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Lopez Romero Heriberto

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PUEBLA

PRODUCTO 4.1

Habilidades Del Pensamiento Matemático

Yrut Lopez Rodríguez

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

con

cualquiera de los métodos Gauss, Gauss-Jordan, Regla de Cramer (Determinantes) o Matriz Inversa

Ds =

| |

Dx =

|

Dy =

| |

2 3 3 4

= (2)(4) – (3)(3) = 8 – 9 = -1

|

−1 3 0 4

= (-1)(4) – (0)(3) = -4 – 0 = -4

2 −1 3 0

= (2)(0) – (-1)(3) = 0 + 3 = 3

X = -4 / -1 = 4 Y = 3 / -1 = -3

1) x + y = 2x – 2 2) x - y = 2y + 2 -x + y = -2 x – 3y = 2 Ds =

|

|

−1 1 1 −3

= (-1)(-3) – (1)(1) = 3 – 1 = 2

Dx =

|

|

= (-2)(-3) – (2)(1) = 6 – 2 = 4

Dy =

|

|

= (-1)(2) – (-2)(1) = -2 + 2 = 0

−2 1 2 −3

−1 −2 1 2

X = 4 / 2 = 2 Y = 0 / 2 = 0

x + 3y = 10 3x – 6y = 0 Ds =

| |

Dx =

|

Dy =

| |

1 3 3 −6

= (1)(-6) – (3)(3) = -6 – 9 = -15

|

10 3 0 −6

1 10 3 0

= (10)(-6) – (3)(0) = -60 – 0 = -60

= (1)(0) – (3)(10) = 0 - 30 = -30

X = -60 / -15 = 4 Y = -30 / -15 = 2

x + 3y = 10 -2x + y =- 6

Ds =

| | 1 3 −2 1

= (1)(1) – (3)(-2) = 1 + 6 = 7

Dx =

| |

= (10)(1) – (3)(-6) = 10 + 18 = 28

Dy =

|

10 3 −6 1

|

1 10 −2 −6

= (1)(-6) – (10)(-2) = -6 + 20 = 14

X = 28 / 7 = 4 Y = 14 / 7 = 2

Ds =

|

|

3 2 4 −3

= (3)(-3) – (2)(4) = -9 - 8 = -17

Dx =

|

Dy =

|

|

7 2 −2 −3

|

3 7 4 −2

= (7)(-3) – (2)(-2) = -21 + 4 = -17

= (3)(-2) – (7)(4) = -6 - 28 = -34

X = -17 / -17 = 1 Y = -34 / -17 = 2

3x + 2y = 24

x + y = 3

Ds =

| |

Dx =

| | 24 2 3 1

= (24)(1) – (2)(3) = 24 - 6 = 18

Dy =

| |

= (3)(3) – (24)(1) = 9 - 24 = -15

3 2 1 1

3 24 1 3

= (3)(1) – (2)(1) = 3 - 2 = 1

X = 18 / 1 = 18 Y = -15 / 1 = -15

1) 2x + 2 + 3y – 3 = 0 2) 4x + 8y – 3x - 3y - 6 = 0 2x + 3y = 1 X + 5y = 6

Ds =

| | 2 3 1 5

= (2)(5) – (3)(1) = 10 - 3 = 7

Dx =

| | 2 1 1 6

= (2)(6) – (1)(1) = 12 - 1 = 11

Dy =

| |

= (1)(5) – (3)(6) = 5 - 18 = -13

1 3 6 5

X = 11 / 7 Y = -13 / 7

DE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS ESTABLECER EL SISTEMA DE ECUACIONES Y RESOLVER POR EL MÉTODO DE GAUSS- JORDAN Y ADEMÁS POR LA LA REGLA DE CRAMER. *La

compañía

de

novedades

As

quiere

producir

tres

tipos

de

recuerdos: los tipos A, B y C. Para fabricar un recuerdo tipo A se necesitan dos minutos en la máquina I, un minuto en la maquina II y dos minutos en la maquina III; un recuerdo o souvenir tipo B, un minuto

