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• daniel venavides

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6. Una cierta pelota tiene la característica de que cada vez que se cae desde una altura h sobre una superficie nivelada y dura, rebota hasta una altura rh, donde 0 < r < 1. Suponga que la pelota cae desde una altura inicial de H metros (a) Suponga que la pelota continua rebotando de manera indefinida. Calcule la distancia total que recorre. (Use el hecho de que la pelota cae ½ gt2 metros en t segundos). (b) Calcule en tiempo total que la pelota viaja. (c) Suponga que cada vez que la pelota golpea la superficie con velocidad v rebota con velocidad −kv, donde 0 < k < 1. ¿Cuánto tiempo le tomara la pelota llegar al reposo?

a) Para el cálculo de la distancia no hace falta emplear la fórmula de la caída libre. Es suficiente observar que la distancia recorrida es la suma de la serie d = H + 2Hr + 2Hr² + 2Hr³ + ... donde H es la distancia correspondiente a la primera caída, Hr + Hr = 2Hr es la altura del primer rebote más la segunda caída, (Hr)r + (Hr)r = 2Hr² es la altura del segundo rebote más la tercera caída, y así siguiendo. La serie puede escribirse como d = 2H(1 + r + r² + r³ + ...) - H La cantidad entre paréntesis es la suma de una serie geométrica de razón r, y vale 1 + r + r² + r³ + ... = 1/(1 - r) Por lo tanto d = 2H/(1 - r) - H = H(1 + r)/(1 - r) b) La primera caída emplea un tiempo t0 = √(2H/g) El primer rebote más la segunda caída emplea el tiempo t1 = 2√(2Hr/g) El segundo rebote más la tercera caída emplea el tiempo t2 = 2√(2Hr²/g) y así siguiendo El tiempo total es la suma de la serie t = √(2H/g) + 2√(2Hr/g) + 2√(2Hr²/g) + ... que puede escribirse como 2√(2H/g) [1 + √r + (√r)² + (√r)³ + ...] - √(2H/g) La cantidad entre paréntesis es la suma de una serie geométrica de razón √r, y vale 1 + √r + (√r)² + (√r)³ + ... = 1/(1 - √r) Por lo tanto t = 2√(2H/g)/(1 - √r) - √(2H/g) = √(2H/g) [(1 + √r)/(1 - √r)]