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• Oscar Roberto

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I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL En una manzana de casas hay 10 aparcamientos. En cada uno puede encontrarse o no un coche. Si la probabilidad de que un aparcamiento este ocupado es de 0,4. Calcular la probabilidad de que cierto día se encuentren 8 coches aparcados. Tenemos que (p = probabilidad de aparcamiento ocupado): p = 0, 4 ⇒ q = 1 − 0, 4 = 0, 6 n = 10 i =8 Aplicando la fórmula de la distribución binomial: ⎛10 ⎞ P ( X = 8 ) = ⎜ ⎟ ⋅ 0, 48 ⋅ 0, 62 = 0, 0106 ⎝8⎠

Una determinada raza de perros tiene 5 cachorros de cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0,55. Calcular la probabilidad de que en una camada: a) Haya exactamente dos hembras. b) Al menos dos sean hembras. a) Tenemos que (p = probabilidad de hembra): p = 0, 45 ⇒ q = 1 − 0, 45 = 0,55

n=5 i =2 ⎛5⎞ Aplicando la fórmula de la distribución binomial: P ( X = 2 ) = ⎜ ⎟ ⋅ 0, 452 ⋅ 0,553 = 0,3369 ⎝2⎠

b) Ahora tenemos:

⎛ ⎛5⎞ ⎞ ⎛5⎞ P ( X ≥ 2 ) = 1 − P ( X < 2 ) = 1 − P ( X = 0 ) + P ( X = 1) = 1 − ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⋅ 0, 450 ⋅ 0,555 + ⎜ ⎟ ⋅ 0, 451 ⋅ 0,554 ⎟⎟ = 0 1 ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠

(

)

= 1 − ( 0,0503 + 0,2059) = 0,7428

Una encuesta revela que el 20% de la población es favorable a un determinado político. Elegidas seis personas al azar, se desea saber la probabilidad de que: a) Las seis personas sean favorables al político. b) Las seis personas le sean desfavorables. c) Dos personas, exactamente, apoyen al político. a) Tenemos que (p = favorable al político): p = 0,2 ⇒ q = 1 − 0,2 = 0, 8 n=6 i =6 ⎛6⎞ Aplicando la fórmula de la distribución binomial: P ( X = 6 ) = ⎜ ⎟ ⋅ 0,26 ⋅ 0, 80 = 0, 0001 ⎝6⎠ ⎛6⎞ b) En este caso i = 0 . Por tanto P ( X = 0 ) = ⎜ ⎟ ⋅ 0,20 ⋅ 0, 86 = 0,2621 ⎝0⎠ ⎛6⎞ c) Ahora i = 2 . Por tanto P ( X = 2 ) = ⎜ ⎟ ⋅ 0,22 ⋅ 0, 84 = 0,2458 ⎝2⎠

La probabilidad de que un proyectil de en el blanco es 0,8. Si se lanzan 5 proyectiles calcular la probabilidad de que alguno de en el blanco. Tenemos que (p = de en el blanco): p = 0, 8 ⇒ q = 1 − 0, 8 = 0,2 n=5 Nos piden P ( X > 0 ) = 1 − P ( X = 0 ) Aplicando la fórmula de la distribución binomial: ⎛5⎞ P ( X > 0 ) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − ⎜ ⎟ ⋅ 0, 80 ⋅ 0,25 = 1 − 0, 0003 = 0, 9997 ⎝0⎠

Una familia tiene 10 hijos. La distribución por sexos es igualmente probable. Hallar la probabilidad de que haya: a) Como mucho 3 niñas. b) Al menos una niña. c) Al menos una niña y un niño. Tenemos que (p = sea niña): p = 0,5 ⇒ q = 1 − 0,5 = 0,5 n = 10 a) Nos piden: P ( X ≤ 3 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) Aplicando la fórmula de la distribución binomial: ⎛10 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ P ( X ≤ 3) = ⎜ ⎟ ⋅ 0,50 ⋅ 0,510 + ⎜ ⎟ ⋅ 0,51 ⋅ 0,59 + ⎜ ⎟ ⋅ 0,52 ⋅ 0,58 + ⎜ ⎟ ⋅ 0,53 ⋅ 0,57 = ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎝3⎠ = 0, 0010 + 0, 0098 + 0, 0439 + 0,1172 = 1719 b) El suceso contrario es que no haya ninguna niña, es decir P ( X > 0 ) = 1 − P ( X = 0 ) Aplicando la fórmula de la distribución binomial: ⎛ 10 ⎞ P ( X > 0 ) = 1 − ⎜ ⎟ ⋅ 0,50 ⋅ 0,510 = 1 − 0, 0010 = 0, 9990 ⎝0⎠ c) Ahora el suceso contrario es que no haya ninguna niña ( i = 0 ) ni que haya ningún niño ( i = 10 ) .

