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UNIDAD 1

 

Refuerzo

Ficha

1

Fracciones equivalentes

Nombre: ........................................................................................................

Curso: .........................................

Fecha:

........................................

Un grupo de treinta amigos prepara una merienda. Uno de ellos lleva tres pizzas rectangulares cortadas de la siguiente manera.

Pizza 1

Pizza 2

Pizza 3

1. Completa: — La pizza 1 está dividida en …...... raciones. Cada ración es 1 de pizza. 18 — La pizza 2 está dividida en …...... raciones. Cada ración es …...... de pizza. — La pizza 3 está dividida en …...... raciones. Cada ración es ….....… de pizza. Tres de estos amigos deciden empezar a comer. El primero de ellos toma 6 raciones de la pizza 1; el segundo, 3 raciones de la pizza 2, y el tercero se queda con una ración de la pizza 3. 2. Dibuja las tres pizzas y colorea la fracción que ha tomado cada uno. ¿Cómo son las partes coloreadas? 3. Completa: — El primero ha tomado 6 ⋅

1 6 de pizza. = 18 18

— El segundo ha tomado 3 ⋅ …........… = …........… de pizza. — El tercero ha tomado …......… ⋅ …........… = …........… de pizza.

⎫ ⎬ ⎭

Las fracciones 6 , 3 y 1 son 18 9 3 fracciones equivalentes.

Para comprobar que dos fracciones son equivalentes, es suficiente ver que sus productos cruzados coinciden. Así, las fracciones 2 y 10 son equivalentes, pues: 3 15

2 ⋅ 15 = 30 ; 3 ⋅ 10 = 30

4. Utiliza el método anterior para hacer corresponder a cada fracción de la bolsa A, en la figura de la derecha, su equivalente de la bolsa B.

A

1 2 1 7

B

2 4

3 5 5 2

2 3 3 8

2 14

6 16 25 10

6 9 12 20

En la merienda hay también pizzas circulares de diferentes tipos: — 5 pizzas Margarita. — 3 pizzas Cuatro Estaciones.

Para que cada uno de los 30 amigos pueda comer una ración de pizza Margarita, tendrán que dividir cada pizza Margarita en 6 raciones. Cada una de estas raciones será un sexto de pizza. 5. ¿En cuántas raciones tendrán que dividir cada pizza Cuatro Estaciones y en cuántas cada Napolitana para que cada miembro del grupo tenga una ración de cada una de las pizzas? — Dibuja cómo ha quedado dividida cada una de las pizzas.

© grupo edebé



1. Números racionales

— 2 pizzas Napolitana.

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Ficha

 

Refuerzo

2

Operaciones con números racionales

Nombre: ........................................................................................................

Curso: .........................................

Fecha:

........................................

1 1 de una pizza Margarita y de una Cuatro Estaciones. Para averiguar cuánta pizza come, debemos 10 6 1 1 sumar las fracciones y . 6 10 Un niño come

1. Sigue estos pasos para efectuar la suma 1 + 1 . 6 10 — Halla el m.c.m. de los denominadores. Para ello, descomponlos en factores primos y multiplica los factores no comunes y los comunes elevados al mayor exponente. 6 = .............. ⋅ 3 ⎫ ⎬ 10 = 2 ⋅ .............. ⎭

m.c.m. (6, 10) = …......… ⋅ …......… ⋅ …......… = 30

— Busca las fracciones de denominador 30 equivalentes a 1 y a 1 . 10 6 1 .......... 1 .......... = = 10 30 6 30 — Efectúa la suma. 1 1 .......... 3 8 .......... + = + = = 6 10 30 30 30 15 Recuerda que para restar fracciones se sigue el mismo procedimiento. 2. Efectúa las siguientes operaciones mediante el procedimiento anterior. a) 1 + 2 b) 1 + 3

c) 7 − 3 = 12 18 d) 1 + 2 − 1 = 5 3 2

1 = 4 1 2 + = 6 8

Recuerda que, para multiplicar dos fracciones, multiplicamos sus numeradores y sus denominadores entre sí. a b

⋅

䉴 䉴

c d

=

䉴 䉴

En cambio, para dividir, efectuamos los productos cruzados.

