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• Gerardo Reyes Meneses

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Rajo abierto Leyes de Corte

Estrategia leyes de Corte •

Definidos los limites económicos, se necesita definir una variable de decisión que determina el tiempo de consumo de las reservas, dicha variable se denomina Ley de corte.

•

La ley de corte en esencia permite discriminar los que es mineral y estéril.

•

Una ley de corte alta implica que la proporción de mineral es baja, por lo tanto la vida de la mina se reduce y viceversa.

•

Por lo anterior, la estrategia de leyes de corte consiste en maximizar el VPN del negocio.

•

Lo anterior significa que si tenemos un buen modelo matemático, las leyes de corte mostraran un comportamiento decreciente en el tiempo.

•

Se obtendrá un vector con el tonelaje y ley de la reservas extraíbles.

ESTIMACIÓN DE LA LEY DE CORTE CRÍTICA, PARA EL DISEÑO DE UNA EXPLOTACIÓN A CIELO ABIERTO.

E1 E2

M1

M2

B=I–C

Última expansión marginal, ¿M2 nos reportará beneficios positivos?

B:Beneficio neto esperado de la última expansión marginal I:Ingresos por venta del producto C:Costos para obtener el producto

B2 = I2 - C2 > 0 se asegura que la última expansión marginal se explotará ampliándose los límites iniciales del rajo

B2 = I2 - C2 < 0 se asegura que la última expansión marginal NO se explotará y el límite de la explotación queda definido por la explotación de M1 Alejandro Vásquez, Benjamín Galdámez, René Le-Feaux, Apunte Preliminar Diseño y Operaciones de Minas a Cielo Abierto, U. de Chile

Leyes de Corte •

Del balance Beneficio = Ingresos – Costos = 0

•

Ley de Corte Critica:

Ejemplo Inventario de reservas explotables bajo una determinada LDC Curva Tonelaje - Ley de Corte

Tonelaje

EJEMPLO Nº1

900.000.000 Curva Tonelaje - Ley Media

800.000.000 700.000.000 600.000.000 500.000.000 400.000.000 300.000.000 200.000.000 100.000.000 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6 0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Ley %

Alimentación a planta 80.000 tpd

Precio US$/lb Cu 1.25 1.10 0.80

Ley de Corte % 0.39 0.47 0.80

Ley Media % 0.60 0.67 1.00

Mineral Toneladas 550.000.000 400.000.000 160.000.000

Cu Fino lb Cu 6.547.662.000 5.317.495.200 3.174.624.000

Ingresos US$ 8.184.577.500 5.849.244.720 2.539.699.200

Vida Útil Años 19 14 6

Alejandro Vásquez, Benjamín Galdámez, René Le-Feaux, Apunte Preliminar Diseño y Operaciones de Minas a Cielo Abierto, U. de Chile

Ejemplo Curvas beneficio – leyes de corte LDC (%CuT)

Oxidos

9 8 7 6

BENEFICIO $/TONE

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6

0.025 0.045 0.065 0.085 0.105 0.125 0.145 0.165 0.185 0.205 0.225 0.245 0.265 0.285 0.305 0.325 0.345 0.365 0.385 0.405 0.425 0.445 0.465 0.485 0.505 0.525 0.545

Profit Crush -4.68 -4.11 -3.54 -2.97 -2.40 -1.82 -1.25 -0.68 -0.11 0.456 1.027 1.599 2.170 2.741 3.312 3.884 4.455 5.026 5.598 6.169 6.740 7.312 7.883 8.454 9.026 9.597 10.16

Profit ROM -2.38 -2.00 -1.62 -1.24 -0.86 -0.48 -0.10 0.280 0.660 1.041 1.422 1.803 2.184 2.565 2.946 3.326 3.707 4.088 4.469 4.850 5.231 5.612 5.993 6.373 6.754 7.135 7.516 %CuT

Profit Crush

Profit ROM

Política leyes de Corte •

Debe estar definidos los limites finales y la secuencia de explotación.

•

Criterio clásico es calcular la ley de corte excluyendo los costos mina.

•

Concepto moderno considera el costo de oportunidad.

