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• Alvaro Jose Herazo Vega

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UNIVERSIDAD POLITECNICA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”   INGENIERIA EN PROCESOS QUÍMICOS  P.N.F. TRAYECTO I  CÁTEDRA: MATEMÁTICA 

 

RAZONES AFINES  GUÍA PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS   1.)  Leer  cuidadosamente  el  problema  varias  veces  y  pensar  en  los  datos  y  en  las  cantidades que se desea calcular.  2.)  Hacer  un  croquis  o  esquema  apropiado  y  dar  nombre  a  las  variables  y  a  las  cantidades desconocidas.  3.)  Escribir  los  hechos  conocidos  expresando  la  rapidez  de  variación  dadas  y  las  desconocidas como  derivadas de las variables.  4.) Encontrar una ecuación general que relaciones las variables.  5.) Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obtener  una relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo.  6.) Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio  desconocida.  EJERCICIOS:  1) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 120 m/s.  Su  altura  sobre  el  suelo  t  segundo  después  está  por    4,9 120 .  Calcular  el  tiempo en el que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad en ese momento.  ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil?   En el nivel del suelo S(t) = 0          s (t ) = −4, 9t 2 + 1 ⇒ 20t ⇒

 

ds dt

= v (t ) = − 9,8 t + 120 ⇒

ds dt

= 0 ⇒ tmáx = 12, 24 seg

⇒ t = 2tmáx = 24, 5segv (t ) = − 120m / S ⇒ v (25) = −120 = 120 ( m ) ⇒ v seg

 

h ⇒ S (12, 24) = − 4, 9 (12, 24) 2 + 120 (12, 24) → S (12, 24) = 734, 7 m máx 1    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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2)  La  corriente  (Ι),  en  un  circuito  eléctrico  está  dada  por  I =

100 ,  donde  (R)  es  la  R

resistencia.  Calcular  la  tasa  de  cambio  o  variación  de  Ι    con  respecto  a  R  cuando  la  resistencia es de 20.  Ι = 100 R − 1 →

dI dΙ dΙ 100 100 1 = − 2 ⇒ R = 20 ⇒ = − ⇒ = −   dR dR dR 400 4 R

  3) Una escalera de 20 pie de largo está apoyada contra la pared de un edificio, la base de  la  escalera  se  desliza  horizontalmente  a  razón  de  2  pies/s.  ¿Con  qué  rapidez  resbala  el  otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 pie del suelo?             

dx = 2 pies / S → V ′(t ) dt dy → cambio de la altura del extremo sup erior Y = 12 pie dt dx dy dy dx dy dx 2 2 400 2 2 0 2 2 x + y = ⇒ y + y = → y = − x ⇒ = −     dt dt dt dt dt dt                                              x 2 = 400 − y 2 ⇒ x 2 = 400 − 144 → x = 16 → Pto (16,12) 16 8 pie dy dy (2) → =− = − seg 12 3 dt dt 4.) Suponga que el pulso de un individuo (en latidos/minutos) Q los t segundo de haber  comenzado  a  correr  está  dado  por  p(t)  =  56  +  2t2  ‐  t  para  0  ≤  t  ≥  7.  Calcular  la  tasa  de  variación o cambio de p(t) con respecto a t en (a) t = 2 ; (b) t =4 

dp ( t ) dp ( 2 ) = 4t − 1 → =7 dt dt

dp ( 4 ) = 15 dt

  2 

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5)  La  resistencia  eléctrica  R  de  un  alambre  de  cobre  de  longitud  constante  es  inversamente  proporcional  al  cuadrado  de  su  diámetro  d.  ¿Cuál  es  la  tasa  de  cambio  o  variación de R con respecto a D?  dR dR −2L −2L = → = 3 3 dD dD D D D D o n d e L = C o n s ta n te d e p r o p o r c io n a lid a d  

R =

L

2

→

  6) Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio r  del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 . Cuando el radio es de 4  pies, ¿A qué ritmo está cambiando el área A de la región circular perturbada?  dr A = π r 2 ( á r e a d e u n c ír c u lo ); = 1 speieg dt   dA dA dA ⎛ dr ⎞ p ie p ie 2 = 2π r ⎜ = 2 π ( 4 p ie )1( s e g ) ⇒ = 8π ( seg ) ⎟⇒ dt dt dt ⎝ dt ⎠   7) ¿En que punto  de la  palabra y2 = 18 x la ordenada  crece dos veces más de prisa que la  abscisa? ⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞ y 2 = 18 x; sabem os que : ⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟ ⇒ d e r iv a n d o : ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎡ ⎛ dx ⎞⎤ ⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞ 2y⎜ ⎟ = 18 ⎜ ⎟ ⇒ 2 y ⎢2 ⎜ ⎟⎥ = 18 ⎜ ⎟ ⇒ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎣ ⎝ dt ⎠⎦ ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞ 4y⎜ ⎟ − 18 ⎜ ⎟ = 0 ⇒ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 2

[4 y

⎛ dx ⎞ − 18]= 0 ⇒ ⎜ ⎟ = 0; ⎝ dt ⎠

9 9 ⎛ 9 ⎞ 4 y − 18 = 0 ⇒ y = ⇒ ⇒ ⎜ ⎟ = 18 x ⇒ x = 2 8 ⎝ 2 ⎠

⎛ 9 9 ⎞ P to . ⎜ , ⎟ ⎝ 8 2 ⎠

    8)  Sean  dos  resistencias  R1 y R 2 conectadas  en  paralelo.  La  resistencia  equivalente  R  Ω 1 1 1 ,  Si  R1 y R 2   aumentan  a  razón  de  0.01  y  0.02    cumple:  = + seg R R1 R 2 respectivamente, calcula la razón de cambio de R cuando R1 = 30Ω y R2 = 90Ω.    1 1 1 R (t) . R2 (t )   = + ⇒ R (t ) = 1 R R1 R2 R1 (t ) + R2 (t ) 3    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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⎛ ⎛ dR1 ⎞ ⎛ ⎛ dR1 ⎞ ⎛ dR2 ⎞ ⎞ ⎛ dR2 ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ R2 + R1 ⎜ ⎟ ⎟ ( R1 + R2 ) − ( R1 R2 ) ⎜ ⎜ ⎟+⎜ ⎟⎟ ⎜ dR ⎝ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎠ ⎝ = 2 dt ( R1 + R2 ) ⎛ dR ⎞ ⎛ dR ⎞ R ⎜ 2 ⎟ + R22 ⎜ 1 ⎟ −2 −2 dR ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⇒ dR = (900)(2.10 )+ (8100)(10 ) ≅ (68, 75)10−4 = 2 dt (120) 2 dt ( R1 + R2 )

 

2 1

Ω seg

9) Demuestre que la tasa de variación del volumen de una esfera con respecto al radio es  igual al área de la superficie. 

V = 43 π r 3 (volumen de la esfera) →

dv 4 dr dv = 3 (3π r 2 )( ) → = 4π r 2 (área dela esfera) dr dr dr

 

10)  Se  bombea  aire  en  el  interior  de  un  globo  a  razón  de  4,5

,    calcular  el  ritmo  de 

cambio del radio del globo cuando el radio es de 2 pulgadas. 

V = 43 π r 3 ; (

dv dv 4 dr dv dr dr 1 l3 = 4.5 pu = 3 (3π r 2 )( ) ⇒ = 4π r 2 ( ) ⇒ ( ) = min ⇒ dr dr dr dr dr dr 4π r 2

dr 1 ⎛9⎞ )= ⎟ 2 ⎜ dr 4π (2 pul ) ⎝ 2 ⎠

⎛ dv ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dr ⎠

( ) ⇒ ( drdr ) = 329π ( ) pu l3 min

pu l min

11) Dos lados paralelos de un rectángulo están aumentando de longitud a razón de 

 , 

mientras los otros dos lados están disminuyendo de tal manera que la figura sigue siendo  . ¿Cuál  es la razón  de cambio del perímetro  un rectángulo de área constante  P cuando la longitud de un lado creciente es de 5 pulgadas? ¿Cuáles son las dimensiones  cuando el perímetro cesa de decrecer? 

x : (longitud de los lados que crecen); y : (longitud de losotroslados ) P : ( perímetrodel rectágulo)P = 2( x + y) ⇒

dP ⎛ dx dy ⎞ = 2 ⎜ + ⎟ ; A : (área del rectágulo) A = xy ⇒ 50 = xy dt ⎝ dt dt ⎠

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⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞ si x = 5, ⇒ 50 = xy ⇒ y = 10 ⇒ 0 = (10)(2) + 5 ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = −4 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ dP dP ⎛ dx dy ⎞ dP = 2⎜ + ⎟ ⇒ = 2 ( 2 − 4) ⇒ = −4( puseglg ) dt dt dt ⎝ dt dt ⎠ dP dx dy P deja de crecer cuando =0⇒ =− = −2 dt dt dt dy ⎞ ⎛ dx 0 = ⎜ y + x ⎟ ⇒ 0 = ( y (2) + x(−2) ) ⇒ x = y = 5 2 pu lg dt ⎠ ⎝ dt

12) Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto de 12 pie de alto y 6 pie de  radio en la base. Si se suministra agua al tanque a razón de 10 galones por minuto (gal /  min). ¿Cuál será la rapidez de cambio del nivel de agua cuando la profundidad es de 3 pie  (gal ≈  0.1337 pie3)?            Identificamos las variables:    dv dy gal = 10 min ; =? dt dt

y = 3 pie

1 1 π r 2h; donde : r = x ; h = y ⇒ V = π r 2 y 3 3 x y 6 6y por relación de triángulos : = → x = → x = y 12 12 2

volumen del cono :V =

V =

dv 1 y π 3 π 2 ⎛ dy ⎞ y ⇒V = y ⇒ 3y ⎜ π = ⎟ dt 3 4 12 12 ⎝ dt ⎠

 

2

dv π y 2 dy dy dy 4( dv / dt ) 4(1, 337 pie 3 / min) dy pie → = 0,189 min = → = ⇒ = 2 2 4 dt dt (3.14) (3 pie ) dt dt dt πy

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  13) A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m. de radio y 16 m. de altura entra agua a una razón de 50 . ¿A qué rapidez está subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 m de altura? ¿A qué rapidez está cambiando el radio en ese mismo instante?

