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• Fernando Andreè Torres Mariñas

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Binomial 12.La probabilidad de hacer una venta en un intento, de cierto vendedor, es 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a) exactamente dos ventas en tres intentos de ventas consecutivas? b) ¿por lo menos una venta en tres intentos de ventas consecutivas? c) ¿Cuántos intentos de ventas consecutivas deben hacerse para obtener una seguridad de 0.9375 de obtener por lo menos una venta? Solución a) Si definimos a X como “El número de ventas en tres intentos de ventas consecutivas” y p = 0.5, con n = 3, diremos que X tiene distribución binomial con función de probabilidad definida por p(x) = P(X = x) = C(3, x)(0.5)x(0.5)3-x = C(3, x)(0.5)3 , x = 0, 1, 2, 3 Según esto, p(2) = P(X = 2) = C(3,2)(0.5)3 = 0.375 b) Por lo menos una venta significa que ocurre el evento X ≥ 1. Por lo que debemos encontrar P(X ≥ 1). Como P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0), entonces P(X ≥ 1) = 0.875 c) Por lo menos una venta significa X ≥ 1. De acuerdo a los datos, su probabilidad de ocurrencia es P(X ≥ 1) = 0.9375; es decir, P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 0.9375, de donde P(X = 0) = 0.0625 De acuerdo a la función de distribución, P(X = 0) = C(n, 0)(0.5)n = 0.5n = 0.0625 Tomando logaritmo a ambos miembros tenemos n = Ln(0.0625)/Ln(0.5) = 4.25 Luego el número de intentos necesarios será 4, para tener la probabilidad de por lo menos una venta igual a 0.9375. 13. Suponga que la máquina A produce el doble de artículos que la máquina B. Se sabe que el 6% de los artículos que produce la máquina A son defectuosos, mientras que solo el 3% de los artículos producidos por la máquina B son defectuosos. Si al final de un día de producción se juntan las dos producciones y de ella se toma una muestra aleatoria de 10 artículos, calcular la probabilidad de obtener tres artículos defectuosos. Solución

El diagrama de árbol grafica claramente la característica del problema. Como lamáquina A produce el doble de artículos que la máquina B, entonces, al seleccionar un producto, la probabilidad de que este provenga de la máquina A es 2/3, y de que provenga de la máquina B es 1/3. Por otro lado, un defectuoso puede provenir de la máquina A o de la máquina B; es decir la probabilidad de obtener un producto defectuoso del total de la producción de un día es p = (2/3)(0.06) + (1/3)(0.03) = 0.05. Esta es la probabilidad de éxito; la probabilidad de extraer un producto defectuoso. Ahora volvamos al problema. Si X es el número de productos defectuosos en una muestra de n = 10 artículos, entonces X tiene distribución binomial con parámetros n = 10 y p = 0.05. Luego su función de distribución es p(x) = P(X = x) = C(10, x)(0.05)x(0.95)10-x

;

x = 0, 1, 2, 3, …, 9, 10

Con lo cual p(3) = P(X = 3) = C(10, 3)(0.05)3(0.95)7 = 0.01047 14. El departamento de contabilidad de una firma comercial tiene a dos empleados a tiempo parcial: Manuel y Manuela. Manuel trabajará los Lunes, Miércoles y Viernes, mientras que Manuela lo hará los Martes, Jueves y Sábado. Manuel archivó erróneamente uno de cada cinco documentos, mientras que Manuela lo hace uno de cada seis. Se elige un día a la semana y en ese día se toma una muestra de 6 documentos de entre los documentos archivados ese día. a.¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente tres documentos mal archivados? b.Suponga que la muestra contiene exactamente tres documentos mal archivados, ¿cuál es la probabilidad de que hayan sido archivados por Yaco? Solución Definamos la variable aleatoria X como el “Número de documentos mal archivados”. En primer lugar el número de documentos mal archivados por Yaco y por Báslavi es constante. Yaco archiva mal con probabilidad 1/5 y Báslavi, con probabilidad 1/6. Como la muestra de la que se extrae los documentos a ser examinados es n = 6, entonces X → B(n=6, p). Encontremos el valor de p: la probabilidad de que el documento seleccionado de la muestra sea defectuoso.

