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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTROL DIGITAL PROYECTO FINAL

JHONATAN FLOREZ OBANDO CC. 1098628702

PRSENTADO AL TUTOR DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) INGENIERIA AMBIENTAL CEAD BUCARAMANGA 2014

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTROL DIGITAL INTRODUCCIÓN

El análisis y diseño de tales sistemas de control, hace necesario el conocimiento de herramientas como la Transformada Z, la transformada de Fourier Muestreo y Estabilidad las Técnicas de diseño digital basado en la frecuencia Técnicas de diseño digital y Análisis en el espacio de estados. Más aún si a esto le sumamos la gran capacidad de programas de análisis como Matlab, entonces por medio de su estudio y uso adecuado podemos simular cualquier tipo de sistema que es aplicable a la vida real. El estudio e investigación de los sistemas de control digital, basados en desarrollar controladores, compensadores y reguladores digitales dentro de un sistema, donde se busca verificar la respuesta en estado transitorio de un sistema con la finalidad de reducir el error mediante procesos de modela miento matemático, utilizando herramientas de modelado como MATLAB y SCILAB. Han permitido que los estudiantes comprueben gráficamente las respuestas obtenidas matemáticamente. De este modo la finalidad de este trabajo es la de dar a conocer mediante operaciones analíticas y comprobaciones gráficas, los temas relacionados con las técnicas de diseño digital basados en la frecuencia. El presente trabajo está basado en los conocimientos adquiridos durante el desarrollo del curso Control Digital, Controladores Digitales, dentro de los controladores encontramos compensador en adelanto puede aumentar la estabilidad o la velocidad de respuesta de un sistema; un compensador en atraso puede reducir (pero no eliminar) el error en estado estacionario. El presente trabajo está compuesto por una serie de ejercicios desarrollados de forma práctica y teórica en los cuales utilizamos la herramienta de software Labview y Matlab con el fin de graficar, simular y comprobar los resultados de manera analítica e investigativa. Se realizaran análisis y cálculos de cada uno dew los ejercicios propuestos, se analizarán funciones de transferencia de una planta.

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTROL DIGITAL Generalmente,

los

compensadores

en

adelanto,

en

atraso,

y

en

adelanto/atraso se diseñan para un sistema en forma de función de transferencia. También se analizaran las constantes de error de Posición Kp, el error en estado estacionario y el tiempo de establecimiento para una función de transferencia de la planta. OBJETIVOS

 Diseñar un controlador PID, digital para un sistema en lazo cerrado con unas características específicas, como sobre impulso máximo y tiempo de establecimiento según parámetros de la guía.

 Emplear el software Labview, para analizar y comprender las respuestas de los sistemas tanto a entradas impulso como escalón.

 Calcular la constante de error Kp , el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de transferencia de una planta discretizada en lazo cerrado.

 Aplicar los conocimientos adquiridos durante el curso de Control Digital y analizar los deferentes sistemas en lazo cerrado.

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DESARROLLO Ejercicio 1: Suponga que la función de transferencia de la planta es:

(a) Calcule la constante de error de posición Kp, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado. (�) = Controlador ��� = Retenedor de orden cero (�) = Planta (�) = Entrada (�)) = Salida

�(�)=��(�)��� (�)�∗(�) (�) �(�)=�(�)− �(�) (�) Ahora Reemplazando (1) en (2) E(s)=R(s)−Gp(s)Zoh(s)E∗(s) [E(s)=R(s)−Gp(s)Zoh(s)E∗(s)]∗ E∗(s)=R∗(s)−[Gp(s)Zoh(s)]∗E∗(s) E∗(s)+[Gp(s)Zoh(s)]∗E∗(s)=R∗(s) E∗(s)[1+[Gp(s)Zoh(s)]∗]=R∗(s)

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTROL DIGITAL SOBREIMPULSO

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EJERCICIO 2

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTROL DIGITAL Suponga que la función de transferencia de la planta es: G p ( s )=