a⋅c b⋅d

a b

:

c d

䉴 䉴

=

䉴 䉴

a⋅d b⋅c

3. Aplica las reglas anteriores para efectuar estas operaciones. a) 1 ⋅ 5 = 1 ⋅ .......... = 7 3 .......... ⋅ 3

c) 2 : 5 = 2 ⋅ .......... = 7 3 .......... ⋅ 5

b) 6 ⋅ 9 = 4 5

d) 3 : 7 = 5 2

A veces, al efectuar una multiplicación o división, resulta cómodo simplificar antes de hallar el resultado. 4. Observa cómo efectuamos estas operaciones. 3

2 3 −5 2 ⋅ 3 ⋅ (−5 )−1 1 ⋅ ⋅ = = − 5 4 9 5 ⋅ 4 2 ⋅ 93 6

1. Números racionales

2 8 2 ⋅ 15 3 : = = 5 15 5 ⋅ 84 4

— Aplica el procedimiento de los modelos anteriores para resolver las siguientes operaciones. a) 3 ⋅ 8 ⋅ 5 = 4 7 12

b) 2 : 10 = 7 21

© grupo edebé

⎛ 16 ⎞ 9 = c) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎝ 3 ⎠ 48



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Ficha

 

3

Profundización

Nombre: ........................................................................................................

Curso: .........................................

Fecha:

........................................

1. Completa el siguiente cuadro. de 哬

............

270

............

120

210

1 3

30

............

............

............

............

............

60

............

............

............

............

............

............

135

............

............

............

5 6

............

............

25

............

............

............

............

............

............

............

14

2. Resuelve las siguientes cuestiones, primero mentalmente y después efectuando el cálculo o dibujo correspondiente. a) Un caracol sube por una pared. Durante el día avanza 1 m y por la noche retrocede una cuarta parte de lo que ha avanzado durante el día. ¿Cuánto habrá avanzado al cabo de 5 días y 4 noches? b) Un padre reparte un terreno entre sus tres hijos, de forma que la suma de lo que corresponde a cada uno de los dos hijos pequeños es igual al terreno del mayor. ¿Qué fracción de terreno corresponde a cada uno? c) ¿Qué es mayor: un cuadrado de lado medio metro o la mitad de un metro cuadrado? 3. Señala la respuesta correcta. A. ¿Qué valor debe sumarse a 1 para obtener 4 ? 2 5 1 3 3 a) b) c) 2 10 5 2 B. ¿Por qué valor debemos multiplicar para obtener 2 ? 3 8 3 2 8 a) b) c) 8 3 3 4. Obtén todas las combinaciones posibles tomando un número de cada saco y calcula el resultado de la expresión para cada una.

a

c

b 1

1

2

2

2

3

a+

R

1

3

1

5 6

b c

Observa que para a = 1, b = 2 y c = 1, hacemos:

3

© grupo edebé

1 + 2

1 1+

2 1

=

5 6



1. Números racionales

1 + 2

15

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Ficha



5

Ficha de evaluación de CB

Nombre: ........................................................................................................

Curso: .........................................

Fecha:

........................................

1. Un pintor ha obtenido el color deseado por su cliente mezclando pequeños frascos de 100 g de diferentes colores. La cantidad empleada ha sido la siguiente: — 3 frascos de azul A324. — 1 frasco de magenta Z67. — 2 frascos añil 450M. — 1 frasco de verde-musgo D34.

2 Teniendo en cuenta estos datos: a) ¿Qué porcentaje de pintura azul A324 utiliza en la mezcla? b) ¿Y de pintura verde-musgo D34? c) ¿Cuántos kilogramos de pintura magenta Z67 necesita si tiene que preparar 50 kg de pintura para pintar una vivienda? d) ¿Cuántos botes de pintura de 5 kg de cada tipo necesita para obtener una mezcla de 86 kg? e) Elabora una hoja de cálculo con el ordenador de manera que colocando el número de kilogramos que queremos obtener en la celda A1 obtengamos automáticamente los botes de 5 kg de cada pintura que precisamos. f) ¿Cuál sería la fórmula de la hoja de cálculo que nos da el número de botes de pintura de 5 kg azul A324.