Como Yaco y Báslavi trabajan el mismo número de días de la semana, la probabilidad de que se haya elegido uno de los días en los cuales trabaja Yaco, es 1/2. De suerte que la probabilidad de extraer un documento mal archivado por Yaco será p = (1/2)(1/5) + (1/2)(1/6) = 11/60, por cuanto Yaco archiva mal uno de cada 5, mientras que Báslavi lo hace uno de cada 6. Ahora respondiendo a las preguntas, tenemos: p(3) = P(X = 3) = C(6, 3)(11/60)3(49/60)3 = 0.0671 Sea X la variable aleatoria definida como el Número de documentos mal archivados. Sea A el evento definido como “El documento fue archivado por Yaco” Sea B el evento “Hay 3 documentos mal archivados”; es decir B = {x / x = 3 } Según esto debemos buscar la probabilidad P(A/B). Como P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B). Debemos encontrar P(A ∩ B) ya que P(B) = 0.0671 P(A ∩ B) = P(A ∩ X = 3) = 0.5xC(6,3)(0.2)3x(0.8)3 = 0.04096 Luego P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(A ∩ X = 3) / P(X = 3) = 0.61019857 17. Un examen consta de 20 preguntas; cada una de ellas tiene 5 respuestas posibles de las cuales sólo una es la respuesta correcta.. Si un estudiante que desconoce el curso contesta la prueba aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que acierte en más de 10 respuestas correctas? ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas? Solución De acuerdo a los datos, n = 20, p = 1/5 = 0.2 y si definimos a X como el “Número de respuestas correctas”, diremos que X tiene distribución binomial B(n=20, p = 0.2) y cuya función de probabilidad viene dada por

El número esperado de respuestas correctas será E[X] = np = 20(0.2) = 4

19. Una máquina produce cierto tipo de piezas, de las cuales el 5% en promedio son defectuosos. En una muestra aleatoria de 5 piezas ¿cuál es la probabilidad de obtener a) exactamente dos piezas defectuosas? b) por lo menos una pieza defectuosa?

Solución En este ejemplo la probabilidad de extraer una pieza defectuosa es 0.05. Esta probabilidad sigue siendo la misma cuando se extrae la segunda o las siguientes piezas, hasta completar los 5 de la muestra. No sabiendo cuántas defectuosas tiene el lote, supondremos que la probabilidad de éxito(la de extraer una pieza defectuosa) es constante. Por ello si X representa el número de piezas defectuosas en la muestra, entonces diremos que X tiene distribución Binomial y X → B(n=4, p=0.05). Luego p(x) = P(X = x) = C(5, x)(0.05)x(0.95)5-x,

para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Respondamos ahora a las preguntas: a) Exactamente dos piezas defectuosas significa encontrar p(2) = P(X = 2) = C(5 , 2)(0.05)²(0.95)3 = 0.02143 Usando Excel: P(X = 2) = Distr.Binom(2,5,0.05,0) b) Por lo menos una pieza defectuosa significa es P(X ≥ 1) P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – C(5, 0)(0.05)0(0.95)5 = 0.22622 Usando Excel: P(X ≥ 1 ) = 1 – P(X < 1) = 1 – Distr.Binom(0,5,0.05,1) 16 y 26.

28. En una feria, comprando un boleto de 10 pesos se puede participar en un juego que consiste en lanzar 6 argollas para insertarlo en una botella de madera. Los premios del juego son: Una bolsa de caramelo(valor de un peso), al insertar de 1 a 3 argollas Un tarro de duraznos(valor de 4 pesos), al insertar 4 argollas Una botella de vino(valor de 17 pesos), al insertar 5 argollas Una caja de cigarrillos(valor 31 pesos), al insertar las 6 argollas Sabiendo que el jugador promedio tiene una probabilidad de 1/3 de insertar una argolla y que al día se vende en promedio 729 boletos; ¿cuáles son los ingresos netos diarios que el dueño del juego espera obtener. Solución Sea X la variable aleatoria que representa “El número de argollas insertadas al lanzar 6 de ellas”. Según esto, los valores de X son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Definimos a p = 1/3, la probabilidad de éxito de insertar una argolla. Como las 6 argollas representan la repetición de un ensayo de Bernoulli, entonces X tiene distribución Binomial B(n=6, p = 1/3), cuya función de densidad viene dada por

Si definimos a Y como la “Ganancia neta del dueño del juego”, entonces los valores que toma se muestran en el esquema anterior, con p(yi) = p(xi) , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Debemos aclarar que ocurre Y = 9 cuando X = 1 ó X = 2 ó X = 3 con lo cual p(9) = 592/729 Encontremos ahora E[Y]:

E[Y] = (10)(64/729) + (9)(592/729) + (6)(60/729) + (-7)(12/729) + (-21)(1/729) = 6223 Es decir, la ganancia neta que el dueño espera recibir diariamente será de 6223 soles.

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