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• Ray Nikky Damián Grónerth

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Compendio de Ciencias

Raz. Matemático

VII-A

OBJETIVOS • Afianzar al alumno en el estudio teórico - práctico de las series numéricas, reconociendo su estrecha relación con las sucesiones numéricas. • Deducir y aplicar a partir de los ejercicios, reglas prácticas que nos permitan calcular la suma de algunas series importantes.

KARL FRIEDRICH GAUSS (1777 – 1885)

inventor a Palacio.

Llamado el “Principe de las Matemáticas”. Dominó el siglo XIX en matemáticas. Desde niño demostró una poderosa habilidad con los números. A los 3 años de edad corrigió un error que su padre había hecho en el cálculo de los salarios de unos albañiles que trabajan para él. A los 10 años su maestro de escuela que quería paz en la clase, ordenó a todos que sumaran todos los números del 1 al 100. Gauss inmediatamente escribió su resultado en la pizarra: 5 050.

El invento constaba de un tablero de 64 cuadrículas y 16 piezas, el inventor de dicho juego ordenó que se le diese 1 grano por el primer casillero, y por cada casillero siguiente el doble de la cantidad anterior, hasta terminar con los 64 casilleros.

Observación:

El Rey ordenó que se le entregue lo pedido por Lahur Sessa, al cabo de un tiempo los calculistas de palacio comunicaron al rey que tal pedido era imposible.

Analizando:

S=18446744073709551615 granos de trigo Esto es un claro ejemplo de la importancia de las series numéricas. Otro ejemplo histórico de una serie es el siguiente: El Rey de la India, en reconocimiento al ingenioso invento realizado por Lahur Sessa, decidió darle una recompensa, para lo cual mandó llamar al

SISTEMA HELICOIDAL

Para conseguir dicho volumen se afirma que la Tierra convertida de norte a sur en un sembrado con una cosecha por año, tardaría 450 siglos en producir semejante cantidad, y que si por simple pasatiempo, contáramos los granos de trigo del montón a razón de 5 granos por segundo, contando

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día y noche sin parar dedicaríamos a esta tarea 1 170 millones de siglos. SERIE NUMÉRICA Sea

Raz. Matemático

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: término n :

una sucesión numérica,

entonces la expresión : se llama serie numérica. Al resultado se le llama valor de la serie.

Último término o enésimo

Número de términos

Ejemplo: Hallar el valor de la siguiente serie: S = 3 + 8 + 13 + 18 + ... + 503

Ejemplo: Sucesión : 1, 4, 7, 10, 13.

Resolución: .......................................................................... ..........

SERIE ARITMÉTICA Ejemplo: Hallar el valor de la siguiente serie:

.......................................................................... .......... .......................................................................... .......... .......................................................................... ..........

Resolución:

Observación: Si una serie aritmética tiene un número impar de términos entonces existe un único término central

, tal que:

Ordenando: Ejemplo: Hallar la suma de los 15 primeros términos de una serie aritmética cuyo término centrla es 24. En General: En toda serie aritmética

Resolución: .......................................................................... .......... .......................................................................... .......... .......................................................................... .......... .......................................................................... ..........

PRINCIPALES SERIES NOTABLES Además: r : :

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1. Suma de las “n” primeros números naturales:

Razón aritmética Primer término

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n : Números de términos



Ejemplo:



Se tiene 120 canicas para formar un triángulo mediante filas, de modo tal que la primera fila tenga uno, la segunda dos, la tercera tres y así sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá dicho triángulo?



...................................................................... .......



...................................................................... .......



...................................................................... .......

2. Suma de los “n” primeros números pares:

n : Número de términos



Ejemplo:



Hallar el valor de S.

Raz. Matemático

VII-A



...................................................................... .......



...................................................................... .......

4. Suma de los n primeros números cuadrados perfectos.



Ejemplo:



Hallar el valor de la serie



S = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 625



Resolución:



...................................................................... .......



...................................................................... .......



...................................................................... .......



...................................................................... .......



Resolución:



...................................................................... .......



