• Author / Uploaded
• BrianCiciliano

• Categories
• Valores propios y vectores propios
• Ecuaciones diferenciales
• Linealidad
• Ecuaciones
• Funciones y asignaciones

Citation preview

¿Qué es la matriz de transición de estados? Es la matriz que define la transición de los estados desde un instante t0 hasta un instante t.

Lo que implica que

Donde

Si t0 = 0 se tiene que

Métodos para calcular ɸ(t) : Existen muchos métodos para hacer este cálculo, a continuación se presentarán solo algunos de las opciones de solución posibles. Propiedades de la matriz de transición. 1. Φ(0) = I 2. [Φ(t)]−1 = Φ(−t) 3. Φ(t1 + t2) = Φ(t1)Φ(t2) = Φ(t2)Φ(t1) 4. [Φ(t)]n = Φ(nt) 5. Φ(t2 − t1)Φ(t1 − t0) = Φ(t2 − t0) = Φ(t1 − t0)Φ(t2 − t1) 1) Directo

Es sencillo de aplicar si se tiene una herramienta numérica, si la expansión es infinita, se debe detener y tratar de reconocer las expansiones exponenciales que se formen en cada uno de los elementos de la matriz. Si la matriz A es nilpotent de orden p, la respuesta es cerrada si la expansión se hace hasta A A

P

. Una matriz es nilpotent si a partir de

una potencia p, todos los elementos de la matriz cero.

A P son iguales a

2) Calculando la matriz diagonal Si todos los autovalores de A son diferentes se hace una transformación de similaridad para obtener Donde D es una matriz diagonal. La diagonal está formada por los auto valores. En este cambio se tiene que

Las soluciones homogeneas son:

Lo que implica que Calculando directamente

Aprovechando las propiedades de los autovalores y autovectores

Si x es un autovector de A asociado a un autovalor λ entonces

Solucion general.

La solución general es una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. Solución particular Si fijando cualquier punto P( X 0 , Y 0 ¿

por donde debe pasar necesariamente la solución de

la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P( X 0 , Y 0 ¿

, que recibe el nombre de condición inicial.

Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. Solución singular La solución singular es una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. Es solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.

Eigenvalores y eigenevectores. En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacioo subespacio fundamental asociado al valor propio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.