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• Danny F. Toledo Arias

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REPASO ESFUERZOS COMBINADOS Muchos problemas de asentamientos se pueden plantear correctamente con un simple caso de esfuerzo unidimensional y de compresión. Los simples casos de compresión y tracción en una dirección, tan útiles en los proyectos estructurales en acero y en hormigón, tienen poca aplicación en la masa de suelo, cuyo peso es una parte substancial de la carga total y donde las cargas estructurales se introducen en la masa en varias direcciones y a diferentes nivelas. Por lo tanto, el análisis de los efectos del esfuerzo debe comenzar considerando el campo total de esfuerzos en tres dimensiones. El esfuerzo (tensión) se define como la fuerza por unidad de área. Un esfuerzo aplicado en una superficie plana de un sólido se puede descomponer en dos componentes: una perpendicular (normal) al plano, que se llama esfuerzo normal,  (sigma) y otra que actúa en la superficie del plano que se llama esfuerzo cortante, (tau), como se indica en la figura 1 

3

S  a. Esfuerzo cortante y normal

2

3

 1 b Esfuerzos principales en un cubo

Cuando en un plano actúa solamente la componente normal y = 0, a ese esfuerzo normal se le llama esfuerzo principal, ver figura Cuando se prueba en cubo de roca o mortero para determinar su resistencia, se coloca en una maquina y se aplica a las caras superiores e inferior una fuerza de compresión que se aumenta gradualmente. La fuerza de compresión produce esfuerzos de compresión en las caras donde se aplica; estos esfuerzos son esfuerzos principales y los planos horizontales donde ellos se producen se llaman planos principales. Aunque raramente se hace, seria posible aplicar fuerzas de compresión en los otros dos pares de caras del cubo; esto también produciría esfuerzos principales en las caras donde fueran aplicadas esas fuerzas y esas caras serian también planos principales. Se puede demostrar que hay tres esfuerzos principales independientes perpendiculares que actúan en tres planos principales perpendiculares. El mayor de estos tres esfuerzos principales se llama esfuerzo principal mayor y se designa por 1, el mas pequeño es el esfuerzo principal menor, 3 y el tercero se llama esfuerzo principal intermedio 2. Como en la mecánica del suelo los esfuerzos de tracción son comparativamente raros, para evitar muchos signos negativos, los esfuerzos de compresión se consideran positivos. En el caso del cubo de mortero sometido a un ensayo usual de compresión, el esfuerzo de compresión aplicado a las caras superior e inferior es 1 y los otros dos esfuerzos principales 2 y 3, son cero. Si un plano inclinado corta al cubo, es posible calcular los esfuerzo normal y cortante en ese plano partiendo de los tres esfuerzos principales y las leyes de la estática. El caso general es bastante complicado por que requiere el empleo de los cosenos directores del plano inclinado con respecto a los planos principales. Sin embargo, en muchos problemas de mecánica de suelos, solo nos interesan los esfuerzos en planos perpendiculares al plano principal intermedio, con lo cual; el problema se reduce a dos dimensiones. La dirección de un plano inclinado que sea perpendicular al plano principal intermedio se define por el ángulo a (alfa), que es el ángulo que forma el plano inclinado con el plano del esfuerzo principal mayor, como se indica en ;la figura siguiente Los esfuerzos normal y cortante en ese plano se pueden hallar conociendo 1 y 3 por la leyes de la estática. Si se supone que la arista del cubo es 1, las fuerzas que actúan en el plano inclinado en las direcciones 1 y 3 son, respectivamente: F1= 1xarea

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F1= 1x1x1 =1 F3= 3x1x1tg

1 1

3





2

3

1 2 a. Vista isometrica



 3

3 1

b. Seccion transversal

Esfuerzos en un cubo cortado por un plano que es perpendicular al plano de 2 y que forma el ángulo  con el plano de 1