...................................................................... .......



...................................................................... .......





...................................................................... .......



Ejemplo:



Hallar el resultado de sumar:



...



...+



...+ ...+

3. Suma de los N primeros números impares

5. Suma de los n primeros números cubos perfectos.



n : Número de términos



Ejemplo:





Hallar el valor de C.



.



.



+







Resolución:



...................................................................... .......



Resolución:

...................................................................... .......



...................................................................... .......



......................................................................



SISTEMA HELICOIDAL

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VII-A

.......

...................................................................... .......



...................................................................... .......

6. S u m a d e l o s n p r i m e r o s p r o d u c t o s consecutivos: a) De 2 en 2.



Ejemplo:



Si:





Ejemplo:



Calcular :



2 + 6 +12 + 20 + ...+210



Resolución:



...................................................................... .......



...................................................................... .......



...................................................................... .......



...................................................................... .......



Resolución:



...................................................................... .......



...................................................................... .......



...................................................................... .......



...................................................................... .......

7. Suma de Potencias



b) De 3 en 3.

Ejemplo:



Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma por cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe 12282 soles. ¿Cuánto le pagaron por el quinto fósil hallado?







Resolución:



Ejemplo:



...................................................................... .......



Hallar el valor de “S”



...................................................................... .......



Resolución:



...................................................................... .......



...................................................................... .......



...................................................................... .......



...................................................................... .......



...................................................................... .......



......................................................................

a. Suma de términos de una serie geométrica ilimitada.

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q : Razón geométrica

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Compendio de Ciencias .......

1. Hallar el resultado de la siguiente serie en:

S = 2 + 9 + 16 + 23 + ... + 65



Rpta: ........................................................... .

2. Hallar el resultado de la siguiente serie:

S= 3 + 8 + 13 + ...+93



Rpta: ........................................................... .

3. Hallar el resultado de la siguiente serie:

Raz. Matemático

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7. Hallar el valor de E.

E= 54+18+6+2+...



Rpta: ........................................................... .

8. Hallar la suma de todos los términos de una progresión geométrica decreciente en:

Rpta: ........................................................... .

9. Hallar el valor de “M”

M= 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – ... –90



Rpta: ........................................................... .

Rpta: ........................................................... .

10. Si:

4. Hallar el valor de la serie



f(n)=3n+7



Calcular M



M= f(1) + f(2) + f(3) +... +f(40)



Rpta: ........................................................... .

Rpta: ........................................................... .

11. Calcular el valor de la siguiente serie: 5. Hallar el valor de M.



Rpta: ........................................................... .

Rpta: ........................................................... .

12. Calcular el valor de la serie: 6. Hallar el resultado de S.



Rpta: ........................................................... .

Rpta: ........................................................... .

13. Calcular el resultado de la siguiente serie geométrica:

SISTEMA HELICOIDAL

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Rpta: ............................................................

14. Calcular el valor de la serie:

Rpta: ........................................................... .

15. Calcular la suma de los términos en:

Rpta: ........................................................... .

18. Hallar x en:

(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+10) =155



Rpta: ........................................................... .



Rpta: ........................................................... .

19. Calcular el resultado de la siguiente serie:

16. Dado f(n) = 2n–1

Hallar el resultado de S.



S=f(1) + f(2) + f(3) + ... +f(40)



Rpta: ........................................................... .



Rpta: ........................................................... .

17. Calcular la suma de todos los sumandos en la siguiente serie:

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OBJETIVOS • Brindar al lector las pautas teóricas para reconocer y resolver problemas de cronometría. • Dar conocer al lector las diversas técnicas empleadas en la resolución de problemas de cronometría. • Aplicar a situaciones propias de la vida diaria referente a la medición del tiempo.