2. Para aumentar el número de usuarios un gimnasio ha hecho reformas en sus instalaciones y además realiza la siguiente oferta: — Mayores de 20 años: 60 % de descuento en el precio de la matrícula y 25 % de descuento en la cuota mensual los 4 primeros meses. — Menores de 20 años: Matrícula gratuita y 40 % de descuento en la cuota mensual los 8 primeros meses. El precio sin descuento de la matrícula es de 30 ∑ y la cuota mensual de 20 ∑ a) ¿Cuánto pagará los primeros 8 meses una persona menor de 20 años? b) ¿Cuánto pagará los primeros 8 meses un adulto mayor de 20 años? c) ¿Cuánto pagará el primer año una familia de 4 miembros, formada por dos mayores de 20 años y dos menores de 20 años? En los primeros tres meses desde que se hizo la ampliación de las instalaciones, cada mes el número de inscritos ha aumentado en un 50%. Antes de realizar la ampliación el gimnasio tenía 200 usuarios, d) ¿Cuántos usuarios hay después del tercer mes de haber realizado la ampliación?

a)

9 4

⎛ 8 5⎞ ⋅⎜ − ⎟ ⎝ 9 6⎠

⎛ 1⎞

3

⎛ 1⎞

b) ⎜ ⎟ ⋅ 35 : ⎜ ⎟ ⎝ 9⎠ ⎝ 3⎠

2

9604 196

c)

d)

4 9

1. Números racionales

3. Efectúa: 2 ⎛ 1 3 ⎞ ⎡⎛ ⎛ 1 2⎞ ⎤ 4⎞ ⋅ ⎜ 2 + ⎟ : ⎢⎜ 1 − ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎥ 3⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎢⎝ ⎝ 9 3⎠ ⎥ ⎣ ⎦

4. Efectúa las siguientes operaciones obteniendo primero la fracción generatriz de cada uno de los números 



a) ( 4, 2 − 1, 86 ) : 3, 3

(



b) 0, 25 ⋅

)

2, 25 − 1, 44 − 0, 08 : 0, 03

© grupo edebé



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UNIDAD 2

 

Refuerzo

Ficha

1

Números irracionales

Nombre: ........................................................................................................

Curso: .........................................

Fecha:

........................................

En una estación de esquí hay 3 pistas. 1. Calcula la distancia que recorre un esquiador si baja por la pista negra. h 2 = (...............)2 + (...............)2 4 km

— ¿Es un número natural la longitud de la pista negra?

2 km

2. Calcula la distancia que recorre un esquiador si baja por la pista roja.

1 km 3 km

— ¿Es un número natural la longitud de la pista roja? Pista negra

— ¿Puedes escribir en forma de fracción dicha longitud?

3 km 2 Pista roja

3 km Pista azul

3. Calcula la distancia que recorre un esquiador si baja por la pista azul. — ¿Es un número natural la longitud de la pista azul? — ¿Puedes escribir en forma de fracción dicha longitud? Como no puedes escribir esta medida en forma de fracción, se trata de un número irracional.

2

= 12 + (.........)

km

( 2)

2 km. Si la base mide 1 km, ¿qué al→

2 = 1 + .........

5. De igual manera, queremos construir una pista con una longitud de mide 2 km, ¿qué altura deberá tener la pista?

( 3)

2

=

( 2)

2

2

4. Queremos construir una pista verde que mida tura deberá tener la pista?

3 km. Si la base

1 km

m

3k

+ (.........)2

3 = 2 + ....... — ¿Cuáles podrían ser la base y la altura de una pista que midiese

2 km

5 km?

— Efectúa el dibujo correspondiente. El proceso que acabamos de ver sirve para representar números irracionales sobre la recta real.

a

b 1 0

1

2

0

1

6. Utiliza el mismo método para marcar sobre la recta los números siguientes:

2

11 ,

13 y

5.

— ¿Cuál de ellos queda más a la izquierda? Recuerda que, dados dos números reales, es menor el que queda más a la izquierda en la representación sobre la recta real. 7. Escribe los números de la actividad 6 ordenados de menor a mayor.