La suma de las componentes de estas fuerzas, normales al plano inclinado es: Fn= F1cosa + F3sena = s1cosa + s3tgasena Fs= s1sena – s3tgacosa Como el área del plano inclinado es 1/cosa, el esfuerzo normal en el plano a es:  (1cos + 3tgsen)/ 1/cos = 2cos2 + 3sen2 = (1+3)/2 + (1-3)cos2/2 de la misma manera se halla el esfuerzo cortante en el plano inclinado, a que es: = (1 – 3)sen2/2 por medio de estas formula se pueden calcular los esfuerzos en cualquier plano inclinado que forme un ángulo  con el plano principal mayor o si conocen los esfuerzos en dos planos cualquiera se pueden calcular los esfuerzos principales. Estas formulas permiten establecer las siguientes conclusiones, que se deben recordar cuando se analizan esfuerzos: 1. El esfuerzo cortante máximo se produce cuando sen2= 1 o = 45 o 135 y es igual a (1-3)/2 2. El esfuerzo normal máximo se produce cuando cos2= 1y = 0 3. El esfuerzo normal mínimo se produce cuando cos2= -1y = 90 y el plano es paralelo al plano principal menor. 4. En dos planos cualquiera perpendiculares entre si los esfuerzos cortantes son iguales en magnitud CIRCUNFERENCIA DE MOHR El físico alemán Otto Mohr invento un procedimiento grafico para resolver las ecuaciones y hallar los esfuerzo normal y cortante en un plano perpendicular a uno de los planos principales y que forme un ángulo  con el mayor de los otros dos planos principales. En el sistema de coordenadas que se establece (ver figura), la x representa los esfuerzos normales y la y los cortantes. Los esfuerzos de compresión (positivo) se dibujan a la derecha y las tracciones a la izquierda. Las fuerzas cortantes se pueden dibujar hacia arriba o hacia abajo, pues su signo no tiene significación. Las coordenadas de un punto () representan la combinación de los esfuerzos normales y cortante en un plano, cualquiera que sea su orientación. En este diagrama se dibujan las coordenadas 2 y 3; ambas en el eje , pues en los planos principales el esfuerzo cortante es cero. Se traza una circunferencia que pase por esos puntos y cuyo centroide estará situado en el eje . El centro de esta circunferencia tiene las coordenadas ((1+3)/2, 0) y su radio es igual a (1-3)/2. Se traza un radio que forme al ángulo 2 con el eje , que se mide en dirección contraria al movimiento de las agujas del reloj. La coordenada x de un punto en la circunferencia al extremo del radio es: (1+3)/2 + (1-3)cos2/2 que es  en un plano inclinado que forma el ángulo  con el plano principal mayor. La coordenada del punto y del punto es: (1-3)sen2/2, que es  en el mismo plano. La circunferencia representa las condiciones posibles de esfuerzos en cualquier plano perpendicular al plano principal intermedio. Los esfuerzos en un plano preciso que forme el ángulo a se pueden hallar gráficamente siguiendo esta construcción. En esta construcción grafica se puede demostrar que el valor máximo de  se

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produce en un plano en que el ángulo 2= 90º y es igual a (1-3)/2 o sea la mitad de la diferencia entre los esfuerzos principales mayor y menor y también que los esfuerzos cortantes en dos planos perpendiculares entre si son iguales. Se puede aplicar la misma construcción gráfica a esfuerzos en un plano perpendicular al plano principal mayor, usando 2 y 3 y en un plano perpendicular al plano principal menor usando 1 y 2. Como la circunferencia es simétrica con respecto al eje x, basta dibujar la semicircunferencia superior. La mitad inferior se puede dibujara usando -2  (medido desde el eje en la dirección del movimiento de las agujas del reloj) y valores negativos para el esfuerzo cortante 





º

3 a Coordenadas de Mohr



º

2

º



1

b Esfuerzos principales

c Circunferencia de Mohr de esfuerzos

Coordenadas de Mohr y circunferencia de esfuerzos de Mohr

La orientación de los planos no se muestra directamente en el diagrama de Mohr, pero se puede representar separadamente. En la representación de tres dimensiones, ver figura, hay tres circunferencias cada una de los cuales representa los esfuerzos en un plano perpendicular a uno de los planos principales. El área entre las circunferencias representa los esfuerzos combinados en planos que son oblicuos a los tres planos principales.