•

El costo de oportunidad está dado por el valor presente remanente, afectado por la tasa de descuento atingente al periodo en que se posterga el resto del deposito (conceptos del algoritmo de K.F. Lane)

Política leyes de Corte

Ley de Corte Optima Algoritmo de Lane Etapa

Material

Capacidad máxima

Costos unitarios

Mina

Mineral

M

m

Planta

Concentrado

C

c

Refinería

Producto

R

r Otros factores:

Definiciones:

Costos fijos: f Precio de venta: s Recuperación: y

M : Cantidad máxima de material (estéril y mineral) a extraer en un año. C : Cantidad máxima de mineral a tratar en un año. R : Cantidad máxima de fino a producir en un año. m : Costo de mina por unidad de material, independiente de la ley de la unidad explotada (perforación, tronadura, carguío y transporte). c : Costo por unidad de mineral tratado. r : Costo por unidad de producto incluyendo fundición, refinería y ventas. f : Costos fijo. s : Precio de venta. u : Recuperación metalúrgica.

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane •Objetivo es maximizar el valor presente de los beneficios generados en la operación. •Definimos:

•d = tasa de interés. •Buscamos un expresión de V en función de beneficio P y W.

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane •En el periodo T ya se han recibido los flujos de caja anteriores, por lo que no se consideran para el calculo, entonces la expresión de V queda:

W

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane •Como se considera un futuro inmediato, por lo que T es un valor pequeño, por lo que podemos hacer la siguiente aproximación:

(1) •Sea v = V – W, el incremento al valor presente debido a la explotación del siguiente Qm:

•Reemplazando les ecuaciones anteriores en (1) tenemos:

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Paso01: Determinar leyes de corte económicas limitantes •

La expresión anterior relaciona los flujos de caja con las leyes de corte.

•

Es posible encontrar una expresión para determinar una ley de corte óptima cuando la operación esté limitada por una sola etapa: Mina, Concentrador o Mercado.

 MINA LIMITA LA OPERACIÓN.

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Leyes de corte económicas limitantes

(*)

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Leyes de corte económicas limitantes

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Leyes de corte económicas limitantes  CONCENTRADORA LIMITA LA OPERACIÓN.

 MERCADO LIMITA LA OPERACIÓN.

•

Nótese que las expresiones gc y gr están en función de d*V, V es un valor desconocido, por lo tanto para encontrar el valor de la leyes económicas debemos hacer un proceso de iteración, comenzando con V = 0.

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Paso02: Leyes de corte en equilibrio •

Ninguna de las anteriores leyes de corte económicas es necesariamente la ley de corte óptima a emplear. La razón es que la capacidad de operación no está limitada sólo por una de las etapas necesariamente, sino que puede estar limitada por dos y excepcionalmente por las tres

•

Definimos: Gmc: Ley de corte de equilibrio Mina - Concentrador. Gmr : Ley de corte de equilibrio Mina - Refinería. Grc : Ley de corte de equilibrio Refinería - Concentrador.

•

CASO MINA – CONCENTRADOR.

•

Se calcula vm y vc en función de distintas leyes de corte. Si se representa gráficamente ambas curvas se encuentran los siguientes 3 puntos singulares: gm gc gmc

: Ley económica dada por la mina. : Ley económica dada por la concentradora. : Intersección de ambas curvas (ley de corte en equilibrio).

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Leyes de corte en equilibrio

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Leyes de corte en equilibrio

•

CASO MINA - REFINERÍA.

•

CASO CONCENTRADOR - REFINERÍA

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Paso03:Ley de corte optima. •

La ley de corte optima global es una del las tres leyes determinadas Gmc, Gmr, Grc, la que maximizará la utilidad descontada total del inventario mineralizado.

•

La Ley de Corte Optima Efectiva Global (Gmcr) es igual al valor intermedio de los tres valores inter-etapas( Gmc, Gmr, Grc).

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo Tabla #1 Material Mina (Qm) [Tons] 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1,000

LdC Concentrador (gc) [Lbs/Ton] 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Alimentación concentrador (Qc) [Tons] 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 550

Ley media [Lbs/Ton] 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95

Producción Refinería (Qr) [Tons] 50 49.5 48 45.5 42 37.5 32 25.5 18 9.5 358

Costos m c r f

1 2 5 300

[$/ton] [$/ton] [$/lb] [$/año]

s

25

[$/lb]

Recuperación y

1

100%

Capacidades M C R

100 50 40

[tons/año] [tons/año] [lbs/año]

Costo Mina Costo Concentrador Costo Venta Costos Fijos

Precio

Mina Concentrador Refineria

W. Hustrulid – M. Kuchta, Open Pit Mine Planning and Design, 2006

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Paso01: Determinar las leyes de corte limitantes.

