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INSTITUTO POLICTÉCNICO NACIONAL SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD ZACATENCO

6-12-2019 6-12-2019

COMPORTAMIENTO Y DISEÑO DEL CONCRETO PROYECTO FINAL

CATEDRATICO: Dr. Héctor A. Sánchez Sánchez Alumno: José G. Santos González

Contenido 1.- CARACTERISTICAS GEOMETRICAS Y MECANICAS DEL PROYECTO ................................................. 3 1.1.- Descripción geométrica del proyecto. .................................................................................... 3 1.2.- Propiedades mecánicas de los materiales .............................................................................. 7 1.2.1.- propiedades mecánicas del concreto: ......................................................... 7 1.2.2.- Propiedades mecánicas de acero de refuerzo: ........................................... 8 1.3.- Condiciones de regularidad .................................................................................................... 8 2.- ESPECTRO DE DISEÑO .................................................................................................................... 9 3.- ANALISIS DE CARGAS Y PREDIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES ................ 11 3.1.- Espesor de losas: ................................................................................................................... 11 3.2.- Peso unitario en losa de azotea: ........................................................................................... 11 3.3.- Peso unitario en losa de entrepiso: ...................................................................................... 13 3.4.- Pre dimensionamiento de vigas: ........................................................................................... 13 3.4.1.- Vigas principales en dirección X: ............................................................... 13 3.4.2.- Vigas principales en dirección Y: ............................................................... 14 3.4.3.- Vigas secundarias: ...................................................................................... 15 3.4.4.- Resumen de secciones: .............................................................................. 15 3.5.- Pre dimensionamiento de columnas: ................................................................................... 16 4.- PROPIEDADES DINAMICAS DE LA ESTRUCTURA .......................................................................... 17 4.1.- Matriz de rigidez lateral: ....................................................................................................... 17 4.1.1.- Coeficientes de rigidez de la viga acartelada V1 ....................................... 18 4.1.2.- Coeficientes de rigidez de la viga acartelada V2 ....................................... 21 4.1.3.- Coeficientes de rigidez de los volados ...................................................... 23 4.1.4.- Coeficientes de rigidez de vigas en dirección Y ........................................ 25 4.1.5.- Coeficientes de rigidez en columnas ......................................................... 26 4.1.6.- Matriz de rigidez global en X:...................................................................... 27 4.1.7.- Matriz de rigidez global en Y: ...................................................................... 30 4.2.- Matriz de masas. ..................................................................................................................... 0 4.2.1.- Pesos por entrepiso: ..................................................................................... 0 4.2.2.- Matriz de masas ............................................................................................. 0 4.3.- Frecuencias y periodos de la estructura. ................................................................................ 1 4.3.1.- Frecuencia y periodos en dirección X. ......................................................... 1

4.3.2.- Frecuencia y periodos en dirección Y. ......................................................... 2 4.4.- Modos de vibrar. ..................................................................................................................... 3 4.4.1.- Matriz modal en dirección X.......................................................................... 4 4.4.2.- Matriz modal en dirección Y.......................................................................... 5 5.- ANALISIS SISMICO ESTATICO.......................................................................................................... 6 5.1.- Parámetros reglamentarios para análisis estático. ................................................................. 6 5.2.- Determinación de las fuerzas cortantes de diseño. ................................................................ 8 5.3.- Fuerzas laterales en dirección X.............................................................................................. 8 5.3.1.- Revisión del estado límite. ............................................................................ 8 5.4.- Fuerzas laterales en dirección Y. ............................................................................................. 9 5.4.1.- Comprobación del estado límite de servicio. .............................................. 9 5.5.- Revisión rigurosa del estado límite de servicio. .................................................................... 10 6.- ANALISIS ESTRUCTURAL ANTE COMBINACIONES DE CARGAS..................................................... 16 6.1.- Combinaciones de carga ....................................................................................................... 16 6.2.- Modelo de análisis ................................................................................................................ 16 6.3.- Diagramas de envolventes en vigas. ..................................................................................... 18 6.4.- Elementos mecánicos en columnas. ..................................................................................... 20 7.- DISEÑO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES ................................................................................... 22 7.1.- Revisión de secciones en vigas por flexión. .......................................................................... 22 7.2.- Diseño del acero de refuerzo en vigas del eje 2 ................................................................... 23 7.2.1.- Diseño de viga (marco 2, nivel 1)................................................................ 26 7.2.2.- Diseño de viga (marco 2, nivel 2) ....................................................................................... 32 7.2.3.- Diseño de viga (marco 2, nivel 3) ....................................................................................... 34 7.3.- Diseño de columnas. ...................................................................................... 37 7.3.1.- Carga axial nominal y momento nominal ................................................... 37 7.3.2.- Diagrama de interacción de las secciones ................................................ 43 8.- ANALISIS SISMICO NO LINEAL ...................................................................................................... 44 8.1.- Curvas momento curvatura. ................................................................................................. 44 8.2.- Superficie de falla en vigas. ................................................................................................... 51 8.4.- Modelo de análisis no lineal.................................................................................................. 52 8.5.-Archivo de entrada en Drain 2DX (pre proceso) .................................................................... 54 8.6.-Resultados (post proceso) ..................................................................................................... 61 8.7.-Conclusiones. ........................................................................................................................... 0

1.- CARACTERISTICAS GEOMETRICAS Y MECANICAS DEL PROYECTO Toda edificación de ingeniería civil debe de contar con una estructuración adecuada a las solicitaciones de carga que se le impondrán según el uso para el que fue concebida, por otra parte es necesario prever la posible presencia de fenómenos naturales como los sismos, huracanes, tifones, etc., que puedan ocasionar acciones accidentales que pueden generar cargas mayores a las estimadas, por lo cual desde un inicio es necesario contar con una buena distribución de elementos estructurales, lo que se resume en una geometría adecuada, en el caso de edificios esta geometría esta descrita por el número y distribución de crujías de las plantas, la altura del edificio y sus entrepisos, el tipo de sistema que provee resistencia a la estructura como lo son marcos rígidos o dúctiles. Se recomienda que la geometría sea lo más regular posible, con el fin de evitar problemas por torsión. Además de una correcta estructuración es importante definir de manera correcta las propiedades mecánicas de los materiales que se emplearan en la construcción de una obra civil, pues estas propiedades permiten estimar de forma segura la respuesta que tendrá la estructura ante combinaciones de carga que pueda llegar a presentar.

1.1.- Descripción geométrica del proyecto. El proyecto está conformado por 3 plantas, de las cuales las primeras 2 poseen 3 crujías en dirección X con claros de 10m, 11m, 10m respectivamente y 5 crujías en dirección Y con claros de 6m y 7m en la crujía central, teniendo una superficie en estas plantas de 31m x 31m (961 m²). La tercera planta tiene una crujía en dirección X con un claro de 11m y 6 crujías en dirección Y con las mismas dimensiones de claros que las plantas anteriores, además cuenta con un volado en dirección X de 3.3m, con una superficie de 31m x 17.6m (545.6m²). El primer entrepiso tiene una altura de 4 metros, el 2° y 3° entrepiso poseen la misma altura de 3.5 metros, contando con una altura total de 11m. El uso destinado al proyecto será para bodegas, con un sistema estructural a base de marcos dúctiles de concreto reforzado, conformados por columnas de sección oblonga y vigas acarteladas en dirección X, en la dirección Y se colocaran vigas secundarias para aumentar la rigidez en los claros grandes de 10m y 11m, el sistema de entrepiso está conformado por losas monolíticas de concreto reforzado formando diafragmas rígidos.

Vigas principales Vigas secundarias

volado

1.2.- Propiedades mecánicas de los materiales El material a emplear en el proyecto será el concreto reforzado, compuesto por concreto y acero de refuerzo corrugado, las propiedades mecánicas de cada material que son de principal importancia son su módulo de elasticidad, relación de Poisson en el caso del concreto, pues el acero de refuerzo trabaja en forma axial, por lo cual el efecto de Poisson en las otras direcciones para el acero de refuerzo no es considerable. El módulo de elasticidad al cortante es necesario en el caso del cálculo de elementos de concreto que poseen un peralte considerado como grande. Para el caso del análisis no lineal es necesario definir si el material es isótropo, ortótropo o anisótropo, que por simplicidad de cálculo en este trabajo se considerara al concreto y al acero como isótropos, además se debe de contar con un modelo constitutivo de los materiales que se ajuste de manera aproximada a lo que se espera del comportamiento real del material y la estructura, para el caso del acero de refuerzo un modelo de plasticidad perfecta es adecuado, aunque un modelo más refinado para el acero sería una ley constitutiva de plasticidad con endurecimiento. Dentro de los modelos constitutivos del concreto reforzado se cuenta con modelos como los de Mander, Park y Kent, Hognestad entre otros, los cuales se definirán en las futuras partes concernientes al modelado no lineal de la estructura.

1.2.1.- propiedades mecánicas del concreto: ❖ Resistencia a compresión: 𝒇´𝒄 = 𝟑𝟏𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 ❖ Módulo de elasticidad: para definir el módulo de elasticidad se procederá de acuerdo a lo estipulado en la NTC para diseño y construcción de estructuras de concreto (NTC concreto 2.1.4, 2017) 𝐸𝑐 = 14000√𝑓´𝑐 = 14000√310 = 𝟐𝟒𝟔𝟒𝟗𝟓𝟒. 𝟑𝟔𝟏 𝒕𝒏/𝒎𝟐 ❖ Relación de Poisson: 𝝂 = 𝟎. 𝟐 ❖ Módulo de elasticidad al cortante: 𝐺 =

𝐸 2(1+𝜈)

=

2464954.361 2(1+0.2)

= 𝟏𝟎𝟐𝟕𝟎𝟔𝟒. 𝟑𝟏𝟕 𝒕𝒏/𝒎𝟐

❖ Deformación unitaria: 𝛆𝐜 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑

1.2.2.- Propiedades mecánicas de acero de refuerzo: ❖ Esfuerzo fluencia: 𝒇𝒚 = 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 ❖ Módulo de elasticidad: 𝐄𝐬 = 𝟐. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝐤𝐠/𝐜𝐦𝟐

1.3.- Condiciones de regularidad Para realizar un análisis sísmico estático o dinámico modal, es necesario definir un factor de comportamiento sísmico Q, así como el factor de reducción de comportamiento sísmico Q´, parámetros que son necesarios para definir la fuerza sísmica por entrepiso, así como el espectro de diseño. Para que una estructura se considere como regular, irregular o muy irregular se procederá a evaluar las condiciones de regularidad estipuladas en la NTC para diseño por sismos (NTC sismo 5.1, 2017): 1) Los diferentes muros, marcos y demás sistemas sismo-resistentes verticales son sensiblemente paralelos a los ejes ortogonales principales del edificio. Se considera que un plano o elemento sismo-resistente es sensiblemente paralelo a uno de los ejes ortogonales cuando el ángulo que forma en planta con respecto a dicho eje no excede 15 grados. (OK) 2) La relación de su altura a la dimensión menor de su base no es mayor que cuatro. 0.35 < 4 (OK) 3) La relación de largo a ancho de la base no es mayor que cuatro.

𝑎 𝑏

=

31 31

ℎ 𝑏

=

11 31

=

= 1 < 4 (OK)

4) En planta no tiene entrantes ni salientes de dimensiones mayores que 20 por ciento de la dimensión de la planta medida paralelamente a la dirección en que se considera el entrante o saliente. (OK) 5) Cada nivel tiene un sistema de piso cuya rigidez y resistencia en su plano satisfacen lo especificado en la sección 2.7 para un diafragma rígido. (OK) 6) El sistema de piso no tiene aberturas que en algún nivel excedan 20 por ciento de su área en planta en dicho nivel, y las áreas huecas no difieren en posición de un piso a otro. Se exime de este requisito la azotea de la construcción. (OK) 7) El peso de cada nivel, incluyendo la carga viva que debe considerarse para diseño sísmico, no es mayor que 120 por ciento del correspondiente al piso inmediato inferior. (OK) 8) En cada dirección, ningún piso tiene una dimensión en planta mayor que 110 por ciento de la del piso inmediato inferior. Además, ningún piso tiene una dimensión en planta mayor que 125 por ciento de la menor de las dimensiones de los pisos inferiores en la misma dirección. (OK) 9) Todas las columnas están restringidas en todos los pisos en las dos direcciones de análisis por diafragmas horizontales o por vigas. Por consiguiente, ninguna columna pasa a través de un piso sin estar ligada con él. (OK) 10) Todas las columnas de cada entrepiso tienen la misma altura, aunque esta pueda variar de un piso a otro. Se exime de este requisito al último entrepiso de la construcción. (OK) 11) La rigidez lateral de ningún entrepiso difiere en más de 20 por ciento de la del entrepiso inmediatamente inferior. El último entrepiso queda excluido de este requisito. (OK) 12) En ningún entrepiso el desplazamiento lateral de algún punto de la planta excede en más de 20 por ciento el desplazamiento lateral promedio de los extremos de la misma. (OK) 13) En sistemas diseñados para Q de 4, en ningún entrepiso el cociente de la capacidad resistente a carga lateral entre la acción de diseño debe ser menor que el 85 por ciento del promedio de dichos cocientes para todos los entrepisos. En sistemas diseñados para Q igual o menor que 3, en ningún entrepiso el cociente antes indicado debe ser menor que 75 por ciento del promedio de dichos cocientes para todos los entrepisos. Para verificar el cumplimiento de este requisito, se calculará la capacidad resistente de cada entrepiso

teniendo en cuenta todos los elementos que puedan contribuir apreciablemente a ella. Queda excluido de este requisito el último entrepiso. (OK)

Como la estructura cumple con las 13 reglas de regularidad, se puede considerar a la estructura como regular, por lo cual no es necesario afectar el factor de comportamiento sísmico por el factor de corrección por irregularidad, por lo tanto, podemos definir un Q=2.

2.- ESPECTRO DE DISEÑO La ubicación del proyecto se encuentra en las coordenadas, latitud: 19.405600, longitud: 99.137522, para obtener el espectro de diseño se ingresarán estas coordenadas al sistema de acciones sísmicas de diseño (SASID), obteniendo los siguientes datos:

Como se puede apreciar, el proyecto está ubicado en zona de transición, el espectro de diseño obtenido del SASID es el siguiente:

T (s) 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000 1.100 1.158 1.200 1.300 1.400 1.500 1.600

a 0.159 0.192 0.217 0.239 0.257 0.274 0.289 0.303 0.316 0.328 0.339 0.350 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356

T (s) 1.700 1.800 1.900 2.000 2.100 2.200 2.300 2.400 2.500 2.600 2.700 2.800 2.900 3.000 3.100 3.200 3.300 3.310

a 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356 0.356

T (s) 3.400 3.500 3.600 3.700 3.800 3.900 4.000 4.100 4.200 4.300 4.400 4.500 4.600 4.700 4.800 4.900 5.000

a 0.331 0.307 0.286 0.266 0.249 0.233 0.219 0.206 0.194 0.183 0.173 0.164 0.155 0.147 0.140 0.133 0.127

3.- ANALISIS DE CARGAS Y PREDIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES 3.1.- Espesor de losas: Para obtener un espesor de losas se procederá de acuerdo a lo que marca la NTC concreto 7.5.1, 2017.

Predimensionamiento de losa.

Croquis.

tipo de losa = monolitica concreto clase: 1 factor por norma: 250 perimetro: (6+3.8)*2 = 19.6 m Σ lados discontinuos: 3.8 m 0.95 m 25% de lados discontinuos: ≈ 8 cm d= (19.6+0.95)/250= 0.0822 Fy= 4200 kg/cm² Fs=0.6*Fy= 2520 kg/cm² Wm(aprox.)= 600 kg/m² Wv= 350 kg/m² Wtot.= 950 kg/m² 8*(0.032*∜(2520∗950))= d´= 10.07 cm recubrimiento segun N.T.C. concreto 4.9.2 = 1.5 cm h= 11.570 ≈ 12 cm

3.2.- Peso unitario en losa de azotea: El relleno promedio de tezontle se define como lo marcan las “Normas y especificaciones para estudios, proyectos, construcciones e instalaciones” volumen 6, tomo VIII, donde se especifica que el área tributaria para bajadas de aguas pluviales tendrá una superficie máxima de 100m², para una pendiente del 2%. Teniendo en cuenta esto, las áreas tributarias se consideraron de la siguiente manera para la planta en azotea:

8.8 2 10.4 2 𝑳 = √( ) + ( ) = 𝟔. 𝟕𝟕𝟑𝟔 𝒎 ; 𝒚 = 𝐿 ∗ 0.02 = 6.77 ∗ 0.02 = 𝟎. 𝟏𝟑𝟓𝟒𝒎 2 2 𝒉=

𝑦 0.1354 = = 𝟎. 𝟎𝟔𝟕𝟕𝒎 ; 2 2

𝑹𝑷 = ℎ + 0.05 = 0.0677 + 0.05 = 0.117 ≅ 𝟎. 𝟏𝟐𝒎

peso unitario de losa en azotea 3° nivel Descripción entortado R.P. de tezontle

espesor (m) peso (kg/mᶾ) peso (kg/m²) 0.01 2100 21 0.12

1250

150

impermeabilizante

5

losa de concreto

288

0.12 2400 falso plafon de yeso peso propio de la losa en azotea (kg/m²) = sobre carga por colado en sitio de losa y mortero (kg/m²) = peso muerto en azotea (kg/m²)= peso de carga viva Wm según la tabla 6.1.1 (N.T.C., edificacion)= peso de carga viva Wa según la tabla 6.1.1 (N.T.C., edificacion)= carga gravitacional unitaria total (kg/m²)= carga sismica unitaria total (kg/m²)=

12 476 40 516

Como la estructura será modelada en el software de diseño y análisis estructural ETABS, el programa considera automáticamente el peso propio de los elementos estructurales, en este caso de la losa de concreto reforzado, por lo cual para cargar correctamente las losas es necesario omitir el peso de la losa de concreto en el análisis de cargas unitarias realizado, quedando para el piso de azotea una carga unitaria a colocar de: Cvm=350 kg/m²

;

Cva=315 kg/m²

Cm=516-288= 228 kg/m² 350

Estas son las cargas con las que se trabajara en ETABS para el caso de la azotea.

315 866 831

3.3.- Peso unitario en losa de entrepiso:

Peso unitario de losa en entrepiso Descripción

espesor (m) peso (kg/mᶾ) peso (kg/m²)

mosaico de pasta mortero

0.02

2100

losa de concreto falso plafon

0.12

2400

45 42

peso propio en losa entrepiso (kg/m²) =

288 12 387

sobre carga por colado en sitio de losa y mortero (kg/m²) = peso muerto en entrepiso (kg/m²)=

40 427

peso de carga viva Wm según la tabla 6.1.1 (N.T.C., edificacion)=

350

peso de carga viva Wa según la tabla 6.1.1 (N.T.C., edificacion)= carga gravitacional unitaria total (kg/m²)= carga sismica unitaria total (kg/m²)=

315 777 742

Las cargas a introducir en ETABS para los entrepisos sin considerar el peso propio de la losa de concreto son las siguientes: Cvm=350 kg/m² ; Cva=315 kg/m² Cm=427-288=139 kg/m² Estas son las cargas a introducir en ETABS para los entrepisos.

3.4.- Pre dimensionamiento de vigas: Para el pre dimensionamiento de vigas se procederá según las recomendaciones del ACI-318, teniendo un peralte igual a L/12 para vigas que están empotradas en sus 2 extremos y un peralte igual a L/10 para vigas simplemente apoyadas, en nuestro caso las vigas que se consideraran bi empotradas serán las vigas principales y las vigas secundarias se consideran como vigas simplemente apoyadas.

3.4.1.- Vigas principales en dirección X: las vigas principales en dirección X son acarteladas y de dos diferentes longitudes, para definir la variación del peralte en los extremos se a dividido la viga en 3 tramos de L/3, siendo el tramo central de peralte constante y los tramos en los extremos con peralte variable como se muestra en la figura de abajo.

Longitud de tramos extremos: 𝐿𝑒𝑣1 =

11 = 3.6667𝑚 ≈ 3.6𝑚 ; 𝐿𝑒𝑣1 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 1 3

𝐿𝑒𝑣2 =

10 = 3.3333𝑚 ≈ 3.3𝑚 ; 𝐿𝑒𝑣2 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 2 3

Longitud en tramos centrales: 𝐿𝑐𝑣1 = 11 − (3.6 ∗ 2) = 3.8𝑚 ; 𝐿𝑐𝑣1 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 1 𝐿𝑐𝑣2 = 10 − (2 ∗ 3.3) = 3.4𝑚 ; 𝐿𝑐𝑣2 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 2 Peralte en los extremos: ℎ𝑎1 =

11 = 0.916 ≈ 0.9 𝑚 ; ℎ𝑎1 = 𝑝𝑒𝑟𝑎𝑙𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 1 12

ℎ𝑎2 =

10 = 0.8333 ≈ 0.85 𝑚 ; ℎ𝑎2 = 𝑝𝑒𝑟𝑎𝑙𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 2 12

Peralte en el tramo central: Para definir el peralte en el centro de las vigas 1 y 2, consideraremos el mismo peralte que resulte de las vigas secundarias en dirección “Y” que llegan a las vigas 1 y 2 en dirección “X”. Ancho de viga: Se considerará un ancho constante en toda la longitud de la viga, el ancho por relación de aspecto de la sección deberá estar entre los límites de 3 ≥ h/b ≥ 2, en este caso consideraremos una relación de aspecto de 2.5, obteniendo así los siguientes anchos para las vigas 1 y 2. ℎ𝑎1 0.9 = = 2.5 ∴ 𝑏1 = 0.36 ≈ 0.35𝑚 𝑏1 𝑏1 ℎ𝑎2 0.85 = = 2.5 ∴ 𝑏2 = 0.34 ≈ 0.35𝑚 𝑏2 𝑏2

3.4.2.- Vigas principales en dirección Y: Las vigas en dirección “Y” son todas de sección constante y solo hay 2 diferentes claros. Peraltes: ℎ1 =

7 12

= 0.5833 ≈ 0.5 𝑚

;

ℎ2 =

6 12

= 0.5𝑚

Ancho de viga: Con el fin de uniformizar secciones, consideraremos el mismo ancho de las vigas en dirección X, pues el ancho de vigas en dirección “Y” al realizar los cálculos es de 0.2m, muy cercano al ancho de las vigas en dirección X, además considerando el ancho de b=0.25m en dirección “Y”, se obtiene una relación de aspecto de 2, que está dentro del rango establecido anteriormente.

3.4.3.- Vigas secundarias: Peraltes: ℎ𝑠1 =

7 10

= 0.7 ≈ 0.5 𝑚

;

ℎ𝑠2 =

6 10

= 0.6𝑚 ≈ 0.5𝑚

Ancho de viga: Como se obtuvieron peraltes iguales a las vigas primarias en dirección “Y”, el ancho de las vigas secundarias será el mismo, b=0.25m.

3.4.4.- Resumen de secciones: Vigas en dirección X:

Vigas en dirección Y:

3.5.- Pre dimensionamiento de columnas: El proyecto especifica que la sección a emplear para columnas, es de forma oblonga, compuesta por semicírculos en los extremos y en el centro de forma rectangular o cuadrada, el pre dimensionamiento se realizara por resistencia axial y se escogerá a la columna que reciba mayor carga (mayor área tributaria).