V : volumen ( en cm 3) de agua en t ( seg .). x : radio ( en cm.) de la sec ción del cono al nivel del líquido en el ins tan te t . dv 3 = 50 cm y : altura del agua ( en cm.) en t (seg); seg dt 1 1 V = π r 2 h; donde : r = x ; h = y ⇒ V = π r 2 y 3 3 16 y y = → y = 4x → x = por relación de triángulos : 4 4 x

π y3 dv π 3 y 2 ⎛ dy ⎞ dv π y 2 ⎛ dy ⎞ 1 1 ⎛ y⎞ 2 ⇒ = = V = π x y ⇒V = π ⎜ ⎟ y⇒V = ⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟ dt dt 3 3 ⎝4⎠ 48 48 ⎝ dt ⎠ 16 ⎝ dt ⎠ ⎛ dv ⎞ 16 ⎜ 3 ⎟ 16(50 cm 1 dy dy dy dt min ) cm ( seg ) = ⎝ 2 ⎠ =⇒ = → = 2 π (400 cm ) dt dt dt 200π πy 2

1 1 4π x 3 2 2 Parte (b ) : V = π x y ⇒ V = π x (4 x ) ⇒ V = 3 3 3 dv 3 (50 cm 4π 3 x 2 ⎛ dx ⎞ dv dv dx dx ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ dx ⎞ 2 ⎛ dt min ) = = 4π x ⎜ ⇒⎜ ⎜ ⎟⇒ ⎟⇒⎜ ⎟= ⎟= 2 2 3 ⎝ dt ⎠ dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 4π x ⎝ dt ⎠ 4π (100 cm ) (50 cm dx 1 ⎛ dx ⎞ min ) cm = ⇒ = ( seg ) ⎜ ⎟ 2 dt 800π ⎝ dt ⎠ 4π (100 cm ) 3

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14) Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura H está  siendo llenada con líquido con un gasto constante Q = 0.5 m3 por minuto. A medida que se  produce el llenado el nivel del líquido en la tolva sube. Si R = 2 m y H = 3m. Calcula esa  rapidez, e indica el valor de la velocidad cuando la altura del líquido en la tolva es de 1,5  m.  ¿Qué  condición  crees  que  debería  cumplir  el  recipiente  para  que  el  nivel  subiera  a  velocidad constante? Justifica mediante cálculo en el caso que el recipiente sea un cilindro  recto circular. 

 

 

 

R r R .h π R2 3 ⇒V = por relación de triángulos : = ⇒ r = h H h H 3 H2 dV π R 2 dV π R 2 h 2 ⎛ dh ⎞ dV dh Q . H2 2 ⎛ dh ⎞ = ⇒ = = ⇒ = (3 h ) ; pero Q ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dt 3H 2 dt H 2 ⎝ dt ⎠ dt dt π . R 2 . h2 ⎝ dt ⎠ 3

m (0.5 min )(3m) 2 dh m dh cm = ≅ 0.16 ⇒ = 16 min 2 2 dt π (2m) (1.5m) min dt b) El razonamiento hecho en la parte a ) del ejercicio nos conduce a afirmar que el recipiente deberia tener sec cion horizontal cons tan te. En el caso de cilindro circular tendremos :

V = π R2h

con R cons

 

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Derivando respecto de (t ) : dh Q = v= dt π R 2

dV ⎛ dh ⎞ = π R2 ⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠

 

→ v cont.

15)  Un  depósito  de  agua  tiene  la  forma  de  un  cono  circular  recto  con  su  vértice  hacia 

abajo, su altura es de 10m y el radio de la tapa es de 15m, el agua sale por el vértice con  , calcular λ en  una rapidez constante de 1 , se vierte agua en el depósito a razón de  el momento en que el nivel del agua alcáncela altura de 8m. 

v = 13 π r 2 h (volunen de cono );

dv =λ dt

m3 seg

dv = λ dt ⇒ ∫ dv = ∫ λ dt ⇒ v (t ) =λ t + K → λ t + K = 13 π r 2 h r 15 = → r = 32 h h 10 dt dh dh λ t + K = 13 π ( 23 h ) 2 h ⇒ λ t + K = 43 π h 3 ⇒ λ ( ) = 94 π h 2 ( ) ⇒ λ = 94 π h 2 ( ) dt dt dt dv dv 9 2 dh dv dh como =λ⇒ = 4 π h ( ) además = 1 ⇒ 1 = 94 π h 2 ( ) dt dt dt dt dt dh dh dh 4 4 1 m ( )= ⇒( )= ⇒( )= 2 2 dt dt dt 9π h 9π (8) 72π seg por relación de triágulos :

⎛ 1 ⎞ m m3 ⎟ seg ⇒ λ = 2 seg ⎝ 72π ⎠

λ = 94 π (8m ) 2 ⎜

16) Un vaso de papel en forma de cono se llena con agua a razón de  3 cm 3 / seg.  La altura  del vaso es de 10 cm y el radio de la base es 5 centímetros. ¿Qué tan rápido sube el nivel  del agua cuando el nivel es 4 cm? 

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Volumen del cono : V =

π r 2 h ⎛ dv ⎞

3 ⎛ dh ⎞ ; ⎜ ⎟ = 3 cm ⎟= ? seg ; ⎜ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

3 2

⎛h⎞ π⎜ ⎟ h r h h π h3 ⎛ dv ⎞ ⎛ π 3 h 2 ⎞⎛ dh ⎞ ⎛ dv ⎞ π h 2 ⎛ dh ⎞   2 = ⇒ r = ⇒ v= ⎝ ⎠ ⇒ v = ⇒ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 5 10 2 3 12 ⎝ dt ⎠ ⎝ 12 ⎠⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 4 ⎝ dt ⎠

(

)

4 3 seg 3 cm3 ⎛ dh ⎞ 4 ( dv dt ) ⎛ dh ⎞ ⎛ dh ⎞ = ⇒ = ⇒⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ seg 2 πh π 16 m ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 4π   17) El radio de la base de un cono aumenta a razón de 3 , y la altura disminuye a razón  cm3

de  4 ,  determine  la  rapidez  con  que  varía  el  área  total  del  cono,  cuando  el  radio  mide  7cm y la altura 24cm.  a = π r ( r + h) da dr ⎡ dr dh ⎤ = 2π r ( ) + ⎢π ( ) h + π r ( ) ⎥ dt dt ⎣ dt dt ⎦ da da = 2π (7cm)3 cmh + π ⎡⎣(3 cmh )(24cm) + (7cm)(4 cmh ) ⎤⎦ → = 142π dt dt

a (t ) = π r 2 (t ) + π r (t ) h(t ) →

( cm ) 2 h

18) El radio de la base de cierto cono circular recto aumenta a razón de  , y la altura    disminuye a razón de 4 , Calcular cómo varía el área total del cono cuando el radio es de  7 cm y la altura es de 24cm. 

dr 1 cm dh cm = = 4( seg ( seg ); ) dt 20 dt dr dh ⎤ ⎡ π r ⎢ 2r ( ) + 2h( ) ⎥ da dr dt dt ⎦ ⎣ = π ( ) r 2 + h2 + dt dt 2 r 2 + h2

a = π r r 2 + h2 ;

1 da = π ( ) r 2 + h2 + 20 dt

⎡ ⎣

π r ⎢ 2r (

1 da = π ( ) (7) 2 + (24) 2 + 20 dt

1 ⎤ ) + 2 h (4) ⎥ 20 ⎦

2 r +h 2

2

; pero r = 7 cm; h = 24 cm

⎡ 1 ⎤ ) + 2(24)(4) ⎥ ⎣ 10 ⎦ ⇒ da = 28.228π ( cm ) seg dt 2 (7) 2 + (24) 2

π (7) ⎢ 7(

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19) Un tanque cónico de 12pie de altura y 8 pie de diámetro en la tapa, se llena con agua a  una  razón  constante.  Al  encontrar  el  nivel  a  media  altura,  la  razón  de  cambio  de  esta  altura es de   . Determine cuánto tardará en llenar el tanque. 

v = 13 π r 2 h(volunen de cono);

dv =k dt

m3 seg

dv = kdt ⇒ ∫ dv = ∫ kdt ⇒ v(t ) =kt + c

si t = 0 → v = 0 → c = 0 → kt = 13 π r 2 h

r 4 = → r = h3 h 12 dt dh dh kt = 13 π ( h3 ) 2 h ⇒ kt = 271 π h3 ⇒ k ( ) = 273 π h 2 ( ) ⇒ k = 91 π h 2 ( ) dt dt dt

 

por relación de triágulos :

pie cuando el nivel del agua está a media altura h = 6 ⇒ k = 19 π (6) 2 (1) min → k = 4π

⇒ v = 4π t de : v = 13 π r 2 h y si está lleno ⇒ v = 13 π (4) 2 (12) ⇒ v = 64π

 

Igualamos 4π t = 64π ⇒ t = 16 min   20)  La  caja  de  un  camión  transportador  de  granos  está  siendo  llenada  con  el  grano  proveniente  de  un  silo  a  razón  de  0.5

m3 .  El  grano  forma  un  cono  circular  recto  cuya  min.