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Paso02: Determinar las leyes de corte económicas por balance de la operaciones.

•

Tenemos que Qm = 100 tons y Qc = 50 tons. Consultando la tabla # 1, la ley de corte que satisface estas capacidades es gmc= 0.5 [lbs/Ton].

•

Para Qc = 50 tons y Qr = 40 tons, la relación entre ambos se aprecia en la tabla # 2, donde la ley de corte gcr = 0.6 [lbs/Ton]. Tabla #2

Producción refinería en función de la ley de corte del concentrador operando a capacidad máxima Material a concentrar (Qc) LdC Concentrador (gc) Ley promedio Concentrador Producción Refinería (Qr) [Tons] [Lbs/Ton] [Tons] [Tons] 50 0.0 0.50 25 50 0.1 0.55 28 50 0.2 0.60 30 50 0.3 0.65 33 50 0.4 0.70 35 50 0.5 0.75 38 50 0.6 0.80 40 50 0.7 0.85 43 50 0.8 0.90 45 50 0.9 0.95 48 500 363

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Para balance entre mina-refinería, de la tabla # 1 podemos interpolar el valor para Qr = 40 tons dando una ley de corte de gmr = 0.456.

•

Tenemos las seis leyes:

•

Para calcular gc y gr, hacemos V=0, dando como resultado gc = 0.40 y gr = 0.16

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Paso03: Determinar las leyes de corte en optima.

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Aplicando las siguientes relaciones para determinar Gmc, Grc y Gmr.

•

Tenemos los siguientes resultados: Gmc = 0.40, Grc = 0.40 y Gmr = 0.16.

•

Por lo tanto, la ley de corte optima = valor intermedio (Gmc,Gmr,Grc) = 0.40

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Paso04: Calculo de capacidades, beneficio, iteración # 01 con V = 0.

•

Se calculan las cantidades máximas y no violando las capacidades.

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Del paso anterior se tiene que la ley de corte óptima G = 0.4 [lbs/ton].

•

De la tabla # 01, para una ley de corte G = 0.4 y Qm = 100 = M tenemos:

•

Qc = 60 tons y Qr = 42 tons

•

Calculamos la capacidad mina y refinería, considerando Qc = 50 tons, tenemos según la tabla #2 que Qm = (5/6)*100 = 83.3 y Qr = 50*0.70 = 35 tons.

•

Calculamos la capacidad mina y concentrador, considerando Qr = 40:

•

Qc = 40/0.7 = 57.1 y Qm = (57.1*100)/60 = 95.2 tons. La concentradora se excede por lo tanto es el cuello botella.

Exceden las capacidades !!.

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Paso04: Calculo de capacidades, beneficio, iteración # 01 con V = 0.

•

Entonces tenemos definidos los valores: Qm = 83.3, Qc = 50 y Qr = 35.

•

Calculamos el beneficio P.

•

P = (25-5) x 35 – 2 x 50 – 1 x 83.3 – 300 x 1 = $216.7

•

Tenemos de la tabla #1, Q = 1000 tons, cantidad total a minear (reservas).

•

Vida de operación = n = 1000/83.3 = 12 años.

•

Calculamos V, a 12 años, con flujos anuales de $216.7 y una tasa de interés d = 15%.

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Iteración # 02 con V = $1174.6.

•

Se calcula gc y gr que están en función de V.

•

Tenemos nuevas 6 leyes:

•

Aplicando el paso 03 tenemos:

•

Nueva ley de corte optima G = 0.5 [lbs/ton].

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Vemos las capacidades para esta nueva ley de corte en la tabla # 01

•

Tenemos Qm = 100 tons, Qc = 50 tons y Qr = 37.5 tons y una ley media 0.75 (lbs/tons).

•

Beneficio P = 20 x 37.5 – 2 x 50 – 1 x 100 – 300 = $250.

•

n = Q/Qm = 1000/100 = 10 años.

•

Calculamos V, a 10 años, con flujos anuales de $250 y una tasa de interés d = 15%.

•

Iteración # 03 con V = $1254.7.

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo

•

Tenemos nuevas 6 leyes.

•

Aplicando el paso 03 tenemos:

•

Nueva ley de corte optima G = 0.5 (tons/lbs).

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Para el año 1, tenemos lo siguientes resultados.