MEDICIÓN DEL TIEMPO (RELOJES Y CALENDARIOS)

En ésta oportunidad desarrollaremos diversos problemas referidos al reloj tales como tiempo transcurrido y por transcurrir, adelantos y atrasos y finalmente ángulo formado por las agujas del reloj (principalmente horario y minutero). No olvidar que en éste capítulo también haremos uso de lo aprendido en el capítulo de planteo de ecuaciones, además de ciertas observaciones propias del tema para una mejor comprensión del capítulo dividiremos en 3 subtemas principales: – Tiempo transcurrido y por transcurrir – Adelantos y atrasos – Relación entre el ángulo y la hora – Qué indican las manecillas del reloj. I. Tiempo transcurrido y que falta transcurrir

SISTEMA HELICOIDAL

– Considerar sobre qué tiempo de referencia se va a trabajar. Puede ser: .............. entre las 7 y las 9 ............ .............. sobre el día (24 h) ............ .............. sobre el mes (30 d) ............ .............. sobre el año (365 d) ............ .............. etc, etc. – Identificar cor rectamente el tiempo transcurrido y lo que falta transcurrir. – Plantear el problema.

Ejemplo: – Han transcurrido del día 8 h más de las que faltan por transcurrir.





Hora: (x+8) h

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Planteo de ecuaciones

cada 3 horas. ¿Qué hora marcará a las 9:00 pm?



Rpta: 16 h = 4:00 p.m.

II. Adelantos y Atrasos



Se sabe:



8:60 –12 = H.M



Ejemplo:



Hace 15 h que un reloj se atrasa 2 cada hora. Si es exactamente las 15h ¿Qué hora marca?





R

p

t

a

:



H.R= Hora Real

H.M = Hora marcada (ficticia)



Ejemplo:



A las 3:00 am un reloj empieza adelantarse 2'



Rpta:

1. Son mas de las 3:00 pero aun no son las 4:00 si los minutos transcurridos desde las 3:00 es el triple de los minutos que faltan transcurrir para que sean las 4:00. ¿Qué hora es?

triple del tiempo que faltara para acabar el día, dentro de 6:00 horas, ¿Qué hora es?

Rpta: ........................................................... .

2. Faltan para las 8:00 horas la mitad de minutos que pasaron desde las 6 horas. ¿Qué hora marca el reloj?

Rpta: ........................................................... .

3. El quintuple de lo que ha transcurrido desde las 7:00 es equivalente a lo que falta para las 8:00. ¿Qué hora marca el reloj?

Rpta: ........................................................... .

5. Son mas de las 4:00 pero aun no son las 6:00, y hace 10 min, los minutos que habían transcurrido desde las 4:00 eran igual a 1/9 del tiempo que faltaría transcurrir hasta las 6:00 dentro de 10 min. ¿Qué hora es?

Rpta: ........................................................... .

Rpta: ........................................................... .

4. Hace 4 horas faltaba para acabar el día, el

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¿Qué hora es?. 6. Son mas de las 4:00, pero aun no son las 6:00 de la tarde. Si el tiempo que había transcurrido, desde las 4:00 hace 15 minutos es igual a 1/5 del tiempo que faltara transcurrir hasta las 6:00, pero dentro de 15 minutos. ¿Qué hora es en este instante?.

Rpta: ........................................................... .



Rpta: ........................................................... .

13. ¿Qué hora es si en este instante el tiempo que falta para acabar el día excede en 5 horas al tiempo transcurrido?.

Rpta: ........................................................... .

7. Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la hora correcta marca 8:17. ¿Cuál es la hora correcta?

14. El reloj de Antonio desde hace 8:00 horas se esta retrasando 3:00 minutos cada hora. ¿Qué hora es si el reloj de Antonio marca 5:07?.





Rpta: ........................................................... .

Rpta: ........................................................... .

8. Un reloj se adelanta 3 minutos cada 5 horas. ¿Cuánto tiempo debe pasar desde la última vez que marco la hora exacta, para que marque la hora exacta nuevamente?.

15. Pasan las 3 sin ser las 4 de esta alegre tarde si hubiera pasado 25 minutos mas faltarían para las 5:00 horas lo mismo minutos que pasaron desde las 3 hace 15 minutos. ¿Qué hora es?





Rpta: ........................................................... .