4 del  radio  de  la  base.    Determine:  a)  ¿A  qué  rapidez  5 está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.50 m? b) ¿Cuál es el radio de la  base del cono en ese momento y a qué velocidad está variando? 

altura  es  constantemente  igual  a 

                 

  

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dh =?(rapidez con que está subiendo el vértice, cuando h = 1.5 m ) dt 5R 4h 16π h 3 16π h 2 ⎛ dh ⎞ π R2h dV ⇒R= ⇒ V (t ) = ⇒ = ; Como h = V = ⎜ ⎟ 3 4 5 75 25 ⎝ dt ⎠ dt 25 dV dh m3 m = ≅ 0.44 min = 0.5 min ; h = 1.5 m ⇒ si : (8)(2, 25)π dt dt a)

  dR 4 ⎛ dh ⎞ dR 4 m . 0, 44 ≅ 0, 35 min = ⎜ ⎟⇒ = dt 5 ⎝ dt ⎠ dt 5 4(1, 5) El valor del radio es : R = = 1, 20 m 5

b) Si R =

4h ⇒ 5

21) Un camión descarga arena formándose un montículo que tiene la forma de cono recto  circular. La altura h va variando manteniéndose constantemente igual al radio r de la base.   Cuando la altura es de 1m, ella está aumentando a razón de 25 

cm . ¿Con qué rapidez  m in u to

está cambiando en ese instante el volumen V de arena? 

                           

        

V = π r 2 h; Como r = h ⇒ V = π r 3 ∀ t ≥ 0 dV dV dh ⎛ dh ⎞ cm m = ? h =1 m ⇒ = 3π h 2 ⎜ ⎟ ; si h = 1m, = 25 min = 0.25 min   dt dt dt ⎝ dt ⎠ dV 2 m3 = 3π (1) (0.25) = 0.75π min dt  

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22)  En  la  expansión  adiabática  del  aire  rige  la  ecuación    Ρ.  V1.4    =  K  (Constante).  En  un  instante   determinado la  presión es de 50 ,  y  el  volumen  de  32 cm3  y  el     volumen  decrece   a razón de 4

 ¿Con qué rapidez varía la presión en ese instante? 

dv dp 3 kg = − 4 cm =? seg ( decrece ); p = 50 m 2 ; dt dt p v1.4 = k Aplicando Ln ⇒ Ln p v1.4 = Lnk ⇒ Lnp + 1.4 Lnv = Ln k Ln k = c ⇒ Ln p + 1.4 Ln v = c ⎛ dp ⎞ ⎛ dv ⎞ ⎛ dv ⎞ ( − 1.4) p ⎜ ⎟ + 1.4 ⎜ ⎟ p v⎜ ⎟ 1 ⎛ dp ⎞ 1.4 ⎛ dv ⎞ dp ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ =⎜ = 0⇒ = ⎟+ ⎜ ⎟=0 ⇒ p ⎝ dt ⎠ v ⎝ dt ⎠ pv dt v kg dp dp ( − 1.4)(50 m 2 )( − 4 cm seg ) ⇒ = 8, 75 = 3 32 c m dt dt 3

kg cm 2 seg

 

  23) La Ley de Boyle de los gases asevera que PV = C donde P es la presión, V el volumen y  C una constante. En cierto momento el volumen es 75 pulg3, la presión es de 30 Lb/pulg2 y  ésta disminuye a razón de 2Lb/pulg2 por min. ¿Cuál es la rapidez de cambio del volumen  en ese momento?   v ⎛ dp ⎞ ⎛ dp ⎞ ⎛ dv ⎞ ⎛ dv ⎞ pv = c ⇒ ⎜ ⎟v + p⎜ ⎟ = 0⇒ ⎜ ⎟ =− ⎜ ⎟ p ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠   3 7 5 p u lg ⎛ ⎞ −2 Lbs ⎛ dv ⎞ ⎛ dv ⎞ 3 ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎜ ⎟= ⎟ = 5 p u lg m in 2 3 0 p ulblg 2 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ p u lg m in . ⎠

(

)

24) ¿Durante cuántos segundos se debe estar apartado de la trayectoria de una araña que  cae de un techo de 400 pies de altura de acuerdo a la ecuación de movimiento      S = 16  t2?  ¿Cuál  será  la  rapidez  de  la  araña  en  el  momento  de  alcanzar  a  uno  que  no  se  haya  apartado?  400 = t 16 ⎛ ds ⎞ ⎛ ds ⎞ ⎛ ds b) ⎜ ⎟ = 32 t ⇒ ⎜ ⎟ = (3 2 )(5) ⇒ ⎜ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt a ) s = 1 6t 2 ⇒ 400 = 16t 2 ⇒

⇒ t = 5 seg ⎞ ⎟ = 160 ⎠

  p ie seg

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25) Un   conejo  corriendo  en  la  maleza  se  mueve  siguiendo la trayectoria de la curva  . En cierto punto se encuentra con un perro cazador y se desvía siguiendo  la trayectoria de la tangente a la curva en punto donde se produjo el encuentro. Hallar en  que punto se encontraron sabiendo que el conejo ha de pasar en su escape por el punto    (‐3, ‐8).    dy = 3 x 2 − 1 = m tg ⇒ y − y 1 = m tg ( x − x1 ) ⇒ y + 8 = (3 x 2 − 1)( x + 3) dx y + 8 = 3x3 + 9 x 2 − x − 3 ⇒ 3x3 + 9 x 2 − x − 11 = y x3 − x = 3 x3 + 9 x 2 − x − 11 ⇒ 2 x3 + 9 x 2 − 11 = 0 fa cto riza n d o : x1 = 1; x 2 = − 1, 3 1 5; x 3 = − 4,1 8 5

 

su st : x1 = 1, en la fu n ció n ⇒ p (1, 0 )

10 de  tal  modo  que  su  abscisa  “x”  x aumenta uniformemente con la velocidad de una unidad por segundo. ¿Con qué rapidez  variará su ordenada cuando el punto pase por la posición (5,2)?  26)  Un  punto  se  mueve  sobre  la  hipérbola      y =

10 − 10 ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞ u ⇒⎜ ⎟ = ⎟ ; Pero ⎜ ⎟ = 1 seg ; x = 5 2 ⎜ x dt x dt dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   − 10 u 2 u ⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞ ⇒⎜ ⎜ ⎟ = ⎟ = − seg 2 seg 5 (5) ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

y=

27) Un punto se mueve sobre la curva de ecuación  ( x − 3) + ( y + 1) = 4  de tal modo que  su abscisa  aumenta con la velocidad de 2 unidades por seg. Determine la rapidez varía la  2

2

ordenada 

⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟=2 ⎝ dt ⎠

cuando  u s

el 

⎛ dy ⎞ ; ⎜ ⎟= ? ⎝ dt ⎠

punto 

pase 

(

3 −1

P to . 2 ,

por 

)

la 

posición 

( 2,

3 − 1)

; ( x − 3 ) 2 + ( y + 1) 2 = 4  

⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ 2( x − 3) ⎜ ⎟ + ( y + 1) ⎜ ⎟ = 0 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎛ dx ⎞   − ( x − 3) ⎜ ⎟ u (2 3) (2 ) − − dy dy 1 − ⎞u ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎝ dt ⎠ = s ⇒⎜ ⎜ ⎟ = ⎟ = ⎜ ⎟s ( y + 1) ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 −1+1

(

)

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28)  En  que  punto  de  la  parábola  y2  =  18  x  el  crecimiento  de  la  ordenada  es  1/3  del  crecimiento de la abscisa.  ⎛ dy ⎞ y 2 = 18 x ⇒ 2 y ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ 1 ⎛ dx ⎞ ⎛ dx (2 y ) ⎜ ⎟ = 18 ⎜ 3 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt

⎛ dx = 18 ⎜ ⎝ dt ⎞ ⎛ 2y ⎟⇒ ⎜ ⎠ ⎝ 3

⎞ ⎟; ⎠

1 ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ pero :⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 3 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 2y ⎞ ⎛ dx ⎞ − 18 ⎟ ⎜ − 18 = 0 ⇒ y = 27   ⎟ = 0 ⇒ 3 ⎠ ⎝ dt ⎠

2

27 = x ⇒ x = 40, 5 18

P to ( 4 0 .5 , 2 7 )

  29)  El  aire  escapa  de  un  globo  esférico  a  razón  de  3  pulg3/min.  Cuando  el  radio  es  5  pulgadas. ¿Qué tal rápido es el decremento del radio?  4π r 3 ⎛ dr ⎞ (V d e la esfera ) ⎜ ⎟ = ? 3 ⎝ dt ⎠ ⎛ dv ⎞ 2 ⎜ ⎟ 4 (3π r ) ⎛ d r ⎞ dt ⎠ ⎛ dv ⎞ ⎛ dv ⎞ ⎛ dr ⎞ ⎝ 2 ⎛ dr ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟ = 4π r ⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟ = 3 4π r2 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

⎛ dv ⎞ ⎜ ⎟ =−3 ⎝ dt ⎠

p u lg 3 m in

; r = 5 p u lg ; v =

− 3 pmu inlg ⎛ dr ⎞ = ⎜ ⎟ 2 ⎝ dt ⎠ 4 (π )( 5 p u lg ) 3

⇒

3 ⎛ dr ⎞ ⎜ ⎟ =− 100 π ⎝ dt ⎠

(

p u lg m in

 

)

  30) Se libera gas de una globo esférico a razón de8

. Determine la rapidez con que varía 

la  superficie  del  globo  en  el  instante  en  que  el  radio  mide  2m.  4 dv cm 2 v = π r 3 (volumen del globo) y =8 3 dt seg dv 4 dr dr dr 2 = π (3r 2 ) → 8 = 4π ( r 2 ) → = → Como r = 200cm dt 3 dt dt dt π (r 2 ) cm 2 seg dr dr 1 cm   = → = 2 dt π (200cm) dt 200π seg ds dr = 4π (2r ) si s = 4π r 2 ( área del globo) → sustituimos los valores dt dt 1 cm ds cm 2 ds ) → =8 = 8π (200cm)( 200π seg dt seg dt 14    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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31)  Un  atleta  en  los  100m  planos  recorre  esa  distancia  según  la  siguiente  relación  8 , determinar la rapidez del corredor: a) cuando sale, b) a los 5seg,     c) al  cruzar la meta.  t2 ds 2t s (t ) = + 8t → = +8 5 dt 5 ds m =8 a )Cuando sale t = 0 → dt seg ds m = 10 b)Cuando t = 5 → dt seg t2 + 8t → t 2 + 40t − 500 = 0 → t1 = 10; t2 = −50 5 dr 2(10) m ds m = + 8( = 12 )→ dt 5 seg dt seg

c)Cuando s (t ) = 100 → 100 =

  32) La ecuación de un movimiento rectilíneo está dada por  , donde  K, α y w son constantes, K, w≠ 0;   , . Determine la posición del móvil y su rapidez,  en el instante en que la aceleración es cero. 