• • • • •

Ley de corte optima = 0.5. Material a minear, Qm = 100 tons. Mineral al concentrador, Qc = 50 tons. Mineral refinado, Qc = 37.5 tons Beneficio, P = $250.

•

Las reservas deben ajustarse para el año 2, y repetir el proceso empezando las iteraciones con V = 0.

•

Para el ejercicio, los resultados del año 01 se mantienen hasta el fin de año 7. La tablas siguiente resume la reservas al final del año 1 y el comienzo del año 8. Distribución de reservas fin año 1 Rangos Leyes de corte Material Mina (Qm) I-Inferior I-Superior [Tons] 0 0.1 90 0.1 0.2 90 0.2 0.3 90 0.3 0.4 90 0.4 0.5 90 0.5 0.6 90 0.6 0.7 90 0.7 0.8 90 0.8 0.9 90 0.9 1 90 900

Distribución de reservas inicio año 8 Rangos Leyes de corte Material Mina (Qm) I-Inferior I-Superior [Tons] 0 0.1 30 0.1 0.2 30 0.2 0.3 30 0.3 0.4 30 0.4 0.5 30 0.5 0.6 30 0.6 0.7 30 0.7 0.8 30 0.8 0.9 30 0.9 1 30 300

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Iteración # 01, V = 0, para el año 8 se tienen los resultados de las seis leyes anteriores.

•

Gmc = 0.40, Grc = 0.40 y Gmr = 0.16.

•

gm = 0.10, gc = 0.40 y gr = 0.16.

•

Por lo tanto, la ley de corte optima = valor intermedio (Gmc, Gmr,Grc) = 0.40 (lbs/tons).

•

Entonces tenemos: Qm = 83.3, Qc = 50 y Qr = 35.

•

Beneficio P = (25-5) x 35 – 2 x 50 – 1 x 83.3 – 300 x 1 = $216.7 .

•

N = 300/83.3 = 3.6 años.

•

Calculamos V, a 3.6 años, con flujos anuales de $216.7 y una tasa de interés d = 15%.

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Iteración # 02 con V = $571.2.

•

Se calcula gc y gr que están en función de V.

•

Tenemos nuevas 6 leyes:

•

Aplicando el paso 03 tenemos:

•

Nueva ley de corte optima G = 0.486 [lbs/ton].

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Iteración # 02 con V = $571.2.

•

Según la tabla de reservas de inicio del año 8 y para una ley de corte optima = 0.486, tenemos 154.2 tons a minear con una ley media de 0.743 (lbs/tons). Distribución de reservas inicio año 8 Rangos Leyes de corte Material Mina (Qm) I-Inferior I-Superior [Tons] 0 0.1 30 0.1 0.2 30 0.2 0.3 30 0.3 0.4 30 0.4 0.5 30 0.5 0.6 30 0.6 0.7 30 0.7 0.8 30 0.8 0.9 30 0.9 1 30 300

• • • • • •

Material Mina (Qm) Ley Promedio [Tons] [Lbs/Ton] 4.2 0.493 30 0.55 30 0.65 30 0.75 30 0.85 30 0.95 154.2 0.743

Para un Qc = 50 tons/año, se tiene que la vida de la mina: N = 154.2/50 = 3.08 años Qm = 300/3.08 = 97.3 Qr = 37.15 Beneficio P = 20x 37.15 – 2 x 50 – 1 x 97.3 – 300 x 1 = $245.7. Calculamos V, a 3.08 años, con flujos anuales de $245.7 y una tasa de interés d = 15%.

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo •

Iteración # 02 con V = $572.96.

•

Se calcula gc y gr que están en función de V.

•

Igual que las iteraciones anteriores tenemos para el año 8:

•

Los cálculos son análogos para los año 9,10 y 11:

Leyes de Corte Económica Algoritmo de Lane Ejemplo, resultado final. LDC optima [lbs/tons] 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4

Tons Mina 100 100 100 100 100 100 100 97 93 89 21

Tons Concentradora 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 13

Lbs Refinería 38 38 38 38 38 38 38 37 37 36 9

Beneficio ($) 250 250 250 250 250 250 250 246 238 229 55

Politica de leyes de corte 0.6

1,400

0.5

1,200

800 0.3 600 0.2

400

0.1

200

0.0

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Año Ley de corte optima

VPN

10

11

VPN

1,000

0.4

Ley de corte

Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

NPV ($) 1,255 1,193 1,122 1,040 946 838 714 574 417 243 53