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• Menny Mendoza

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´ ´ UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA de MEXICO FACULTAD INGENIER´IA

˜ PROCESAMIENTO DE SENALES

(FILTROS PASIVOS, ACTIVOS Y DIGITALES)

ˇ ˇ BOHUMIL PSENI CKA

´ DE INGENIER´IA ELECTRICA ´ DIVISION DEPARTAMENTO DE TELECOMUNICACIONES

5

6

´Indice General 1 Circuitos de dos puertas 1.1 Funciones Circuitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Funci´on de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ecuaci´on caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 19 23

2 Realizaci´ on de circuitos LRC 2.1 Polos y ceros de la impedancia Z(s) . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Realizaci´on de Z(s) mediante el m´etodo de Foster I 2.1.2 Realizaci´on Y(s) mediante el m´etodo de Foster II . 2.1.3 Realizaci´on Z(s) mediante el m´etodo de Cauer I . . 2.1.4 Realizaci´on Z(s) mediante el m´etodo de Cauer II . . 2.2 Realizaci´on de circuitos bipuertas . . . . . . . . . . . . . .

27 28 30 35 38 40 42

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3 Transformaci´ on de las plantillas.

53

4 Aproximaci´ on de las plantillas 4.1 Aproximaci´on de Butterworth . . . . . . . . . . 4.2 Aproximaci´on Chebychev . . . . . . . . . . . . . 4.3 Aproximaci´on Chebychev inverso . . . . . . . . 4.4 Aproximaci´on de Bessel . . . . . . . . . . . . . 4.5 Aproximaci´on de Cauer . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Filtro el´ıptico con el m´etodo de Rumpelt 4.5.2 Filtro el´ıptico seg´ un Darlington . . . . . 4.5.3 Filtro el´ıptico seg´ un Skwirzinski . . . . .

65 66 75 80 85 89 91 94 96

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5 Dise˜ no de los filtros mediante tablas 101 5.1 Tablas del filtro Butterworth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2 Tablas del filtro Chebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3 Tablas de filtro Chebychev inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6 Filtros pasivos RC 6.1 Filtros PRC elementales. . . . . . . . . . 6.2 Cascada de los filtros RC elementales . . 6.3 Cascada de los circuitos progresivos . . . 6.4 Cascada de los bipuertos RC con divisor 6.5 Filtro RC con la admitancia en paralelo . 7

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113 113 116 119 121 124

7 Filtros activos con amplificador. 7.1 Filtros activos de segundo orden con FTCT . 7.1.1 Filtro activo paso bajas. . . . . . . . . 7.1.2 Filtro activo paso altas. . . . . . . . . 7.1.3 Filtro activo paso banda. . . . . . . . . 7.2 Filtros activos de primer orden . . . . . . . . 7.2.1 Filtro paso altas . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Filtro paso bajas. . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Filtro paso banda. . . . . . . . . . . . 7.3 Filtros con retroalimentaci´on m´ ultiple . . . . . 7.3.1 Paso bajas. . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Paso altas. . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Paso banda. . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Filtros dise˜ nados mediante las tablas . . . . . 7.5 Filtro Butterworth paso bajas de sexto orden . 7.6 Dise˜ no de los filtros con girador . . . . . . . . 7.6.1 Girador. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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127 127 127 130 131 133 133 134 135 137 137 138 139 140 142 144 144

8 Filtros de cristal 8.1 Resonador piezoel´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Atenuaci´on del filtro en la forma cruz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Filtro paso de banda en la forma cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153 153 154 155

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9 Filtros dise˜ nados mediante acoplamiento 159 9.1 Filtros electromec´anicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10 Filtros con los capacitores conmutados. 167 10.1 Filtro SCF de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.2 An´alisis los circuitos SCF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.3 An´alisis general de los circuitos RC conmutados. . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11 Ecualizadores 189 11.1 Ecualizador de atenuaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 11.2 Ecualizador de la fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12 Clasificaci´ on de las se˜ nales y sistemas 12.1 Se˜ nales continuas . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Se˜ nales continuas y no peri´odicas 12.1.2 Se˜ nales continuas y peri´odicas . . 12.1.3 Se˜ nales discretas . . . . . . . . . 12.1.4 Se˜ nal discreta y peri´odica . . . . 12.1.5 Se˜ nal discreta y no peri´odica . . . 12.2 Sistemas discretas en el tiempo . . . . . 12.2.1 Sistema invariante en el tiempo . 12.2.2 Sistema lineal . . . . . . . . . . . 12.2.3 Sistema causal . . . . . . . . . . . 12.2.4 Sistema estable . . . . . . . . . . 8

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195 195 195 197 198 199 199 200 200 201 201 201

13 Transformada-z y la transformada z inversa 13.1 Transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Propiedades de la transformada-z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 La transformada-z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207 207 209 213

14 Correlaci´ on

217

15 Transformada discreta de Fourier 15.1 Simetr´ıa de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . 15.2 Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . 15.3 La transformada de Fourier de una se˜ nal discreta y peri´odica 15.4 Las propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 La transformada r´ apida de Fourier 16.1 El algoritmo Decimaci´on en el tiempo . . . . . . 16.2 El algoritmo Decimaci´on en la frecuencia . . . . 16.3 La respuesta a un impulso calculada mediante la 16.4 Macro para FFT N=8 . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Transformada de Fourier mediante Matlab . . .

. . . . . . FFT . . . . . .

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17 Filtros digitales con respuesta infinita 17.1 La estructura cascada de un filtro digital . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 La estructura paralela de un filtro digital . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Algoritmo matricial para la transformada bilineal . . . . . . . . . . . . 17.4 Transformaci´on de pasa bajas anal´ogico a paso bajas digital . . . . . . 17.5 Transformaci´on paso bajas a paso altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6 Transformaci´on paso bajas a paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7 Dise˜ no de los filtros desde la respuesta al Dirac . . . . . . . . . . . . . 17.8 S´ıntesis de los circuitos discretos con la ayuda de las matrices circulares 18 Filtros digitales con la respuesta finita FIR 18.1 Filtros con la respuesta finita al impulso FIR . . . . . . . . . . . . . 18.2 Dise˜ no del Filtro FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 El diferenciador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Transformador de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 La influencia de las ventanas a la respuesta del filtro . . . . . . . . 18.6 Filtros FIR obtenidos de las muestras del dominio de las frecuencias

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223 224 227 234 236

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243 245 251 260 263 268

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277 279 280 284 285 288 289 292 297

. . . . . .

301 301 306 317 318 321 325

19 Funci´ on de transferencia 329 19.1 Funci´on de transferencia de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 19.2 An´alisis de circuitos discretos en la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 20 S´ıntesis y an´ alisis de filtros digitales 341 20.1 An´alisis matrizial de los circuitos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 20.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 20.3 S´ıntesis matricial de los circuitos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 9

21 Filtros digitales de onda 21.1 Sustituci´on de L y C por el circuito discreto 21.2 Los adaptadores . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Adaptador paralelo dependiente . . . 21.2.2 Adaptador de serie dependiente . . . 21.2.3 Adaptadores elementales . . . . . . . 21.3 Ejemplos de realizaci´on . . . . . . . . . . . .

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357 357 359 359 360 361 362

22 Filtros digitales en la forma cruz 371 22.1 Filtros con la respuesta finita al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 22.2 Filtros con la respuesta infinita al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 22.3 Filtros IIR con polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 23 Filtros digitales de dos dimensiones 23.1 Dise˜ no de un filtro de paso bajas . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 An´alisis del filtro digital de dos dimensiones . . . . . . . . . . 23.3 Dise˜ no de un filtro paso bajas sim´etrico . . . . . . . . . . . . . 23.4 Dise˜ no del filtro paso altas sim´etrico . . . . . . . . . . . . . . 23.5 Dise˜ no del filtro supresor de banda . . . . . . . . . . . . . . . 23.6 Dise˜ no del filtro de paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.7 Realizaci´on de las funciones transferencias de dos dimensiones 23.8 Realizaci´on de la funci´on de transferencia mediante ampliaci´on 23.9 Estabilidad de los filtros de dos dimensiones . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

391 392 395 396 397 398 399 400 402 403

24 Efecto de cuantizaci´ on 24.1 Cuantizaci´on de los coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Cuantizaci´on de los coeficientes del filtro IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.1 Sobrefujo en los circuitos digitales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

405 409 410 412

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . matriz . . . .

Cap´ıtulo 1 Circuitos de dos puertas 1.1

Funciones Circuitales

En este cap´ıtulo trataremos la s´ıntesis de los circuitos bi-puertos sin p´erdidas que son implementados considerando inductancias y capacitancias de car´acter ideal. En este caso la estructura transversal cl´asica utilizada puede constituir un modelo apropriado para ser aplicado en otras t´ecnicas para la realizaci´on de filtros, como es el caso de los circuitos activos RC, configuraciones con capacitores de contacto y sistemas piezoel´ectricos o electromec´anicos. Originalmente, la teor´ıa cl´asica de filtros aparte de los par´ ametros imagen, de manera que se presupon´ıa un acoplamieno perfecto de bi-puerto. Los par´ametros de im´agen se utilizan cl´asicamente en la s´ıntesis de redes fasadoras, circuitos correctores RLC y en filtros resonadores de cristal. Los problemas de acoplamiento fueron originalmente resueltos por Cauer y Darlington. Un bi-puerto de car´acter general trabaja entre las impedancias de la fuente Z1 y la carga Z2 , como se ilustra en la figura 1.1

Figura 1.1: El circuito de dos puertas

Par´ ametros de cascada Aij Las ecuaciones lineales (1.1) caracterizan el circuito de dos puertas. Los par´ametros Aij se llaman los par´emetros de cascada. 11

U1 = A11 .U2 + A12 .I2 I1 = A21 .U2 + A22 .I2

(1.1)

Si en la salida el circuito est´a abierto entonces I2 = 0, por lo que A11 es la funci´on de transferencia de voltaje definida A11 =

U1 U2

(1.2)

Si en la salida el circuito est´a en corto, entonces U2 = 0, la funci´on de transferencia de coriente se define mediante la ecuaci´on (1.3) A22 =

I1 I2

(1.3)

El circuito de bi-puertas es sim´etrico si A11 = A12 y es pasico si |A| = 1. El circuito pasivo contiene solo los elementos R, L, C y transformador. Par´ ametros de impedancia Zij Si se conocen los par´ametros Zij del circuito, entonces el circuito de bi-puerto est´a definido mediante las ecuaciones U1 = Z11 .I1 + Z12 .I2 U2 = Z21 .I1 + Z22 .I2

(1.4)

El par´ametro Z11 es la impedancia de entrada del circuito si la puerta en la salida est´a abierta y Z22 es la impedancia de salida si la puerta en entrada est´a abierta. Z12 es la impedancia de transferencia si I1 = 0 y Z21 es la impedancia de transferencia si la puerta de salida est´a abierta. Z11 =

U1 I1 |I2 =0

Z12 =

U1 I1 |I1 =0

Z21 =

U2 I1 |I2 =0

Z22 =

U2 I2 |I1 =0

(1.5)

El circuito de bi-puertas es sim´etrico si Z11 = Z22 y es pasivo si contiene solo los elementos R,L,C y transformadores, y si Z12 = Z21 . 12

Par´ ametros de admitancia Yij Si se conocen los par´ametros Yij del circuito, entonces el circuito de bi-puerto est´a definido mediante las ecuaciones I1 = Y11 .U1 + Y12 .U2 I2 = Y21 .U1 + Y22 .U2

(1.6)

El par´ametro Y11 es la admitancia de entrada del circuito si la puerta en la salida est´a en corto y Y22 es la admitancia de salida si la puerta en entrada est´a en corto. Y12 es la admitancia de transferencia si U1 = 0 y Y21 es la admitancia de transferencia si U2 = 0 (la puerta de salida est´a en corto): Y11 =

I1 U1 |U2 =0

Y12 =

I1 U2 |U1 =0

Y21 =

I2 U1 |U2 =0

Y22 =

I2 U2 |U1 =0

(1.7)

El circuito de bi-puertas es sim´etrico si Y11 = Y22 y es pasivo si contiene solo los elementos R,L,C y transformadores. El circuito de bipuertas es pasivo si Y12 = Y21 . En la figura 1.2 se muestran los parametros de la matriz Y.

Figura 1.2: Los par´ametros de la matriz de admitancia

Par´ ametros de transferencia Tij Si se conocen los par´ametros de transferencia Tij del circuito de bi-puertas, los ecuaciones lineales que caracterizan el circuit en la figura 1.3 toman la forma A1 = T11 A2 + T12 B2 B1 = T21 A2 + T22 B2 13

(1.8)

Figura 1.3: El circuito de dos puertas Donde A1 es la ola que entra al circuito en la entrada, A2 es la ola que entra al circuito en la salida y B1 y B2 son las olas reflejadas en la entrada y la salida respectivamente, como se muestra en la figura 1.3. Si se conocen los par´ametros de cascada de un circuito, los par´ametros de transferencia Tij se calculan mediante la ecuaci´on 1.9 1 A12 Z1 T11 = (A11 + + Z1 A21 + A22 ) 2 Z2 Z2 1 A12 Z1 T12 = (A11 + − Z1 A21 − A22 ) 2 Z2 Z2 1 A12 Z1 + Z1 A21 − A22 ) T21 = (A11 − 2 Z2 Z2 1 A12 Z1 − Z1 A21 + A22 ) T22 = (A11 − 2 Z2 Z2

(1.9)

Par´ ametros de dispersi´ on Sij Si se conocen los par´ametros de dispersi´on Sij del circuito de bi-puertas, los ecuaciones lineales que caracterizan el circuito en la figura 1.3 toman la forma A1 = S11 B1 + S12 B2 A1 = S21 B1 + S22 B2

(1.10)

La relaci´on entre los par´ametros de despersi´on y de transferencia se definen mediante las exuaciones(1.11) S11 =

T22 T12

S12 =

|T | T12

S11 =

T22 T12

S12 =

|T | T12

(1.11)

Los ecuaciones (1.1), (1.4) y (1.6) se pueden escribir en la forma matricial: !

U1 I1

"

=

!

A11 A12 A21 A22

"

×

!

U2 I2

"

(1.12)

En el caso de las ecuaciones de cascada (1.1) el circuito es sim´etrico si A11 = A22 y pasivo si detA = 1. 14

!

U1 U2

"

!

I1 I2

"

=

!

Z11 Z12 Z21 Z22

=

!

Y11 Y12 Y21 Y22

" "

×

×

!

!

I1 I2

"

(1.13)

U1 U2

"

(1.14)

Utilizando las ecuaciones de cascada la impedancia de entrada Zin se puede expresar en la forma Zin =

A11 U2 + A12 I2 U1 = I1 A21 U2 + A22 I2

(1.15)

Considerando la ecuaci´on (1.15), la impedancia en circuito abierto I2 = 0 est´a dada por Z∞1 =

A11 A21

(1.16)

Alternativamente, la impedancia del circuito en corto U2 = 0 se puede expresar en la forma Zs1 =

A12 A22

(1.17)

De acuerdo a las expresi´ones anteriores, la impedancia Imagen (Caracter´ıstica) de entrada de la configuraci´on correspondiente a la figura 1.1 est´a dada por la ecuaci´on Z01 =

#

Z∞1 Zs1 =

$

A11 A12 A21 A22

(1.18)

La impedancia de Imagen (Caracter´ıstica) de salida Z02 se puede calcular mediante la ecuaci´on (1.19) Z02 =

#

Z∞2 Zs2 =

$

A22 A12 A21 A11

(1.19)

Ejemplo 1: Calcular la matriz de cascada A del circuito en la figura 1.4. Para el circuito en la figura 1.4 podemos escribir las siguientes ecuaciones

Figura 1.4: Circuito para el ejemplo 1

15

U1 = 1.U2 + Z.I2 I1 = 0.U2 + 1.I2 Y la la ecuaci´on matricial de cascada est´a dada por !

U1 I1

"

=

!

1 Z 0 1

"

×

!

U2 I2

"

Ejemplo 2: Calcular la matriz de cascada A del circuito en la figura 1.5. Para el circuito en la figura 1.5 podemos escribir las siguientes ecuaciones

Figura 1.5: Circuito para el ejemplo 2

U1 = 1.U2 + 0.I2 I1 = Y.U2 + 1.I2 Y la ecuaci´on matricial de cascada est´a dada por !

U1 I1

"

=

!

1 Y

0 1

"

×

!

U2 I2

"

Ejemplo 3: Calcular la matriz A de cascada del circuito en la figura 1.6, y verificar si el circuito es pasivo y sim´etrico. El circuito en la figura 1.6 es la conecci´on en cascada de los circuitos en las figuras 1.4 y 1.5. Por eso la matriz A del circuito en la figura 1.6 se obtiene como la multiplicaci´on de los matrices A1 .A2 A=

!

1 Z1 0 1

"

×

!

1 0 Y2 1

"

=

!

1 + Z 1 Y2 Z 1 Y2 1

"

A11 #= A22 , entonces el circuito no es sim´etrico y detA = 1(1 + Z1 Y2 ) − Z1 Y2 = 1 y por lo que el circuito es pasivo.

16

Figura 1.6: Circuito para el ejemplo 3 Ejemplo 4: Calcular las impedancias caracter´ısticas (imagen) del circuito en la figura 1.7. Del ejemplo anterior los Parametros Aij del circuito son

Figura 1.7: Circuito para el ejemplo 4 A11 = 1 + Z1 /Z2 = 2

A12 = Z1 = 424

A21 = 1/Z2 = 1/424

A22 = Z1 /Z2 = 1

Sustituyendo los valores del Aij en las ecuaciones (1.18) y (1.19) se obtiene Z01 =

√

√ 2.424.424 = 424 2 = 600 Ω $

424.424 424 = √ = 300 Ω 2 2 El acoplamiento perfecto se ve en la figura 1.7. En este caso no se refleja nada en las puertas de entrada y de salida. Z02 =

17

Ejemplo 5: Calcular las impedancias caracter´ısticas (imagen) del circuito en la figura 1.8. Primeramente calculamos los par´ametros Aij

Figura 1.8: Circuito para el ejemplo 5

A11 = 1 +

199 R1 =1+ = 1.247 = A22 R2 804

1 R12 = 2.199 + 1992 = 1.4725 R2 804 1 1 = = = 1.24378.10−3 R2 804

A12 = 2R1 + A21

Las impedancias de im´agen se obtienen si se sustituye Aij en (1.18) y (1.19) Z01 = Z02 =

$

447, 5 = 599, 657 Ω 1, 24378.10−3

Ejemplo 6: Calcular los par´ametros de transferencia para el circuito en la figura 21.14

Figura 1.9: El filtro paso bajas

18

Primero se calcula los par´ametros de la matriz A A=

!

1 s 0 1

"!

1 0 2s 1

"!

1 s 0 1

"

=

!

1 + 2s2 2s + 2s3 2s 1 + 2s

"

Sustituyendo en las ecuaciones 1.9 se obtiene T11 T12 T21 T22

= s3 + 2s2 + 2s + 1 = s3 = −s3 = −s3 + 2s2 − 2s + 1

Ejemplo 7: Calcular los par´ametros de dispersi´on del circuito en la figura 1.10.

Figura 1.10: El filtro paso bajas Primero se calculan los par´ametros de cascada Aij i,j=1,2. Despu´es se calculan los par´ametros de transferencia Tij i,j=1,2. Si se utilizan las ecuaciones 1.11 se obtiene el resultado

1.2

S11 =

s3 +2s2 +2s+1 s3

S12 =

1 s3

S21 =

−1 s3

S22 =

−s3 +2s2 −2s+1 s3

= =

=

G(s) φ(s)

1 φ(s) −1 φ(s)

=

G(−s) φ(s)

Funci´ on de transferencia

La funci´on de transferencia de manejo se define mediante la relaci´on Gm =

$

19

U0 I0 U2 I2

(1.20)

Figura 1.11: Circuitos que definen la funci´on de transferencia de manejo

Figura 1.12: Circuito que define la funci´on de transferencia de espejo Los voltajes U0 , U2 y las corientes I0 , I2 est´an representadas en la figura 1.11. La ecuaci´on (1.20) y el circuito en la figura 1.11 definen la funci´on de transferencia de manejo. La funci´on de transferencia de manejo es la ra´ız cuadrada de la potencia que el generador con la impedancia Z0 suministra a la misma impedancia Z0 , entre la potencia que el mismo generador suministra a la salida del circuito acoplado con la impedancia Z2 . La funci´on de transferencia de espejo (caracter´ıstica) se define mediante la relaci´on G0 =

$

U1 I1 U2 I2

(1.21)

Los voltajes U1 , U2 y las corientes I1 , I2 est´an representadas en la figura 1.12 En este caso la entrada y la salida del circuito est´an perfectamente acopladas y en la entrada como en la salida no se refleja nada. La ecuaci´on (1.21) y el circuito en la figura 1.12 definen la funci´on de transferencia de espejo. La funci´on de transferencia de espejo es la 2da ra´ız de potencia en la entrada entre la potencia de salida de un circuito bien acoplado. De la figura 1.11 se pueden escribir las siguientes ecuaciones U2 = Z2 I2 Z0 + Z 1 1 E = I1 = (Z0 I1 + U1 ) 2 2 2 Si se expresa el voltaje y el coriente usando las ecuaciones de cascada U0 =

20

(1.22) (1.23)

U1 = A11 U2 + A12 I2 I1 = A21 U2 + A22 I2

(1.24)

sustituyendo en las ecuaciones (1.22) y (1.23) se obtiene %

&

A12 Z0 1 U2 + A21 Z0 + A22 U0 = A11 + 2 Z2 Z2 %

&

U0 Z2 A12 Z0 I0 = = + A21 Z0 + A22 A11 + I2 Z0 2Z0 Z2 Z2

(1.25)

La ecuaci´on (1.25) se puede escribir en la forma %

1 A12 Z0 U0 = + A21 Z0 + A22 A11 + U2 2 Z2 Z2 %

&

U0 Z2 A12 Z0 I0 A11 + = = + A21 Z0 + A22 I2 Z0 2Z0 Z2 Z2

&

(1.26)

La funci´on de transferencia de manejo expresada mediante los par´ametros de cascada y las impedancias de entrada y de salida toma la forma Gm =

$

U0 I0 1 = U2 I2 2

!$

$

# Z2 Z0 A12 + A21 Z0 Z2 + A22 A11 + √ Z0 Z2 Z0 Z 2

"

(1.27)

Para el circuito normalizado Z0 = Z2 = 1 la funci´on de transferencia (1.27) toma la forma Gm =

1 [A11 + A12 + A21 + A22 ] 2

(1.28)

Ejemplo 6: Calcular la atenuaci´on del circuito en la figura 1.13. Primeramente calculamos las impedancias de espejo Z01 y Z02 .

Figura 1.13: Circuito para el ejemplo 6

Z01 =

√

2.424.424 = 600Ω 21

$

Z02 =

424

424 = 300Ω 2

Tanto en la entrada como en la salida el circuito no est´a bien acoplado. Por eso en las puertas de entrada y salida se reflejan las olas de corriente y de voltaje. Ahora se calculan los elementos de la matriz de cascada Aij A=

!

1 424 0 1

"

×

!

1

0 1

1 424

"

=

!

2 1 424

424 1

"

Si se sustituyen los par´ametros Aij , Z2 y Z0 en la ecuaci´on (1.27) se obtiene  $

1 150 424 G = 2 + +√ 2 300 150.300

√

150.300 + 424

$



300  = 2.663 150

a = 20.log(2, 663) = 8.506 dB Ejemplo 7: Calcular la atenuaci´on en dB del ejemplo anterior, si las puertas est´an bien acopladas, si Z0 = 600 Ω y Z2 = 300 Ω. En este caso en las puertas no se refleja nada, porque las puerta est´an bien acopladas. Entonces se calcula la atenuaci´on caracter´ıstica.  $

300 424 1 + +√ G = 2 2 600 600.300

√

600.300 + 424

$



600  = 2, 414 300

a = 20.log(2, 414) = 7, 65 dB El mismo resultado se obtiene si se utiliza la ecuaci´on para calcular atenuaci´on de los circuitos perfectamente acoplados (1.29) G0 =

G0 =

√

#

A11 .A22 +

2.1 +

$

424.

#

A12 .A21

(1.29)

1 = 2.414 424

a = 20.log(2, 414) = 7, 65 dB La atenuaci´on se puede calcular tambien mediante la ecuaci´on (1.30). De la ecuaci´on (1.30) el primer t´ermino es la funci´on de transferencia de espejo, el segundo y tercero t´ermino son las funciones de reflexi´on en las puertas de entrada y de salida. Si Z0 = Z01 , no se refleja en la puerta de entrada nada. Si Z2 = Z02 no se refleja en la puerta de salida nada. Si Z0 = Z01 y Z2 = Z02 la funci´on de transferencia de manejo es igual a funci´on de transferencia de espejo. Los t´erminos sexto y s´eptimo se llaman el coeficiente de contacto. !

Z0 − Z01 Z2 − Z02 1 Z0 + Z01 Z2 + Z02 √ 1− Gm (p) = G0 √ Z0 + Z01 Z2 + Z02 G20 2 Z0 Z01 2 Z2 Z02 22

"

(1.30)

Figura 1.14: Circuito para el ejemplo 8 Ejemplo 8: Calcular mediante la ecuaci´on (1.30) la atenuaci´on del circuito en la figura 1.14. Primera1 mente se calcula la funci´on de transferencia de espejo G0 para A11 = 2, A12 = 424, A21 = 424 y A22 = 1 √

$

1 = 2.414 424 Utilizando la ecuaci´on (1.30) sustituyendo por Z0 = 300, Z01 = 600, Z02 = 300, Z0 = 150 y Z2 = 150 se obtiene G0 =

2.1 +

424

%

&

300 − 600 150 − 300 1 300 + 600 150 + 300 √ Gm = 2.414 √ = 2.663 1− 300 + 600 150 + 300 2.4142 2 300.600 2 150.300 a = 20.log(2, 663) = 8.506 dB Obtuvimos el mismo resultado del ejemplo 6.

1.3

Ecuaci´ on caracter´ıstica

De las ecuaciones de cascada (1.1), si la impedancia Z2 = 1, se pueden escribir las siguientes ecuaciones U1 = A11 + A12 U2 I1 N (s) = = A21 + A22 I2 La funci´on de transferencia G(p) se puede escribir en la forma Q(s) =

1 [Q(s) + N (s)] 2 Si se escribe la ecuaci´on caracter´ıstica (1.33), G(s) =

G(s)G(−s) = 1 + ϕ(s)ϕ(−s) 23

(1.31)

(1.32)

(1.33)

se puede calcular la funci´on caracter´ıstica ϕ(s) 1 [Q(s) − N (s)] 2 Si se suman y restan las ecuaciones (1.32) y (1.34) se obtiene ϕ(s) =

(1.34)

U1 U2 I1 G(s) − ϕ(s) = Q(s) = I2 Si se dividen estas dos ecuaciones se obtiene para Z2 = 1, U2 = I2 G(s) + ϕ(s) = Q(s) =

Z1 =

(1.35)

U1 I2 G(s) + ϕ(s) = I1 U2 G(s) − ϕ(s)

(1.36)

Z1 es la impedancia de entrada de un bi-puerto si la impedancia en la salida es Z2 = 1 como se ve en la figura 1.15

Figura 1.15: La impedancia del circuito definida mediante G(p) Ejemplo 9: Calcular G(s) ϕ(s) y Z1 (s) del circuito en la figura 1.16

Figura 1.16: El circuito LC para el ejemplo 9 Primeramente se calculan los par´ametros de la matriz de cascada Aj A=

!

1 s 0 1

"

×

!

1 0 2s 1

"

×

!

1 s 0 1

La funci´on de transferencia toma la forma 24

"

=

!

1 + 2s2 2s + 2s3 2s 1 + 2s2

"

, 1+ 1 + 2s2 + 2s + 2s3 + 2s + 1 + 2s2 = s3 + 2s2 + 2s + 1 2 La funci´on caracter´ıstica toma la forma

G(s) =

, 1+ 1 + 2s2 + 2s + 2s3 − 2s − 1 − 2s2 = s3 2 La impedancia de entrada del circuito en la figura 1.16 es

ϕ(s) =

Z1 =

2s3 + 2s2 + 2s + 1 2s2 + 2s + 1

Ejemplo 10: Calcular la impedancia Car´acteristica Z01 del circuito en la figura 1.17 para la frecuencia ω = 0, ω = 1 y ω > 1.

Figura 1.17: El circuito LC para el ejemplo 10. Los par´ametros de cascada tienen la forma A11 = A22 = 1 + 2s2 A12 = 2s + 2s3 A21 = s3 La impedancia car´acteristica Z01 toma la forma Z01 = Para ω=0

Z01 = 1

Para ω=1

Z01 = 0

Para ω > 1

Z01 =

√

$

A11 Z12 √ = 1 + s2 A21 A22

1 − ω2

Del resultado obtenido se ve, que la impedancia car´acteristica Z01 es real en el rango de las frecuencias angular desde 0 hasta 1 [rad/sec]. Entonces el circuito se puede terminar en las puertas con el resistor. En este rango de las frecuencias es la banda de paso. Para las frecuencias angular mayores 1 [rad/sec] la impedancia car´acteristica Z01 tiene el car´acter de inductancia y en caso si el circuito se termina con el resistor se obtienen en la entrada y salida los reflecciones. La gr´afica de la impedancia car´acteristica se muestra en la figura 1.18. 25

Figura 1.18: El circuito LC para el ejemplo 10. Ejemplo 11: Calcular la funci´on de transferencia G(s), ϕ(s) y ZE del circuito en la figura 1.19.

Figura 1.19: El circuito LC para el ejemplo 11. G(s) = s4 + 2.613s3 + 3.414s2 + 2.613s + 1 ϕ(s) = s4 ZE =

2s4 + 2.613s3 + 3.414s2 + 2.613s + 1 2.613s3 + 3.414s2 + 2.613s + 1

Ejemplo 12: Calcular la funci´on de transferencia G(s) del circuito en la figura 1.20.

Figura 1.20: El circuito LC para el ejemplo 11. G(s) = s5 + 3.236s4 + 5.263s3 + 5.263s2 + 3.236s + 1

26

Cap´ıtulo 2 Realizaci´ on de circuitos LRC En este cap´ıtulo trataremos de realizar los circuitos de una puerta si se conoce la impedancia del circuito LC, LR ´o RC. Existen los m´etodos de Cauer y de Foster. La realizaci´on de Cauer utiliza circuitos de cadena y en el m´etodo de Foster circuitos b´asicos se conectan en serie o en paralelo (depende si se realiza la impedancia o la admitancia del circuito). La impedancia del circito se representa como la funci´on de la relaci´on de dos polinomios. Z(s) =

a0 + a1 s + a2 s2 + a3 s3 + ... + an sn b0 + b1 s + b2 s2 + b3 s3 + ... + bn sn

(2.1)

La impedancia del circuito Z(s) en la ecuaci´on (2.1) se puede desarrollar en la forma de quebrado, ecuaci´on (2.2). Este tipo de realizaci´on se llama la realizaci´on de Cauer. Z(s) = Z0 +

1 Y1 +

1 Z2 + Y1

(2.2)

3

La ecuaci´on (2.2) se realiza mediante el circuito en la figura 2.1. Si la impedancia Z(s) se desarrolla como suma los quebrados parciales (2.3) se obtiene el circuito que se muestra en la figura 2.2, que es el caso del circuito RC realizado con el m´etodo de Foster.

Figura 2.1: Circuito en la forma de escalera (Cauer) Si la impedancia Z(s) se desarrolla como suma de los quebrados parciales (2.3) se obtiene el circuito que se muestra en la figura 2.2, que es el caso del circuito RC realizado con el m´etode de Foster. 27

Z(s) =

k 1 Ai + R0 + sc0 i=1 s + ωi

(2.3)

Figura 2.2: Circuito RC en la forma de Foster I

2.1

Polos y ceros de la impedancia Z(s)

Polos y ceros del circuito LC.

Figura 2.3: Ubicaci´on de los polos y ceros de la impedancia Z(s)LC Los polos y ceros de la impedancia LC est´an ubicados en el eje imaginario. Los polos se alternan con los ceros. En el origen del plano Z(s) debe estar un polo o un cero. Tambi´en en el infinito del plano Z(s) est´a un polo o un cero. Las cuatro posibilidades de ubicaci´on de polos y ceros se muestran en la figura 2.3. Polos y ceros del circuito RC. Los polos y ceros de la impedancia RC est´an ubicados en el eje real y en la parte izquierda del plano Z(s). Los polos se alternan con los ceros. En origen del plano Z(s) o cerca del origen debe estar un polo. Las dos posibilidades de ubicaci´on de polos y ceros para el circuito RC se muestran en la figura 2.4. 28

Figura 2.4: Los polos y ceros de la impedancia RC Polos y ceros del circuito LR. Los polos y ceros de la impedancia LR est´an ubicados en el eje real y en la parte izquierda del plano Z(s). Los polos se alternan con los ceros. En el origen del plano Z(s) o cerca del origen debe estar un cero. Las dos posibilidades de ubicaci´on de polos y ceros para el circuito LR se muestran en la figura 2.5.

Figura 2.5: Los polos y ceros de la impedancia LR Ejemplo 1. Dibujar la ubicaci´on de los ceros y polos del circuito que se muestra en la figura 2.6a. La ubicacio´on de los polos y ceros del circuito en la figura 2.6a se muestra en la figura 2.6b. La impedancia Z(s) es igual a cero para ω = 0 y por eso en el origen existe un cero. La impedancia Z(s) es igual a ∞ para la frecuencia de resonancia del circuito paralelo y por eso sigue un polo. Para la frecuencia ω = ∞ la impedancia del circuito es infinita y por eso en ω = ∞ tenemos un polo. El segundo cero en la figura 2.6 pertenece a la frecuencia de resonancia del circuito serie.

29

Figura 2.6: Circuito LC y la ubicaci´on de los ceros y polos en el plano Z(p) Ejemplo 2. Dibujar la ubicaci´on de los ceros y polos del circuito que se muestra en la figura 2.7a. La ubicaci´on de los polos y ceros del circuito en la figura 2.7a se muestra en la figura 2.7b. La impedancia Z(s) es igual a ∞ para ω = 0 y por eso en el origen hay un polo. La impedancia Z(s) es igual a cero para la frecuencia de resonancia serie del circuito y por eso sigue un cero. Para la frecuencia ω = ∞ la impedancia del circuito es cero y por eso en ω = ∞ tenemos un cero. El polo en la figura 2.7 b) partenece a la frecuencia de resonancia paralela.