⎛ ds ⎞ s(t ) = Ksen(α + wt )( posición del movil ) ⇒ ⎜ ⎟ = Kw cos(α + wt ) (velocidad del movil ) ⎝ dt ⎠ ⎛ d 2s ⎞ 2 ⎜ 2 ⎟ = − Kw sen(α + wt ) (aceleración del movil ) ⎝ dt ⎠ ⎛ d 2s ⎞ 2 ⎜ 2 ⎟ = 0 → − Kw sen(α + wt ) = 0 → como k , w ≠ 0 → sen(α + wt ) = 0 ⎝ dt ⎠ α π −α (α + wt ) = arcsen(0) → α + wt = 0 ∨ α + wt = π → t = − ∨ t = ⇒ w w α ⎛ ds ⎞ ⎛ α⎞ s(− ) = Ksen(α + w ⎜ − ⎟) = 0 ⎜ ⎟ = Kw cos(0) = Kw, w ⎝ dt ⎠ ⎝ w⎠ π −α ⎛ ds ⎞ ⎛ π −α ⎞ s( ) = Ksen(α + w ⎜ ⎜ ⎟ = Kw cos(π ) = − Kw, ⎟) = 0 w ⎝ dt ⎠ ⎝ w ⎠     15    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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33)  Considere  el  circuito  de  la  figura  donde  un  condensador  cargado  de  capacidad  C  (Faradios)  y  tensión  inicial  de  V  (voltios)  entre  sus  placas,  se  descarga  sobre  una  resistencia  R  (Ω).  Al  cerrar  la  llave  S  comienza  a  circular  una  corriente  de  intensidad  I  dada por la expresión:  I(t) =

t

V −τ e , (τ= RC cte. de tiempo), Calcula la rapidez de variación de I en t = 0 y t = τ  R

 

v −τ t dI v ( −τt ) =− e ⇒ La rapidez está dada por e R dt Rτ dI v amp dI v −1 En t = 0 : ( 0 ) = − En t = τ : (τ ) = − e seg ; dt Rτ dt Rτ I (t ) =

( )

( )

 

amp seg

34)  Una  mancha  con  forma  de  cilindro  recto circular  se  ha  formado  al  derramarse  en el  mar 100 m3 de petróleo. Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando  ese radio es de 50m si el espesor disminuye a razón de10   en el instante en que R = 50  m. 

dV ⎛ ⎛ dR ⎞ 2 ⎛ dh ⎞ ⎞ = π ⎜ 2R ⎜ ⎟h + R ⎜ ⎟⎟ dt ⎝ dt ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ dt ⎠ dV dR − R ⎛ dh ⎞ ⎛ dR ⎞ 2 ⎛ dh ⎞ Como V es cons. ⇒ = 0 ⇒ 2R ⎜ = ⎟h + R ⎜ ⎟ = 0 ⇒ ⎜ ⎟ dt dt 2h ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ V 100 0.04 V = π R2h ⇒ h = m ⇒ Como : V = 100m3 , R = 50 m ⇒ h = = 2 2 πR π (50) π dh dR −50π = −10−2 mh ⇒ = −10−2 ) = 6.25 π ( mh ) 20 ( mh ) ( dt dt 2 ( 0.04 ) V = π R 2 h; ∀ t ≥ 0

⇒

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35) Se llena un tanque cilíndrico de 10 pies de radio con trigo a razón de 314 pies3/min.  ¿Qué tan rápido se incrementa la profundidad del trigo? 

⎛ dv ⎞ ⎛ dh ⎞ pie 3 314 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=? min ; ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎛ dv ⎞ pie 3 ⎜ ⎟ ⎛ dv ⎞ ⎛ dh ⎞ ⎝ dt ⎠ ⎛ dh ⎞ (314 min ) ⎛ dh ⎞ pie 2 ⎛ dh ⎞ ⇒⎜ ⇒⎜ ⎜ ⎟ =π r ⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟= ⎟= ⎟ ≅ 1 min 2 2 πr ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ π 100 pie ⎝ dt ⎠ V = π r 2 h;

r = 10 pie;

36) El radio y la altura de un cilindro circular recto están en la proporción 2: 3. Si la altura  aumenta a razón de 2  , ¿Cómo debe variar el radio para que el volumen se mantenga  constante?                   ⎛ dh ⎞ 2 mim

V = π r h; ⎜ ⎟ = 2 seg ⎝ dt ⎠ r 2 3r 3π r 3 h según la proporción 2 : 3 → = → h = →V = h 3 2 2 2 C 9π r ⎛ dr ⎞ ⎛ dv ⎞ ⎛ dv ⎞ ⎛ dr ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ si r = 2 cm → ⎜ ⎟ = C ( const ) → ⎜ ⎟ = 2 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 18π 3r 3 ⎛ dr ⎞ ⎛ dh ⎞ 3 ⎛ dr ⎞ ⎛ dr ⎞ 4 mim h= ⇒ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ → 20 = ⎜ ⎟→⎜ ⎟ = 2 2 ⎝ dt ⎠ 2 ⎝ dt ⎠ 3 seg ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ Volumen de un cilindro :

6π 4 C 6π ⎛ dr ⎞ 25 = →C = →⎜ = ⎟ 300 18π 25 ⎝ dt ⎠ 18π

⎞ ( ) → ⎛⎜⎝ dr ⎟ = dt ⎠ cm seg

1 75

( ) cm seg

( ) cm seg

  37) Si el  volumen de un cilindro aumenta a razón de 3 , Determine la razón de cambio  de la superficie del cilindro en el instante cuando h = 1, sabiendo que la altura es el triple  de su radio. 

                                                         Volumen de un cilindro : V = π r 2 h;

  s = 2π rh + 2π r 2 (área total )

⎛ dv ⎞ ⎛ dr ⎞ pero h = 3r ⇒ V = π r 2 (3r ) ⇒ V = 3π r 3 ⇒ ⎜ ⎟ = 9π r 2 ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

 

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1 ⎛ dr ⎞ ⎛ dr ⎞ cm 3 = 9π r 2 ⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟ = seg 2 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 3π r s = 2π r (3 r ) + 2π r 2 ⇒ s = 6π r 2 + 2π r 2 ⇒ s = 8π r 2

( )

1 ⎛ ds ⎞ ⎛ dr ⎞ ⎛ ds ⎞ ⎛ cm ⎜ ⎟ = 16π r ⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟ = 16π r seg ⇒ ⎜ 2 3π r ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ 1 16 cm 2 ⎛ ds ⎞ si h = 1 ⇒ h = 3 r ⇒ r = ⇒ ⎜ ⇒ ⎟= seg 3 ⎝ dt ⎠ 3 ( 13 )

( )

( )

ds ⎞ 16 ⎟= dt ⎠ 3 r

( )

⎛ ds ⎞ ⎜ ⎟ = 16 ⎝ dt ⎠

cm 2 seg

 

( ) cm 2 s eg

38) Para estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un árbol se supone que  el mismo tiene la forma de cono truncado como indica la figura. Siendo: r el radio de la  base superior; R el radio de la base inferior y h la altura. Recordando que el volumen V de  1 un tronco de cono está dado por la expresión: V = π . h . ( R 2 + R . r + r 2 )    Determine:  3 ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen V en el momento en que: r = 60 cm,    R = 90  cm y h = 15 m, si el incremento de r es de10 ñ  , el incremento de R es de 15 ñ , y el de h  de  25 ñ  ? 

                                             

volumen del tronco de cono V =

 

1 π h ( R 2 + R r + r 2 ) ; ∀ t ≥ 0. 3

⎛ dV π ⎡ dh 2 ⎛ dR ⎞ ⎛ dr ⎞ ⎛ dR ⎞ ⎛ dr ⎞ ⎞ ⎤ = ⎢ ( R + rR + r 2 ) + h ⎜ 2 R ⎜ ⎟+ R⎜ ⎟+ r⎜ ⎟ + 2r ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ dt 3 ⎣ dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎠ ⎦ ⎝ Sustituyendo : h = 4 m =400 cm , R = 90 cm , r = 60 cm. dh = 25 dt

cm año

;

 

dR dr dV ⎛ π ⎞ cm cm m3 , = 15 año = 10 año ⇒ = ⎜ ⎟ 2, 71 ≅ 2,83 año dt dt dt ⎝ 3 ⎠ 18 

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39) Si el cohete ilustrado asciende verticalmente a 880 m/s. Cuando está  a 4000  m de  altura. ¿Con qué rapidez debe cambiar el ángulo de elevación de la cámara en ese instante  para mantener el cohete en el objetivo?   

  dx dz dθ = c te ; = = ? C uando y = 4000 m dy dt dt   dy dy y y ⎛ dθ ⎞ dt ⇒ dθ = dt tg θ = ⇒ tg θ = ⇒ S e c 2 (θ ) ⎜ ⎟= x dt 3000 3 0 0 0 S e c 2θ ⎝ dt ⎠ 3000 dy = 880 dx

m s

;

z ⇒ z = (3 0 0 0 ) 2 + ( 4 0 0 0 ) 2 ⇒ z = 5 0 0 0 ⇒ 3000 8 8 0 ms dθ dθ 5000 5 66 S ecθ = ⇒ S ecθ = ⇒ = ⇒ = 2 dt dt 625 3000 3 ⎛5⎞ 3000 ⎜ ⎟ ⎝3⎠ S ec (θ ) =

m s

 

40) Un niño que hace volar una cometa sostiene el cordel a 5 pie del suelo y lo va soltando  a razón de 2 pie/s. Mientras la cometa se mueve horizontalmente a una altura de 105 pie.  Suponiendo  que  el  hilo  se  mantiene  recto,  encuentre  la  rapidez  con  la  que  se  mueve,  cuando se han soltado 125 pies de hilo.   