Bajada de cargas, columna B-4 Azotea nivel 3 m² Area tributaria: 57.2 W azotea: 866 kg/m² P parcial: 49535.2 kg Entrepiso (nivel 2) W entrepiso: 777 kg/m² Area tributaria:

68.25

m²

P parcial: 53030.25 kg Entrepiso (nivel 1) W entrepiso: 777 kg/m² Area tributaria: 68.25 m² P parcial: 53030.25 kg Pu total= 155595.70 kg Pu total= 155.60 tn

𝑃0 = 155595.7 𝑘𝑔 𝑃0𝑐 = 0.25 ∗ 𝐴𝑔 ∗ 𝑓 ′′ 𝑐 ∴ 𝐴𝑔 =

;

𝑓´´𝑐 = 0.85 ∗ 𝑓´𝑐

𝑃0 = 𝑃0𝑐 155595.7 = = 2361.984 𝑐𝑚2 0.25 ∗ 0.85 ∗ 𝑓´𝑐 0.2125 ∗ 310

𝜋𝐷2 𝐴𝑡 = + 𝐷𝑐 4

𝜋𝐷2 ) 4 𝐷

(𝐴𝑡 − →

𝑐=

Proponiendo un D = 40cm 𝑐 = 27.64 ≈ 30 𝑐𝑚 ∴ 𝑨𝒈 = 𝟐𝟒𝟓𝟔. 𝟔𝟑𝟕 𝒄𝒎𝟐

4.- PROPIEDADES DINAMICAS DE LA ESTRUCTURA Para realizar un análisis dinámico modal o estático, es necesario definir las propiedades inherentes de la estructura que definen su comportamiento ante cargas generadas por sismo o vibraciones, dichas propiedades son su matriz de masas, la matriz de rigidez lateral la cual resulta de un análisis estructural del sistema. Definiendo estas propiedades fundamentales es posible resolver el problema de valores propios del sistema de ecuaciones diferenciales de equilibrio dinámico, obteniendo así la base del espacio (vectores propios que se conocen como modos de vibrar) de todas las configuraciones posibles del sistema por la acción de una excitación, así como las frecuencias (valores propios) asociadas a cada modo de vibrar. Debido a la ortogonalidad de los modos de vibrar el problema de un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden se reduce a resolver n ecuaciones diferenciales desacopladas de equilibrio, lo cual es más sencillo. En la práctica ingenieril es más común trabajar con los periodos que con las frecuencias, parámetros que se encuentra relacionados entre sí, todas las propiedades mencionadas anteriormente son necesarias para realizar un análisis sísmico, en este trabajo se procederá a calcular los periodos y modos de vibrar en forma manual y se compararan contra los obtenidos numéricamente por los programas DRAIN y ETABS.

4.1.- Matriz de rigidez lateral: La matriz de rigidez lateral de un edificio reduce la matriz general del sistema a una matriz que solo posee grados de libertad horizontales considerando la contribución de los coeficientes angulares y verticales de rigidez, a la rigidez en dirección horizontal.

Antes del cálculo de la matriz de rigidez lateral y general, es necesario definir los coeficientes de rigidez de cada elemento del sistema estructural, para barras de sección constante los coeficientes de rigidez son los clásicos que constituyen la base del método de rigideces, sin embargo en el caso de vigas de sección variable o no prismáticas, el cálculo de los coeficientes de rigidez no es de forma directa, pues ahora los coeficientes deben calcularse considerando la energía de deformación en toda la longitud de la barra con el fin de obtener coeficientes de flexibilidad en los extremos de la barra, que es donde se plantean las ecuaciones de compatibilidad y de equilibrio. En los siguientes puntos se expondrá el cálculo de los coeficientes de rigidez para las vigas acarteladas, y por consiguiente se obtendrán las matrices de rigidez de las vigas acarteladas.

4.1.1.- Coeficientes de rigidez de la viga acartelada V1 En forma gráfica, se representan los coeficientes de rigidez que se desean obtener:

En forma matricial:

Como la matriz K es simétrica debido al teorema de Maxwell-Betti, se tiene que: 𝐾12 = 𝐾21 ;

𝐾13 = 𝐾31 ;

𝐾14 = 𝐾41

;

𝐾23 = 𝐾32

;

𝐾24 = 𝐾42 ; 𝐾34 = 𝐾43

Del equilibrio de fuerzas en “Y” se obtiene lo siguiente: 𝐾31 = 𝐾13 = −𝐾11 ;

𝐾32 = 𝐾23 = −𝐾12 ;

−𝐾33 = −𝐾11 = 𝐾13

𝐾34 = 𝐾43 = −𝐾14 = −𝑘41 Por lo tanto, la matriz de rigidez puede quedar expresada en términos de los coeficientes 11,12,14, resultando la siguiente matriz:

El problema se reduce a calcular solo 6 coeficientes de rigidez, para el caso de una viga con sección variable, los coeficientes de rigidez se calculan de la siguiente manera: 𝐾11 =

𝐾22 + 𝐾44 + 2𝐾42 𝐿2

𝐾21 =

𝐾22 + 𝐾42 𝐿

𝐾41 =

𝐾44 + 𝐾42 𝐿

𝐾22 =

𝑓11 det(𝐹11 )

𝐾44 =

(𝑓22 ∗ 𝐿2 ) − (2 ∗ 𝑓12 ∗ 𝐿) + 𝑓11 det (𝐹11 )

𝐾42 =

(𝑓12 ∗ 𝐿) − 𝑓11 det (𝐹11 )

Las flexibilidades 𝑓𝑖𝑗 se calculan aplicando el método de la carga virtual unitaria considerando la contribución de la flexión y el cortante, al desplazamiento, empleando la siguiente expresión: 𝐿

𝐿

𝑀𝑖 𝑚𝑗 𝑉𝑖 𝑣𝑗 1 𝑘𝑧 𝑑𝑖𝑗 = ∫ [ ] 𝑑𝑥 + ∫ [ ] 𝑑𝑥 𝐸 𝐼(𝑥) 𝐺 𝐴(𝑥) 0

0

𝑖 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 𝑖

, 𝑗 = 𝑑𝑒𝑠𝑝. 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 𝑗

Cálculo de 𝒇𝟏𝟏 : 𝑥 3

7(0.9− 9) 240 7

𝑰𝒚𝒚 ̅̅̅̅ =

1920 7

𝑥

→ →

29 3

{240 (9 − 90) 𝐺 = 1027064.317

3.6 ≤ 𝑥 ≤ 7.4 →

7.4 ≤ 𝑥 ≤ 11}

𝑡𝑛 𝑚2

𝐸𝑐 = 2464954.361

𝑡𝑛 𝑚2

𝑘𝑧 = 1.2 𝑀 =𝑥 → 𝐸. 𝑀. 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑉1 = 1 →

𝑥

0 ≤ 𝑥 ≤ 3.6

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

𝑚 =𝑥 → 𝐸. 𝑀. 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑣1 = 1 →

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

0.35 (0.9 − ) 9

; 𝑨={

→

0 ≤ 𝑥 ≤ 3.6

} 0.175 → 3.6 ≤ 𝑥 ≤ 7.4 𝑥 29 0.35 ( − ) → 7.4 ≤ 𝑥 ≤ 11 9

90

3.6

1 240 𝑓11 = { ∫ [ 𝐸 7 0

7.4

𝑥2

11

1920 240 𝑥2 ] 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫[ ] 𝑑𝑥 } 𝑥 3 7 7 𝑥 29 3 (0.9 − ) ( ) − 3.6 7.4 9 9 90 3.6

7.4

11

𝑘𝑧 1 𝑑𝑥 1 1 𝑑𝑥 + { ∫ + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ } 𝑥 29 𝐺 0.35 0.9 − 𝑥 0.175 0.35 0 3.6 7.4 9 − 90 9

𝑓11 =

68074.69949 1.2[51.94331419] + = 0.02767771174 𝐸 𝐺

Cálculo de 𝒇𝟏𝟐 :

𝑀 =𝑥 → 𝐸. 𝑀. 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑉1 = 1 →

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

𝑚 =1 → 𝐸. 𝑀. 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑣1 = 0 →

3.6

𝑓12 =

1 240 { ∫ [ 𝐸 7 0

𝑥 𝑥 (0.9 − ) 9

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

7.4

3 ] 𝑑𝑥 +

Cálculo de 𝒇𝟐𝟐 :

𝑀 =1 → 𝐸. 𝑀. 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑉1 = 0 →

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

𝑚 =1 → 𝐸. 𝑀. 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑣1 = 0 →

11

1920 240 𝑥 10425.90476 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫[ ] 𝑑𝑥} = = 0.00422965428 7 7 𝐸 𝑥 29 3 ) 3.6 7.4 ( − 9 90

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

3.6

1 240 𝑓22 = { ∫ 𝐸 7 0

7.4

𝑑𝑥

11

1920 240 𝑑𝑥 39808 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ }= = 0.0007690280509 3 𝑥 3 7 7 21𝐸 𝑥 29 (0.9 − ) ( ) − 3.6 7.4 9 9 90

Cálculo del 𝒅𝒆𝒕(𝑭𝟏𝟏 ): 𝑓 𝒅𝒆𝒕(𝑭𝟏𝟏 ) = [ 11 𝑓21

𝑓12 ] = 𝑓11 𝑓22 − 𝑓12 2 = 0.02767 ∗ 0.00076 − 0.004222 = 3.394961384X10−6 𝑓22

Cálculo de 𝒌𝟐𝟐 : 𝑘𝟐𝟐 =

𝑓11 0.02767 = = 8152.585142 𝑑𝑒𝑡(𝐹11 ) 3.394961384X10−6

𝑘44 =

(𝑓22 ∗ 𝐿2 ) − (2 ∗ 𝑓12 ∗ 𝐿) + 𝑓11 (0.00076 ∗ 112 ) − (2 ∗ 0.00422 ∗ 11) + 0.02767 = = 8152.585141 det (𝐹11 ) 3.394961384X10−6

𝑘42 =

(𝑓12 ∗ 𝐿) − 𝑓11 (0.00422 ∗ 11) − 0.02767 = = 5551.899773 det (𝐹11 ) 3.394961384X10−6

𝑘11 =

𝐾22 + 𝐾44 + 2𝐾42 8152.5851 + 8152.5851 + 2 ∗ 5551.8997 = = 226.5204118 𝐿2 112

𝐾21 =

𝐾22 + 𝐾42 8152.5851 + 5551.8997 = = 1245.862265 𝐿 11

𝐾41 =

𝐾44 + 𝐾42 8152.5851 + 5551.8997 = = 1245.862265 𝐿 11

4.1.2.- Coeficientes de rigidez de la viga acartelada V2 Cálculo de 𝒇𝟏𝟏 : 7𝑥 3

7(0.85−66) 240 7

𝑰𝒚𝒚 ̅̅̅̅ =

1920 7

7𝑥

→

139 3

{240 (66 − 660)

→

0 ≤ 𝑥 ≤ 3.3

3.3 ≤ 𝑥 ≤ 6.7 →

6.7 ≤ 𝑥 ≤ 10}

0.35 (0.85 − ; 𝑨={

7𝑥 66

0.175 → 7𝑥 139 0.35 ( − ) 66

660

)

→

0 ≤ 𝑥 ≤ 3.3

} 3.3 ≤ 𝑥 ≤ 6.7 → 6.7 ≤ 𝑥 ≤ 10

𝐺 = 1027064.317

𝑡𝑛 𝑚2

;

𝑀 =𝑥 → 𝐸. 𝑀. 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑉1 = 1 →

𝐸𝑐 = 2464954.361

3.3

1 240 { ∫ [ 𝐸 7 0

(0.85 −

7𝑥 ) 66

𝑘𝑧 = 1.2

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿 6.7

𝑥2

;

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

𝑚 =𝑥 → 𝐸. 𝑀. 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑣1 = 1 → 𝑓11 =

𝑡𝑛 𝑚2

3 ] 𝑑𝑥 +

10

1920 240 𝑥2 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫[ ] 𝑑𝑥 } 7 7 7𝑥 139 3 ) − 3.3 6.7 ( 66 660 6.7

3.3

10

𝑘𝑧 1 𝑑𝑥 1 1 𝑑𝑥 + { ∫ + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ } 7𝑥 139 𝐺 0.35 0.85 − 7𝑥 0.175 0.35 − 0 3.3 6.7 66 66 660

𝑓11 =

53270.75524 1.2[48.04247275] + = 0.02166738598 𝐸 𝐺

Cálculo de 𝒇𝟏𝟐 : 𝑀 =𝑥 → 𝐸. 𝑀. 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑉1 = 1 →

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

𝑚 =1 → 𝐸. 𝑀. 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑣1 = 0 → 3.3

1 240 𝑓12 = { ∫ [ 𝐸 7 0

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿 6.7

𝑥

10

1920 240 𝑥 8891.033119 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫[ ] 𝑑𝑥} = 3 ] 𝑑𝑥 + 7 3 7 𝐸 7𝑥 7𝑥 139 (0.85 − ) ) − 3.3 6.7 ( 66 66 660 = 0.00360697677

Cálculo de 𝒇𝟐𝟐 : 𝑀 =1 → 𝐸. 𝑀. 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑉1 = 0 →

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

𝑚 =1 → 𝐸. 𝑀. 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑣1 = 0 → 3.3

1 240 𝑓22 = { ∫ 𝐸 7 0

𝑑𝑥

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿 6.7

10

1920 240 𝑑𝑥 1778.206624 ∫ 𝑑𝑥 + ∫ = 0.0007213953541 3+ 7 3} = 7 𝐸 7𝑥 7𝑥 139 (0.85 − ) ) − 3.3 6.7 ( 66 66 660

Cálculo del 𝒅𝒆𝒕(𝑭𝟏𝟏 ): 𝑓 𝒅𝒆𝒕(𝑭𝟏𝟏 ) = [ 11 𝑓21

𝑓12 ] = 𝑓11 𝑓22 − 𝑓12 2 = 0.0216 ∗ 0.0007 − 0.00362 = 2.62047016X10−6 𝑓22

Cálculo de 𝒌𝟐𝟐 : 𝑘𝟐𝟐 =

𝑓11 0.0216 = = 8268.510862 𝑑𝑒𝑡(𝐹11 ) 2.62047016X10−6

𝑘44 =

(𝑓22 ∗ 𝐿2 ) − (2 ∗ 𝑓12 ∗ 𝐿) + 𝑓11 (0.0007 ∗ 102 ) − (2 ∗ 0.0036 ∗ 10) + 0.0216 = = 8268.510862 det (𝐹11 ) 2.62047016X10−6

𝑘42 =

(𝑓12 ∗ 𝐿) − 𝑓11 (0.0036 ∗ 10) − 0.0216 = = 5496.105982 det (𝐹11 ) 2.62047016X10−6

𝑘11 =

𝐾22 + 𝐾44 + 2𝐾42 8268.510862 + 8268.510862 + 2 ∗ 5496.105982 = = 275.2923369 𝐿2 102

𝐾21 =

𝐾22 + 𝐾42 8268.510862 + 5496.105982 = = 1376.461684 𝐿 10

𝐾41 =

𝐾44 + 𝐾42 8268.510862 + 5496.105982 = = 1376.461684 𝐿 10

4.1.3.- Coeficientes de rigidez de los volados Cálculo de 𝒇𝟏𝟏 : 𝑰𝒚𝒚 ̅̅̅̅ = {

7

(

7𝑥

240 66

1 3

+ ) 2

𝐺 = 1027064.317

𝑡𝑛 𝑚2

→

0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿} ;

𝑀 =𝑥 → 𝐸. 𝑀. 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑉1 = 1 →

; 𝑨 = {0.35 (

𝐸𝑐 = 2464954.361

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

𝑚 =𝑥 → 𝐸. 𝑀. 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑣1 = 1 →

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

𝑡𝑛 𝑚2

;

7𝑥 66

1

+ ) 2

→

𝑘𝑧 = 1.2

0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿}

3.3

3.3

𝑘𝑦 1 1 240 𝑥2 𝑑𝑥 979.6213759 17.1533704 𝑓11 = { ∫ [ ] 𝑑𝑥 } + { ∫ }= + = 0.0004141210406 3 7𝑥 1 𝐸 7 𝐺 0.35 𝐸 𝐺 7𝑥 1 ( + ) 0 0 66 + 2 66 2

Cálculo de 𝒇𝟏𝟐 : 𝑀 =𝑥 → 𝐸. 𝑀. 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑉1 = 1 →

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

𝑚 =1 → 𝐸. 𝑀. 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑣1 = 0 →

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

3.3

1 240 𝑥 𝑓12 = { ∫ [ ] 𝑑𝑥} = 0.0002096497493 𝐸 7 7𝑥 1 3 ( + ) 0 66 2

Cálculo de 𝒇𝟐𝟐 : 𝑀 =1 → 𝐸. 𝑀. 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑉1 = 0 →

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

𝑚 =1 → 𝐸. 𝑀. 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 { 1 𝑣1 = 0 →

0≤𝑥≤𝐿 } 0≤𝑥≤𝐿

3.3

1 240 𝑑𝑥 𝑓22 = { ∫ } = 0.0001715316131 𝐸 7 7𝑥 1 3 − ) 0 ( 66 2

Cálculo del 𝒅𝒆𝒕(𝑭𝟏𝟏 ): 𝑓 𝒅𝒆𝒕(𝑭𝟏𝟏 ) = [ 11 𝑓21

𝑓12 ] = 𝑓11 𝑓22 − 𝑓12 2 = 0.000414 ∗ 0.000171 − 0.0002092 = 2.708183272X10−8 𝑓22

Cálculo de 𝒌𝟐𝟐 : 𝑘𝟐𝟐 =

𝑓11 0.000414 = = 15291.4703 𝑑𝑒𝑡(𝐹11 ) 2.708183272X10−8

𝑘44 =

(𝑓22 ∗ 𝐿2 ) − (2 ∗ 𝑓12 ∗ 𝐿) + 𝑓11 (0.000171 ∗ 3.32 ) − (2 ∗ 0.000209 ∗ 3.3) + 0.000414 = = 33173.97204 det (𝐹11 ) 2.708183272X10−8

𝑘42 =

(𝑓12 ∗ 𝐿) − 𝑓11 (0.000209 ∗ 3.3) − 0.000414 = = 10254.96077 det (𝐹11 ) 2.708183272X10−8

𝑘11 =

𝐾22 + 𝐾44 + 2𝐾42 15291.4703 + 33173.97204 + 2 ∗ 10254.96077 = = 6333.825884 𝐿2 3.32

𝐾21 =

𝐾22 + 𝐾42 15291.4703 + 10254.96077 = = 7741.342748 𝐿 3.3

𝐾41 =

𝐾44 + 𝐾42 33173.97204 + 10254.96077 = = 13160.28267 𝐿 3.3

4.1.4.- Coeficientes de rigidez de vigas en dirección Y

𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ =

𝑏𝑑 3 0.25 ∗ 0.53 = = 0.002604167 𝑚4 12 12

12𝐸𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ = 356.6195545 𝐿3 6𝐸𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ = = 1069.858663 𝐿2 4𝐸𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ = = 4279.434654 𝐿 2𝐸𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ = = 2139.717327 } 𝐿

𝑘11 = 𝐿 = 6𝑚 →

𝑘12 𝑘𝟐𝟐 { 𝑘42

12𝐸𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ = 224.5767457 𝐿3 6𝐸𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ = = 786.0186099 𝐿2 4𝐸𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ = = 3668.086846 𝐿 2𝐸𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ = = 1834.043423 } 𝐿

𝑘11 = 𝐿 = 7𝑚 →

𝑘12 𝑘𝟐𝟐 { 𝑘42

4.1.5.- Coeficientes de rigidez en columnas Los coeficientes de rigidez en columnas son los mismos que los usados en vigas, solo se diferencian debido a que las columnas poseen 2 grados de libertad más, correspondientes a compresiones o tensiones en su eje axial, los coeficientes de rigidez para cargas axiales son los siguientes:

Cálculo del momento de los momentos de inercia centroidales:

Aplicando el teorema de Steiner se procede a dividir la sección en 3 áreas parciales como se muestra abajo:

á𝑟𝑒𝑎 𝐼𝐼:

30 ∗ 403 = 160000 𝑐𝑚4 12 40 ∗ 303 = = 90000 𝑐𝑚4 } 12

𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ { 𝐼𝑦𝑦

momentos de inercia centroidales locales (medio circulo): 𝜋𝑟 4 = 20000𝜋 𝑐𝑚4 8 𝜋 8 = ( − ) 𝑟 4 = 17561.1137 𝑐𝑚4 8 9𝜋 𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅′ =

𝐼𝑦𝑦 ̅̅̅̅′

Momentos de inercia centroidales globales (medio circulo): 𝜋𝐷2 (0)2 = 20000𝜋 𝑐𝑚4 8 2 𝜋𝐷2 4𝑟 2 = 𝐼𝑦𝑦 ( + 15) = 364203.5225 𝑐𝑚4 } ̅̅̅̅′ + 𝐴(𝑒𝑥̅ ) = 17561.1137 + 8 3𝜋 2 𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ = 𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅′ + 𝐴(𝑒𝑦̅ ) = 20000𝜋 +

á𝑟𝑒𝑎 𝐼 = á𝑟𝑒𝑎 𝐼𝐼𝐼: ̅̅̅̅ {𝐼𝑦𝑦

Momentos de inercia centroidales de la sección oblonga: 4 4 𝐼𝑥𝑥 ̅̅̅̅ = 160000 + 2(20000𝜋) = 285663.7061 𝑐𝑚 = 0.002856637 𝑚 4 4 𝐼𝑦𝑦 ̅̅̅̅ = 90000 + 2(364203.5225 ) = 818407.045 𝑐𝑚 = 0.00818407 𝑚

4.1.6.- Matriz de rigidez global en X: Para obtener la matriz de rigidez en el sistema global de referencia, se aplicará un sistema de fuerzas que provoquen un desplazamiento unitario en el grado de libertad en estudio y que también desplacen cero los demás grados de libertad, para determinar este sistema de fuerzas se realizaran las siguientes consideraciones en el análisis: 1) El espesor de la losa es lo suficientemente grueso para aportar un comportamiento de piso rígido (diafragma rígido), por lo tanto, todos los grados de libertad horizontales se reducen a 1 por entrepiso (solo cuando el entrepiso tenga losas totalmente continuas). 2) La rigidez axial de vigas se considera que tiende al infinito debido al efecto del diafragma 3) La rigidez lateral la portaran en su mayoría las columnas 4) La rigidez axial de las columnas será tomada en cuenta Grados de libertad de marcos en dirección X:

sistemas de fuerzas por grado de libertad: Solo se mostrarán los sistemas de fuerzas para los 2 primeros grados de libertad en giros, desplazamientos verticales y horizontales, pues la metodología se repite igualmente para los demás grados de libertad.

Condensación estática: Se ordenará la matriz de rigidez global de tal modo que se agrupen los coeficientes de rigidez angulares en una sub matriz y en otra sub matriz los coeficientes de rigidez laterales.

