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• Oscar Rivas Acevedo

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Introducción Para definir el empuje de los suelos sobre las estructuras de retención, podemos decir en forma general, que en ellos se involucran todos los problemas que se le presentan al ingeniero para determinar las tensiones en la masa del suelo que actúan sobre una estructura. En este documento daremos las nociones básicas para poder calcular los empujes laterales de los suelos contra las estructuras. Como primera medida debemos decir que el tipo de empuje depende, tanto de la naturaleza del suelo como del tipo de estructura, ya que se trata de un problema de interacción entre ambos. La mecánica de suelos se basa en varias teorías para calcular la distribución de tensiones que se producen en los suelos y sobre las estructuras de retención. Cronológicamente, Coulomb (1776) fue el primero que estudió la distribución de tensiones sobre muros. Posteriormente, Rankine (1875) publicó sus experiencias, y por último y ya en el siglo XX se conoce la teoría de la cuña, debida a varios autores, pero especialmente a Terzaghi. Teoría de Rankine Rankine hace referencia a las variaciones de tensiones que se producen en una masa de suelos, cuando se produce un relajamiento o un aumento de la tensión horizontal; considera esos dos casos extremos e impone ciertas condiciones de borde para un prisma elemental que se encuentra dentro de una masa semi infinita.

Fig. 1.

Las condiciones de borde impuestas por Rankine para determinar la relación entre tensiones principales en cada estado, fundamentalmente son: 1234-

Masa semi infinita y homogénea. Superficie horizontal del terreno. Superficie vertical del borde que admite desplazamiento. Tensiones de corte nulas en el contacto entre la superficie que se desplaza y el suelo.

No existe un caso práctico en el cual se cumplan estrictamente con las condiciones de borde impuestas por la teoría de Rankine. El estudio teórico de Rankine se caracteriza entonces, como habíamos dicho anteriormente, por dos estados límites de equilibrio plástico. El estado original del terreno se presenta por un prisma

elemental sometido a cierta profundidad a una presión vertical σv, igual al peso de la ‘tapada’ de suelo que está por encima, y que vale el producto de su peso unitario por la profundidad en la cual se encuentra el elemento prismático estudiado σv = γ . z (figura 1). A esta presión vertical σv, le corresponde una tensión horizontal σh. La relación entre ambas es un coeficiente K, que en el estado original – denominado estado de reposo – se lo denomina K0. Supongamos idealmente (figura 2a) que podemos insertar en ésta masa semi infinita, una pantalla rígida, de tal forma que si nosotros retiramos el suelo que se encuentra a la izquierda de la pantalla, no cambien las condiciones iniciales del terreno en la parte de la derecha de la misma

Fig. 2.

Si se permite que este paramento vertical se traslade una cierta magnitud hacia la izquierda a presión constante, se producirá una reducción de la presión horizontal (figura 2-b.). A medida que nos desplazamos a presión constante, para cierto corrimiento, toda la masa de suelo entra en equilibrio plástico; cada punto llega al límite de rotura, y en ese momento la relación entre las presiones horizontal y vertical se indica por el coeficiente de empuje activo de Rankine, Ka. Este coeficiente es entonces la relación entre las tensiones principales, cuando por disminución de la presión horizontal toda la masa semi infinita de suelo está al borde de la rotura, este es el primer estado límite. Si se corriera el paramento vertical hacia la derecha, la presión vertical prácticamente se mantendría constante, pero se produciría un incremento de la presión horizontal. También se llegaría al borde de la rotura, pero con una inversión de tensiones principales: ahora la tensión horizontal sería mayor que la vertical. Es otro estado límite característico de Rankine, para el cual la relación entre las dos presiones está dada por el coeficiente de empuje pasivo, Kp.

Fig. 3.

En la figura 3 se indica la representación de los estados límites por círculos de rotura de Mohr. Si mantenemos la tensión vertical σv constante, se disminuye la tensión horizontal hasta llegar a la rotura, el segmento 0-σhmín de la figura representa la presión horizontal en ese momento. En cambio, si mantenemos la tensión vertical constante y aumentamos la tensión horizontal, el círculo va creciendo hacia la derecha, hasta que en el estado límite de Rankine toca la curva de resistencia intrínseca y se produce el estado límite de rotura. En la figura 4 se indican para el mismo diagrama las inclinaciones para las cuales se producen los estados límites. En el estado activo, la línea de rotura forma un ángulo de (45° + φ / 2) con la horizontal. En el estado pasivo, las líneas de rotura en toda la masa que se encuentra en estado de equilibrio plástico, forman también un ángulo de (45° + φ / 2) pero con la vertical.

