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• Lucia Gonzales Mendoza

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RENTAS PERPETUAS CONCEPTO: •Una renta perpetua o perpetuidad es una anualidad cuyo plazo no tiene fin. Ese tipo de anualidades se presenta cuando se invierte un capital y se retiran los intereses, por lo tanto, mientras se mantenga invertido el capital se tendrá una renta perpetua. Puesto que los legados de una renta perpetua en teoría nunca terminan, es imposible calcular el valor futuro de los mismos; en cambio, el valor presente o actual de una renta perpetua está perfectamente definido. Las rentas perpetuas pueden ser vencidas, anticipadas o diferidas El esquema de la clasificación de las perpetuidades es el mismo que el de las anualidades ciertas temporales, con su extremo derecho abierto que indica su fin'' no determinado'' Renta Perpetua es una serie de pagos que dura y permanece para siempre. Como el tiempo "n" es infinito no puede establecerme su monto, como consecuencia sólo se conoce fórmulas para el valor actual y para el cálculo de la renta y de la tasa, en funcion del valor actual En las rentas a plazo fijo, sabemos cuándo se inician y finalizan los pagos de renta, en tanto que en las rentas perpetuas, se sabe cuando empiezan los pagos pero no cuando terminan Una perpetuidad es una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y continúa para siempre. Con la suposición que una compañía nunca quebrará, los dividendos sobre sus acciones preferentes pueden considerarse como una perpetuidad. Es claro que no se puede hablar del monto de una perpetuidad, sin embargo, tiene un valor presente definido. Es decir; el capital siempre será sometida a una determinada tasa de interés, la cual puede ser retirada por completo quedando nuevamente el capital. Cuando la tasa de interés es igual a la entrega(dinero que se desea retirar) que se debe hacer, entonces el capital se mantiene constante. Si la tasa de interés es menor a la entrega, esto permitirá que el capital crezca continuamente, sin embargo, si la tasa de interés es mayor al dinero que se desea retirar, nuestro capital disminuirá con tendencia a 0. RENTA PERPETUA: El fondo de amortización se encuentra restando el interés del capital de la cuota. Esto indica que en este caso la cuota entregada solamente cubre la renta(intereses del capital) sin amortizarlo, por lo que se le denomina a este caso RENTA PERPETUA. Ejemplo:

Hallar los fondos de amortización de un empréstito AÑO

Saldos iniciales

Intereses

Fondos

de

Saldos finales

amortización 1

200 000 00

16 000 00

0

200 000 00

2

200 000 00

16 000 00

0

200 000 00

3

200 000 00

16 000 00

0

200 000 00

4

200 000 00

16 000 00

0

200 000 00

n

200 000 00

16 000 00

0

200 000 00

Los fondos de amortizacion son nulos y la cuota paga los intereses periodicos de un capital constante. •En el caso que la cuota(Renta) sea menos que los intereses del capital, estos se incrementaran , conforme el siguiente ejemplo: Confeccionar la tabla de amortización para un empréstito de s/.500,000 al 10% anual, siendo la cuota a pagar(Renta) de s/.30,000 Año 1 2 3

Saldos inicales 500 000 00 520

Intereses 50,000 52,000 54,200

Fondos de Amortizacion -20,000 -22,000 -24,000

Saldos Finales 520,000 542,000 566,000

En este caso la cuota(Renta) cubre parte de los intereses, el capital aumenta progresivamente. CLASES DE ANUALIDADES PERPETUAS: 1.-Rentas Perpetuas Vencidas. Calculo del valor de la renta: El periodo de la renta debe ser similar al de la tasa R=Pxi Ejemplo 1: El valor presente de una perpetuidad compuesta de rentas mensuales vencidas es de s/.10,000. Calcule el importe de cada renta considerando una TEA de 20% DATOS FORMULA R=? R=Pxi P=10,000 i=0.20

Calculando la TEM TEM=(1 + 0.20)(30/60) -1 i= 0.01530947

CÁLCULO R=10,000x0.01530947 R=153.09

RESPUESTA: El importe de una renta perpetua mensual vencida es s/.153.09 Ejemplo 2:

Con el objetivo de apoyar los trabajos de investigación que realiza el instituto americano de dirección de empresas, la fundación GBM decidió donarle a perpetuidad un importe de S/.10,000 al final de cada año. Calcule el valor presente de la donación con una TEA de 6.25% DATOS R=10,000

FORMULA 1 P=R[ ] 𝑖

CALCULO 1

P=10,000[0.0625] P=? TEA=0.0625

P=160,000

RESPUESTA: El valor presente de la donación es de s/.160,000 UN CASO FRECUENTE: Supongamos que se tienen s/.500,000. para inversión. Tenemos dos posibilidades, o compramos una vivienda para darla en alquiler, o abrimos una cuenta bancaria donde gane intereses. Hacemos algunas encuestas y encontramos que una vivienda de ese precio se puede alquilar mensualmente por una renta de s/.3,000 . En el banco nos dicen que la tasa, a plazo fijo para ese monto, es del 4% anual. De manera que 4% significan 500,000 x 0.04=.20,000 anuales. 20,000/12 (meses) =1,667.00 mensuales. Calculando la tasa que nos proporciona la vivienda resulta que es del 7.20 por ciento anual. Por lo tanto se podría decir que la tasa que resulta del alquiler de la vivienda es mayor que la tasa que paga el banco; por lo tanto es más conveniente arrendar la propiedad que poner el dinero en el banco. 2.-Rentas Perpetuas Anticipadas. Calculo del valor presente:

𝟏 𝒊

P=Ra(1+i)[ ]

CASO ESPECIAL: Valor presente de una perpetuidad anticipada cuya renta inicial es diferente a las demás rentas. 𝑹 P=Ra+[ ] 𝒊

Ejemplo 3: Calcule el valor presente de una perpetuidad cuya renta trimestral anticipada es de s/.300.La TEA aplicable es de 20% DATOS CALCULO R=300 P=?