9. Un reloj se adelanta 4 minutos cada 3 horas si esto viene sucediendo desde hace 12 horas. ¿Qué hora marcara este reloj si en un reloj perfecto marca 9:20 minutos?.

Rpta: ........................................................... .

10. Un reloj se adelante 2 minutos cada 15 minutos si esto ocurre hace 11 horas y dicho reloj marca en este instante las 5:42. ¿Cuál es la hora correcta?.

Rpta: ........................................................... .

11. El tiempo transcurrido desde las 7:00 horas es el quintuplo de las horas que faltan transcurrir para las 13 horas. ¿Qué hora es?

Rpta: ........................................................... .

16. En este momento son exactamente 5:26 hace 8 horas el reloj de Carlos sufre un desperfecto de modo que cada 20 minutos se adelanta medio minuto. ¿Qué hora marcada las agujas del reloj de Carlos en este momento?

SISTEMA HELICOIDAL

Rpta: ........................................................... .

17. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. ¿A que hora empieza a adelantarse si a las 10:20 minutos de la noche marca 10:32 minutos?

Rpta: ........................................................... .

18. Siendo las 8:00 a.m. hora exacta, se descompone un reloj, de modo que ahora se adelanta 1 minuto cada 10 minutos. ¿Qué hora marcaría las agujas de este reloj cuando en otro reloj de buen estado marque 1:00 p.m.?

12. Lo que faltan para las 22 horas es la 1/4 parte de lo que ha transcurrido desde las 6:00 p.m.

Rpta: ........................................................... .

Rpta: ........................................................... .

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19. Un reloj marca 8:36 y hace 3 horas que se adelanta 5 minutos cada 18 minutos. ¿Cuál es entonces la



hora verdadera?



Rpta: ........................................................... .

A) 3:20 a.m. B) 3:24 a.m. C 3:48a.m.



D) 3:30 a.m. E) 3:50 a.m.

)

20. Un reloj se adelanta 5 minutos cada 8 horas. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el adelanto sea 1 hora?

2. El tiempo que falta para las 10:00 a.m. es la tercera parte del tiempo que ha transcurrido desde las 9:00 a.m. ¿Qué hora es?.





A) 9:15 a.m. B) 9:20 a.m. C) 9 : 2 5 a.m.



D) 9:30 a.m. E) 9:45 a.m.

Rpta: ........................................................... .

3. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas si en este momento son las 9:12 p.m. y ya tiene 18 horas de malogrado; ¿qué hora estará marcando en este momento?. 1. El tiempo transcurrido desde las 3:00a.m. es 1/5 del tiempo que falta para ser las 5:00 a.m.



A) 9:30 p.m. B) 9:40 p.m. C) 9 : 3 2

¿Qué hora es?

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CORTES, ESTACAS Y PASTILLAS A) Cortes y estacas sobre una línea recta o sobre una línea cerrada.



Del gráfico:



!CONCLUSIÓN!









Se deduce que:

!CONCLUSIÓN!

* Para una línea cerrada:





Además:

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¡ OJO! Longitud total o perímetro.



1. Cuántos cortes debe realizar a una soga de 91m. de largo para tener pedazos de 7m. de longitud.

Rpta: ........................................................... .

2. Se tiene un lingote de plata de 78cm de largo, que se desea dividir en trozos de 13cm de largo cada uno. ¿Cuánto nos cobrará el cortador por cada corte sabiendo que recibió un total de S/.45?.

Rpta: ........................................................... .

7. ¿Cuántas estacas se necesitaran para cercar un terreno en forma de cuadrado cuyo lado es 30m. si las estacas se colocan cada 6m?

8. Un terreno rectangular de 90m. x 120m. se desea cercar con una malla fijada en partes de 2m. de altura colocadas cada 1,5m. de distancia. ¿Cuántos postes se necesitarán?.

3. Se debe colocar una cortina en una ventana amplia, para lo cual la cortina debe tener 9m. de largo. Si los ojalillos deben estar separados 10cm. uno de otro. ¿Cuántos de estos se colocará (no se colocará ojalillos en el límite de la tela).