Figura 2.7: Circuito LC y la ubicaci´on de los polos y ceros en el plano Z(p)

2.1.1

Realizaci´ on de Z(s) mediante el m´ etodo de Foster I

Impedancias LC La impedancia del circuito LC en la ecuaci´on (2.4) Z(p) = sL0 +

k 1 sA1 + 2 sC0 i=0 s + ωi2

donde Ai =

1 Ci

ωi2 = 30

1 Li Ci

(2.4)

se realiza mediante el circuito en la forma de Foster que se muestra en la figura 2.8

Figura 2.8: Circuito LC en la forma Foster I

Ejemplo 3. Mediante el m´etodo Foster realizar la impedancia s4 + 4s2 + 3 Z(s) = s3 + 2s El numerador es un polinomio de grado par y el denominador es un polinomio de grado impar. La impedancia puede ser la impedancia de un circuito LC. Esta ecuaci´on se puede escribir en la forma Z(s) =

(s2 + 1)(s2 + 3) s(s2 + 2)

Los ceros y los polos est´an en el eje imaginario. En ω = 0 est´a un polo y en ω = ∞ la impedancia de Z(s) es infinita, entonces√en ω = ∞ hay un polo etc. El polo est´a en √ ω = ±j 2 y los ceros en ω = ±j y ω = ±j 3. La ubicaci´on de los polos y ceros se muestra en la figura 2.9a. La ecuaci´on anterior se puede desarrollar en fracciones parciales

Figura 2.9: ubicaci´on de los polos y ceros de Z(s)LC 31

Z(s) =

(s2 + 1)(s2 + 3) A Bs = + 2 + C.s 2 s(s + 2) s s +2

Para realizar la impedancia con un circuito es necesario calcular los coeficientes A, B y C. A=

(s2 + 1)(s2 + 3) 3 |s=0 = 2 (s + 2) 2

B=

(s2 + 1)(s2 + 3) 1 |s=−2 = 2 s 2

C=

(s2 + 1)(s2 + 3) |s=∞ = 1 (s2 + 2)s2

Sustituyendo por A, B y C, Z(s) toma la forma Z(s) =

3 1 s (s2 + 1)(s3 + 1) 2 2 = + +s 2 2 s(s + 2) s s +2

La realizaci´on de esta ecuaci´on se muestra en la figura 2.9b Impedancias RC La impedancia del circuito RC en la ecuaci´on (2.5) Z(s) = R0 +

k 1 Ai + sC0 i=0 s + ωi

donde Ai =

1 Ci

ωi =

1 Ci Ri

se realiza mediante el circuito en la forma de Foster que se muestra en la figura 2.10

Figura 2.10: Circuito RC en la forma de Foster I Ejemplo 4. Mediante el m´etodo de Foster realizar la impedancia 32

(2.5)

s+2 s2 + 4s + 3 En el numerador y en el denominador hay polinomios. En estos polinomios no falta ninguna potencia de s y por eso el circuito puede ser LR o RC. Esta ecuaci´on se puede escribir de la forma Z(s) =

(s + 2) (s + 1)(s + 3) Cerca del origen hay un polo y por eso la impedancia Z(s) es la impedancia de un circuito RC. Los polos se alternan con los ceros. La ubicaci´on de los polos y ceros se muestra en la figura 2.11 a). Z(s) =

Figura 2.11: La ubicaci´on de los polos y ceros de Z(s)RC La ecuaci´on anterior se puede desarrollar de la forma A B C (s + 2) = R0 + + + (s + 1)(s + 3) s s + 1 (s + 3) Para realizar la impedancia con un circuito es necesario calcular los coeficientes A, B, C y R0 . Z(s) =

A=

s(s + 2) |s=0 = 0 (s + 1)(s + 3)

R0 =

(s + 2) |s=∞ = 0 (s + 1)(s + 3)

B=

(s + 2) 1 |s=−1 = (s + 3) 2

(s + 2) 1 |s=−3 = (s + 1) 2 Sustituyendo por A, B, R0 y C, Z(s) toma la forma C=

1 1 (s + 2) = + (s + 1)(s + 3) 2s + 2 2s + 6 La realizaci´on de esta ecuaci´on se muestra en la figura 2.11b. Z(s) =

33

Impedancias LR La impedancia del circuito LR en la ecuaci´on (2.6) Z(s) = R0 + sL0 +

k sAi i=0

donde

s + ωi

(2.6)

1 1 ωi2 = Ri Li Ri se realiza mediante el circuito de la forma de Foster I que se muestra en la figura 2.12 Ai =

Figura 2.12: Circuito RL en la forma Foster I Ejemplo 5. Mediante el m´etodo de Foster realizar la impedancia s2 + 2s Z(s) = 2 s + 4s + 3 En el numerador y denominador hay polinomios. En estos polinomios no falta ninguna potencia de s y por eso el circuito puede ser LR o RC. Esta ecuaci´on se puede escribir en la forma Z(s) =

s(s + 2) (s + 1)(s + 3)

Cerca de origen hay un cero y por eso la impedancia Z(s) es la impedancia de un circuito LR. Los polos se alternan con los ceros. La ubicaci´on de los polos y ceros se muestra en la figura 2.13a. La ecuaci´on anterior se puede desarrollar en la forma Z(s) =

As Bs s(s + 2) = R0 + sL0 + + (s + 1)(s + 3) s + 1 (s + 3)

Para realizar la impedancia con un circuito es necesario calcular los coeficientes R0 , L0 , A y B. R0 =

s(s + 2) |s=0 = 0 (s + 1)(s + 3)

L0 =

(s + 2) |s=∞ = 0 (s + 1)(s + 3) 34

Figura 2.13: La ubicaci´on de los polos y ceros de Z(s) en el ejemplo 4

A=

1 (s + 2) |s=−1 = (s + 3) 2

C=

(s + 2) 1 |s=−3 = (s + 1) 2

Sustituyendo por A, B, R0 y L0 , la Z(s) toma la forma Z(s) =

1 s(s + 2) = (s + 1)(s + 3) 2+

2 s

+

1 2+

6 s

La realizaci´on de esta ecuaci´on se muestra en la figura 2.13b.

2.1.2

Realizaci´ on Y(s) mediante el m´ etodo de Foster II

Admitancias LC La admitancia del circuito LC en la ecuaci´on (2.7) k 1 Ai s Y (s) = sC0 + + 2 sL0 i=0 s + ωi2

(2.7)

se realiza mediante el circuito en la forma de Foster II que se muestra en la figura 2.14

Figura 2.14: Circuito LC en la forma Foster II 35

Ejemplo 6. Mediante el m´etodo Foster II realizar la admitancia s3 + 2s s4 + 5s2 + 4 En el numerador hay un polinomio de grado impar y en el denominador hay un polinomio de grado par, y por eso el circuito puede ser LC, depende si los polos alternan con los ceros. Esta ecuaci´on se puede escribir en la forma Y (s) =

s(s2 + 2) (s2 + 1)(s2 + 4) Los polos y ceros est´an ubicados en el eje imaginario y se alternan; por eso esta admitancia es de un circuito LC. La ubicaci´on de los polos y ceros se muestra en la figura 2.15a. La ecuaci´on anterior se puede desarrollar en la forma Y (s) =

Figura 2.15: Ubicaci´on de los polos y ceros de Z(s)LC s(s2 + 2) 1 As B = sC0 + + 2 + 2 2 2 (s + 1)(s + 4) sL0 s + 1 (s + 4) Para realizar la admitancia con un circuito es necesario calcular los valores C0 , L0 , A, y B. Y (s) =

C=

(s2 + 2) |s=∞ = 0 (s2 + 1)(s2 + 4)

s(s2 + 2) 1 = 2 |s=0 = 1 L0 (s + 1)(s2 + 4) 1 (s2 + 2) |s=−1 = A= 2 (s + 1) 3 (s2 + 2) 2 |s2 =−4 = 2 (s + 1) 3 Sustituyendo por A, B, L0 y C0 la admitancia Y(s) toma la forma B=

1 2 1 s(s2 + 2) 3 3 = + + (s2 + 1)(s2 + 4) s s2 + 1 s2 + 4 La realizaci´on de esta ecuaci´on se muestra en la figura 2.15b.

Y (s) =

36

Admitancias RC La admitancia del circuito RC en la figura 2.16 se puede expresar mediante la ecuaci´on (2.8) k Ai s 1 + sC0 + Y (s) = R0 i=0 s + ωi

(2.8)

y se realiza mediante el circuito de la forma de Foster que se muestra en la figura 2.14

Figura 2.16: Circuito LC en la forma de Foster II

Ejemplo 7. Mediante el m´etodo Foster II realizar la admitancia s3 + 3s s2 + 5s + 4 La admitancia tiene en el origen un cero, los polos se alternan con los ceros y por eso la admitancia tiene car´acter del circuito RC. Esta ecuaci´on se puede escribir en la forma Y (s) =

Y (s) =

s(s + 3) (s + 1)(s + 4)

Los polos y ceros est´an ubicados en el eje real, como se ve en la figura 2.17a. La ecuaci´on anterior se puede desarrollar en la forma Y (s) =

1 As Bs s(s + 3) = + sC0 + + (s + 1)(s + 4) R0 s+1 s+4

Para realizar Y(s) con un circuito es necesario calcular los valores R0 , C0 , A, y B. 1 s(s + 3) = |s=0 = 0 R0 (s + 1)(s + 4) C0 =

(s + 3) |s=∞ = 0 (s + 1)(s + 4)

A=

(s + 3) 2 |s=−1 = (s + 4) 3 37

Figura 2.17: La ubicaci´on de los polos y ceros de Z(s)RC

B=

1 (s + 3) |s=−4 = (s + 1) 3

Sustituyendo por A, B, R0 y C0 , la admitancia Y(s) toma la forma y la realizaci´on de esta ecuaci´on se muestra en la figura 2.17b. 2s s s(s + 3) 3 3 = + Y (s) = (s + 1)(s + 4) s+1 s+4

2.1.3

Realizaci´ on Z(s) mediante el m´ etodo de Cauer I

Ejemplo 8: Realizar mediante el m´etodo de Cauer I la impedancia Z(s) =

s2 + 2s s+1

Es necesario desarrollar la impedancia Z(s) en quebrado de escalera. Como el cero est´a en el origen, el circuito es de la forma RL. Como la impedancia Z(s) se desarrolla en el quebrado de escalera se ve en la figura 2.18. La impedancia Z(s) toma la forma.

Figura 2.18: Circuito LR en la forma escalera (Cauer I) 38

Z(s) =

s2 + 2s 1 =s+ s+1 1+

1 s

Este quebrado de escalera se realiza mediante la forma que se muestra en la figura 2.18 Ejemplo 9: Realizar mediante el m´etodo de Cauer la impedancia Z(s) =

s4 + 5s2 + 4 s3 + 3s

Es necesario desarrollar la impedancia Z(s) en quebrado de escalera. Los ceros y los polos est´an en el eje imaginaro y se alternan. El circuito tiene inductancias y capacitores. Se desarrolla la impedancia Z(s) en el quebrado de escalera como se puede ver en la figura 2.19 Z(s) desarrollada en el quebrado de escalera toma la forma:

Figura 2.19: Circuito LC en la forma escalera (Cauer I)

Z(s) =

s4 + 5s2 + 4 =s+ s3 + 3s

1 s 2

+

1 2s+

1 s 4

Este quebrado de escalera se realiza mediante la forma escalera que se muestra en la figura 2.19 Ejemplo 10: Realizar mediante el m´etodo de Cauer la impedancia Z(s) =

s2 + 4s + 3 s2 + 6s + 8

Es necesario desarrollar en quebrado de escalera la impedancia Z(s). Los ceros y los polos est´an en el eje real y se alternan. Cerca de origen est´a un cero. Entonces el circuito contiene resistencias y capacitores. Si se desarrolla la impedancia Z(s) en el quebrado de escalera como se puede ver en la figura 2.20. Z(s) toma la forma: 39

Figura 2.20: Circuito RC en la forma escalera (Cauer)

Z(s) =

1 s2 +6s+8 s2 +4s+3

=

1 1+

1

s 1 +4 1 2 3 + 3s + 1 2 1 3

Este quebrado de escalera se realiza mediante el circuito que se muestra en la figura 2.20

2.1.4

Realizaci´ on Z(s) mediante el m´ etodo de Cauer II

Ejemplo 11: Realizar mediante el m´etodo de Cauer II la impedancia Z(s) =

3 + 4s + s2 8 + 6s + s2

Es necesario desarrollar en quebrado de escalera la impedancia Z(s), pero antes es necesario reordenar los polinomios en el numerador y denominador en la forma ascendente. Los ceros y los polos est´an en el eje real y se alternan. Cerca del origen est´a un cero. Entonces el circuito va a tener resistores y capacitores. Se desarrolla la impedancia Z(s) en el quebrado de escalera.

Figura 2.21: Circuito LR en la forma escalera (Cauer) 40

Z(s) =

3 3 + 4s + s2 = + 2 8 + 6s + s 8 1+

1 8.4 7s

+

1

7.7 + 44.221 1 22.4 3.7s + 3 44

Este quebrado de escalera se realiza mediante el circuito en la forma escalera que se muestra en la figura 2.21. Ejemplo 12: Calcular la impedancia Z(s) y realizarla por el m´etodo de Cauer, si se conoce la parte real y la parte imaginaria de la impedancia de un cable que se muestra en la figura 2.22. La impedancia de primer orden se puede escribir en la forma: Z(s) =

a0 + a1 s b0 + b1 s

Si se divide el numerador y el denominador entre b0 se obtiene la ecuaci´on (2.9) Z(s) =

a0 b0

+

1+

a1 s b0 b1 s b0

=

A 0 + A1 s 1 + B1 s

(2.9)

La impedancia se puede desarrollar en parte real e imaginaria Z(jω) = X + jY =

A0 + jωA1 1 + jωB1

Si se multiplica la ecuaci´on anterior por (1 + jωB1 ) se obtiene X + jωXB1 + jY − ωB1 = A0 + jωA1 si se comparan las partes imaginarias y reales se obtiene X − ωY B1 = A0 ωXB1 + Y = ωA1

(2.10)

En el ejemplo de la figura 2.22, para ω1 = 6000, la parte real de la impedancia es X1 = 400 y la parte imaginaria Y1 = −300. Para ω = ∞ tenemos X2 = 100 y Y2 = 0. Si se sustituyen los valores en las ecuaciones 2.10 se obtiene 400 + 6000.300.B1 = A0 6000.400.B1 − 300 = 6000.B1 100.B1 = A1 Estas ecuaciones podemos escribirlas en la forma matricial 











1 0 −18.105 A0 400      3 5   0 6.10 −24.10  ×  A1  =  −300  0 1 −102 B1 0

De esta ecuaci´on matricial se pueden calcular los valores de A0 , A1 y B1 41

Figura 2.22: La parte real e imaginaria del Z(s) 





−1

A0 1 0 −18.105     3  A1  =  0 6.10 −24.105  0 1 −102 B1

Los coeficientes de la impedancia Z(s) (2.9) son A0 = 700









400 700     ×  −300  =  0.01666  0 1.6666.10−4

A1 = 0, 0166666

B1 = 1, 66666.10−4

y la impedancia Z(s) =

700 + 0, 016666s 1 + 1, 6666.10−4 s

El cero s0 y el polo s∞ tienen los valores: s0 = − s∞ = −

700 = −42000, 168 0.0166

1 = −6000.024 1, 6666.10−4

Z(s) es una impedancia del circuito RC, porque un polo est´a cerca del origen. Si la impedancia Z(s) se desarrolla en el quebrado de escalera se obtiene Z(s) = 99, 639 +

1 5, 042.10−7 s +

1 600

El circuito se observa en la figura 2.23

2.2

Realizaci´ on de circuitos bipuertas

Para realizar el circuito de dos puertas necesitamos conocer dos par´ametros, para el caso de un circuito pasivo y sim´etrico, por ejemplo Z11 y Z12 o Y11 y Y12 . De la impedancia Z11 o admitancia Y22 podemos ver, si la impedancia del bi-puerto es la impedancia del circuito RL, LC o RC. El procedimiento de la realizaci´on es el siguiente. Primeramente para el circuito en la figura 2.24 es necesario escribir las ecuaciones siguientes: 42

Figura 2.23: Circuito LC en la forma escalera (Cauer)

Figura 2.24: Circuito para realizar los parametros Zij

Z0 = Z11 − Z1 1 1 = Y0 − 1 Z11 Z2

(2.11)

La impedancia Z11 se conoce y la queremos desarrollar en un circuito. No se conoce la impedancia Z1 , pero se puede calcular. Si por ejemplo Z2 es el circuito serial, su impedancia es igual a cero para la frecuencia de resonancia serial fres.serial . Eso significa, que en lugar de Z2 tenemos un corto circuito y se puede escribir la ecuaci´on Z1 = Z11 |f =f res.serial

(2.12)

En el caso de que el circuito empieze con la admitancia Y1 , como se ve en la figura 2.25 se pueden escribir las ecuaciones siguientes:

Figura 2.25: Circuito para realizar los parametros Yij 43

Y0 = Y22 − Y1 Z0 = Z2 +

1 Y221

(2.13)

La admitancia Y11 se conoce y la queremos desarrollar en un circuito. No se conoce la admitancia Y1 , pero se puede calcular. Si por ejemplo Z2 es un circuito en paralelo, su impedancia es igual a infinito para la frecuencia de resonancia paralela fres.paralela . Eso significa, que en lugar de Z2 tenemos un circuito abierto y se puede escribir la ecuaci´on Y1 = Y22 |f =f res.paralela

(2.14)

Los valores ω1 , ω2 , ... son las frecuencias de resonancia y se obtienen de la impedancia de transferencia Z12 o Y12 , en la ecuaci´on (2.15). Z12 =

(s2 + ω1 )(s2 + ω2 ).... a0 + a1 s + a2 s2 + ...

(2.15)

En los siguientes ejemplos se muestra como se realizan los circuitos de bipuertos.

Ejemplo 13: Realizar el circuito si se conocen las admitancias Y22 y Y21 Y21 =

Y22 =

s2 + 1 6s3 + 3s

12s4 + 12s2 + 1 6s3 + 3s

Los denominadores de los Y21 y Y22 son iguales. Entonces si se realiza el denominador Y22 tambien se realiza el denominador de parametro Y21 . Los ceros del par´ametro Y21 son en s2 = −1 y en s = ∞ y no coinciden con los ceros del par´ametro Y22 . Si queremos realizar el par´ametro Y22 se necesita realizarlo de tal manera que tengamos en el circuito los ceros de Y21 . Los ceros del Y21 son distintos de los ceros Y22 . Los ceros de Y21 expresan la atenuaci´on infinita del circuito. Eso significa, que no se transfiere nada desde la entrada a la salida. Primeramente vamos a realizar el polo de la atenuaci´on (cero de la Y21 ) en p = ∞ y despues en s2 = −1. El polo en ∞ se realiza mediante la realizaci´on Cauer I. La realizaci´on parcial se muestra en el circuito en la figura 2.26 Y22 =

1 12s4 + 12s2 + 1 = 2s + 6s3 + 3s s + 6s21+1 2s

Del circuito en la figura 2.26 se puede ver, que para ω = ∞ la atenuaci´on es infinita y esto significa que la transferencia es igual a cero, como se ve en la ecuaci´on (2.16). Y21

s2 + 1 |s=∞ = 0 = 3 6s + 3s 44

(2.16)

Figura 2.26: Circuito de dos puertas para realizar los par´ametros Yij

Figura 2.27: Circuito para realizar el cero de Y21 en ω = 1 Con el circuito en la figura 2.26 se realiz´o el primer cero en s = ∞. Ahora tenemos que realizar el cero de la admitancia de trasferencia Y21 en s = ±j, ω = ±1. El cero en ω = ±1 se realiza mediante el circuito de la figura 2.27. Y1 = Y221 |s2 =−1 =

5 6s2 + 1 =s 2s 2

Entonces la admitancia Y1 es el capacitor con el valor cinco medios, C1 = 52 . La realizaci´on parcial est´a se muestra en la figura 2.28. Ahora es necesario calcular la admitancia Y0 .

Figura 2.28: Circuito parcial que realiza las admitancias Y22 y Y21 6s2 + 1 5s s2 + 1 Y0 = − = 2s 2 2s Z0 =

2s = +1

s2

45

s 2

1 1 + 2s

La impedancia Z0 se realiza mediante el circuito LC paralelo con los valores C4 = 21 y L4 = 2. La estructura completa que realiza los parametros Y21 y Y22 se muestra en la figura 2.29. De este circuito podemos ver que el polo de transferencia en ω = 1 est´a realizado mediante el circuito paralelo, mientras el polo de transferencia en ω = ∞ se realiza con la inductancia. La impedancia de la inductancia para ω = ∞ es infinita y se trata como el circuito abierto para ω = ∞, entonces de entrada a salida no se transfiere nada.

Figura 2.29: Circuito de dos puertas que realiza las admitancias Y22 y Y21 Ejemplo 14. Realizar el circuito de dos puertas si se conocen los par´ametros (s2 + 1)(s2 + 2) 8ss + 15s3 + 6s 5s4 + 8s2 + 2 Z22 = 5 8s + 15s3 + 6s Los ceros √ de la impedancia de transferencia (polos de la atenuaci´on) est´an en ω = ±1, ω = ± 2 y en ω = ∞. Primero vamos a realizar el cero en ω = ±1. Se calcula la admitancia Y1 del circuito en la figura 2.30 mediante la ecuaci´on Z12 =

Figura 2.30: Circuito de dos puertas que realiza los par´ametros Yij 1 s(8s4 + 15s2 + 6) |s2 =1 = |s2 =1 = s Z22 5s4 + 8s2 + 2 La admitancia Y1 es el capacitor c1 = 1. Ahora se calcula la admitancia Y0 y despu´es Z0 . Y1 =

8s5 + 15s3 + 6s (s2 + 1)(3s3 + 4s) Y0 = −s= 5s4 + 8s2 + 2 5s4 + 8s2 + 2 46

5s4 + 8s2 + 2 As 1 1 = Z2 + Z22 = 2 + Z22 2 3 (s + 1)(3s + 4s) s +1

Z0 = Se calcula la constante A:

A=

5s4 + 8s2 + 2 |s2 −1 = 1 3s4 + 4s2

La impedancia Z2 toma la forma: Z2 =

s2

1 s = +1 s+

1 s

La impedancia Z2 es el circuito paralelo LC con los valores l2 = 1 y c2 = 1. El circuito que 1 se realiz´o se muestra en la figura 2.31. Ahora es necesario calcular Z22 . El procedimiento de realizaci´on es el mismo, pero en este caso se realiza el otro cero de la impedancia Z21 :

Figura 2.31: Circuito de dos puertas.

1 Z11 =

5s4 + 8s2 + 2 s (s2 + 1)(2s2 + 2) − = (s2 + 1)(3s3 + 4s) s2 + 1 s2 + 1)(3s3 + 4s)

El t´ermino (s2 + 1) en el numerador y en el denominador se elimina y la impedancia Z11 toma la forma: 2s2 + 2 3s3 + 4s La impedancia Z3 se obtiene mediante la siguiente ecuaci´on: 1 Z11 =

Y3 =

1 |2 1 s =−2 Z11

s(3s2 + 4 |s2 =−2 = s 2s2 + 2 Entonces la impedancia Z3 es un capacitor con el valor 1. Seguimos calculando la admitancia Y0 Y3 =

Y0 =

1 3s3 − 4s s3 + 2s − Y = − s = 3 1 Z11 2s2 + 2 2s2 + 2

Z0 =

2s2 + 2 As 2 2 = 2 + Z11 = Z4 + Z11 2 s(s + 2) s +2 47

Calculando la constante A se obtiene Z4 2s2 + 2 |s2 =−2 = 1 A= s2 Z4 =

s2

1 s = +2 s+

2 s

La impedancia Z4 es el circuito paralelo LC con los valores l = 2 en la figura 2.32. Nos queda calcular el u ´ltimo elemento Z11

1 2

y c = 1. El circuito se ve

Figura 2.32: Circuito de dos puertas que realiza las impedancias Z11 y Z12

2 Z11 = Z0 − Z4 =

2s2 + 2 s 1 − 2 = 2 s(s + 2) s + 2 s

El u ´ltimo elemento es el capacitor y la realizaci´on completa de las impedancias Z11 y Z12√se muestra en la figura 2.33. Los circuitos paralelos realizan los ceros en ω = 1 y en ω = 2. Los capacitores que son conectados a tierra realizan el cero en ω = ∞.

Figura 2.33: Circuito de dos puertas que realiza las impedancias Z11 y Z12

48

Ejemplo 15: Realizar con el circuito de dos puertas los par´ametros Z12 =

(s2 + 1)(s2 + 2) 8ss + 15s3 + 6s

5s4 + 8s2 + 2 8s5 + 15s3 + 6s Los ceros √ de la impedancia de transferencia (polos de la atenuaci´on) est´an en ω = ±1, ω = ± 2 y en ω = ∞. En este ejemplo √ vamos a realizar el cero de Y12 en ∞ despues en ω = ±1 y a final el cero de Y12 en ω = 2. La impedancia Z11 se desarrolla en quebrado de escalera y se hace solo una vez, como se ve en la ecuaci´on. Z11 =

Z11 =

1 8s 5

+

1

5s4 +8s2 +2 11s3 + 14s 5 5

1 La impedancia Z11 es el u ´ltimo t´ermino en el quebrado de escalera y toma la forma: 1 Z11 =

25s4 + 40s2 + 10 11s3 + 14s

Figura 2.34: Circuito de dos puertas que realiza las impedancias Z11 y Z12 La realizaci´on no completa se muestra en la figura 2.34. Ahora vamos a realizar el cero de Z12 en s2 = −1 y se obtiene la impedancia Z2 . Z11 |s2 −1 = Z2 =

−5 s −5 5s 1 25s4 + 40s2 + 10 |s2 =−1 = = 2 |s2 =−1 = 3 s 11s + 14s 3s s 3 3

La impedancia Z2 es el inductor que tiene el valor 53 . Ahora podemos calcular la impedancia Z0 . Z0 = Z11 − Z2 = Y0 =

25s4 + 40s2 + 10 5s 20s4 + 50s2 + 30 − = 11s3 + 14s 3 33s3 + 42s

As 33s3 + 42s = 2 + Y112 = Y3 + Y112 2 2 (s + 1)(20s + 30) s +1

Si se calcula el constante A se puede desarrollar la admitancia Y3 . La admitancia Y3 presenta 9 el circuito LC en serie. La inductancia l3 tiene el valor 10 y el capacitor c3 = 10 . El circuito 9 49

Figura 2.35: Circuito de dos puertas que realiza los par´ametros Z11 y Z12 se muestra en la figura 2.35 y queda ´ltimo √ realizar mediante las impedancias Z4 y Z5 el u cero de la impedancia Z12 en s = − 2. A=

9 33s2 + 42 |s2 −1 = 2 20s + 30 10

Y3 =

9s 10

s2 + 1

=

10s 9

1 +

10 9s

La admitancia Y3 se realiza con un circuito LC en la forma serial. Si se conoce Y3 se puede 2 calcular Z11 mediante la ecuaci´on Y0 − Y3 =

1 2 Z11

9s 15s(s2 + 1) 1 33s3 + 42s 10 = = − 2 (s2 + 1)(20s3 + 30) Z11 (s2 + 1)(20s2 + 30) s2 + 1

20s2 + 30 15s Nos queda realizar el u ´ltimo cero de la impedancia de transferencia Z12 en s2 = −1 2 Z11 =

2 Z4 = Z11 |s2 =−2 =

1 −40 + 30 −10 −10s s 2 =−2 = = = | s s 15 15s 15s2 3

La impedancia Z4 se realiza mediante una inductancia con el valor 13 . Todav´ıa es necesario calcular la impedancia Z5 , pero primeramente se calcula la impedancia Z0 . 2 15s2 + 30 s − =s+ 15s 3 s La impedancia Z0 = Z5 es el circuito LC serial. La inductancia tiene el valor 1 H y el condensador 0.5 F. El circuito completo se muestra en la figura 2.36. 2 Z0 = Z11 − Z4 =

Ejemplo 16. Realizar el circuito de dos puertas si se conocen los par´ametros Z11 y Z21 . Z21 =

1 (s + 1)(s + 3)

Z11 = 50

(s + 2)(s + 5) (s + 1)(s + 3)

Figura 2.36: Circuito de dos puertas que realiza los par´ametros Z11 y Z12 Cerca de origen hay un polo y por eso el circuito es RC. Todos los ceros son en ∞ y por eso la impedancia Z11 se desarrolla en cadena de escalera. Z1 1 =

s2 + 7s + 10 =1+ s2 + 4s + 3

1 s 3

+

1

9 + 25s 1 1 5 24 + 8 15

El circuito se muestra en la figura 2.37.

Figura 2.37: Circuito de dos puertas que realiza los par´ametros Z11 y Z12 Ejemplo 17: Realizar el circuito de dos puertas, si se conocen los par´ametros Z11 y Z21 . (s + 2)(s + 4) s2 Z11 = (s + 1)(s + 3) (s + 1)(s + 3) Cerca del origen hay un polo y por eso el circuito es RC. Todos los ceros son en ω=0 y por eso la impedancia Z11 se desarrolla en cadena de escalera, pero ahora el grado de s en los polinomios es en forma ascendente. Z21 =

Z11 =

10 + 7s + s2 = 3 + 4s + s2

1 10+7s+s2 3+4s+s2

=

1 3 8

+

1

32 1 + 49 1 7s 88 + 968 + 1 21s 3 44

El circuito se muestra en la figura 2.38. Podemos ver en la figura, que el cero de transferencia es para ω = 0. El capacitor para ω = 0 es un circuito bierto y la se˜ nal con la frecuencia cero no se transfiere de entrada a salida. Para ω = 0 el capacitor tiene impedancia infinita 1 |ω=0 = ∞. Zc = jωc 51

Figura 2.38: Circuito de dos puertas que realiza los para´ametros Z11 y Z12 Ejemplo 18: Realizar el circuito de dos puertas, si se conocen los par´ametros Z11 y Z21 . Z21 =

s (s + 1)(s + 3)

Z11 =

(s + 2)(s + 4) (s + 1)(s + 3)

Cerca del origen esta un polo y por eso el circuito es RC. Un cero de Z21 est´a en ω=0 y el otro cero est´a en ω = ∞ y por eso la impedancia Z11 se desarrolla en cadena de escalera, pero ahora se desarrolla Z11 primero como Cauer I y despu´es como Cauer II. Z11 =

s2 + 6s + 8 =1+ s2 + 4s + 3

s 2

1 + + 3 5

1

50 + 13 3s 20

El circuito se muestra en la figura 2.39. Podemos ver del circuito en la figura reffos28, que el cero de transferencia es para ω = 0 y tambien para ω = ∞. El segundo capacitor en el circuito para ω = 0 es abierto y la se˜ nal con la frecuencia cero no se transfiere de entrada a salida. El primer capacitor para ω = ∞ est´a en corto y las se˜ nales con frecuencias infinitas tampoco se transfieren de entrada a salida. Entonces el circuito realiza el cero para ω = ∞ y para ω = 0.

Figura 2.39: Circuito de dos puertas que realiza llos par´ametros Z11 y Z12

52

Cap´ıtulo 3 Transformaci´ on de las plantillas. Los factores que alternan las se˜ nales son: • Distorsi´on • Interferencia • Ruido • Atenuaci´on Para eliminar esos factores se necesitan filtros que dejen pasar las se˜ nales que nos interesan y que no permiten el paso de las se˜ nales in´ utiles. El ruido, por ejemplo, puede ser en las frecuencias altas o tambi´en en las frecuencias bajas. Para eliminar el ruido en las frecuencias altas se utilizan los filtros paso bajas y los filtros paso altas se utilizan para eliminar el ruido en las frecuencias bajas. Si el ruido se encuentra en las frecuencia altas y bajas, se utilizan para quitar el ruido y dejar pasar por ejemplo la voz, el filtro paso banda. Si queremos limitar la influencia de interferencia entonces se utiliza supresor de banda o un filtro adaptable, que cambia los valores de los elementos, dependiendo de como se cambia la frecuencia de la se˜ nal de interferencia. Las plantillas de los filtros de paso bajas PBF, paso altas PA, paso banda PB y supresor de banda SB se muestra en la figura 3.1. Todos los tipos de filtros se pueden transformar en la paso bajas normalizado (PBFN). Los paso bajas normalizados tiene la frecuencia de corte en Ω1 = 1. La ecuaci´on que nos transforma paso bajas a paso bajas normalizado es ω1 ω Paso altas se transforman a paso bajas normalizado mediante la ecuaci´on Ω=

ω−1 ω Paso banda se transforma a paso bajas normalizado mediante la ecuaci´on Ω=−

Ω=

ω 2 − ω1 ω−1 ω(ω1 − ω−1 )

Supresor de banda se transforma a paso bajas normalizado usando la ecuaci´on 53

Figura 3.1: Las plantillas de paso bajas, paso altas, paso banda y supresor de banda

Ω=

ω(ω1 − ω−1 ) ω 2 − ω1 ω−1

En la figura 3.2 se puede ver como se transforman las plantillas de los filtros a uno paso bajas normalizado. En los ejemplos se muestra la transformaci´on de todos tipos de plantillas a la plantilla paso bajas normalizado.

Figura 3.2: La transformaci´on de las plantillas PBF, PA, PB y SB a PBFN Ejemplo 1: Transformar la plantilla de paso bajas de la figura a la plantilla de paso bajas normalizado. Primero se calcula la frecuencia del corte normalizada Ω1 y despu´es Ω2 54

3400 =1 3400 4700 = 1.382 Ω2 = 3400 paso bajas normalizado se muestra en la figura 3.3 b). Ω1 =

Figura 3.3: Las plantillas PBF y PBFN Ejemplo 2: Transformar la plantilla de paso altas de la figura 3.4a a la plantilla de paso bajas normalizado. Primero se calcula la frecuencia de corte normalizado Ω−1 y despu´es Ω−2 3400 = −1 3400 3400 = −11, 333 Ω−2 = − 300 paso bajas normalizado se muestra en la figura 3.3b Ω−1 = −

Ejemplo 3: Transformar la plantilla de paso banda de la figura 3.5a a la plantilla de paso bajas normalizado. Primero se calcula la frecuencia de corte normalizado Ω1 , Ω−1 y despu´es Ω−2 , Ω2 Ω1 = Ω−1 = Ω2 =

34002 − 300.3400 =1 3400(3400 − 300)

3002 − 300.3400 = −1 300(3400 − 300)

47002 − 3400.300 = 1, 446 4700(3400 − 300) 55

Figura 3.4: Las plantillas de PA y PBFN Ω−2

1502 − 3400.300 = = −2, 145 150(3400 − 300)

paso bajas normalizado se muestra en la figura 3.5b

Figura 3.5: Las plantillas PB y PBFN Ejemplo 4: Transformar la plantilla supresor de banda de la figura 3.6a) a la plantilla paso bajas normalizado. Soluci´on: Primero se calcula la frecuencia del corte normalizada Ω1 , Ω−1 y despu´es Ω−2 , Ω2 . El paso bajas normalizado se muestra en la figura 3.6b 100(100 − 4700 =1 1002 + 100.4700 4700(100 − 4700) Ω−1 = = −1 47002 − 100.4700 300(100 − 4700) Ω2 = = 3, 63 3002 − 100.4700 Ω1 =

56

Ω−2 =

3400(100 − 4700) = −1, 41 34002 − 100.4700

Figura 3.6: Las plantillas de SB y PBFN En los cat´alogos de filtros se encuentran las estructuras de un filtro paso bajas normalizados. Para cumplir los especificaciones de la plantilla es necesario transformar la estructura normalizado a una estructura denormalizada PBF, PA, PB o SB. A continuaci´on se muestra como se obtiene una estructura denormalizada paso banda si se conoce paso bajas normalizado. • Transformaci´ on paso bajas normalizado a paso banda. La impedancia de inductancia es z = jΩl . Si se systituye por Ω ω 2 − ω1 ω−1 Ω= ω(ω1 − ω−1 )

se obtiene Z(jω) = jω

l 1 + ω1 − ω−1 jω

1 ω1 −ω−1 lω1 ω−1

= pL1 +

1 pC1

El inductor se transforma a un circuito serie LC con los valores l ω1 − ω−1 C1 = ω1 − ω−1 l ω1 ω−1 La admitancia de un capacitor es y = jΩc. Si se sustituye por Ω L1 =

Ω= se obtiene Y (jω) = jω

ω 2 − ω1 ω−1 ω(ω1 − ω−1 )

c 1 + ω1 − ω−1 jω

1 ω1 −ω−1 cω1 ω−1

= pC2 +

1 pL2

El capacitor se transforma a un circuito paralelo LC con los valores ω1 − ω−1 c L2 = ω1 − ω−1 cω1 ω−1 En la figura 3.7 se muestra la transformaci´on de paso bajas normalizado a paso banda. C2 =

57

Figura 3.7: Transformaci´on PBF a PB • Transformaci´ on paso bajas normalizado a supresor de banda. La impedancia de inductancia es z = jΩl . Si se sustituye por Ω Ω=− se obtiene Z = jΩl = −jl

ω(ω1 − ω−1 ) ω 2 − ω1 .ω−1

ω(ω1 − ω−1 ) = ω 2 − ω1 ω−1

jω l(ω1 −ω−1 )

1 ω1 ω−1 + jωl(ω 1 −ω−1 )

El inductor se transforma a un circuito paralelo LC con los valores L1 =

l (ω1 − ω−1 ) ω1 ω−1

C1 =

La impedancia normalizada de un capacitor es z = Ω=− se obtiene Z(jω) =

1 . jΩc

1 l (ω1 − ω−1 )

Si se sustituye por Ω

ω(ω1 − ω−1 ) ω 2 − ω1 .ω−1

−1 ω 2 − ω1 ω−1 jω ω1 ω−1 = + jc ω(ω1 − ω−1 ) (ω1 − ω−1 ) jωc(ω1 − ω−1 )

El inductor se transforma a un circuito serie LC con los valores C2 =

c(ω1 − ω−1 ) ω1 ω−1

L2 =

1 c(ω1 − ω−1 )

En la figura 3.8 se muestra la transformaci´on paso bajas normalizado a supresor de banda.