Fig. 4-a.

Orientación de las líneas de deslizamiento en los estados de Rankine ESTADO PASIVO

45º + φ/2 con el plano sobre el que actía σ1 = σv

φ

ESTADO ACTIVO

45º − φ/2 con el plano sobre el que actía σ1 = σv

Fig. 4-b.

Se ha demostrado experimentalmente (figura 5) que la deformación para alcanzar el estado límite activo es bastante pequeña; basta un leve desplazamiento del paramento que contiene a la masa de suelo para que ésta, entre en el estado límite de empuje activo, en cambio, para llegar al estado límite de empuje pasivo de Rankine, es necesario un desplazamiento mucho mayor, alrededor de 10 veces el que se necesita para llegar al estado límite de empuje activo.

Fig. 5: Variación del valor de Ko = σh / σv con las deformaciones de las estructuras de soporte

En la figura 5 se han representado las variaciones de los coeficientes Ka y Kp para distintas condiciones de densidad relativa del material (arena), en función del giro del paramento vertical que lo contiene. Se puede observar en dicha figura la gran deformación que se debe producir para generar Kp, que en el caso de las arenas densas tienen un pico máximo mientras que en el caso de las arenas sueltas dicho pico no se alcanza y la pendiente de crecimiento es muy débil. 5

Por lo expuesto en los párrafos anteriores se aconseja para el cálculo del empuje pasivo, dividir el valor de Kp por un coeficiente de seguridad, ya que en la mayoría de los casos, las estructuras no pueden aceptar la gran deformación que se necesita para generar el empuje pasivo máximo. Por el contrario, se puede apreciar que en el caso del empuje activo Ka las deformaciones necesarias para alcanzar el valor mínimo de Ka son muy pequeñas.

Fig. 6

En la figura 6 se indica el diagrama de Mohr correspondiente a un suelo genérico. La ordenada al origen representa la cohesión (c), y la fricción (φ) está dada por la pendiente del ángulo que forma la recta con la horizontal. A partir de esta figura encontraremos la relación que existe entre las tensiones horizontales en función de las tensiones verticales y de los parámetros de corte del suelo, para el denominado “Estado activo de Rankine”. Del triángulo rectángulo ABC podemos deducir que:

Desarrollando la ecuación (1), obtenemos:

Multiplicando todos los términos por 2 y haciendo el siguiente reemplazo en el tercer termino de la izquierda

Obtenemos

Agrupando términos:

Dividiendo todos los términos por

, tenemos que:

Puede demostrarse matemáticamente las siguientes identidades trigonométricas:

Reemplazando estas identidades en la ecuación (5), obtenemos:

La ecuación (6), es la expresión que relaciona las tensiones horizontales tensiones verticales y los parámetros de corte. Para los casos prácticos se suele utilizar las siguientes expresiones:

en función de las

Con lo que la ecuación 6, queda:

En el caso del empuje activo la tensión principal menor es la horizontal (σ3); despejando σ3 para arenas donde la cohesión es nula (c = 0), se obtiene el valor del coeficiente de empuje activo de Rankine, denominado Ka. Por lo tanto, en la teoría de Rankine la distribución de presiones está afectada por un coeficiente constante, y la presión vertical crece con la profundidad. La distribución de empujes es triangular, ya que es:

Fig. 7a. Empuje activo en arenas

Fig. 7b. Empuje activo en arcillas

En las figura 7-a) y 7-b) se han dibujado diagramas de empujes activos calculados mediante la teoría de Rankine, la figura 7-a), en un caso particular del empuje activo en arenas, donde existe agua a cierta altura, y la figura 7-b) representa el empuje activo en arcillas. En el caso de las arenas, la abscisa en la primer parte del diagrama es: H .γ ce = 1 Nφ Cuando se entra en el agua, el valor de γ pasa a ser sumergido, y la pendiente varía. En este caso al valor del empuje del suelo es necesario sumarle el empuje del agua, que tiene un coeficiente K = 1, porque las presiones hidrostáticas son iguales en toda dirección. El empuje del agua es muy importante, por lo menos 3 o 6 veces mayor que el empuje del suelo; para arenas sueltas φ ' vale 30° como mínimo, y por lo tanto Ka es del orden de 0,33. Mientras que para el caso de las arenas densas φ ' es aproximadamente 45° lo cual nos da un valor de Ka = 0,17, dando un valor reducido del empuje activo. Al proyectar una estructura es muy importante conocer entonces, si