FORMULA 1 𝐼

300(1+0.046635139) 0.046635139

P=Ra(1+i) [ ]

P=

P=6732.92 Calculando la TET 90

TET= (1 + 0.20)(360)-1= 0. 046635139 RESPUESTA: El valor presente es s/.6732.92 Ejemplo : CASO ESPECIAL Las entidades perceptoras de donaciones pueden emitir certificados de donación, los cuales se consideran como pagos a cuenta de impuestos. Para acogerse a este beneficio, el Directorio de la Fundación ''Rocket'' ha decidido entregar a perpetuidad a una universidad, a inicios del primer año s/.8,000 y de alli en adelante un importe de s/.5,000 anualmente. ¿Cual será el valor presente de la donación considerando una TEA de 12%? DATOS Ra=8,000 i=0.12 P=?

FORMULA 𝑅 P=Ra+[ 𝑖 ๹]

CALCULO 5000 P=8,000+[ 0.12 ] P=49,666.67

RESPUESTA: El valor presente es de s/.49,666.67 𝑖

Calculo del valor de la renta anticipada: Ra=P[1+𝑖 ] EJEMPLO: Calcule el importe de la renta perpetua trimestral anticipada que puede adquirirse con un importe de s/.15,000. Las instituciones financieras ofrecen una TEA de 8% por las inversiones a largo plazo. DATOS

FORMULA 𝑖 Ra=P[1+𝑖]

R=? P=15,000 I=TEA=0.08 Calculando la TET TET = (1 + 8.08) (90/360) -1=0.019426546

CALCULO 0.019426546 Ra=15,000[1+0.019426846]

Ra=285.85

RESPUESTA: El importe de la renta perpetua trimestral anticipada es s/.285.85 calculo del valor de la tasa de interés: Constituye la tasa interna de retorno de la perpetuidad anticipada.

i=[

𝑅𝑎

𝑃−𝑅𝑎

]

EJEMPLO: Para calcular una cuenta abierta de s/.2,000. Produzca una renta perpetua mensual de s/.200¿Cual debe ser su TEM? DATOS FORMULA CALCULO 𝑅𝑎 200 Ra=200 i=[𝑃−𝑅𝑎] i=[2,000−200] P=2,000 i=?

i=0.111111

RESPUESTA: La TEM debe ser de 11,11% EJEMPLO: Un inversionista decide arriendar una propiedad por s/.45,000 en forma indefinida. Él recibe una oferta de recibir un solo pago el dia de hoy equivalente a toda la seria de pago si tiene una tasa efectiva de 3.5% mensual ¿Que pago único deberá aceptar? DATOS P=45,000 i=0.035

CALCULO A=45,000 𝐴

P-A=[ 𝑖 ]

𝐴

P=A +[ 𝑖 ]

45,000

P=45,000+[ ] 0.035 P=1 330,714.2857 El resultado indica la equivalencia entre recibir hoy un pago unico de s/.1 390,714.2857 a recibir de forma indefinida un arriendo de s/.45,000 empezando el dia de hoy. RENTAS PERPETUAS DIFERIDAS: La renta diferida es aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al comienzo de la renta. Por ejemplo: calculo hoy el valor de un contrato de alquiler que se va a poner en vigor dentro de 6 meses. Las Rentas Perpetuas se dividen en: Diferidas Vencidas y Diferidas Anticipadas que estudiaremos a continuación 3..- RENTAS PERPETUAS VENCIDAS DIFERIDAS Calculo del valor presente en k periodos de renta, donde ''i'' es la Tasa efectiva(TE) 1 1 P=R[ 𝑖 ] [(1+𝑖)𝐾 ] EJEMPLO: El dueño de un pozo con reservas de explotación probadas para un plazo mayor de 100 años tiene una utilidad neta anual de s/.84,000.Calcule el valor presente del pozo con el objeto de venderlo, conociendo que los proximos tres años no habra explotacion por renovación de sus equipos. El dueño percibe por sus inversiones una TEA de 15% DATOS P=? R=84,000

FORMULA 1

CALCULO 1

P=R [(1+𝑖)𝐾 ] [ 𝑖 ]

i=0.15 anual K=3 años RESPUESTA: El valor presente es de s/.368,209.09

1

1

P=84,000[(1+0.15)3] [0.15]

Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses, con tasa nominal del 12% convertible mensualmente M =500.000(1 + 0,01)-5 = 475.732,84 Respuesta.

P =5.000=500.000 0.12 i= 12 = 0.01 K= 5

4.-RENTAS PERPETUAS DIFERIDAS ANTICIPADAS: Calculo del valor presente:

1

1+𝑖

𝑖

(1+𝑖)𝐾

P=Ra[ ] [

]

Ejemplo: Un asilo de ancianos ha podido obtener una donación de s/.8,000 en forma indefinida, la misma que se percibirá a inicios de cada año pero después de haber transcurrido 48 meses contados a partir de hoy. ¿Cual es el valor presente de esa donación considerando una TEA de 8% ? DATOS P=?

FORMULA 1 1 ][ ] (1+𝑖)𝐾 𝑖

P=R [

CALCULO 1+0.08 ] (1+0.08)4

P=8,000 [

1

[0.08] K=48 R=8,000 i=0.08

P=79,383.22