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⎛ dz y ′ = 5 pie ; ⎜ ⎝ dt

⎞ ⎟= 2 ⎠

⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ; y ′′ = 105 pies ; z = 125 pie ; ⎜ ⎟ = ?;⎜ ⎟ = 0 Cte. ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎛ dz ⎞ z⎜ ⎟ dz dx dy dx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ dt ⎠ z2 = x2 + y2 ⇒ 2z ⎜ = x + y ⇒ = 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ pie seg

Calculamos el valor de " x " → x =

(125 pies ) (100 pies ) ⇒ ⎛ dx ⎞ (125 pies )(125 pie / s ) x =

⎜ ⎟ = ⎝ dt ⎠

2

75 pies

2

x 2 + y ; Donde : y = y ′′ − y ′ ⇒ y = 100 p ies   2

x = 75 pies ⎛ dx ⎞ ⇒ ⎜ ⎟ = 3, 33 pies / seg . ⎝ dt ⎠

41) Un cuerpo que pesa 0.5 toneladas es levantado verticalmente utilizando una eslinga  de  acero  que  pasa  por  una  polea  colocada  a  20  m  de  altura,  como  indica  la  figura.  Un  extremo se une directamente al cuerpo y el otro, (punto A), es arrastrado por un vehículo  que se mueve hacia la derecha con rapidez de   20 ,  y a una altura del piso de 1.50  m. La eslinga tiene una longitud de 50 m. Determine: a) ¿A qué distancia del cuerpo estará  el vehículo en el instante de iniciar la maniobra? b) En cierto instante t el cuerpo se halla a  cierta altura h respecto del piso y el vehículo a cierta distancia x del cuerpo. Encuentra la  relación entre x y  h. c) ¿Cuál es la rapidez  del cuerpo en el instante en que su altura es de  h= 6 m? 

  2 2 2 a ) d AB = ? ⇒ d AB = d AC − d BC

d BC = 20 − 1.5 = 18.5; d AC = 50 − 18.5 = 31.5 m ⇒ d AB = 31.52 − 18.52 ≅ 25.5 m

 

20    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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b) del Δ A` BC obtiene : CP = 20 − h ⇒ AC = 50 − ( 20 − h) = 30 + h ⇒ BC = 18.5 m ⇒ x2 = ( 30 + h) − (18.5)2 2

dx dh x ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dh ⎞ dh ; Rapidez del cuerpo : ⇒ 2x ⎜ ⎟ = 2( 30 + h) ⎜ ⎟ ⇒ = ⎜ ⎟ dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ dt 30 + h ⎝ dt ⎠ dh 31m 2 m m ≅ 4.7 seg 5,55 seg si : h = 6 m ⇒ x = ( 30 + 6) − (18.5)2 ≅ 31 m ⇒ = dt 36m

c)Rapidez del vehículo :

(

)

 

42) El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm2 por minuto. Calcula la  rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm2. Se supone  que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante.         

3 3 2 dL L ⇒ área : A = L; =? A = 200cm 2 2 4 dt ⎛ dA ⎞ 2⎜ ⎟ dA dL dL 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ dt ⎠ ; pero = ⇒ = (2 L ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dt 4 3( L ) ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ L : lado del triángulo; altura : h =

A=

3 2 3 2 L ⇒ 200 = L ⇒ L ≅ 21.5; 4 4

−8 dA dL 2 cm = − 4 cm ≅ ≅ − 0.21 min min ⇒ dt dt 21, 5 . 3

43)  La altura de un triángulo equilátero aumenta a razón de 3 con que aumenta el área. 

  , determine la rapidez 

( l )( h ) ; ( á r e a d e l tr iá n g u lo ); l ( la d o d e l tr iá n g u lo ) 2 2 ( h )( h ) 2 2 l 3l 2 h2 3   l2 = + h2 ⇒ = h  2 ⇒ l = h⇒ a = ⇒ a = 4 4 2 3 3 dh (2h) cm da d t ⇒ d a = ( 2 h )3( se g ) ⇒ d a = 2 h 3 c m = se g dt dt dt 3 3 a =

21    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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44)  Los  extremos  de  un  abrevadero  de  3  m  de  largo  tienen  la  forma  de  triángulo  equilátero con lados de 60cm. Se le suministra agua al mismo a razón de 20

, ¿Cuál es la 

rapidez de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es de 20cm?  v ( t )( volum en del agua ); h ( t )( altura o nivel del agua ); r ( t )( longitud del nivel del agua y el lado del triángulo ) r (30) v ( t ) = 300( h )( r ) ⇒ por triángulo sem ejantes = ; h 30 3 donde 30 es el punto m edio de un lado del triángulo y 30 3 la altura h h h2 ) ⇒ v ( t ) = 300( ) ⇒ v ( t ) = 300( h )( 3 3 3 dh dh cm 300(2 h ) (600 h ) ( ) dv dv 3 ⎛ dv ⎞ dt ⇒ dt seg ⇒ dh = = = ⎜ ⎟ dt dt dt 600 h ⎝ dt ⎠ 3 3

r=

dh = dt

3 (20000)

cm 3 seg

600(20 cm )

⇒

dh 5 3 = dt 3

cm 2 seg

 

45) Un vigilante colocado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura, observa un  bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 . ¿Con qué rapidez cambia el  ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando este se encuentra a 300 pies de  la base del faro? 

               

  

x : distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t.   : Ángulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t.   22    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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Nótese que cuando "B se acerca a P" , entonces es de esperar que   también decrece  ⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ x dx dθ ⎛ dθ ⎞ ⎝ dt ⎠ tg θ = ⇒ x = 250 tg θ ⇒ = 250 Sec 2 (θ ) ⎜ ⇒ = ⎟ dt dt 250 250 Sec 2θ ⎝ dt ⎠ 300 ⎛6⎞ com o x = 300 ⇒ tg θ = ⇒ tg θ = ⎜ ⎟ ; pero : 1 + tg 2θ = Sec 2θ Lo  250 ⎝5⎠ 2

61 ⎛ dx ⎞ ⎛6⎞ 2 ;⎜ Sec θ = 1 + ⎜ ⎟ ⇒ Sec θ = ⎟ = − 20 25 ⎝ dt ⎠ ⎝5⎠ 2

pies seg

⇒

dθ = dt

− 20 −2 = 61 ⎛ 61 ⎞ 250 ⎜ ⎟ ⎝ 25 ⎠

rad se g

cual indica que el ángulo   decrece.    46) Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 12 cm, mientras  que el otro (b) es variable y aumenta a la velocidad constante de 6 cm/s. ¿A qué velocidad  crecerán la   diagonal   del  rectángulo    y    su  área  en  el  instante en que b = 40 cm? 

a = 12 cm;

da ⎛ db ⎞ ⎛ dc ⎞ cm = 0 (Cte.); ⎜ ⎟ = 6 seg ; b = 40 m; ⎜ ⎟ = ?   dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

⎛ da ⎞ ⎛ db ⎞ a⎜ + b⎜ ⎟ ⎟ ⎛ dc ⎞ ⎛ da ⎞ ⎛ db ⎞ ⎛ dc ⎞ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 2 2 c 2 = a 2 + b 2 ⇒ 2c ⎜ a b = + ⇒ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ cm 60 2 2 ⎛ dc ⎞ (40 cm ) (6 seg ) c = (12 cm ) + ( 40 cm ) ⇒ c = 41, 76 cm ⇒ ⎜ = ⎟= 109 ⎝ dt ⎠ 4 109

(

)

cm seg

 

⎛ dA ⎞ ⎛ da ⎞ ⎛ db ⎞ A = b.h ⇒ A = ab ⇒ ⎜ ⎟=⎜ ⎟b + a⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎛ db ⎞ ⎛ dA ⎞ ⎛ dA ⎞ ⎛ dA ⎞ cm cm 2 ⎟ =a⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟ = (12 cm ) (6 seg ) ⇒ ⎜ ⎟ = 72 seg ⎜ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 23    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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47) Dos pequeños aeroplanos comienzan el vuelo a partir  de un punto común A al mismo  tiempo uno vuela hacia el sur a razón de 400  ¿Después de dos horas, qué tan rápido  cambia la distancia entre ellos, si el otro  vuela hacia el este a razón de 300 ?                                      A                    x                    Y                         z                                              dx = 300 dt

km h

;

dy = dt

400

km h

;

dz = ? R a p id e z d e s e p a r a c ió n   dt

⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ x⎜ ⎟ + y⎜ ⎟ dz dt ⎠ dt ⎠ ⎛ dz ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎝ ⎝ 2 2 2 z = x + y ⇒ 2z ⎜ ⎟ = 2x ⎜ = ⎟+ 2y⎜ ⎟ ⇒ dt z ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ d = vt ( v = cte ) x = 600 km ; y = 800 km ⇒ z = (600 km ) 2 + (800 km ) 2 ⇒ z = 1000 km dz = dt

( 600 km ) ( 300 kmh ) + ( 800 km ) ( 400 kmh ) (1000 km )

⇒

dz = 500 kmh dt

48) Dos barcos A y B parten de un mismo punto “O” y siguen rutas que forman un ángulo  de 120º con que rapidez varía la distancia entre ellos en el instante en que       0A = 8 km. y  OB = 6 Km. el barco A navega a 20   y B a 30 . 