⎛ ⎛10 ⎞ ⎞ ⎛10 ⎞ Por tanto: P = 1 − P ( X = 0 ) + P ( X = 10 ) = 1 − ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⋅ 0,50 ⋅ 0,510 + ⎜ ⎟ ⋅ 0,510 ⋅ 0,50 ⎟⎟ = 0, 998 ⎝10 ⎠ ⎝⎝ 0 ⎠ ⎠

(

)

En un proceso de fabricación la probabilidad de que una unidad producida pase el control de calidad es del 90%. En un lote de 8 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que pasen el control al menos seis? Tenemos que (p = pasen el control): p = 0, 9 ⇒ q = 1 − 0, 9 = 0,1 n=8 Nos piden P ( X ≥ 6 ) = P ( X = 6 ) + P ( X = 7 ) + P ( X = 8 ) Aplicando la fórmula de la distribución binomial: ⎛8⎞ ⎛8⎞ ⎛8⎞ P ( X ≥ 6 ) = ⎜ ⎟ ⋅ 0, 96 ⋅ 0,12 + ⎜ ⎟ ⋅ 0, 97 ⋅ 0,11 + ⎜ ⎟ ⋅ 0, 98 ⋅ 0,10 = 0,1488 + 0,3826 + 0, 4305 = 0, 9619 ⎝6⎠ ⎝7⎠ ⎝8⎠

Un examen de preguntas con respuesta múltiple consta de 8 preguntas con 4 respuestas cada una. Si un alumno responde al azar, hallar la probabilidad de que apruebe el examen Tenemos que (p = acierte la pregunta): p = 0,25 ⇒ q = 1 − 0,25 = 0,75 n=8 Coma para aprobar hace falta contestar al menos 4 preguntas, nos piden: P ( X ≥ 4 ) = P ( X = 4 ) + P ( X = 5) + P ( X = 6 ) + P ( X = 7 ) + P ( X = 8 ) Aplicando la fórmula de la binomial: ⎛8⎞ ⎛8⎞ ⎛8⎞ ⎛8⎞ ⎛8⎞ P ( X ≥ 4 ) = ⎜ ⎟ 0,254 ⋅ 0,754 + ⎜ ⎟ 0,255 ⋅ 0,753 + ⎜ ⎟ 0,256 ⋅ 0,752 + ⎜ ⎟ 0,257 ⋅ 0,751 + ⎜ ⎟ 0,258 ⋅ 0,750 = 4 5 6 7 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝8⎠ = 0, 08652 + 0, 02307 + 0, 00385 + 0, 00037 + 0, 00002 = 0,11383

Una compañía de seguros estima que la probabilidad de que un asegurado tenga un accidente de motocicleta es de 0,25. De 10 asegurados, ¿cuál es el número medio de accidentados que se puede esperar? Tenemos que (p = tenga un accidente): p = 0,25 ⇒ q = 1 − 0,25 = 0,75 n = 10 La media viene dada por la fórmula: x = n ⋅ p Luego en nuestro caso es: x = 0, 25 ⋅ 10 = 2,5

Cuatro personas de edades y estado de salud semejantes han contratado una póliza de vida. Las tablas de mortalidad prevén un 0,7 de probabilidad de que estos asegurados continúen vivos después de 25 años. Encontrar la probabilidad de que en 25 años: a) Vivan los 4 b) No viva ninguno c) El número medio de supervivientes Tenemos que (p = continúen vivos): p = 0, 7 ⇒ q = 1 − 0, 7 = 0, 3 n=4 ⎛ 4⎞ a) P ( X = 4 ) = ⎜ ⎟ ⋅ 0,74 ⋅ 0,30 = 0,2401 ⎝ 4⎠ ⎛ 4⎞ b) P ( X = 0 ) = ⎜ ⎟ ⋅ 0,70 ⋅ 0,34 = 0, 0081 ⎝0⎠

c) x = 0,7 ⋅ 4 = 2, 8

Determinar la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Obtener al menos un uno lanzando cuatro dados. b) Obtener al menos una vez dos unos lanzando dos dados veinticuatro veces. a) Tenemos que (p = obtener un uno): 1 1 1 1 35 p= ⋅ = ⇒ q =1− = 6 6 36 36 36 n = 24 Nos piden: P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) 0

4

⎛ 4⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ Aplicando la fórmula de la distribución binomial: P ( X ≥ 1) = 1 − ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 0, 4823 ⎝0⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ b) Ahora tenemos que (p = obtener dos unos): 1 1 5 p = ⇒ q =1− = 6 6 6 n=4 Nos piden, al igual que antes: P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) 0

24

⎛ 24 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 35 ⎞ Aplicando la fórmula de la distribución binomial: P ( X ≥ 1) = 1 − ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 36 ⎠ ⎝ 36 ⎠

= 0,5086