en la maquina I, tres

minutos en

la II y uno

en la III; y

un recuerdo de tipo C, un minuto en la máquina I y dos minutos en cada una en

la

cuatro

de las máquinas II y III. Hay tres horas disponibles

máquina horas

I,

cinco

horas

disponibles

en

la

máquina

II

y

en la máquina III para procesar un pedido. ¿Cuántos

recuerdos de cada tipo debe fabricar la compañía para

utilizar

todo el tiempo disponible? *La gerencia de una sociedad privada de inversión tiene un fondo de $200 000 para invertir en acciones. A fin de obtener un nivel razonable de riesgo,

las acciones consideradas por

la gerencia

se han clasificado en tres categorías: de riesgo alto, bajo. La gerencia recuperación

estima

tendrán una tasa de

de 15% por año, Las acciones de riesgo

tasa de 10% por año, y inversión en las de las

que las primeras las de

medio y

medio

una

bajo riesgo 6% por año. La

acciones de bajo riesgo es el

inversiones en acciones de las

doble

de la

suma

otras categorías. Si el

objetivo de la inversión es alcanzar una tasa promedio de 9 % por año

sobre la inversión total, ¿ cuánto debe invertir la sociedad en

cada tipo de acción?.

X = alto Y = medio Z = bajo x + y + z = 200000 0.15x + 0.1y + 0.06z = 18000 2x + 2y – z = 0 REGLA DE CRAMER

Ds

=

1 1 1 0.15 0.1 0.06 2 2 −1

1 1 0.15 0.1 2 2

=

(-0.1+0.12+0.3)

0.15+0.12+0.2) = 0.15

Dx =

200000 1 1 18000 0.1 0.06 0 2 −1

200000 1 18000 0.1 0 2

=

(-20000+0+32000) – (-18000+24000+0) = 6 000

Dy =

1 200000 1 0.15 18000 0.06 2 0 −1

1 200000 0.15 18000 2 0

=

(-18000+24000+0.15) – (-30000+0+32000) = 4 000

Dz=

1 1 200000 0.15 0.1 18000 2 2 0

1 1 0.15 0.1 2 2

=

(0+32000+60000) – (0+32000+40000) = 20 000

X = 6 000 / 0.15 Y = 4 000 / 0.15

–

(-

Z = 20 000 / 0.15 GAUSS-JORDAN 1 1 1 2000000 0.15 0.1 0.06 18000 2 2 −1 0 R3 / 2 – R1 --> R3 1 1 1 200000 0.15 0.1 0.06 18000 0 0 −3/2−200000 R3 * -2/3 --> R3 1 1 1 200000 0.15 0.1 0.06 18000 0 0 1 400000 /3 0.15(R1) - R2 -->R2 1 1 1 200000 0 0.05 −0.01 12000 0 0 1 400000/3 R1 – R3 --> R1 1 1 0 200000/3 0 0.05 −0.01 12000 0 0 1 400000/3 0.01(R3) + R2 -->R2 1 1 0 200000 /3 0 0.05 0 40000/3 0 0 1 400000/3 0.5(R1) – R2 -->R1 0.05 0 0 60000 /3 0 0.05 0 40000/3 0 0 1 400000/3

R1/0.05 1 0 0 0.05 0 0

-->R1 0 60000 /0.15 0 40000 /3 1 400000 /3

R2/0.05 -->R2 1 0 0 60000/0.15 0 1 0 40000/0.15 0 0 1 400000/3 1 0 0 400000 0 1 0 40000/0.15 0 0 1 400000/3

DE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS ESTABLECER EL SISTEMA DE ECUACIONES Y RESOLVER POR EL MÉTODO DE MATRIZ INVERSA *La cantidad total de pasajeros que utilizan autobús durante el turno matutino niños

es de

25

centavos

centavos y el ingreso

y

la

cierta ruta de

es 1000. Si la de

total durante

los

adultos

tarifa para es

de

75

el turno matutino fue de

$ 650, ¿cuántos niños y adultos utilizaron el autobús en este turno? X = niños Y = adultos x + y = 1000 0.25x + 0.75y = 650