 

dOA dOB = 20 kmh ; = 30 kmh dt dt 2 2 2 Ley del Coseno : AB = OA + OB − 2 OA OACos (120º )  

θ =120º ; OA = 8 km; OB = 6 km;

2 2 2 AB = OA + OB + OA OB     24    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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⎛ d AB ⎞ ⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ 2 AB ⎜ ⎟ = 2 OA ⎜ ⎟ + 2 OB ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ OB + OA ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ 2 OA ⎜ ⎟ + 2 OB ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ OB + OA ⎜ ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ dt ⎠ ⎛ d AB ⎞ ⎝ ⎝ ⎝ ⎜ ⎟= 2 AB ⎝ dt ⎠ ⎛ d AB ⎞ ⎜ ⎟ = dt ⎝ ⎠ De : AB = AB =

⎛

⎞

⎛

⎞

⎝

⎠ 2 AB

⎝

⎠

( 2 OA + OB ) ⎜ d dtOA ⎟ + ( 2 OB + OA) ⎜ d dtOB ⎟ OA + OB + OA OB 2

2

      

(8 km) + (6 km) + (8 km)(6 km) ⇒ AB = 148 ⇒ AB = 2 37 Km 2

2

⎛ d AB ⎞ [ 2(8 km) + (6 km) ] (20 kmh ) + [ 2(6 km) + (8 km) ] (30 kmh ) ⎜ ⎟ = 2 (2 37) km ⎝ dt ⎠ ⎛ d AB ⎞ ⎛ d AB ⎞ 260 (440 kmh ) + (600 kmh ) ⇒⎜ ⎜ ⎟ = ⎟= 4 37 km 37 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 2

2

km h

49)  Un  tren  que  sale  a  las  11:00  a.m.  se  dirige  hacia  el  este  a  una  velocidad    de  45 ,  mientras  que  otro  sale  al  mediodía  de  la  misma  estación,  pero  se  dirige  hacia  el  sur  a  60 . Hallar la velocidad con que se separan los trenes a las 3 de la tarde.                                                      N                         Estación                           Ta    E   x                                       0              ■         x                                                              TB                 Z                                                                                                   S                                               y 

⎛ dTa ⎞ ⎛ dTb ⎞ km km ⎜ ⎟ = 45 h ; ⎜ ⎟ = 60 h ; ta = 4 h ; tb = 3h dt dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ dx ⎞ ⎛ dTa ⎞ km x = ⎜ ⎟t ⇒ x = ⎜ ⎟ ta ⇒ x = (45 h )(4 h) ⇒ x = 180 km ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

z 2 = x2 + y2 ;

25    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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⎛ dy ⎞ ⎛ dTb y= ⎜ ⎟t ⇒ y = ⎜ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt

⎞ ⎟ tb ⇒ y = ( 6 0 ⎠

km h

) (3 h ) ⇒ y = 1 8 0 k m

⎛ dz 2 km ⇒ 2 z ⎜ ⎝ dt km km (1 8 0 k m ) ( 4 5 h ) + (1 8 0 k m ) ( 6 0 h ) ⎛ dz ⎞ ⎛ ⇒ ⎜ ⎜ ⎟ = (1 8 0 2 k m ) ⎝ dt ⎠ ⎝ z=

(1 8 0 ) 2 + (1 8 0 ) 2 ⇒ z = 1 8 0

⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞   ⎟= 2 x⎜ ⎟ + 2y⎜ ⎟ ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ dz ⎞ 1 0 5 km ⎟ = h dt ⎠ 2

  50) La intercepción de dos calles forman un ángulo 46 grados, si en el instante  dos autos  A  Y  B  distan  del  cruce  100Km,  y  se  alejan  con  rapidez  de 

, 

, 

respectivamente. Determine la rapidez de separación de los autos en un instante  .    

θ = 45º ; OA = 100 km

OB = 100 km ;

drA drB = 80 km / h; = 60 km / h dt dt

Aplicando la Ley del Coseno 2 2 AB = OA + OB − 2 OA OB Cos (45º ) 2 2 2 AB = OA + OB − 2 OA OB Re lacion 2

⎡⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ − 2 ⎢⎜ ⎟ OB + OA ⎜ ⎟⎥ ⎢⎣⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎥⎦ ⎡⎛ dOA ⎞ ⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎤ 2 OA ⎜ ⎟ + 2 OB ⎜ ⎟ − 2 ⎢⎜ ⎟ OB + OA ⎜ ⎟⎥ ⎢⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎦⎥ ⎣ = 2 AB

⎛ d AB ⎞ ⎛ dOA ⎞ 2 AB ⎜ ⎟ = 2 OA ⎜ ⎟ + 2 OB dt dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ d AB ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠

De la relacion : AB = AB =

OA + OB − 2 OA OB 2

2

(100 km) + (100 km) − 2

2

2(100km) (100km) ⇒ AB = 100 2 −

⎛ d AB ⎞ 2(100) (80) + 2 (100)(60) − 2 [ (80) (100) + (100)(60) ] = 70 2 − ⎜ ⎟= dt ⎝ ⎠ 2 100 2 − 2

(

)

2 km

 

2 km / h

51) Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60 . Una locomotora dista  160km del cruce y se aleja de el a una rapidez de 100 , un auto dista del cruce 160km y  26    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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se acerca el con una rapidez de 50 , ¿A qué razón varía la distancia entre los dos después  de media hora? 

x(t ) : longitud del tren al cruce en t seg y (t ) : longitud del auto al cruce en t seg z (t ) : longitud del tren al auto en t seg Aplicando la Ley del Coseno z 2 = x 2 + y 2 − 2 xyCos (60º ) ⇒ z 2 = x 2 + y 2 − xy ⎛ dy ⎞ ⎤ ⎛ dz ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎡ ⎛ dx ⎞ 2 z ⎜ ⎟ = 2 x ⎜ ⎟ + 2 y ⎜ ⎟ − ⎢ y ⎜ ⎟ + x ⎜ ⎟⎥ ⎝ dt ⎠ ⎦ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎣ ⎝ dt ⎠ Calculamos los recorridos de c / u cuando t = 0.5h ⎛ dx ⎞ x = ⎜ ⎟ t ⇒ x = 100( kmh )0.5h ⇒ x = 50km ⇒ x = 50km + 160km ⇒ x = 210km ⎝ dt ⎠ ⎛ dy ⎞ y = ⎜ ⎟ t ⇒ y = 50( kmh )0.5h ⇒ x = 25km ⇒ y = 160km − 25km ⇒ y = 135km ⎝ dt ⎠ z 2 = x 2 + y 2 − xy ⇒ z 2 = (210km) 2 + (135) 2 − (210km)(135km) ⇒ z = 33975 ⎛ dz ⎞ ⎛ dz ⎞ 157550 km 2 33975 ⎜ ⎟ = 2(210)(100) + 2(135)(50) − [ (135)(100) + (210)(50)] ⇒ ⎜ ⎟ = (h) 33975 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠   52) Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a una  altura de 5m. Sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro C  del puente, (ver fig.) a una velocidad de 12 . En ese mismo instante una lancha L que se  acerca al puente a una velocidad de 20 , dista 100m del punto P situado sobre el agua y  exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera continúa perpendicular al río. ¿Cuál  es la velocidad a la cual se están separando la lancha y el auto 8 segundos después de que  aquella pasó por el punto P?  x: distancia que recorre la lancha desde el momento en que el auto pasa por el punto C.   y: distancia que recorre el auto desde el momento en que pasa por C.   w: distancia de P a D.   z: distancia que separa la lancha del auto.  Como los triángulos BPD y PCD son rectángulos en P y C respectivamente, se tiene de  acuerdo a la relación pitagórica:   27    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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⎛ dz ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ m m ⎜ ⎟ = ?; ⎜ ⎟ = 20 seg ; ⎜ ⎟ = 12 seg ; x = 160 m ; y = 96 m dt dt dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 z = w + ( x − 100) ; w = 25 + y 2 ⇒ z 2 = (25 + y 2 ) + ( x − 100) 2 ⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞ + ( x − 100) ⎜ y⎜ ⎟ ⎟ dx ⎞ dt ⎠ dt ⎠ ⎛ dz ⎞ ⎝ ⎝ ⎟⇒ ⎜ ⎟= dt ⎠ z ⎝ dt ⎠

⎛ dz ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ 2z ⎜ ⎟=2y⎜ ⎟ + 2( x − 100) ⎜ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ ⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞ y⎜ + ( x − 100) ⎜ m ⎟ ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎛ dz ⎞ 96 m (12 seg ) + (160 − 100) m ( 20 ⎛ dz ⎞ ⎝ ⎝ ⇒ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ (25 + y 2 ) + ( x − 100) 2 (25 + y 2 ) + ( x − 100) 2 ⎛ dz ⎞ ⎜ ⎟ = 20, 75 ⎝ dt ⎠

m seg

)

m seg

Lo que indica que la lancha y el auto se están separando a una rapidez de aproximadamente la calculada.

  53)  Un  hombre  situado  a  100  metros  del  pie  del  hasta  de  una  bandera  comienza  a  caminar, en línea recta hacia el pie del hasta Q razón de 10 . Si el hasta mide 70 metros  de alto. Encontrar la variación por unidad de tiempo ante el hombre y la bandera cuando  han transcurrido 2 segundos. 

  ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ x⎜ ⎟ + y⎜ ⎟ dt ⎛ dz ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ ⎝ dt ⎠ z 2 = x2 + y 2 ⇒ 2 z ⎜ ⎟ = 2 x ⎜ ⎟ + 2 y ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ z   ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞ m m Pero : ⎜ ⎟ = − 10 seg ; ⎜ ⎟ = 0 (cte); x`= ⎜ ⎟ t ⇒ x´= 10 seg 2 seg ⇒ x´ = 20 m dt dt dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

)

28    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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distancia entre el hombre y el pie del hasta a los 2 seg es : x = 100 − x´⇒ x = 100 m − 20 m ⇒ x = 80 m ⇒ z = m 80 ⎛ dz ⎞ ( 80m ) ( −10 seg ) ⎛ dz ⎞ ⇒⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟= 10 113m 113 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

( 80m ) + ( 70 m ) 2

2

⇒ z = 10 113m  

m seg

54) Un globo está a 200 m sobre el suelo y se eleva a razón de15 globo por un tramo recto de carretera con velocidad de66

 . Un auto pasa bajo el 

. Se pide calcular la velocidad 

con que se separan 1 segundo después.       (1 seg.)  dy                                                                                                                                                   Z            y = 200             (1 seg)                                                                               dx                      x 

⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ x⎜ ⎟ + y⎜ ⎟ dt dt ⎛ dz ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ dz z 2 = x2 + y 2 ⇒ 2 z ⎜ ⎟ = 2 x ⎜ ⎟ + 2 y ⎜ ⎟ ⇒ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ z ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ dt ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ m )(1seg ) ⇒ x = 66 m; y = ⎜ ⎟ t ⇒ x = ⎜ ⎟ t ⇒ x = (66 seg   ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ m )(1seg ) =15 m ⇒ y = 200 m +15m ⇒ y = 215 m y = (15 seg z 2 = x 2 + y 2 ⇒ z = x 2 + y 2 ⇒ z = (66m) 2 + (215m) 2 ⇒ z = 224, 9 m m m ) + (215 m) (15 seg ) dz (66 m) (66 seg dz m = ⇒ = 33, 71 seg dt 224, 9 m dt

 

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55)  Un  terreno  circular  de  radio  R  se  ilumina  con  un  foco  colocado  en  el  punto  A  como  indica la figura. Un móvil recorre el segmento BC con movimiento rectilíneo uniforme de  rapidez    u  mientras  su  sombra  S  proyectada  sobre  el  muro  perimetral  describe  un  movimiento circular de rapidez V. En un instante t cualquiera el móvil se encuentra en un  punto P, siendo x la distancia BP y s la longitud del arco BS. Recuerda que: s = R.    a) Determine la relación entre    y calcula   en función de x  b) Encuentra la expresión de V como función de x.  c) Calcula la rapidez de la sombra cuando el móvil pasa por el punto medio del segmento  BO.              ) ) π − SOD; pero : SOD = 2θ ⇒ ϕ = − 2θ 2 2 ′   Existe simetrìa respecto al diamètro AA , ⇒ estudiamos 0 ≤ x ≤ R

a)De la fig.

BOD se cumple:ϕ =

AOP ⇒ tgθ =

π

OP R − x ⎡R − x⎤ = ⇒ θ = Arctg ⎢ OA R ⎣ R ⎥⎦

ds ⎛π ⎞ ds ⎛ dθ ⎞ ⇒ s = R ⎜ − 2θ ⎟ ⇒ = −2 R ⎜ ⎟ 2 dt dt ⎝2 ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞ 2⎜ ⎟ − 2R ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dθ ds R dt ⎡R − x⎤ ⎝ R ⎠ ⎝ dt ⎠ = ⎝ dt ⎠ ⇒ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 ⇒ = si θ = Arctg ⎢ 2 2 ⎥ dt dt ⎣ R ⎦ ⎛ R−x⎞ ⎛ R−x⎞ ⎛ R−x⎞ 1+ ⎜ 1 1 + + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ R ⎠ ⎝ R ⎠ ⎝ R ⎠ 2v 2 . v . R2 ⎛ dx ⎞ ds = ⇒ V x = como v = ⎜ ⎟ ⇒ ( ) 2 2 dt ⎝ dt ⎠ R2 + ( R − x ) ⎛ R−x⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ R ⎠ R 8 ⎛R⎞ c) En el punto medio de BO es : x = ⇒ V⎜ ⎟ = v 2 5 ⎝2⎠ b)Como: s = Rϕ ; ϕ =

π

− 2θ ;V =

 

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56) Un hombre de 6 pies de estatura corre alejándose de un poste de alumbrado público  que tiene una altura de 15 pies, si se mueve a razón de 18 pies/s ¿Qué tan rápido cambia  la longitud de su sombra? 

  

 

 

ΔSMN y  ΔSΔL son semejantes 

6 x′ 2 x′ 2 = ⇒ = ⇒ 5 x ′ = 2( x + x ′) ⇒ 5 x ′ 2 x ′ = 2 x ⇒ x ′ = x 15 x + x ′ 5 x + x′ 3 2 dx 2 dx ′ dx ′ dx ′ pie pie = → = ⇒ = 12 seg (18 seg ) 3 dt 3 dt dt dt  

( )

57)  Una  piscina  cuyas  medidas  son  las  indicadas  en  la  fig,  tiene  agua  hasta  4  pies  de  profundidad en el extremo mas hondo.   a.  ¿Qué  porcentaje  de  la  piscina  está  llena?    b.  Si  se  echa  agua  en  ella  a  razón  de  10  pies3/min. ¿a qué ritmo sube el nivel del agua en el instante para el cual hay agua hasta 4  pies de profundidad?.  

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a.  Se  debe  calcular  inicialmente  el  volumen  total  de  la  piscina.  Este  corresponde  al  volumen de un sólido cuya base es un trapecio con las siguientes medidas: base mayor: 9  p, base menor: 4 p; y cuyo espesor es de 20 pies.   (9 + 4)40 (20) ⇒ V p = 5200 pies 3 V p = ( área de la base )( espesor ) ⇒ V p = 2 Ahora,  el  porcentaje  de  piscina  llena  corresponde  al  volumen  Vll  del  sólido  que  aparece  indicado en la fig. 

V ll = ( á r e a d e la b a s e )( e sp e s o r ) ⇒ V p =

(4 L ) ( 2 0 ) ⇒ V p = 4 0 L p ie s 3 2

Como los triángulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente proporción:  

5 40 = ⇒ L = 32 pies ⇒ Vll = (40)(32) ⇒ Vll = 1280 pies 3 L 4 (1280)(100% ) ≅ 24, 61% 5200 b. Supóngase que en un instante t determinado, el volumen de piscina llena corresponde  al volumen del sólido que aparece en la figura, en el cual, y (nivel vertical) y x (nivel  horizontal) están creciendo con respecto al tiempo.  si :V p = 5200 pies 3 es 100% ⇒ Vll = 1280 pies 3 = ? ⇒ x =

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y x ⎛ yx ⎞ ⇒ x = 8y V = ⎜ ⎟ (20) ⇒ V = 10 xy; por relación de Δ : = 4 32 ⎝ 2 ⎠ dV dV dy dy ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = 160 y ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = dt V = 80 y 2 ⇒ dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 160 y como :

pies 3 min

3 10 dV ⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞ 1 = 10 pies ⇒⎜ ⎟= ⎟= min ; y = 4 pies ⇒ ⎜ dt ⎝ dt ⎠ 160 ( 4 pies ) ⎝ dt ⎠ 64

⎛ dx ⎞ 1 Realizando un procedimiento similar: ⎜ ⎟ = ⎝ dt ⎠ 8

  pies min

pies min

58) Un tanque esférico de agua de radio a contiene este líquido con una profundidad h y  el  volumen  del  agua  en  el  tanque  está  dado  por  3 .  Suponga  que  un  tanque  esférico  de  5m  de  radio  se  está  llenando  a  razón  de  400 .  Calcule  a  razón  de  cuántos metros por segundos se elevan el nivel del agua cuando  1.25 .  1 dV dh dV l V = π h 2 ( 3a − h ) ; a = 5 m ; ; h = 1.25 m ; = 4000 min = ?; = 6.6 x 10−3 3 dt dt dt

m3 s

 

1 dV dV dh ⎛ dh ⎞ ⎛ dh ⎞ V = aπ h 2 − π h3 ⇒ = 2π h ⎜ ⎟ − π h 2 ⎜ ⎟ ⇒ = [ 2a − h ] π h 3 dt dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎡ ⎛ dV ⎞ ⎤ 3 ⎤ 6.6 x 10−3 6.6 x 10−3 ms dh ⎢ ⎜⎝ dt ⎟⎠ ⎥ dh ⎡ ⎥⇒ =⎢ =⎢ = 192.07 x 10−6 ⎥= dt ⎢ ( 2a − h ) π h ⎥ dt ⎣ (10 − 1.25 ) m(π ) (1.25m ) ⎦ 34.36 ⎢⎣ ⎥⎦ dh m = 192.07 x 10−6 dt s

m s

 

59) Un tanque esférico está cubierto por una capa uniforme de hielo de 2pulg de grueso.  El  volumen  de  hielo  se  derrite  con  una  rapidez  directamente  proporcional  al  área  de  la  superficie. Demuestre que es constante la rapidez de cambio del diámetro exterior. 