1

Estos esfuerzos se pueden calcular analíticamente usando el mismo razonamiento que se empleo para la ecuación  y , como se explica en los textos de teoría de la elasticidad y en los textos de los cursos superiores de resistencia de materiales. El esfuerzo cortante máximo esta definido por la circunferencia de esfuerzo 1-3, que expresa las combinaciones de esfuerzos en cualquier plano que sea oblicuo a los planos principales mayor y menor y perpendicular ala intermedio. Por lo tanto, la circunferencia 1-3 y el plano que ella representa son de gran importancia en la mayoría de los problemas reales de resistencia y falla del suelo. La circunferencia de esfuerzos de Mohr esta basada en las leyes de la estática y se puede aplicara a cualquier material. Aunque la discusión se ha limitado a los esfuerzos que actúan en las caras de un cubo, se aplica igualmente a un cubo infinitisimal, es decir a un punto.

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Ejemplo: Datos: 1= 10 kg/cm2 y 3= 2 kg/cm2. Hallar  y  en un plano que forme un ángulo de 30º con el plano principal mayor y que sea perpendicular el plano principal intermedio. 1. Dibujar 1 y 3 sobre el eje  2. Trazar una circunferencia que pase por esos puntos con el centro del eje  3. Dibujar un radio que forme el ángulo 2= 60º 4. Medir a escala en el dibujo  y  = 8 kg/cm2 = 3.5 kg/cm2

(8, 3.5) (0.5, 1.5) 2 2

10

0.2

(7.8, 1.9) 2

2 8

Ejemplo: Datos: Los esfuerzos normal y cortante en un plano son, respectivamente, 7.8 g/cm2 y 1.9 g/cm2; los esfuerzos normal y cortante en un segundo plano son: 0.5 g/cm2 y 1.5 g/cm2. Calcular los esfuerzos principales mayor y menor y el ángulo que forman los dos planos. 1. Dibujar las coordenadas de los esfuerzos en los dos planos 2. Trazar la circunferencia que pase por los dos puntos con centro en el eje . (El centro es la intersección con el eje  de la perpendicular que biseca la línea que une los dos puntos) 3. Los valores de 1 y 3 se pueden tomar a escala en el dibujo; 1= 8 g/cm2 3= 0.2 g/cm2 4. Medir en el dibujo el ángulo 2 correspondiente a cada plano. El ángulo entre dichos planos es (½)(21-22)= 65º FALLA O ROTURA. Otto Mohr también contribuyo a la ciencia de la ingeniería con una teoría de la falla de los materiales, que representa con mayor aproximación los verdaderos esfuerzos que se producen, que como lo hacen las otras teorías que consideran esfuerzos simple solamente. Se ha encontrado que esta teoría es aplicable satisfactoriamente a los suelos y a materiales como hormigón y piedra. Mohr demostró que el rendimiento o falla de un material no es causado por esfuerzos normales que alcancen un cierto máximo o punto de fluencia o por solo esfuerzos cortantes que alcancen un máximo, sino por una combinación critica de ambos esfuerzos, el normal y el cortante. La falla se produce esencialmente por esfuerzo cortante, pero el valor critico del esfuerzo cortante esta regulado por el esfuerzo normal actuando en la superficie de falla potencial. Las combinaciones críticas de los esfuerzos normales y cortantes, cuando se dibujan en coordenadas de  y  forman una línea que se llama 1 A envolvente de falla de Mohr. La falla se Limites o envolventes de los 2 produce si para un Esfuerzos en la falla  indeterminado valor de , el esfuerzo cortante excede el indicado -2 1 por la envolvente





A’ Envolvente de Mohr

Circunferencia de Mohr con los esfuerzos en los planos de falla, representados por los puntos A y A’