Rpta: ........................................................... .

4. ¿Cuántos arboles pueden colocarse a lo largo de una avenida que tiene 1,5km. de longitud, los árboles se colocarán cada 15m.?

Rpta: ........................................................... .

5. Sobre una larga avenida de 5km. se decidió plantar arboles cada 2 metros y medio. ¿Cuántos arboles son necesarios para llevar a cabo dicho acto?

Rpta: ........................................................... .

6. Se desea separar un terreno que tiene 57m. de longitud de otro terreno y para ello se desea colocar estacas cada 3m. ¿Cuántas estacas serán necesaria?

Rpta: ........................................................... .

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Rpta: ........................................................... .

Rpta: ........................................................... .

9. ¿Cuántas estacas se necesitan para cercar un terreno de forma cuadrada cuya área es igual a si las estacas se colocan cada 5m.?

Rpta: ........................................................... .

10. En todo el perimetro de un terreno rectangular se han colocado 160 estacas separadas entre si de 8m. ¿Cuál es el largo del terreno si el ancho es de 200m?.

Rpta: ........................................................... .

11. ¿Cuántos cortes debemos dar a una soga de 300m. de longitud para obtener retazos de 25m?.

Rpta: ........................................................... .

12. ¿Cuántos cortes debemos dar a un listón de madera de 2m. de largo, si necesitamos pedacitos de 8cm. de longitud?.

Rpta: ........................................................... .

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13. Una varilla de fierro ha sido seleccionada en pedazos de 24cm. de largo; si para esto se hicieron 11 cortes. ¿Cuál fue la longitud inicial de la varilla de fierro?.

Rpta: ........................................................... .

14. Calcular el número de estacas de 8m. de altura que se requiere para plantarlas en una línea recta de 300m. si se sabe que entre estaca y estaca la longitud debe ser de 4m.

Rpta: ........................................................... .

Rpta: ........................................................... .

16. Se desea plantar postes cada 15m. a lo largo de una avenida de 645m. si nos han cobrado S/. 368 por el total de mano de obra. ¿Cuántos nos han cobrado por plantar cada poste, sabiendo que pusieron una al inicio y otro al final de la avenida?.

Rpta: ........................................................... .

17. Se tiene un terreno rectangular cuyo perímetro es 60m. ¿Cuántos postes debería colocarse cada 3m. si uno de estos mide 2m. de longitud?.

15. A lo largo de un pasaje se desea plantar Rpta: ........................................................... arboles cada 6m. de tal modo que aparezca un . arbol en cada extremo del pasaje que además tiene 138m. de longitud. ¿Cuántos arboles se requiere para tal fin?. 18. Un terreno rectangular mide 42m. de largo por 18m. de ancho necesitamos cercarlos con postes cada 6m. Si cada poste mide 2m. ¿Cuántos de estos necesitamos?.



Rpta: ........................................................... .

19. El ancho de un terreno, es de 40m. si en todo el perimetro se han colocado 80 estacas cada 5m. Calcular el largo de dicho terreno.

Rpta: ........................................................... .

20. ¿Cuántas estacas se necesitan para cercar un terreno de forma cuadrada cuya área es igual 2 a 225m si las estacas se colocan cada 3m?

Rpta: ........................................................... .

1. Cuántos cortes debemos darle a un alambre de

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10m si deseamos obtener retazos de: 20cm.

A) 45

B) 47



D) 49

E) 51

C) 24

2. A una varilla de fierro de 294 cm. de longitud si desea cortarlo por pedazos de 14cm. además se sabe que por cada corte nos cobran S/.0.50, ¿Cuánto pagará en total por todos los cortes?.

A) 20

B) 16



D) 8

E) 9

C) 10

3. A un asto de 80cm. de longitud si desea efectuar cartas para obtener pequeños arcos de 5cm. Para ello cuántos cortes se tendrá que efectuar.

A) 15

B) 16



D) 14

E) 12

C) 17

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