58

Figura 3.8: Transformaci´on PBF a SB • Transformaci´ on paso bajas normalizado a paso bajas. La impedancia del inductor normalizado es z = jΩl y se transforma con la ecuaci´on Ω=

ω ω1

a un inductor Z=

jω l = pL1 ω1

con el valor l ω1 La admitancia del capacitor normalizado es y = jΩc y se transforma con la ecuaci´on L1 =

Ω=

ω ω1

a un capacitor Y =

jω c = pC2 ω1

con el valor c ω1 En la figura 3.9 se muestra la transformaci´on paso bajas normalizado al paso bajas desnormalizado. C2 =

59

Figura 3.9: Transformaci´on PBFN a PBF • Transformaci´ on paso bajas normalizado a paso altas. La impedancia del inductor normalizado es z = jΩl y se transforma con la ecuaci´on −ω−1 ω

Ω= a un capacitor C1 Z=

ω−1 l 1 = jω1 pC1

con el valor 1 ω1 l La admitancia del capacitor normalizado es y = jΩc y se transforma con la ecuaci´on C1 =

−ω−1 ω

Ω= a un inductor Y = jΩc =

ω1 1 c= jω jωL2

con el valor 1 cω1 En la figura 3.10 se muestra la transformaci´on del circuito paso bajas normalizado a circuito paso altas desnormalizado. L2 =

60

Figura 3.10: Transformaci´on PBFN y PA Ejemplo 5: Calcular el filtro paso banda si el orden del filtro es n=2 y la impedancia en la salida y entrada es R0 = 600 Ohm. Las especificaciones de la plantilla del filtro est´an en la figura 3.11a La estructura normalizada de segundo orden de √ Butterworth √ se muestra en la figura 3.11c. Los valores de paso bajas normalizados son l1 = 2 y c2 = 2. Si se utilizan las ecuaciones para la transformaci´on paso bajas normalizado a paso banda, el inductor se transforma a circuito serie LC con L1 , C1 . √ 2.600 l1 R 0 = = 0, 0453 H L1 = 2π.(f1 − f−1 ) 2.π(3400 − 300) (f1 − f−1 ) 3400 − 300 √ = = 570, 05 nF 2.πR0 l1 f1 f−1 2π600. 2.300.3400 y el capacitor se transforma a un circuito paralelo LC con L2 , C2 C1 =

600(3400 − 300) R0 (f1 − f−1 ) √ = 205, 2 mH = 2.πc2 f1 f−1 2π. 2.300.3400 √ c2 2 C2 = = = 121, 01 nF 2π.R0 .(f1 − f−1 ) 2.π.600(3400 − 300) L2 =

La estructura de paso banda que cumple las especificaciones de la plantilla figura 3.11a se muestra en la figura 3.11b. Ejemplo 6: Calcular el filtro supresor de banda si el orden del filtro es n=3 y la impedancia en la salida y entrada es R0 = 100 Ohm. Los especificaciones de la plantilla del filtro est´an en la figura 61

Figura 3.11: Transformaci´on PBFN y PB 3.12a. La estructura de tercer orden normalizada de Butterworth se muestra en la figura 3.12c. Los valores de paso bajas normalizados son l1 = l3 = 1 y c2 = 2. Si se utilizan las ecuaciones para la transformaci´on paso bajas normalizado a supresor de banda, el inductor se transforma a un circuito paralelo LC con L1 , C1 . L1 = C1 =

1.100(3400 − 300) l1 R0 (f1 − f−1 ) = = 48.371 mH 2π.f1 .f−1 2.π3400.300 1

l1 R0 (f1 − f−1 )

=

1 = 513, 4 nF 1.100.2.π(3400 − 300)

y el capacitor c2 se transforma a un circuito serie LC con L2 , C2 L2 =

R0 100 = = 2, 567 mH c2 .π(f1 − f−1 ) 2.2π.(3400 − 300)

C2 =

c2 (f1 − f−1 ) 2(3400 − 300) = = 9674, 1 nF 2πf1 .f−1 2π100.300.3400

La estructura de supresor de banda que cumple las especificaciones de la plantilla figura 3.12a se muestra en la figura 3.12b. Ejemplo 7: Calcular el filtro paso altas si el orden del filtro es n=2 y la impedancia en la salida y entrada es R0 = 75 Ohm. Las especificaciones de la plantilla del filtro est´an en la figura 3.13a. La estructura de segundo orden normalizado de Butterworth se muestra en la figura 3.13c. Los √ √ valores de paso bajas normalizado son l1 = 2 y c2 = 2. Si se utilizan las ecuaciones para la transformaci´on paso bajas normalizado a paso altas, el capacitor se transforma en inductor L1 . 62

Figura 3.12: Transformaci´on PBFN a SB

R0 75 √ = 2, 482 mH = cf1 2.π3400. 2 y el inductor l2 se transforma en capacitor C2 L1 =

1 1 = 441, 33 nF = √ l2 .2.πf1 2. 2π3400.75 La estructura paso bajas que cumple las especificaciones de la plantilla figura 3.13a se muestra en la figura 3.13b. C2 =

Ejemplo 8: Calcular el filtro paso bajas si el orden del filtro es n=3 y la impedancia en la salida y entrada es R0 = 150 Ohm. Las especificaciones de la plantilla del filtro est´an en la figura 3.14a. La estructura de segundo orden normalizada se muestra en la figura 3.13c. Los valores de paso bajas normalizado son l1 = l3 = 1 y c2 = 2. Si se utilizan las ecuaciones para la transformaci´on paso bajas normalizado a paso bajas, el capacitor c2 se transforma en capacitor C2 . C2 =

c2 2 = = 936, 2 nF R0 .2.πf1 2.π.100.3400

y el inductor l1 se transforma en inductor L1 = L3 L1 = L3 =

100 l1 .R0 = = 4, 681 mH 2.πf1 2.π3400

La estructura paso bajas que cumple las especificaciones de la plantilla figura 3.13a se muestra en la figura 3.14b.

63

Figura 3.13: Transformaci´on PBFN a PA

Figura 3.14: Transformaci´on PBFN a PBF

64

Cap´ıtulo 4 Aproximaci´ on de las plantillas La aproximaci´on de las especificaciones de la plantilla consiste en encontrar la funci´on de transferencia G(s) que cumple las especificaciones de esta. Para la aproximaci´on de las plantillas se usa la ecuaci´on caracter´ıstica (4.1). G(s)G(−s) = 1 + φ(s)φ(−s)

(4.1)

G(s) es la funci´on de transferencia definida por la ecuaci´on (4.2). G(s) =

$

U1 I1 U2 I2

(4.2)

La funci´on φ(s) es la funci´on caracter´ıstica a elegir cumpliendo solo una condici´on. La funci´on caracter´ıstica puede ser cualquier funci´on positiva. La funci´on de transferencia debe cumplir las siguientes condiciones: • El numerador de G(s) debe ser un polinomio Hurwitz. Eso significa que los ceros deben estar en el lado izguierdo del plano complejo de s. • Para todas las frecuencias ω la funci´on de transferencia G(s) debe cumplir la condici´on |G(jω)| ≥ 1 La prueba de G(s) como una funci´on de transferencia v´alida, no es facil, pero si φ(s) es una funci´on positiva podemos ver de (4.1) que se cumple la condici´on |G(jω)| ≥ 1. Si se eligen los ceros de la ecuaci´on de transferencia en el lado izquierdo del plano complejo de G(s) entonces se cumplen las dos condiciones necesarias. Ejemplo 1: Compruebe, si G(s) es una funci´on de transferencia v´alida. s3 + 5s2 + 9s + 5 s2 − 4 Los ceros de G(s) son en la parte izquierda del plano, como se ve de la siguiente ecuaci´on G(s) =

s3 + 5s2 + 9s + 5 = (s + 1)(s + 2 + j)(s + 2 − j)

El numerador de G(s) es un polinomio de Hurwitz, entonces se cumple la primera condici´on. Ahora vamos a calcular |G(jω)| 65

16ω 6 + 96ω 4 + 488ω 2 + 399 >1 16ω 4 + 8ω 2 + 1 Para cualquier ω, tiene |G(jω)| que ser mayor a uno, entonces se cumple tambi´en la segunda condici´on y la funci´on G(s) es una funci´on de transferencia v´alida y se puede realizar con elementos LRC positivos. Esto significa que es f´ısicamente realizable. |G(jω)|2 = 1 +

4.1

Aproximaci´ on de Butterworth

Para la aproximaci´on de Butterworth se elige la funci´on caracter´ıstica φ(s) = %sn . La ecuaci´on caracter´ıstica (4.1) para la aproximaci´on de Butterworth toma la forma (4.3) o (4.4). G(s)G(−s) = 1 + (−1)n %2 s2n

(4.3)

|G(Ω)|2 = G(jΩ)G(−jΩ) = 1 + (−1)n %2 Ω2n

(4.4)

El orden del filtro Para calcular el orden del filtro normalizado en la figura 4.1 necesitamos conocer la atenuaci´on m´axima amax en Ω1 y la atenuaci´on m´ınima amin en Ω2 .

Figura 4.1: La plantilla normalizada paso bajas

Para Ω = Ω1 = 1 es la atenuaci´on a = amax y de (4.4) se puede escribir e2amax = 1 + %2

10

amax 10

= 1 + %2

y calcular % %=

√

e2amax

−1

%=

#

10

amax 10

−1

Para Ω = Ω2 es la atenuaci´on a = amin y de (4.4) se puede calcular n. e2amin = 1 + %2 Ω2n 2

10 66

amin 10

= 1 + %2 Ω2n 2

Despejando por logaritmos ambos lados de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuaci´on para calcular el orden del filtro Butterworth (4.5) y (4.7). 2a

min −1 ln ee2amax −1 n> 2 ln Ω2

(4.5)

En la ecuaci´on (4.5) la atenuaci´on tiene unidades de Neperes. Para sustituir la atenuaci´on en Decibeles se utilizan las ecuaciones (4.6) o (4.7). 0.23a

min −1 ln ee0.23amax −1 n> 2 ln Ω2

(4.6)

amin

10 −1 log 10 amax

n>

10

10

−1

2 log Ω2

(4.7)

Ceros de la funci´ on de transferencia. Para calcular la funci´on de transferencia G(s) se calculan los ceros de la ecuaci´on G(s)G(−s) = 1 + (−1)n %2 s2n = 0

(4.8)

Para el orden par de n se obtiene: 1 + %2 s2n = 0 Si % = 1, los ceros de la funci´on de transferencia G(s) para el orden n par se calculan mediante la ecuaci´on (4.9) y se ubican en el c´ırculo unitario. sk = ej

π+2πk 2n

= cos

π + 2kπ π + 2kπ + j sin 2n 2n

(4.9)

Para el orden impar de n se obtiene: 1 − %2 s2n = 0 Si % = 1, los ceros de la funci´on de transferencia G(s) para el orden n impar se calculan mediante la ecuaci´on (4.10) y se ubican en el c´ırculo unitario. Es necesario decir que los ceros no est´an ubicados en ningun caso en el eje imaginario. El numerador de la funci´on de transferencia debe ser un polinomio de Hurwitz. sk = ej

πk n

= cos

kπ kπ + j sin n n

(4.10)

Ejemplo 2: Calcular la funci´on de transferencia de un filtro de Butterworth para el orden n=2. El orden de filtro es par y por eso se utiliza la ecuaci´on (4.9). Los ceros de la funci´on de transferencia son: s0 = cos

π π + j sin = 0, 707 + j0, 707 4 4 67

3π 3π + j sin = −0.707 + j0, 707 4 4 Los ceros de G(s) y G(-s) se muestran en la figura 4.2 s1 = cos

Figura 4.2: Los ceros de la funci´on de transferencia de Butterworth para n=2 La funci´on de transferencia debe tener los ceros en la parte izquierda del plano s. G(s) = (s + 0, 707 − j0, 707)(s + 0, 707 + j0, 707) = s2 +

√

2s + 1

Ejemplo 3: Calcular la funci´on de transferencia de un filtro de Butterworth para el orden n=3. El orden de filtro es impar y por eso se utiliza la ecuaci´on (4.10). Los ceros de la funci´on de transferencia tienen los valores: s0 = cos 0 + j sin 0 = 1

√ π π 1 3 s1 = cos + j sin = + j 3 3 2 2 √ 2π 1 2π 3 + j sin =− +j s2 = cos 3 3 2 2 Los otros ceros de (4.8) no es necesario calcularlos, porque son conjugados y est´an ubicados tambi´en en el c´ırculo unitario. Los ceros de G(s) y G(-s) se muestran en la figura 4.3. La funci´on de transferencia debe tener los ceros en la parte izquierda del plano s. G(s) = (s − s2 )(s − s3 )(s − s4 ) entonces √ √ 1 1 3 3 )(s + + j )(s + 1) G(s) = (s + − j 2 2 2 2 G(s) = s3 + 2s2 + 2s + 1 68

Figura 4.3: Los ceros de la funci´on de transferencia de Butterworth para n=3 Los ceros del filtro Butterworth de tercer orden para la atenuaci´on de 3 dB en la frecuencia angular ω = 1 deben ser en el circuito unitario, porque se elegi´o % = 1. Calculando se obtiene G(j) = −j − 2 + 2j + 1 = −1 + j a = 20. log

√

2 = 3 dB

En general todos los filtros normalizados de tipo Butterworth en la frecuencia del corte ω1 = 1 tienen la atenuaci´on 3 dB para cualquier orden del filtro. Ejemplo 4: Calcular la impedancia de entrada para el filtro Butterworth si el orden del filtro es 3. De ejemplo anterior la funci´on de transferencia es G(s) = s3 + 2s2 + 2s + 1 y la funci´on caracter´ıstica φ(s) = %sn = s3 . Sustituyendo por G(s) y φ(s) a la ecuaci´on (4.11) Zentrada (s) = se obtiene

G(s) + φ(s) G(s) − φ(s)

(4.11)

2s3 + 2s2 + 2s + 1 2s2 + 2s + 1 Si la u ´ltima ecuaci´on se desarrolla con un quebrado de escalera se obtiene el filtro Butterworth de tercer orden Zentrada =

Zentrada = s +

1 2s + s+1 1 1

El filtro Butterworth de tercer orden se muestra en la figura 4.4a. Est´a terminado en la puerta de salida con una resistencia de 1 Ohm y en la frecuencia del corte ω1 = 1 tiene la 69

atenuaci´on 3 dB. Los elementos del circuito normalizado de Butterworth se pueden calcular directamente. Los valores de los elementos zk en el circuito en la figura 4.4b se pueden calcular mediante la ecuaci´on (4.12).

Figura 4.4: Los filtros de Butterworth de 3, 4 y 5 orden

zk = 2 sin

(2k + 1)π 2n

(4.12)

Ejemplo 5: Calcular los elementos del filtro Butterworth para el orden n=4. 3π π = 0, 765 z1 = 2 sin = 1, 847 8 8 5π 7π z2 = 2 sin = 1, 847 z3 = 2 sin = 0, 765 8 8 El filtro paso bajas normalizado con respecto a rsalida = 1 y ω1 = 1 se muestra en la figura 4.4c. z0 = 2 sin

Ejemplo 6: Calcular los elementos del filtro Butterworth para el orden n=5. 3π = 1, 618 10 7π z3 = 2 sin = 0, 1, 618 10

π = 0, 618 10 5π z2 = 2 sin = 2, 000 10

z1 = 2 sin

z0 = 2 sin

70

9π = 0, 618 10 El filtro paso bajas de orden 5, normalizado con respecto a rsalida = 1 y ω1 = 1 se muestra en la figura 4.4d. Si se necesita que un filtro tenga otra atenuaci´on en la frecuencia de corte, es necesario multiplicar cada elemento del circuito por un constante K, donde: z4 = 2 sin

K =2n

√

e0,23amax − 1

Ejemplo 7: Calcular los elementos del filtro Butterworth para el orden n=2 y amax = 0, 1dB. Los elementos del filtro de segundo orden normalizados con respecto a a√ max = 3 dB se obtienen mediante la ecuaci´on (4.12). Calculando se obtiene l1 = c2 = 2. El filtro se muestra en la figura 4.5a. Cada valor obtenido se multiplica por K =4

√

e0,235.0,1 − 1 = 0.390557

Los valores nuevos del filtro Butterworth con atenuaci´on 0,1 dB en ω−1 son l1 = c2 =

√

2.0, 390557 = 0, 55233

Figura 4.5: El filtro Butterworth de segundo orden Para comprobar si el filtro en la figura 4.5b atenua 0,1 dB en ω1 = 1 es necesario calcular primero la impedancia Z(s) y despu´es G(s). La estructura del filtro en la figura 4.5b es de escalera y por eso Z(s) = 0.55233s +

1 0.55233s +

1 1

=

0, 3050689s2 + 0.55233s + 1 0, 55233s + 1

Calculando G(s) y φ(s) se obtiene G(s) + φ(s) = 0, 3050689s2 + 0, 55233s + 1 G(s) − φ(s) = 0.55233s + 1

Si se suman esas ecuaciones se obtiene

71

G(s) = 0, 1525342s2 + 0, 55233s + 1 La funci´on de transferencia para ω1 = 1 toma la forma G(1) = 0, 8474676 + j0, 55233 y la atenuaci´on en ω = 1 se obtiene calculando la ecuaci´on a = 20. log |G(1)| #

0.84746762 + 0, 552332 = 0, 1 dB

a = 20 log

En las tablas de Butterworth 4.1, 4.2 y 4.3 se muestran los coeficientes de la funci´on de transferencia, los elementos del filtro y los ceros de la funci´on de transferencia calculados para amax = 3dB. Si es necesario calcular la funci´on de transferencia para otras amax es necesario sustituir en la funci´on de transferencia G(s) por s (4.13). s =2n

√

e0,23amax − 1p

(4.13)

En el ejemplo siguiente se muestra como se calcula la funci´on de transferencia para otras amax . Ejemplo 8: Calcular la funci´on de transferencia del filtro Butterworth para amax = 0, 1dB y orden n=3. La funci´on de transferencia obtenida mediante la tabla 4.2 toma la forma G(s) = s3 + 2s2 + 2s + 1 Ahora se calcula nueva variable s s =6

√

e0,23.0,1 − 1p = 0, 5343043p

La funci´on de transferencia de filtro que atenua 0,1 dB en la frecuencia del corte ω1 = 1 toma la forma G(p) = 0, 53430433 p3 + 2.0, 53430432 p2 + 2.0, 5343043p + 1 G(p) = 0, 1525338p3 + 0, 5709622p2 + 1, 06860868p + 1 Si la atenuaci´on en la frecuencia del corte es 0,1 dB se comprueba calculando G(j) G(j) = −j0, 1525338 − 0, 5709622 + j1, 06860868 + 1 = 0, 4290378 + j0, 9160748 a = 20 log

#

0, 42903782 + 0, 91607482 = 0, 1 dB

72

n 1 2 3 4 5 6 7 n

l1 2,00000 1,41421 1,00000 0,76536 0,61803 0,51763 0,44504 c1

c2

l3

c4

l5

c6

l7

1,41421 2,00000 1,84775 1,61803 1,41421 1,24697 l2

1.00000 1,84775 2,00000 1,93185 1,80193 c3

0,76536 1,61803 1,93185 2,00000 l4

0,61803 1,41421 0,51763 1,80193 1,24697 0,44504 c5 l6 c7

Tabla 4.1: Los elementos del filtro Butterworth para amax = 3 dB r1 = r2 = 1

n 1 2 3 4 5 6 7

b1 1,00000 1,41421 2,00000 2,61312 3,23606 3,86370 4,49396

b2

b3

b4

b5

b6

b7

1,00000 2,00000 3,41421 5,23606 7,46410 10,0978

1,00000 2,61312 5,23606 9,14162 14,5918

1,00000 3,23606 1,00000 7,46410 3,86370 1,00000 14,5918 10,0978 4,49396 1,00000

Tabla 4.2: Los coeficientes de la funci´on de transferencia del filtro Butterworth para amax = 3 dB r1 = r2 = 1 y b0 = 1 G(s)=b0 + b1 s + b2 s2 +...

n s1 s2 , s3 s4 , s5 s6 , s7

1 2 -1,00000 -0,70710 ± j0,707

3 4 -1,00000 -0,50000 -0,38268 ± j0,866 ± j0,924 -0,92388 ± j0,383

5 -1,00000 -0,30901 ± j0,951 -0,80902 ± j0,588

6

7 -1,00000 -0,25882 -0,22252 ± j0,966 ± j0,975 -0,70710 -0,62489 ± j0,707 ± j0,782 -0,96592 -0,90097 ± j0,259 ± j0,434

Tabla 4.3: Ceros de la funci´on de transferencia del filtro Butterworth para amax = 3 dB r1 = r2 = 1

73

Ejemplo 9: Calcular el filtro Butterworth de cuarto orden pasa bajas para amax = 2 dB, f1 = 3400 Hz si las puertas de salida y de entrada est´an conectadas con un resistor de 2000 Ω. Los valores normalizados del filtro Butterworth para amax = 3 dB se obtienen de la tabla 4.1 l1 = c4 = 0, 76536

l3 = c2 = 1, 84775

Para obtener el filtro que atenua en ω1 2 dB es necesario multiplicar cada elemento por el constante K K =2n

√

e0,13.amax − 1 =8

√

e0,23.2 − 1 = 0, 93499

Los valores desnormalizados con respecto a la atenuaci´on son l1 = c4 = 0, 715603

l3 = c2 = 1, 727627

Ahora los elementos se desnormalizan con respecto a la frecuencia de corte ω1 y a la impedancia R0 = 2000Ω. Calculando se obtiene L1 =

l1 .R0 0, 715603.2000 = = 66, 995 mH 2.π.f1 2.π.3400

C1 =

1, 727627 c2 = = 40, 435 nF 2.π.f1 .R0 2.π.3400.2000

L3 =

l3 .R0 1, 727627.2000 = = 161, 741 mH 2.π.f1 2.π.3400

C4 =

c4 0, 715603 = = 16, 748 nF 2.π.f1 .R0 2.π.3400.2000

El filtro paso bajas de Butterworth se muestra en la figura 4.6

Figura 4.6: El filtro Butterworth de segundo orden

74

4.2

Aproximaci´ on Chebychev

La funci´on caracter´ıstica para la aproximaci´on de Chebychev es de la forma para Ω ≤ 1

φ(Ω) = cos(n arc cos(Ω)) φ(Ω) = cosh(n arg cosh(Ω)) La ecuaci´on caracter´ıstica toma la forma

para Ω ≥ 1

(4.14) (4.15)

G(Ω)G(−Ω) = 1 + %2 cos2 (n arc cos(Ω))

(4.16)

G(Ω)G(−Ω) = 1 + %2 cos2 h(n arg cosh(Ω))

(4.17)

El orden del filtro Igual como en el caso de la aproximaci´on de Butterworth se puede derivar el orden del filtro para la aproximaci´on de Chebychev. Para Ω = Ω1 = 1 es la atenuaci´on a = amax y de (4.17) se puede escribir

Figura 4.7: La plantilla normalizada de paso bajas e2amax = 1 + %2 cos2 (n.argcosh(1)) y calculando % %=

√

e2amax − 1

Para Ω = Ω2 = 1 es la atenuaci´on a = amin y de (4.17) se puede calcular n. e2amin = 1 + %2 cos2 h(n argcosh(Ω2 )) Si se calcula el logaritmo natural de ambos lados de la ecuaci´on anterior se obtiene la ecuaci´on para calcular el orden del filtro para la aproximaci´on de Chebychev (4.18). #

2a

min −1 argcosh ee2amax −1 n≥ argcosh(Ω2 )

75

(4.18)

En la ecuaci´on (4.18) la atenuaci´on a se sustituye en Nepers. Para calcular la atenuaci´on en Decibeles es necesario utilizar las ecuaciones (4.19) o (4.20). #

0.23a

min −1 argcosh ee0.23amax −1 n≥ argcosh(Ω2 )

0

argcosh n≥

(4.19)

amin

10 10 −1 amax 10 10 −1

argcosh(Ω2 )

(4.20)

Ceros de la funci´ on de transferencia Para calcular la funci´on de transferencia G(s) se calculan los ceros de la ecuaci´on G(Ω)G(−Ω) = 1 + %2 cos2 (narccos(Ω))

(4.21)

Si se hace la sustituci´on arccos(Ω) = θ1 + jθ2 se obtiene Ω = cos(θ1 + jθ2 ) = cos(θ1 )cosh(θ2 ) + jsen(θ1 )senh(θ2 )

(4.22)

De la ecuaci´on (4.21) se obtiene j % Si se desarrolla la funci´on anterior en la forma trigonom´etrica se obtiene cos(nθ1 + jnθ2 ) =

j % De esta ecuaci´on es posible obtener dos ecuaciones. Se comparan las partes reales e imaginaras de ambos lados de la ecuaci´on anterior cos(nθ1 )cosh(nθ2 ) + jsen(nθ1 )senh(nθ2 ) =

cos(nθ1 )cosh(nθ2 ) = 0

(4.23)

1 (4.24) % La funci´on cosh(nθ2 ) para ning´ un nθ2 es igual a cero. Entonces es el primer t´ermino en la primera ecuaci´on el que debe ser igual a cero (cos(nθ1 ) = 0). Esta ecuaci´on es igual a cero para sen(nθ1 )senh(nθ2 ) =

θ1 =

(2k + 1) π 2

Si se sustituye (4.25) en (4.24) se obtiene sen(

1 (2k + 1) π)senh(nθ2 ) = 2 %

pero sen( (2k+1)π ) = 1 y la ecuaci´on anterior toma la forma 2 76

(4.25)

1 1 argsenh( ) (4.26) n % De la ecuaci´on (4.22) se obtiene la ecuaci´on (4.27). Mediante (4.27) se calculan los ceros de la funci´on de transferencia del filtro Chebychev para cualquier orden del filtro y cualqier atenuaci´on amax θ2 =

sk = jΩk = −sen(θ1 ).senh(θ2 ) ± jcos(θ1 ).cos(θ2 )

(4.27)

Mediante las ecuaciones (4.26), (4.25) y (4.27) se puede calcular la funci´on de transferencia G(s) del filtro Chebychev. Los ceros del filtro Chebychev son ubicados en la elipse y en la parte izquierda del plano s. En el siguiente ejemplo se muestra como se calcula la funci´on de transferencia de un filtro de tercer orden. Ejemplo 10: Calcular la funci´on de transferencia de Chebychev para amax = 2 dB y el orden del filtro n=3. Primero se calcula %: %=

√

10amax/10 − 1 =

#

102/10 − 1 = 0, 764

1 1 ) = 0, 358 θ2 = argsenh( 3 0, 764 cosh(0, 358) = 1, 06

senh(0, 358) = 0, 366

y los ceros de la funci´on de transferencia son π π s0 = −0, 366.sen( ) ± j1, 065.cos( ) = −0, 183 ± j0, 922 6 6 3π 3π s1 = −0, 366.sen( ) ± j1, 065.cos( ) = −0, 366 6 6 Los dem´as ceros no es necesario calcularlos, porque son conjugados y est´an ubicados en la elipse, como se ve de la figura 4.8. La funci´on de transferencia es G(s) = (s + 0, 366)(s + 0, 183 + j0, 922)(s + 0, 183 − j0, 922) G(s) = s3 + 0, 73329s2 + 1, 01859s + 0, 324665 A primera vista se ve, que para ω = 0 la atenuaci´on no es igual a cero. Falta calcular la constante K. Para s = 0 debe ser G(s)=1. La constante se obtiene de la ecuaci´on siguiente G(s)|s=0 = K(s3 + 0, 73392s2 + 1, 01859s + 0, 324665)|s=0 = 1 entonces K=

1 = 3, 0857855 0, 324066 77

Figura 4.8: Ubicaci´on de los polos del filtro Chebychev La funci´on de transferencia toma la forma G(s) = 3, 085588855s3 + 2, 261678s2 + 3, 1431724s + 1 Para ω = 1 la atenuaci´on debe ser igual a 2 [dB]. G(j) = −j3, 0855855 − 2, 2616 + 3, 14317j + 1 = −1, 2616 + j0, 05758 #

a = 20.log 1, 26162 + 0, 05758692 = 2, 03 [dB] Para calcular la impedancia de entrada (4.28) de un filtro de Chebychev es necesario calcular la funci´on caracter´ıstica φ(s) en la forma polinomial. La funci´on caracter´ıstica en la forma trigonom´etrica no se puede utilizar. Zentrada =

G(s) ± φ(s) G(s) ∓ φ(s)

Funci´on caracter´ıstica toma la forma φ(Ω) = %.cos(narccos(Ω)) Si se se sustituye por arcos(Ω) = θ y % = 1 en la ecuaci´on anterior se obtiene φ(Ω) = cos(nθ) para n=1 φ1 (Ω) = cos(θ) = Ω para n=2 φ2 (Ω) = cos(2θ) = 2Ω2 + 1 para n=3 φ3 (Ω) = cos(3θ) = 4Ω3 − 3Ω 78

(4.28)

Ejemplo 11: Calcular la impedancia de entrada de Chebychev para amax = 2 dB y el orden de filtro n=3. La funci´on de transferencia fue calculada en el ejemplo 9 y es de la forma G(s) = 3, 085588855s3 + 2, 261678s2 + 3, 1431724s + 1 La funci´on de caracter´ıstica φ(ω) para n=3 es φ3 (s) = φ3 (s) =

√

√

e0,23amax − 1(4s3 + 3s)

e0,23.2 − 1(4s3 + 3s) = 3, 0855855s3 + 2, 3141892s

Y la impedancia de entrada del filtro de Chebychev es

6, 171s3 + 2, 2616s2 + 5, 457s + 1 G(s) + φ(s) = Zentr (s) = G(s) − φ(s) 2, 2616s2 + 0, 8289s + 1 Si se desarrolla la impedancia Z(s) en el quebrado de escalera, se obtiene el circuito que se muestra en la figura 4.9

Figura 4.9: Filtro Chebychev de tercer orden.

Z(s) = 2, 728s +

1 0, 8289s +

1 2,728s+ 11

Si se necesita que el filtro tenga en la salida impedancia infinita, se calcula la impedancia del filtro mediante la ecuaci´on (4.29) Z(s)entr = Zentr (s) =

parte impar de G(s) parte par de G(s)

(4.29)

3, 08558s3 + 3, 14317s 2, 2116s2 + 1

Zentr = 1, 36429s +

1 1, 2714s +

1 1,2788s

El circuito que trabaja con la salida abierta se muestra en la figura 4.10b. El circuito en la figura 4.10a no se puede utilizar, porque la u ´ltima inductancia no influye la funci´on de transferencia y es necesario utilizar el circuito dual que se muestra en la figura 4.10b.

79

Figura 4.10: Filtro Chebychev de tercer orden.

4.3

Aproximaci´ on Chebychev inverso

La aproximaci´on Chebychev inversa se obtiene de la aproximaci´on Chebychev normal mediante las transformaciones 1 Ω La transformaci´on se muestra en la figura 4.11

φ=

Ω=

1 φ

Figura 4.11: La transformaci´on de las plantillas. La ecuaci´on caracter´ıstica (4.14) con estas transformaciones se cambia y toma la forma G(s)G(−s) = 1 + G(Ω)G(−Ω) = 1 + G(Ω)G(−Ω) = 1 +

%2 cos2 (n

%2 cosh2 (n

1

1 arccos( Ω1 )) 1 argcosh( Ω1 ))

1 + %2 cos2 (n arccos( Ω1 )) G(Ω)G(−Ω) = %2 cos2 (n arccos( Ω1 )) 80

(4.30)

φ( 1s )φ( −1 ) s Ω≤1 Ω≥1

(4.31) (4.32) (4.33)

1 + %2 cosh2 (n argcosh( Ω1 )) G(Ω)G(−Ω) = %2 cosh2 (n argcosh( Ω1 ))

(4.34)

Como en el caso de la aproximaci´on de Chebychev, se pueden obtener de manera semejante las ecuaciones para calcular los ceros de la funci´on de transferencia. Los ceros de la funci´on de transferencia del filtro Chebychev inversa se calculan mediante las ecuaciones (4.35) (4.36) (4.37) y (4.38) %= √ φ2 =

1 e0,23amin − 1

1 1 argsenh n %

(4.36)

2k + 1 π 2n

(4.37)

φ1 =

s(k) =

(4.35)

1 −sin(φ1)sinh(φ2 ) ± jcos(φ1 )cosh(φ2 )

(4.38)

Los polos de la funci´on de transferencia G(s) son en las frecuencias Ωk . Los polos de la atenuaci´on se calculan igualando el denominador (4.33) a cero como se ve en (4.39). 1 %2 cos2 (n.arccos ) = 0 Ω

(4.39)

los polos de la funci´on de transferencia se calculan mediante la ecuaci´on (4.40) Ωk =

1 π cos 2k+1 2n

(4.40)

Ejemplo 12: Calcular los polos de la funci´on de transferencia de Chebychev inversa para el orden del filtro n=2.

Ωk =

Ω0 =

1 cos 2k+1 π 6

1 = 1, 1547 cos π6

Ω1 =

1 =∞ cos 3π 6

La atenuaci´on tiene dos polos en la frecuencia Ω0 = 1, 1547 y en Ω1 = ∞. La atenuaci´on se muestra en la figura 4.12a y la estructura del filtro en la figura 4.12b. 81

Figura 4.12: La atenuaci´on y la estructura del filtro Chebychev inverso para n=3. Ejemplo 13: Calcular los polos de la funci´on de transferencia de Chebychev inversa para el orden del filtro n=5. los polos de atenuaci´on se calculan mediante la ecuaci´on Ωk =

1 cos 2k+1 π 6

Ω0 =

1 π = 1, 0514 cos 10

Ω1 =

1 = 1, 7013 cos 3π 10

Ω2 =

1 =∞ cos 5π 10

La atenuaci´on tiene tres polos en la frecuencia Ω0 = 1, 0514, Ω2 = 1, 7013 y en Ω = ∞. La atenuaci´on se muestra en la figura 4.13a y la estructura en la figura 4.13b.