Orientacion de los planos de fall

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Si se conocen los esfuerzos en dos planos cualesquiera que pasen por un punto, se pueden hallar los esfuerzos en cualquier otro plano por medio de la circunferencia de Mohr. Como la circunferencia representa todas las combinaciones posibles de esfuerzos normales y cortantes en ese punto, la rotura ocurrirá en el plano representado por el punto de intersección con la envolvente. Ejemplo: A un cilindro de suelo cemento, al que no se le ha aplicado esfuerzo principal menor, se le aplica un esfuerzo principal mayor que se incrementa lentamente. Si la envolvente de falla pasa por el punto cuyas coordenadas son (0, 2) con una pendiente hacia arriba y hacia la derecha de 20º; calcular: a) la máxima carga axial cuando se produce la falla, b) los esfuerzos normal y cortante en el plano de falla, y c) el angulo del plano de falla 1. Un punto de la circunferencia de Mohr esta en e; origen de coordenadas 1= 3= 0. A medida que 1 aumenta ligeramente, la circunferencia se agranda. 2. En el instante en que la circunferencia (0,0) (s1,0) toca a la envolvente, ocurre la falla en el plano que corta el cilindro, correspondiente al punto de tangencia. 3. Del diagrama de Mohr, 1= 5.75 en la falla 4= 2.7 y = 1.95 en el plano de falla. El valor de 2 es 110º luego el plano de falla forma un ángulo de 55º con 3 o un ángulo de 35º con 1 el eje del cilindro. = 1.95 kg/cm2 = 2.70 kg/cm2 20º 2= 110º

2 kg/cm2

0

0 1= 5.75 kg/cm2

Envolvente de Mohr 3= 0, 1 aumentando hasta

Circunferencia de Mohr para esfuerzos de falla

RELACION ENTRE ESFUERZOS que se produzca la falla VERTICALES Y HORIZONTALES

Supóngase un espécimen cilíndrico de suelo de altura h y de diámetro d, sujeto a esfuerzos como los que se indican y llevado hasta la ruptura y obsérvese la relación entre 1 y 3, en la que 1 es mayor que 3. 1

3

envolvente

1-3)/2

imposible



3

 3

3 1

cpitag

3’ 1

3”

1

'1

"1

B

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Si los esfuerzos principales 1 y 3 son llevados a un eje de coordenadas se puede con ello representar un círculo llamado Circulo de Mohr, como es sabido. Si lo mismo se hace con varios especimenes de suelo, aumentando cada vez mas el valor de 3, se podrá construir una serie de círculos- como se indica en la figura anterior- y trazar una envolvente común que se llama curva o línea de resistencia intrínseca del material, y que representa la ecuación de Coulomb antes indicada. Cuando una circunferencia de esfuerzo como la de B no toca a línea envolvente, ello indica que no hay en el espécimen ninguna sección en la que se satisfaga la condición de rotura de la ecuacion de Coulomb. Por otro lado, una circunferencia que corte a la línea de resistencia intrínseca es imposible, ya que se tendría un valor mayor que . Así pues, solo las circunferencias tangentes a la línea de resistencia intrínseca representan esfuerzos de rotura. Del diagrama de Mohr, de uno de los especimenes sometido e esfuerzo de compresión triaxial se tiene:

B (1- 3)/2



C c. cot

A

c

3 (1+3)/2 1

Del triangulo ABC: (1-3)/2 = (c.cot + (1+3)/2)sen (1-3) = 2(c.cot + (1+3)/2)sen (1-3) = (2c.cot + 1+ 3)sen2c.cot sen + 1 sen + 3sen2c.cos + 1 sen + 3sen 1 - 1 sen = 2c.cos + 3sen 3 1(1 - sen = 2c.cos + 3(1 + sen 1 = 2c.cos(1 - sen + 3(1 + sen(1 - sen Por trigonometría se sabe que: (1 + sen)/(1 – sen) = (cos/[1 – sen])2 = tg2(45 + /2) = N = valor de influencia Por lo tanto: 1 = 3N + 2c√N En la ecuación anterior, si 3 = 0 se tiene la prueba de compresión axial no confinada y entonces: 1 = 2c√N Si además de que 3 sea igual a cero, se supone que = 0 (caso correspondiente a las clásicas arcillas blandas, que se comportan como si  fuera igual a cero), entonces: 1 = 2c = qu De donde se desprende que el valor de la cohesión de las arcillas blandas puede determinarse con la prueba de compresión axial no confinada, como ya se ha indicado anteriormente: c= 0.5qu en la qu es el esfuerzo de ruptura a compresión axial no confinada. Ahora, si en la ecuación: 1 = 3N + 2c√Nse hace c= 0, caso de las arenas limpias y secas, entonces: 1 = 3N