A=

|

|

1 1 0.25 0.75

A=

|

AT =

0.75 −1 −0.25 1

A-1 =

= (1)(0.75) – (1)(0.25) = 0.5

|

0.75 −0.25 −1 1

| | 0.75 0.5 −0.25 0.5

−1 0.5 1 0.5

=

|

|

1.5 −2 −0.5 2

*

1000 650

=

(1000∗1.5)+(−2∗650) ( 1000∗−0.5 ) +(2∗650)

=

200 800

Niños = 200 Adultos = 800 *Los señores García disponen

de $ 100 000 para invertir en

acciones, bonos y una cuenta en el mercado de dinero. Las acciones tienen un valor de recuperación de 12% por año, mientras

que los

bonos

dan

8%

al

año

y

la

cuenta

mercado de dinero, 4% anual. Ellos han convenido cantidad

del

que la

invertida en el mercado de dinero debe ser igual a

la suma de 20% de la cantidad invertida en acciones y 10% de la inversión en bonos ¿Cómo deben distribuir sus recursos si necesitan inversiones?

un

ingreso anual

de $ 10 000

por

sus

X = acciones Y = bonos Z = cuentas de marcado x + y + z = 100000 0.12x + 0.08y + 0.04z = 10000 0.2x + 0.1y - z = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A=

1 1 1 0.12 0.08 0.04 0.2 0.1 −1

R2 – 0.12(R1) -->R2

1 1 1 0 −0.04 −0.08 0.2 0.1 −1

100000 −2000 0

R3 – 0.2(R1) --> R3

1 1 1 0 −0.04 −0.08 0 −0.1 −1.2

100000 −2000 −20000

R2 / -0.04 --> R2

1 1 1 0 1 2 0 −0.1 −1.2

100000 50000 −20000

R1 – R2 -->R1

1 0 −1 0 1 2 0 −0.1 −1.2 R3 + 0.1(R2) -->R3

50000 50000 −20000

100000 10000 0

1 0 −1 0 1 2 0 0 −1

50000 50000 −15000

R3/-1 -->R3

1 0 −1 0 1 2 0 0 1

50000 50000 15000

R1 + R3 -->R1

1 0 0 0 1 2 0 0 1

65 000 50 000 15 000

R2 – 2(R3) -->R2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

65 000 20 000 15 000

X= 65 000 Y = 20 000 Z = 15 000 *Miguel

tiene

un

total

instituciones de ahorro. Una

de

$2000

paga un interés

tasa de 6% por año, y la otra, un tasa de 8% por año. Si

tiene depositado en cada institución?

b = institucion2 1) a + b = 2000

en

dos

simple con una

interés simple

Miguel ganó

concepto de intereses durante un

a = institución1

depositado

con la

un total de $144 por

solo año, ¿cuánto dinero

2) 0.06a + 0.08b = 144 A=

|

|

1 1 0.06 0.08

A=

|

AT =

0.08 −1 −0.06 1

= (1)(0.08) – (1)(0.06) = 0.02

|

0.08 −0.06 −1 1

A-1 =

|

0.08 0.02 −0.06 0.02

−1 0.02 1 0.02

|

=

|

|

4 −50 −3 50

2000 144

*

(2000∗4)+(−50∗144) ( 2000∗−3 ) +(50∗144)

=

=

800 1200

a = 800 b = 1200

*La gerencia millones

de

para

con autos de compacto,

Hartman

comprar

Rent-A-Car

una

ha

asignado

$1.25

flotilla de automóviles nuevos,

tamaño pequeño, mediano y grande. Cada auto

mediano y

grande

cuesta $ 10 000, $15 000 y $

20 000. Si Hartman adquiere dos

veces más compactos que

autos

a

de

¿cuántos

tamaño autos

de

medio cada

utiliza todo el presupuesto)

y

va

tipo

comprar

100

unidades,

adquirirá? ( suponga que

se

X = compactos Y = mediano Z = grande x + y + z = 100 (10 000x + 15 000y + 20 000)/5000 = (1 250 000)/5000 X = 2y

x + y + z = 100 2x + 3y + 4z = 250 x – 2y = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A=