Figura 4.13: La atenuaci´on y la estructura del filtro Chebychev inverso para n=5. 82

Ejemplo 14: Calcular la funci´on de transferencia para la aproximaci´on de Chebychev inversa, si n=3, amin = 4, 338 [dB]. Primero se calcula %, φ2 , cosh(φ2 ) y senh(φ2). %= √

1 e0,23amin − 1

=√

1 e0,23.4,338 − 1

= 0, 764247

1 1 = 0, 358724 φ2 = argsenh 3 0, 764247 cosh(φ2 ) = cosh(0, 358724) = 1, 06503 senh(φ2 ) = senh(0, 358724) = 0, 36646 Si se sustituye por k= 0,1 en la ecuaci´on (4.38) se obtiene S0 =

−0, 3664.sen π6

S1 =

1 = 0, 207 ± j1, 043 ± j1, 06503.cos π6

−0, 3664.sen 3π 6

1 = 2, 7287 ± j1, 06503.cos 3π 6

Los ceros son complejos y conjugados y por eso no es necesario calcularlos a t´odos. Los ceros de la funci´on de transferencia est´an ubicados como se ve en la figura 4.14. En este caso los ceros de la funci´on de transferencia de Chebychev inversa est´an en un ovalo y los polos en el eje imaginario. La funci´on de transferencia se obtiene si se multiplican los ceros de la funci´on de transferencia. El polo de la funci´on de transferencia se ha calculado en ejemplo 11 y tiene el valor Ω0 = 1, 154

Figura 4.14: Ceros y polos de la funci´on de transferencia de Chebychev inverso para n=3.

G(s) = K

[(s + 0, 2072)2 + 1, 043022 ](s + 2, 7287) s2 + 1, 1542

G(s) = K

s3 + 3, 14317s2 + 2, 26168s + 3, 08578 s2 + 1, 1542 83

Si se calcula la funci´on de transferencia de Chebychev para el mismo % se obtiene G(s) = 3, 08578s3 + 2, 26168s2 + 3, 143173 + 1 Si se compara el numerador de Chebychev inverso con la funci´on de transferencia de Chebychev podemos ver que la relaci´on entre los coeficientes de la funci´on de transferencia de Chebychev y Chebychev inversa es ai = an−i . Todav´ıa necesitamos calcular la constante K de Chebychev inverso. La konstante K se calcula de la misma manera para que la funci´on de transferencia G(0) = 1. 3, 08578 =1 1, 15472 K = 0, 4320885 K

La funci´on de transferencia G(s) que cumple las especificaciones es de la forma G(s) =

0, 432s3 + 1, 358s2 + 0, 977s + 1, 333 s2 + 1, 15472

Vamos ahora a comprobar si en ω = 1 es la atenuaci´on 4.3379 [dB]. G(j) =

−j0, 432 − 1, 358 + j0, 977 + 1, 333 = −0, 07438 + j1, 63547 −1 + 1, 333 #

a = 20.log 0, 074382 + 1, 635472 ∼ 4.3 [dB] Si es necesario realizar el circuito no se puede calcular la impedancia de entrada como en el caso de Butterworth o Chebychev, porque la funci´on de transferencia no es solo un polinomio, sino el quebrado de dos polinomios. Tambi´en existen los polos en las frecuencias Ωk . Esto significa que para realizar el circuito se necesitan dos par´ametros, uno de la impedancia de entrada Z11 y otro de la impedancia de transferencia Z12 . Las impedancias mencionadas se pueden calcular mediante las ecuaciones (4.41) y (4.42), Z11 =

gimpar + fimpar gpar + fpar

(4.41)

k(s) gpar + fpar

(4.42)

Z12 =

donde g(s) es el numerador del polinomio G(s), f(s) es el numerador del polinomio φ(s) y k(s) es el denominador de φ(s). El gpar (s) es la parte par del numerador de polinomio G(s). En siguiente ejemplo se realiza un filtro Chebychev inverso si se conocen G(s) y φ(s). Ejemplo 15: Realizar el filtro Chebychev inverso del ejemplo anterior. La funci´on de transferencia del filtro Chebychev inverso del ejemplo anterior es de la forma G(s) =

0, 432s3 + 1, 358s2 + 0, 977s + 1, 333 s2 + 1, 15472

Entonces la parte par e impar de g(s) son respectivamente 84

Figura 4.15: Circuito Chebychev inverso de los ejemplos 13 y 14.

gpar (s) = 1, 358s2 + 1, 333

gimp (s) = 0, 432s3 + 0, 977s

Todav´ıa es necesario calcular φ(s). φ(s) = %

s3 0, 333s3 = % 4 + 3s2 s2 + 1, 1542

Para % = 0, 76424 del ejemplo anterior la funci´on caracter´ıstica es de la forma φ(s) =

0, 4320885s3 s2 + 1, 1542

De la u ´ltima ecuaci´on se puede escribir fpar = 0

fimp = 0, 432s3

k(s) = s2 + 1, 1542

Y las impedencias de entrada Z11 y de transferencia Z12 son de la forma Z11

0, 864s2 + 0, 977s = 1, 358s2 + 1, 333

Z12

s2 + 1, 1542 = 1, 358s2 + 1, 333

Es necesario realizar ambos par´ametros para obtener el circuito. Los denominadores de Z11 y Z12 son iguales y si se realiza el denominador de Z11 se realiza tambi´en el denominador de Z12 . Los ceros de Z12 son en ∞ y en s = −1, 333. Si se realizan los ceros en orden ∞, s = −1, 333 se obtiene el circuito que se muestra en la figura 4.15. Si se calcula la frecuencia de resonancia del circuito en serie se obtiene ωres = 1, 154. Este valor coincide con el polo de la funci´on caracter´ıstica, pero tambi´en con el cero de la impedancia Z12 .

4.4

Aproximaci´ on de Bessel

La funci´on de transferencia del este filtro es un polinomio de Bessel. El polinomio de Bessel se calcula mediante la ecuaci´on (4.43) n -

(2n − k)!sk yn (s) = n−k k!(n − k)! k=0 2 85

(4.43)

Los filtros de Bessel necesitan m´as elementos que la aproximaci´on Butterworth con las mismas especificaciones, pero la ventaja es, que la fase en la banda de paso puede ser lineal, eso significa, que todas las frecuencias en la banda de paso son retardadas sobre el mismo tiempo. Eso es necesario por ejemplo si se transmiten se˜ nales de video. Ejemplo 16. Calcular la funci´on de transferencia del filtro Bessel para el orden del filtro n=6. para k=0

(12 − 0)!s0 = 10395 26 0!(6 − 0)!

y0 (s) = para k=1

(12 − 1)!s1 y1 (s) = 5 = 10395s 2 1!(6 − 1)!

para k=2

y2 (s) =

(12 − 2)!s2 = 4725s2 4 2 2!(6 − 2)!

y3 (s) =

(12 − 3)!s3 = 1260s3 23 3!(6 − 3)!

y4 (s) =

(12 − 4)!s4 = 210s4 22 4!(6 − 4)!

y5 (s) =

(12 − 5)!s5 = 21s5 21 5!(6 − 5)!

y6 (s) =

(12 − 6)!s6 = 1s6 20 6!(6 − 6)!

para k=3

para k=4

para k=5

para k=6

El polinomio de Bessel para n=6 toma la forma:

y6 (s) = s6 + 21s5 + 210s4 + 1260s3 + 4725s2 + 10395s + 10395 La funci´on de transferencia debe cumplir la condici´on |G(0)| = 1. Es necesario calcular el coeficiente en el denominador de la funci´on de transferencia. Para nuestro ejemplo el coeficiente K es 10395. (4.44) s6 + 21s5 + 210s4 + 1260s3 + 4725s2 + 10395s + 10395 (4.44) 10395 Los coeficientes de la funci´on de transferencia del filtro Bessel se muestran en la tabla 4.4. El filtro Butterworth tiene en la frecuencia de corte ω = 1 la atenuaci´on 3 [dB]. Vamos a calcular que atenuaci´on tiene el filtro de Bessel en la misma frecuencia del corte. G(s) =

Ejemplo 17. Calcular la atenuaci´on del filtro Bessel de orden n=3 para ω = 1. La funci´on de transferencia del filtro de Bessel para n=3 se obtiene de las tablas 4.4 86

n 1 2 3 4 5

a0 a1 a2 a3 a4 1 3 3 15 15 6 105 105 45 10 945 945 420 105

Tabla 4.4: La tabla de los coeficientes del polinomio de Bessel y(s) = a0 + a1 s + ... + an s n , a 1 = 1 r 1 ± i1 -1 −1, 5 ± j0, 866 -2,322 −2, 896 ± j0, 867 -3,646 −4, 248 ± j0, 867

n 1 2 3 4 5 6

r 2 ± i2

r 3 ± i3

−1, 838 ± j1, 754 −2, 103 ± j2, 657 −3, 351 ± j1, 742 −2, 324 ± j3, 572 −3, 735 ± j2, 626 −2, 515 ± j4, 492

Tabla 4.5: La tabla del los ceros de polinomio de Bessel

15 + 15s + 6s2 + s3 15 15 Para ω = 0 se tiene |G3 (0)| = 15 = 1 y la atenuaci´on amax = 20log(1) = 0. En ω = 1 la funci´on de transferencia G(j) toma la forma G3 (s) =

15 + 15j − 6 − j = 0, 6 + j0, 9333 15 y la atenuaci´on en la ω = 1 tiene el valor G(j) =

#

a = 20.log (0, 62 + 0, 93332 ) = 0, 902 [dB] Los ceros de la funci´on de Bessel se pueden encontrar en la tabla 4.5. Ejemplo 18. Calcular un filtro digital paso bajas de Bessel en cascada de sexto orden si la frecuencia del corte es f1 = 3400 Hz y la frecuencia de muestreo es de 24000 Hz. La funci´on de transferencia se obtiene de las tablas. G(s) = [(s + 4, 248)2 + 0, 8672 ][(s + 3, 375)2 + 2, 6262 ][(s + 2, 515)2 + 4, 4922 ]

H(s) =

s2

K1 K2 K3 2 2 + 8, 496s + 18, 797 s + 5, 03s + 26, 503 s + 7, 47s + 20, 846

Cada funci´on de transferencia parcial tiene que cumplir Hi (0) = 1 y por esta raz´on elegimos las constantes 87

K1 = 18, 797

K2 = 26, 503

K3 = 20, 846

Para obtener la funci´on de transferencia en la forma discreta es necesario utilizar la transformada z bilineal s=c

z−1 z+1

c = cotg

πf1 π3400 = cotg = 2, 096 fm 24000

se obtiene Si se sustituye en H(s) por s = 2, 096 z−1 z+1 H1 (z) =

0, 458 + 0, 917z −1 + 0, 458z −2 1 + 0.509z −1 + 0, 1316z −2

H2 (z) =

0, 509 + 1, 109z −1 + 0, 509z −2 1 + 0, 804z −1 + 0, 234z −2

0, 639 + 1, 279z −1 + 0, 639z −2 H3 (z) = 1 + 1, 0671z −1 + 0, 491z −2 Los circuitos parciales se conectan en cascada, porque H(z) = H1 (z).H2 (z).H3 (z). El filtro de Bessel de sexto orden se muestra en la figura 4.16

Figura 4.16: El filtro digital de Bessel de sexto orden Ejemplo 19. Calcular un filtro de Bessel LC paso bajas de tercer orden en la forma normalizada, si en la salida se conecta un circuito electr´onico con impedancia infinita. La funci´on de transferencia G(s) se obtiene de las tabla 4.5. y(s) = (s + 2, 322)[(s + 1, 838)2 + 1, 7542 )] = s3 + 6s2 + 15s + 15 s3 + 6s2 + 15s + 15 = 0, 0666s3 + 0, 4s2 + s + 1 15 Si el circuito trabaja con la puerta de salida abierta la imedancia del circuito es G(s) =

88

Figura 4.17: El circuito Bessel de tercer orden en las formas T y π

Gimpar 0, 0666s3 + s Z(s) = = Gpar 0, 4s2 + 1 Si la impedancia Z(s) se desarrolla en el quebrado de escalera se obtiene Z(s) = 0, 1666s +

1 0, 48s +

1 0,83s

El circuito LC en la figura 4.17a) no se puede utilizar, porque la u ´ltima inductancia est´a volando y no sirve como elemento del filtro, (la salida est´a abierta). Es necesario utilizar el circuito dual en la forma π que se muestra en la figura 4.17b).

4.5

Aproximaci´ on de Cauer

La aproximaci´on de las especificasiones de la plantilla consiste en encontrar la funci´on de transferencia G(s) que cumple con dichas especificaciones. Para la aproximaci´on de las plantillas se usa la ecuaci´on caracter´ıstica (4.45). G(s)G(−s) = 1 + φ(s)φ(−s)

(4.45)

G(s) es la funci´on de transferencia definida por la ecuaci´on (4.46) G(s) =

$

U0 I0 U2 I2

(4.46)

La funci´on φ(s) es la funci´on caracter´ıstica a elegir que cumple solo una condici´on. La funci´on caracter´ıstica puede ser cualquier funci´on positiva. La funci´on de transferencia debe cumplir las siguientes condiciones: • El numerador de G(s) debe ser un polinomio Hurwitz. Eso significa que los ceros deben estar en el lado izquierdo del plano complejo de G(s). • Para todas las frecuencias ω la funci´on de transferencia G(s) debe cumplir la condici´on |G(jω)| ≥ 1. La prueba de G(s) como una funci´on de transferencia v´alida, no es f´acil, pero si φ(s) es una funci´on positiva podemos ver de (4.45) que se cumple la condici´on |G(jω)| ≥ 1. Si se eligen los ceros de la ecuaci´on de transferencia en el lado izquierdo del plano complejo de G(s) 89

entonces se cumplen las dos condiciones necesarias. En el caso de aproximaci´on el´ıptica la funci´on caracter´ıstica se elige como se muestra en la ecuaci´on (4.47) 1

i=n 2 2 b0 + b1 s + b2 s2 + ... i=1 (s − s01 ) φ(s) = s = s 1 i=n a0 + a1 s + a2 s2 + ... i=1 (s − s∞1 )

(4.47)

En la ecuaci´on (4.47) s0i y s∞i son los ceros Ω0i y polos Omega∞i respectivos como se muestra en la figura 4.18. Los polos de la funci´on caracter´ıstica φ(s) son tambi´en los polos de la funci´on de transferencia G(s). Los polos Ω∞i de la funci´on transferencia G(s) y los ceros Ω0i de la misma son rec´ıprocos. El filtro el´ıptico tiene la atenuaci´on que se muestra en la figura 4.18. La atenuaci´on tiene las oscilaciones en la banda de paso y tambi´en en la banda de supresi´on. Calcular la funci´on de transferencia no es f´acil, es necesario utilizar integrales el´ıpticas. En este apuntes se van a utilizar las series para calcular los ceros de la funci´on de transferencia.

Figura 4.18: Atenuaci´on del filtro de Cauer Generalmente existen por los menos cuatro m´etodos para obtener la funci´on de transferencia de los filtros el´ıpticos: • de Rumpelt • de Darlington • de Cauer • de Skwirzinski El primer m´etodo es muy f´acil de ense˜ nar y tambi´en de aprender. Este m´etodo es gr´afico y tiene la ventaja que se puede aproximar la plantilla muy complicada. Con otras palabras, la plantilla que tiene m´as especificaciones en la banda de paso y de supresi´on, como se muestra en la figura 4.19 En el m´etodo propusto por Darlington, se utilizan los filtros mk de Zobel que se muestran en la figura 4.20. Para utilizar este m´etodo no se necesita conocer las integrales el´ıpticas y es muy f´acil de ense˜ nar y tambi´en de aprender. Pero antes de aprender c´omo se calculan los filtros de Cauer es necesario aprender la teor´ıa del filtro de Zobel. 90

Figura 4.19: Los especificaciones a una paso bajas.

Figura 4.20: Filtro mk Zobel. El m´etodo que propuso Wilhelm Cauer est´a basado en el conocimiento de las integrales el´ıpticas y resulta dif´ıcil de aprender para los estudiantes de licenciatura. Lo mismo se puede decir sobre el m´etodo que propuso Skwirzinskij, el cual aproxima las integrales el´ıpticas con las series. Con este m´etodo al fin se calcula el filtro de tercer orden.

4.5.1

Filtro el´ıptico con el m´ etodo de Rumpelt

La funci´on caracter´ıstica en la ecuaci´on (4.45) de un filtro el´ıptico se puede escribir como un quebrado de dos polinomios: (s2 + a21 )(s2 + a22 )...(s2 + a2n ) (s2 + b21 )(s2 + b22 )...(s2 + b2m ) Este polinomio se puede arreglar en la siguiente forma φ(s) = csr

φ(s) = csr+n−m

a s s a1 a2 ...an ( a1 + s1 )( a2 + b1 b2 ...bm ( bs1 + bs1 )( bs2 +

a2 )...( asn s b2 )...( bsn s

(4.48)

+ +

an ) s bn ) s

(4.49)

Si se en (4.49) sustituye s = jω, despu´es del logaritmo natural de la parte derecha e izquierda se obtiene: n m ω ai ω bi a1 a2 ...an | + (r + n − m) ln ω + | − |− | − | ln |φ(jω)| = ln |c b1 b2 ...bn ω ω i=1 ai i=1 bi

91

(4.50)

Si se sustituye en (4.50) por |c

a1 a2 ...an | = ek b1 b2 ...bm

ω = eγ ,

ai = eγai

(4.51) bi = eγbi

y

(4.52)

se obtiene la relaci´on (4.53):

aφ = ln |φ(ω)| = k + (r + n − m)γ +

n i=1

ln |eγ−γai − e−(γ−γai ) | −

m i=1

ln |eγ−γbi − e−(γ−γbi ) | (4.53)

Que se pede escribir tambi´en en la forma siguiente

aφ = k + (r + n − m)γ +

n i=1

ln(2 senh|γ − γai |) −

m i=1

ln(2 senh|γ − γbi |)

(4.54)

La ecuaci´on (4.54) se puede graficar. La constante k se grafica como una recta paralela con el eje γ. El t´ermino (r + n − m)γ es tambi´en una recta con la pendiente (r + n − m), como se ve en la figura 4.21. Los u ´ltimos dos t´erminos es el grafo para realizar los polos y ceros de la funci´on caracter´ıstica φ(s). Si todas las componentes se suman se obtiene la funci´on caracter´ıstica φ(s) y despu´es mediante la ecuaci´on caracter´ıstica (4.45) la funci´on de transferencia G(s). En el siguiente ejemplo se mostrar´a como se obtiene la funci´on de transferencia del filtro el´ıptico mediante el m´etodo de Rumpelt.

Figura 4.21: Gr´afica de las componentes. Ejemplo 1: En este ejemplo se realiza el filtro el´ıptico si se conocen los especificaciones de la plantilla en la figura 4.22. Para transformar el filtro de la variable ω a variable γ, se utilizan las ecuaciones (4.51) y (4.52). La atenuaci´on aφ se transforma mediante la ecuaci´on eaφ =

1 ln |e0,23a − 1| 2 92

Figura 4.22: Especificaciones para paso bajas. Entonces la atenuaci´on amax = 0.869 se transforma a un valor -0.754 y amin = 21, 784 se transforma a 2,496. 1 ln |e0,23.0,869 − 1| = −0, 754 2 1 eaφmin = ln |e0,23.21,74 − 1| = 2, 496 2 La frecuencia del corte f1 y la frecuencia f2 en el dominio de γ toman los valores eaφmax =

γ1 = ln 1 = 0 60 γ2 = ln = 0, 405 40 Los especificaciones de la plantilla en el dominio de γ se muestran en la figura 4.23. Estas especificaciones se grafican posteriormente en un papel transparente, para obtener la constante k.

Figura 4.23: Los especificaciones para paso bajas en el dominio de γ.

En otro papel se grafica, mediante los patrones en la figura 4.21, los polos en la parte derecha del dominio γ y los ceros en la parte izquierda. Los polos est´an ubicados en γb1 = 0, 5 y γb2 = 1, mientras los ceros en γa1 = −1 y γa2 = −2. Si todas las gr´aficas interrumpidas se suman se obtiene como resultado la l´ınea no interrumpida, como se ve en la figura 4.24. Ahora, mediante la plantilla en el papel transparente buscamos si la atenuaci´on cumple las 93

especificaciones y calculamos la constante k. La konstante k es la distancia entre γ en el papel transparente y γ de la plantilla. Los m´aximos y m´ınimos de los ceros y polos tienen el mismo nivel, como se aprecia de la figura 4.24.

Figura 4.24: Polos, ceros y gr´afica de φ(jω) Si se utilizan los ecuaciones (4.51) y (4.52) se obtienen los coeficientes de la funci´on caracter´ıstica φ(ω). a1 = eγa1 = 0, 37

a2 = eγa2 = 0, 14

b1 = eγb1 = 1, 65

b2 = eγb2 = 2, 72

La funci´on caracter´ıstica, sustituyendo la ecuaci´on (4.48), toma la forma φ(s) = ks

(s2 + 0, 372 )(s2 + 0, 142 ) (s2 + 1, 652 )(s2 + 2, 722 )

La funci´on de transferencia G(s) se calcula mediante la ecuaci´on (4.45).

4.5.2

Filtro el´ıptico seg´ un Darlington

Darlington en su trabajo elegi´o la funci´on caracter´ıstica en la forma: Para los filtros sim´etricos: φ(jω) =

√

φ(jω) =

√

e0,23amax − 1 cosh(g0m )

(4.55)

e0,23amax − 1 senh(g0m )

(4.56)

Para los filtros asim´etricos:

De los filtros mk de Zobel, figura 4.20, se obtiene: cosh(g0m ) =

m 2 s2 + s2 + 1 s2 +1 Ω2 ∞

y para senh(g0m ) 94

(4.57)

√ 2ms s2 + 1 senh(g0m ) = s2 +1 Ω2

(4.58)

∞

Para obtener la funci´on caracter´ıstica primeramente se calcula eq0m y e−q0m . √ (ms + s2 + 1)2 q0m e = cosh gom + senh g0m = s2 +1 Ω2∞ √ (ms − s2 + 1)2 −q0m e = cosh gom − senh g0m = s2 +1 Ω2 ∞

Si los filtros de Zobel se conectan en cascada las constantes de propagaci´on se suman g0 + g01 + g02 + ... + g0m y, despu´es de un largo c´alculo, se obtiene:

cosh g0m

1 (m1 s + = 2

√

s2 + 1)2 ...(mσ s +

√

√ √ s2 + 1)2 + (m1 s − s2 + 1)2 ...(mσ s − s2 + 1)2 2 2 ( Ωs2 + 1)( Ωs2 + 1)... ∞1

∞2

y la funci´on caracter´ıstica de un filtro el´ıptico y sim´etrico toma la forma:

φ(jω) =

√

e0,23amax − 1cosh g0 =

√

e0,23amax − 1

1 + a2 s2 + a4 s4 + ... + a2σ s2σ 2 2 ( Ωs2 + 1)( Ωs2 + 1)... ∞1

∞2

donde los coeficientes ai para varios σ se calculan mediante las ecuaciones σ = 1 a2 = 1 + m21 σ = 2 a2 = 2α12 + 2α2 a4 = 1 + α12 + α22 + 2α2 σ = 3 a2 = 3 + α12 + 2α2 a4 = 3 + 2α12 + α22 + 4α2 + 2α1 α3 a6 = 1 + α12 + α22 + α23 + 2α2 + 2α1 α3 α1 α2 α3 ........ ασ

= m1 + m2 + ...mσ = m1 m2 + m1 m3 + ... + m2 m3 + ... + mσ−a mσ = m1 m2 m3 + ... + mσ−2 mσ−1 mσ ................................................... = m1 m2 ...mσ

Para los filtros antim´etricos se calcula senh g0 √ √ √ 1 (m1 s + s2 + 1)2 ...(mσ s + s2 + 1)2 (s + s2 + 1) senh g0 = + 2 2 2 ( Ωs2 + 1)( Ωs2 + 1)... 01 01 √ √ √ 2 2 2 (m1 s − s + 1) ...(mσ s − s + 1)2 (s − s2 + 1) + 2 2 ( Ωs2 + 1)( Ωs2 + 1)... 01

01

y la funci´on caracter´ıistica φ(s) toma la forma: 95

(4.59)

φ(jω) =

√

e0,23amax − 1senh g0 =

√

e0,23amax − 1s

1 + 2α1 + b2 s2 + b4 s4 + ... + b2σ s2σ (4.60) 2 2 ( Ωs2 + 1)( Ωs2 + 1)... ∞1

∞2

los coeficientes de la funci´on caracter´ıstica se calculan mediante siguientes ecuaciones: σ = 1 b2 = 1 + m21 + 2m1 σ = 2 b2 = a2 + 4α1 + 2α1 α2 b4 = a4 + 2α1 + 2α1 α2 σ = 3 b2 = a2 + 6α1 + 2α3 + 2α1α2 b4 = a4 + 6α1 + 4α3 + 4α1 α2 + 2α2 α3 b6 = a6 + 2α1 + 2α3 + 2α1 α2 + 2α2 α3

4.5.3

Filtro el´ıptico seg´ un Skwirzinski

En la figura 4.18 se calkula la constante K K=

ω1 ω2

donde ω1 es la frecuencia del corte y ω2 es la frecuencia de supresi´on. En el caso del filtro el´ıptico las frecuencias de la atenuaci´on m´ınima y m´axima est´an relacionadas mediante las ecuaciones Ω0s =

1 Ω∞s

Ωus =

1 Ωns

El orden del filtro se puede calcular mediante la ecuaci´on (4.61). n=

ln(e0,23amax − 1) − 0, 23amin − 2, 77 ln(q)

(4.61)

donde !

2

K K 1+2 q= 16 4

32

2

K + 15 4

34

2

K + 150 4

36 " 4

(4.62)

Los ceros de la funci´on caracter´ıstica Ω0s se calculan para n impar mediante la ecuaci´on (4.63). 1

Ω0s = 2q 4

6s 2s π) − q 2 sen( 2n π) + q 6 sen( 10s π) sen( 2n 2n 2s 4s 4 1 − 2qcos( n π) + 2q cos( n π)

(4.63)

Los polos de la funci´on caracter´ıstica Ωus se calculan mediante la ecuaci´on (4.64). 1

Ωus = 2q 4

sen( 2s+1 π) − q 2 sen( 3(2s+1) π) + q 6 sen( 5(2s+1) π) 2n 2n 2n 1 − 2qcos( 2s−1 π) + 2q 4 cos( 2(2s−1) π) n n 96

(4.64)

Los ceros de la funci´on de transferencia se calculan mediante los ecuaciones (4.65), (4.66) y (4.67). Primero es necesario calcular w 4

!

4

"

4 4 2 (0, 115amax )2 1 4 4+ ln 44 + ... w= 4 0, 115amax 4 2n 12

(4.65)

El cero real de la funci´on de transferencia se calcula mediante (4.66). 1

α0 = 2q 4

senh(w) − q 2 senh(3w) + q 6 senh(5w) 1 − 2qcosh(2w) + 2q 4 cosh(4w)

(4.66)

La parte real del cero complejo se calcula usando la ecuaci´on (4.67). αs =

#

α0 1 − Ω20s (K +

1 K

1 + α02 Ω20s

− Ω20s )

(4.67)

La parte imaginaria del cero complejo se calcula mediante la siguiente ecuaci´on: βs = ±

#

Ω0s 1 − α02 (K +

1 K

+ α02 )

1 + α02 Ω20s

(4.68)

Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar para calcular el filtro de Cauer s´olo para el orden del filtro impar. En el siguiente ejemplo se explica c´omo se calculan los filtros de Cauer. Ejemplo 2 Calcule el filtro Cauer para las especificaciones que se muestran en la figura 4.25a. Es necesario normalizar la plantilla de las especificaciones.

Figura 4.25: Especificaciones de la plantilla y la plantilla normalizada

f0 =

√

Ω0 =

3400.5100 = 4164, 1326 f0 4164, 1326 = =1 f0 4164, 1326

Ω1 =

3400 f1 = = 0, 816 f0 4164, 1326

Ω0 =

f2 5100 = = 1, 224 f0 4164, 1326 97

La plantilla normalizada se muestra en la figura 4.25b. Es necesario calcular el orden del filtro. Primero se calcula la constante K y despu´es q. K=

0, 816 = 0, 6666 1, 224

%

0, 666 2 0, 666 4 0, 666 6 0, 4444 1 + 2( ) + 15( ) + 150( ) q= 16 4 4 4 n≥

&4

= 0, 0364579

−1, 50777 − 5 − 2, 77 = 2, 8 −3, 311159

El orden del filtro debe ser un n´ umero entero y por eso se elige n=3. La frecuencia normalizada de atenuaci´ on m´ınima en la banda de paso. 1

Ω01 = 2.0, 0364 4

sen( 62 π) − 0, 03642 sen( 66 π) + 0, 03646 sen( 10 π) 6 2 4 4 1 − 2.0, 0364cos( 3 π) + 2.0, 0364 cos( 3 π) Ω01 =

0, 7292548 = 0, 730226 1, 0364561

La frecuencia normalizada de atenuaci´ on m´ axima en la banda de paso. Ωu1

sen( 16 π) − 0, 03642 sen( 63 π) + 0, 03646 sen( 56 π) = 2.0, 0364 1 − 2.0, 0364cos( 13 π) + 2.0, 03644 cos( 23 π) 1 4

Ωu1 = 0, 8739

0, 5 − 0.0013 + 2, 348.10−9 .0, 5 = 0, 4535 1 − 0.036957 − 0, 0000018

El polo de la atenuaci´on y la frecuencia m´ınima normalizada en la banda de supresi´on se calculan como el valor inverso de Ω01 y Ωu1 . Calculando, se obtiene: Ω∞ =

1 = 1, 369 0, 73022

Ωn1 =

1 = 2, 205 0, 4535

Antes de calcular los ceros de la funci´on de transferencia se calcula el coeficiente w !

4

4

"

4 4 2 (0, 115.0, 8699)2 1 4 4+ ln 44 + ... = 0, 499 w= 4 0, 115.0, 869 4 6 12

El cero real de la funci´ on de transferencia. 1

α0 = 2.0, 0364 4

senh(0, 499) − 0, 03642 senh(3.0, 499) + 0, 03646 senh(5.0, 499) = 0, 5096 1 − 2.0, 0364cosh(2.0, 499) + 2.0, 03644 cosh(4.0, 499)

La parte real del cero complejo de la funci´ on de transferencia. α1 =

#

1 0,666 0, 50962 .0, 730222

0, 5096 1 − 0, 7320222 (0, 666 + 1+

98

− 0, 730222 )

= 0, 160769

La parte imaginaria del cero complejo de la funci´ on de transferencia. β1 = ±

#

1 0,6666 0, 50962 .0, 73022682

0, 73022 1 − 0, 50962 (0, 6666 + 1+

+ 0, 50962 )

= 0, 8189

La funci´on de transferencia del filtro Cauer es de la forma [(s + 0, 1607)2 + 0, 81892 ] G(s) = C.(s + 0, 5096) s2 .0, 730222 + 1 G(s) = 5, 358

s3 + 0, 83s2 + 0, 865s + 0, 35 s2 + 1, 87536

(4.69)

Y la funci´on de caracter´ıstica toma la forma φ(s) = 5, 358

s3 + 0, 533s s2 + 1, 87

(4.70)

Ejemplo 3. Realice el filtro de Cauer del ejemplo anterior. La impedancia Z11 y Z12 del filtro de Cauer se calcula mediante la ecuaci´on (4.71) Z11 =

gimpar + fimpar gpar + fpar

Z12 =

k(p) gpar + fpar

(4.71)

Sustituyendo por gimpar , gpar , fpar , fimpar y por k(p) en (4.71), se obtiene: s2 + 1, 875 (4.72) 0, 83s2 + 0, 35 √ Los ceros de la impedancia de transferencia son s = ∞ y s = 1, 875. Primero se realiza el √ cero en s = − 1, 875 mediante el circuito particular de la figura 4.26a. Es necesario calcular Z1 . Z11 =

2s3 + 1, 398s 083s2 + 0, 35

Z12 =

Figura 4.26: Filtro Cauer de tercer orden

Z1 = s

2s2 + 1, 398 = 1, 948s 0, 83s2 + 0, 35 |s2 =−1,87

La impedancia Z1 es la inductancia L1 = 1, 948. Ahora se conocen las impedancias Z11 y Z1 y se puede calcular Z0 de la figura 4.26a. 99

Z0 = Z11 − 1, 948s = Y0 =

0, 38316s3 + 0, 7162s 2s3 + 1, 398s − 1, 948s = 0, 83s2 + 0, 35 0, 83s2 + 0, 35

As 1 0, 83s2 + 0, 35 = 2 + 1 2 0, 38316s(s + 1, 87) s + 1, 87 Z11

Si se calcula la constante A, entonces se conocen todos valores de los elementos del circuito en serie LC. A=

0, 83s2 + 0, 35 |s2 =−1,87 = 1, 6777 s2 .0, 38316

El circuito serie LC tiene los valores de la inductancia L2 = 0, 596 y la capacitancia C2 = 0, 897. El circuito se muestra la figura 4.26 b. Y2 =

1 1, 6777s = s2 + 1, 87 0, 596s +

1 0,897s

1 Todav´ıa falta calcular el u ´ltimo elemento Z11

1 0, 83s2 + 0, 35 1, 6777s = − 1 Z11 0, 38316s(s2 + 1, 87) s2 + 1, 87 1 0, 18718s2 + 1, 87 = = 2, 047s 1 Z11 0, 38316s(s2 + 1, 87) El circuito completo se muestra en la figura 4.26b, pero necesita tres inductancias y por eso f´ısicamente es m´as f´acil realizar el filtro dual con una inductancia, la cual se muestra en la figura 4.26c. Ejemplo 4: Mediante el matlab calcular la funci´on de transferencia del filtro filtro Cauer para las especificaciones amax = 0.869 dB, n=3, f1 = 3400 Hz y f2 = 5100 Hz. H(s) =

0.394s + 0.453s2 1 + 0.8406s + 0.8419s2 + 0.4507s3

[b,a]=ellip(3,0.869,15,0.816,’s’); [h,w]=freqs(b,a); plot(20log10(abs(h)))

100

Cap´ıtulo 5 Dise˜ no de los filtros mediante tablas 5.1

Tablas del filtro Butterworth.