[𝐾𝐷 ] = [𝐾𝑥𝑥 ] − {𝐾𝑋𝜃 }[𝐾𝜃𝜃 −1 ]{𝐾𝜃𝑥 } La matriz de rigidez lateral se obtendrá por cada marco y después se sumarán las matrices de rigidez laterales de todos los marcos para obtener la matriz de rigidez lateral total en la dirección de estudio. 4.1.7.- Matriz de rigidez global en Y: Grados de libertad de marcos en dirección Y:

sistemas de fuerzas por grado de libertad:

MATRIZ K EN DIRECCION X (un solo marco) M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 Fz1 Fz2 Fz3 Fz4 Fz5 Fz6 Fz7 Fz8 Fz9 Fz10 Fz11 Fz12 Fx1 Fx2 Fx3

ϕ1 51497.14 5496.106 0 0 11527.634 0 0 0 0 0 0 0 1376.4617 -1376.462 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2315.819 9880.8295 0

ϕ2 5496.106 59649.725 5551.8998 0 0 11527.634 0 0 0 0 0 0 1376.4617 -130.5994 -1245.862 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2315.819 9880.8295 0

ϕ3 0 5551.8998 59649.725 5496.106 0 0 11527.634 0 0 0 0 0 0 1245.8623 130.59942 -1376.462 0 0 0 0 0 0 0 0 -2315.819 9880.8295 0

ϕ4 0 0 5496.106 51497.14 0 0 0 11527.634 0 0 0 0 0 0 1376.4617 -1376.462 0 0 0 0 0 0 0 0 -2315.819 9880.8295 0

ϕ5 11527.634 0 0 0 31323.78 5496.106 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1376.4617 -1376.462 0 0 0 0 0 0 -9880.829 9880.8295 0

ϕ6 0 11527.634 0 0 5496.106 62531.633 5551.8998 0 0 11527.634 0 0 0 0 0 0 1376.4617 -130.5994 -1245.862 0 0 0 0 0 -9880.829 0 9880.8295

ϕ7 0 0 11527.634 0 0 5551.8998 62531.633 5496.106 0 0 11527.634 0 0 0 0 0 0 1245.8623 130.59942 -1376.462 0 0 0 0 -9880.829 0 9880.8295

ϕ8 0 0 0 11527.634 0 0 5496.106 31323.78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1376.4617 -1376.462 0 0 0 0 -9880.829 9880.8295 0

ϕ9 0 0 0 0 0 0 0 0 15291.47 10254.961 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7741.3427 -7741.343 0 0 0 0 0

ϕ10 0 0 0 0 0 11527.634 0 0 10254.961 64381.826 5551.8998 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13160.283 -11914.42 -1245.862 0 0 -9880.829 9880.8295

ϕ11 0 0 0 0 0 0 11527.634 0 0 5551.8998 64381.826 10254.961 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1245.8623 11914.42 -13160.28 0 -9880.829 9880.8295

ϕ12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10254.961 15291.47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7741.3427 -7741.343 0 0 0

dz1 1376.4617 1376.4617 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 324676.98 -275.2923 0 0 -173014.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

dz2 -1376.462 -130.5994 1245.8623 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -275.2923 324903.5 -226.5204 0 0 -173014.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

dz3 0 -1245.862 130.59942 1376.4617 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -226.5204 324903.5 -275.2923 0 0 -173014.2 0 0 0 0 0 0 0 0

dz4 0 0 -1376.462 -1376.462 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -275.2923 324676.98 0 0 0 -173014.2 0 0 0 0 0 0 0

dz5 0 0 0 0 1376.4617 1376.4617 0 0 0 0 0 0 -173014.2 0 0 0 173289.53 -275.2923 0 0 0 0 0 0 0 0 0

dz6 0 0 0 0 -1376.462 -130.5994 1245.8623 0 0 0 0 0 0 -173014.2 0 0 -275.2923 346530.28 -226.5204 0 0 -173014.2 0 0 0 0 0

dz7 0 0 0 0 0 -1245.862 130.59942 1376.4617 0 0 0 0 0 0 -173014.2 0 0 -226.5204 346530.28 -275.2923 0 0 -173014.2 0 0 0 0

dz8 0 0 0 0 0 0 -1376.462 -1376.462 0 0 0 0 0 0 0 -173014.2 0 0 -275.2923 173289.53 0 0 0 0 0 0 0

dz9 0 0 0 0 0 0 0 0 7741.3427 13160.283 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6333.8259 -6333.826 0 0 0 0 0

dz10 0 0 0 0 0 0 0 0 -7741.343 -11914.42 1245.8623 0 0 0 0 0 0 -173014.2 0 0 -6333.826 179574.58 -226.5204 0 0 0 0

dz11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1245.862 11914.42 7741.3427 0 0 0 0 0 0 -173014.2 0 0 -226.5204 179574.58 -6333.826 0 0 0

KD (un solo marco)

kD total (6 marcos)

dx1 dx2 dx3 FX1 29301.4977 -15991.0975 1686.32652 FX2 -15991.0975 18044.7572 -5951.33099 FX3 1686.32652 -5951.33099 4462.25132

dx1 dx2 dx3 FX1 175808.986 -95946.5852 10117.9591 FX2 -95946.5852 108268.543 -35707.9859 FX3 10117.9591 -35707.9859 26773.5079

dz12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -13160.28 -7741.343 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6333.826 6333.8259 0 0 0

dx1 -2315.819 -2315.819 -2315.819 -2315.819 -9880.829 -9880.829 -9880.829 -9880.829 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 37714.773 -22584.75 0

dx2 9880.8295 9880.8295 9880.8295 9880.8295 9880.8295 0 0 9880.8295 0 -9880.829 -9880.829 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -22584.75 33877.13 -11292.38

dx3 0 0 0 0 0 9880.8295 9880.8295 0 0 9880.8295 9880.8295 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -11292.38 11292.377

Matriz de rigidez en direccion Y (marco B=C) M1 M2 M3 M4 M5 M6

ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 ϕ7 ϕ8 ϕ9 ϕ10 ϕ11 ϕ12 19368.32 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 0 2139.717 23647.75 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 0 2139.717 23036.41 1834.043 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 0 1834.043 23036.41 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 0 2139.717 23647.75 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 0 2139.717 19368.32 0 0 0 0 0 4023.703

ϕ13

ϕ14 0 0 0 0 0 0

ϕ15 0 0 0 0 0 0

ϕ16 0 0 0 0 0 0

ϕ17 0 0 0 0 0 0

ϕ18 0 0 0 0 0 0

dz1 dz2 dz3 dz4 dz5 dz6 0 1069.859 -1069.86 0 0 0 0 0 1069.859 0 -1069.86 0 0 0 0 0 1069.859 -283.84 -786.019 0 0 0 0 0 786.0186 283.8401 -1069.86 0 0 0 0 0 1069.859 0 -1069.86 0 0 0 0 0 1069.859 -1069.86

M7 4023.703 0 0 0 0 0 20374.25 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 0 M8 0 4023.703 0 0 0 0 2139.717 24653.68 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 M9 0 0 4023.703 0 0 0 0 2139.717 24042.33 1834.043 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 M10 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 1834.043 24042.33 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 0 M11 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 2139.717 24653.68 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 M12 0 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 2139.717 20374.25 0 0 0 0 0 4023.703 M13 0 0 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 0 12326.84 2139.717 0 0 0 0 M14 0 0 0 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 2139.717 16606.27 2139.717 0 0 0 M15 0 0 0 0 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 2139.717 15994.93 1834.043 0 0 M16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 1834.043 15994.93 2139.717 0 M17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 2139.717 16606.27 2139.717 M18 0 0 0 0 0 0 0 0 Fz1 1069.859 1069.859 0 0 0 0 0 0 Fz2 -1069.86 0 1069.859 0 0 0 0 0 Fz3 0 -1069.86 -283.84 786.0186 0 0 0 0 Fz4 0 0 -786.019 283.8401 1069.859 0 0 0 Fz5 0 0 0 -1069.86 0 1069.859 0 0 Fz6 0 0 0 0 -1069.86 -1069.86 0 0 Fz7 0 0 0 0 0 0 1069.859 1069.859 Fz8 Fz9 Fz10 Fz11 Fz12 Fz13 Fz14

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 4023.703 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 -1069.86 0 1069.859 0 0 0 0 0 0 0 0 -1069.86 -283.84 786.0186 0 0 0 0 0 0 0 0 -786.019 283.8401 1069.859 0 0 0 0 0 0 0 0 -1069.86 0 1069.859 0 0 0 0 0 0 0 0 -1069.86 -1069.86 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 1069.859 0 0 0 0 0 0 0 0 -1069.86 0 1069.859

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

dz7

dz8

dx1 -808.3 -808.3 -808.3 -808.3 -808.3 -808.3

dx2 3448.9 3448.9 3448.9 3448.9 3448.9 3448.9

dx3

0 1069.859 -1069.86 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 0 -1070 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 -283.8 -786 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 786.02 283.84 -1070 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.9 0 -1070 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.9 -1070 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.9 -1070 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.9 0 -1070 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.9 -283.8 -786 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 786.02 283.84 -1070 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.9 0 -1070

-3449 -3449 -3449 -3449 -3449 -3449 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 -3449 -3449 -3449 -3449 -3449

3448.9 3448.9 3448.9 3448.9 3448.9 3448.9 3448.9 3448.9 3448.9 3448.9 3448.9

0 2139.717 12326.84 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 324758.3 -356.62 0 0 0 0 -173014 0 0 0 -356.62 325114.9 -356.62 0 0 0 0 0 0 0 0 -356.62 324982.9 -224.577 0 0 0 0 0 0 0 0 -224.577 324982.9 -356.62 0 0 0 0 0 0 0 0 -356.62 325114.9 -356.62 0 0 0 0 0 0 0 0 -356.62 324758.3 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 0 346385.1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

dz9

dz10 dz11 dz12 dz13 dz14 dz15 dz16 dz17 dz18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

-173014 0 0 0 0 0 0

0 -173014 0 0 0 0 0

0 0 -173014 0 0 0 0

0 0 0 -173014 0 0 0

0 0 0 0 -173014 0 0

Fz15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1069.86 -283.84 786.0186 0 0 Fz16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -786.019 283.8401 1069.859 0 Fz17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1069.86 0 1069.859 Fz18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1069.86 -1069.86 Fx1 -808.333 -808.333 -808.333 -808.333 -808.333 -808.333 -3448.89 -3448.89 -3448.89 -3448.89 -3448.89 -3448.89 0 0 0 0 0 0 Fx2 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 0 0 0 0 0 0 -3448.89 -3448.89 -3448.89 -3448.89 -3448.89 -3448.89 Fx3 0 0 0 0 0 0 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 0 0 -2E+05 0 0 0 0 0 0 -2E+05 0 0 0 0 0 0 -2E+05 0 0 0 0 0 0 -2E+05 0 -356.62 0 0 0 0 -2E+05

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 1069.9 -1070 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-356.62 346741.7 -356.6 0 0 0 0 -2E+05 0 0 0 0 0 -356.62 346610 -224.6 0 0 0 0 -2E+05 0 0 0 0 0 -224.6 346610 -356.6 0 0 0 0 -2E+05 0 0 0 0 0 -356.6 346742 -356.6 0 0 0 0 -2E+05 0 0 0 0 0 -356.6 346385 0 0 0 0 0 -2E+05 -173014 0 0 0 0 0 173371 -356.6 0 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 -356.6 173727 -356.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -2E+05 0 0 0 0 0 -2E+05 0 0 0 0 0 -2E+05 0 0 0 0 0 -2E+05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 -3449 3448.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 -356.6 173595 -224.6 0 0 0 0 0 0 0 -224.6 173595 -356.6 0 0 0 0 0 0 0 -356.6 173727 -356.6 0 0 0 0 0 0 0 -356.6 173371 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19746 -11825 0 0 0 0 0 0 0 -11825 23650 -11825 0 0 0 0 0 0 0 -11825 11825

Matriz de rigidez en direccion Y (marco A=D) M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 Fz1 Fz2 Fz3 Fz4 Fz5 Fz6 Fz7 Fz8 Fz9 Fz10 Fz11 Fz12 Fx1 Fx2

ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 ϕ7 ϕ8 ϕ9 ϕ10 ϕ11 19368.32 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 2139.717 23647.75 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 2139.717 23036.41 1834.043 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 1834.043 23036.41 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 2139.717 23647.75 2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 4023.703 0 0 0 0 0 1069.859 -1069.86 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -808.333 3448.888

0 0 4023.703 0 0 0 0 1069.859 0 -1069.86 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -808.333 3448.888

0 0 0 4023.703 0 0 0 0 1069.859 -283.84 -786.019 0 0 0 0 0 0 0 0 -808.333 3448.888

0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 786.0186 283.8401 -1069.86 0 0 0 0 0 0 0 -808.333 3448.888

2139.717 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 1069.859 0 -1069.86 0 0 0 0 0 0 -808.333 3448.888

19368.32 0 0 0 0 0 4023.703 0 0 0 0 1069.859 -1069.86 0 0 0 0 0 0 -808.333 3448.888

0 12326.84 2139.717 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 -1069.86 0 0 0 0 -3448.89 3448.888

0 2139.717 16606.27 2139.717 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 0 -1069.86 0 0 0 -3448.89 3448.888

0 0 2139.717 15994.93 1834.043 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 -283.84 -786.019 0 0 -3448.89 3448.888

0 0 0 1834.043 15994.93 2139.717 0 0 0 0 0 0 0 0 0 786.0186 283.8401 -1069.86 0 -3448.89 3448.888

0 0 0 0 2139.717 16606.27 2139.717 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 0 -1069.86 -3448.89 3448.888

ϕ12

dz1 dz2 dz3 dz4 dz5 dz6 0 1069.859 -1069.86 0 0 0 0 0 1069.859 0 -1069.86 0 0 0 0 0 1069.859 -283.84 -786.019 0 0 0 0 0 786.0186 283.8401 -1069.86 0 0 0 0 0 1069.859 0 -1069.86

dz7

dz8 0 0 0 0 0

dz9 0 0 0 0 0

dz10 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

dz11 0 0 0 0 0

dz12 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

dx1 -808.333 -808.333 -808.333 -808.333 -808.333

dx2 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888 3448.888

4023.703 0 0 0 0 1069.859 -1069.86 0 0 0 0 0 0 -808.333 3448.888 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 -1069.86 0 0 0 0 -3448.89 3448.888 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 0 -1069.86 0 0 0 -3448.89 3448.888 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 -283.84 -786.019 0 0 -3448.89 3448.888 0 0 0 0 0 0 0 0 0 786.0186 283.8401 -1069.86 0 -3448.89 3448.888 2139.717 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 0 -1069.86 -3448.89 3448.888 12326.84 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1069.859 -1069.86 -3448.89 3448.888 0 324758.3 -356.62 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 0 0 0 0 -356.62 325114.9 -356.62 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 0 0 0 0 -356.62 324982.9 -224.577 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 0 0 0 0 -224.577 324982.9 -356.62 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 0 0 0 0 -356.62 325114.9 -356.62 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 0 0 0 0 -356.62 324758.3 0 0 0 0 0 -173014 0 0 0 -173014 0 0 0 0 0 173370.9 -356.62 0 0 0 0 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 -356.62 173727.5 -356.62 0 0 0 0 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 -356.62 173595.4 -224.577 0 0 0 0 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 -224.577 173595.4 -356.62 0 0 0 1069.859 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 -356.62 173727.5 -356.62 0 0 -1069.86 0 0 0 0 0 -173014 0 0 0 0 -356.62 173370.9 0 0 -3448.89 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19746.42 -11824.8 3448.888 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -11824.8 11824.76

KD marcos A+D FX1 FX2

dx1 dx2 31449 -15603 -15603 12124

kD marcos B+C

kD en direccion Y TOTAL

dx1 dx2 dx3 FX1 33770.6072 -21924.8123 4313.53092 FX2 -21924.8123 33548.5753 -15926.0198 FX3 4313.53092 -15926.0198 12165.9565

dx1 dx2 dx3 FX1 65219.3503 -37527.9662 4313.53092 FX2 -37527.9662 45672.8505 -15926.0198 FX3 4313.53092 -15926.0198 12165.9565

4.2.- Matriz de masas. 4.2.1.- Pesos por entrepiso: Se calcularán los pesos por cada entrepiso multiplicando el volumen de los elementos estructurales (vigas y columnas) por su peso volumétrico (𝛾𝑐 = 2400 𝑘𝑔/𝑚3 para concreto reforzado), en el caso de las losas se multiplicará su área por la carga unitaria calculada por sismo en el punto 3.2, en el caso de columnas y elementos verticales que resistan cargas laterales se considerara la mitad de su altura que se encuentre cerca de la losa.

PESO POR ENTREPISO elemento v-1 acartelada v-2 acartelada viga (L=6m) viga (L=7m) volados col. 1 (L=4m) col. 2 (L=3.5m) entrepiso 1 entrepiso 2 entrepiso 3

peso no. Pzs. no. Pzs. no. Pzs. unitario vol. "o" area Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 (kg,m) 2400 2.429 m³ 6 6 6 2400 2.15425 m³ 12 12 0 2400 0.75 m³ 40 40 16 2400 0.875 m³ 10 10 4 2400 0.779625 m³ 0 0 12 2400 0.98265482 m³ 12 0 0 2400 0.85982297 m³ 12 18 6 742 961 m² 1 0 0 742 961 m² 0 1 0 831 545.6 m² 0 0 1 Σ=

peso(kg) nivel 1

peso(kg) nivel 2

peso(kg) nivel 3

34977.6 34977.6 34977.6 62042.4 62042.4 0 72000 72000 28800 21000 21000 8400 0 0 22453.2 28300.46 0 0 24762.9 37144.35 12381.45 713062 0 0 0 713062 0 0 0 453393.6 956145.4 940226.4 560405.9

4.2.2.- Matriz de masas Dividiendo los pesos entre la aceleración de la gravedad se obtienen las siguientes masas: nivel p tot (tn) masa (tn*s²/m) 1 956.145361 97.49969261 2 940.226352 95.87640554 3 560.405851 57.14549319

[𝑴] = [

𝟗𝟕. 𝟒𝟗𝟗 𝟎 𝟎 𝟗𝟓. 𝟖𝟕𝟔 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 ] 𝟓𝟕. 𝟏𝟒𝟓

La masa obtenida con ETABS es semejante a la calculada manualmente, esto es debido a la aproximación que realiza ETABS de las propiedades geométricas de las vigas de sección variable, pero principalmente a la diferencia que hay entre áreas calculadas analíticamente (área exacta) y la que maneja ETABS (aproximada) en el caso de las columnas de sección oblonga, aun así, la diferencia es muy poca, por lo cual puede ser aceptable.

4.3.- Frecuencias y periodos de la estructura. Una vez calculadas las matrices de rigidez y de masas, se puede plantear el modelo discreto masaresorte de 3 grados de libertad, para el caso de los cálculos de frecuencias y modos de vibrar no es necesario considerar el porcentaje de amortiguamiento critico de la estructura, pues no se trabajará con las frecuencias amortiguadas al menos que se desee calcular la respuesta dinámica de la estructura.

Retomando la ecuación diferencial de equilibrio dinámica en múltiples grados de libertad: [𝑀]{𝑌̈} + [𝐾]{𝑌} = {𝑃(𝑡)} Como se trata de una ecuación diferencial lineal es posible obtener una solución analítica como combinación lineal de varias funciones solución, las cuales son la base del espacio de la ecuación diferencial, dicha base se conoce como los modos de vibrar φ y se obtienen de la solución del problema de vectores propios. {𝑌} = [𝜙]{𝑍} → 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 {𝑍} = {𝑧0𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑖 𝑡) + 𝑧0̇𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑖 𝑡)}

→ 𝑧0𝑖 , 𝑧0̇𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

{𝑍′′} = {−𝜔𝑖 2 𝑧0𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑖 𝑡) − 𝜔𝑖 2 𝑧0̇𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑖 𝑡)} = −𝜔𝑖 2 {𝑧0𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑖 𝑡) + 𝑧0̇𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑖 𝑡)} = −𝜔2 {𝑍}

Sustituyendo en la ecuación diferencial original y considerando P(t)=0 −[𝑀][𝜙]𝜔2 {𝑍} + [𝐾][𝜙]{𝑧} = {0} ([𝐾] − [𝑀]𝜔2 )[𝜙]{𝑧} = {0}

Para una solución diferente a la trivial se debe cumplir lo siguiente: 𝑑𝑒𝑡([𝐾] − [𝑀]𝜔2 ) = 0

Trabajando solo con el argumento del determinante y pre multiplicando por la matriz inversa de masas: [𝑀]−1 [𝐾] − [𝑀]−1 [𝑀]𝜔2 = [𝑀]−1 [𝐾] − [Ι]𝜔2 = −[𝑀]−1 [𝐾] + [Ι]𝜔2 ∴ 𝑑𝑒𝑡(−[𝑀]−1 [𝐾] + [Ι]𝜔2 ) = 𝑑𝑒𝑡([𝜆][Ι] − [A]) = 0

Se ha llegado al modelo clásico de valores propios, donde: [𝜆][Ι] = [Ι]𝜔2 ; [A] = [𝑀]−1 [𝐾]

4.3.1.- Frecuencia y periodos en dirección X.

−1

[𝐴] = [𝑀]

0.01025 [𝐾] = [ 0 0

1803.17477

[𝐴] = [−1000.73198 177.05611

0 0.01043 0

−984.07064 1129.25117 −624.86092

[𝜆][Ι] − [A] = [Ι]𝜔2 − [𝐴] = [

0 175808.986 0 ] [−95946.585 0.01749 10117.959

−95946.585 108268.543 −35707.985

10117.959 −35707.985] 26773.507

103.77426 −372.43767] 468.51477

𝜔2 − 1803.17477 984.07064 −103.77426 1000.73198 𝜔2 − 1129.25117 372.43767 ] −177.05611 624.86092 𝜔2 − 468.51477

det([Ι]𝜔2 − [𝐴]) = (𝜔2 )3 − 3400.94071(𝜔2 )2 + 2174235.51510(𝜔2 ) − 182015298.01803 = 0

Grafica del polinomio característico en dirección X, 1° frecuencia al cuadrado

Resolviendo esta ecuación de 3° grado se obtienen las siguientes frecuencias al cuadrado: W² (rad/seg)² 1 98.43101411 2 714.5177227 3 2587.99198

Recordando que: 𝑇 =

2𝜋 𝜔

se obtienen los siguientes periodos en dirección X

Tx (seg) 1 0.633306417 2 0.235057096 3 0.123508943

Se puede apreciar que los periodos obtenidos analíticamente en dirección x son muy parecidos a los obtenidos con ETABS, por lo cual las propiedades dinámicas de la estructura modelada en ETABS son adecuadas, lo que implica una condición necesaria pero no suficiente para un correcto análisis dinámico.

4.3.2.- Frecuencia y periodos en dirección Y. 668.9185221

[𝐴] = [−391.4202461 75.48330892

−384.9034314 476.3721609 −278.6924905

44.24148221 −166.1098967] 212.8944171

[𝜆][Ι] − [A] = [Ι]𝜔2 − [𝐴] = [

𝜔2 − 668.9185 384.9034 −44.2414 391.4202 𝜔2 − 476.3721 166.1098 ] −75.4833 278.6924 𝜔2 − 212.8944

det([Ι]𝜔2 − [𝐴]) = (𝜔2 )3 − 1358.1851(𝜔2 )2 + 362188.0840(𝜔2 ) − 12859999.8853 = 0

Grafica del polinomio característico en dirección Y, 1° frecuencia al cuadrado Resolviendo esta ecuación de 3° grado se obtienen las siguientes frecuencias al cuadrado: W² (rad/seg)² 1 41.8810869 2 303.040443 3 1013.26357

Ty (seg) 1 0.97089194 2 0.36093548 3 0.19738705

Se puede apreciar que los periodos obtenidos analíticamente en dirección Y son muy parecidos a los obtenidos con ETABS, por lo cual las propiedades dinámicas de la estructura modelada en ETABS son adecuadas, lo que implica una condición necesaria pero no suficiente para un correcto análisis dinámico.