1 1 1 2 3 4 1 −2 0

R2 – 2(R1) --> R2

1 1 1 0 1 2 1 −2 0

100 50 0

R3 – R1 -->R3

1 1 1 0 1 2 0 −3 −1 R1 – R2 -->R1

100 50 −100

100 250 0

1 0 −1 0 1 2 0 −3 −1

50 50 −100

R3 + 3(R2) -->R3

1 1 −1 0 1 2 0 0 5

50 50 50

R3/5 -->R3

1 1 −1 0 1 2 0 0 1

50 50 10

R1 + R3 -->R1

1 1 0 0 1 2 0 0 1

60 50 10

R2 – 2(R3) -->R2

1 1 0 0 1 0 0 0 1 X = 60 Y = 30 Z = 10

60 30 10

En los siguientes ejercicios utilice la sustitución hacia atrás para resolver los sistemas

a) X 1 – X 2 = 2 X2 = 3

X1 – 3 = 2 X1 = 2 + 3 X1 = 5 b) 2X 1 – 4X 2 = 6 3X 2 = 9 X2 = 9 / 3 = 3 2X1 – 4(3) = 6 2X1 – 12 = 6 2X1 = 6 + 12 X1 = 18 / 2 = 9 X2 = 3 X1 = 9 C)–X + Y - Z = 0 2Y + Z = 3 (1/2)Z = 0 2Y + 0 = 3 2Y = 3 Y = 3/2 -X + 3/2 – 0 = 0 -X = -3/2

-(-X) = -(-3/2) X = 3/2 Z = 0

d) X – Y = 4 2Y + Z = 6 3Z = 6 Z=6/3 Z = 2 2y + 2 = 6 2y = 6 -2 Y=4/2 Y = 2 X–2=4 X = 6 En los siguientes ejercicios resuelva el sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

- X2 3X 1 -

2X 2 =

| | 0 −1 3 2

0 −1

| |

−1 0

3 2 0 −1

= 0 -1

2 3 0 −1

| |

−1 3 0

| |

−1 3 0

1

2 3 0 −1 1

R2 / -1

2 3 1

| |

−1 3 0

| |

−1 3 0

1 0

1 0 0 1

X 1 = -1 / 3 X2 = 0

3X + 2Y = 2 6X + 4Y = 14

| | 3 2 6 4

2 14

| |

2 3 14

| |

2 3 10

1 6

1 0

2 3 4

2 3 0

NO TIENE SOLUCIÓN

2U + V = 120 U + 2V = 120

| | 2 1 1 2

120 120

R1 / 2

| | 1 0.5 1 2

60 120

R2 – R1

|

|

1 0.5 0 1.5

60 60

R2 / 1.5

|

|

1 0.5 0 1

60 40

R1 – 0.5(R2)

| | 1 0 0 1

40 40

U = 40 V = 40

(2/3)X 1 + (1/6)X 2 = 0 4X 1 + X 2 = 0

| | 2 3 4

1 6 1

0 0

R1 / 2/3

| | 1

4

1 4 1

0 0

R2 – 4(R1)

| | 1 0

1 4 0

0 0

X1 = 0 X2 = 0

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por cualquiera de los siguientes tres métodos: Gauss - jordan, Regla de Cramer (determinantes) Inversa. 3x + 4y – 2z = x +y 3 + 2x = 4x -3z +2y 4x – 2z = 2 + 2y

2x + 4y – 3z = 0 -2x – 2y + 3z = -3 4x – 2y – 2z = 2

o Matriz

Ds =

2 4 −3 −2 −2 3 4 −2 −2

2 −2 4

4 −2 −2

= (8+48-12)-(16-12+24) = 16

Dx =

0 4 −3 −3 −2 3 2 −2 −2

0 −3 2

4 −2 −2

= (0+24-18)-(24+0+12) = -30

Dy =

2 0 −3 −2 −3 3 4 2 −2

2 −2 4

0 −3 2

= (12+0+12)-(0+12+36) = -24

Dz =

2 4 0 −2 −2 −3 4 −2 2

2 −2 4

4 −2 −2

= (-8-48+0)-(-16+12+0) = -52

X = -30 / 16 ó -15 / 8 Y = -24 / 16 ó -3/2 Z = -52 / 16 ó -13/4

X + Y + Z = 1 Y + 2Z = 2 X + 2Y 1 1 1 0 1 2 1 2 0

= 3 1 2 3

R3 - R1 -->R3

1 1 1 0 1 2 0 1 −1

1 2 2

R1 – R2 -->R1

1 0 −1 0 1 2 0 1 −1

−1 2 2

R3 – R2 -->R3

1 0 −1 0 1 2 0 0 −3

−1 2 0

R3/-3 -->R3

1 0 −1 0 1 2 0 0 1

−1 2 0

R1 + R3 -->R1

1 0 0 0 1 2 0 0 1

−1 2 0

R2 – 2(R3) -->R2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

−1 2 0

X =-1 Y = 2 Z = 0

RESUELVA EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES (Por cualquiera de los métodos antes mencionados)