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ΔV = 4π r 2 Δr (Volumen del cascarón del Hielo);

d ( ΔV )

α 4π r 2

dt ya que la variación del volumen de hielo es directamente proporcional al área de la superficie dV sea constante r no debe variar tal constante de proporcionalidad es Δr , Pero para que dt y es precisamente lo que se tiene pues el radio del tanque no varia:

ΔVc = 4π r 2 ( 2) ⇒ ΔV = 8π r 2 Para el diámetro exterior, el volumen es: V =

4 3 π ( r + Δr ) y su rapidez de cambio es: 3

dV dV 2 d ( ΔV ) 2 = 4π ( r + Δr ) ⇒ = 4π ( r + Δr ) ( 4kπ r 2 ) dt dt dt

k es la constante de propòrcionalidad, ya que r no varia y Δr = 2 pu lg,

dV = constante. dt

 

60) Un vaso de papel con agua tiene la forma de un cono circular recto truncado de 15 cm  de altura con radios de la base y de la orilla libre de 2 cm y 4 cm, respectivamente. El agua  se fuga del vaso a razón de 100 , ¿A qué razón de cuántos  cm por hora disminuye la  profundidad  del  agua  cuando  es  de  10  cm?  Nota:  el  volumen  de  un  cono  circular  recto  truncado  de  altura  h  y  radios  a  y  b  en  los  extremos  está  dado  por:   

     

 

dV dh 3 =100 cmh ; = ?; h = 10cm dt dt ya que( h) y el radio mayor (b) var ian ⇒ por los triángulos semejantes de la figura se tiene : x 2 2h 2h = ⇒x = ⇒ El radio mayor (b) es igual a : b = 2 + x = 2 + h 15 15 15   34    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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1 el volumen del cono truscado es : V = π h ( a 2 + b2 + ab ) ⇒ 3 2 2 1 ⎛ 2h ⎞ 2h ⎞ ⎞ 1 ⎛ 2h ⎞ 4 h 2 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ V = π h ⎜ 22 + ⎜ 2 + ⎟ + 2 ⎜ 2 + ⎟ ⎟ ⇒ V = π ⎜ 8h + h ⎜ 2 + ⎟ + ⎟ 3 ⎜⎝ 15 ⎠ 15 ⎠ ⎟⎠ 3 ⎜⎝ 15 ⎠ 15 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 2 dV 1 ⎛ ⎛ dh ⎞ ⎛ 2h ⎞ ⎛ dh ⎞ 4h ⎛ 2h ⎞⎛ dh ⎞ 8h ⎛ dh ⎞ ⎞ = π ⎜8⎜ ⎟ + ⎜ 2 + + ⎜ 2 + ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ dt 3 ⎜⎝ ⎝ dt ⎠ ⎝ 15 ⎠ ⎝ dt ⎠ 15 ⎝ 15 ⎠⎝ dt ⎠ 15 ⎝ dt ⎠ ⎟⎠ 2 dV 1 ⎛ dh ⎞ ⎛ ⎛ 2h ⎞ 4 h ⎛ 2h ⎞ 8h ⎞ = π ⎜ ⎟⎜8 + ⎜ 2 + ⎟ + ⎜ 2 + ⎟ + ⎟ dt 3 ⎝ dt ⎠ ⎜⎝ ⎝ 15 ⎠ 15 ⎝ 15 ⎠ 15 ⎟⎠ 2 dV 1 ⎛ ⎛ 30 + 20 ⎞ 40 ⎛ 30 + 20 ⎞ 80 ⎞ ⎛ dh ⎞ Cuando h = 10 cm, ⇒ = π ⎜8 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎟⎜ ⎟ dt 3 ⎜⎝ ⎝ 15 ⎠ 15 ⎝ 15 ⎠ 15 ⎟⎠ ⎝ dt ⎠ dV 1 ⎛ 100 80 80 ⎞ ⎛ dh ⎞ dV 1 ⎛ 300 ⎞⎛ dh ⎞ dV 100 ⎛ dh ⎞ = π⎜ = = π ⎜8 + + + ⎟⎜ ⎟ ⇒ π⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⇒ dt 3 ⎝ 9 9 9 ⎠ ⎝ dt ⎠ dt 3 ⎝ 9 ⎠⎝ dt ⎠ dt 9 ⎝ dt ⎠

Ya que el agua se fuga del vaso :

dV 100 ⎛ dh ⎞ dV dh 9 x100 −9 cm 3 =− = 100 cmh ⇒ = − = π ⎜ ⎟ ⇒ si dt 9 ⎝ dt ⎠ dt dt 100 π π h

  61)  La    orilla de una piscina es  un  rectángulo de  60 pie  de  ancho.  Su  profundidad  aumenta  uniformemente de 4 a 9 pie en un tramo horizontal de 40 pie y después continua al mismo  nivel los 20 pie restantes, como se ilustra en la figura, la cual representa una sección transversal.  La piscina se esta llenando a razón   de agua. Calcule aproximadamente la rapidez de  cambio del nivel del agua en el momento en que la profundidad en la parte más honda es de 4pie  (1 gal « 0.1337 pie3). 

 

El volumen de agua en la piscina, dada una altura h es : hx 9−4 5 1 = = , α = 7.1250º   V = ( 20 )( 30 ) h + ( 30 ) ⇒ tgα = 2 40 40 8 h h 15 h 2 ⇒ V = 600h + ⇒ V = 600 h + 120h 2 tgα = ⇒ x = x tgα tg α 35    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]   

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dV dV ⎛ dh ⎞ gal = ( 600 + 240 h ) ⎜ = 500 min = 66.85 ⎟ ⇒ si : dt dt ⎝ dt ⎠ dh 66.85 ⎛ dh ⎞ ⇒ = 0.042 ⎜ ⎟= dt ⎝ dt ⎠ ⎡⎣ 600 + 240 ( 4 ) ⎤⎦

pies 3 min

; h = 4 pies

 

pies min

62) En la figura se muestran las posiciones relativas de  una  pista  de  aeropuerto  y  una  torre  de  control  de  20  pie  de  altura.  El  principio  de  la  pista  esta  a  una  distancia  perpendicular de 300 pie de la base de la torre. Un avión alcanza una velocidad de 100  mi/h  después  de  recorrer  300  pie  sobre  la  pista.  Calcule  la  rapidez  de  cambio  de  la  distancia entre el avión y la cabina de la torre de control. 

  ⎛ dx ⎞ ⎛ dd ⎞ 20 2 + 300 2 = 90400, pero : x 2 + 90400 = d 2 ⇒ 2 x ⎜ ⎟ = 2d ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ dx   si : x = 300 ⇒ d 2 = (300) 2 + 90400 ⇒ d ≅ 424.74; = 100 mih dt 300 ⎛ dx ⎞ 300 dd dd dd = ≅ ≅ 70.63 mih (100 ) ⇒ ⎜ ⎟⇒ dt d ⎝ dt ⎠ dt dt 424.74

63) A través de un filtro de papel cónico escurre agua a una taza, como se muestra en la  figura. Sea x la altura del agua en el filtro y y la altura del agua en la taza. Determine la  ,

relación entre 

,  cuando el filtro contiene 10 pulg3 de agua. 

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1 r x x x2 V filtro = 10 pu lg 2 ⇒ V = π r 2 x ⇒ Por triángulo semejantes: = ⇒ r = ⇒ r 2 = 3 2 4 2 4 dV 1 ⎛ x2 ⎞ 1 dV 1 2 ⎛ dx ⎞ dx ⎛⎜ 4 dt ⎞⎟ π x3 ⇒ = πx ⎜ ⇒ = V = π ⎜ ⎟x ⇒V = ⎟ 3 ⎝ 4 ⎠ 12 dt 4 dt ⎜ π x 2 ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ ⎠ 1 dx ⎛ dV ⎞ = ( 0.112259 ) ⎜ Si : V = 10 ⇒ 10 = π x 3 ⇒ x = 3.367780602 pu lg . ⇒ ⎟ 12 dt ⎝ dt ⎠

( )

dv ⎛ dy ⎞ = 4π ⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠ ⇒

Para la taza: vtaza = π r 2 y = π ( 2 ) y ⇒ vtaza = 4π y ⇒ 2

Como el cambio en el v filtro = es igual al cambio vtaza

 

dy ⎛ π x 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ dx ⎞ dy ⎛ x 2 ⎞ ⎛ dx ⎞ 1 2 ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ π x ⎜ ⎟ = 4π ⎜ ⎟ ⇒ =⎜ ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ dt ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4π ⎠ ⎝ dt ⎠ dt ⎝ 16 ⎠ ⎝ dt ⎠ 4 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ dy ⎛ dx ⎞ dx ⎛ dy ⎞ pero : x = 3.367780602 pu lg ⇒ = ( 0.709 ) ⎜ ⎟ ≅ = (1.411) ⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠ dt ⎝ dt ⎠

64)  El “diamante” de un campo de softball, tiene la forma de un cuadrado de 60pie de  lado. Un jugador corre de segunda a tercera base a 25  , ¿A razón de cuantos pies por  segundo  va  cambiando  su  distancia  a  “home  plate”  cuando  está  a  20  pie  de  la  tercera  base? 

                                             

 

y 2 + 602 = r 2 → r 2 = y 2 + 3600 → r =

y 2 + 3600   37 

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Además : x + y = 60 , y = 60 − x , por lo tan to : r = dr = dt 2

⎛ dx ⎞ −2 ( 60 − x ) ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠

( 60 − x )

2

+ 3600

=−

( 60 − x )

2

+ 3600

60 − x

( 60 − x )

2

⎛ dx ⎞ ⎜ ⎟ + 3600 ⎝ dt ⎠

 

dx = 25 ⇒ x = 60 − y ⇒ x = 60 − 20 = 40 dt dr pies 60 − x =− ( 25 ) = − 7.9056 2 dt s ( 60 − x ) + 3600

si : y = 20 y

65)  Los  extremos  de  un  abrevadero  de  3  m  de  largo  tienen  la  forma  de  un  triágulo  equilátero, con lados de 60 cm. Se suministra agua al abrevadero a razón de 20 , ¿Cuál  es la rapidez de cambio o variación del nivel del agua cuando la profundidad es de 20cm. 

   

       

 

dV 3 = 20000 cm 60 2 − 30 2 = 30 3 cm min ⇒ H = dt Si h es la profundidad del agua, entonces r varía al variar h. 1 El área del triángulo : A = 2rh, ⇒ 2 30h 30h 3h 3h 3h 2 r 30 = ⇒r= ⇒r= ⇒ r= ⇒A = h⇒A = 3 3 h H H 3 30 3 L = 300 cm; h = 200 cm;

El volumen esta dado por : V = AL ⇒ V = dV dh ⎛ dV ⎛ dh ⎞ = 200 3h ⎜ ⎟ ⇒ =⎜ dt dt ⎝ dt ⎝ dt ⎠

3h 2

300 3

⇒ V = 100

 

3h 2

⎡ ⎤ dh 5 1 ⎞⎡ 1 ⎤ ⎥= = ⎟⎢ ⎥ = 20000 ⎢ 3 ⎠ ⎣ 200 3h ⎦ ⎣⎢ 200 3 ( 20 ) ⎥⎦ dt

cm min

DÁMASO ROJAS  AGOSTO 2009  38    http://www.damasorojas.com.ve                                                                                       [email protected],[email protected], [email protected]