4.4.- Modos de vibrar. Retomando la ecuación diferencial homogénea de equilibrio dinámico: ([𝐾] − [𝑀]𝜔2 )[𝜙]{𝑧} = {0} Este sistema de ecuaciones será satisfecho para valores del vector φ asociados a cada una de las frecuencias angulares, por lo cual para encontrar todas las posibles soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones es necesario solucionar el problema de vectores propios.

4.4.1.- Matriz modal en dirección X. Modo de vibrar asociado a 𝜔2 =98.43101411 ([𝐾] − [𝑀]𝜔2 )[𝜙] = {0} [

𝜙1 𝜔2 − 1803.17477 984.07064 −103.77426 1000.73198 𝜔2 − 1129.25117 372.43767 ] {𝜙2 } = {0} −177.05611 624.86092 𝜔2 − 468.51477 𝜙3

−1704.743758 984.07064 −103.77426 𝜙1 [ 1000.73198 −1030.820156 372.43767 ] {𝜙2 } = {0} −177.05611 624.86092 −370.083761 𝜙3 Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneas y normalizando respecto al último termino 𝜙3 , se obtiene el siguiente vector propio: Φ1 0.335967176 {Φ2 } = {0.687463058} Φ3 1

Modo de vibrar asociado a 𝜔2 = 714.5177 −1088.657049 984.07064 −103.77426 𝜙1 [ 1000.73198 −414.7334469 372.43767 ] {𝜙2 } = {0} −177.05611 624.86092 246.0029476 𝜙3 Φ1 −0.606550381 {Φ2 } = { −0.56556009 } Φ3 1

Modo de vibrar asociado a 𝜔2 = 2587.9919 784.8172079 984.07064 −103.77426 𝜙1 [ 1000.73198 1458.74081 372.43767 ] {𝜙2 } = {0} −177.05611 624.86092 2119.477205 𝜙3 Φ1 3.235689094 {Φ2 } = {−2.475076592} Φ3 1

0.335967176 −0.606550381 3.235689094 [Φ] = [0.687463058 −0.56556009 −2.475076592] 1 1 1

4.4.2.- Matriz modal en dirección Y. Modo de vibrar asociado a 𝜔2 =41.8810869 ([𝐾] − [𝑀]𝜔2 )[𝜙] = {0} [

𝜙1 −627.0374352 384.9034 −44.2414 391.4202 −434.4910741 166.1098 ] {𝜙2 } = {0} −75.4833 278.6924 −171.0133302 𝜙3

Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneas y normalizando respecto al último termino 𝜙3 , se obtiene el siguiente vector propio: Φ1 0.367158607 {Φ2 } = {0.713071516} Φ3 1

Modo de vibrar asociado a 𝜔2 = 303.040443

−365.8780788 984.07064 −103.77426 𝜙1 [ 1000.73198 −173.3317177 372.43767 ] {𝜙2 } = {0} −177.05611 624.86092 90.14602616 𝜙3 Φ1 −0.644971948 {Φ2 } = {−0.498149924} Φ3 1

Modo de vibrar asociado a 𝜔2 = 2587.9919 344.3450479 984.07064 −103.77426 𝜙1 [ 1000.73198 536.8914091 372.43767 ] {𝜙2 } = {0} −177.05611 624.86092 800.3691529 𝜙3 Φ1 2.562743424 {Φ2 } = {−2.177757995} Φ3 1

0.367158607 −0.644971948 2.562743424 [Φ] = [0.713071516 −0.498149924 −2.177757995] 1 1 1

5.- ANALISIS SISMICO ESTATICO 5.1.- Parámetros reglamentarios para análisis estático. Para una estimación adecuada de las fuerzas sísmicas laterales por entrepiso, se seguirán los criterios que se exponen en las normas técnicas complementarias para diseño por sismo del año 2017. Por otra parte, se retomarán los parámetros obtenidos con el SASID:

Para la revisión del requisito de limitación de daños según la sección 1.8 (N.T.C. Sismo), las distorsiones máximas de entrepiso deben obtenerse del análisis multiplicándolas por Q'R y por el factor Ks, que se determina como:

Como 𝑇𝑆 = 2.388 → 𝑇𝑆𝑥 ≥ 1.0 𝑠 ∴ 𝐾𝑆 =

1 = 0.25 4

Factor de sobre resistencia R (N.T.C. 3.5, Sismo 2017) : El factor de sobre resistencia, R, debe determinarse con la ecuación siguiente: 𝑅 = 𝐾1 𝑅0 + 𝐾2 𝑅0 depende del factor de comportamiento sísmico Q, para Q menores a 3, 𝑅0 tomará el valor de 1.75. 𝐾1 es un factor de corrección por hiperestaticidad, que es igual a 1 para sistemas estructurales de concreto que tengan tres o más crujías resistentes a sismo en las dos direcciones de análisis. 𝐾2 es un factor de incremento para estructuras pequeñas y rígidas, que se obtiene con la expresión: 𝑇 𝐾2 = 0.5 [1 − √ ] > 0 𝑇𝑎

0.6333 ] = 0.13023 1.158

;

𝐾2𝑦 = 0.5 [1 − √

𝑅𝑥 = 1(1.75) + 0.13023 = 1.88023

;

𝑅𝑦 = 1(1.75) + 0.04217 = 1.79217

𝐾2𝑥 = 0.5 [1 − √

0.9708 ] = 0.04217 1.158

Factor de reducción por comportamiento sísmico Q’:

Como 𝑇𝑥 , 𝑇𝑦 ≤ 𝑇𝑎

𝛽

𝑇

𝑘

𝑇𝑎

→ 𝑄′ = 1 + (𝑄 − 1)√ ( )

β es un factor de reducción que considera el amortiguamiento suplementario (mayor que 0.05) por efectos de interacción suelo-estructura o del uso de disipadores de tipo viscoso.

Como 𝑇𝑥 , 𝑇𝑦 ≤ 𝑇𝑎

→ 𝛽 = 1 − [1 − (

0.05 𝜆 𝜁

) ]

𝑇 𝑇𝑎

El factor λ se obtiene de la tabla 3.1.1 de las N.T.C. sismo 2017.

𝜁 es el porcentaje de amortiguamiento critico de la estructura, en estructuras de concreto dúctiles como la que se esta trabajando este porcentaje se asume como el 5% (0.05).

0.05 0.5 0.6333 ∴ 𝛽𝑥 = 1 − [1 − ( ) ] =1 ; 0.05 1.158 ∴ 𝑄′ 𝑥 = 1 + (2 − 1)√

𝑄′ 𝑦 = 1 + (2 − 1)√

0.05 0.5 0.9708 𝛽𝑦 = 1 − [1 − ( ) ] =1 0.05 1.158

1 0.6333 ( ) = 1.730821501 0.56 1.158

1 0.9708 ( ) = 2.120387678 0.56 1.158

5.2.- Determinación de las fuerzas cortantes de diseño. Para calcular las fuerzas cortantes en diferentes entrepisos de una estructura, se supondrá un conjunto de fuerzas horizontales actuando sobre cada uno de los puntos donde se supongan concentradas las masas de los pisos. Cada una de estas fuerzas se tomará igual al peso de la masa que corresponde, multiplicado por un coeficiente proporcional a h, siendo h la altura de la masa en cuestión sobre la base de la estructura. La fuerza lateral que actúa por entrepiso se puede calcular con la siguiente expresión: 𝐹𝑖 =

∑𝑛𝑖=1 𝑊𝑖 𝑐 𝑊𝑖 ℎ𝑖 𝑛 ∑𝑖=1(𝑊𝑖 ℎ𝑖 ) 𝑄′𝑅

5.3.- Fuerzas laterales en dirección X.

𝐶𝑠𝑥 =

𝑐 1.454 = = 0.44678 𝑄′𝑥 𝑅𝑥 1.7308 ∗ 1.880

FUERZA CORTANTE DIRECTA (DIRECCION EN X) NIVEL 3 2 1 Σ=

Wn (tn) hn (m) 560.41 11 940.23 7.5 956.15 4 2456.78

𝑐𝑜𝑒𝑓 =

wn*hn 6164.46 7051.70 3824.58 17040.74

𝐶𝑠𝑥 ∗ ∑𝑛𝑖=1 𝑊𝑖

∑𝑛𝑖=1(𝑊𝑖 ℎ𝑖 )

coef. 0.0644 0.0644 0.0644

;

Fn en x 397.07 454.22 246.35

Vn 397.07 851.30 1097.65

Ym (m) 15.5 15.5 15.5

𝑌𝑚 = 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎

;

Fn*Yi 6154.66 7040.48 3818.50

Σ 6154.66 13195.13 17013.63

Yvi (cm) 15.50 15.50 15.50

𝑌𝑣 = 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

5.3.1.- Revisión del estado límite. Para el cumplimiento del estado límite de seguridad, se revisará que las distorsiones obtenidas con los espectros del Capítulo 3, multiplicadas por 𝑄𝑅𝐾𝑠 , no excedan los valores especificados para la distorsión límite (𝛾𝑚á𝑥 ) en las tablas 4.2.1 de las N.T.C. 4.2, sismo 2017. En nuestro caso el valor de 𝛾𝑚á𝑥 =0.015.

La distorsión de entrepiso se define como la diferencia entre los desplazamientos laterales de los pisos consecutivos que lo delimitan dividida entre la diferencia de elevaciones correspondiente. Para efectos de revisión, los desplazamientos laterales se obtienen del análisis realizado solo con las fuerzas sísmicas, y deberá considerarse la mayor distorsión de las que se calculan para cada elemento o subsistema vertical contenido en el entrepiso (marcos, muros y cualquier otro elemento vertical). {𝑑} = [𝐾𝐷 𝛾𝑖 =

]−1 {𝐹}

=

175808.986 [−95946.585 10117.959

−95946.585 108268.543 −35707.985

10117.959 −1 246.35 −35707.985] {454.22} 26773.507 397.07

0.023944383 = {0.048777179} 0.07083648

𝑑𝑖 − 𝑑𝑖−1 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 ℎ𝑖 − ℎ𝑖−1

0.023 4 0.005986096 0.048 − 0.023 𝛾= = {0.007095085} 7.5 − 4 0.006302657 0.070 − 0.048 { 11 − 7.5 } 𝑄𝑅𝐾𝑠 𝛾𝑚á𝑥 = 2 ∗ 1.88 ∗ 0.25 ∗ 0.00630 = 0.0059 ≤ 0.015 → 𝑜𝑘

5.4.- Fuerzas laterales en dirección Y.

𝐶𝑠𝑦 =

𝑐 1.454 = = 0.38262 𝑄′𝑦 𝑅𝑦 2.12038 ∗ 1.7921

FUERZA CORTANTE DIRECTA (DIRECCION EN Y) NIVEL 3 2 1 Σ=

Wn (tn) hn (m) 560.41 11 940.23 7.5 956.15 4 2456.78

𝑐𝑜𝑒𝑓 =

wn*hn 6164.46 7051.70 3824.58 17040.74

𝐶𝑠𝑦 ∗ ∑𝑛𝑖=1 𝑊𝑖

∑𝑛𝑖=1(𝑊𝑖 ℎ𝑖 )

coef. 0.0552 0.0552 0.0552

;

Fn en y 340.05 388.99 210.97

Vn 340.05 729.04 940.02

𝑋𝑚 = 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎

Xm (m) 15.5 15.5 15.5

;

Fn*Yi 5270.76 6029.37 3270.11

Σ 5270.76 11300.13 14570.24

Xvi (cm) 15.50 15.50 15.50

𝑋𝑣 = 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

5.4.1.- Comprobación del estado límite de servicio.

{𝑑} = [𝐾𝐷

]−1 {𝐹}

=

65219.35028 [−37527.96625 4313.530916

−37527.96625 45672.85049 −15926.01982

4313.530916 −1 210.97 −15926.01982] {388.99} 12165.95646 340.05

0.051070397 = {0.099188739} 0.139687933

0.0510 4 0.012767599 0.099 − 0.051 𝛾= = {0.013748098} 7.5 − 4 0.011571198 0.139 − 0.099 { 11 − 7.5 } 𝑄𝑅𝐾𝑠 𝛾𝑚á𝑥 = 2 ∗ 1.792 ∗ 0.25 ∗ 0.0137 = 0.0123 ≤ 0.015 → 𝑜𝑘

5.5.- Revisión rigurosa del estado límite de servicio. Aunque de forma rápida e inmediata, y para edificios con el mismo número de crujías en todas sus plantas, verificar las distorsiones con la matriz de rigidez lateral y las fuerzas normales sísmicas totales por entrepiso es rápido y sencillo, la verdad es que este análisis solo nos da la respuesta general en las direcciones de análisis X, Y, pero no nos describe el comportamiento de cada marco del edificio. Cuando los edificios son irregulares en planta, o, aunque la simetría en planta se cumpla, es común reducir el número de crujías en los últimos niveles, lo que implica que los marcos posean una rigidez diferente entre sí y por consiguiente su aportación a la rigidez en el plano del diafragma varia significativamente en cada nivel, repercute en la distribución de las fuerzas sísmicas y por consiguiente en los desplazamientos y distorsiones de entrepiso. Por lo cual es necesario plantear una matriz de rigidez que refleje la aportación de cada marco a la resistencia en planta (losa diafragma) de la estructura, realizando así un análisis tridimensional del edificio por cargas laterales, para lo cual cada losa tendrá un movimiento de cuerpo rígido con 3 grados de libertad, desplazamientos en X,Y y una rotación alrededor de Z, por lo cual la matriz de rigidez global del edificio será 3n X 3n, donde n es el número de niveles del edificio. Tal matriz de rigidez global se conformará por las proyecciones de la rigidez lateral de cada marco en direcciones X, Y, mediante las siguientes expresiones. [𝐾𝑥𝑥 ]

[𝐾𝑥𝑦 ]

[𝐾𝑥𝜃 ]

[𝐾𝐺 ] = [[𝐾𝑦𝑥 ]

[𝐾𝑦𝑦 ]

[𝐾𝑦𝜃 ]]

[𝐾𝜃𝑥 ]

[𝐾𝜃𝑦 ]

[𝐾𝜃𝜃 ]

Por lo tanto, la ecuación de equilibrio es: [𝐾𝑥𝑥 ] 𝐹𝑋 𝐹 { 𝑌 } = [[𝐾𝑦𝑥 ] 𝑀𝑍 [𝐾 ] 𝜃𝑥

[𝐾𝑥𝜃 ]

[𝐾𝑥𝑦 ]

𝑢 [𝐾𝑦𝜃 ]] {𝑣 } [𝐾 ] 𝜃

[𝐾𝑦𝑦 ] [𝐾𝜃𝑦 ]

𝜃𝜃

;

[𝐾𝑥𝑥 ] 𝑢 {𝑣 } = [[𝐾𝑦𝑥 ] 𝜃 [𝐾 ] 𝜃𝑥

[𝐾𝑥𝑦 ]

[𝐾𝑥𝜃 ]

[𝐾𝑦𝑦 ]

[𝐾𝑦𝜃 ]]

[𝐾𝜃𝑦 ]

[𝐾𝜃𝜃 ]

−1

𝐹𝑋 { 𝐹𝑌 } 𝑀𝑍

Para proyectar las fuerzas laterales en los ejes X, Y, se tiene la siguiente matriz de rotación: [Β𝑥 ] [𝑅] = [[Β𝑦 ]] [𝑟] [Β𝑥 ] = [

[𝑟] = [

𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑖 ) 0 0

0 ⋱ 0

0 0 ] 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑛 )

𝑥𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑖 ) − 𝑦𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑖 ) 0 0

0 ⋱ 0

;

[Β𝑦 ] = [

𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑖 ) 0 0 ⋱ 0 0

0 0 ] 𝑥𝑛 𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑛 ) − 𝑦𝑛 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑛 )

0 0 ] 𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑛 )

𝛽𝑖 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 Gracias a la matriz de rotación, podemos transformar la matriz de rigidez lateral de un marco, a una matriz de rigidez del diafragma en el sistema global mediante la siguiente relación: [𝐾𝐺 ]𝑖 = [𝑅]𝑖 [𝐾𝐷 ]𝑖 [𝑅]𝑇𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 Por consiguiente, la matriz total de rigidez en el sistema global será la suma de todas las matrices de rigidez de todos los marcos: 𝑛

[𝐾𝐺 ] = ∑{[𝑅]𝑖 [𝐾𝐷 ]𝑖 [𝑅]𝑇𝑖 } 𝑖=1

Matriz de rotacion 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -31 0 0 0 -31 0 0 0 -31

marco

1

29301.498 -15991.098 1686.3265 0 0 0 -908346.43 495724.02 -52276.122

-15991.098 18044.7572 -5951.331 0 0 0 495724.023 -559387.47 184491.261

1686.3265 -5951.331 4462.2513 0 0 0 -52276.12 184491.26 -138329.8

0 0 0 0 0 0 0 0 0

[K] G 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

-908346.43 495724.023 -52276.122 0 0 0 28158739.3 -15367445 1620559.79

495724.023 -559387.473 184491.261 0 0 0 -15367444.7 17341011.7 -5719229.08

-52276.1222 184491.261 -138329.791 0 0 0 1620559.79 -5719229.08 4288223.51

Matriz de rotacion 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -25 0 0 0 -25 0 0 0 -25

marco

Matriz de rotacion 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -19 0 0 0 -19 0 0 0 -19

marco

Matriz de rotacion 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -12 0 0 0 -12 0 0 0 -12

marco

Matriz de rotacion 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6 0 0 0 -6 0 0 0 -6

marco

Matriz de rotacion 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

marco

Matriz de rotacion 6E-17 0 0 0 6E-17 0 0 0 6E-17 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -4E-16 0 0 0 -4E-16 0 0 0 -0

marco

2

3

4

5

6

A

29301.498 -15991.098 1686.3265 0 0 0 -732537.44 399777.44 -42158.163

-15991.098 18044.7572 -5951.331 0 0 0 399777.438 -451118.93 148783.275

1686.3265 -5951.331 4462.2513 0 0 0 -42158.16 148783.27 -111556.3

0 0 0 0 0 0 0 0 0

[K] G 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

-732537.44 399777.438 -42158.163 0 0 0 18313436 -9994436 1053954.08

399777.438 -451118.93 148783.275 0 0 0 -9994435.96 11277973.2 -3719581.87

-42158.1631 148783.275 -111556.283 0 0 0 1053954.08 -3719581.87 2788907.07

29301.498 -15991.098 1686.3265 0 0 0 -556728.46 303830.85 -32040.204

-15991.098 18044.7572 -5951.331 0 0 0 303830.853 -342850.39 113075.289

1686.3265 -5951.331 4462.2513 0 0 0 -32040.2 113075.29 -84782.77

0 0 0 0 0 0 0 0 0

[K] G 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

-556728.46 303830.853 -32040.204 0 0 0 10577840.7 -5772786.2 608763.875

303830.853 -342850.386 113075.289 0 0 0 -5772786.21 6514157.34 -2148430.49

-32040.2039 113075.289 -84782.775 0 0 0 608763.875 -2148430.49 1610872.72

29301.498 -15991.098 1686.3265 0 0 0 -351617.97 191893.17 -20235.918

-15991.098 18044.7572 -5951.331 0 0 0 191893.17 -216537.09 71415.9719

1686.3265 -5951.331 4462.2513 0 0 0 -20235.92 71415.972 -53547.02

0 0 0 0 0 0 0 0 0

[K] G 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

-351617.97 191893.17 -20235.918 0 0 0 4219415.66 -2302718 242831.019

191893.17 -216537.086 71415.9719 0 0 0 -2302718.04 2598445.03 -856991.662

-20235.9183 71415.9719 -53547.0158 0 0 0 242831.019 -856991.662 642564.189

29301.498 -15991.098 1686.3265 0 0 0 -175808.99 95946.585 -10117.959

-15991.098 18044.7572 -5951.331 0 0 0 95946.5852 -108268.54 35707.9859

1686.3265 -5951.331 4462.2513 0 0 0 -10117.96 35707.986 -26773.51

0 0 0 0 0 0 0 0 0

[K] G 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

-175808.99 95946.5852 -10117.959 0 0 0 1054853.92 -575679.51 60707.7548

95946.5852 -108268.543 35707.9859 0 0 0 -575679.511 649611.259 -214247.916

-10117.9591 35707.9859 -26773.5079 0 0 0 60707.7548 -214247.916 160641.047

29301.498 -15991.098 1686.3265 -15991.098 18044.7572 -5951.331 1686.3265 -5951.331 4462.2513 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

[K] G 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

5.901E-29 -2.928E-29 0 9.632E-13 -4.779E-13 0 -3.54E-28 1.757E-28 0

-2.928E-29 2.2748E-29 0 -4.779E-13 3.7135E-13 0 1.7565E-28 -1.365E-28 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

9.6323E-13 -4.779E-13 0 15724.3716 -7801.57699 0 -5.7794E-12 2.8674E-12 0

[K] G -4.779E-13 3.7135E-13 0 -7801.577 6062.13759 0 2.8674E-12 -2.228E-12 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

-3.54E-28 1.7565E-28 1.7565E-28 -1.3649E-28 0 0 -5.779E-12 2.8674E-12 2.8674E-12 -2.2281E-12 0 0 2.1242E-27 -1.0539E-27 -1.054E-27 8.1893E-28 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Matriz de rotacion 6E-17 0 0 0 6E-17 0 0 0 6E-17 1 0 0 0 1 0 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 10

marco

Matriz de rotacion 6E-17 0 0 0 6E-17 0 0 0 6E-17 1 0 0 0 1 0 0 0 1 21 0 0 0 21 0 0 0 21

marco

Matriz de rotacion 6E-17 0 0 0 6E-17 0 0 0 6E-17 1 0 0 0 1 0 0 0 1 31 0 0 0 31 0 0 0 31

marco

B

C

D

6.336E-29 -4.114E-29 8.093E-30 1.034E-12 -6.715E-13 1.321E-13 1.034E-11 -6.715E-12 1.321E-12

-4.114E-29 6.2945E-29 -2.988E-29 -6.715E-13 1.0275E-12 -4.878E-13 -6.715E-12 1.0275E-11 -4.878E-12

8.093E-30 -2.99E-29 2.283E-29 1.321E-13 -4.88E-13 3.726E-13 1.321E-12 -4.88E-12 3.726E-12

1.0344E-12 -6.7153E-13 1.3212E-13 16885.3036 -10962.4061 2156.76546 168853.036 -109624.061 21567.6546

[K] G -6.715E-13 1.0275E-12 -4.878E-13 -10962.406 16774.2876 -7963.0099 -109624.06 167742.876 -79630.099

1.321E-13 -4.878E-13 3.726E-13 2156.7655 -7963.0099 6082.9782 21567.655 -79630.099 60829.782

1.0344E-11 -6.715E-12 1.3212E-12 168853.036 -109624.06 21567.6546 1688530.36 -1096240.6 215676.546

-6.7153E-12 1.0275E-11 -4.8779E-12 -109624.061 167742.876 -79630.0991 -1096240.61 1677428.76 -796300.991

1.3212E-12 -4.8779E-12 3.7263E-12 21567.6546 -79630.0991 60829.7823 215676.546 -796300.991 608297.823

6.336E-29 -4.114E-29 8.093E-30 1.034E-12 -6.715E-13 1.321E-13 2.172E-11 -1.41E-11 2.774E-12

-4.114E-29 6.2945E-29 -2.988E-29 -6.715E-13 1.0275E-12 -4.878E-13 -1.41E-11 2.1579E-11 -1.024E-11

8.093E-30 -2.99E-29 2.283E-29 1.321E-13 -4.88E-13 3.726E-13 2.774E-12 -1.02E-11 7.825E-12

1.0344E-12 -6.7153E-13 1.3212E-13 16885.3036 -10962.4061 2156.76546 354591.375 -230210.529 45292.0746

[K] G -6.715E-13 1.0275E-12 -4.878E-13 -10962.406 16774.2876 -7963.0099 -230210.53 352260.041 -167223.21

1.321E-13 -4.878E-13 3.726E-13 2156.7655 -7963.0099 6082.9782 45292.075 -167223.21 127742.54

2.1721E-11 -1.41E-11 2.7745E-12 354591.375 -230210.53 45292.0746 7446418.88 -4834421.1 951133.567

-1.4102E-11 2.1579E-11 -1.0244E-11 -230210.529 352260.041 -167223.208 -4834421.11 7397460.85 -3511687.37

2.7745E-12 -1.0244E-11 7.8252E-12 45292.0746 -167223.208 127742.543 951133.567 -3511687.37 2682593.4

5.901E-29 -2.928E-29 0 9.632E-13 -4.779E-13 0 2.986E-11 -1.482E-11 0

-2.928E-29 2.2748E-29 0 -4.779E-13 3.7135E-13 0 -1.482E-11 1.1512E-11 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