Los ceros de la funci´on de transferencia de filtro de Butterworth, los coeficientes de la funci´on de transferencia y los valores de los elementos del filtro se encuentran en los libros [73], [51] y [75]. En este libro en la tabla 5.1 se muestran los polos de la funci´on de transferencia del filtro Butterworth hasta el orden n=7. En la tabla 5.2 se encuentran los coeficientes de la funci´on de transferencia y en la tabla 5.3 se encuentran los valores de los elementos del filtro Butterworth. En todas las tablas los valores son para los filtros con la atenuaci´on m´axima de tres Decibeles en la frecuencia de corte ω1 = 1. Ejemplo 1: Calcular la funci´on de transferencia de Butterworth que tiene en la frecuencia de corte 100 Hz la atenuaci´on 0,1 dB. El orden del filtro es n=3. De la tabla 5.2 para n=3 y amax = 3dB se obtiene la funci´on de transferencia G(s) = s3 + 2s2 + 2s + 1 Para obtener G(s) que tiene en ω1 la atenuaci´on 0,1 dB se sustituye por s=

6

√

e0,23.0,2 − 1p = 0, 600893p

Sustituyendo por s=0,600893p se obtiene G(p) = 0, 21696638p3 + 0, 72214479p2 + 1, 201786p + 1 Para obtener en la frecuencia del corte ω1 = 100 rad/sec la atenuaci´on amax = 0, 2 dB se hace p la sustituci´on p = ωp1 = 100 . La funci´on de transferencia que atenua 0,2 dB en la frecuencia del corte ω1 = 100 rad/sec toma la forma G(p) = 2, 1696638.10−7 p3 + 7, 2214479.10−5 p2 + 0, 01201786p + 1 Ejemplo 2: Calcular la funci´on de transferencia del filtro paso bajas de Butterworth para el orden del filtro n=3 y amax = 0, 5 dB. La fracuencia del corte que sea f1 = 100 Hz. 101

n −α1 ±jβ1 −α2 ±jβ2 −α3 ±jβ3 −α4 ±jβ4

1 2 3 1,00000 0,707107 1,00000 0,00000 0,707107 0,00000 0,50000 0,86602

4 0,38268 0,92388 0,92388 0,38268

5 1,00000 0,00000 0,30902 0,95106 0-80902 0,58778

6 0,25882 0,96593 0,70711 0,70711 0,96592 0,25882

7 1,00000 0,00000 0,22252 0,97493 0,62489 0,78183 0,90097 0,43388

Tabla 5.1: Ceros de la funci´on de transferencia del filtro Butterworth

n b1 1 1,00000 2 1,41421 3 2,00000 4 2,61312 5 3,23606 6 3,86370 7 4,49396

b2

b3

b4

b5

b6

b7

1,00000 2,00000 3,41421 5,23606 7,46410 10,0978

1,00000 2,61312 5,23606 9,14162 14,5917

1,00000 3,23606 1,00000 7,46410 3,86370 1,00000 14,5917 10,0978 4,49395 1,00000

Tabla 5.2: Valores de la funci´on de transferencia del filtro Butterworth H(s) = b0 + b1 s + b2 s2 + ... + bn sn , b0 = 1

n 1 2 3 4 5 6 7 n

l1 1 1,41421 1,00000 0,76536 0,61803 0,51763 0,44504 c1

c2

l3

c4

l5

c6

l7

1,41421 2,00000 1,84775 1,61803 1,41421 1,24697 l2

1,00000 1,84775 2,00000 1,93185 1,80193 c3

0,76536 1,61803 1,93185 2,00000 l4

0,61083 1,41421 0,51763 1,80193 1,24697 0,44504 c5 l6 c7

Tabla 5.3: Valores de los elementos del circuito LC. Filtro Butterworth

102

Para amax = 3 dB y la frecuencia del corte ω = 1 de la tabla 5.2 la funci´on de transferencia es H(s) = s3 + 2s2 + 2s + 1 Para desnormalizarla con respecto a f1 = 100 Hz y amax = 0, 5 dB es necesario sustituir en H(s) por s s=

# 6

0,5

10 10 − 1p = 0, 704267p p p= ω1

Si se desnormaliza la funci´on de transferencia con respecto a amax = 0, 5 dB se obtiene H(p) = 0, 7042673 p3 +2.0, 7042672 p2 +2.0, 704267p+1 = 0, 3493p3 +0, 99195p2 +1, 408534p+1 La funci´on de transferencia resultante despues de desnormalizaci´on tambi´en al respecto de la frecuencia del corte f1 = 100 Hz toma la forma H(p) = 1, 40818.10−9 p3 + 2, 536805.10−6 + 2, 2417515.10−3 + 1 Ejemplo 3: Calcular los elementos del filtro Butterworth paso bajas de orden n=7 si en la salida y la entrada hay un resistor de 75 Ω. La atenuaci´on en la frecuencia del corte f1 = 3400 Hz es de 0,5 dB. Los elementos normalizados del filtro Butterworth de la tabla 5.3 son: c1 = c7 = 0, 44504

l2 = l6 = 1, 24697

c3 = c5 = 1, 80193

l4 = 2, 0000

El filtro normalizado est´a en la figura 5.1a). Para desnormalizar los elementos del filtro con respecto a la atenuaci´on de 0,5 dB necesitamos multiplicar cada elemento por una constante K. K=

14

√

e0,23.0,5 − 1 = 0, 86041

Los nuevos elementos desnormalizados con respecto a la atenuaci´on 0,5 dB son: c1 = c7 = 0, 382916

l2 = l6 = 1, 072905

c3 = c5 = 1, 550398

l4 = 1, 72082

Para desnormalizar los elementos del filtro con respecto a la frecuencia f1 = 3400 Hz y a la impedancia 75 Ω se utilizan las ecuaciones: 0, 382916 c1 = = 238, 99 nF ω1 .R0 2.π.3400.75 c3 1, 550398 C3 = C5 = = = 967, 66 nF ω1 .R0 2.π.3400.75 C1 = C7 =

103

Figura 5.1: El filtro paso bajas Butterworth para el orden n=7 1.072905.75 l2 .R0 = = 3, 766 mH ω1 2.π.3400 1, 72082.75 l4 .R0 = = 6, 041 mH L4 = ω1 2.π.3400 El circuito paso bajas desnormalizado se muestra en la figura 5.1b. L2 = L 6 =

5.2

Tablas del filtro Chebychev

Los polos de la funci´on de transferencia, del filtro Chebychev para el orden n=1 hasta n=7 se encuentran en las tablas 5.4 - 5.7. Los valores de los elementos del filtro Chebychev para varios atenuaci´on en dB se encuentran en las tablas 5.8 - 5.11. Ejemplo 4: Calcular la funci´on de transferencia del filtro Chebychev para la s´ıntesis de los circuitos activos en cascada, si amax = 0, 1 dB y el orden del filtro n=5. Para n=5 y amaz = 0, 1 dB se obtinen de la tabla 5.5 la real parte α y la parte imaginaria β de los polos de H(s) n −α1 ±jβ1 −α2 ±jβ2 −α3 ±jβ3 −α4 ±jβ4

1 2 3 1,00000 0,67434 0,42334 0,00000 0,70750 0,86631 0,84668 0,00000

4 0,28009 0,92407 0,67620 0,38276

5 0,19556 0.95120 0,51199 0,58787 0,63285 0,00000

6 0,14296 0,96603 0,39057 0,70718 0,53353 0,25885

7 0,10850 0,97501 0,30401 0,78189 0,43931 0,43392 0,48760 0,00000

Tabla 5.4: Polos de H(s) del filtro Chebychev para amax = 0, 01 dB

104

n −α1 ±jβ1 −α2 ±jβ2 −α3 ±jβ3 −α4 ±jβ4

1 2 3 1,00000 0,61042 0,34896 0,00000 0,71065 0,86837 0,69792 0,00000

4 0,21775 0,92541 0,52570 0,38332

5 0,14676 0.95211 0,28670 0,58843 0,47493 0,00000

6 0,10494 0,96668 0,28670 0,70766 0,39165 0,25902

7 0,07850 0,97550 0,21996 0,78229 0,31785 0,43414 0,35279 0,00000

Tabla 5.5: Polos de H(s) del filtro Chebychev para amax = 0, 1 dB

n −α1 ±jβ1 −α2 ±jβ2 −α3 ±jβ3 −α4 ±jβ4

1 2 3 1,00000 0,56212 0,30618 0,00000 0,71536 0,87122 0,61236 0,00000

4 0,18646 0,92719 0,45015 0,38405

5 0,12402 0.95330 0,32469 0,58917 0,40134 0,00000

6 0,08799 0,96754 0,24040 0,70829 0,32840 0,25925

7 0,06550 0,97613 0,18354 0,78280 0,26522 0,43442 0,29437 0,00000

Tabla 5.6: Polos de H(s) del filtro Chebychev para amax = 0, 25 dB

α1 = −0, 14676 β1 = ±0, 95211 α2 = −0, 38423 β2 = ±0, 58843 α3 = −0, 47493 La funci´on de transferencia del filtro Chebychev para la s´ıntesis del filtro en cascada toma la forma H(s) =

k1 k2 k3 2 2 2 2 (s + 0, 14676) + 0.95211 (s + 0, 38423) + 0, 58843 s + 0, 47493

Los constantes k1 , k2 y k3 se calculan de tal manera para que se cumpla la condici´on H(0)=1. k1 = 0, 9285

k2 = 0, 49388

k3 = 0, 47493

Ejemplo 5: Calcular el filtro Chebychev paso bajas, si se conocen los especificaciones del filtro 5.2. El filtro que trabaje entre las impedancias de 1000 Ω. Primero es necesario calcular el orden del filtro: 105

n −α1 ±jβ1 −α2 ±jβ2 −α3 ±jβ3 −α4 ±jβ4

1 2 3 1,00000 0,51291 0,26829 0,00000 0,72247 0,87532 0,53659 0,00000

4 0,16042 0,92970 0,38728 0,38509

5 0,10570 0.95497 0,27672 0,59020 0,34205 0,00000

6 0,07459 0,96871 0,20378 0,70915 0,27837 0,25957

7 0,05534 0,97701 0,15505 0,78350 0,22406 0,43481 0,24869 0,00000

Tabla 5.7: Polos del H(s) del filtro Chebychev para amax = 0, 5 dB

$

argcosh n≥

15

10 10 −1

0,25 10 10 −1

argcosh(2, 0588)

= 2, 825

Tenemos que elegir n=3. De las tablas 5.10 para n=3 y amax = 0, 25 dB se obtienen los valores normalizados del filtro paso bajas c1 = 1, 6331

l2 = 1, 4362

c3 = 1, 6332

Los valores desnormalizados se calculan mediante las ecuaciones siguientes 1, 6331 = 76, 460 nF 2.3, 1415.3400.1000 1, 4362.1000 L2 = = 67, 228 mH 2.π.3400 El circuito paso bajas se muestra en la figura 5.2b C1 = C3 =

Figura 5.2: Los especificaciones para el filtro de Chebychev y la estructura.

5.3

Tablas de filtro Chebychev inversa

Ceros del filtro Chebychev inversa, (ceros de la funci´on de transferencia H(s)) se encuentran en la tabla 5.13. Los ceros del filtro Chebychev inversa son los polos de la atenuaci´on. Los 106

n 3 5 7 9 n

l1 1,1811 0,9766 0,9127 0,8854 c1

c2 1,8214 1,6849 1,5947 1,5513 l2

l3 1,1811 2,0366 2,0020 1,9615 c3

c4

l5

c6

l7

c8

l9

1,6849 1,8703 1,8616 l4

0,9766 2,0020 1,5947 0,9127 2,0717 1,8616 1,9615 1,5513 0,8854 c5 l6 c7 l8 c9

Tabla 5.8: Valores del filtro Chebychev para amax = 0, 01 dB. n 3 5 7 9 n

l1 1,4328 1,3013 1,2615 1,2446 c1

c2 1,5937 1,5559 1,5195 1,5017 l2

l3 1,4328 2,2411 2,2393 2,2220 c3

c4

l5

c6

l7

c8

l9

1,5559 1,6804 1,6829 l4

1,3013 2,2393 1,5195 1,2615 2,2957 1,6829 2,2220 1,5017 1,2446 c5 l6 c7 l8 c9

Tabla 5.9: Valores del filtro Chebychev para amax = 0, 1 dB. n 3 5 7 9 n

l1 1,6331 1,5400 1,5119 1,5000 c1

c2 1,4362 1,4349 1,4169 1,4705 l2

l3 1,6331 2.4403 2,4531 2,4446 c3

c4

l5

c6

l7

c8

l9

1,4349 1,5349 1,5406 l4

1,5400 2,4531 1,4169 1,5119 2,5077 1,5406 2,4446 1,4705 1,5000 c5 l6 c7 l8 c9

Tabla 5.10: Valores del filtro Chebychev para amax = 0, 25dB. n 3 5 7 9 n

l1 1,8637 1,8069 1,7896 1,7823 c1

c2 1,2804 1,3025 1,2961 1,2921 l2

l3 1,8637 2,6914 2,7177 2,7163 c3

c4

l5

c6

l7

c8

l9

1,3025 1,3848 1,3921 l4

1,8069 2,7177 1,2961 1,7896 2,7734 1,3921 2,7163 1,2921 1,7823 c5 l6 c7 l8 c9

Tabla 5.11: Valores del filtro Chebychev para amax = 0, 5 dB. n 3 5 7 9 n

l1 2,2156 2,2071 2,2040 2,2024 c1

c2 1,0884 1,1279 1,1306 1,1308 l2

l3 2,2156 3,1025 3,1469 3,1540 c3

c4

l5

c6

l7

c8

1,1279 1,1397 1,2020 l4

2,2071 3,1469 1,1306 2,2039 3,2072 1,1020 3,1540 1,1308 2,2024 c5 l6 c7 l8 c9

Tabla 5.12: Valores del filtro Chebychev para amax = 1, 0dB.

107

l9

polos del filtro Chebychev inversa son reciprocos a los polos del filtro Chebychev si = s1i y se pueden obtener de las tablas 5.4 - 5.7. Para la atenuaci´on 20 dB, 30 dB y 40 dB en la frecuencia de supresi´on, los polos del filtro Chebychev inversa se encuentran en las tablas 5.14, 5.15 y 5.16. Ejemplo 6. Calcular la funci´on de transferencia H(s) para el filtro Chebychev Inversa de cinco orden para que en la frecuencia de supresi´on ω2 = 1 la atenuaci´on es amin = 30 dB. De las tablas 5.13 y 5.15 para n=5 y amin = 30 dB se obtiene

H(s) = K

(s2 + 1, 051462 )(s2 + 1, 701302 ) (s + 1, 07787)[(s + 0, 16241)2 + 0, 734932 ][(s + 0, 62225)2 + 0, 664712 ]

H(s) = K

(s2 + 1, 051462 )(s2 + 1, 701302 ) (s + 1, 07787)(s2 + 0, 32482s + 0, 56649)(s2 + 1, 2445s + 0, 829034)

El constante K se calcula de la condici´on H(0)=1. H(0) = K

1, 051462 .1, 70132 =1 1, 07787.0, 566648.0, 829034 K = 0, 158236

La atenuaci´on en la frecuencia normalizada de supresi´on ω2 = 1 se calcula mediante la expresi´on 20.log|G(1)|, donde G(1) = 1/H(1)

G(1) = 31, 59999

(j + 1, 07787).(−0, 43351 + j0, 32482)(−0, 170966 + j1, 2445) (−1 + 1, 051462 )(−1 + 1, 70132 ) G(1) = −31, 59999(−0, 239228 + j0, 971468) amin = 20.log 31, 6154 = 29, 997 dB

Si se requiere que 30 dB es en la frecuencia 3400 Hz es necesario sustituir el la funci´on de p transferencia por s la nueva variable s = 2.π.3400 . Ejemplo 7. Calcular el filtro paso altas de Chebychev inversa para las especificaciones de la plantilla 5.3a. El filtro que trabaje entre los resistores 75 Ω. Primero se transforma la plantilla paso altas 5.3a a paso bajas normalizada 5.3b. Para el filtro Chebychev inversa la frecuencia de normalizaci´on es f0 = 400 Hz. Paso bajas normalizada se muestra en la figura 5.3b. El orden del filtro se calcula mediante la ecuaci´on siguiente. El orden del filtro es 2,0105 y por eso se elige como numero entero n=3. $

argcosh n≥

30

10 10 −1 3

10 10 −1 1 argcosh 0,25

108

= 2, 0105

n 2 3 4 5 6 7 8

Ω∞1 1,41421 1,15470 1,08239 1,05146 1,03528 1,02572 1,01959

Ω∞2

Ω∞3

Ω∞4

2,61313 1,70130 1,41421 3,86370 1,27905 2,30477 1,20269 1,79995 5,12583

Tabla 5.13: Ceros de H(s)-Polos de la atenuaci´on del Chebychev inversa.

n −α1 ±jβ1 −α2 ±jβ2 −α3 ±jβ3 −α4 ±jβ4

2 3 0,30000 0,27597 0,33166 0,62840 0,85345

4 0,20565 0,78291 0,92509 0,60426

5 0,15005 0,86147 0,68614 0,92991 1,57469

6 0,11182 0,90476 0,47723 1,03469 1,48905 0,86506

7 0,08568 0,93071 0,34115 1,06068 1,03813 1,23957 2,26884

8 0,06739 0,94737 0,25388 1,06249 0,69933 1,30663 2,03342 1,13102

Tabla 5.14: Polos de H(s) del filtro de Chebychev inversa para amin = 20 dB

n −α1 ±jβ1 −α2 ±jβ2 −α3 ±jβ3 −α4 ±jβ4

2 3 0,17499 0,22043 0,18062 0,43315 0,53578

4 0,19879 0,61798 0,68363 0,36464

5 0,16241 0,73493 0,62225 0,66471 1,07787

6 0,12969 0,80842 0,49923 0,83385 1,15390 0,51642

7 0,10389 0,85616 0,38931 0,91829 0,97130 0,87987 1,59322

8 0,08420 0,88846 0,30564 0,96013 0,74807 1,04916 1,60230 0,66898

Tabla 5.15: Polos de H(s) del filtro Chebychev inversa para amin = 30 dB

109

n −α1 ±jβ1 −α2 ±jβ2 −α3 ±jβ3 −α4 ±jβ4

2 3 0,09950 0,16115 0,10050 0,29593 0,35230

4 0,17116 0,47610 0,50454 0,24079

5 0,15592 0,61087 0,52480 0,48539 0,78777

6 0,13388 0,70579 0,47103 0,66535 0,90341 0,34193

7 0,11269 0,77234 0,39799 0,78070 0,85179 0,64169 1,20298

8 0,09456 0,81975 0,33009 0,85193 0,72591 0,83644 1,28166 0,43964

Tabla 5.16: Polos de H(s) del filtro Chebychev inversa para amin = 40 dB

n 3 4 6

c1

c2 l2 0,76162 0,20803 1,52324 0,39649 0,40753 1,21732 0,05947 0,48265 0,75761

c3

c4 l4

c5

l6

0,76162 1,53955 1,27903 0,93651 0,63648 0,43328 0,78414

Tabla 5.17: Los elementos del filtro Chebychev inversa para amin = 20 dB.

n 3 4 5 6 8

c1

c2 l2 0,88157 0,09490 1,76315 0,57065 0,21595 1,5230 0,423037 1,14457 1,28450 0,19029 0,31931 0,93256 0,04238 0,35045 0,62053

c3

c4 l4

c5

c6 l6

c7

c8 l8

0,88157 1,71479 0,76245 1,63337 0,53040 0,14736 0,43328 0,91659 1,43027 0,54080 0,87389 0,46067 1,10124 0,92416 0,84673 1,16705 0,68946 0,45019 0,32491 0,87687 0,76148

Tabla 5.18: Los elementos del filtro Chebychev inversa para amin = 30 dB.

110

n c1 3

0,94320

4

0,67795

5

0,31706

6

0,03875

8

0,11801

c2 l2 0.04390 1,88641 0,11893 1,71867 0,30173 1,14795 0,58800 0,78742 0,26022 0,71751

c3

c4 l4

c5

c6 l6

c7

c8 l8

0,94320 1,83035 0,78962 1,73949 0,09490 0,48549 1,39408 1,66700 0,14145 1,19950 1,63660 0,48188 1,08035 0,57551 1,30591 0,47819 0,60325 1,10767 0,94266 0,33988

Tabla 5.19: Los elementos del filtro Chebychev inversa para amin = 40 dB.

Figura 5.3: Especificaciones para el filtro de Chebychev inverso y las estructuras. De las tablas para amin = 30 dB y n=3 los valores normalizados de paso bajas son c1 = c3 = 0, 88157

c2 = 0, 0949

l2 = 1, 76315

El filtro paso bajas normalizado se muestra en la figura 5.3d. Es necesario el circuito paso bajas normalizada transformar a paso altas y desnormalizarlo al respecto de R0 = 75 Ω y f0 = 4000 Hz. El inductor se transforma a capacitor y el capacitor normalizado a un iductor. El filtro paso altas desnormalizado se muestra en la figura 5.3c y los valores desnormalizados del filtro se obtienen como se muestra adelante L3 = L1 = L2 =

R0 75 = = 33, 85 mH c1 .2.π.f0 0, 88157.2.π.400

R0 75 = = 314, 45 mH c2 .2.π.f0 0, 0949.2.π.400 111

C2 =

1 1 = = 3008, 91 nF c1 .2.π.f0 .R0 1, 76315.2.π.400.75

La frecuencia del polo de atenuaci´on es f∞ =

106 1 √ = 163, 634 Hz 2π 314, 4.3008, 9

Ejemplo 8: Calcular el filtro paso baja de Chebychev para las especificaciones N=5, amax = 0.5 dB, f1 = 30 Hz y R0 = 100 Ohm. De las tablas 5.11 se obtienen los valores normalizadas c1 = c5 = 1.8069

l2 = l4 = 1.3025

c3 = 2.6914

Los valores denormalizados son los siguientes: 1.8069 = 9.5859−5 10 [F ] 2π · 30 · 100 100 · 1.3025 = 0.690 [H] L2 = L4 = 2 · π · 30 2.6914 C3 = = 1.427−4 10 [F ] 2π · 30 · 100 La estructura del filtro se muestra en la figura 5.4. Los valores de los capacidores son muy grandes gracias a la frecuencia de la corte muy baja y al resistor R0 . Los filtros que trabajan en las frecuencias muy bajas no se pueden realizar mediante las estructuras LC. Es necesario elegir otro tipo del filtro, por ejemplo los foltros electromec´anicos, filtros activos o filtros digitales. C1 = C5 =

Figura 5.4: La estructura del filtro Chebychev .

112

Cap´ıtulo 6 Filtros pasivos RC Los filtros pasivos RC se utilizan si los exigencias para la atenuaci´on no son tan riguroso. Las ventajas de los filtros pasivos RC es que no necesitan las fuentes de los voltajes y se componen de los elementos cencillos, capacitores y rezistores. Los filtros RC se pueden fabricar en la forma integrada. La desventaja de los filtros RC es, que no se pueden realizar los polos complejos de la funci´on de transferencia H(s). Si se calculan los filtros pasivos RC habitualmente se eligen los valores de los capacitores y se calculan las resistores. El valor de las resistores de los filtros pasivos RC (PRC) depende en el capacitor C que se elije y en la frecuencia del corte ω1 del filtro.

6.1

Filtros PRC elementales.

PASA BAJAS. El filtro PRC elemental de pasa bajas (PBF) se muestra en la figura 6.1 y tiene la funci´on de transferencia (6.1). Donde ω1 es la frecuencia del corte de la car´acteristica asimpt´otica. El capacitor se puede elejir y el resistor se calcula mediante la ecuaci´on R = Cω1 1 . H(s) =

U2 1 1 = = U1 1 + sCR 1 + ωs1

Figura 6.1: Filtro PBF elemental y la atenuaci´on

113

(6.1)

PASO ALTAS. En la figura 6.2 se muestra el circuito RC pasivo. La funci´on de transferencia paso altas PRC del circuito 6.2 toma la forma (6.2), donde ω−1 es la frecuencia del corte de paso altas. Como en el caso paso bajas, el condensator se elije y se calcula el resistor. R = Cω1−1 . s

H(s) =

sCR U2 ω−1 = = s U1 1 + sCR 1 + ω−1

(6.2)

Figura 6.2: Filtro PA elemental y la atenuaci´on PASO BANDA Paso banda (PB) se muestra en la figura 6.3. El circuito paso banda se obtiene si se conectan en la cascada el filtro PBF y PA. La funci´on de transferencia paso banda H(s) obtenida de los circuitos 6.3a y 6.3b toma la forma H(s) =

U2 sCa Ra = 2 U1 s R1 C1 R2 C2 + s(R1 C1 + R1 C2 + R2 C2 ) + 1

(6.3)

Para el circuito en la figura 6.3a es Ra = R2 y Ca = C2 y para el circuito en 6.3b los valores Ra y Ca son Ra = R1 y Ca = C1 .

Figura 6.3: Filtro PB elemental. ´ BANDA DE SUPRESION La banda de supresi´on elemental BSE se realiza mediante el circuito que se muestra en la figura 6.4a y 6.4b. La funci´on de transferencia del filtro supresi´on de banda toma la forma 114

H(s) =

+1 sR2 C 2 + s 2RC U2 5α 2 6 = U1 s2 R2 C 2 + sRC α α+2 + 1

(6.4)

Los polos p1,2 y los ceros c1,2 de la funci´on de transferencia (6.4) se calculan mediante las expresiones (6.5) y (6.6). p1,2

2

α 1 + =− αRC 2RC c1,2

1 =− ± αRC

3

$

±

$

α2 1 + α2 R2 C 2 4R2 C 2

α2 1 + α2 R2 C 2 4R2 C 2

(6.5)

(6.6)

Figura 6.4: Filtro SB elemental. De las ecuaciones (6.5) y (6.6) se ve, que los polos pueden ser solamente reales, y negativos, mientras los ceros pueden ser reales y complejos, si α > 1 o reales distintas, si α < 1 o reales dobles, si α = 1. En la figura 6.5 se muestra el transcurso de atenuaci´on en decibeles para varias constantes de α. El supresor de banda se tambi´en puede realizar mediante el circuito que se muestra en la figura 6.6

Figura 6.5: Atenuaci´on de supresor de banda para varias α.

Para las condiciones C1 + C2 = R3 (R1 + R2 ) R1 R2 115

(6.7)

Figura 6.6: Filtro SB elemental.

R1 =

R α

R2 = R

C1 = α.C

C2 = C

R3 =

R α+1

C3 = C(α + 1)

(6.8) (6.9)

la funci´on de transferencia del filtro en la figura 6.6 toma la forma s3 R3 C 3 + s2 R2 C 2 + sRC + 1 H(s) = 3 3 3 2 +5α+2 + sRC 3αα(α+1) +1 s R C + s2 R2 C 2 3α+2 α

6.2

(6.10)

Cascada de los filtros RC elementales

Cascada de los filtros elementales se muestra en la figura 6.7. Si se realiza PBF, los elementos Z1 son resistores y Y2 capacitores. Si se realiza PA los elementos Z1 son capacitores y Y2 resistores. La matriz de cascada A para el circuito en la figura 6.7 toma la forma A=

!

Bn (Ω) Z1 Qn (Ω) Y2 Qn (Ω) Bn−1 (Ω)

"

(6.11)

donde

Bn (Ω) =

n -

(n + k)! (jΩ)k (n − k)!(2k)! k=0

(6.12)

(n − k)! (jΩ)k (n − k − 1)!(2k + 1)! k=0

(6.13)

Bn (Ω) = n−1 -

Si se realiza el filtro pasa bajas es necesario conectar el circuito en la salida con un resistor, como se muestra en la figura 6.8. El valor de un resistor en la salida se puede expresar mediante la ecuaci´on R α>0 α y la funci´on de transferencia si la salida est´a terminada con un resistor R se puede expresar en la forma RL =

116

Figura 6.7: Cascada de los filtros elementales.

U1 = Bn (jΩ) + αn (jΩ) U2 La atenuaci´on se puede calcular mediante la ecuaci´on (6.15) G(Ω) =

a = 20log|Bn (jΩ) + αQn (jΩ)|

(6.14)

(6.15)

Figura 6.8: Filtro PBF como cascada de los filtros elementales. En el caso si el circuito en la salida est´a abierta α = 0, se puede calcular la atenuaci´on usando (6.16). Las gr´aficas para varias ordenes del filtro se muestra en la figura 6.9 a = 20log|Bn (jΩ)|

Figura 6.9: Atenuaci´on de los filtros para varios n. Si se elije R, se calcula C 117

(6.16)

C=

1 ω1 R

R=

1 ω1 C

Si se elige C, se calcula R

Ejemplo 1: Calcular el filtro RC paso bajas para las especificaciones: amax = 3 dB para f=0 hasta 4kHz y amin = 40 dB para f 64 kHz Las frecuencias del corte y de supresi´on es necesario normalizar 4.103 64.103 = 1 Ω = = 16 2 4.103 4.103 La pendiente de la atenuaci´on es mayor que 20 dB/dec y por eso se eliqe n=3. Si se calcula el filtro en la salida abierto se obtiene mediante las ecuaciones (6.16) y (6.12) la ecuaci´on (6.17) Ω1 =

G3 (jΩ) = B3 (jΩ) =

3 -

(3 + k)! (jΩ)k (3 − k)!(2k)! k=0

(6.17)

Calculando para n=0,1,2,3 se obtiene G3 (jΩ) = 1 + 6jΩ − 5Ω2 − jΩ3

(6.18)

La atenuaci´on en Ω1 = 1 debe ser 3 dB. De la ecuaci´on (6.18) es necesario calcular la funci´on del corte normalizada Ω1 para la atenuaci´on 3 dB. 3

|G(jΩ)|2 = 10 10 = (1 − 5Ω21 )2 + Ω21 (6 − Ω21 )2 Ω61 + 13Ω41 + 26Ω21 − 0, 995 = 0 La ecuaci´on se cumple para Ω1N = 0, 194 y ese valor es la frecuencia de corte normalizada, donde la atenuaci´on alcanza 3 dB. La nueva frecuencia normalizada de supresi´on toma el valor fN = f1 Ω2 =

Ω1 1 =4 = 20, 62 Ω1N 0, 194 f2 64 = = 3, 104 fN 20, 62

Ahora se puede calcular la atenuaci´on m´ınima amin amin = 20.log|G3 (jΩ2 )| = 33, 7 dB Si se elije el capacitor C=3,3 nF se obtiene el resistor 118

R=

1 Ω1N 0, 194 = = = 2339, 1 Ω 2.πfN C 2πΩ1 C 2π4.103 .3, 3.10−9

La estructura del filtro RC se muestra en la figura 6.10.

Figura 6.10: Filtro pasa bajas con tres circuitos elementales en cascada.

6.3

Cascada de los circuitos progresivos

El calculo del filtro con los circuitos de bipuertas progresivos es parecido como en el caso anterior. El filtro con los circuitos de bipuertas progresivos se muestra en la figura 6.11. La matriz de cascada RC progresiva de la figura 6.11 toma la forma An =

!

a11 (α, jΩ) Z1 a12 (α, jΩ) Y2 a21 (α, jΩ) a22 (α, jΩ)

"

(6.19)

donde a11 (α, jΩ) =

n -

K11ni (jΩ)i

(6.20)

i=0

K11ni = α

(−n+1)

n−i -5

j=0

K11n0 = 1

n−1−j i−1

65

i+j i

6

αj

K11nn = 1

Figura 6.11: Filtro con bipuertas progresivos en cascada. 119

(6.21)

Para el filtro PBF en la salida abierta figura 6.12 la atenuaci´on se calcula madiante la ecuaci´on a = 20lo|a11 (α, jΩ)|

Figura 6.12: Filtro PBF RC con los circuitos progresivos. Ejemplo 2: Calcular el filtro pasa bajas con los circuitos progresivos para las especificaciones: amax = 3 dB para f=0 hasta 4kHz y amin = 40 dB para f 64 kHz Como en el ejemplo anterior se elije el capacidor C=3,3 nF. El valor de la constante α se elije de tal manera para obtener los otros capacitores catalogizados. Entonces se elije α = 2, 2. El segundo capacitor en el circuito en la figura 6.12 tiene el valor 3,3/2,2=1,5 nF y el u ´ltimo capacitor en el circuito es 1,5/2,2=0,68 nF. Para calcular los resistores se necesita calcular nueva frecuencia normalizada del corte. Para calcular G3 (jΩ) es necesario calcular los valores K1131 y K1132 . Esas coeficientes se calculan mediante las ecuaciones (6.20) y (6.21). K1131 =

(20 ) (11 ) + (10 ) (12 ) α + (00 ) (13 ) α2 = 4, 32 α2

K1132 =

(12 ) (22 ) + (11 ) (23 ) α = 3, 91 α

G3 (jΩ) = 1 + 4, 32jΩ − 3, 91Ω2 − jΩ3 De esta ecuaci´on se calcula la nueva frecuencia del corte para amax = 3 dB Ω61N + 6, 65Ω41N + 10, 84Ω21N − 0, 995 = 0 La ecuaci´on tiene resultado para el rais Ω1N =0,2950 que es la frecuencia del corte normalizada. Para el valor del capacitor C=3,3 nF se obtiene el resistor R=

Ω1N 0, 295 1 = = = 3556, 8 Ω. 2πfN C 2πf1 C 2π4.103 .3, 3.10−9 120

Los valores del filtro PBF que se muestra en la figura 6.13 son R1 = 3556, 8 Ω C1 = 3, 3 nF R2 = 7824, 9 Ω C2 = 1, 5 nF R3 = 17214, 9 Ω C3 = 0, 682 nF

Figura 6.13: Filtro PBF RC. Para las mismas especificaciones se realiza el filtro de orden n=4. La ecuaci´on (6.22) para n=4 toma la forma G4 (jΩ) = 1 + 5, 96jΩ − 9, 35Ω2 − 5, 36jΩ3 + Ω4

El ra´ıs de la ecuaci´on siguiente es la frecuencia del corte del filtro pasa bajas normalizada Ω8 + 10, 07Ω6 + 26, 93Ω4 + 15, 77Ω2 − 0, 995 = 0

La ecuaci´on tiene el resultado para el ra´ıs Ω1N = 0, 239. La frecuencia del corte normalizada es 0,239. Si se elije el valor del capacitor como en el ejemplo anterior C = 3, 3 nF se obtiene el primer resistor del circuito 1 Ω1N 0, 239 = = = 2881, 67Ω. 2πfN C 2πf1 C 2π4.103 .3, 3.10−9 El filtro PBF para n=4 se muestra en la figura 6.13 y los elementos del filtro tienen los valores: R=

R1 R2 R3 R4

6.4

= 2881, 67 Ω = 6339, 67 Ω = 13942, 28 Ω = 30684, 02 Ω

C1 C2 C3 C4

= 3, 3 = 1, 5 = 682 = 330

nF nF pF pF

Cascada de los bipuertos RC con divisor

La estructura del filtro RC con el divisor se muestra en la figura 6.15. Est´a conectado con la admitancia Y1 y la impedancia Z2 . La matriz de impedacia Z del circuito resultante toma la forma  

An = 

Z2 +

a11 Y1 a11 +a21

Z2 +

a11 Y1 a11 +a21

121

Z2 +

1 Y1 a11 +a21

Z2 +

Y1 a12 +a22 Y1 a11 +a21

  

(6.22)

Figura 6.14: Filtro pasa bajas para n=4.

Figura 6.15: Circuito RC con el divisor. En la ecuaci´on (6.22) aij son los elementos de la matriz RC del circuito en la figura 6.15, i=1,2; j=1,2. De la ecuaci´on (6.22) se puede calcular la funci´on de transferencia del voltaje inverza, si la salida del circuito est´a abierta. G=

U1 Z11 a11 (1 + Z2 Y1 ) + a21 Z2 = = U2 Z21 a11 Z2 Y1 + a21 Z2 + 1

(6.23)

Para el filtro pasa bajas la impedancia Z2 y admitanci Y1 en el circuito 6.15 toma la forma Y1 = jωC1

Z2 =

1 jωC2

(6.24)

De la ecuaci´on (6.11) se obtiene a11 = Bn (jΩ),

a21 = jωCQn (jΩ)

(6.25)

Si se sustituye en (6.23) la ecuaci´on (6.25), se obtiene la funci´on de transferencia inverza

G=

5

U1 = 1 U2 Bn (jΩ) C C2

6

C1 + CC2 Qn (jΩ) C2 + CC2 Qn (jΩ) + 1

Bn (jΩ) 1 +

=

Bn (jΩ)(C1 + C2 ) + CQn (jΩ) Bn (jΩ)C1 + CQn (jΩ) + C2

(6.26)

Las ra´ıces del denominador (6.26) son polos de la atenuaci´on del circuito. Si se sustituye en el denominador de la ecuaci´on (6.26) por B3 (jΩ) y Q3 (jΩ) y si el denominador se iguala a cero se obtiene para la parte real e imaginaria dos ecuaciones 122

Figura 6.16: Filtro pasa bajas.