© grupo edebé



2. De los racionales a los reales: los irracionales

Así, para representar 2 cm, dibujamos el triángulo rectángulo de catetos 1 cm como indica la figura a y, con un compás, trasladamos la hipotenusa del triángulo sobre la recta (figura b).

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Ficha

 

Refuerzo

2

Aproximaciones y errores

Nombre: ........................................................................................................

Curso: .........................................

Fecha:

........................................

Nos encontramos a un esquiador y le preguntamos qué distancia ha recorrido. 1. Indica cuál de las tres respuestas te parece más adecuada. a) He recorrido

2 km.

b) He recorrido 1,414 2136 km.

c) He recorrido 1,4 km.

Expresar un resultado con muchas cifras decimales no siempre tiene sentido. 2. Busca el valor de los siguientes números con la calculadora, con cuatro cifras decimales, y anótalo en la segunda columna de la tabla.

Número

Valor calculadora

Truncando

Error

1,4142

1,41

1,4142 − 1,41 = 0,0042

2 3

— En la tercera columna, escribe el número con sólo dos cifras decimales.

5 8

— Calcula la diferencia entre los valores de la segunda columna y la tercera, y anótala en la cuarta columna.

11 12 14

3. Repite la actividad anterior modificando un poco el método:

Número

— Deja la primera cifra decimal igual.

2

— Observa la tercera cifra decimal.

3

Valor calculadora

Redondeando

Error

2,2360

2,24

2,24 − 2,2360 = 0,004

5

• Si la tercera cifra decimal es menor que 5, deja la segunda cifra igual.

8 11

• Si la tercera cifra decimal es mayor o igual que 5, súmale 1 a la segunda cifra decimal.

12 14

4. Observa las tablas anteriores y responde: — ¿En cuál has obtenido los errores menores?

— ¿En qué casos coinciden los errores? 5. Efectúa las siguientes operaciones, sustituyendo los números irracionales que aparecen aproximados por redondeo con tres cifras decimales. c) 2 5 + 17 13 − 15 =

a) 2 + 3 5 − 13 = b)

2 ⋅7+ 3

6. Redondea — ¿Es

2 +

(

)

2 +

2 , 5 =

3 −3 =

5 ,

7 y

7 ? ¿Es

d)

⎛1 ⎞ 3 ⋅ ⎜ − 2 5⎟ = ⎝2 ⎠

10 hasta las milésimas y calcula 5⋅

2 =

2 +

5y

5⋅

2.

10 ?

© grupo edebé



2. De los racionales a los reales: los irracionales

— ¿Qué método te parece mejor, el truncamiento o el redondeo?

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Ficha

 

3

Profundización

Nombre: ........................................................................................................

Curso: .........................................

Fecha:

........................................

1. Los agentes de una central de inteligencia disponen de una clave de seguridad con la que encabezan sus mensajes secretos. La forma de obtener la clave de seguridad es la siguiente. Supongamos que el nombre de pila del agente secreto es Luis. — A cada letra de su nombre le asignamos un número según este código: A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Ñ

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Así, en el caso de nuestro agente: L → 12 — Considera ahora cimales de:

U → 22

I→9

S → 20

2 con aproximación a las millonésimas por truncamiento. Calcula las 3 primeras cifras de12

2

2

22

9

2

20

2

Así: 2 = 1,414 213 12

2 = 16,970 556 → 970

22

2 = 31,112 686 → 112

9

2 = 12,727 917 → 727

20

2 = 28,284 260 → 284

— A cada uno de los números obtenidos se le asigna una letra según el código anterior, de la siguiente forma. 970 → 9 + 7 + 0 = 16 → O 112 → 1 + 1 + 2 = 4 → D 727 → 7 + 2 + 7 = 16 → O 284 → 2 + 8 + 4 = 14 → N De este modo, el nombre en clave de nuestro agente secreto sería ODÓN. a) Calcula tu nombre en clave. b) ¿Cuál sería tu nombre en clave si en vez de utilizar

2 usases

3?

Entre dos números racionales siempre hay un número

Entre dos números irracionales siempre hay un número

........................

........................

Los números racionales

 143 79 = 1,58 y = 1, 58 es90 50

tán muy próximos. Puedes comprobar que el número irracional 2, 5 = 1,58113883... se encuentra entre ambos. Por tanto: 79 50