Teórico (σ) (kg/cm²) 1 2 3 4 5 6 7

102.93 68.62 34.31 0.00 34.31 68.62 102.93 Promedio de error

Tabla 3. Fuente: Ecuación 3.1 – 3.2 Primera Carga.

Esfuerzo Experimental (σ) (kg/cm²) 81.90 50.40 31.50 0.00 31.50 50.40 81.90

Error % 20.43 26.55 8.19 0.00 8.19 26.55 20.43 15.76

4.2 Tabla 4. Esfuerzos obtenidos – Carga 2. Esfuerzo Teórico (σ) (kg/cm²) 1 2 3 4 5 6 7

Esfuerzo Experimental (σ) (kg/cm²)

203.16 135.44 67.72 0.00 67.72 135.44 203.16 Promedio de Error

163.80 111.30 69.30 0.00 69.30 111.30 163.80

Error % 19.37 17.82 2.34 0.00 2.34 17.82 19.37 11.29

Tabla 4. Fuente: Ecuación 3.1 – 3.2. Segunda Carga.

4.3 Tabla 5. Momentos de Inercia. INERCIAS Inercia 1

151.4218

Inercia 2

0.883898

Inercia 3

0.815387

Inercia Total (cm^4)

153.1211

Tabla 5. Fuente: Ecuación 3.4.

4.4 Tabla 6. Momento Máximo. Momento Máximo (kg-cm) Carga 1

3447.30224

Carga 2

6803.886

Tabla 6. Fuente: Ecuación 3.3.

4.5 Tabla 7. Momento Flexionante. Momento Flexionante (kg-cm) Carga 1

2068.381344

Carga 2

4082.3316

Tabla 7. Fuente: Ecuación 3.3.

4.6 Tabla 8. Módulo de Young. Módulo de Young kg/cm^2

2.10E+06

Tabla 8. Fuente: Módulo de Young. Proporcionado en la práctica.

4.7 Tabla 9. Esfuerzo de Corte a Flexión para dos Cargas. Q7 Q6 Q5 Q4 Q3 Q2 Q1

Esfuerzo de Corte (kg/cm²) - Carga 1 0.000 144.412 826.654 599.001 826.654 144.412 0.000

Esfuerzo de Corte (kg/cm²) - Carga 2 0.000 285.023 1631.555 1182.240 1631.555 285.023 0.000

Tabla 9. Fuente: Ecuaciones 3.6.

4.8 Tabla 10. Qi, analizada según la galga de estudio. Q4 Qi (cm³) 1 2 3 4 5 6 7 Total

16.040 33.419 18.653 0.000 18.653 33.419 16.040 68.112

Tabla 10. Fuente: Galga 4.

4.9 Tabla 11. Qi, Áreas analizadas según la galga de estudio. Q5 Qi (cm³) 1 2 3 4 5 6 7 Total Tabla 11. Fuente: Galga 5.

6.596 75.666 11.736 0.000 11.736 75.666 6.596 93.998

4.10

Tabla 12. Qi, Áreas analizadas según la galga de estudio. Q6 Qi (cm³)

1 2 3 4 5 6 7 Total

1.280 10.321 4.820 0.000 4.81971

10.321 1.280 16.421

Tabla 12. Fuente: Galga 6.

4.11

Tabla 13. Deflexión máxima producida. Deflexión Máxima (mm)

Carga 1

5717.731

Carga 2

11285.004

Tabla 13. Fuente: Datos calculados.

5 DISCUSIÓN DE RESULTADOS Para el ensayo de flexión en una viga de acero, se compararon los esfuerzos teóricos y los experimentales, para dos cargas diferentes. En la tabla 3 y la tabla 4, se observa que el porcentaje de error promedio para la carga 1, es de 15.76% entre el esfuerzo teórico y experimental; lo cual demuestra la variabilidad de los datos registrados en el ensayo, así mismo el porcentaje de error promedio para la carga 2 es de 11.29%. Los porcentajes no son extremadamente elevados, y se puede deducir que los registros experimentales no se alejan tanto del valor teórico, por lo tanto, los esfuerzos teóricos son mayores que los experimentales, esto es debido al error de los instrumentos de equipo utilizados durante la práctica, puede que la viga no sea exactamente de las medidas indicadas, el acabado superficial de la viga, así como el uso del sistema de galgas. Al medir las deformaciones unitarias que se proporcionaron en el laboratorio, puede que también exista un cierto porcentaje de error. Con esto se puede deducir que través del ensayo experimental se comprueba la validez del análisis teórico. Para el esfuerzo de corte a flexión para la viga, se puede observar en la tabla 9, los valores calculados por medio de las ecuación 11 y 12. Dado que la viga es simétrica

en su composición, los datos registrados y calculados de igual manera tienen comportamiento simétrico. El esfuerzo cortante a flexión en la galga 7 y 1, figura 3, es nulo dado que la curvatura causada por la flexión no perjudica las esquinas de la viga. La deflexión máxima para las dos cargas se encuentra en la tabla 13, para la carga 1 con un valor de 5717.731 (mm), para la carga 2 con un valor de 11285.004 (mm). Siendo los momentos de flexión positivos, la viga se deforma positivamente, lo que indica una curvatura hacia arriba. En la gráfica 1, carga vs deformación, la interpolación de los registros, es simétrica lo que muestra la simetría de la viga en donde se encuentra la galga 4, figura 3. Así mismo en la gráfica 2, se comparan los datos de los esfuerzos teóricos y experimentales, para las dos cargas.

6 BIBLIOGRAFIA  

ARQHYS. 2012, 12. Ensayos de flexión en vigas. Revista ARQHYS.com. Resistencia de Materiales Singer Pytel, Cuarta Edición, Paginas (620).

7 ANEXOS

VIGAS DE ACERO – TRABAJADAS EN FLEXIÓN

ANALISIS DE VIGAS

NORMAS ASTM PARA PERFILES DE ACERO