existe agua actuando en el terreno; de lo contrario, la aparición en forma imprevista de un incremento del empuje de gran magnitud, provoca inmediatamente el colapso de la estructura. En la misma figura correspondiente a empuje activo para arenas, se ha supuesto la acción de una sobrecarga “q” sobre el terreno. En este caso, el empuje se incrementa en el valor de la sobrecarga multiplicado por el coeficiente Ka. q ag = Nφ En el caso de las arcillas existe cohesión, de manera que hay que considerar los dos términos de la ecuación que da σ1 en función de σ3. El diagrama es la suma de uno triangular que crece con la profundidad, más un valor negativo constante. Resulta un diagrama negativo en su primer parte, que luego se hace positivo, lo cual indica, que para suelos cohesivos, la parte superior no solo no tiene empujes, sino que está sometida a tracción. Es por eso que las excavaciones en arcilla se pueden realizar en determinado momento y en cierto tiempo sin tener desmoronamientos, porque la parte superior está sometida a tracción y teóricamente no es necesario contener los empujes, ya que son inexistentes. Se llama altura crítica, al valor de la profundidad para el cual se igualan la parte negativa y la positiva, y en la figura se indica su expresión en función de 2 z o , que es la altura a la cual se anula el empuje activo. Es necesario destacar que a la profundidad 2 z o se compensa el área negativa del diagrama de empujes activos, con otra área similar positiva, lo que hace que a esa profundidad el empuje activo resultante sea nulo.

Fig. 8. Empuje pasivo en arcillas

Para el otro estado límite, de empujes pasivos, la estructura empuja contra el suelo, y la presión horizontal crece hasta llegar al estado de equilibrio plástico. La tensión principal mayor es la horizontal σ1. Por lo tanto despejando de la fórmula expresada en la figura 6 tendremos: Tensión principal mayor: σ1 = σp Tensión Principal menor: σ3 = γ . z

En la figura 8, se ilustra el diagrama de empuje pasivo para el caso más general de un suelo que tiene cohesión, fricción y sobrecarga. La presión horizontal es la suma de 3 términos; los dos últimos son constantes, y los diagramas correspondientes resultan rectangulares. El primer

término crece con la profundidad, ya que es la presión vertical σv. El empuje resultante, se calcula como suma de las resultantes parciales de cada una de éstas áreas, o sea, componiendo las fuerzas P”p y P´p que se observan en la figura, actuantes en los baricentros de las áreas rectangular y triangular respectiva. Las condiciones de borde impuestas por la teoría de Rankine, como habíamos dicho anteriormente, limitan su aplicación en la realidad. Por ejemplo, la resistencia de corte en la interacción suelo – estructura, no es nula cuando se produce un desplazamiento; por otra parte siempre hay fricción, de manera que, esta simplificación conduce a cierto error en la determinación del empuje. También hay casos en los cuales las condiciones geométricas de verticalidad para la superficie del paramento y horizontalidad para el terreno, no se verifican. Sin embargo, el error que se comete al aplicar esta teoría, en los casos de empuje activo, es siempre a favor de la seguridad, ya que el valor de dicho empuje que surge de suponer tensión de corte nula es mayor que el real. Conclusiones de la teoría de Rankine

Fig. 9. Empujes activos y pasivos.

Supongamos, un muro rígido enterrado cierta altura en la masa de suelo que contiene. Se hace el relleno, y en cuanto el muro se corre una pequeña fracción toda la masa de suelo entra en empuje activo, tendiendo a volcar el muro. El empuje pasivo que tiende a sostenerlo, no se desarrolla totalmente, ya que requiere mayor deformación. De allí que en algunos casos reales no podamos alcanzar el valor del empuje pasivo que ayuda a la estabilidad del muro. Es por ello que siempre hay que dividir el empuje pasivo, por un coeficiente de seguridad, y calcular el empuje activo suponiendo que se manifiesta en su totalidad. La teoría de Rankine para empuje activo puede servir para calcular proyectos no muy onerosos, donde es suficiente una aproximación. Si el proyecto involucrado es realmente importante,