1 s (s +1)

(a) Calcule la constante de error de velocidad kv, el error en estado estacionario

ante

una

entrada

escalón

unitario

para

la

función

de

transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo abierto. k v=

1 lim ( z−1 ) HG ( z ) T z→1

HG ( z )=( 1−z −1 −1

¿ ( 1−z ) z

[

[ ]

1 ( s ( s +1 ) ) )z s

1 1 1 + − 2 s s +1 s

HG ( z )=(1−z−1)( ¿

]

0,2 z z z + − ) 2 −0.2 z−1 ( z−1 ) z−e

0.0187308 ( z +0.935525 ) ( z−1)( z−0.818731)

k v=

0.0187308 ( z +0.935525 ) 1 lim ( z−1 ) T z→1 ( z−1 ) ( z−0.818731 )

(

)

k v =0.04 Ahora se realiza el procedimiento para encontrar la función de transferencia en lazo cerrado y el error de posición para poder hallar el error en estado estacionario ante una entrada escalón.

k p =lim z →1

e p=

(

0.0187308 ( z +0.935525 ) ( z−1 ) ( z−0.818731 )

(

)

0.0187308 ( z+ 0.935525 ) 1+ ( z−1 )( z−0.818731 )

)

=1

1 =0.5 1+ k p

Ahora se tiene el margen de fase: HG ( z )=

0.0187308 ( z +0.935525 ) ( z−1 ) ( z−0.818731 )

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTROL DIGITAL z=

1+0,5 Tw 1−0,5 Tw

z=

1+0,5 ( 0,2 ) w 1−0,5 ( 0,2 ) w

z=

( 1+ 0.1 w ) 1−0,1 w 0.0187308

HG ( w )=

HG ( w )=

(

( 1+ 0.1 w ) + 0.935525 1−0,1 w

)

1+ 0.1 w ) (1+0.1 w ) −1 )( −0.818731) ( (1−0,1 w 1−0,1 w 0.0187308 ( 1+0,1 w+ 0.935525−0,0935525 w ) (1+ 0,1 w−1+0,1 w )( 1+0,1 w−0.818731+0,818731 w )

0,1813+0,1818 w 0,2 w(¿) ¿ 0.0187308 ( 1,935525+0,065525 w ) HG ( w )= ¿ 0,00121 w+0,03625 HG ( w )= 0,0363 w2 +0,0362 w (b) Diseñe un compensador digital en adelanto-atraso para que el sistema en lazo cerrado tenga un margen de fase de 50º y la constante de error de velocidad sea kv= 2. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.2 segundos. Ahora procedemos a hallar la función de transferencia de la planta. G ( z )= ( 1−z−1 ) z

[

k s ( s+1 ) 2

]

(

( 0.018273+0.01752 z−1 ) z−1 G ( z )= ( 1−z ) k 2 ( 1−z−1) ( 1−0.81871−z−1 ) −1

G ( z )=

)

k ( 0.01873 z +0.01752 ) (z−1)(z−0.81871)

Realizamos una transformación bilineal z=

1+0.5 Tw 1+ 0.1 w = 1−0.5 Tw 1−0.1 w

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTROL DIGITAL 1+0.1 w +0.01752 1−0.1 w G ( w )=k 1+ 0.1 w 1+0.1 w −1 −0.81871 1−0.1 w 1−0.1 w 0.01873

(

G ( w )=

)(

)

k (−0.000332653 w 2−0.096332 w+0.996585 ) 2 w +0.996805 w

Con Kv=2 asumimos una función de transferencia para el controlador digital G d ( w )= k v =lim

w →0

k=

1+τw 1−αw

(

2 1+τw k (−0.000332653 w −0.096332 w+0.996585 ) ( )=2 1−αw w2 +0.996805 w

)