Ωp =

$

6+4

C C1

C2 = 23C + 29C1 + 4

(6.27) C2 C1

(6.28)

La atenuaci´on m´ınima en Ω = ∞ se puede calcular mediante la ecuaci´on (6.29) amin = 20log

C1 + C2 C1

(6.29)

De la ecuaci´on (6.27) se puede ver, que la frecuencia del polo de atenuaci´on se puede elegir mediante la proporci´on C/C1 . En la figura 6.17 se muestra la atenuaci´on de los filtros PBF para varias α = C1 /C. La atenuaci´on m´ınima del filtro se obtiene calculando la ecuaci´on (6.29)

Figura 6.17: Atenuaci´on de PBF para el filtro con divisor y n=3. Ejemplo 3: Calcular el filtro RC pasa bajas con el divisor para el orden del filtro n=3 y las especificaciones del ejemplo anterior. En este caso se puede elejir la frecuencia del polo de atenuaci´on. Si se elije la frecuencia del polo de atenuaci´on, tambi´en se influye la atenuaci´on m´ınima. La frecuencia del polo 123

depende en la ecuaci´on (6.27). Si se elije la frecuencia del polo Ωp , la atenuaci´on m´ınima est´a dependiente a la ecuaci´on (6.29). Si se sustituye por C1 = αC y por C2 en (6.29) se obtiene (6.30) amin = 40 = 20log

αC + 23C + 29αC + 4 Cα αC

2

23 4 2 = log 1 + + 29 + 2 α α

3

70α2 − 23α − 4 = 0

(6.30) (6.31) (6.32)

El ra´ız de la ecuaci´on (6.31) es α = 0, 45. Entonces C2 = 23C + 290, 45C + 4

C = 44, 94C 0, 45

Ahora se va a calcular B3 (jΩ) y Q3 (jΩ) B3 (jΩ) = 1 − 5Ω2 + jΩ(6 − Ω2 ) Q3 (jΩ) = 3 − Ω2 + j4Ω

G3 =

B3 (0, 45C + 44, 94C) + CQ3 45, 39B3 + Q3 = 0, 45CB3 + CQ3 + 44, 94C 0, 45B3 + Q3 + 44, 94

Si se calcula |G3 (jΩ)|2 = 10

amax 10

se obtiene la ecuaci´on

−2329, 884 + 54840, 736Ω2 + 26867, 95Ω4 + 2059, 848Ω6 = 0 Un de las ra´ızes de la ecuaci´on anterior es Ω1 = 0, 204. Si se elige como en los ejemplos anteriores el condensator C=3,3 nF, se obtienen los valores del filtro que se muestra en la figura 6.16 R = 2π4.100,204 3 .3,3.10−9 = 2459, 67 Ω C1 = 0, 45.3, 4 = 1, 485 nF 3,3 C2 = 23.3, 3 + 29.1, 485 + 4 0,45 = 148, 3 nF

6.5

Filtro RC con la admitancia en paralelo

El polo de la atenuaci´on se puede realizar tambi´en con el circuito en la figura 6.18. El circuito de bipuertas con la admitancia Yp est´a conectado con el circuito de bipuertas RC en paralelo. La matriz de admitancia del circuito es la suma de la matriz de admitancia del circuito RC y del circuito que tiene en la rama serial la admitancia Yp . Para el cicuito en la figura 6.18 si est´a conectado en la salida con la admitancia YL se obtiene la funci´on de transferencia G=

U1 y22 + YL (Yp + YL )a12 + a11 =− = U2 y21 Yp a12 + 1

(6.33)

Los par´ametros y22 y y21 son los elementos de la matriz de admitancia del circuito completo y la admitancia YL es la admitancia de carga. Los par´ametros a11 y a12 son los elementos de 124

Figura 6.18: Circuito RCP con la admitancia Yp conectada en paralelo con RC. la matriz de cascada del Circuito RC. La ubicaci´on de los polos se puede calcular calculando las ra´ıces del numerador de la ecuaci´on (6.33). Para n=3 y Y(s)=jωCp se obtiene jωCp R(Ω2 + 4Ω + 3) + 1 = 0 ω 1 → ω = Ωω0 = Ω ω0 RC

Ω= jΩ 2

6 Cp 5 jΩ)2 + 4jΩ +3 + 1 = 0 C 2 Cp

1 − 4Ω

C

3

+ jΩ

6 Cp 5 3 − Ω2 = 0 C

3 − Ω2 = 0 → Ω = 5√ 62 C p

√

3

C C 12 En este caso la ubicaci´on del polo depende solo en el n´ umero de los circuitos b´asicos del circuito RC y no se puede elegir como hemos visto en el circuito RC con divisor. Si se toma en cuenta el circuito abierto en la salida se puede calcular la atenuaci´on m´ınima amin mediante la ecuaci´on 1−4

G(s) =

3

= 0 → Cp =

U1 Yp a12 + a11 a11 1 Bn = =1+ =1+ U2 Yp a12 + 1 a12 Yp RQn Yp

amin = lim G = 1 + Ω→∞

(jωCR)n−1 jωCR C = 1 + (jωCR)n−1 jωCp R Cp

Para n=3 se obtiene la atenuaci´on m´ınima amin

7

C = 20 log 1 + Cp

8

2

12C = 20 log 1 + C

Ejemplo 4: 125

3

= 20 log13 = 22, 28 dB

Realizar el filtro RC que se muestra en la figura 6.19 con el capacitor en paralelo, si la salida del filtro est´a abierta, entonces YL = 0. Para Yp = jωCp se obtiene con la ayuda de la ecuaci´on (6.11) G3 =

jωCp Q3 R + B3 jωCp Q3 R + 1

√ C La ubicaci´on del polo en Ω3 = 3 y el valor del capacitor Cp = 12 son en este caso fijos y no se pueden elegir. El valor Cp y la ubicaci´on del polo dependen a el grado del filtro. Como en los ejemplos anteriores se obtiene la ecuaci´on −0, 995 + 29, 6Ω2 + 15, 175Ω4 + 0, 176Ω6 = 0 De las ra´ıces de la ecuaci´on anterior conviene el ra´ız Ω1 = 0, 182. Si se elige como en las ejemplos anteriores el capacitor C = 3, 3 nF se obtiene R=

0, 182 = 2194, 41 Ω 2π4.103 .3, 3.10−9

C = 0, 275 nF 12 En la figura 6.19 se muestra la estructura del filtro. Cp =

Figura 6.19: Atenuaci´on de PBF para el filtro con divisor y n=3.

126

Cap´ıtulo 7 Filtros activos con amplificador. Los filtros activos son muy importantes al menos por dos razones. No incluyen inductancias, que no se pueden miniaturizar. Los filtros pasivos LCR no se pueden producir en la forma integrada por la presencia de inductores. Por otro lado si la frecuencia de corte de un filtro deseado es muy baja, por ejemplo 20 Hz, en el circuito LRC se obtienen los valores que no se pueden realizar. Eso significa, que los filtros pasivos no se pueden utilizar para se˜ nales biom´edicas o s´ısmicas, donde las frecuencias que nos interesan son alrededor de 10 Hz. En este caso se utilizan los filtros activos que nos permiten realizar un filtro con la frecuencia del corte a menos de 10 Hz. Adem´as el filtro activo se puede construir con una ganancia deseada.

7.1 7.1.1

Filtros activos de segundo orden con FTCT Filtro activo paso bajas.

El filtro activo paso bajas de segundo orden se muestra en la figura 10.16.

Figura 7.1: Filtro paso bajas con amplificador. Para calcular la funci´on de transferencia del filtro en la figura 10.16 primeramente se calcula la matriz de admitancia de la red pasiva sin tomar en cuenta el amplificador. La matriz de admitancia de la red pasiva est´a en la ecuaci´on (7.1). 127



    Y=    

G1 −G1 0 0 0 0 −G1 G1 + G2 + pC1 −G2 0 −pC1 0 0 −G2 G2 + pC2 0 0 −pC2 0 0 0 GA + GB −GB −GA 0 −pC1 0 −GB pC1 + GB 0 0 0 −pC2 −GA 0 GA + pC2

         

(7.1)

En la matriz de admitancia (7.1) si est´a bien escrita, las sumas de todos elementos en cada columna y renglon deben ser igual a cero. Si se conecta el nodo 6 con la tierra se puede cancelar el sexto rengl´on y la sexta columna. La matriz (7.1) se va a cambiar si vamos a tomar en cuenta el amplificador. Los nodos 3 y 4 en la entrada del amplificador est´an al mismo potencial (U3 = U4 ), eso significa que en la matriz (7.1) se pueden sumar la tercera y cuatra columna. Si en la salida del filtro se conecta un circuito con impedancia infinita, entonces I5 = 0 y se puede cancelar el quinto rengl´on. La matriz nueva del circuito activo con la tiera conectada en el sexto nodo est´a en la ecuaci´on (7.2)  

Y=  



G1 −G1 0 0 −G1 G1 + G2 + pC1 −G2 −pC1    0 −G2 G2 + pC2 0  0 0 GA + GB −GB

(7.2)

U5 ∆15 = U1 ∆11

(7.3)

La funci´on de transferencia H(s) se puede calcular mediante la ecuaci´on (7.3) H(p) =

∆11 y ∆15 son los subdeterminantes de la matriz (7.2) que toman la forma ∆15

4 4 −G 1 4 4 =4 0 4 4 0

G1 + G2 + pC1 −G2 −G2 G2 + pC2 0 GA + GB

∆15 = G1 G2 (GA + GB )

∆11

4 4 G + G + pC 2 1 4 1 4 −G2 =4 4 4 0

4 4 4 4 4 4 4 4

−G2 −pC1 44 G2 + pC2 0 44 4 GA + GB −GB 4

∆11 = −GB [G1 G2 + p(G1 C2 + G2 C2 − G2 C1

(7.4)

(7.5)

Ga ) + p2 C1 C2 ] Gb

La funci´on de transferencia H(p) se obtiene, si se sustituye en la ecuaci´on (7.3) por la ∆15 y B . ∆11 y K = GAG+G B U5 K.G1 G2 = H(p) = 2 U1 p C1 C2 + p[C2 G1 + C2 G2 − C1 G2 (K − 1)] + G1 G2

(7.6)

La ecuaci´on (7.6) es la funci´on de transferencia de un filtro paso bajas de segundo orden. Si esta funci´on de transferencia se compara con la funci´on de transferencia del filtro Butterworth desnormalizado de segundo orden (7.7) 128

H(p) =

ω2 √0 p2 + p 2ω0 + ω02

(7.7)

se obtienen las ecuaciones para calcular el filtro paso bajas de segundo order si amax = 3 dB b = C1 ω0 m=

a2 4

+K −1

El condensador C1 se elige y se calcula b √ Para Butterworth amax = 3 dB es a = 2 C2 = mC1

R1 =

2 a.b

R2 =

a 2.m.b

Ejemplo 1: Calcular el filtro de segundo orden si los especificaciones est´an en la figura 10.17

Figura 7.2: Especificaciones para el filtro paso bajas. Primero se calcula la ganancia K, porque se quiere que el filtro tenga en ω = 0 una ganancia de 20 dB. 20log K = 20

log K=1

K=10

Se elige C1 = 0, 1 × 10−6 F y se calcula b, m, C2 , R1 y R2 b = 0, 1.10−6 .2.π.30 = 1, 885.10−5 m=

2 + (10 − 1) = 9, 5 4

C2 = 9, 5.0, 1.10−6 = 0, 95.10−6 F 2 = 75 kΩ 2(1, 885.10−5 ) √ 2 = 3, 94 kΩ R2 = 2.(9, 5).(1, 885.10−5 ) R1 = √

129

Todav´ıa falta calcular los resistores RA y RB . Si se elige un potenciometro de 100 kΩ para ajustar la ganancia, entonces RA + RB = 100 kΩ. De la ecuaci´on RA + RA (K − 1) = 100 kΩ = 10 kΩ y RB = 10000(10 − 1) = 90 kΩ se calcula RA = 100000 10

7.1.2

Filtro activo paso altas.

La estructura de filtro paso altas de segundo orden se muestra en la figura 7.3. Para calcular la funci´on de transferencia del filtro paso altas es necesario calcular la matriz de admitancia. La matriz de admitancia de circuito activo se muestra en la ecuaci´on (7.8)

Figura 7.3: Estructura del filtro paso altas.  

Y=  

pC1 0 −pC1 0 −pC1 −G1 G1 + pC1 + pC2 −pC2 0 0 −pC2 G2 + pC2 0 −GB 0 GA + GB

La funci´on de transferencia H(p) =

U2 U1

=

∆12 ∆11

toma la forma

    

Kp2 C1 C2 U2 = H(p) = 2 U1 p C1 C2 + p[C1 G2 + C2 G2 − C2 G1 (K − 1)] + G1 G2

(7.8)

(7.9)

La ecuaci´on (7.9) es la funci´on de transferencia de un filtro paso altas de segundo orden. Si esta funci´on de transferencia se compara con la funci´on de transferencia del filtro Butterworth desnormalizado de segundo orden paso altas (7.10) p2 ω 2 √ 0 (7.10) p2 + 2ω0 + ω02 se obtienen las ecuaciones para calcular el filtro activo paso altas de segundo orden, en el caso si amax = 3 dB. Es necesario elegir C1 = C2 . El condensador C1 se elige y se calcula b, R1 y R2 . H(p) =

b = C1 ω0

R1 =

a+

#

a2 + 8(K − 1)

R2 =

4.b

1 R1 .b2

130

(7.11) (7.12)

Ejemplo 2: Calcular el filtro paso altas de segundo orden para las especificaciones del filtro de la figura 7.4

Figura 7.4: Especificaciones para el filtro paso altas. Primero se calcula la ganancia K, porque se quiere que el filtro tenga en ω = 0 la ganancia de 40 dB. 20log K = 40

K = 102 = 100

log K=2

Se elige C1 = C2 = 100 nF y se calcula b, R1 y R2 b = 2π300.10010−9 = 1, 88510−4

R1 =

√

R2 =

2+

#

2 + 8(100 − 1)

4.1, 885.10−4

= 39, 24 kΩ

1 = 717 Ω 39, 24.103 (1, 885.10−4 )2

Todav´ıa falta calcular los resistores RA y RB . Si se elije un potenciometro de 100 kΩ entonces = 10 kΩ RA +RB = 100 kΩ, y de la ecuaci´on RA +RA (K−1) = 100 kΩ se calcula RA = 100000 10 y RB = 10000(10 − 1) = 90 kΩ

7.1.3

Filtro activo paso banda.

La estructura de filtro paso banda de segundo orden se muestra en la figura 7.5. Para calcular la funci´on de transferencia del filtro paso banda es necesario calcular la matriz de admitancia. La matriz de admitancia del circuito activo se muestra en la ecuaci´on (7.13).  

Y=  



G1 −G1 0 0 −G1 G1 + pC2 + G3 −pC2 −G3    0 −pC2 pC2 + G4 + pC5 0  0 0 GA + GB 0

La funci´on de transferencia H(p) =

U5 U1

=

∆15 ∆11

toma la forma

131

(7.13)

Figura 7.5: Estructura del filtro paso banda.

H(p) =

KG1 pC2 (7.14) + p[C5 G1 + C2 G4 + C5 G3 + C2 G1 + C2 G3 (1 − K)] + G4 (G1 + G3 )

p2 C2 C5

La ecuaci´on (7.14) es la funci´on de transferencia de un filtro paso banda de segundo orden. Si esta funci´on de transferencia se compara con la funci´on de transferencia del filtro Butterworth desnormalizado de segundo orden paso banda (7.15) H(p) =

pω √ 0 p2 + p 2ω0 + ω02

(7.15)

se obtienen las ecuaciones para calcular el filtro activo paso banda de segundo orden si amax = 3 dB. Se elije el condensador C2 y se calcula k, Q, K, C5 , R1 , R3 y R4 . k = 2πf0 C2 Q= C5 =

Ancho de banda F recuencia central

C1 2

R1 =

2 k

R3 =

1 1 K = (6, 5 − ) 3 Q

(7.16)

R1 3

(7.17)

R4 = 2.R1

Ejemplo 3: Calcular el filtro paso banda de segundo orden si las especificaciones del filtro se muestran en la figura 7.6 Se elige C2 = 0, 02.10−6 F y los valores del filtro paso banda se calculan C5 =

0, 02.10−6 = 0, 01 µF 2

R1 =

k = 0, 02.10−6 2π300 = 3, 769.10−5

2 = 53, 05 kΩ 3, 769.10−5

R3 =

R4 = 2.53, 05.103 = 106 kΩ

53, 05.103 = 17, 684 kΩ 3

1 1 K = (6, 5 − ) = 2, 1333 3 10

A0 = KQ = 2, 13333.10 = 21, 333 132

20log21, 3333 = 26, 579 dB

Figura 7.6: Las especificaciones para el filtro paso banda. El valor de la ganancia K=2,13333 es necesario ajustarlo con un potenciometro por ejemplo de 100 kΩ RA =

7.2 7.2.1

100 kΩ = 10 kΩ 10

RB = 10(10 − 1) = 90 kΩ

Filtros activos de primer orden Filtro paso altas

La estructura del filtro paso altas de primer orden con la ganancia infinita de amplificador se muestra en la figura 7.7. La matriz de admitancia de filtro paso altas en la figura 7.7 se muestra en la ecuaci´on (7.18) [b]

Figura 7.7: Estructura del filtro paso altas de primer orden. 



pC1 0 −pC1  0 G1 + pC1  Y =  −pC1  0 −G2 −G1 La funci´on de transferencia H(p) =

U2 U1

=

∆12 ∆11

(7.18)

toma la forma

R2 pC1 G1 U2 = H(p) = − U1 R1 p + R11C1 133

(7.19)

La ecuaci´on (7.19) es la funci´on de transferencia de un filtro paso altas de primer orden. De la ecuaci´on (7.19) se pueden escribir dos ecuaciones. La ganancia del filtro K y la frecuencia del corte del filtro paso altas toman la forma: para ω = ∞

K=−

R2 R1

ω0 =

1 R1 C1

Si se elige el capacidor C1 se puede calcular el resistor R1 y para la ganancia K conocida de la ecuaci´on anterior se calcula R2 .

Ejemplo 4. Calcular el filtro paso altas para las especificaciones que se muestran en la plantilla 7.8. Se elige el valor del condensador C1 = 10000 pF y se calcula R1 y despues R2 .

Figura 7.8: Las especificaciones para el filtro paso altas.

R1 =

1 2π20.103 .10000.10−12

= 7957 Ω

R2 = 10.7957 = 79570 Ω

7.2.2

Filtro paso bajas.

La estructura del filtro paso bajas de primer orden con la ganancia infinita de amplificador se muestra en la figura 7.9. La matriz de admitancia de filtro paso bajas en la figura 7.9 es en la ecuaci´on (7.20). 



G1 0 −G1   0 G + pC −G Y=  2 2 2 − pC2 −G1 −G2 − pC2 G1 + G2 + pC2

La funci´on de transferencia H(p) =

∆12 ∆11

(7.20)

toma la forma

1 1 U2 = H(p) = − U1 R1 C2 p + R21C2 134

(7.21)

Figura 7.9: Estructura del filtro paso bajas de primer orden. La ecuaci´on (7.21) es la funci´on de transferencia de un filtro paso bajas de primer orden. De la ecuaci´on (7.21) se pueden escribir dos ecuaciones. K=

R2 R1

ω1 =

1 R2 C2

R2 Para ω = ω0 es la ganancia K = R . Si se elige el capacidor C2 se puede calcular el resistor 1 R2 y para la ganancia K conocida de la ecuaci´on anterior se calcula R1 .

Ejemplo 5. Calcular el filtro paso bajas para las especificaciones que se muestran en la plantilla 7.10. Se elige el valor del capacitor C1 = 0, 01 µF y se calcula R2 y despu´es R1

Figura 7.10: Especificaciones para el filtro paso bajas.

R2 =

1 = 15, 9 kΩ 2.π.1000.0, 01.10−6 R1 =

7.2.3

15, 9.103 = 1, 59 kΩ 10

Filtro paso banda.

La estructura del filtro paso banda de primer orden con la ganancia infinita de amplificador se muestra en la figura 7.11. La matriz de admitancia de filtro paso banda en la figura 7.11 ∆12 toma la se muestra en la ecuaci´on (7.22). La funci´on de transferencia H(p) = UU21 = ∆ 11 forma 135

Figura 7.11: Estructura del filtro paso banda de primer orden. 



pC1 0 −pC1  0 G1 + pC1  Y =  −pC1  0 −G2 − pC2 −G1 U2 = H(p) = U1 (p +

1 pG C2 1 ).(p + R1 C1

(7.22)

(7.23)

1 ) R2 C2

La ecuaci´on (7.23) es la funci´on de transferencia de un filtro paso banda de primer orden. De la ecuaci´on (7.23) se pueden escribir tres ecuaciones. K=

R2 R1

ω−1 =

1 R2 C2

ω1 =

1 R1 C1

2 Para ω = 0 la ganancia es K = R . Si se elige el capacitor C2 se puede calcular el resistor R1 R2 y para la ganancia K conocida de la ecuaci´on anterior se calcula R1 .

Ejemplo 6. Calcular el filtro paso banda para las especificaciones de la plantilla 7.12. La ganancia que sea K=5. Se elige el valor del condensador C2 = 0, 01 µF y se calcula R2 y despu´es R1 .

Figura 7.12: Especificaciones para el filtro paso banda.

R2 =

1 = 3183 Ω 2.π.5000.0, 01.10−6 136

R1 = C1 =

7.3 7.3.1

3183 = 636 Ω 5

1 = 125 nF 2.π.2000.363

Filtros con retroalimentaci´ on m´ ultiple Paso bajas.

La estructura paso bajas de un filtro activo con un amplificador de ganancia infinita se muestra en la figura 7.13. La ecuaci´on (7.24) es la funci´on de transferencia del filtro activo paso bajas.

Figura 7.13: El filtro paso bajas. U2 G1 G3 = 2 U1 p C2 C5 + pC5 (G1 + G3 + G4 ) + G3 G4

(7.24)

Mediante las ecuaciones siguientes se pueden calcular los valores de los elementos del filtro paso bajas. C5 = R1 =

k 2πf0

a 2Hk

C2 = R3 =

4 k (H + 1) 2 a 2πf0

a 2(H + 1)k

R4 =

a 2k

Ejemplo 7. Calcular los elementos del filtro paso bajas, para la frecuencia del corte f0 = 100 Hz, el orden del filtro n=2, la atenuaci´on m´axima 3 dB y la aproximaci´on de Butterworth. La ganancia del filtro que sea 20 dB. El capacitor C5 se elige√ y se calcula la constante k y los elementos del filtro. Para Butterworth si amax = 3 dB es a = 2 C5 = 0, 1 µF

k = 2π100.0, 110−6 = 6, 28.10−5 137

4 6, 28.10−5 = 0, 1 µF C2 = (10 + 1) 2 2.6, 28.100 √ 2 = 1020 Ω R3 = 2(10 + 1)6, 28.10−5

7.3.2

√

2 = 1125 Ω 2.10.6, 28.10−5 √ 2 R4 = = 11, 26 kΩ 2.6, 28.10−5 R1 =

Paso altas.

La estructura paso altas de un filtro activo con un amplificador de ganancia infinita se muestra en la figura 7.14. La funci´on de transferencia de filtro activo paso altas se muestra en la ecuaci´on (7.25).

Figura 7.14: Paso altas con la retroalimentaci´on m´ ultiple de amplificador. U2 p2 C1 C3 = 2 U1 p C3 C4 + pG5 (C1 + C3 + C5 ) + G2 G5

(7.25)

Las ecuaciones para calcular los valores de los elementos del filtro paso altas toman la forma: C1 = C3 = a R2 = k(2 +

k 2πf0

C4 =

C1 H

H(2 + R5 = ak

1 ) H

1 ) H

Ejemplo 8. Calcular los elementos del filtro paso altas, para la frecuencia del corte f0 = 0, 1 Hz, el orden del filtro n=2, la atenuaci´on m´axima 3 dB y la aproximaci´on de Butterworth. La ganancia del filtro que sea 0 dB, (H(0)=1). El capacitor C1 = C√ 3 se elige y se calcula k y los elementos del filtro. Para Butterworth si amax = 3 dB es a = 2 C1 = C3 = 10 µF 10.10−6 = 10 µF C4 = 1

k = 2π0, 1.10.10−6 = 6, 28.10−6

R2 = 138

√

2

6, 28.10−6 (2

+ 11 )

= 75 kΩ

R5 =

7.3.3

1(2 + 11 ) = 337, 78 kΩ 2.6, 28.10−6

Paso banda.

La estructura paso banda de un filtro activo con un amplificador de ganancia infinita es en la figura 7.15. La funci´on de transferencia del filtro activo paso banda se muestra en la ecuaci´on (7.26).

Figura 7.15: Paso banda con la retroalimentaci´on m´ ultiple de amplificador. pG1 C3 U2 = 2 U1 p C3 C4 + pG5 (C3 + C4 ) + G5 (G1 + G2

(7.26)

Si se compara la ecuaci´on (7.26) con la ecuaci´on general de paso banda (7.27), se obtienen las ecuaciones para calcular los valores de los elementos del filtro paso banda. Se eligen los capacitores C3 y C4 y se calcula el coeficiente k. U2 Hω0 p = 2 U1 p + pω0 a + ω02 C3 = C4 = R1 =

1 kH

k 2πf0

R2 =

H=

1 (2Q − H)k

(7.27) A0 Q R5 =

2Q k

Ejemplo 9. Calcular los elementos del filtro paso banda, para la frecuencia central f0 = 1, 6 Hz, el orden del filtro n=2, la atenuaci´on m´axima 3 dB y la aproximaci´on de Butterworth. La ganancia del filtro que sea H = A0 = 10. (20)dB, y la calidad Q=10. El condensador C3 se elige y se calcula la constante k. Para Butterworth amax = 3 dB es √ a= 2 139

k = 2π1, 6.10−5 = 1.10−4

C3 = C4 = 10 µF

R1 =

7.4

1 = 10 kΩ 10−4

R2 =

1 = 527 Ω (20 − 1)10−4

H=

R5 =

10 =1 10

2.10 = 200 kΩ 10−4

Filtros dise˜ nados mediante las tablas

Ejemplo 10. Calcular el filtro Chebychev paso bajas mediante las tablas para n=2, amax = 0, 5 dB, frecuencia del corte f1 = 4500 Hz, y la ganancia K=3. Chebychev 0,5 dB

K 1 3 5

r1 1,000 1,000 1,000

r4 1,000 1,000 1,000

r3 0,65954 1,97863 3,29771

c2 2,46644 1,75741 1,61560

c5 0,40544 0,18967 0,12379

Tabla 7.1: Elementos del filtro activo paso bajas.

Los elememtos normalizados de nuestro filtro para la ganancia K=3 son r1 = r4 = 1

r3 = 1, 97863

c2 = 1, 75741

c5 = 0, 18967

Si se elige el resistor R0 = 10 kΩ para desnormalizar los valores de los elementos se obtienen los valores desnormalizados del filtro Chebychev: R1 = R4 = r1.R0 = 10 kΩ C2 = C5 =

R3 = r3 .R0 = 19, 70 kΩ

c2 1, 75741 = = 559 pF 2πf0 R0 2π5000.10000

c5 0, 18967 = = 603, 7 pF 2πf0 R0 2π5000.10000

Ejemplo 11. Calcular el filtro Butterworth paso bajas de segundo orden mediante las tablas 7.2 para amax = 0, 5 dB, frecuencia del corte f1 = 1500 Hz, y la ganancia K=2. Los elementos normalizados de filtro Butterworth paso bajas para la ganancia K=2 son r1 = r2 = 1

c1 = 0, 8740

c2 = 1, 14412

Si se elige el resistor R0 = 100 kΩ para desnormalizar los valores de los elementos se obtienen los valores desnormalizados del filtro Butterworth. 140

Figura 7.16: Paso bajas con doble retroalimentaci´on del amplificador. Chebychev 0,5 dB Butterworth 0,5 dB

K 2 1 1,892 2 1 1,585

r1 1,000 1,000 0,812 1,000 1,000 1,000

r2 1,000 1,000 0,812 1,000 1,000 1,000

c1 0,77088 1,4026 1,0000 0,8740 1,4142 1,0000

c2 0,855557 047013 1,0000 1,14412 0,7071 1,0000

Tabla 7.2: Elementos del filtro activo paso bajas con la ganancia finita del amplificador

R1 = r1.R0 = 100 kΩ

R2 = r2.R0 = 100 kΩ

C1 =

0, 87403 c1 = = 927, 37 pF 2πf1 R0 2.π.1500.105

C2 =

c2 1, 14412 = = 1213, 9 pF 2πf1 R0 2.π.1500.105

Figura 7.17: Paso bajas de Butterworth. Ejemplo 12. Calcular el filtro Butterworth paso banda de segundo orden mediante las tablas 7.3 para la frecuencia f0 = 10 kHz, la ganancia K=2 y la calidad Q=5. Los elementos normalizados de filtro Butterworth paso banda para la ganancia K=2 y la calidad Q=5 se obtienen de la tabla 7.3 141

Butterworth

Q r1 2 1,4142 1,0000 5 1,4142 1,0000

r2 1,4142 0,7403 1,4142 0,6344

r3 1,4142 2,3508 1,4142 2,5763

c1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

c2 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

K 3,2928 2,0000 3,7172 2,0000

Tabla 7.3: Elementos del filtro activo paso banda con la ganancia finita del amplificador

r1 = 1

r2 = 0, 6344

c1 = 1, 0000

r3 = 2, 5763 c2 = 1, 0000

Se elige el resistor R0 = 104 Ω, para desnormalizar los valores de los elementos en circuito normalizado. Los valores desnormalizados del filtro Butterworth que se muestra en la figura 7.18 son las siguientes: R1 = r1.R0 = 10 kΩ

R2 = r2.R0 = 634 Ω

R3 = r3.R0 = 25, 763 kΩ

C1 =

1, 000 c1 = = 1591, 5 pF 2.π.f. R0 2.π.104 .104

C2 =

1, 000 c2 = = 1591, 5 pF 2.π.f1 .R0 2.π.104 .104

Figura 7.18: Filtro activo paso bajas.

7.5

Filtro Butterworth paso bajas de sexto orden

La funci´on de transferencia del circuito de segundo orden paso bajas en la figura 7.19 toma la forma (7.28) H(p) =

p2 + p

+

1 G2 KG C 1 C2

1 R1 C 1

+

1 C1 R2

+

1−K R2 C 2

,

+

1 R1 R2 C 1 C2

(7.28)

Si se compara la funci´on de transferencia (7.28) con la funci´on de transferencia paso bajas de Butterworth (7.29) 142

Figura 7.19: El filtro activo paso bajas.

H(p) =

p2

H + a1 .p + a0

(7.29)

se obtienen dos ecuaciones a1 =

1 1−K 1 + + R1 C1 C1 R2 R2 C2

(7.30)

1 (7.31) R1 R2 C1 C2 Tenemos dos ecuaciones pero cinco elementos que se calculan. Entonces se pueden elegir tres elementos y los dem´as se calculan. Se elige a0 =

R1 = R2 = C1 = 1 De la ecuaci´on (7.30) y (7.31) sustituyendo por R1 , R2 y C1 se obtiene C2 =

1 a0

(7.32)

K = 3 − a1

(7.33)

Ejemplo 13. Calcular el filtro Butterworth paso bajas de sexto orden si amax = 3 dB y la frecuencia del corte que sea f1 = 4000 Hz. La funci´on de transferencia del filtro Butterworth que se puede obtener de la tabla toma la forma: H(p) =

(p2

1 1 1 2 2 + 1, 9318p + 1) (p + 1, 4142p + 1) (p + 0, 5176p + 1)

Se conectan tres filtros en cascada con la funci´on de transferencias H1 (p) =

p2

1 + 1, 9318p + 1 H3 (p) =

p2

H2 (p) =

p2

1 + 1, 4142p + 1

1 + 0, 5176p + 1

Valores del primer bloque. Si se utiliza la impedancia para desnormalizar los valores R0 = 104 Ω se obtiene 143

R1 = R2 = 10 kΩ

C1 = C2 =

1 = 3979 pF 2.π.104 .4.103

y la ganancia del primer bloque es K1 = 3 − 1, 9318 = 1, 0682

RA1 = 10 kΩ

RB1 = 682 Ω

Valores del segundo bloque. Los valores C1 , C2 , R1 y R2 son iguales para todos bloques. Es necesario calcular las ganancias de segundo y tercer bloque. K2 = 3 − 1, 4142 = 1, 5858

RA2 = 10 kΩ

RB2 = 5858 Ω

Valores del tercer bloque. K3 = 3 − 0, 5176 = 2, 4824

RA3 = 10 kΩ

RB3 = 24, 824 kΩ

El circuito de Butterworth de sexto orden se muestra en la figura 7.20

Figura 7.20: Filtro activo paso bajas.

7.6

Dise˜ no de los filtros con girador

Si se conecta en la salida de un girador un capacitor se realiza un inductor. El girador se realiza mediante dos amplificadores, entonces el filtro no tiene resistores, que en la forma integrada ocupan mucho espacio y adem´as son muy sensible a la variaci´on de la temperatura. El circuito contiene solo los amplificadores y capacitores que no ocupan tanto espacio en la forma integrada como los filtros activos con resistores, capacitores y amplificadores.

7.6.1

Girador.

El girador se realiza con dos amplificadores. Para dise˜ nar el girador primeramente se calcula la matriz de admitancia de un amplificador real (no ideal), que se muestra en la figura 7.21. En la figura 7.21a se muestra el bloque funcional de amplificador y en la figura 7.21b se 144

muestra la estructura de un amplificador real con los resistores R1 y R2 . De los circuitos en la figura 7.21 se pueden escribir las siguientes ecuaciones Uik = Ui0 − Uk0

Ik + Ii = 0

Usb = Us0 − Ub0

Is + Ib = 0 Ii = G1 (Ui0 − Uk0 )

Is = s(Ui0 − Uk0 ) + G2 (Us0 − Ub0 )

Ik = −G1 (Ui0 − Uk0 )

Ib = −s(Ui0 − Uk0 ) − G2 (Us0 − Ub0 )

Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma matricial     

Ii Is Ik Ib





    =  





G1 0 −G1 0  S G2 −S −G2    × −G1 0 G1 0   −S −G2 S G2

La matriz de admitancia de un amplificador real toma la forma  

Y=  

Ui0 Us0 Uk0 Ub0

    



G1 0 −G1 0 S G2 −S −G2    −G1 0 G1 0  −S −G2 S G2

Figura 7.21: Bloque funcional y la estructura del amplificador real. Ejemplo 1. Calcular la matriz de admitancia del circuito con el amplificador real de la figura 7.22 Primero se calcula la matriz de la red pasiva.  

YPas =   

Y1 0 0 −Y1

0 0 0 0

0 −Y1 0 0 0 0 0 Y1 + Y2

    

Para obtener la matriz de admitancia el circuito activo es necesario sumar la matriz de la red pasiva con la matriz de amplificador real. 145

Figura 7.22: Circuito con amplificador real.    

YCir = 

Y1 + G 1 0 −G1 −Y1 S G2 −S −G2 −G1 0 G1 0 −S − Y1 −G2 S G2 + Y1 + Y2

    

Adelante se va a idealizar el amplificador. Primero que sea la rezistencia del amplificador en la entrada igual a infinito. R1 = ∞, G1 = 0. La matriz anterior se modifica    

YCir = 

Y1 0 0 −Y1 S G2 −S −G2 0 0 0 0 −S − Y1 −G2 S G2 + Y1 + Y2

    

En esta matriz se van a reducir los nodos internos 1 y 4 (I y B) y se calcula la matriz siguiente  

[Y] =  

∆22 ∆22,33

23 − ∆∆22,33 (−1)5

32 − ∆∆22,33 (−1)6

∆33 ∆22,33

   

El subdeterminante ∆22,33 se obtiene si en la matriz se eliminan el segundo y tercer rengl´on y la segunda y tercera columna. ∆22,33

4 4 Y1 4 = 44 −S − Y1

−Y1 G 2 + Y1 + Y2

4 4 4 4 = Y1 (G2 − S + Y2 ) 4

El subdeterminante ∆32 se obtiene si en la matriz se elimina el tercer rengl´on y la segunda columna. ∆32

4 4 Y1 4 4 S =4 4 4 −S − Y1

0 −Y1 −S −G2 S Y1 + Y2 + G2

4 4 4 4 4 = −S.Y1 .Y2 4 4

Si se calculan los otros subdeterminantes se obtiene la matriz del circuito activo [Y] =

!

