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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA MATANZA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA E INVESTIGACIONES TECNOLOGICAS ALGEBRA II

PRODUCTO INTERIOR PARA MATRICES Sea el espacio vectorial de matrices reales de 2x2 , definiremos un producto interior en el mismo. < A , B > = traza (A t .B) Evidentemente es una aplicación de R 2x2 xR 2x2 − − > R , porque la traza del producto de dos matrices reales de 2x2 (que es otra matriz real de 2x2) es un número real. a 11 a 12

Sean A=

a 21 a 22

, B =

b 11 b 12 b 21 b 22

yC =

c 11 c 12 c 21 c 22

, veamos que se define como

aplicacion At =

a 11 a 21 a 12 a 22

, Bt =

b 11 b 21 b 12 b 22 (A t .B)=

traza (

a 11 a 21

b 11 b 12

a 12 a 22

b 21 b 22

 =traza

traza

a 11 b 11 + a 21 b 21 a 11 b 12 + a 21 b 22

=

a 12 b 11 + a 22 b 21 a 12 b 12 + a 22 b 22

a 11 b 11 + a 12 b 12 + a 21 b 21 + a 22 b 22 1 )Si calculamos < B , A > según la misma definición , resulta: traza

(B t .A)=

traza

a 11 b 11 + a 21 b 21 a 12 b 11 + a 22 b 21 a 11 b 12 + a 21 b 22 a 12 b 12 + a 22 b 22

(

b 11 b 21

a 11 a 12

b 12 b 22

a 21 a 22

=

= a 11 b 11 + a 12 b 12 + a 21 b 21 + a 22 b 22

Luego se cumple la primera condición de producto interior que < A , B > = < B , A > 2) Vemos que pasa con la segunda condición: < A , B + C >=traza (A t .(B+C))=traza ( traza

a 11 a 21

b 11 + c 11 b 12 + c 12

a 12 a 22

b 21 + c 21 b 22 + c 22

a 11 b 11 + c 11  + a 21 b 21 + c 21  a 11 b 12 + c 12  + a 21 b 22 + c 22  a 12 b 11 + c 11  + a 22 b 21 + c 21  a 12 b 12 + c 12  + a 22 b 22 + c 22 

=

=

a 11 b 11 + c 11  + a 12 b 12 + c 12  + a 21 b 21 + c 21  + a 22 b 22 + c 22  = =a 11 b 11 + a 12 b 12 + a 21 b 21 + a 22 b 22  + a 11 c 11 + a 12 c 12 + a 21 c 21 + a 22 c 22  =< A , B >+< A , C >

3) La tercera condición es: < kA , B>=< A , kB> = k.

1

traza


=traza

ka 11 b 11 + ka 21 b 21 ka 11 b 12 + ka 21 b 22 ka 12 b 11 + ka 22 b 21 ka 12 b 12 + ka 22 b 22

(

ka 11 ka 21

b 11 b 12

ka 12 ka 22

b 21 b 22



=

=

= ka 11 b 11 + ka 12 b 12 + ka 21 b 21 + ka 22 b 22 = ka 11 b 11 + a 12 b 12 + a 21 b 21 + a 22 b 22  =k. < A , B > 4) La cuarta condición es < A , A > ≥ 0 y < A , A >=0 ⇔A = 0 < A , A > = traza (

a 11 a 21

a 11 a 12

a 12 a 22

a 21 a 22

 =traza

a 211 + a 221

a 11 a 12 + a 21 a 22

a 11 a 12 + a 21 a 22

a 212 + a 222

=

a 211 + a 212 + a 221 + a 222 que por tener todos sus miembros elevados al cuadrado es siempre positiva o a lo sumo cero y solamente es cero si todos los términos son nulos lo que significa que A = 0 (es la matriz nula). Luego se cumplen todas las condiciones y es un producto interior para matrices reales de 2x2 ( en realidad sirve para matrices reales cuadradas de cualquier dimensión). OBSERVACIÓN : la definición de producto interior para matrices reales de 3x3 que figura en la página 381 del libro de Eugenio Hernández está equivocada.No así la que figura en la página 364 del mismo libro , que es similar a la utilizamos aquí.

Podemos con este producto interior tratar de determinar el complemento ortogonal del subespacio de matrices simétricas de 2x2. En este subespacio las matrices tienen la forma

a b b c

(su transpuesta es igual a la matriz

original) y para hallar el complemento ortogonal supondremos matrices de 2x2 de forma

r s t u

,

de tal forma que el producto de las mismas sea nulo. Buscamos una base del subespacio . La matriz a 0 0 0 a

1 0 0 0

+ +b

0 b b 0 0 1 1 0

0 0

+

0 c +c

0 0 0 1

a b b c

puede ser escrita como la suma de

= . Luego estas tres matrices generan el subespacio y son

linealmente independientes , por lo tanto son base del subespacio de las matrices simétricas de 2x2. Ahora la matriz

r s t u

tendrá que ser ortogonal a cada una de ellas , o sea que aplicando la

definición de producto interior

2

traza

(

(

0 1

r s

1 0

t u

traza (

1 0

r s

0 0

t u

 =traza

0 0

r s

0 1

t u

t u r s

 =traza

3

=

0 0

r = 0, traza

=s+t = 0 0 0 t u

Luego las matrices ortogonales son de la forma ortogonal tiene dimensión 1.

r s

=traza

=u = 0 0

s

−s 0

=s

0

1

−1 0

, y el complemento