2 =2 0.999779

Ahora procedemos a diseñar un controlador que tenga un ángulo de 50° sin afectar la constante k. Así 50-31.6=18.4, se aconseja un margen entre 8 y 12 grados considerando el corrimiento de la ganancia en la frecuencia de cruce, se asumirá 28° el ángulo máximo de adelanto de fase. Para calcular el factor de atenuación. sen ϕ m=

1−α 1+α

Reemplazamos por el ángulo sen 28=

1−α 1+α

( 1+α ) sen 28=1−α a=0.361

Hallamos el punto donde no se encuentra compensada la magnitud y reemplazamos por w=jv en G(w). −20 log

1 =−4.425 √ 0.361

(√ ( ) √ ( ) ) 2

vertG ( jv )=

1+

v 300

2

1+

v 10

2

v √ 1+ v 2 ❑

La frecuencia es igual a 1.7 La frecuencia de cruce está dada por:

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTROL DIGITAL v c=

1 =1.7 √ ατ

τ =0.9790 ατ =0.3534

El compensador quedaría así: G d ( w )=

1+τw 1+ 0.9790 w = 1−αw 1+ 0.3534 w

( −0.000332653 w 2−0.096332 w+0.996585 ) 1+0.9790 w G D ( w ) G ( w )= 2

(

w + 0.996805 w

)(

1+ 0.3534 w

)

Pasamos La función de transferencia del compensador a términos de z por medio de transformación bilineal donde T=0.2: w=10

z−1 z +1

z −1 ( z+1 ) G ( w )= z−1 1+ 0.3534 (10 z+ 1 ) 1+ 0.9790 10

d

G D ( z )=

2.3798 z−1.93869 z−0.558888

En MatLab tenemos:

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2. ACTIVIDAD PRCATICA ACTIVIDAD 1 Primero debemos hallar la respuesta de la planta en lazo abierto: Respuesta de la planta en lazo abierto p1=-1 p2=-2 k=10 Gps=zpk([],[p1 p2],k) step(Gps);

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTROL DIGITAL LAZO CERRADO Glcsc=tf(feedback(Gps,1)) [numsc,densc]=tfdata(Glcsc, 'v'); Wn=sqrt(densc(3)) zeta=(densc(2))/(2*Wn) step(Glcsc,5);

CONDICIONES DE DISEÑO ts=1.9; SI=19; zita=-(log(SI/100))/(sqrt(pi^2+(log(SI/100))^2)) wn=4/(zita*ts) zita = 0.4673 wn = 4.5047 Gcs=zpk([p1 p2],[0 -2*zita*wn],wn^2/k) Gcs = 2.0293 (s+1) (s+2) ------------------

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTROL DIGITAL s (s+4.211) Continuous-time zero/pole/gain model. Glccc=minreral(feedback(Gcs*Gps,1)) Glccc = 20.293 ---------------------(s^2 + 4.211s + 20.29) Continuous-time zero/pole/gain model. step(Glccc,3)

Prueba T=0.1; Gz=zpk(c2d(Gps,T,’zoh’)) Gz = 0.04528 (z+0.9048) ---------------------

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTROL DIGITAL (z-0.9048) (z-0.8187) Sample time: 0.1 seconds Discrete-time zero/pole/gain model. Gcz=zpk(c2d(Gcs,T,’tustin’)) Gcz = 1.9362 (z-0.9048) (z-0.8182) ---------------------------(z-1) (z-0.6522) Sample time: 0.1 seconds Discrete-time zero/pole/gain model. Glcz=minreal(feedback(Gcz*Gz,1)) Glcz = 0.087669 (z+0.9048) (z-0.9048) (z-0.8182) -------------------------------------------(z-0.818) (z-0.9047) (z^2 – 1.565z + 0.7321) Sample time: 0.1 seconds Discrete-time zero/pole/gain model. step(Glcz)

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Punto 2 numDz = [0.01873 0.01752]; denDz = [(1-1) (1-0.81871)]; Kv = 2 sys = Kv*tf(numDz, denDz, 0.2) margin(sys) sisotool(sys)

Este el sistema Sin compensar

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Este es el sistema compensado

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