0

0

SY2 − Y2 +G 2 −S

Y2 G2 Y2 +G2 −S

"

Si se toma en cuenta que el amlificador es ideal, entonces la ganancia S = ∞ y se obtiene de la matriz anterior la matriz de admitancia 146

!

[Y] =

"

0 0 Y2 0

De la u ´ltima matriz se pueden escribir dos ecuaciones I1 = 0

I2 = Y2 .U1

De estas ecuaciones se puede ver que el circuito resultante es la fuente de coriente controlada con voltaje en la entrada. El circuito se muestra en la figura 7.23a. La matriz de admitancia del circuito en la figura 7.23b toma la forma

Figura 7.23: Fuente de coriente controlada por el voltaje a) y b) y el girador c). !

[Y] =

"

0 Y2 0 0

Si se conectan los circuitos en la figura 7.23a y 7.23b en paralelo se obtiene un girador que se muestra en la figura 7.23c. La matriz de adnmitancia de un girador toma la forma [Y] =

!

0 Y2 Y2 0

"

La estructura y el s´ımbolo de un girador se muestra en la figura 7.24a,b. En la figura 7.24c se muestra como se realiza f´ısicamente el inductor mediante un girador y un capacidor. Ejemplo 2. Calcular el circuito equivalente que se obtiene si se conectan dos giradores en cascada. Un girador tiene la impedancia de gyraci´on R1 y el otro R2 . Primero es necesario calcular la matriz de cascada del girador. De las ecuaciones lineales del girador se obtiene U1 = R1 .I1

I1 =

U2 R1

La matriz de cascada del primer girador es !

U1 I1

"

=

!

0 1 R1

R1 0

"

×

!

U2 I2

"

La ecuaci´on matricial de cascada para segundo girador con el resistor de giraci´on R2 toma la forma 147

Figura 7.24: Girador, el s´ımbolo de girador y la realizaci´on f´ısica de una inductancia. !

U1 I1

"

=

!

0 1 R2

R2 0

"

×

!

U2 I2

"

Para dos giradores conectados en cascada como se muestra en la figura 7.25, las matrices de cascada se multiplican. La matriz resultante en la ecuaci´on (7.34) es la matriz de un R1 transformador con n = R 2 A=

!

0 1 R1

R1 0

"

×

!

0 1 R2

R2 0

"

=

!

R1 R2

0

0 R2 R1

"

=

!

n 0 0 n1

"

(7.34)

Figura 7.25: Dos giradores en cascada equivale a un transformador. Ejemplo 3. Calcular la impedancia de entrada de un girador con un capacitor conectado en la salida como se muestra en la figura 7.26. De las ecuaci´ones de un girador U1 = R.I2

I1 =

1 U2 R

se puede calcular la ecuaci´on (7.35) si en la salida del girador se conecta el capacitor C2 . De la ecuaci´on (7.35) se ve que la impedancia de entrada Z1 es la impedancia del inductor. Esto 148

Figura 7.26: Girador terminado con un capacitor en la salida. significa que el inductor se simula mediante un girador y capacitor conectado en la puerta de salida. Z1 =

R2 = jωC2 R2 Z2

(7.35)

Utilizando la ecuaci´on (7.35) la inductancia L2 que simula el girador con el capacitor de 6 nF conectado en su salida tiene 24 mH. L = R2 C2 = 20002 .6.10−9 = 0, 024 Ejemplo 4. Calcular el filtro de Butterworth paso bajas de tercer orden, si la frecuencia del corte f1 = 3400 Hz y la atenuaci´on m´axima es amax = 3 dB. El filtro en su salida se conecta con la impedancia deR2 = 1000 Ω. Los elementos del filtro Butterworth normalizado es c1 = c3 = 1 y la inductancia l2 = 2. En la figura 7.27a se muestra el filtro paso bajas normalizado. Para desnormalizar los valores con el respecto a la frecuencia del corte y con la impedancia de 1000 Ω se utilizan los ecuaciones C=

c 2πf1 R2

L=

lR2 2πf1

Los elementos del filtro desnormalizados son: C1 = C3 = L2 =

1 = 46, 8 nF 2π3400.1000

2.1000 = 93, 62 mH 2π3400

En la figura 7.27c se muestra el circuito que simula el inductor en la rama serial. El capacitor que simula el inductor con dos giradores se calcula mediante la relaci´on C = L/R2 . Si se elige el resistor de giraci´on R=1,4144 kΩ se obtiene capacitor 46,8 nF . Del circuito en la figura 7.27d se puede ver, que los valores de los capacitores en el circuito son iguales. Si se construyen muchos filtros de este tipo, la fabricaci´on en serie es m´as barata. Adem´as se puede ver, que el circuito no contiene rezistores, que requieren en la fabricaci´on de integraci´on mucho espacio. 149

C2 =

L2 93, 62.10−3 = = 46, 8 nF R2 (1, 4144.103 )2

Figura 7.27: Paso bajas con girador. Ejemplo 5. Calcular el filtro de Butterworth paso altas de tercer orden, si la frecuencia del corte f1 = 30 Hz y la atenuaci´on m´axima es amax = 3 dB. El filtro en su salida se conecta con la impedancia de R2 = 1000 Ω. Los elementos del filtro Butterworth normalizado paso bajas son c1 = c3 = 1 y la inductancia l2 = 2. En la figura 7.28a se muestra el filtro Butterworth paso bajas normalizado. Para desnormalizar los valores con el respecto a la frecuencia del corte f−1 = 30 Hz y la impedancia de la salida 1000 Ω se utilizan los ecuaciones C=

l

L=

2πf−1 R2

cR2 2πf−1

Los elementos del filtro desnormalizados son: C1 = C3 =

L2 =

1 = 530 µF 2π30.1000 2.1000 = 10 H 2π30

En la figura 7.27c se muestra el circuito que simula el inductor en la rama paralela. El capacitor que simula el inductor con dos giradores se calcula mediante la relaci´on C = L/R2 . Si se elije el el capacitor entre los dos giradores 530 µF se obtiene el valor de constante de giraci´on 137,36 Ω. Del circuito en la figura 7.28d se puede ver, que los valores de los capacitores en el circuito son iguales. 150

2

S =

$

L2 = C2

$

10 = 137, 36 (530.10−6 )

Figura 7.28: Paso altas con girador. Ejemplo 6. Calcular los valores del filtro paso bajas de la figura 7.29 para las especificaciones: Aproximaci´on de Butterworth, frecuencia del corte f1 = 10 kHz, R=1000 Ω, H=10, amax = 3 dB. Primero se calcula la funci´on de transferencia U2 /U1 A=

!

1 R 0 1 

A= 

"

×

!

1 0 pC1 1

"

×

SpC2 + p2 RC1 C2 S + 2

Sp C1 C2 +

!

1 S

0 S 1 0 S

"

×

!

1 0 pC2 1

S(1 + RpC1 S)

1 S

pC1 S

"

(7.36)

  

(7.37)

1 U2 S = = 2 2 A11 U1 p RC1 C2 S + pC2 S 2 + R Si se sustituye en la ecuaci´on (7.38) los t´erminos D = funci´on de transferencia

1 , S

S1 =

U2 DGS1 S2 = 2 U1 p + pS1 G + S1 S2 D2 151

1 C1

(7.38) y S2 =

1 C2

se obtiene la

(7.39)

La ecuaci´on (7.39) es una funci´on de transferencia del filtro paso bajas. En el caso de Butterworth la funci´on de transferencia desnormalizada toma la forma Hω02 U2 = 2 U1 p + paω0 + ω02

(7.40)

Si se comparan (7.39) con (7.40) se obtienen tres ecuaciones Hω02 = D.G.S1 .S2 Bω02 = S1 .S2 .D2

S1 .G = a.ω0 Si se conoce el valor de la resistencia R se puede calcular el condensador C1 , D y C2 mediante las ecuaciones C1 =

1 a.R.ω0

C1 =

D=

C2 =

D2 C1 .ω 2

1 √ = 11, 253953 nF 1000. 2.2.π.104 D=

C2 =

b R.H

1 = 10−4 1000.10

10−8 = 225, 079.10−12 F 2 8 11, 253953.4.π .10

El circuito paso bajas se muestra en la figura 7.29

Figura 7.29: Paso bajas con girador.

152

Cap´ıtulo 8 Filtros de cristal 8.1

Resonador piezoel´ etrico

El bloque del resonador piezoel´ectrico se muestra en la figura 8.1a) y el circuito LC equivalente se muestra en la figura 8.1b).

Figura 8.1: El resonador piezoel´ectrico y su LRC circuito. La impedancia del circuito de un puerto de la figura 8.1a toma la forma s2 + L11C1 1 + s2 L1 C1 1 Z(s) = = 1 s [(C0 + C1 ) + s2 L1 C1 C0 ] C0 s(s2 + LC10C+C ) 0 C1

(8.1)

Los polos y ceros de la impedancia Z(s) est´an en las frecuencias ω12 = ω22 =

1 L1 C1 1

C0 L1 CC11+C 0

(8.2) (8.3)

El diagrama de la reactancia del resonador piezoel´etrico se puede obtener de la ecuaci´on (8.1) y se muestra en la figura 8.2. Desde la figura 8.2 se puede ver que las frecuencias de los polos y ceros se alternan. La impedancia se puede expresar mediante las frecuencias de los polos y ceros. Si se sustituye en (8.1) las ecuaciones (8.3) y (8.2) se obtiene Z(p) =

1 ω12 − ω 2 jωC0 ω22 − ω 2 153

(8.4)

Figura 8.2: El diagrama de reactancia del resonador piezoel´ectrico.

Figura 8.3: El diagrama de reactancia del filtro PB piezoel´ectrico.

8.2

Atenuaci´ on del filtro en la forma cruz.

El filtro paso banda con cristales se muestra en la figura 8.3a. Para que el filtro sea paso banda es necesario que en las ramas de serie hay un cristal K1 y en las ramas que se cruzan est´e el cristal K2 . El cristal K2 debe tener un cero en las frecuencias donde el cristal K1 tiene un polo. Si todos cristales son iguales, la atenuaci´on es infinita para todas las frecuencias y el circuito no funciona como filtro. Los filtros paso banda de cristal tienen la banda de paso muy estrecha. En la figura 8.3b se muestran las reactancias de los kristales K1 y K2 y la atenuaci´on del filtro en la forma cruz. En el caso del circuito con las impedancias Z1 y Z2 en la rama de serie y cruz se puede escribir la ecuaci´on (8.5), donde a0 es la atenuaci´on y b0 es la fase de la funci´on de transferencia del circuito. a0 + jb0 = tg h 2

$

Z1 Z2

(8.5)

• Si el car´acter de ambas impedancias Z1 y Z2 sea inductiva o capacitiva, el circuito atenua y en la frecuencia donde Z1 = Z2 se obtiene el polo de atenuaci´on. En el caso si Z1 = Z2 se obtiene de la ecuaci´on (8.5) la ecuaci´on (8.6) a0 =1 → a0 = ∞ (8.6) 2 De la ecuaci´on (8.6) se ve que la atenuaci´on es infinita si Z1 = Z2 . Si las impedancias Z1 y Z2 tienen el mismo car´acter en la banda de las frecuencias, eso significa que en esta banda el filtro atenua. Si en la frecuencia f2 , Z1 = Z2 el polo de atenuaci´on es en la frecuencia f2 . tg h

154

• Si en la banda de las frecuencias la impedancia Z1 tiene car´acter inductivo y en la misma banda de frecuencias Z2 tiene car´acter capacitivo se puede obtener de la ecuaci´on (8.5) $

senh a0 X1 sen b0 +j =j X2 cosh a0 + cos b0 cosh a0 + cos b0

(8.7)

Si se comparan las partes imaginarias y reales de ambos lados de la ecuaci´on (8.7) se obtiene senh a0 =0 cosh a0 + cos b0

→

a0 = 0

sen b0 sen b0 b0 = = tg = cosh a0 + cos b0 1 + cos b0 2

$

X1 X2

(8.8)

(8.9)

La fase de la funci´on de transferencia en la banda de paso se puede calcular mediante la ecuaci´on (8.10). De la ecuaci´on (8.8) se ve que la atenuaci´on del circuito es cero (a0 = 0) en la banda de frecuencias donde las reactancias de los cristales tienen el car´acter opuesto. b0 = 2.arctg

8.3

$

X1 X2

(8.10)

Filtro paso de banda en la forma cruz

El filtro paso banda en la forma cruz figura 8.4a tiene en las ramas de serie el cristal K1 y en las ramas que se cruzan el cristal K2 . En la figura 8.4b en las ramas se muestran ahora los circuitos ecuivalentes a un cristal piezoel´ectrico. Para cada circuito LC se calculan las impedancias Z1 (jω) y Z2 (jω). Para obtener un filtro es necesario elegir el polo de cristal K2 en la misma frecuencia donde est´a el cero de la impedancia del cristal K1 . Entonces en el denominador de Z1 (jω) y en el numerador de Z2 (jω) se encuentra ω22 , como se ve de las ecuaciones (8.11) y (8.12). 1 ω12 − ω 2 jωC01 ω22 − ω 2

(8.11)

1 ω22 − ω 2 Z1 (jω) = jωC02 ω32 − ω 2

(8.12)

Z1 (jω) =

En la ecuaci´on (8.11) el cero es de la forma ω12 =

1 L11 C11

(8.13)

y el polo ω22 toma la forma: ω22

=

1 C02 L12 CC1112+C 02

2

C11 1 = ω12 1 + = L12 C12 C01

El polo de Z2 (jω) se obtiene de manera similar 155

3

(8.14)

ω32

=

1 C02 L12 CC1212+C 02

=

ω22

2

C12 1+ C02

3

(8.15)

Figura 8.4: Filtro paso banda en la forma cruz. Es necesario calcular la impedancia caracter´ıstica del filtro en la forma cruz. La gr´afica de la impedancia caracter´ıstica se muestra en la figura 8.5. En la banda de paso la impedancia caracter´ıstica es real y en la banda de supresi´on la impedancia caracter´ıstica tiene car´acter imaginario. Las frecuencias ω1 y ω3 son las frecuencias del corte de paso banda. En la √ el valor R0 . La impedancia frecuencia ω2 = ω1 ω3 la impedancia caracter´ıstica alcanza √ caracter´ıstica Z0 se calcula mediante la ecuaci´on Z0 = Z1 Z2 .

Figura 8.5: Diagrama de la impedancia car´acteristica.

para ω = ω2 =

√

9 :

: ω12 − ω 2 1 ; Z0 = √ jω C01 C02 ω32 − ω 2

(8.16)

ω1 ω3 se obtiene la ecuaci´on

1 ω3 C01 C02 Si se conocen los polos de atenuaci´on se obtiene la ecuaci´on. √

Z0 = R 0 =

$

$

9 :

(8.17)

2 2 2 2 C02 : ; (ω1 − ω )(ω3 − ω ) = 1 (8.18) 2 C01 (ω2 − ω 2 )2 √ Tambi´en los polos de la atenuaci´on son sim´etricos ω2 = ω∞1 ω∞2 . Si se toma en cuenta esta propiedad se obtiene la ecuaci´on (8.19)

a0 + jb0 tgh = 2

Z1 = Z2

156

$

9 :

2 2 : (ω 2 − ω∞1 C01 )(ω32 − ω∞1 ) =1 =m=; 1 2 2 (ω2 − ω∞1 )2 C02

(8.19)

Si se conoce la impedancia R0 , las frecuencias de corte f1 y f3 , y la frecuencia del polo de atenuaci´on f∞1 , se pueden calcular los elementos del filtro C01 , C02 , C11 , L11 , C12 y L12 y con estos valores es posible producir el cristal. En el siguiente ejemplo se muestra como se calcula el filtro de cristal paso banda. Ejemplo 1: Calcular el filtro de cristal paso banda si se conocen los especificaciones de la plantilla en la figura 8.6

Figura 8.6: Especificaciones del filtro cristal paso banda. Primero se calcula la frecuencia f2 y la frecuencia del polo f∞1 . Si se conocen las frecuencias de los polos de la funci´on de transferencia se puede calcular la constante m que depende a los capacitores C01 y C02 . f2 =

#

f∞1 m=

$

C01 = C02

#

127.103 .129, 01.103 = 128.103

(128.103 )2 = 122, 27.193 = 3 134.10

(1272 − 122, 272 )(129, 012 − 122, 272 ) 1282 − 122, 272

= 0, 9854

C01 = C02 0, 98542 De la ecuaci´on (8.14) se calcula C02 C02 =

10−3 = 1, 259.10−9 129, 01.0, 9854.1000.2π

C01 = 1, 259.10−9 .0, 98542 = 1, 2157.10−9 De la ecuaci´on 8.14 se obtiene la ecuaci´on para calcular C11 . C11 = C01

7

8

7

8

2 ω22 −9 128 − 1 = 1, 2157.10 − 1 = 19, 22.10−12 ω12 1272

157

L11 =

1 ω12 C11

=

1 = 8.17.10−2 2 2 −12 6 4π 127 19.22.10 10

La ecuaci´on para calcular C12 se obtiene mediante 8.15. C12 = C01

7

8

7

8

2 ω32 −9 129, 01 − 1 = 1, 259.10 − 1 = 19, 947.10−12 ω22 1282

L12 =

1 ω22 C12

=

1 19, 947.1012 4π 2 1282 106

= 7, 75.10−2

Los valores de todos elementos en el circuito de la figura 8.4b son conocidos y de estos valores se puede dise˜ nar el piezoresonador. Ejemplo 2: Que tipo de filtro es en la figura 8.7.

Figura 8.7: Filtro en la forma cruz. Para saber que tipo del filtro es en la figura 8.7 es necesario escribir en una diagrama las reactancias del cristal y de inductancia. La gr´afica de las reactancias del cristal y de la inductancia se muestra en la figura 8.8. Las reactancias de la inductancia y del cristal tienen el car´acter de oposici´on hasta la frecuencia del cero del cristal. Entonces en esta banda de frecuencias el filtro no atenua. La reactancia XL y la reactancia del cristal XK entre las frecuencias del cero y polo tienen el mismo car´acter, eso significa, que en esta banda de frecuencias el circuito de cruz atenua. En la frecuencia f∞ las reactancias del cristal y la reactancia de la inductancia son iguales XL = XK . Por eso la atenuaci´on en la frecuencia f∞ es infinita, eso significa que en la frecuencia f∞ tenemos el polo de atenuaci´on. El filtro en la figura 8.7 es un supresor de banda. La atenuaci´on del filtro se muestra en la figura 8.8

Figura 8.8: Las reactancias del cristal y de la inductancia y la atenuaci´on del filtro.

158

Cap´ıtulo 9 Filtros dise˜ nados mediante acoplamiento El filtro paso banda que se muestra en la figura 9.1a se puede dise˜ nar tambi´en con los circuitos que se calculan mediante los coeficientes de acoplamiento. Se conoce el acoplamiento capacitivo figura 9.1b, inductivo figura 9.1c y acoplamiento mezclado figura 9.1d.

Figura 9.1: Filtro paso banda a.) y la realizaci´on con acoplamientos. Los coeficientes de acoplamiento normalizados se calculan directamente de un circuito normalizado por ejemplo de Butterworth y despu´es los elementos se desnormalizan mediante la ecuaci´on Kij = kij

∆f f0

(9.1)

Donde Kij es el coeficiente de acoplamiento de paso banda desnormalizado, kij es el coeficiente de acoplamiento de paso bajas normalizado obtenido del circuito paso bajas normalizado, ∆f es√la banda de paso del filtro paso banda y f0 es la frecuencia central de paso banda f0 = f1 .f−1 . Ejemplo 1: Calcular los coeficientes de acoplamiento para el filtro de orden 5, aproximaci´on de Butterworth si ∆f=3400 Hz y f0 = 108 kHz. 159

El filtro de orden 5 en la forma normalizada se muestra en la figura 9.2. Los valores del circuito fueron obtenidos mediante la tabla 4.1. El coeficiente del acoplamiento se calculan mediante la ecuaci´on (9.2).

Figura 9.2: Filtro paso bajas Butterworth de orden 5.

kij =

k12 = k45 =

$

$

ci lj

1 ≥ kij

0, 618 = 0, 6618 1, 618

k23 = k34 =

(9.2) $

1, 618 = 0, 899 2, 000

Los coeficientes de acoplamiento desnormalizados se obtienen mediante la ecuaci´on (9.1)

K12 = K45 = 0, 6618

3, 4 = 0, 0208 108

K23 = K34 = 0.899

3, 4 = 0, 0283 108

Ejemplo 2: Calcular los coeficientes de acoplamiento para paso banda que se muestra en la figura 9.3.

Figura 9.3: Filtro paso banda con acoplamiento capacitivo. 160

Los coeficientes de acoplamiento del filtro paso banda desnormalizado se calculan mediante la ecuaci´on (9.3). En la ecuaci´on el capacitor Cij es el capacitor conectado entre el nodo i y j, el capacitor Ci es la suma de los valores de los capacitores conectados en el nodo i si otros nodos del circuito son conectados a tierra. El capacitor Cj es la suma de todos capacitores conectados en el nodo j, si otros nodos son conectados a tierra. Cij Kij = # Ci .Cj 2, 09

K12 = #

(23, 2 + 2, 09)(2, 09 + 22 + 1, 22)

K23 = #

(9.3)

= 0.0826

1, 22

(22 + 2, 09 + 1, 22)(23, 4 + 1, 22 + 0, 726)

= 0.04816

0, 726 K34 = # = 0, 0286 (1, 22 + 23, 4 + 0, 726)(0, 726 + 23, 3 + 1, 29) 1, 29

K45 = #

(0, 726 + 23, 3 + 1, 29)(1, 29 + 24, 4)

9.1

= 0.05058

Filtros electromec´ anicos

Filtros electromec´anicos alcanzan la calidad hasta Q=10 000. En comparaci´on con los filtros LC donde se alcanza la calidad del filtro entre 50 hasta 300, los filtros electromec´anicos se dise˜ nan en el caso de bandas de paso muy estrechas. Filtros electromec´anicos pueden trabajan en temperaturas muy extremas desde -50 hasta 50 grados cent´ıgrados. Los primeros filtros electromec´anicos se realizaron en telecomunicaciones como los usados para canales telef´onicos desde 60 kHz hasta 108 kHz. Los filtros electromec´anicos por su buena calidad se utilizan en los aparatos de medici´on y algunos aparatos muy finos de audio. El filtro electromec´anico se muestra en la figura 9.4.

Figura 9.4: Filtro paso banda electromec´anico. Los cilindros que tienen el di´ametro 4,5 mm son conectados mediante un alambre aproximadamente de di´ametro 0,14 hasta 0,5 mm. El di´ametro del alambre depende del coeficiente 161

de acoplamiento. Los cilindros resuenan de modo torsional y el alambre de modo longitudinal. El primer y el u ´ltimo cilindro se conecta con un convertidor piezocer´amico. El primer convertidor produce vibraciones longitudinales si se conecta con la fuente. El u ´ltimo convertidor piezocer´amico convierte los vibraciones longitudinales a la se˜ nal el´ectrica. Ambos finales del cilindro vibran en oposici´on y por eso en el centro del cilindro no hay vibraciones y se puede por medio de un alambre m´as grueso conectar a tierra. M´as adelante se muestra c´omo se sustituye un cilindro por un circuito LC y el alambre por un circuito de dos puertas. La teor´ıa est´a basada en la teor´ıa de las l´ıneas el´ectricas. Para las l´ıneas el´ectricas se pueden escribir las ecuaciones U1 = U2 cos(al) + I2 jZ0 sen(al) I1 =

U2 sen(al) + jZ0

I2 cos(al)

(9.4)

Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma matricial !

U1 I1

"

=

!

cos(al) jZ0 sen(al) 1 sen(al) cos(al) jZ0

"

×

!

U2 I2

"

(9.5)

Para las l´ıneas mec´anicas se puede escribir las ecuaciones anal´ogas. En la figura 9.5 se muestran los cilindros que vibran de modo torsional y longitudinal. F1 es la fuerza que se aplica en el principio del cilindro y v1 es la velocidad de vibraci´on de los elementos de acero en el principio del cilindro. F2 es la fuerza con que vibran los elementos en el fin de cilindro y v2 es la velocidad de vibraci´on en el fin. De forma parecida que para el resonador que vibra de forma torsional, M1 y M2 es el m´odulo de vibraci´on torsional y φ1 y φ2 es la velocidad de ´angulo. W0 es la impedancia mec´anica de los resonadores y l es la longitud del cilindro. F1 = F2 cos(al) + v2 .jW0 sen(al) v1 =

F2 sen(al) + jW0

v2 cos(al)

(9.6)

Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma matricial !

F1 v1

"

=

!

cos(al) jW0 sen(al) 1 sen(al) cos(al) jW0

"

×

!

F2 v2

"

(9.7)

M1 = M2 cos(al) + φ2 .jW0 sen(al) φ1 =

M2 sen(al) + jW0

φ2 cos(al)

(9.8)

Tambi´en las ecuaciones (9.8) se pueden escribir en la forma matricial !

M1 φ1

"

=

!

cos(al) jW0 sen(al) 1 sen(al) cos(al) jW0

"

×

!

M2 φ2

"

(9.9)

En la primera analog´ıa F → U y v → I y en la segunda analog´ıa F → I y v → U . La impedancia en la primera analog´ıa es 162

Figura 9.5: Cilindros de metal y los modos de vibraci´on a)longitudinal b) torsional.

WI =

U1 F1 2π → = jW0 cotg l I1 v1 λ

(9.10)

En la figura 9.6a se ve la gr´afica de la impedancia mec´anica . Para l = λ4 la impedancia tiene el valor cero y para esta frecuencia y las frecuencias mas cercanas se puede realizar con un circuito LC serie. Para la longitud del cilindro l = λ2 la impedancia es infinita, entonces en l = λ2 tenemos polo. Este polo para la frecuencia se puede realizar con un circuito LC paralelo. La impedancia en la segunda analog´ıa es WII =

v1 1 2π U1 → = tg l I1 F1 jW0 λ

(9.11)

En la figura 9.6b se ve la gr´afica de la impedancia mec´anica para la segunda analog´ıa. Para l = Λ4 tiene el valor ∞ y para esta frecuencia y las frecuencias m´as cercanas se puede realizar con un circuito LC paralelo. Para la longitud del cilindro l = λ2 la impedancia es igual a cero. Este cero de la impedancia se puede realizar con un circuito LC serie.

Figura 9.6: Gr´aficas de las impedancias del cilindro. El resonador del cilindro de la longitud λ4 en la segunda analog´ıa se puede sustituir por un circuito LC en la forma paralela como se muestra en la figura 9.7a. En la primera analog´ıa el cilindro de metal de la longitud λ4 se puede sustituir por un circuito LC en la forma de serie, como se muestra en la figura 9.7b. Esta sustituci´on es posible solo para una banda de paso muy estrecha. Por eso estos tipos de filtros no pueden realizarse para una banda de paso muy amplia. 163

Figura 9.7: Resonador que vibra de modo torsional y su sustituci´on por LC. El alambre que contacta los cilindros en la segunda analog´ıa se puede sustituir por un circuito de dos puertas que se muestra en la figura 9.8. El alambre vibra en el modo longitudinal. La inductancia de sustituci´on se calcula mediante la ecuaci´on (9.12) y la capacitancia mediante la ecuaci´on (9.13). En las ecuaciones l es la longitud del alambre que conecta dos cilindros contiguos, ω0 es la frecuencia central de paso banda, W0 es la impedancia caracter´ıstica de un cilindro y v es la velocidad de vibraci´on. ω0 l W0 sen ω0 v

(9.12)

1 ω0 .l sen W0 .ω0 2.v

(9.13)

L= C=

Figura 9.8: Alambre que vibra longitudinalmente y su LC sustituci´on. Si se elige el cilindro de 4,5 mm de un material PY-42Mo, se puede medir y calcular la impedancia del cilindro que vibra de modo torsional. La impedancia mec´anica es aproximadamente W T ors. = 184750 [g/s.] La impedancia mec´anica del alambre se calcula mediante la ecuaci´on (9.14), donde Kij es el coeficiente de acoplamiento entre el resonador i y resonador j. Wij = Kij W T ors.

(9.14)

El filtro electromec´anico con 4 resonadores y su circuito de sustituci´on LC se muestra en la figura (9.9). 164

Di´ametro [mm] v[m/s] 0,14 4791 0,18 4768 0,20 4723 0,25 4631 0,28 4623 0,5 4696

W [g/s] 609 990 1255 1908 2378 7777

Tabla 9.1: Di´ametro del alambre, la velocidad de vibraci´on y la impedancia.

Figura 9.9: Filtro electromec´anico con 4 resonadores y su sustituci´on LC. Para construir el filtro se necesita elegir el di´ametro del alambre que conecta los cilindros. Para eso es necesario calcular las impedancias de los alambres de varios di´ametros. Las impedancias para los alambres de diferentes di´ametros se encuentran en la tabla 9.1. Ejemplo 3: Calcular el filtro electromec´anico para las especificaciones f1 = 104 kHz f−1 = 108 kHz. La aproximaci´on es de Butterworth y el filtro paso banda se realiza con 4 resonadores. De las tablas para la aproximaci´on de Butterworth los elementos normalizados son c1 = 0, 765

l2 = 1, 847

c3 = 1, 847

l4 = 0, 765

Los coeficientes normalizados de acoplamiento se calculan mediante la ecuaci´on (9.2). k12 = k34 =

$

0, 765 = 064357 1, 847

k23 =

$

1, 847 =1 1, 846

Los coeficientes desnormalizados de acoplamiento para paso banda con la frecuencia central √ f0 = 104.108.103 = 105, 982.103 toman la forma K12 = K34 = 0, 64357

4 = 0, 024296 105, 981.103

165

4 = 0, 03774 105.982 Las impedancias del alambre se calculan mediante la ecuaci´on (9.14) y toman la forma K23 = 1

W12 = W34 = 0, 024296.184750 = 4488, 686 [g/s]

W23 = 0, 03774.184750 = 6972, 465 [g/s] Si se conecta el alambre en ambos lados del fin del cilindro como se muestra en la figura 9.10 es necesario elegir el di´ametro del alambre con la impedancia 4488/2 = 2244 [g/s]. En la tabla 9.1 la impedancia mec´anica 2244 g/s se cumple con del alambre que tiene di´ametro 0,28 mm. Todav´ıa falta realizar en la mitad del filtro la impedancia 6972-4488=2484 [q/s]. Si se conecta el alambre en ambos t´erminos del cilindro se necesita realizar adicionalmente la impedancia del alambre 2484/2=1242 [g/s] y eso se realiza con el di´ametro del alambre 0,20 mm.

Figura 9.10: Filtro electromec´anico con 4 resonadores. La longitud del cilindro es l = 2l =

lambda . 4

De la ecuaci´on v = λ.f se calcula

v 4700 [m/s] = 22, 17 mm = 2f 2.105, 981.103

La longitud del cilindro es 22,17 mm. Si la longitud del cilindro se disminuye, la frecuencia de resonancia de cilindro se aumenta. Por ejemplo, si se realiza un filtro paso banda con la frecuencia central 500 kHz la longitud de cilindro debe ser 4,7 mm. Es muy complicado realizar el filtro paso banda en estas frecuencias, porque los cilindros son muy peque˜ nos y es dif´ıcil armarlos. 2l =

v 4700 [m/s] = = 4, 7 mm 2f 2.500.103

166

Cap´ıtulo 10 Filtros con los capacitores conmutados. Para el filtro en la figura 10.1a podemos escribir la ecuaci´on U1 − U2 dU =C dT T Para el circuito en la figura 10.1b se obtiene Ic = C

(10.1)

Figura 10.1: El capacitor conmutado y el resistor. U1 − U2 R Si en ambos circuitos las corientes son iguales I c = I r podemos escribir Ir =

(10.2)

U1 − U2 U1 − U2 = T R Y el resistor se puede sustituir por un capacitor conmutado. El valor del capacitor se calcula mediante la ecuaci´on (10.3). La manera como se calcula el filtro con los capacitores conmutados se muestra en el ejemplo siguiente. C

C=

1 fm .R

167

(10.3)

Ejemplo 1: Calcular el filtro paso bajas de Butterworth con los capacitores conmutados para las especificaciones K=2

f1 = 1500 Hz

n=2

fm = 20000 Hz

De un cat´alogo de filtros activos se obtienen los valores normalizados del filtro activo RC que se muestra en la figura 10.2

Figura 10.2: Circuito paso bajas activo.

r1 = r2 = 1

c1 = 0, 87403

c2 = 1, 14412

Si se elije el resistor R0 = 105 Ω, para la desnormalizaci´on, entonces se puede calcular para la frecuencia ω = 2π1500 = 9424, 778 rad/sec los valores desnormalizados R1 = 1.105 = 100 kΩ R2 = 1.105 = 100 kΩ C1 = C2 =

0, 87403 105 .9424, 778 1, 14412

105 .9424, 778

= 927 pF

= 1213, 9 pF

Si la frecuencia de conmutaci´on es fm = 20000 Hz, los capacitores conmutados se calculan mediante la ecuaci´on (10.3) y toman el valor Ccon1 = Ccon2 =

1 105 .20.103

= 500 pF

El circuito paso bajas con los capacitores conmutados se muestra en la figura 10.3 168

Figura 10.3: Circuito paso bajas con los capacitores conmutados.

10.1

Filtro SCF de segundo orden.

En el ejemplo anterior el filtro SCF se calculo desde la estructura del filtro RC activo ACF. Otra posibilidad para realizar el filtro con los capacitores conmutados SCF es el de la funci´on de transferencia H(z) de segundo orden (10.4) g + ez −1 + dz −2 . (10.4) 1 + az −1 + bz −2 Para el circuito de segundo orden de la figura 10.4 mediante la an´alisis se obtiene la funci´on de transferencia H(z) (10.5). H(z) =

Figura 10.4: Filtro discreto con los capacitores conmutados.

H(z) =

DI + (AG − DI − DJ)z −1 + (DJ − AH)z −2 . D(F + B) + (AC + AE − DF − 2DB)z −1 + (DB − AE)z −2

(10.5)

Desde el punto de vista pr´actico es necesario calcular la funci´on de transferencia despu´es del primer amplificador H0 (z). 169

H0 (z) = CI + EI − GF − GB + (F H + BH + BG − JC − JE − IE)z −1 + (EJ − BH)z −2 D(F + B) + (AC + AE − DF − 2DB)z −1 + (DB − AE)z −2 (10.6) Para obtener el circuito estable es necesario que la ganancia de ambos amplificadores en la frecuencia ω0 sean iguales. Si no es as´ı es necesario cambiar los elementos A y D por una constante que se calcula mediante las ecuaciones µ = 10

H−H0 20

.