9.6323E-13 -4.779E-13 0 15724.3716 -7801.57699 0 487455.518 -241848.887 0

[K] G -4.779E-13 3.7135E-13 0 -7801.577 6062.13759 0 -241848.89 187926.265 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

2.986E-11 -1.482E-11 0 487455.518 -241848.89 0 15111121.1 -7497315.5 0

-1.4815E-11 1.1512E-11 0 -241848.887 187926.265 0 -7497315.48 5825714.23 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Una vez obtenidas las matrices de rigidez en el sistema global, se suman todas y se obtiene la matriz total en el sistema global. 175808.986 -95946.585 10117.959 0.000 0.000 0.000 -2725039.283 1487172.070 -156828.367

-95946.585 108268.543 -35707.986 0.000 0.000 0.000 1487172.070 -1678162.418 553473.782

10117.959 -35707.986 26773.508 0.000 0.000 0.000 -156828.367 553473.782 -414989.372

0.000 0.000 0.000 65219.350 -37527.966 4313.531 1010899.929 -581683.477 66859.729

[K]G total 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -37527.966 4313.531 45672.850 -15926.020 -15926.020 12165.956 -581683.477 66859.729 707929.183 -246853.307 -246853.307 188572.325

-2725039.283 1487172.070 -156828.367 1010899.929 -581683.477 66859.729 86570355.842 -47441041.654 4753626.627

1487172.070 -1678162.418 553473.782 -581683.477 707929.183 -246853.307 -47441041.654 53281802.372 -16966469.374

-156828.367 553473.782 -414989.372 66859.729 -246853.307 188572.325 4753626.627 -16966469.374 12782099.770

Aplicando la ecuación de equilibrio se obtienen los desplazamientos, pero para este cálculo, es necesario definir el vector de fuerzas, el cual está compuesto por fuerzas en dirección X, Y y momentos alrededor de Z, las fuerzas laterales en X, Y son los cortantes de entrepiso calculados anteriormente con el método sísmico estático, los momentos de torsión se calcularan multiplicando los centros de cortante por el cortante de entrepiso perpendicular a este, en este caso como se trata de una revisión académica no se considerara la excentricidad accidental que marca el reglamento, aunque en la práctica real, tal excentricidad si se debe de calcular de manera obligatoria. Debido a los efectos bidireccionales que se presentan por acciones sísmicas, lo recomendado es considerar en el análisis el 100% de la fuerza sísmica en una direcciona más el 30% de la fuerza sísmica en otra dirección, por lo cual se calcularan dos vectores de desplazamientos, uno por efecto solamente de fuerzas laterales en X y sus correspondientes momentos de torción, y otro por efectos

solamente de fuerzas laterales en Y, y sus correspondientes momentos de torción, con el fin de calcular después las fuerzas que toman cada marco por efectos de fuerzas sísmicas en X solamente, y análogamente para las fuerzas en Y, calculando así dos fuerzas por cada marco, una por efectos de fuerzas en X y otra por fuerzas en Y, de estas dos fuerzas se considerara el 100% de la fuerza más grande más el 30% de la otra, distribuyendo así las fuerzas normales calculadas en el método sísmico estático, en cada marco. cortantes de entrepiso 1097.65 VX 851.30 397.07 0 VY 0 0 -17013.6 M -13195.1 -6154.66

cortantes de entrepiso 0.00 VX 0.00 0.00 940.0154 VY 729.0407 340.0492 14570.24 M= 11300.13 5270.763

cv 15.50 15.50 15.50

[𝐾𝑥𝑥 ] 𝑢 {𝑣 } = [[𝐾𝑦𝑥 ] 𝜃 [𝐾 ] 𝜃𝑥

dx1 dx2 dx3 dy1 dy2 dy3 θ1 θ2 θ3

d1 (debido a Vx) 0.0471755 0.0869097 0.1129148 -1.73E-18 3.123E-17 1.388E-17 2.819E-18 3.903E-18 6.072E-18

[𝐾𝑥𝑦 ]

[𝐾𝑥𝜃 ]

[𝐾𝑦𝑦 ]

[𝐾𝑦𝜃 ]]

[𝐾𝜃𝑦 ]

[𝐾𝜃𝜃 ]

−1

𝐹𝑋 { 𝐹𝑌 } 𝑀𝑍

dx1 dx2 dx3 dy1 dy2 dy3 θ1 θ2 θ3

d2 (debido a Vy) -8.33E-17 -1.39E-16 -1.32E-16 0.1023209 0.1787056 0.2256094 -5.2E-18 -9.11E-18 -8.67E-18

cv 15.5 15.5 15.5

REVISION DEL ESTADO LIMITE marco

1 2 3 4 5 6 A B C D • • • • • •

•

• •

1

2

3

4

5

6

7

8

9

dx 0.04718 0.08691 0.11291 0.04718 0.08691 0.11291 0.04718 0.08691 0.11291 0.04718 0.08691 0.11291 0.04718 0.08691 0.11291 0.04718 0.08691 0.11291 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

dy 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.10232 0.17871 0.22561 0.10232 0.17871 0.22561 0.10232 0.17871 0.22561 0.10232 0.17871 0.22561

Vtx 182.94223 141.88314 66.17909 182.94223 141.88314 66.17909 182.94223 141.88314 66.17909 182.94223 141.88314 66.17909 182.94223 141.88314 66.17909 182.94223 141.88314 66.17909 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

Vty 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 214.74575 285.07385 0.00000 255.26197 79.44652 170.02461 255.26197 79.44652 170.02461 214.74575 285.07385 0.00000

Vd 182.94223 141.88314 66.17909 182.94223 141.88314 66.17909 182.94223 141.88314 66.17909 182.94223 141.88314 66.17909 182.94223 141.88314 66.17909 182.94223 141.88314 66.17909 214.74575 285.07385 0.00000 255.26197 79.44652 170.02461 255.26197 79.44652 170.02461 214.74575 285.07385 0.00000

Fi 41.05909 75.70405 66.17909 41.05909 75.70405 66.17909 41.05909 75.70405 66.17909 41.05909 75.70405 66.17909 41.05909 75.70405 66.17909 41.05909 75.70405 66.17909 -70.32810 285.07385 0.00000 175.81545 -90.57809 170.02461 175.81545 -90.57809 170.02461 -70.32810 285.07385 0.00000

desp 0.02394 0.04878 0.07084 0.02394 0.04878 0.07084 0.02394 0.04878 0.07084 0.02394 0.04878 0.07084 0.02394 0.04878 0.07084 0.02394 0.04878 0.07084 0.05217 0.11416 0.00000 0.05005 0.08493 0.12139 0.05005 0.08493 0.12139 0.05217 0.11416 0.00000

γ 0.00563 0.00667 0.00593 0.00563 0.00667 0.00593 0.00563 0.00667 0.00593 0.00563 0.00667 0.00593 0.00563 0.00667 0.00593 0.00563 0.00667 0.00593 0.01169 0.01587 0.00000 0.01121 0.00893 0.00933 0.01121 0.00893 0.00933 0.01169 0.01587 0.00000

γ limite 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015 0.015

ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok X ok ok ok ok ok ok ok ok X ok

Columna 1: desplazamientos en cada marco por efecto de fuerzas laterales en dirección X Columna 2: desplazamientos en cada marco por efecto de fuerzas laterales en dirección Y Columna 3: cortante de entrepiso por efecto de fuerzas laterales en dirección X Columna 4: cortante de entrepiso por efecto de fuerzas laterales en dirección Y Columna 5: cortante directo, se toma el 100% del cortante más grande entre las columnas 3 y 4, y el 30% del otro cortante Columna 6: fuerza sísmica que toma el marco en estudio, se calcula por 𝐹𝑖 = 𝑉𝑑 𝑖 − 𝑉𝑑 𝑖+1 la suma de las fuerzas sísmicas por entrepiso de todos los marcos en su correspondiente dirección es igual a la fuerza sísmica total calculada con el método sísmico estático. Columna 7: desplazamientos por nivel de cada marco, obtenidos mediante el producto matricial de la inversa de la matriz de rigidez lateral del marco por las fuerzas sísmicas de la columna 6 Columna 8: distorsiones de entrepiso calculadas como dicta el reglamento, 𝛾 ∗ 𝑄 ∗ 𝑅 ∗ 𝐾𝑠 Columna 9: distorsión limite reglamentaria, N.T.C. 4.2, Sismo 2017

Como se puede observar en la tabla anterior, el estado límite de servicio se cumple en todos los marcos excepto en los marcos A y D, los cuales están en dirección Y, y solo cuentan con 2 niveles, por lo cual son menos rígidos, de este modo, empleando el método matricial para edificios tridimensionales ante fuerzas laterales nos da un cálculo más aproximado al comportamiento de cada elemento vertical resistente a fuerzas sísmicas. Las distorsiones en los marcos A y D sobrepasan por muy poco a la distorsión máxima que permite el reglamento para marcos de concreto reforzado, por cual se considerara que las secciones de las columnas son adecuadas, aunque estrictamente solo deberíamos aumentar la sección de las columnas en los marcos A y D, sin embargo, como el fin de que la estructura incursione en el rango no lineal, estas secciones son adecuadas para fines académicos.

6.- ANALISIS ESTRUCTURAL ANTE COMBINACIONES DE CARGAS Una vez determinada la carga sísmica lateral, se procede a realizar el análisis estructural del edificio, sometiendo la estructura a las combinaciones de cargas que marcan las normas técnicas complementarias en su versión del año 2017 para diseño de estructuras ante solicitaciones accidentales, en este caso solo se considera como acción accidental al sismo.

6.1.- Combinaciones de carga † † † † † † † † †

1.3𝐶𝑀 + 1.5𝐶𝑉𝑚 1.1(𝐶𝑀 + 𝐶𝑉𝑚 + 𝐶𝑆𝑥 + 0.3𝐶𝑆𝑦 ) 1.1(𝐶𝑀 + 𝐶𝑉𝑚 + 𝐶𝑆𝑥 − 0.3𝐶𝑆𝑦 ) 1.1(𝐶𝑀 + 𝐶𝑉𝑚 − 𝐶𝑆𝑥 + 0.3𝐶𝑆𝑦 ) 1.1(𝐶𝑀 + 𝐶𝑉𝑚 − 𝐶𝑆𝑥 − 0.3𝐶𝑆𝑦 ) 1.1(𝐶𝑀 + 𝐶𝑉𝑚 + 𝐶𝑆𝑦 + 0.3𝐶𝑆𝑥 ) 1.1(𝐶𝑀 + 𝐶𝑉𝑚 + 𝐶𝑆𝑦 − 0.3𝐶𝑆𝑥 ) 1.1(𝐶𝑀 + 𝐶𝑉𝑚 − 𝐶𝑆𝑦 + 0.3𝐶𝑆𝑥 ) 1.1(𝐶𝑀 + 𝐶𝑉𝑚 − 𝐶𝑆𝑦 − 0.3𝐶𝑆𝑥 )

6.2.- Modelo de análisis El modelado del edificio se realizó en forma numérica y discreta, mediante el software Etabs, el cual utiliza el método de los elementos finitos. Dentro de los elementos finitos que se emplearon en el modelo discreto, se encuentran elementos unifilares (barras) de tipo viga y columna con sus respectivos grados de libertad, para el caso de las losas, estas se modelaron con elementos de tipo Shell, los cuales admiten fuerzas perpendiculares al plano medio de la losa, así como la acción de fuerzas de membrana, las cuales son fuerzas que trabajan en las direcciones paralelas al plano medio, cabe mencionar que Etabs ya tiene definido por default en su código informático el número de nodos internos para las funciones de interpolación, por elemento barra o Shell.

En cuanto a las condiciones de frontera, el modelo esta empotrado en los nodos inferiores de las columnas que están en la base.

Una vez realizado el análisis (pre proceso, proceso) se toma del post proceso la información de la distribución de fuerzas en los elementos viga, columna y losas que están trabajando más para cada combinación de carga, con estos datos se construye el diagrama envolvente de elementos mecánicos. Además, para fines de revisar la capacidad de la estructura ante la demanda de un sismo fuerte como el del año 1985 o el de 2017, se realizará la envolvente del marco en el eje 2 para posteriormente realizar su análisis por efecto de una ley constitutiva no lineal. Se elige al marco dos para análisis no lineal, debido a que en este se encuentra una carga gravitacional más grande que los marcos que están en los bordes, y los momentos laterales en columnas son mayores que los de los marcos centrales.

6.3.- Diagramas de envolventes en vigas. EJE 2 dirección X:

Envolvente de momentos, Eje 2, entre ejes A y D(nivel 3) 40 20

0

M (tn*m)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

15

16

17

-20 -40 -60 -80 -100

L (m)

Envolvente de cortantes, Eje 2, entre ejes A y D (nivel 3) 40 30 20

V (tn)

10 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-10 -20 -30 -40

L (m)

10

11

12

13

14

M (tn*m)

Envolvente de momentos, Eje 2, entre ejes A y D (nivel 2) 30 20 10 0 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

L (m)

Envolvente de cortantes, Eje 2, entre ejes A y D (nivel 2) 40 30 20

V (tn)

10 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

-10 -20 -30 -40

L (m)

M (tn*m)

Envolvente de momentos, Eje 2, entre ejes A y D (nivel 1) 30 20 10 0 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

L (m)

Envolvente de cortantes, Eje 2, entre ejes A y D (nivel 1) 40 30 20

V (tn)

10 0 -10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

-20

-30 -40

L (m)

6.4.- Elementos mecánicos en columnas. Columnas del marco 2:

Eje 3 y 4 my max y N max EJE 2 y 5 mx max

7.- DISEÑO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES 7.1.- Revisión de secciones en vigas por flexión. Se calculará la máxima resistencia a flexión de las secciones de vigas definidas en el pre dimensionamiento, empleando la ecuación 5.1.2 de las N.T.C. para diseño de estructuras de concreto reforzado en su versión del 2017:

𝑀𝑅 = 𝐹𝑅 𝑏𝑑2 𝑓"𝑐 𝑞(1 − 0.5𝑞) 𝑞=

𝜌𝑓𝑦 𝑓"𝑐

𝜌=

𝐴𝑠 𝑏𝑑

El momento resistente máximo está en función del porcentaje de acero máximo 𝜌𝑚𝑎𝑥 , el cual está definido en la sección 5.1.4.2 y 7.2.3 de las correspondientes N.T.C. para estructuras de ductilidad baja, donde se define a 𝜌𝑚𝑎𝑥 como: 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.9𝜌𝑏 = 0.9 (

𝑓"𝑐 6000𝛽1 )( ) 𝑓𝑦 𝑓𝑦 + 6000

Para que las secciones propuestas sean admisibles es necesario que el momento actuante sea menor al momento resistente: 𝑀𝑎 ≤ 𝑀𝑅 Debido a la variación de la sección en las vigas acarteladas se calculará su momento resistente al inicio, a la mitad y al final, donde la sección sea variable. Marco del eje 1 (momentos más grandes): EJE 1

N3

N2

N1

id Vol1 V1 VOL2 V2 V1 V2 V2 V1 V2

SECCION A M Mr 0.23 57.55 64.3 205.36 15.51 181.91 54.32 181.91 68.52 205.36 63.34 181.91 70.1 181.91 70.99 205.36 73.4 181.91

OK OK OK OK OK OK OK OK OK

M 0 35 0 30 40 35 44 44 46

SECCION B Mr 0 120.09 0 111.03 120.09 111.03 111.03 120.09 111.03

OK OK OK OK OK OK OK OK OK

SECCION C M Mr 6 111.03 19.1 57.55 6 111.03 19 57.55 16.2 57.55 19 57.55 23.1 57.55 18.11 57.55 23.1 57.55

OK OK OK OK OK OK OK OK OK

M 0 35 0 35 40 30 46 44 44

SECCION D Mr 0 120.09 0 111.03 120.09 111.03 111.03 120.09 111.03

OK OK OK OK OK OK OK OK OK

SECCION E M Mr 15.51 181.91 19.1 205.36 0.23 57.55 63.34 181.91 68.52 205.36 54.32 181.91 73.4 181.91 70.99 205.36 70.1 181.91

OK OK OK OK OK OK OK OK OK

Marco del eje 2 (para análisis no lineal): EJE 2

N3

N2

N1

id Vol1 V1 VOL2 V2 V1 V2 V2 V1 V2

SECCION A M Mr 0.53 57.55 91.92 205.36 30.34 181.91 71.37 181.91 98.02 205.36 88.48 181.91 90.12 181.91 99.5 205.36 99.3 181.91

OK OK OK OK OK OK OK OK OK

M 0 44 0 32 52 48 42 52 62

SECCION B Mr 0 120.09 0 111.03 120.09 111.03 111.03 120.09 111.03

OK OK OK OK OK OK OK OK OK

SECCION C M Mr 11.1 111.03 25.63 57.55 11.1 111.03 25.19 57.55 15.74 57.55 25.19 57.55 27.9 57.55 21.86 57.55 27.9 57.55

OK OK OK OK OK OK OK OK OK

M 0 44 0 48 52 32 62 52 42

SECCION D Mr 0 120.09 0 111.03 120.09 111.03 111.03 120.09 111.03

OK OK OK OK OK OK OK OK OK

SECCION E M Mr 30.34 181.91 91.92 205.36 0.53 57.55 88.48 181.91 98.02 205.36 71.37 181.91 99.3 181.91 99.5 205.36 90.12 181.91

OK OK OK OK OK OK OK OK OK

Como se aprecia, todas las secciones están por debajo de la resistencia máxima que estipula el reglamento, por lo cual las secciones son adecuadas y no es necesario modificar las secciones o realizar otras consideraciones, aun así, debido a la forma de la envolvente de momentos, las vigas se calcularan con acero de compresión.

7.2.- Diseño del acero de refuerzo en vigas del eje 2 Para facilitar el diseño, se ha graficado la variación del momento resistente en función del porcentaje de acero para las secciones que están al inicio, a la mitad y al final de las cartelas.

Para la obtención de las gráficas anteriores, se utilizaron los siguientes parámetros: † 𝑓′𝑐 = 310 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 † 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 † 𝑓"𝑐 = 0.85𝑓′𝑐 = 263.5 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓′

𝑐 † 𝑓′𝑐 > 280 → 𝛽1 = 1.05 − 1400 = 0.8285 ≥ 0.65

† r = 5cm (recubrimiento efectivo supuesto) † 𝜌𝑚𝑖𝑛 =

0.7√𝑓′𝑐 𝑓𝑦

= 0.00293 𝑓"

6000𝛽1 )] 𝑦 +6000

† 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.9𝜌𝑏 = 0.9 [( 𝑓 𝑐 ) (𝑓 𝑦

= 0.02752

† 𝐹𝑅 = 0.9 (factor de resistencia por flexion) 𝑞 2

† 𝑀𝑛 = 𝑏𝑑2 𝑓"𝑐 𝑞 (1 − ) † 𝑀𝑅 = 𝐹𝑅 𝑀𝑛 † 𝑞=

𝜌𝑓𝑦 𝑓"𝑐

7.2.1.- Diseño de viga (marco 2, nivel 1) Para obtener un diseño más optimo y económico, se calcularan los porcentajes de acero que proporcionen una resistencia un poco mayor a los momentos actuantes en 5 puntos de cada viga acartelada, la sección “A” corresponde a la sección donde inicia la variación del peralte, la sección “B” corresponde a la mitad de la longitud donde varia el peralte, la sección “C” corresponde al centro de la viga acartelada, donde el peralte es constante, las secciones “D” y “E” son análogamente iguales a las secciones “A” y “B” respectivamente.

MOMENTOS RESISTENTES, AREAS DE ACERO (VIGA DEL MARCO 2, NIVEL 1) SECCION A SECCION B M (+) 9.5 21 M (-) 90.2 50 d 80 62.5 ρ (+) 0.0029345 0.0043 ρ (-) 0.0118 0.0107 AS (+) 8.2165145 9.40625 AS(-) 33.04 23.40625 MR(+) 24.26 21.46 MR(-) 90.51 50.58

V2 V1 V2 SECCION C SECCION D SECCION E SECCION A SECCION B SECCION C SECCION D SECCION E SECCION A SECCION B SECCION C SECCION D SECCION E 27.1 8 0 0 4 22 4 0 0 8 27.1 21 9.5 6.2 54 99.4 99.5 52 3.4 52 99.5 99.4 54 6.2 50 90.2 45 62.5 80 85 65 45 65 85 80 62.5 45 62.5 80 0.0113 0.0029345 0.0029345 0.0029345 0.0029345 0.0091 0.0029345 0.0029345 0.0029345 0.0029345 0.0113 0.0043 0.0029345 0.0029345 0.0116 0.0132 0.0115 0.0103 0.0029345 0.0103 0.0115 0.0132 0.0116 0.0029345 0.0107 0.0118 17.7975 6.419152 8.2165145 8.7300467 6.6759181 14.3325 6.6759181 8.7300467 8.2165145 6.419152 17.7975 9.40625 8.2165145 4.6217894 25.375 36.96 34.2125 23.4325 4.6217894 23.4325 34.2125 36.96 25.375 4.6217894 23.40625 33.04 27.54 14.81 24.26 27.39 16.02 22.61 16.02 27.39 24.26 14.81 27.54 21.46 24.26 7.67 54.4 100 99.85 52.84 7.67 52.84 99.85 100 54.4 7.67 50.58 90.51

En base a los porcentajes de acero y a los momentos resistentes, se ha propuesto 2#10 corridas en el lecho superior para cubrir una parte de los momentos negativos, 2#6 corridas para cubrir una parte de los momentos positivos del lecho inferior, para cubrir los momentos faltantes, se procederá a bastonear en las zonas donde los momentos son mayores, considerando una variación lineal entre el área de acero total que corresponde al MR, y el Mr que corresponde a un área de acero de una varilla individual.

