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• Geraldine AGUILAR RINCON

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Taller de razón de cambio

Asignatura: Calculo diferencial NRC 3763

Tutor: Javier Fernando romero acosta

Bogotá D.C. 30 de marzo del 2020 Corporación Universitaria Minuto de Dios Facultad de Ciencias Empresariales Taller: Razón de cambio Resuelva los siguientes ejercicios: 1) En una circunferencia se sabe que su radio aumenta a razón de 2 cm/s. ¿Cuál es la razón de cambio de área cuando el radio sea igual a 5 cm?

5 cm

dr 2cm = dt s da =? dt r =5 cm A=π . r 2 da dr =2 π . r . dr dt da 2 cm =2 π . 5 cm. dr s da cm2 =20 π dr s

2) El volumen de un cubo cambia a razón de 75 mida 3 cm.

v=a3 dv =75 cm3 /min dt a=3 cm dv 3 a 2∗da = dt dt 2

75 cm3 3(3) ∗da = min dt 75 cm 3 /min=3.9

da dt

75 cm 3 /min=27

da dt

c m3 . Halle la razón de cambio de su lado cuando min

75 cm3 /min da = dt 27 cm2

da cm =2,8 dt min 3) Una escalera de 20 m de longitud está recostada contra una pared y la parte inferior se desliza de manera que se cae a una velocidad de 1 m/s. ¿Qué tan rápido está descendiendo la parte superior de la escalera cuando la base está a 5 m de la pared?

h=x ∙ y

( 20 m )2=x 2+ y 2 400 m2=x 2 + y 2 400 m2=(5 m)2 + y 2 400 m 2=25 m+ y 2 400 m 2−25 m 2= y 2

√ 375 m2 =√ y2 19,4=¿ 0=2 x

dx dy +2 y dt dt

dx =1m/ s dt dx dt =dy / dt 2y

−2 x

( ms ) = dy

−2 ( 5 m ) ∙ 1

2(19,4 )

dy =−0,26 m/s dt

dt

4) Un carro está 30 km al sur de la ciudad y se dirige hacia el sur a razón de 25 km/h. Por otro lado, un camión está 40 km al occidente de la ciudad y se desplaza hacia el occidente a razón de 50 km/h. ¿Cuál es la variación de distancia entre los dos vehículos?

ds =? dt y=

25 km h

x=

50 km h

x 2+ y 2=s 2 teorema de Pitágoras 2x

dx dy ds +2 y =2 s dt dt dt

2¿ 2.500 km/h+625 km/h=s 2 s2 1=s 2 s=1 2(50)(-50)+2(25)(-30)=2

−5.000−1.500=2

ds dt

ds dt

−6.500 ds = 2 dt −6.500 ds = 2 dt ds =−3.250 km/h dt

5) Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico de modo que su volumen aumenta a razón de 100 cm?

c m3 . ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando su diámetro sea de 50 s

dv 100 cm3 = dt s dv dr =4 π r 2 ∙ dt dt dr dv /dt = dt 4 π r 2

dr =? r =25 cm dt

v=

3 dv 3 dr = πr ∙ 3 r 2 ∙ 3 dt 4 π r dt 4

dr 100 = dt 4 π ¿ ¿ dr 100 = dt 2500 π dr 1 = cm/s dt 25 π 6) En una circunferencia se sabe que su radio aumenta a razón de 10 cm/s. ¿Cuál es la razón de cambio de área cuando el radio sea igual a 20 cm?

20 cm

dr 10 cm = dt s da =? dt r =20 cm A=π . r 2 da dr =2 π . r . dr dt da 10 cm =2 π . 20 cm. dr s

da 10 cm =2 π . 20 cm. dr s da cm2 =400 π dr s 7) Si la arista de un cubo crece a razón de 2 cm/s, ¿a qué velocidad cambia el volumen del cubo en el instante en que la arista mida 5 cm?

da =2 cm/s dt dv =? cuando la a=5 cm dt dv da =3 a2 ∙ dt dt dv =3 ∙(5 cm)2 ∙ (2 cm/ s) dt dv =150 cm3 /s dt

8) Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud y su diámetro aumentan a razón de 0,04 cm/min y 0,01 cm/min, respectivamente. ¿A qué razón aumenta el volumen de la barra en el instante en que el largo mida 20 cm y el diámetro 3 cm

dl cm =0.04 dt min dD cm =0.01 dt min

dv =? dt L=20 cm D=3 cm V =π r 2∗h v=π v=

r 2∗D 2 ∗L 2

π∗D 2 ∗L 4

π v= ∗D 2∗L 4 dv π D∗dD D 2∗dl = (2 ∗L+ ) dt 4 dt dt dv π = (2 ( 3 ) . ( 0.01 )∗( 20 ) + ( 32 )∗( 0.04 ) ) dt 4 dv π = (1.2+0.36) dt 4 dv π = ∗1.56 dt 4 π ∗156 dv 4 = dt 100 dv 39 π cm3 = dt 100 min

9) Se introduce agua en un recipiente cónico a razón de 40 f t 3 /min . Si la altura del recipiente es de 15 ft y su abertura circular tiene un radio de 6 ft, ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando el líquido tenga una profundidad de 10 ft?

dv =40 f t 3 /min dt dh =? si h=10 ft dt 1 v= π r 2 h 3 6 15 = r h 6 ∙ h=15 ∙ r 6h =r 15 r=

2h 5

1 2h 2 v= π ∙( ) h 3 5 1 4 h2 v= π ∙ h 3 25

( )

v=

4π 3 ∙h 75

dv 4 π = ∙ 3 h2 ∙ dh /dt dt 75 40=

4π dh ∙ 3 ( 10 )2 ∙ 75 dt

40=

4π dh ∙ 3 ∙100 ∙ 75 dt

40=

4π dh ∙ 1 ∙100 ∙ 25 dt

40=

4π dh ∙3∙4∙ 1 dt

40=16 π ∙

dh dt

40 =dh/dt 16 π dh 5 = ft /min dt 4 π 0,8 ft /min

10) Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de alto camina desde la lámpara hacia el edificio a una velocidad de 1,6 m/s, ¿con qué velocidad decrece su sombra proyectada sobre el edificio cuando se encuentre a 4 m de este?

dx 1.6 m = dt s

dh =? dt h 12 = 2 12−x h=

2∗12 12−x

h=

24 12−x

h=24(12−x)−1 dh dx =−24 ( 12−x )−2∗ 0− dt dt

(

dh −24∗1 −dx = ∗( ) dt ( 12−x )2 dt

)

dx dh dt = dt ( 12−x )2 24

dh 24(−1.6) = dt ( 12−4 )2 dh m =−0.6 dt s