2m + 3n + 4q – p = 1 m - 2n + 3q +2p = 2 3m + n – q + 4p = 1 m + n

2

3

= 0

4

-

1 2

1

-

3

1 2

3

2 1

-

4

1

1

1 0

0

0

1

R1 / 2 -->R1 1 1.

2 -

5

0.

0.

5

1 -2

5 3 2

2

3 1

-

4

1

1 1

1 0 0

0

R2 – R1 -->R2 1 1.5 2 -0.5

0.5

0

-

1

2.5

1.5

3

3.5 1

-1

4

1

1

1

0

0

0

R3 – 3(R1) -->R3 1 1.5 2 -0.5

0.5

0

-

1

2.5

1.5

0

3.5 -

-7

5.5

-

3.5 1

1

0.5 0

0

0

R4 – R1 -->R4 1 1.5 2 -0.5

0.5

0

-

1

2.5

1.5

0

3.5 -

-7

5.5

-

0

3.5 -

0.5

0.5 -

-2

0.5

0.5

R2 / -3.5 -->R2 1 1.5 2 -0.5

0.5

0

1

-

-5/7

-3/7

0

-3.5

2/7 -7

5.5

-0.5

0

-0.5

-2

0.5

-0.5

R1 – 1.5(R2) --> R1 1 0 17/ 4/7 0

1

0

-

0

3.5 -

7 -2/7 -7 -2

-5/7

-

5.5

3/7 -

0.5

0.5 -

0.5

0.5

R3 + 3.4(R2) -->R3 1 0 17/ 4/7 0

1

8/7

7 -2/7

8/7

-5/7

-

0

0

-8

3

3/7 -2

0

-

-2

0.5

-

0.5

0.5

R4 + 0.5(R2) -->R4 1 0 17/7 4/7

8/7

0

1

-2/7

-5/7

-3/7

0

0

-8

3

-2

0

0

-

1/7

-5/7

R3 / -8 -->R3 1 0 17/7

4/7

8/7

0

1

-2/7

-5/7

-3/7

0

0

1

-

0.25

-

0.375 1/7

-5/7

15/7

0

0

15/7 R1 – 17/7(R3) -->R1 1 0 0 83/56

15/2

0

1

-2/7

-5/7

8 -3/7

0

0

1

-

0.25

-

0.375 1/7

-5/7

0

0

15/ 7 R2 + 2/7(R3) -->R2 1 0 0 83/56

15/2

0 0 0

1 0 0

0

-

8 -5/14

1

23/28 -

0.25

-

0.375 1/7

-5/7

15/ 7

R4 + 15/7(R3) -->R4 1 0 0 83/56

15/2

0 0 0

1 0 0

0

-

8 -5/14

1

23/28 -

0.25

0

0.375 -

-5/28

37/56 R4 / -37/56 -->R4 1 0 0 83/56

15/2

0 0 0

1 0 0

0

-

8 -5/14

1

23/28 -

0.25

0

0.375 1

10/3 7

R1 – 83/56(R4) -->R1 1 0 0 0

5/37

0 0 0

1 0 0

0

-

-5/14

1

23/28 -

0.25

0

0.375 1

10/3 7

R2 + 23/28(R4) --> R2 1 0 0 0

5/37

0

1

0

0

-5/37

0

0

1

-

0.25

0

0.375 1

10/3

0

0

7

R3 + 0.375(R4) -->R3 1 0 0 0

5/37

0

1

0

0

-5/37

0

0

1

0

13/3

1

7 10/3

0

0

0

7

M = 5/37 N = -5/37 Q = 13/37 P = 10/37