AS(+) corrida= AS(-) corrida=

5.7 15.84 SECCION A ρ(+) corrida 0.0020357 MR (+) = 16.829764 ρ(-) corrida 0.0056571

cm ²(2#6) cm ²(2#10) SECCION B SECCION C 0.0026057 0.003619 13.004332 8.8202276 0.0072411 0.0100571

SECCION D 0.0026057 13.150803 0.0072411

SECCION E SECCION A 0.0020357 0.001916 16.829764 17.88341 0.0056571 0.0053244

SECCION B SECCION C 0.0025055 0.003619 13.678119 8.9919414 0.0069626 0.0100571

SECCION D SECCION E 0.0025055 0.001916 13.678119 17.88341 0.0069626 0.0053244

SECCION A 0.0020357 16.829764 0.0056571

SECCION B SECCION C 0.0026057 0.003619 13.150803 8.8202276 0.0072411 0.0100571

SECCION D 0.0026057 13.004332 0.0072411

SECCION E 0.0020357 16.829764 0.0056571

MR (-)= 43.392203 34.229627 26.286961 33.958463 42.857143 46.229419 35.719006 26.286961 35.719006 46.229419 42.857143 33.958463 26.286961 34.229627 43.392203

Momentos resistentes para varillas individuales V2

mr(+)

mr(-)

d mr#6 mr#8 mr#10 mr#6 mr#8 mr#10

SECCION A 80 8.414882 14.969632 23.384514 7.8073093 13.888792 21.696102

SECCION B 62.5 6.5021661 11.567011 18.069177 6.1587397 10.956074 17.114813

SECCION C 45 4.4101138 7.8453603 12.255474 4.7296616 8.4138191 13.143481

V1 SECCION D 62.5 6.5754013 11.697293 18.272694 6.1099507 10.869281 16.979232

SECCION E 80 8.414882 14.969632 23.384514 7.711039 13.717532 21.428571

SECCION A 85 8.9417048 15.906822 24.848527 8.3177932 14.796916 23.11471

SECCION B 65 6.8390594 12.166327 19.005386 6.426715 11.432788 17.859503

V2

SECCION C 45 4.4959707 7.9980952 12.494066 4.7296616 8.4138191 13.143481

SECCION D 65 6.8390594 12.166327 19.005386 6.426715 11.432788 17.859503

SECCION E 85 8.9417048 15.906822 24.848527 8.3177932 14.796916 23.11471

SECCION A 80 8.414882 14.969632 23.384514 7.711039 13.717532 21.428571

SECCION B 62.5 6.5754013 11.697293 18.272694 6.1099507 10.869281 16.979232

SECCION C 45 4.4101138 7.8453603 12.255474 4.7296616 8.4138191 13.143481

SECCION D 62.5 6.5021661 11.567011 18.069177 6.1587397 10.956074 17.114813

Los momentos están en tn*m. 𝑚𝑟 = (

𝑎𝑠 ) 𝑀𝑅 𝐴𝑠

𝑚𝑟 =momento resistente de una sola varilla 𝑎𝑠 = área de acero de la varilla 𝐴𝑠 = área de acero total para resistir el momento actuante de la sección 𝑀𝑅 = momento resistente, mayor al momento actuante En base a los momentos resistentes que proporcionan cada varilla, se ha cubierto los momentos faltantes con las siguientes propuestas: Sección A de la viga V2 del extremo izquierdo y E de la misma, pero del extremo derecho: AS = 2#10 + 1#6 + 3#8 = 33.9 cm² → MR = -92.86 tn*m > M =- 90.2 tn*m Para el acomodo de las varillas, es necesario determinar la separación entre varillas, empleando la siguiente expresión: 𝑆=

𝑏 − 2𝑟 − ∑ ∅𝑖 − ∅𝑐 ≥ ∅𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑣

𝑠 = 2.5 𝑐𝑚 > 1.91 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾 Longitud de desarrollo

Longitud de desarrollo

varilla= #8 cm² as= 5.07 diametro= 2.54 cm s= 2.458 cm c= 1.229 Ldb= 328.0222 cm R= 1.5 Ldb= 492.0333 cm

varilla= #6 cm² as= 2.85 diametro= 1.91 cm s= 2.458 cm c= 1.229 Ldb= 184.39119 cm R= 1.2 Ldb= 221.26943 cm

Ldb=

492

cm

Ldb=

221

cm

Sección E de la viga V2 del extremo izquierdo y A de la misma, pero del extremo derecho:

SECCION E 80 8.414882 14.969632 23.384514 7.8073093 13.888792 21.696102

AS = 2#10 + 4#8 = 36.12 cm² → MR = -105.41 tn*m > M = -99.5 tn*m 𝑠 = 2.33 𝑐𝑚 > 1.91 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾

Longitud de desarrollo varilla= #8 cm² as= 5.07 diametro= 2.54 cm s= 2.332 cm c= 1.166 Ldb= 345.74555 cm R= 1.5 Ldb= 518.61832 cm

Ldb=

519

cm

Zona central de las vigas V2: AS = 3#6 + 2#8 = 18.69 cm² → MR = 28.92 tn*m > M = 27.1 tn*m 𝑠 = 4 𝑐𝑚 > 1.91 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾 Longitud de desarrollo varilla= #6 cm² as= 2.85 diametro= 1.91 cm s= 4.025 cm c= 2.0125 Ldb= 112.60461 cm R= 1.2 Ldb= 135.12553 cm

Ldb=

135

cm

Longitud de desarrollo varilla= #8 cm² as= 5.07 diametro= 2.54 cm s= 4.025 cm c= 2.0125 Ldb= 200.31767 cm R= 1.5 Ldb= 300.476504 cm

Ldb=

300

cm

Zona central de la viga V1: AS = 2#6 + 2#8 = 15.84 cm² → MR = 24.98 tn*m > M = 22 tn*m 𝑠 = 6 𝑐𝑚 > 1.91 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾 Longitud de desarrollo varilla= as= diametro= s= c= Ldb= R= Ldb=

Ldb=

# 5.07 2.54 6.00333333 3.00166667 134.305156 1.5 201.457734

8 cm² cm cm

201

cm

cm cm

Los bastones se deben continuar en las zonas donde teóricamente el momento ya no actúa, esta continuación debe ser de un peralte, y además, la longitud total del bastón no deberá ser menor a

la longitud de desarrollo de la barra, las longitudes de desarrollo calculadas anteriormente, fueron obtenidas con la siguiente expresión: 𝐿𝑑𝑏 =

𝑎𝑠 𝑓𝑦 3(𝑐 + 𝐾𝑡𝑟 )√𝑓′𝑐

≥ 0.11

𝑑𝑏 𝑓𝑦 √𝑓′𝑐

𝐿𝑑𝑏 = longitud de desarrollo básica 𝑟 𝑐 = {𝑠/2} ; r= recubrimiento efectivo ; s= separación entre varillas (tomar el valor más chico) 𝐾𝑡𝑟 =

𝐴𝑡𝑟 𝑓𝑦𝑣

; 𝐾𝑡𝑟 = índice de refuerzo transversal

100𝑠𝑛

𝑑𝑏 =diámetro de la varilla ∴ 𝐿𝑑 = 𝑅𝐿𝑑𝑏 Ld es la longitud de desarrollo de la varilla y R es un factor que se obtiene de la tabla 6.1.1 de las N.T.C. (2017) para diseño de estructuras de concreto reforzado Para el detalle del anclaje en barras dobladas, la longitud de desarrollo básica es la siguiente: 𝐿𝑑𝑏 = 0.076

𝑑𝑏 𝑓𝑦 √𝑓′𝑐

→ 𝐿𝑑 = 𝑅𝐿𝑑𝑏

Esta vez el factor R es obtenido de la tabla 6.1.2 de las N.T.C. (2017) para diseño de estructuras de concreto reforzado. En el caso del proyecto, las barras que serán ancladas serán las barras del #6 y #10 Anclaje

Anclaje

varilla= #6 as= 2.85 cm² diametro= 1.91 cm Ldb= 346.3 cm R= 0.7 Ldb= 242.4 cm

varilla= # 10 as= 7.92 cm² diametro= 3.18 cm Ldb= 576.51 cm R= 0.7 Ldb= 403.56 cm

Ldb=

242 cm

Ldb=

404

cm

r int= 3.976 cm r med= 4.931 cm L arc= 7.745 cm

r int= 3.9757 cm r med= 5.5657 cm L arc= 8.7426 cm

L arc= 7.7 cm 12db= 22.9 cm

L arc= 8.7 cm 12db= 38.16 cm

Envolvente de momentos, Eje 2, entre ejes A y D (nivel 1) 35 25 15 5 -5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

M (tn*m)

-15 -25 -35 -45 -55

-65 -75

-85 -95 -105

L (m)

Como se observa en el diagrama de envolventes, la línea punteada es el momento resistente de las secciones, correspondientes a las vigas del primer nivel, esto nos indica que todas las secciones cubren satisfactoriamente la resistencia que requieren.

DISEÑO POR CORTANTE: La resistencia a cortante del concreto se determina con las siguientes expresiones 𝐹𝑅 (0.2 + 20𝜌) (√𝑓 ′ 𝑐 ) 𝑏𝑑 → 𝑠í 𝜌 < 0.015 𝑉𝑐𝑟 =

→ 𝑠í {

𝐹𝑅 (0.5) (√𝑓 ′ 𝑐 ) 𝑏𝑑 → 𝑠í 𝜌 ≥ 0.015

𝐿 >5 𝐻

}

De la ultima expresión, se obtiene un valor de 𝑉𝑐𝑟 , el cual no debe ser mayor a: 𝑉𝑐𝑟 ≤ 1.5𝐹𝑅 𝑏𝑑√𝑓′𝑐 En caso de que 𝑉𝑐𝑟 ≤ 𝑉𝑢 se procederá a calcular el numero de estribos necesarios para que el aporte del acero al cortante ayude a resistir el cortante ultimo: 𝑉𝑐𝑟 + 𝑉𝑠𝑟 = 𝑉𝑢 ∴

𝑉𝑢 − 𝑉𝑐𝑟 = 𝑉𝑠𝑟

Si consideramos estribos a 90 grados (verticales completamente), la separación entre estribos se puede calcular en función del cortante que resiste el acero: 𝑠=

𝐹𝑅 𝐴𝑉 𝑓𝑦 𝑑 𝑉𝑠𝑟

≤

𝑑 2

; 𝐴𝑉 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙

Para estructuras dúctiles, el primer estribo deberá colocarse a 5 cm del paño de la columna, y deberá tomarse en cuenta una separación correspondiente al cortante mayor que se tenga en una zona de confinamiento en los extremos, la cual debe ser de dos peraltes (2d).

zona de confinamiento i: zona de confinamiento f: zona central: 6.8 Vu1= 34.2 Vu2= 30 Vu3= 27.3 Vu4= 32 Vu5= 36.3

zona de confinamiento i: zona de confinamiento f: zona central: 7.6 Vu1= 35 Vu2= 30 Vu3= 24.9 Vu4= 30 Vu5=

TRAMO 1 (entre ejes A y B)

1.6 m 1.6 m m tn tn tn tn tn

ρ= ρ= ρ= ρ= ρ=

0.0118 0.0107 0.0113 0.0116 0.0132

L/H d VCR VCR max VCR 12.9412 80 16120.802 55461.473 16120.802 16.2963 62.5 11958.88 43329.276 11958.88 22 45 8859.9703 31197.079 8859.9703 16.2963 62.5 12478.831 43329.276 12478.831 12.9412 80 17156.082 55461.473 17156.082

35 tn

s

d/2 d/4 8db 19.79291 40 20 20.32 15.49585 31.25 15.625 20.32 10.91565 22.5 11.25 15.28 14.32099 31.25 15.625 20.32 18.6921 40 20 20.32

24dbv 30cm s (cm) #E #E 22.8 20 8 8 22.8 16 10.625 11 22.8 11 30.909 31 22.8 15.5 10.968 11 22.8 19 8.4211 9

TRAMO 2 (entre ejes B y C)

1.7 1.7 tn tn tn tn

Vsr 18079.2 18041.12 18440.03 19521.17 19143.92

ρ= ρ= ρ= ρ=

0.0115 0.0103 0.0091 0.0103

ρ= 0.0115

L/H d 12.2222 15.7143 22 15.7143 12.2222

VCR VCR max VCR tn Vsr 85 16892.64 58927.815 16892.64 18107.36 65 12196.902 45062.447 12196.902 17803.1 45 7944.856 31197.079 7944.856 16955.14 65 12196.902 45062.447 12196.902 17803.1 85

16892.64 58927.815

s 20.99726 16.33115 11.87162 16.33115

16892.64 18107.36 20.99726

d/2 d/4 42.5 21.25 32.5 16.25 22.5 11.25 32.5 16.25 42.5

8db 20.32 20.32 15.28 20.32

24dbv 30cm s (cm) #E 22.8 21 8.0952 22.8 16.5 12.121 22.8 12 31.667 22.8 16.5 12.121

21.25 20.32 22.8

Por simetría la viga entre los ejes C y D posee los cortantes iguales al tramo 1, solo que en dirección invertida.

21 8.0952

8 12 32 12 8

7.2.2.- Diseño de viga (marco 2, nivel 2) Se procederá de la misma manera que en el cálculo de la viga del nivel 1: MOMENTOS RESISTENTES, AREAS DE ACERO (VIGA DEL MARCO 2, NIVEL 2)

M (+) M (-) d ρ (+) ρ (-) AS (+) AS(-) MR(+) MR(-)

SECCION A SECCION B 0.33 15 71.37 34 80 62.5 0.002934 0.003 0.0091 0.0071 8.216515 6.5625 25.48 15.53125 24.26 15.13 71.46 34.15

AS(+) corrida AS(-) corrida ρ(+) corrida MR= ρ(-) corrida MR=

5.7 15.84 SECCION A 0.00203571 16.8297639 0.00565714 44.424113

V2 V1 V2 SECCION C SECCION D SECCION E SECCION A SECCION B SECCION C SECCION D SECCION E SECCION A SECCION B SECCION C SECCION D SECCION E 25.2 4 0 0 1 19.5 1 0 0 4 25.2 15 0.33 2.84 48 88.5 98.1 51 3.95 51 98.1 88.5 48 2.84 34 71.37 45 62.5 80 85 65 45 65 85 80 62.5 45 62.5 80 0.0103 0.002934 0.002934 0.002934 0.002934 0.0079 0.002934 0.002934 0.002934 0.002934 0.0103 0.003 0.002934 0.002934 0.0102 0.0116 0.0113 0.0101 0.002934 0.0101 0.0113 0.0116 0.0102 0.002934 0.0071 0.0091 16.2225 6.419152 8.216515 8.730047 6.675918 12.4425 6.675918 8.730047 8.216515 6.419152 16.2225 6.5625 8.216515 4.621789 22.3125 32.48 33.6175 22.9775 4.621789 22.9775 33.6175 32.48 22.3125 4.621789 15.53125 25.48 25.32 14.81 24.26 27.39 16.02 25.77 16.02 27.39 24.26 14.81 25.32 15.13 24.26 7.67 48.42 89.13 91.96 44.29 7.67 44.29 91.96 89.13 48.42 7.67 34.15 71.46

(2#6) (2#10) SECCION B 0.00260571 13.1414857 0.00724114 34.8288773

SECCION C 0.00361905 8.89653259 0.01005714 26.2869613

SECCION D 0.00260571 13.1508025 0.00724114 34.3741311

SECCION E 0.00203571 16.8297639 0.00565714 43.4673399

SECCION A 0.00191597 17.8834095 0.00532437 43.3300037

SECCION B 0.00250549 13.6781188 0.00696264 30.5321989

SECCION C 0.00361905 11.805425 0.01005714 26.2869613

SECCION D 0.00250549 13.6781188 0.00696264 30.5321989

SECCION E 0.00191597 17.8834095 0.00532437 43.3300037

SECCION A 0.00203571 16.8297639 0.00565714 43.4673399

SECCION B 0.00260571 13.1508025 0.00724114 34.3741311

SECCION C 0.00361905 8.89653259 0.01005714 26.2869613

SECCION D 0.00260571 13.1414857 0.00724114 34.8288773

SECCION E 0.00203571 16.8297639 0.00565714 44.424113

SECCION D 62.5 6.5707429 11.689006 18.259749 6.2665594 11.147879 17.414439

SECCION E 80 8.414882 14.969632 23.384514 7.9929749 14.219082 22.212057

Momentos resistentes para varillas individuales V2

mr(+)

mr(-)

d mr#6 mr#8 mr#10 mr#6 mr#8 mr#10

SECCION A 80 8.414882 14.969632 23.384514 7.9929749 14.219082 22.212057

SECCION B 62.5 6.5707429 11.689006 18.259749 6.2665594 11.147879 17.414439

SECCION C 45 4.4482663 7.9132316 12.361498 4.7296616 8.4138191 13.143481

V1 SECCION D 62.5 6.5754013 11.697293 18.272694 6.1847395 11.002326 17.187066

SECCION E 80 8.414882 14.969632 23.384514 7.8208282 13.912842 21.73367

SECCION A 85 8.9417048 15.906822 24.848527 7.7961181 13.868884 21.665002

SECCION B 65 6.8390594 12.166327 19.005386 5.4934828 9.7726167 15.266099

SECCION C 45 5.9027125 10.500615 16.403327 4.7296616 8.4138191 13.143481

V2 SECCION D 65 6.8390594 12.166327 19.005386 5.4934828 9.7726167 15.266099

SECCION E 85 8.9417048 15.906822 24.848527 7.7961181 13.868884 21.665002

SECCION A 80 8.414882 14.969632 23.384514 7.8208282 13.912842 21.73367

SECCION B 62.5 6.5754013 11.697293 18.272694 6.1847395 11.002326 17.187066

SECCION C 45 4.4482663 7.9132316 12.361498 4.7296616 8.4138191 13.143481

Los momentos están en tn*m. Sección A de la viga V2 del extremo izquierdo y E de la misma, pero del extremo derecho: AS = 2#10 + 2#8 = 25.98 cm² → MR = -72.86 tn*m > M = -71.37 tn*m 𝑠 = 5.58 𝑐𝑚 > 1.91 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾 Longitud de desarrollo varilla= #8 cm² as= 5.07 diametro= 2.54 cm s= 5.58 cm c= 2.79 Ldb= 144.49438 cm R= 1.5 Ldb= 216.74156 cm

Ldb=

217

cm

Sección E de la viga V2 del extremo izquierdo y A de la misma, pero del extremo derecho: AS = 2#10 + 4#8 = 36.12 cm² → MR = -98.8 tn*m > M = -98.1 tn*m 𝑠 = 2.33 𝑐𝑚 > 1.91 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾

Longitud de desarrollo varilla= #8 cm² as= 5.07 diametro= 2.54 cm s= 2.332 cm c= 1.166 Ldb= 345.74555 cm R= 1.5 Ldb= 518.61832 cm

Ldb=

519

cm

Zona central de las vigas V2: AS = 4#6 + 1#8 = 16.47 cm² → MR = 25.7 tn*m > M = 25.2 tn*m 𝑠 = 4.18 𝑐𝑚 > 1.91 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾 Longitud de desarrollo

Longitud de desarrollo

varilla= #6 cm² as= 2.85 diametro= 1.91 cm s= 4.1825 cm c= 2.09125 Ldb= 108.3643 cm R= 1.2 Ldb= 130.0371 cm

varilla= #8 cm² as= 5.07 diametro= 2.54 cm s= 4.1825 cm c= 2.09125 Ldb= 192.7743 cm R= 1.5 Ldb= 289.1615 cm

Ldb=

130

Ldb=

cm

289

cm

Zona central de la viga V1: AS = 2#6 + 1#8 = 10.77 cm² → MR = 22.3 tn*m > M = 19.5 tn*m 𝑠 = 10.27 𝑐𝑚 > 1.91 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾 Longitud de desarrollo varilla= #8 cm² as= 5.07 diametro= 2.54 cm s= 10.275 cm c= 5.1375 Ldb= 78.469939 cm R= 1.5 Ldb= 117.70491 cm

Ldb=

118

cm

Envolvente de momentos, Eje 2, entre ejes A y D (nivel 2) 30 20 10 0

M (tn*m)

-10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

-20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100

L (m)

zona de confinamiento i: zona de confinamiento f: zona central: 6.8 Vu1= 30.4 Vu2= 26 Vu3= 24.8 Vu4= 29.59 Vu5= 33.61

zona de confinamiento i: zona de confinamiento f: zona central: 7.6 Vu1= 34.16 Vu2= 29.56 Vu3= 24.24 Vu4= 29.56 Vu5= 34.16

TRAMO 1 (entre ejes A y B)

1.6 1.6 tn tn tn tn tn

ρ= ρ= ρ= ρ= ρ=

L/H d VCR VCR max VCR tn 0.0091 12.94118 80 14124.1885 55461.4731 14124.1885 0.0071 16.2963 62.5 9879.0749 43329.2759 9879.0749 0.0103 22 45 8444.00928 31197.0786 8444.00928 0.0102 16.2963 62.5 11670.0183 43329.2759 11670.0183 0.0116 12.94118 80 15972.9043 55461.4731 15972.9043

s

d/2 d/4 8db 24dbv 30cm s (cm) #E #E 21.986 40 20 20.32 22.8 22 7.273 7 17.3416 31.25 15.63 20.32 22.8 17 10 10 12.3065 22.5 11.25 15.28 22.8 12 28.33 28 15.6006 31.25 15.63 20.32 22.8 15.5 10.97 11 20.2891 40 20 20.32 22.8 20 8 8

TRAMO 2 (entre ejes B y C)

1.7 1.7 tn tn tn tn tn

Vsr 16275.8115 16120.9251 16355.9907 17919.9817 17637.0957

ρ= ρ= ρ= ρ= ρ=

0.0113 0.0101 0.0079 0.0101 0.0113

L/H d 12.22222 15.71429 22 15.71429 12.22222

85 65 45 65 85

VCR 16735.4995 12076.7358 7445.70277 12076.7358 16735.4995

VCR max 58927.8152 45062.4469 31197.0786 45062.4469 58927.8152

VCR tn 16735.4995 12076.7358 7445.70277 12076.7358 16735.4995

Vsr 17424.5005 17483.2642 16794.2972 17483.2642 17424.5005

s 21.8201 16.6299 11.9853 16.6299 21.8201

d/2 0.006 0.005 0.004 0.005 0.006

d/4 0.003 0.003 0.002 0.003 0.003

8db 24dbv 30cm s (cm) #E 20.32 22.8 22 7.727 20.32 22.8 17 11.76 15.28 22.8 12 31.67 20.32 22.8 17 11.76 20.32 22.8 22 7.727

7.2.3.- Diseño de viga (marco 2, nivel 3) MOMENTOS RESISTENTES, AREAS DE ACERO (VIGA DEL MARCO 2, NIVEL 2) Volado 1 SECCION A M (+) M (-) d ρ (+) ρ (-) AS (+) AS(-) MR(+) MR(-)

0 0.53 45 0.00293447 0.00293447 4.62178943 4.62178943 7.67 7.67

SECCION C

V1 SECCION E

SECCION A

SECCION B

0 0 0 4 11.1 30.34 91.92 44 62.5 80 85 65 0.00293447 0.00293447 0.00293447 0.00293447 0.00293447 0.0037 0.0105 0.0085 6.41915198 8.21651454 8.73004669 6.67591806 6.41915198 10.36 31.2375 19.3375 14.81 24.26 27.39 16.02 14.81 30.4 91.96 44.29

Volado 2

SECCION C SECCION D SECCION E SECCION A SECCION C 25.63 4 0 0 0 0 44 91.92 30.34 11.1 45 65 85 80 62.5 0.0105 0.00293447 0.00293447 0.00293447 0.00293447 0.00293447 0.0085 0.0105 0.0037 0.00293447 16.5375 6.67591806 8.73004669 8.21651454 6.41915198 4.62178943 19.3375 31.2375 10.36 6.41915198 25.77 16.02 27.39 24.26 14.81 7.67 44.29 91.96 30.4 14.81