conviene calcular el empuje mediante otra teoría, por ejemplo, con la teoría de Coulomb, con la cual, los valores de las secciones serán mucho menores. La figura 9 presenta los diagramas de equilibrio plástico de estructuras de suelos, cuando la tensión tangencial no es nula. En ella se han colocado las resultantes del diagrama de empuje que actúa sobre el parámetro vertical, aplicada a una altura H/3 del pie del muro, pues resulta de un diagrama triangular. A la izquierda (Fig. 9), se observan las superficies de rotura determinadas experimentalmente para dos casos de empuje activo: el primero de ellos (lado superior izquierdo), cuando el empuje está dirigido un ángulo δ hacia abajo de la horizontal, llamado empuje positivo- y el segundo (lado inferior izquierdo) cuando el empuje forma un ángulo δ hacia arriba de la horizontal, llamado empuje negativo. En el caso de δ positivo, la superficie es en realidad compuesta; inicialmente es curva, y luego plana, terminando con el mismo ángulo (45° + φ / 2) que indicaba Rankine. En el caso de δ negativo, una parte de la superficie es curva, con curvatura inversa de la anterior, terminando en el mismo ángulo. Observando los desplazamientos relativos entre el suelo y un muro, se encuentra que en general – cuando el muro gira o se traslada- el suelo baja respecto del muro, e induce sobre éste una tensión tangencial dirigida hacia abajo. Por su parte, el muro induce sobre el suelo una tensión contraria, de modo que en las condiciones mas frecuentes la reacción del empuje está dirigida hacia arriba, desde el muro hacia el suelo. La convención de signos asigna a este caso el valor positivo. En el caso, menos frecuente, en que el muro baje respecto del suelo, la tensión tangencial cambia de sentido, y se le asigna el valor negativo de δ . El muro puede bajar respecto del suelo en casos muy particulares; por ejemplo, cuando hay una carga muy grande sobre la cresta del muro y éste desciende por asentamiento más que el suelo al cual debe contener. Para el empuje pasivo (lado derecho) también se observan en la figura 9, las superficies de deslizamiento y de equilibrio plástico, en los casos de ángulos positivos o negativos. Ahora el δ positivo tiene sentido contrario al que tenía en empuje activo, porque en este caso la estructura empuja contra el suelo. El suelo tiende a subir, de manera que tiene – respecto de la estructurauna tensión tangencial dirigida hacia arriba. Se asigna valor positivo al empuje pasivo que corresponde a un ángulo δ por encima de la horizontal. Coeficientes de los suelos en reposo para diferentes suelos Como se observa, el coeficiente K0 relaciona la presión horizontal con la presión vertical del terrenos en reposo, es decir en suelos en estado natural con edades geológicas muy importantes o materiales de relleno de los cuales puede suponerse que los asentamientos debidos a su propio peso ya se han definido.

Ko =

σh σv

De acuerdo a las experiencias realizadas por Terzaghi, los valores del coeficiente de empujes de suelo en reposo K0 podrían encontrarse en el entorno de los siguientes valores: a- En arenas: K0 varía entre 0.40 y 0.55 ( 0.5 para

0.33)

b- Para suelos granulares, el coeficiente K0 puede estimarse utilizando la siguiente relación

empírica Ko = 1 − Sen(φ´) (Jaky, 1944) Donde φ´ es el ángulo de fricción drenada

c- En arcillas normalmente consolidadas: K0 es aproximadamente 0.60 a 0.8 (0.7 para 0.42).

Para suelos de grano fino, normalmente consolidados, el coeficiente K0 puede estimarse también utilizando la siguiente relación empírica: IP(%) Ko = 0.44 + 0.42 (Massarsch, 1979) 100 Donde IP, es el índice de plasticidad d- En arcillas preconsolidadas por lo general: K0 > 1

Para arcillas pre-consolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por Ko ( preconsolidada) = Ko( normalmente consolidada ) (OCR)

OCR es la tasa de precompresión que se define como: OCR =

Pr esión de precompresión Pr esión de sobrec arg a efectiva presente

e- En un fluido: K0 = 1, debido a que

El hecho que K0 pueda ser mayor que 1 en las arcillas preconsolidadas está basado en el siguiente fenómeno físico: Al descargarse verticalmente (por ejemplo por erosión de sedimentos superiores) desde un cierto valor de hasta el valor de σ0 actual, por tratarse de una masa semi infinita disminuye muy poco con relación a la reducción ocurrida verticalmente, permaneciendo sensiblemente igual a la original. No se puede tomar esto como una ley general ya que hay arcillas preconsolidadas, por ejemplo por desecación, en las cuales K0 puede ser menor o igual a la unidad. Ello se debe a que las tensiones capilares que produce la desecación (que no actúan solo en dirección horizontal), original tensiones en la masa de suelos, reduciendo la relación de vacios y provocan en consecuencia un estado de fisuración interno, configurando una estructura similar a la de las gravas como la que se aprecia en la foto adjunta, por lo que en ciertos casos, K0 resulta próximo a los sugeridos para dichos materiales.