SECCION E 0 0.53 45 0.00293447 0.00293447 4.62178943 4.62178943 7.67 7.67

8 12 32 12 8

AS(+) corrida AS(-) corrida ρ(+) corrida MR(+)= ρ(-) corrida MR(-)=

5.7 15.84 SECCION A 0.00361905 9.45932321 0.01005714 26.2869613

(2#6) (2#10) SECCION C 0.00260571 13.1508025 0.00724114 36.545388

SECCION E 0.00203571 16.8297639 0.00565714 46.4803089

SECCION A 0.00191597 17.8834095 0.00532437 46.6313373

SECCION B 0.00250549 13.6781188 0.00696264 36.2794363

SECCION C 0.00361905 8.88217687 0.01005714 26.2869613

SECCION D 0.00250549 13.6781188 0.00696264 36.2794363

SECCION E 0.00191597 17.8834095 0.00532437 46.6313373

SECCION A 0.00203571 16.8297639 0.00565714 46.4803089

SECCION C 0.00260571 13.1508025 0.00724114 36.545388

SECCION E 0.00361905 9.45932321 0.01005714 26.2869613

Momentos resistentes para varillas individuales volado 1

mr(+)

mr(-)

d mr#6 mr#8 mr#10 mr#6 mr#8 mr#10

SECCION A 45 4.7296616 8.4138191 13.143481 4.7296616 8.4138191 13.143481

SECCION C 62.5 6.5754013 11.697293 18.272694 6.5754013 11.697293 18.272694

volado 2

V1 SECCION E 80 8.414882 14.969632 23.384514 8.3629344 14.87722 23.240154

SECCION A 85 8.9417048 15.906822 24.848527 8.390108 14.925561 23.315669

SECCION B 65 6.8390594 12.166327 19.005386 6.5275501 11.612168 18.139718

SECCION C 45 4.4410884 7.9004626 12.341551 4.7296616 8.4138191 13.143481

SECCION D 65 6.8390594 12.166327 19.005386 6.5275501 11.612168 18.139718

SECCION E 85 8.9417048 15.906822 24.848527 8.390108 14.925561 23.315669

SECCION A 45 8.414882 14.969632 23.384514 8.3629344 14.87722 23.240154

SECCION C 62.5 6.5754013 11.697293 18.272694 6.5754013 11.697293 18.272694

SECCION E 80 4.7296616 8.4138191 13.143481 4.7296616 8.4138191 13.143481

Los momentos están en tn*m. Como se puede apreciar, los momentos resistentes negativos proporcionados por las 2#10, son suficientes para cubrir todos los momentos actuantes en los volados, por lo cual solo se realizará bastonaje en la viga v1. Sección A y E de la viga V1: AS = 2#10 + 2#8 + 2#6 = 31.68 cm² → MR = -93.26 tn*m > M = -91.92 tn*m 𝑠 = 2.58 𝑐𝑚 > 1.91 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾 Longitud de desarrollo

Longitud de desarrollo

varilla= #8 cm² as= 5.07 diametro= 2.54 cm s= 2.584 cm c= 1.292 Ldb= 312.0273 cm R= 1.5 Ldb= 468.041 cm

varilla= #6 cm² as= 2.85 diametro= 1.91 cm s= 2.584 cm c= 1.292 Ldb= 175.39998 cm R= 1.2 Ldb= 210.47997 cm

Ldb=

468

cm

Ldb=

210

cm

Zona central de la viga V1: AS = 4#6 + 1#8 = 16.47 cm² → MR = 25.66 tn*m > M = 25.63 tn*m 𝑠 = 4.18 𝑐𝑚 > 1.91 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾 Longitud de desarrollo

Longitud de desarrollo

varilla= #6 cm² as= 2.85 diametro= 1.91 cm s= 4.1825 cm c= 2.09125 Ldb= 108.3643 cm R= 1.2 Ldb= 130.0371 cm

varilla= #8 cm² as= 5.07 diametro= 2.54 cm s= 4.1825 cm c= 2.09125 Ldb= 192.7743 cm R= 1.2 Ldb= 231.3292 cm

Ldb=

130

cm

Ldb=

231

cm

Envolvente de momentos resistentes, Eje 2, entre ejes A y D (nivel 3) 40 20 0

M (tn*m)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

-20 -40

-60 -80 -100

zona de confinamiento i: zona de confinamiento f: zona central: 0.8 Vu1= 11.45 Vu2= 11.95 Vu3= 16.7

L (m)

TRAMO 1 (entre ejes A y B)

0.9 1.6 tn tn tn

zona de confinamiento i: zona de confinamiento f: zona central: 7.6 Vu1= 35.5 Vu2= 30.2 Vu3= 24.47 Vu4= 30.2 Vu5= 35.5

L/H M 0.0029 6.6 0.53 0.0029 4.889 11.1 0.0037 3.882 30.34

ρ= ρ= ρ=

fac fac efecVCR 3.243 3.243 5380.24 -0.215 1 7472.55 -2.177 1 18487.2

VCR max 31197.08 43329.28 55461.47

VCR 5380.24 8247.05 18487.2

TRAMO 2

1.7 1.7 tn tn tn tn tn

Vsr s d/2 d/4 8db 24dbv 30cm s #E #E 6069.765 33.2 22.5 11.25 20.32 22.8 22.5 4 3702.946 75.5 31.3 15.625 20.32 22.8 30 2.67 3 no 40 20 20.32 22.8 30 5.33 6

ρ= ρ= ρ= ρ= ρ=

0.0105 0.0085 0.0105 0.0085 0.0105

L/H d VCR VCR max VCR tn Vsr 12.22 85 16107 58927.8 16106.9 19393.1 15.71 65 11115 45062.4 11115.4 19084.6 22 45 8527 31197.1 8527.2 15942.8 15.71 65 11115 45062.4 11115.4 19084.6 12.22 85 16107 58927.8 16106.9 19393.1

s d/2 d/4 8db 24dbv 30cm 19.6052 42.5 21.3 20.3 22.8 15.2345 32.5 16.3 20.3 22.8 12.6254 22.5 11.3 15.3 22.8 15.2345 32.5 16.3 20.3 22.8 19.6052 42.5 21.3 20.3 22.8

s (cm) 19 15 12 15 19

#E 8.947 13.33 31.67 13.33 8.947

9 13 32 13 9

7.3.- Diseño de columnas. Para el diseño de columnas, se propone un porcentaje de acero, así como su acomodo, después se asume que el comportamiento de las deformaciones en la sección transversal de la columna son lineales, mediante compatibilidad de deformaciones entre acero y concreto se calculan las deformaciones de los aceros, obtenidas estas deformaciones, y mediante el bloque equivalente de esfuerzo de Whitney, se calculan las fuerzas en los aceros y en el concreto, así como los momentos nominales, al multiplicarlos por un factor de resistencia se obtiene la carga axial resistente, así como el momento resistente. Una herramienta útil en el diseño de columnas es el diagrama de interacción de la sección, el cual se obtiene planteando la compatibilidad de deformaciones entre acero y concreto, mientras se va variando la posición del eje neutro. Con el fin de definir el diagrama de interacción, se ha implementado un código en un lenguaje de programación para definir los puntos del diagrama de interacción, pues aunque para diseño solo nos interesan los puntos donde la falla se da por compresión pura, tracción pura y la falla balanceada, dentro de lo que es el análisis no lineal, al diagrama de interacción nominal se le conoce como superficie de falla, los momentos y cargas axiales que quedan fuera del diagrama de interacción, son puntos que incursionan en el rango no lineal. 7.3.1.- Carga axial nominal y momento nominal Resistencia a tracción pura: 𝑃𝑛 = −𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 Resistencia a compresión pura: 𝑃𝑛 = 0.85𝑓 ′ 𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠 ) + 𝐴𝑠 𝑓𝑦 Para obtener los puntos intermedios entre la falla a tracción pura y compresión pura, se emplea el siguiente diagrama de deformaciones, de las cuales se puede obtener los esfuerzos y cargas.

∴ 𝑓𝑠 = 𝜀𝑐 𝐸𝑠 𝑓′𝑠 = 𝜀 𝑐 𝐸𝑠

𝑑−𝑐 ≤ 𝐹𝑦 𝑐

𝑐−𝑑 ≤ 𝐹𝑦 𝑐

Si el acero se dispone en forma simétrica (el acero a tensión es igual al acero a compresión), la carga nominal se obtiene multiplicando los esfuerzos del acero por el área de acero del lecho correspondiente: 𝑇𝑠 = 𝑓𝑠 𝐴𝑠

;

𝐶𝑠′ = 𝑓𝑠′ 𝐴𝑠′

Para el concreto, su fuerza de compresión se obtiene de la siguiente manera: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓′𝑐 𝑎𝑏 𝑎 = 𝛽1 𝑐 profundidad del bloque equivalente de esfuerzos b= ancho de la sección ∴ 𝑃𝑛 = 0.85𝑓′𝑐 𝑎𝑏 + 𝑓𝑠′ 𝐴𝑠′ − 𝑓𝑠 𝐴𝑠 Para obtener el momento nominal, es necesario tomar los momentos internos debido a las fuerzas de compresión y tensión de la sección, con respecto al centroide plástico, para secciones con refuerzo simétrico, el centroide plástico se encuentre en el centroide geométrico de la sección, por lo cual el momento nominal es el siguiente: ℎ 𝑎 ℎ ℎ 𝑀𝑛 = 𝑃𝑛 𝑒 = 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝑎𝑏 ( − ) + 𝐴𝑠′ 𝑓𝑠′ ( − 𝑑′ ) + 𝐴𝑠 𝑓𝑠 (𝑑 − ) 2 2 2 2 Los momentos con dirección antihoraria son positivos, dependiendo de la posición del eje neutro con respecto al centroide plástico, los momentos por fuerzas del acero de compresión pueden ser positivos o negativos. Estas dos últimas ecuaciones son funciones de la posición del eje neutro “C”, si variamos la posición de C, obtendremos por cada posición de C un Mn y Pn, con los cuales se construyen el diagrama de interacción.

Sin embargo, esta ecuación no es válida para algunos puntos de la falla en compresión, por simpleza se puede calcular hasta un cierto punto de la falla a compresión con la ecuación anterior, y después solo calcular la falla a compresión pura con su respectiva expresión.

Propiedades inerciales de la sección de columna oblonga: Dependiendo de la posición del eje neutro, el área del concreto a compresión, así como su brazo de palanca con respecto al centroide plástico estarán cambiando, por lo cual deben establecerse ecuaciones por tramos para el área y el centroide de la sección. Propiedades inerciales alrededor de Y:

0 ≤ 𝑎 ≤ 20𝑐𝑚 𝑎

𝜃 = arccos (1 − 𝑟 ) → (𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 𝑨 = 𝒓𝟐 [𝜽 − 𝐜𝐨𝐬(𝜽) 𝐬𝐢𝐧 (𝜽)] → (𝜃 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 𝑦𝑐 =

2𝑟 3 𝑠𝑖𝑛3 (𝜃) 3𝐴

𝒚 = 𝒚𝒄 +

𝒉 𝟐

20 ≤ 𝑎 ≤ 50𝑐𝑚 𝑦𝑐 = 𝑨=

𝝅𝒓𝟐 𝟐

4𝑟 3𝜋

+ (𝒂 − 𝒓)𝒃 ; (𝒃 = 𝟒𝟎𝒄𝒎)

𝝅𝒓𝟐 𝒉 𝒉 𝒂−𝒓 ( 𝟐 ) (𝒚𝒄 + 𝟐) + (𝒂 − 𝒓)𝒃 (𝟐 − 𝟐 ) 𝒚= 𝑨

50 ≤ 𝑎 ≤ 70𝑐𝑚 ℎ𝑡 = 𝐻 − 𝑎 𝑦𝑐 =

4𝑟 3𝜋

𝜃 = arccos (1 −

ℎ𝑡 ) 𝑟

𝐴𝑝1 = 𝑟 2 [𝜃 − cos(𝜃) sin (𝜃)] 2𝑟 3 𝑠𝑖𝑛3 (𝜃) 𝑦′𝑐 = 3𝐴𝑝1 𝐴𝑝2 =

𝜋𝑟 2 − 𝐴𝑝1 2

2𝑟 3 ( 3 ) − 𝐴𝑝1 𝑦𝑐𝑝1 𝑦′′𝑐 = 𝜋𝑟 2 ( 2 ) − 𝐴𝑝1 𝑨 = 𝝅𝒓𝟐 + 𝒉𝒃 − 𝑨𝒑𝟏 ∴

𝝅𝒓𝟐 𝒉 𝒉 ( 𝟐 ) (𝒚𝒄 + 𝟐) − 𝑨𝒑𝟐 (𝒚′′ 𝒄 + 𝟐) {𝒚 = } 𝑨

Propiedades inerciales alrededor de X: para el cálculo de las propiedades inerciales en dirección y, se realizará una superposición de áreas, con el fin de tomar momentos estáticos por separado y después sumarlos, al dividir la suma de momentos estáticos entre el área, obtendremos el centroide respecto al centroide geométrico de la sección total:

𝑎 𝜃 = arccos (1 − ) 𝑟 𝐴𝑝1 = 𝑟 2 [𝜃 − cos(𝜃) sin (𝜃)] 𝐴𝑝2 = 𝑎ℎ

;

𝑦′′𝑐 =

;

𝑦′𝑐 =

𝑏−𝑎 2

𝑨 = 𝑨𝒑𝟏 + 𝑨𝒑𝟐 {

𝒚=

(𝑨𝒑𝟏 𝒚′𝒄 ) + (𝑨𝒑𝟐 𝒚′′𝒄 )} → 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 𝑨

2𝑟 3 𝑠𝑖𝑛3 (𝜃) 3𝐴

Algoritmo del diagrama de interacción:

7.3.2.- Diagrama de interacción de las secciones De todas las propuestas hechas para el acero de refuerzo, se encontró que la que satisfacía los momentos y cargas axiales actuantes, fue la siguiente propuesta con varillas del número 10, se empleó un recubrimiento libre de 2 cm, y el recubrimiento efectivo es de 4.49 cm:

8.- ANALISIS SISMICO NO LINEAL 8.1.- Curvas momento curvatura. Las curvas de momento contra curvatura representan la respuesta no lineal de vigas de concreto reforzado, y más concretamente, representan la ductilidad que poseen las vigas, mediante el coeficiente de endurecimiento. Para determinar estas curvas hay varias maneras, una de las más adecuadas es hacer uso de un modelo constitutivo de concreto reforzado como los de Mander o Park y Kent, se supone un diagrama de deformaciones, y con el modelo constitutivo se obtiene el esfuerzo que le corresponde. Para modelos de concreto no confinado, las curvas de momento-curvatura no cambian mucho, por lo cual, en este caso, nos enfocaremos solo en obtener los puntos más representativos de estas curvas, los cuales son antes del agrietamiento, después del agrietamiento a la primera cedencia, y hasta la carga ultima.

seaccion A (nivel 1), V2 f'c= Ec= Fr= Fy= Es= d= b= h= r= r'= ρ= ρ'= As= As'= β1=

310 246495.4 35.21363 4200 2000000 80.78 35 85 4.22 3.905 0.01199 0.002016 33.9 5.7 0.828571

kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 cm cm cm cm cm

cm2 cm2

antes del agrietamiento 8.1137405 y 241.1558 cm2 41.11 cm 40.548321 cm2 35.77 cm 3256.7041 cm2 39.671458 cm 1791197.9 cm4 23801.935 cm4 2274403 cm4 45.328542 cm 1766877.8 kg*cm 3.152E-06 rad/cm 17.668778 tn*m 0.0003152 rad/m

n= Asc= Asc'= A= Yc= Ixxc= IA2= Ixxg= Y= Mg= ϕg= Mg= ϕg=

ϕ 0 0.0003152 0.0039604 0.0188674 α= μ=

M 0 17.668778 102.4175 106.27769 0.0111383 4.7639635

M (tn*m)

despues de la cedencia a la carga ultima f"c= 256.857 kg/cm2 a= 13.1746 cm c= 15.9004 cm εcu= 0.003 εs'= 0.00226 fy/Es= 0.0021 As' fluye fs'= 4200 kg/cm2 Mu= 1.1E+07 kg/cm2 ϕu= 0.00019 rad/cm Mu= 106.278 tn*m ϕu= 0.01887 rad/m

despues del agrietamiento a la primera cedencia k= 0.343596 c= 27.75567 cm εs= 0.0021 εc= 0.001099 fc= 270.9596 kg/cm2 εs'= 0.000945 fs'= 1889.185 kg/cm2 Cc= 131611.6 kg Cs= 10768.36 kg C= 142380 kg Yc= 8.847498 cm jd= 71.9325 cm My= 10241750 kg*cm ϕy= 3.96E-05 rad/cm My= 102.4175 tn*m ϕy= 0.00396 rad/m

M vs ϕ 120

106.2776861

102.4174969

100 80 60 40 17.66877793 20 0 0 0

0.005

0.01

ϕ (rad/m)

seaccion B (nivel 1), V2 f'c= Ec= Fr= Fy= Es= d= b= h= r= r'= ρ= ρ'= As= As'= β1=

310 246495.4 35.21363 4200 2000000 46.095 35 50 3.905 4.22 0.011585 0.019246 18.69 31.05 0.828571

kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 cm cm cm cm cm

cm2 cm2

antes del agrietamiento n= 8.1137 y Asc= 132.96 cm2 24.828 cm Asc'= 220.88 cm2 17.047 cm A= 2103.8 cm2 Yc= 21.267 cm Ixxc= 364583 cm4 IA2= 24385 cm4 Ixxg= 535115 cm4 Y= 28.733 cm Mg= 655811 kg*cm ϕg= 5E-06 rad/cm Mg= 6.5581 tn*m ϕg= 0.0005 rad/m

despues del agrietamiento a la primera cedencia k= 0.278204 c= 12.8238 cm εs= 0.0021 εc= 0.000809 fc= 199.5153 kg/cm2 εs'= 0.000543 fs'= 1086.103 kg/cm2 Cc= 44774.51 kg Cs= 33723.49 kg C= 78498 kg Yc= 4.251142 cm jd= 41.84386 cm My= 3284659 kg*cm ϕy= 6.31E-05 rad/cm My= 32.84659 tn*m ϕy= 0.006312 rad/m

0.015

0.02

310 246495.4 35.21363 4200 2000000 46.095 35 50 3.905 4.22 0.009818 0.009818 15.84 15.84 0.828571

kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 cm cm cm cm cm

cm2 cm2

33.66979422

32.84659126

35 30 25 20

15 6.55810833 10 5

M 0 6.558108 32.84659 33.66979 0.003643 8.917615

0

0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

ϕ (rad/m)

seaccion B (nivel 1), V2 f'c= Ec= Fr= Fy= Es= d= b= h= r= r'= ρ= ρ'= As= As'= β1=

40

n= Asc= Asc'= A= Yc= Ixxc= IA2= Ixxg= Y= Mg= ϕg= Mg= ϕg=

despues del agrietamiento a la primera cedencia k= 0.287101 c= 13.2339 cm εs= 0.0021 εc= 0.000846 fc= 208.4654 kg/cm2 εs'= 0.000576 fs'= 1152.073 kg/cm2 Cc= 48279.17 kg Cs= 18248.83 kg C= 66528 kg Yc= 4.358826 cm jd= 41.73617 cm My= 2776624 kg*cm ϕy= 6.39E-05 rad/cm My= 27.76624 tn*m ϕy= 0.006391 rad/m

antes del agrietamiento 8.11374 y 112.6816 cm2 23.544 cm 112.6816 cm2 18.331 cm 1975.363 cm2 22.55129 cm 364583.3 cm4 10493.32 cm4 475401.9 cm4 27.44871 cm 609887.6 kg*cm 5.2E-06 rad/cm 6.098876 tn*m 0.00052 rad/m

despues de la cedencia a la carga ultima f"c= 256.8571 kg/cm2 a= 0 cm c= 0 cm εcu= 0.003 ϕ M fy/Es= 0.0021 0 0 a= 4.69751 0.00052 6.09888 c= 5.669409 0.006391 27.7662 εs'= 0.000767 0.052916 28.6488 fs'= 1533.926 kg/cm2 α= 0.00514 Mu= 2864884 kg/cm2 μ= 8.2803 ϕu= 0.000529 rad/cm Mu= 28.64884 tn*m ϕu= 0.052916 rad/m

M vs ϕ

35 30

28.64883827

27.76624205

25

M (tn*m)

ϕ 0 0.0005 0.00631 0.05629 α= μ=

M vs ϕ

M (tn*m)

despues de la cedencia a la carga ultima f"c= 256.8571429 kg/cm2 a= 5.774416018 cm c= 6.96912278 cm εcu= 0.003 εs'= 0.001183416 fy/Es= 0.0021 no fluye a= 4.4162304 c= 5.329933241 εs'= 0.000624736 fs'= 1249.471456 kg/cm2 Mu= 3366979.422 kg/cm2 ϕu= 0.000562859 rad/cm Mu= 33.66979422 tn*m ϕu= 0.056285883 rad/m

20 15

10 6.098876239 5

0

0 0

0.02

0.04

ϕ (rad/m)

0.06

seaccion A (nivel 1), V2 f'c= Ec= Fr= Fy= Es= d= b= h= r= r'= ρ= ρ'= As= As'= β1=

310 246495.4 35.21363 4200 2000000 80.78 35 85 4.22 3.905 0.012775 0.002016 36.12 5.7 0.828571

kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 cm cm cm cm cm

cm2 cm2

n= Asc= Asc'= A= Yc= Ixxc= IA2= Ixxg= Y= Mg= ϕg= Mg= ϕg=

antes del agrietamiento 8.11374 y 256.9483 cm2 41.245 cm 40.54832 cm2 35.63 cm 3272.497 cm2 39.53481 cm 1791198 cm4 26157.25 cm4 2305942 cm4 45.46519 cm 1785995 kg*cm 3.14E-06 rad/cm 17.85995 tn*m 0.000314 rad/m

despues de la cedencia a la carga ultima f"c= 256.8571 kg/cm2 a= 14.21179 cm c= 17.15216 cm εcu= 0.003 εs'= 0.002317 fy/Es= 0.0021 As' fluye fs'= 4200 kg/cm2 Mu= 11253286 kg/cm2 ϕu= 0.000175 rad/cm Mu= 112.5329 tn*m ϕu= 0.017491 rad/m

ϕ 0 0.0003 0.004 0.0175 α= μ=

despues del agrietamiento a la primera cedencia k= 0.35253 c= 28.47737 cm εs= 0.0021 εc= 0.001143 fc= 281.8413 kg/cm2 εs'= 0.000987 fs'= 1973.208 kg/cm2 Cc= 140456.7 kg Cs= 11247.28 kg C= 151704 kg Yc= 9.078205 cm jd= 71.7018 cm My= 10877449 kg*cm ϕy= 4.02E-05 rad/cm My= 108.7745 tn*m ϕy= 0.004015 rad/m

M vs ϕ 112.532858

108.7744913

120

M (tn*m)

100

M 0 17.85995 108.7745 112.5329 0.011353 4.356188

80 60 40 17.85995064 20 0 0 0 0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

ϕ (rad/m)

seaccion A (nivel 1), V1 ϕ M 0 0 0.00029776 19.8541336 0.00373525 115.834122 0.01749051 120.118058 α= 0.01115412 μ= 4.6825549

M vs ϕ 140 120

120.118058

115.8341216

M (tn*m)

100 80 60 40 19.85413362 20 0 0 0 0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

ϕ (rad/m)

0.012

0.014

0.016

0.018

seaccion B (nivel 1), V1 ϕ M 0 0 0.00052045 6.09887624 0.00639053 27.766242 0.05291557 28.6488383 α= 0.00513941 μ= 8.28030433

M vs ϕ 35 28.64883827

27.76624205

30

M (tn*m)

25 20 15

10 6.098876239 5

0

0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

ϕ (rad/m)

seaccion A (nivel 2), V2 ϕ M 0 0 0.00031866 17.0095796 0.00375555 79.4940397 0.02585619 83.1035253 α= 0.00898327 μ= 6.88478606

M vs ϕ 90

83.10352525

79.49403975

80

M (tn*m)

70 60 50 40 30 17.00957964 20

10 0 0 0

0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 0.024 0.026

ϕ (rad/m)

M vs ϕ 35

29.75149774

28.83170305

30 25

M (tn*m)

seaccion c (nivel 2), V2 ϕ M 0 0 0.00051976 6.12730517 0.00643564 28.8317031 0.05168712 29.7514977 α= 0.00529623 μ= 8.03139153

20

15

10 6.127305174 5

0

0 0

0.01

0.02

0.03

ϕ (rad/m)

0.04

0.05

seaccion d (nivel 2), V2 ϕ M 0 0 0.00052618 5.87777287 0.00600586 19.1054785 0.0635553 19.7379361 α= 0.00455261 μ= 10.5822149

M vs ϕ 25

M (tn*m)

19.73793611

19.10547849

20 15

10 5.877772866 5 0 0 0

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065

ϕ (rad/m) seaccion c (nivel 2), V1 ϕ M 0 0 0.00051976 6.12730517 0.00643564 28.8317031 0.05168712 29.7514977 α= 0.00529623 μ= 8.03139153

M vs ϕ 35

29.75149774

28.83170305

30

M (tn*m)

25 20

15

10 6.127305174 5

0

0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

ϕ (rad/m)

seaccion A (nivel 3), Volado 0 0 0.00053665 5.83490394 0.00666668 27.357193 0.04330296 28.3926396 α= 0.00804989 μ= 6.49543405

M vs ϕ 28.39263957

27.35719304

30

M (tn*m)

25 20 15 10 5.83490394 5 0 0 0

0.004

0.008

0.012

0.016

0.02

0.024

ϕ (rad/m)

0.028

0.032

0.036

0.04

0.044

seaccion E (nivel 3), Volado ϕ M 0 0 0.00031612 17.4803493 0.00390469 96.0319451 0.02047965 99.9258101 α= 0.01073235 μ= 5.24488193

M vs ϕ 120 99.92581014

96.03194515

100

M (tn*m)

80

60 40 17.48034934 20 0 0 0 0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

ϕ (rad/m)

seaccion A (nivel 3), V1 ϕ M 0 0 0.00029948 19.4525396 0.00363534 102.253613 0.02047965 106.57861 α= 0.01034436 μ= 5.63349065

M vs ϕ 120

106.5786101

102.2536125 100

M (tn*m)

80

60 40 19.45253957 20 0 0 0 0.002 0.004 0.006 0.008

0.01

0.012 0.014 0.016 0.018

0.02

0.022

ϕ (rad/m)

M vs ϕ 35 30

M (tn*m)

seaccion A (nivel 1), V2 ϕ M 0 0 0.00051967 6.1214489 0.00647575 28.6950154 0.05422243 29.6313146 α= 0.00517406 μ= 8.37315675

29.63131457

28.69501544

25 20 15

6.121448897 10

5 0 0 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

ϕ (rad/m)

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

8.2.- Superficie de falla en vigas.

superficie de falla en viga del nivel 2 X (m) Mn(+) Mn(-) 0 18.52 -79.4 1.65 39.5 -60.91 3.3 27.89 -26.89 V2 6.7 18.34 -26.89 8.35 16.45 -81.43 10 18.51 -107.38 10 20.9 -115.26 11.8 17.8 -84.84 13.6 27.89 -26.89 V1 17.4 27.89 -26.89 19.2 17.8 -84.84 21 20.9 -115.26 21 18.51 -107.38 22.65 16.45 -81.43 24.3 18.34 -26.89 V2 27.7 27.89 -26.89 29.35 39.5 -60.91 31 18.52 -79.4

M (tn*m)

superficie de falla (Mn), Eje 2, entre ejes A y D (nivel 1) 40 30 20 10 0 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 -110 -120

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

L (m)

superficie de falla (Mn), Eje 2, entre ejes A y D (nivel 2)

M (tn*m)

superficie de falla en viga del nivel 1 X (m) Mn(+) Mn(-) 0 18.52 -101.33 1.65 37.95 -77.14 3.3 31.09 -48.41 V2 6.7 26.89 -26.89 8.35 11.3 -81.43 10 18.51 -107.38 10 20.9 -115.26 11.8 17.8 -84.84 13.6 26.98 -26.89 V1 17.4 26.98 -26.89 19.2 17.8 -84.84 21 20.9 -115.26 21 18.51 -107.38 22.65 11.3 -81.43 24.3 26.89 -26.89 V2 27.7 31.09 -48.41 29.35 37.95 -77.14 31 18.52 -101.33

40 30 20 10 0 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 -110 -120

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

L (m)

superficie de falla (Mn), Eje 2, entre ejes A y D (nivel 3)

M (tn*m)

superficie de falla en viga del nivel 1 X (m) Mn(+) Mn(-) 0 10.12 -26.89 Volado 1.65 16.45 -37.95 3.3 18.51 -95.96 3.3 20.9 -102.18 5.1 41.04 -62.32 6.9 27.89 -26.89 V1 10.7 27.89 -26.89 12.5 41.04 -62.32 14.3 20.9 -102.18 14.3 18.51 -95.96 Volado 15.95 16.45 -37.95 17.6 10.12 -26.89

40 30 20 10 0 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 -110

8.4.- Modelo de análisis no lineal.

Vigas

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

L (m)

columnas Cargas nodales: Para determinar las cargas en los nodos de las vigas, se calculará el área tributaria de cada viga del marco por nivel y se multiplicará por la correspondiente carga unitaria del nivel, después se divide la carga total entre la longitud de la viga, de este modo obtenemos una carga por unidad de longitud, la cual se multiplica por la longitud que hay entre nodos y se divide entre dos para repartir la carga a cada nodo.

Las cargas anteriores están en toneladas, y las distancias en metros. Coeficientes de rigidez en vigas a carteladas: Lo coeficientes de rigidez para los tramos donde el peralte vario ya han sido determinados anteriormente, sin embargo, los calculados antes, se encuentran ya multiplicados por el momento de inercia y el modulo de elasticidad, y también están divididos entre la longitud del tramo, para trabajar en DRAIN, se deben introducir los coeficientes sin ser afectados por la longitud, el

momento de inercia y el módulo de elasticidad, además el programa solo trabaja con la matriz angular de rigidez: [𝐾𝑎𝑛𝑔 ] = [

𝐾22 𝐾42

𝐾24 ] 𝐾44

Para secciones constantes la matriz es: 4𝐸𝐼 [𝐾𝑎𝑛𝑔 ] = [ 𝐿 6𝐸𝐼 𝐿2

6𝐸𝐼 𝐿2 ] 2𝐸𝐼 𝐿

Siendo así, los coeficientes que se introducirán al programa son 2,4,4.

8.5.-Archivo de entrada en Drain 2DX (pre proceso) ! Analisis no lineal del Marco 2 (Santos Gonzalez José G.) !******************************************************************************* *STARTXX !******************************************************************************* ME5B17 0200 ANALISIS DEL MARCO 2 !------------------------------------------------------------------------------! COORDENADAS DE NODOS X,Y !------------------------------------------------------------------------------!******************************************************************************* *NODECOORDS !******************************************************************************* ! Nodo X Y C 1 0.0 0.0 C 2 10.0 0.0 C 3 21.0 0.0 C 4 31.0 0.0 C 5 0.0 0.7 C 6 10.0 0.7 C 7 21.0 0.7 C 8 31.0 0.7 C 9 0.0 4.0 C 10 3.3 4.0 C 11 5.0 4.0 C 12 6.7 4.0 C 13 10.0 4.0 C 14 13.6 4.0 C 15 15.5 4.0 C 16 17.4 4.0 C 17 21.0 4.0 C 18 24.3 4.0 C 19 26.0 4.0

C 20 27.7 4.0 C 21 31.0 4.0 C 22 0.0 7.5 C 23 3.3 7.5 C 24 5.0 7.5 C 25 6.7 7.5 C 26 10.0 7.5 C 27 13.6 7.5 C 28 15.5 7.5 C 29 17.4 7.5 C 30 21.0 7.5 C 31 24.3 7.5 C 32 26.0 7.5 C 33 27.7 7.5 C 34 31.0 7.5 C 35 6.7 11.0 C 36 10.0 11.0 C 37 13.6 11.0 C 38 15.5 11.0 C 39 17.4 11.0 C 40 21.0 11.0 C 41 17.4 11.0 !------------------------------------------------------------------------------! APOYOS EMPOTRADOS No !------------------------------------------------------------------------------!******************************************************************************* *RESTRAINTS !******************************************************************************* S 111 1 S 111 2 S 111 3 S 111 4 !------------------------------------------------------------------------------! MASAS EN LA DIRECCION X,Y !------------------------------------------------------------------------------!******************************************************************************* *MASSES !******************************************************************************* ! XYR MASA Nodo Fact Fact.alfa S 111 6.943 9 1.0 0.0 S 111 9.749 10 1.0 0.0 S 111 5.530 11 1.0 0.0 S 111 9.749 12 1.0 0.0 S 111 13.783 13 1.0 0.0

S 111 10.581 14 1.0 0.0 S 111 6.181 15 1.0 0.0 S 111 10.581 16 1.0 0.0 S 111 13.783 17 1.0 0.0 S 111 9.749 18 1.0 0.0 S 111 5.530 18 1.0 0.0 S 111 9.749 20 1.0 0.0 S 111 6.943 21 1.0 0.0 S 111 6.222 22 1.0 0.0 S 111 9.749 23 1.0 0.0 S 111 5.530 24 1.0 0.0 S 111 9.749 25 1.0 0.0 S 111 13.692 26 1.0 0.0 S 111 10.581 27 1.0 0.0 S 111 6.181 28 1.0 0.0 S 111 10.581 29 1.0 0.0 S 111 13.692 30 1.0 0.0 S 111 9.749 31 1.0 0.0 S 111 5.530 32 1.0 0.0 S 111 9.749 33 1.0 0.0 S 111 6.222 34 1.0 0.0 S 111 6.035 35 1.0 0.0 S 111 14.301 36 1.0 0.0 S 111 11.569 37 1.0 0.0 S 111 6.864 38 1.0 0.0 S 111 11.569 39 1.0 0.0 S 111 14.301 40 1.0 0.0 S 111 6.035 41 1.0 0.0 !------------------------------------------------------------------------------! GENERACION DE LAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS !------------------------------------------------------------------------------!COLUMNAS !******************************************************************************* *ELEMENTGROUP !******************************************************************************* !Tipo Evento Anali Factordeamortiguamiento Titulo 2 1 0 0.01007938 COLUMNAS CIRCULARES ! No. No. No. ! rig zorig supfalla 1 0 1 ! RIGIDECES Y PROPIEDADES DE LAS COLUMNAS CIRCULARES ! No. E A I Kii Kji Kij As 1 2464954 0.10 0.24566 0.0081 4 4 2 0.213600 0.20 ! SUPERFICIES DE FALLA COLUMNA (As=4%Ac)

! No. Code My(+) My(-) Pc(com) Pt(ten) M/My P/Pc M/My P/Pc ! COLUMNA CIRCULAR REFORZADA 1 3 170.2 -170.2 1209.0 598.8 1.10 .05 1.10 .01 ! GENERACION DE COLUMNAS CIRCULARES ! No.ELE iNodo fNodo increm rig zorig isf jsf 1 1 5 1 1 0 1 1 2 2 6 1 1 0 1 1 3 3 7 1 1 0 1 1 4 4 8 1 1 0 1 1 5 5 9 1 1 0 1 1 6 6 13 1 1 0 1 1 7 7 17 1 1 0 1 1 8 8 21 1 1 0 1 1 9 9 22 1 1 0 1 1 10 13 26 1 1 0 1 1 11 17 30 1 1 0 1 1 12 21 34 1 1 0 1 1 13 26 36 1 1 0 1 1 14 30 40 1 1 0 1 1 ! !TRABES CABEZALES !******************************************************************************* *ELEMENTGROUP !******************************************************************************* !Tipo Evento Anali Factordeamortiguamiento Titulo 2 1 0 0.01007938 TRABES CABEZALES ! No. No. No. ! rig zorig supfalla 7 0 7 ! RIGIDECES Y PROPIEDADES DE LAS TRABES CABEZALES ! +++++ SECCION VARIABLE +++++ ! ---------- CABEZAL E5 ---------! No. E A I Kii Kjj Kij As 1 2464954 0.10 0.2975 0.0179 4.12 1.27 1.89 0.204150 0.20 2 2464954 0.00 0.1750 0.0036 4.00 4.00 2.00 0.145800 0.20 3 2464954 0.10 0.2975 0.0179 4.12 1.27 1.89 0.204150 0.20 4 2464954 0.10 0.3150 0.0212 4.09 1.22 1.73 0.204150 0.20 5 2464954 0.00 0.1750 0.0036 4.00 4.00 2.00 0.145800 0.20 6 2464954 0.10 0.3150 0.0212 4.09 1.22 1.73 0.204150 0.20 7 2464954 0.10 0.3150 0.0212 4.12 1.27 1.89 0.204150 0.20 ! TIPOS DE SUPERFICIES DE FALLA TRABES CABEZALES ! TRABE CABEZAL E5 ! No. Code My(+) My(-) 1 1 29.1866 -101.330

2 1 31.0900 -48.4100 3 1 18.5100 -107.380 4 1 20.9000 -115.260 5 1 26.9800 -26.8900 6 1 20.9000 -115.260 7 1 20.9000 -102.180 ! GENERACION DE LAS TRABES CABEZALES ! TRABE CABEZAL E5 ! No.ELE iNodo fNodo increm rig zorig isf jsf 1 9 10 1 1 0 1 2 2 10 11 1 2 0 2 2 3 11 12 1 2 0 2 2 4 12 13 1 3 0 2 3 5 13 14 1 4 0 4 5 6 14 15 1 5 0 5 5 7 15 16 1 5 0 5 5 8 16 17 1 6 0 5 6 9 17 18 1 1 0 1 2 10 18 19 1 2 0 2 2 11 19 20 1 2 0 2 2 12 20 21 1 3 0 2 3 13 22 23 1 1 0 1 2 14 23 24 1 2 0 2 2 15 24 25 1 2 0 2 2 16 25 26 1 3 0 2 3 17 26 27 1 4 0 4 5 18 27 28 1 5 0 5 5 19 28 29 1 5 0 5 5 20 29 30 1 6 0 5 6 21 30 31 1 1 0 1 2 22 31 32 1 2 0 2 2 23 32 33 1 2 0 2 2 24 33 34 1 3 0 2 3 25 35 36 1 7 0 7 7 26 36 37 1 4 0 4 5 27 37 38 1 5 0 5 5 28 38 39 1 5 0 5 5 29 39 40 1 6 0 5 6 30 40 41 1 7 0 7 7 !------------------------------------------------------------------------------! DESPLAZAMIENTOS EN LOS NODOS !------------------------------------------------------------------------------!******************************************************************************* *GENDISP

!******************************************************************************* ! Nodo Direc Fact part Titulo 9 1 1.0 DESPLAZAMIENTOS LATERALES 1er NIVEL x 21 1 1.0 DESPLAZAMIENTOS LATERALES 1er NIVEL x 22 1 1.0 DESPLAZAMIENTOS LATERALES 2do NIVEL x 34 1 1.0 DESPLAZAMIENTOS LATERALES 2do NIVEL x 36 1 1.0 DESPLAZAMIENTOS LATERALES 3er NIVEL x 40 1 1.0 DESPLAZAMIENTOS LATERALES 3er NIVEL x !------------------------------------------------------------------------------! RESULTADOS: TODOS LOS ELEMENTOS Y DESPLAZAMIENTOS EN LOS NODOS !------------------------------------------------------------------------------!******************************************************************************* *RESULTS !******************************************************************************* ! Desplazamientos en los nodos NSD 001 ! Elementos E 001 ! Desplazamientos generalizados GD 001 !------------------------------------------------------------------------------! CARGAS GRAVITACIONALES EN LOS NODOS (GRAV=GRAVITACIONALES) !------------------------------------------------------------------------------!******************************************************************************* *NODALOAD !******************************************************************************* GRAV FUERZAS GRAVITACIONALES ! Fuerza X Fuerza Y Momento Z Nodo S 0.0 5.65000 0.0 9 S 0.0 8.57000 0.0 10 S 0.0 5.8300 0.0 11 S 0.0 8.57000 0.0 12 S 0.0 12.7100 0.0 13 S 0.0 14.5000 0.0 14 S 0.0 7.4400 0.0 15 S 0.0 14.500 0.0 16 S 0.0 12.7100 0.0 17 S 0.0 8.5700 0.0 18 S 0.0 5.8300 0.0 19 S 0.0 8.5700 0.0 20 S 0.0 5.65000 0.0 21 S 0.0 5.65000 0.0 22 S 0.0 8.57000 0.0 23 S 0.0 5.8300 0.0 24

S 0.0 8.57000 0.0 25 S 0.0 12.7100 0.0 26 S 0.0 14.5000 0.0 27 S 0.0 7.4400 0.0 28 S 0.0 14.500 0.0 29 S 0.0 12.7100 0.0 30 S 0.0 8.5700 0.0 31 S 0.0 5.8300 0.0 32 S 0.0 8.5700 0.0 33 S 0.0 5.65000 0.0 34 S 0.0 6.7300 0.0 35 S 0.0 13.500 0.0 36 S 0.0 11.000 0.0 37 S 0.0 7.58000 0.0 38 S 0.0 11.0000 0.0 39 S 0.0 13.500 0.0 40 S 0.0 6.7300 0.0 41 !------------------------------------------------------------------------------! REGISTROS ACELEROGRAFICOS !------------------------------------------------------------------------------!******************************************************************************* *ACCNREC !******************************************************************************* ! 6 ESTACION SCT real con periodo de 2 seg. SCT SCT-EW.RES (F10.2,F10.4) SISMO SCT1 19-SEP-85 (N90E) At=0.02 8171 1 1 1 1.0 1.0 1.0 ! PARAMETROS DE ANALISIS !******************************************************************************* *PARAMETERS !******************************************************************************* ! DESPLAZAMIENTOS DE COLAPSO C ! EVENT OVERSHOT SCALE FACTORS F 0.005 0.005 ! INTERVALOS DE SALIDA PARA EL ANALISIS ESTATICO OS 0 0 -1 0 0 ! INTERVALOS DE SALIDA PARA EL ANALISIS DINAMICO OD 0 0.0 0 0.0 4 0.02 0 0.0 0 0.0 ! PARAMETROS DE CONTROL PARA EL ANALISIS DINAMICO DC 1 1 1 -100 !******************************************************************************* *MODE ANALISIS MODAL !******************************************************************************* 0 0 1

*ACCN REGISTROS ACELEROGRAFICOS !******************************************************************************* ! 6.2 ESTACION SCT escalado con periodo de .5 seg 163.40 8172 1 0.002 1 SCT 1.0 1.0 !******************************************************************************* *STOP

8.6.-Resultados (post proceso) Verificación de los periodos: *---------------------* MODE SHAPES AND PERIODS *---------------------* PERIODS Mode No. 1 2 3 4 5 Period 2.2906E+00 1.0063E+00 8.5378E-01 7.2329E-01 6.9202E-01 Mode No. 6 7 8 9 10

Tx (seg) 1 0.633306417 2 0.235057096 3 0.123508943

Historia en el tiempo del coeficiente C El coeficiente C se obtiene al dividir el cortante basal entre el peso total del marco, y el cortante basal se obtiene de sumar los cortantes de todas las columnas inferiores, en esta grafica se puede apreciar con simpleza en que tiempo la estructura empieza a incursionar en el rango no lineal.

t vs C (historia en el tiempo de C) 2.5 2 9.02, 0.25

1.5 1 0.5

C

0 -15.00

-0.5

5.00

25.00

45.00

65.00

85.00

-1 -1.5

-2

10.3, -0.2454239

-2.5 -3

t (s)

105.00

125.00

145.00

165.00

Para verificar las distorsiones, se tomaron los desplazamientos laterales del nodo 40, y se dividieron entre la altura total del marco, y se aprecia que cuando las distorsiones exceden la distorsión limite marcada en el reglamento, empieza a aparecer el comportamiento no lineal de la estructura.

t vs δx (nodo 40) 0.030 0.020 0.010

δx

0.000 0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

-0.010 -0.020 -0.030 -0.040

48.03, -0.017

t (s)

100.00

120.00

140.00

160.00

Respuesta histéretica: En esta grafica se aprecia la disipación de energía, asi como la perdida de resistencia del punto en estudio.

C vs δx 1.50

1.00

δx

0.50

-0.02

0.00 -0.02

-0.01

-0.01

0.00 -0.50

-1.00

-1.50

C

0.01

0.01

0.02

0.02

t vs M (viga 8) 150 26.58, 21

M (tn*m)

100 50 0 0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

160.00

180.00

-50 -100

t (s)

ϴ vs M (viga 8)

t vs ϴ (viga 8) 150

0.000 -0.002 0.00

100

50.00

100.00

-0.004

-0.018

50

-0.017

-0.016

-0.015

-0.014

-0.013

0 -0.012 -50

ϴ (rad)

M (tn*m)

-0.006 -0.008

-0.010 -0.012 -0.014 -0.016 -0.018

ϴ (rad)

-100

-0.020

t (seg)

150.00

200.00

ϴ vs M (columna 1) 1.40E+03 1.20E+03 1.00E+03 8.00E+02 6.00E+02 4.00E+02 2.00E+02 0.00E+00 -5.00E-03 -4.00E-03 -3.00E-03 -2.00E-03 -1.00E-03 0.00E+001.00E-032.00E-033.00E-034.00E-035.00E-03 -2.00E+02

M (tn*m)

1.40E+03 1.20E+03 1.00E+03 8.00E+02 6.00E+02 4.00E+02 2.00E+02 0.00E+00 0.00E+00 -2.00E+02 -4.00E+02 -6.00E+02 -8.00E+02

5.00E+01

1.00E+02

1.50E+02

2.00E+02

-4.00E+02 -6.00E+02 -8.00E+02

t (seg)

ϴ (rad)

t vs ϴ (columna 1) 4.00E-03 3.00E-03 2.00E-03

ϴ (rad)

M (tn*m)

t vs M (columna 1)

1.00E-03 0.00E+00 0.00E+002.00E+014.00E+016.00E+018.00E+011.00E+021.20E+021.40E+021.60E+021.80E+02 -1.00E-03 -2.00E-03 -3.00E-03

t (seg)

8.7.-Conclusiones. En este proyecto se ha profundisado en gran parte al comportamiento elástico, asi como no lineal de estructuras de concreto reforzado, notando importantes efectos como lo es el incremento a la resistencia a compresión del concreto debido a el uso de estribos que proveen un confinamiento pasivo al núcleo de concreto reforzado, esto repercute en la ley constitutiva del concreto, y se aprecia un aumento de la ductilidad de los elementos de concreto, lo cual se entiende como una ley de comportamiento de plasticidad con endurecimiento, el cual suele darse en forma de un porcentaje del modulo de elasticidad o de la rigidez en el rango elástico, Lo mencionado antes se aprecia en los diferentes elementos estructurales que componen una edificación, pues se a logrado apreciar de major manera que las vigas tienen un comportamiento elástico con plasticidad y endurecimiento, por otro lado las columnas posen