(10.7)

1 1 A, D. (10.8) µ µ La estructura principal la podemos simplificar si se elijen los valores del circuito mediante esta manera A, D =

A = B = D = 1 F = 0. Si se cambian en el circuito 10.4 los conmutadores como se muestra en la figura 10.5, se obtiene la nueva estructura del filtro. Adem´as si se exige que el circuito tenga la misma ganancia del circuito original, la ganancia se puede cambiar mediante el parametro ν

Figura 10.5: Conmutadores para simplificar el circuito. ν = 10

ν(dB) 20

,

(10.9)

La constante ν(dB) es el valor con que se puede cambiar y controlar la ganancia. La ganancia del circuito se cambia si se cambian los valores de los capacitores mediante los expresiones siguientes (G, H, I, J) −→ (νG, νH, νI, νJ) (B, C, E, F ) −→ (B/ν, C/ν, E/ν, F/ν). 170

Figura 10.6: Circuito para los valores de capacitores A=B=D=1 y F=0. Los valores de los elementos obtenidos A, B, C, D, E, G, e I se normalizan en dos etapas siempre a un valor m´ınimo. As´ı se obtienen los elementos normalizados que es necesario desnormalizar. Si el filtro se realiza con un amplificador de typo MOS, es necesario calcular el valor m´ınimo del capacitor que se puede ocupar en el circuito Cmin =

1 fr RCM OS

El valor m´aximo que puede alcanzar el capacitor en el circuito se calcula mediante la ecuaci´on Cmax =

1 . 5fv Ri

Los valores de los capacitores en el circuito se calculan mediante las ecuaciones A=B=D=1 C =1+a+b G = 2g + e I = J = g.

F =0 E =1−b H =g−d

2: Calcular el filtro discreto con los capacitores conmutados si se conoce la funci´on de transferencia H(z) =

0, 0263312 − 0, 0263312z −2 g + ez −1 + dz −2 = . 1 − 1, 830595z −1 + 0, 947337z −2 1 + az −1 + bz −2

Si se sustituyen los valores g, e, a, b, y d en los ecuaciones anteriores se obtiene A=B=D=1 C = 0, 116742 E = 0, 052662 I = J = 0, 026331. 171

F =0 G = 0, 052662 H = 0, 052662

La funci´on de transferencia despu´es de primer amplificador H0 (z) toma la forma H0 (z) =

−0, 048202 + 0, 0994272z −1 − 0, 051275z −2 . 1 − 1, 830594z −1 + 0, 947337z −2

Si nos no interesa la realizaci´on f´ısica del filtro el calculo ya termin´o. Porque los valores de los capacitores A hasta J son conocidos. Si se va a realizar el circuito es necesario cambiar la ganancia del amplificador. Si la frecuencia de corte es f0 =1595 Hz, se calcula la ganancia H(z) y H0 (z) en esta frecuencia. En la frecuencia f0 = 1595 Hz es |H(z)| = −0, 000114 En la frecuencia f0 = 1595 Hz es |H0 (z)| = −9, 44469. La diferencia de la ganancia despu´es del primer y segundo amplificador es muy grande. Necesitamos que la ganancia de ambos amplificadores sean iguales. Eso se obtiene mediante las ecuaciones (10.7) y (10.9). µ = 10

−0,000114+9,444693 20

= 2, 966394.

Los nuevos valores de los capacitores A y B son A=

A = 0, 337109 µ

D=

D = 0, 337109. µ

Si se calculan las nuevas funciones de transferencias H(z) y H0 (z), se puede ver que la funci´on de transferencia H(z) no se cambia, pero s´ı cambia H0 (z). H0 (z) =

−0, 142985 + 0, 295090z −1 − 0, 152104z −2 . 1 − 1, 830595z −1 + 0, 947337z −2

La ganancia despu´es del primer amplificador es |H0 (1595)| = −0, 00011308. Ahora se van a normalizar los valores de los capacitores A hasta I en dos etapas. En la primera etapa se normalizan los elementos A = 0, 337109, B = 1 y I = 0, 026331. El valor m´ınimo del capacitor ser´a 1. La constante Cnorm para normalizar los valores de los 1 = 37, 977728. Los valores obtenidos son capacitores es Cnorm = 0,026331 A = 12, 802654

B = 37, 977728

I = 1.

En la segunda etapa se normalizan los valores de los capacitores C, E, H, D, G, y F. C = 2, 216810 D = 6, 4011327

E=1 G=1

H=1 F =0

Es necesario desnormalizar los valores de los capacitores. Necesitamos tomar en cuenta el valor del capacitor m´aximo que no se puede sobrepasar. Si se utilizan los amplificadores de tipo FET el resistor de la entrada es RV ST = 2000000 Ω. Si la frecuencia de conmutaci´on es fv = 28800 Hz, entonces el valor m´ınimo del capacitor en el circuito en la figura 10.6 puede ser 172

Cmin >

1 1 = = 17, 361.10−12 . 6 4 fv Rvst 2.10 .2, 8810

La impedancia del conmutador si el conmutador est´a cerrado ser´a 500 Ω. Entonces el valor m´aximo del capacitor puede ser 1 = 13, 88810−9 . 5.2, 88.104 .500

Cmax =

Si se elije el valor de capacitor m´ınimo 25 pF , el valor de los capacitores E, G, I es 25 pF y los dem´as se calculan con la misma relaci´on. A = 320, 066 pF C = 55, 420 pF

B = 949, 443 pF D = 160, 0283 pF.

El filtro completo se muestra en la figura 10.6.

10.2

An´ alisis los circuitos SCF.

TIEMPO CONTINUO La carga q(t) almacenada en el tiempo t se puede expresar mediante la corriente i(t) y el voltaje u(t) por la ecuaci´on q(t) =


0066 XR4 EQU >0068 XR5 EQU >006A XR6 EQU >006C 265

XR7 EQU >006E * MUESTRAS (PARTE IMAGINARIA) XI0 EQU >0061 XI1 EQU >0063 XI2 EQU >0065 XI3 EQU >0067 XI4 EQU >0069 XI5 EQU >006B XI6 EQU >006D XI7 EQU >006F * * LOCALIDADES PARA ALMACENAR LOS VALORES DEL COSENO Y DEL SENO * C0 EQU >0070 C1 EQU >0071 C2 EQU >0072 C3 EQU >0073 S0 EQU >0074 S1 EQU >0075 S2 EQU >0076 S3 EQU >0077 TR1 EQU >0078 TI1 EQU >0079 **** DEFINICION DE LAS MACRO * EL BIT DE REVERSION BITR $MACRO R1,I1,R2,I2 LAC :R1.S: SACL TR1 LAC :R2.S: SACL :R1.S: LAC TR1 SACL :R2.S: LAC :I1.S: SACL TR1 LAC :I2.S: SACL :I1.S: LAC TR1 SACL :I2.S: $END BITR *MARIPOSA SIN TERMINOS SENO Y COSENO FREEBF $MACRO R1,I1,R2,I2 LAC :R1.S: SUB :R2.S: SACL TR1 LAC :I1.S: SUB :I2.S: SACL TI1 266

LAC :R1.S: ADD :R2.S: SACL :R1.S: LAC :I1.S: ADD :I2.S: SACL :I1.S: LAC TR1 SACL :R2.S: LAC TI1 SACL :I2.S: $END FREEBF *MARIPOSA CON SENO K2 Y COSENO K1 CONSBF $MACRO R1,I1,R2,I2,K1,K2 LAC :R1.S: SUB :R2.S: SACL TR1 LAC :I1.S: SUB :I2.S: SACL TI1 LAC :R1.S: ADD :R2.S: SACL :R1.S: LAC :I1.S: ADD :I2.S: SACL :I1.S: ************************** ZAC LT TR1 MPY :K1.S: LTA TI1 MPY :K2.S: SPAC SACH :R2.S:,1 ZAC LT TR1 MPY :K2.S: LTA TI1 MPY :K1.S: APAC SACH :I2.S:,1 $END CONSBF **********THE BEEF************** **** PRIMERA ETAPA (ITERACION)**** FIR FREEBF XR0,XI0,XR4,XI4 CONSBF XR1,XI1,XR5,XI5,C1,S1 CONSBF XR2,XI2,XR6,XI6,C2,S2 CONSBF XR3,XI3,XR7,XI7,C3,S3 267

******************************** *****SEGUNDA ETAPA (ITERACION)**** FREEBF XR0,XI0,XR2,XI2 CONSBF XR1,XI1,XR3,XI3,C2,S2 FREEBF XR4,XI4,XR6,XI6 CONSBF XR5,XI5,XR7,XI7,C2,S2 ******************************** *****TERCERA ETAPA (RESULTADO)***** FREEBF XR0,XI0,XR1,XI1 FREEBF XR2,XI2,XR3,XI3 FREEBF XR4,XI4,XR5,XI5 FREEBF XR6,XI6,XR7,XI7 ************************************* **** BIT REVERSION BITR XR1,XI1,XR4,XI4 BITR XR3,XI3,XR6,XI6 ************************************* *OBTENCION DEL ESPECTRO * COEF DATA 3276,3276,3276,3276 DATA 3276,3276,3276,3276 DATA 3276,-3276,3276,-3276 DATA 3276,-3276,3276,-3276 DATA 32767,23170,0,-23170 DATA 0,-23170,-32767,-23170 END En este archivo COEF se introducen los valores reales e imaginarios de las muestras en formato Q15 , los cuales ser´an almacenados a partir de la localidad 0060h como se indica en el programa. Recuerde escribir los valores reales de las muestras en las localidades pares (localidad 0060h 0062h 0064h ...) y los valores imaginarios en las localidades impares (localidad 0061h 0063h 0065h ...). Los valores de W en formato Q15 son almacenados de la localidad 70 a la 77. El resultado se encuentra despues de correr el programa en la memoria a partir de la localidad 0060h.

16.5

Transformada de Fourier mediante Matlab

Mediante el programa Matlab se puede simular la transformada de Fourier r´apida y verificar si los programas escritos para el microcontrolador son correctos. En esta parte con algunos ejemplos se muestra como se utiliza el paquete Matlab para el c´alculo DFT y IDFT . En el paquete Matlab est´an incluidos los siguientes comandos fft(x) ifft(X)

fft(x,N) ifft(X,N)

La instrucci´on fft(x) calcula la transformada de Fourier discreta del vector X, que tiene la misma longitud que el vector x. Si est´a especificada la longitud N es necesario utilizar la 268

funci´on fft(x,N). Lo mismo vale para calcular la transformada de Fourier discreta inversa. Los vectores en Matlab son especificados desde 1 a N y en la definici´on de la transformada de Fourier los vectores son especificados desde 0 hasta N-1. En el paquete Matlab la transformada DFT y IDFT ´esta definida mediante las ecuaciones (16.50) y (16.51). X(k) =

N -

(n−1)(k−1)

(16.50)

−(n−1)(k−1)

(16.51)

x(n)WN

n=1

x(n) =

N -

X(k)WN

k=1

Ejemplo 9: El ejemplo siguiente calcula DFT de la se˜ nal senoidal de longitud finita. El programa en matlab es el siguiente: %Analisis espectral de la senal senoidal utilisando DFT N=input(’Teclear la longitud de DFT=’) T=input(’Teclear la period de muestreo=’) freq=input(’Teclear la frecuencia de senoidal=’) k=0:N-1; f=sin(2*pi*freq*k*(1/T)); F=fft(f); stem(k,abs(F));grid xlabel(’k’) ylabel(’|X(k)|’) Para longitud de DFT 32, la frecuencia de muestreo es 64 Hz y la frecuencia de la se˜ nal 11 Hz. El resultado del programa se muestra en la figura 16.17

Figura 16.17: La amplitud de X(k) para la se˜ nal senoidal Ejemplo 10: 269

Mediante el programa siguiente calcule M punto DFT de la serie u(n) definida por la ecuaci´on (16.52) u(n) =

   1 0≤n≤N −1  

(16.52)

0 para otras n.

El programa pide los valores N y M. El valor M tiene ser mayor que N o igual a N. El la figura 16.18 se muestra el resultado obtenido mediante el siguiente programa para N=8 y M=16.

Figura 16.18: DFT del tren de impulsos.

%CALCULO DE DFT PARA CUAQUIERA N N=input(’Tecle la longitud de la serie=’); M=input(’Tecle la longitud de DFT=’); u=[ones(1,N)]; U=fft(u,M); t=0:1:N-1; stem(t,u); title(’La serie original en el tiempo’) xlabel(’Indice del tiempo n’); ylabel(’Amplitud’) pause subplot(2,1,1) k=0:1:M-1; stem(k,abs(U)) title(’Amplitud de las muestras.’) ylabel(’Amplitud’) subplot(2,1,2) stem(k,angle(U)) 270

title(’Fase de las muestras’) xlabel(’Indice de las frecuencias k’); ylabel(’Fase’) Ejemplo 11: En este ejemplo se calcula el efecto de la longitud DFT en an´alisis espectral de la se˜ nal x(n). La se˜ nal x(n) es la suma de dos se˜ nales f1 (n) y f2 (n) (16.53). El programa pide la longitud de la se˜ nal N, la longitud de DFT y las frecuencias senoidales. En las gr´aficas 16.19 es el resultado para N=16 y varias R. Las frecuencias de la se˜ nal fueron elegidas f1 = 0.22 y f2 = 0.34. 1 x(n) = sen(2πf1 n) + sen(2πf2 n) 2

0≤n≤N −1

(16.53)

%Analiz espectral de la suma de dos senales clf; N=input(’Longitud de la senal =’); R=input(’Longitud de DFT = ’); fr=input(’Tecle la frecuencia de la senal =’); n=0:N-1; x=0.5*sin(2*pi*n*fr(1))+sin(2*pi*n*fr(2)); Fx=fft(x,R); k=0:R-1; stem(k,abs(Fx)); grid xlabel(’k’); ylabel(’Amplitud’); title([’N=’,num2str(N),’,R=’,num2str(R)]); Ejemplo 12: Mediante el siguiente programa calcule la transformada de Fourier inversa IDFT de la serie V(k) definida en la equaci´on (16.54). En la figura 16.20 se muestra el resultado para K=8 y N=16. V (k) =

    

k K

0≤k ≤K −1

0

para otras n.

%Se calcula Transformada de Fourier Inversa clg K=input(’Tecle la longitud de la serie=’); N=input(’Tecle la longitud de IDFT=’); k=1:K; U=(k-1)/K; u=ifft(U,N); k=1:K; stem(k-1,U) 271

(16.54)

Figura 16.19: An´alis de la suma de dos se˜ nales title(’Las muestras originales ’) xlabel(’Indice de las frecuencias k’); ylabel(’Amplitud’); pause subplot(2,1,1) n=0:1:N-1; stem(n,real(u)) title(’Real parte de las muestras en el dominio del tiempo’) ylabel(’Amplitud’); subplot(2,1,2) stem(n,imag(u)) title(’La parte imaginaria en el dominio del tiempo’) xlabel(’Indicie del tiempo n’); ylabel(’Amplitud’); Ejemplo 13: El siguiente programa calcula el spectrograma de la se˜ nal de voz. En el Matlab hay un archivo de la voz mtlb.mat. La se˜ nal de ste archivo se muestra en la figura 16.21a, contiene 4001 muestras muestreadas con la frecuencia 7418 Hz. Se utiliza la ventana de Hamming que tiene la longitud 256 con translapamiento de 0 muestras. En la figura 16.21b se muestra el espectrograma obtenida mediante el siguiente programa. %Espectrograma de la voz %Numero de las muestras 4001 272

Figura 16.20: Transformada de Fourier inversa del rampa

%La frecuencia del muestreo 7418 Hz %La ventana de Hamming %Numero de translapes 50 load mtlb n=1:4001; plot(n-1,mtlb); xlabel(’Indice del tiempo n’);ylabel(’Amplitud’); pause nfft=input(’Tecle la longitud de la ventana= ’); ovlap=input(’Tecle numero de translapes= ’); specgram(mtlb,nfft,7418,hamming(nfft),ovlap)

Figura 16.21: Espectrograma de la senal de voz 273

Ejemplo 14: Escribir un programa para la se˜ nal senoidal s(n) destruido por un ruido r(n), y(n) = s(n) + r(n) = cos(0.1πn) + 6r(n)

(16.55)

donde r(n) es ruido aleatorio con la amplitud entre ±1. La relaci´on se˜ nal ruido (SNR) est´a definida por la ecuaci´on SN R = 10 ∗

>N −1

n=0 log10 >N −1 n=0

s2 (n) r2 (n)

(16.56)

N es la longitud de la se˜ nal y tambien la longitud del ruido. El programa que calcule la se˜ nal destruida por el ruido es el siguiente. El resultado se muestra en la figura 16.22. %Programa 11_3 %Analisis de la senal destruida por ruido clf; N=256; R=256; n=0:N-1; x=sin(2*pi*n*0.05); spwr=sum(x*x’); d=rand(1,N); ave=sum(d)/256; dw=d-ave; y=x+6*dw; npwr=36*sum(dw*dw’); FY=fft(y,R); k=0:R-1; plot(n,x);grid xlabel(’Indice del tiempo n’); ylabel(’Amplitud’); title(’senoida original’);pause plot(k,y);grid xlabel(’Indice del tiempo n’); ylabel(’Amplitud’); title(’Senal destruido por ruido’);pause plot(k,y);grid clg Fy=fft(y); plot(k,abs(Fy));grid xlabel(’k’); ylabel(’Amplitud’); SNR=10*log10(spwr/npwr)

274

Figura 16.22: Analisis espectral de la se˜ nal senoidal destruida por el ruido

275

276

Cap´ıtulo 17 Filtros digitales con respuesta infinita La funci´on de transferencia de los filtros digitales con la respuesta infinita IIR se puede escribir en la forma >

k −i b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bk z −k Y (z) i=0 bi z = = H(z) = > X(z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + ak z −k 1 + ki=1 ai z −i

(17.1)

Utilizando la transformada-z inversa se puede expresar la ecuaci´on de diferencias y(n) =

k i=0

bi x(n − i) −

k i=1

ai y(n − i)

(17.2)

Para realizar esa funci´on de diferencias se necesita a.) sumador, b.)elemento de retardo d.)multiplicador.

Figura 17.1: El sumador, elemento de retardo y multiplicador. De la funci´on de diferencias se puede dibujar directamente el filtro digital que se llama forma directa no can´onica, como se muestra en la figura 17.2 277

Figura 17.2: El filtro digital can´onico de forma directa. Esta forma del filtro digital no es can´onica, porque tiene 2k elementos de retardo mientras el ´orden de la funci´on de transferencia es k. La forma del filtro digital directa se puede dise˜ nar en la forma can´onica. En otras palabras la forma can´onica tiene tantos elementos de retardo como el orden de la funci´on de transferencia. Esa estructura se muestra en la figura 17.3

Figura 17.3: El filtro digital can´onico de la segunda forma La estructura can´onica de la primera forma se obtiene desde la estructura can´onica de la segunda forma bajo las siguientes condiciones: 1. Se convierten los sumadores por nodos y nodos por sumadores y se cambian las direcciones de la corriente de las se˜ nales. Se cambian las direcciones de las flechas, figura 17.4 2. Se cambian las direcciones de los amplificadores como se ve en la figura 17.4 y se cambia en la estructura salida por entrada y entrada por salida. 278

Figura 17.4: Las reglas para convertir el circuito de una forma a la otra Ejemplo 1: Calcular la funci´on de transferencia de un filtro digital de orden n = 2 y dise˜ nar la estructura. De la funci´on general para k = 2 se obtiene H(z) =

Y (z) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 = X(z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2

Y (z) = X(z)b0 + X(z)b1 z −1 + X(z)b2 z −2 − a1 Y (z)z −1 − a2 X(z)z −2 Si se utiliza la transformada z indirecta se puede escribir la funci´on de diferencias y(n) y(n) = x(n)b0 + b1 x(n − 1) + b2 x(n − 2) − a1 y(n − 1) − a2 y(n − 2) De esta ecuaci´on en diferencias el filtro digital de segundo orden tiene la forma que se muestra en la figura 17.5. Para obtener la estructura de la forma can´onica de ´otro tipo, se convierten nodos por sumadores y los sumadores por nodos y se cambian las direcciones de los multiplicadores. La gr´afica del filtro can´onico de la forma segunda se muestra en la figura 17.5a. Algunos autores dibujan este filtro en la forma que se muestra en la figura 17.6b.

17.1

La estructura cascada de un filtro digital

Para realizar el filtro digital en la forma de cascada es necesario arreglar la funci´on de transferencia en la forma H(z) = H1 (z).H2 (z).H3 (z). . . . Hi (z)

(17.3)

donde las funciones parciales Hi (z) se pueden expresar c´omo se muestra en la ecuaci´on (17.4). (1)

Hi (z) =

1 + bi1 z −1 1 + ai1 z −1

(2)

Hi (z) =

1 + bi1 z −1 + bi2 (z)z −2 1 + ai1 z −1 + ai2 z −2

(17.4)

Las estructuras correspondientes se muestran en la figura 17.7 y tienen las funciones de diferencias: 279

Figura 17.5: Filtro digital de la primera forma y de segundo orden

Figura 17.6: Filtro digital de la segunda forma y de segundo ´orden

y(n) = x(n) + bi1 x(n − 1) − ai1 y(n − 1)

y(n) = x(n) + bi1 x(n − 1) + bi2 x(n − 2) − ai1 y(n − 1) − ai2 y(n − 2)

17.2

La estructura paralela de un filtro digital

Para realizar un filtro digital en forma paralela es necesario dividir la funci´on de transferencia c´omo se ve en la ecuaci´on (17.5) H(z) = H1 (z) + H2 (z) + H3 (z) + · · · + Hi (z)

(17.5)

Las funciones de transferencia parciales Hi (z) las podemos expresar como se ve adelante (1)

Hi (z) =

bi0 1 + ai1 z −1

(1)

Hi (z) = 280

bi0 + bi1 z −1 1 + ai1 z −1 + ai2 z −2

(17.6)

Figura 17.7: Filtro digital de primer y segundo orden para la estructructura de cascada Las ecuaciones de diferencias correspondientes a las funciones de transferencias anteriores son y(n) = bi0 x(n) − ai1 y(n − 1)

y(n) = bi0 x(n) + bi1 x(n − 1) − ai1 y(n − 1) − ai2 y(n − 2)

Las estructuras de los filtros digitales correspondientes a las ecuaciones de diferencias se muestran en la figura 17.8. La estructura general se construye de las estructuras conectadas en paralelo, c´omo se ve en la figura 17.9

Figura 17.8: Las estructuras para el filtro paralelo de primero y segundo orden Ejemplo 2: Dise˜ nar un filtro digital que realiza la funci´on de transferencia Y (z) 3 + 3.6z −1 + 0.6z −2 = H(z) = X(z) 1 + 0.1z −1 − 0.2z −2

Esta funci´on de transferencia se puede arreglar de la manera siguiente Y (z) = 3X(z) + 3.6z −1 X(z) + 0.6z −2 X(z) − 0.1z −1 Y (z) + 0.2z −2 Y (z) 281

Figura 17.9: La estructura en paralelo del filtro digital Usando la transformada z inversa, la funci´on de diferencias se puede escribir en la forma y(n) = 3x(n) + 3.6x(n − 1) + 0.6x(n − 2) − 0.1y(n − 1) + 0.2y(n − 2) El filtro digital se puede dibujar de la ecuaci´on de diferencias y se muestra en la figura 17.10

Figura 17.10: Filtro digital de segundo orden Ejemplo 3: Dise˜ nar un filtro digital en cascada si se conoce la funci´on de transferencia H(z). 282

H(z) =

3 + 3.6z −1 + 0.6z −2 1 + 0.1z −1 − 0.2z −2

Es necesario la funci´on de transferencia H(z) arreglar en el producto de H1 (z), H2 (z) y H3 (z) H(z) = 3 × entonces H1 (z) = 3

H2 (z) =

1 + z −1 1 + 0.2z −1 × 1 + 0.5z −1 1 − 0.4z −1 1 + z −1 1 + 0.5z −1

H3 (z) =

1 + 0.2z −1 1 − 0.4z −1

Las funciones de diferencias correspondientes son y1 (n) = 3x1 (n)

y2 (n) = x2 (n) + x2 (n − 1) − 0.5y2 (n − 2)

y3 (n) = x3 (n) + 0.2x3 (n − 1) + 0.4y3 (n − 1) Las estructuras correspondientes a las ecuaciones de diferencias se muestran en la figura 17.11. La estructura final que realiza la funci´on de transferencia total se muestra en la figura 17.12

Figura 17.11: Las estructuras parciales de un filtro digital

Figura 17.12: La estructura final de un filtro digital 283

Ejemplo 4: Dise˜ nar un filtro digital en forma paralela si se conoce la funci´on de transferencia H(z). H(z) =

3(z + 1)(z + 0.2) (z + 0.5)(z − 0.4)

Si este quebrado se arregla en fracciones parciales

H(z) 3(z + 1)(z + 0.2) A B C = = + + z z(z + 0.5)(z − 0.4) z z + 0.5 z − 0.4

y si se calculan los constantes A, B y C

3(z + 1)(z + 0.2) = −3 (z + 0.5)(z − 0.4) |z=0

A= B=

3(z + 1)(z + 0.2) = −1 z(z − 0.4) |z=−0.5

C=

3(z + 1)(z + 0.2) =7 z(z + 0.5) |z=0.4

se obtiene 3 1 7 H(z) =− − + z z z + 0.5 z − 0.4 z 7z 1 7 + = −3 − + z + 0.5 z − 0.4 1 + 0.5z −1 1 − 0.4z −1 Las funciones parciales de transferencia son H(z) = −3 −

7 −1 H3 (z) = −1 1 + 0.5z 1 − 0.4z −1 y las ecuaciones de diferencias correspondientes se pueden escribir en la forma H1 (z) = −3

y1 (n) = −3x1 (n)

H2 =

y2 (n) = −x2 (n) − 0.5y2 (n − 1)

y3 (n) = 7x3 (n) + 0.4y3 (n − 1)

De estas ecuaciones de diferencias se constreuye el filtro digital de la forma paralela, figura 17.13

17.3

Algoritmo matricial para la transformada bilineal

Por lo general los sistemas para el procesamiento de se˜ nales se clasifican en anal´ogicos y digitales. Los primeros se pueden describir por medio de la funci´on de transferencia H(s) y los digitales en el dominio de z por la funci´on H(z). La relaci´on entre el dominio de s y z queda establecida por la ecuaci´on z = esT , 284

(17.7)

Figura 17.13: La estructure del filtro digital en la forma paralela donde T es el intervalo entre los dos muestros.La funci´on H(z) se obtiene al aplicarle la transformada-z a la funci´on de transferencia H(s). Con tal prop´osito adecuamos la ecuaci´on (17.7) a la forma 1 × ln(z) T al expresar ln(z) por medio de la ecuaci´on (17.9)

(17.8)

s=

2 s= T

!2

3

2

z−1 1 z−1 + z+1 3 z+1

33

2

1 z−1 + 5 z+1

35

"

+ ···

(17.9)

se puede observar que la serie de la ecuaci´on (17.9) converge r´apidamente en la regi´on z = 1 de forma tal que con la excepci´on del primer t´ermino se pueden despreciar todos los dem´as. De este m´odo la transformaci´on bilineal se puede obtener mediante las expreci´ones: s=c

z−1 z+1 7

πfc c = ctg fs

(17.10) 8

(17.11)

dondefc representa la frecuencia de corte y fs muestra la frecuencia del sistema respectivo.

17.4

Transformaci´ on de pasa bajas anal´ ogico a paso bajas digital

Como es conocido, los filtros anal´ogicos se pueden modelar matem´aticamente por medio de la funci´on de transferencia H(s) =

A0 + A 1 s + A2 s 2 + · · · + A m s m B0 + B1 s + B2 s2 + · · · + Bm sm 285

(17.12)

considerando la ecuaci´on (17.12) se pueden formar los vectores A y B, de modo que 5

A= B=

6

A0 , A 1 , A 2 , · · · , A m

5

6

B0 , B1 , B2 , · · · , Bm

(17.13)

donde Ai y Bi son coeficientes reales. Los filtros digitales se caracterizan por la funci´on de transferencia H(z), la cual se puede expresar en la forma a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + · · · + am z −m b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bm z −m

H(z) =

(17.14)

Al igual que en el primer caso se forman los vectores a y b a partir de la ecuaci´on (17.14) donde los coeficientes ai y bi son reales, de manera que a= b=

5

5

a0 , a 1 , a 2 , · · · , a m b0 , b 1 , b 2 , · · · , b m

6

6

(17.15)

Para establecer la relaci´on entre los coeficientes ai y Ai se hace necesario comparar los numeradores de la funci´on de transferencia correspondiente a las ecuaciones (17.12) y (17.14). Para la cual se sustituye (17.10) en (17.12) y se compara con (17.14). Para el caso n = 2 obtendremos H(s) =

H(z) =

A0 + A 1 s + A2 s 2 B0 + B1 s + B2 s2

A0 + A1 c z−1 + A2 c 2 z+1 z−1 B0 + B1 c z+1 + B2 c2

5

5

z−1 z+1 z−1 z+1

62

62

A0 + A1 c + A2 c2 + z −1 (2A0 − 2A2 c2 ) + z −2 (A0 − A1 c + A2 c2 ) a0 + a1 z −1 + a2 z −2 = b0 + b1 z −1 + b2 z −2 B0 + B1 c + B2 c2 + z −1 (2B0 − 2B2 c2 ) + z −2 (B0 − B1 c + B2 c2 ) Haciendo la comparaci´on de los coeficientes para la misma potencia de z se obtiene la relaci´on matricial 











1 1 1 A0 a0      0 −2  ×  A1 c    a1  =  2 1 −1 1 A2 c 2 a2

(17.16)

Una expresi´on similar se obtiene para b y se pueden expresar ambos vectores en la forma #

a = Pn × A

#

b = Pn × B #

#

donde P es la matriz de Pascal y los vectores A y B se reprezentan en la forma #

A =

5

A0 , A1 c, A2 c2 , · · · , Am cm 286

6

#

B =

5

B0 , B1 c, B2 c2 , · · · , Bm cm

6

(17.17)

En las matrices que se obtiene con este m´etodo se pueden observar algunos detalles interesantes considerando el tri´angulo de Pascal

1

n=0 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1

1

(17.18)

Se puede observar que la base del triangulo de Pascal representa la u ´ltima columna de la matriz de Pascal, con la diferencia de que los signos de los elementos en la matriz se presentan en forma alternada, por otra parte los elementos de las filas pares tienen siempre su signo negativo. Concluimos que la matriz de Pascal transforma la funci´on de transferencia de un filtro paso bajas en el dominio de s a otro filtro paso bajas en el dominio de z. La matriz de Pascal se puede formar bajo las siguientes concideraciones. • La primera fila de la matriz P4 debe tener solamente unos. • Se pueden determinar los elementos de la u ´ltima columna por medio de la ecuaci´on (17.19)

Pi,n+1 = (−1)i−1 donde i = 1, 2, · · · , n + 1

n! (n − i + 1) ! (i − 1) !

(17.19)

• los elementos restantes Pi,j de la matriz de Pascal se determinan mediante la ecuaci´on (17.20) Pi,j = Pi−1,j + Pi−1,j+1 + Pi,j+1 donde i = 2, 3, 4, · · · , n, n + 1 j = n, n − 1, n − 2, · · · , 2, 1 El elemento c de la matriz se puede determinar utilizando la formula siguiente     

a ? ? ?

b ? ? ?

c e ? ?

d f g h

    

e=f +d+c

287

(17.20)

En el caso de una funci´on de transferencia de orden n = 4, la matriz de Pascal estar´ıa dada por 

   P4 =    

17.5



1 1 1 1 1  4 2 0 −2 −4   6 0 −2 0 6   4 −2 0 2 −4   1 −1 1 −1 1

(17.21)

Transformaci´ on paso bajas a paso altas

Para llevar a cabo la transformaci´on de la funci´on de transferencia paso bajas a paso altas, resulta conveniente sustituir en (17.12) la variable s por 1/s de manera que s=k× si,

z+1 z−1

(17.22)

8

(17.23)

7

πfc k = tg fs

Donde fc y fs son las respectivas frecuencias de corte y de muestreo. Sustituyendo (17.22) en (17.12) y comparando el numerador con (17.14) para n = 3 tendr´emos que a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + a3 z −3 = A0 + A1 k + A2 k 2 + A3 k 3 +z −1 (−3A0 − A1 k + A2 k 2 + 3A3 k 3 )+ z −2 (3A0 − A1 k − A2 k 2 + 3A3 k 3 )+ z −3 (−A0 + A1 k − A2 k 2 + A3 k 3 )

(17.24)

Al comparar los coeficientes de la ecuaci´on (17.24) se obtiene un sistema de ecuaciones el cual se puede representar en la forma matricial     

a0 a1 a2 a3





    =  

1 1 1 1 −3 −1 1 3 3 −1 −1 3 −1 1 −1 1





    ×  

A0 A1 k A2 k 2 A3 k 3

    

(17.25)

Donde Ppa presenta una matriz similar a la de Pascal, la cual se puede obtener utilizando un procedimiento similar, de manera que la primer columna de la matriz Ppa proviene de la ecuaci´on (17.19) y los elementos restantes Pi,j se pueden establecer mediante la expresin Pi,j = Pi,j−1 + Pi−1,j−1 + Pi−1,j para i = 1, 2, 3, · · · , n + 1

j = 1, 2, 3, · · · , n + 1

Por ejemplo, si se quiere establecer una matriz de Pascal Ppa para una funci´on de orden n = 4, se obtiene 288

Ppa



   =   

1 1 1 1 1 −4 −2 0 2 4 6 0 −2 0 6 −4 2 0 −2 4 1 −1 1 −1 1

       

(17.26)

Se puede concluir que la matriz de Pascal Ppa transforma la funci´on de transferencia de un filtro paso bajas en el dominio de s a otra funci´on de transferencia que corresponde a un filtro paso altas en dominio de z.

17.6

Transformaci´ on paso bajas a paso banda

Utilizando las ecuaciones (17.27),(17.28) y (17.12) se obtiene la matriz de Pascal Ppb , la cual transforma una funci´on de transferencia paso bajas en otra paso banda s=c donde

z−1 z+1 +k z+1 z−1 7

πf1 c = ctg fs 7

πf−1 k = tg fs

(17.27)

8 8

(17.28)

Mediante un procedimiento similar al utilizando en el punto anterior, se obtiene la matriz Ppb , la cual se puede aplicar para obtener la funci´on de transferencia correspondiente a un filtro paso banda en el dominio de z a partir de la funci´on de transferencia de un filtro paso bajas en el dominio de s. Si se quiere llevar a cabo la transformaci´on de la funci´on paso bajas de la ecuaci´on (17.29), a una funci´on de transferencia paso banda se puede utilizar la expresi´on matricial (17.30) H(s) = 



A 0 + A 1 s + A2 s 2 B0 + B1 s + B2 s2 



(17.29) 

1 1 1 1 1 1 a0          −4 −2  a1  0 2 4 0        a2  =  6 0 −2 0 6 −2  ×         2 0 −2 4 0    −4  a3   a4

1 −1

1 −1 1

1

A2 c 2 A1 c A0 A1 k A2 k 2 2A2 ck

         

(17.30)

En este punto se ilustra el proceso de transformaci´on de un filtro paso bajas H(s) ecuaci´on (17.31) a una funci´on de transferencia H(z) correspondiente a un filtro • paso bajas

determinado por : f1 = 3400 Hz fs = 14000Hz 289

• paso alta

determinando por :f−1 = 300 Hz fs = 14000 Hz

• paso banda

determinado por: f1 = 3400 Hz f−1 = 300 Hz fs = 14000 Hz

Donde f1 , f−1 y fs son las frecuencias respectivas de corte y muestreo H(s) =

1 √ s2 + 2s + 1

(17.31)

A: Transformaci´ on paso bajas a paso bajas Utilizando la ecuaci´on (17.11) se obtiene 3

2

π3400 = 1, 046 c = ctg 14000 Los coeficientes de la funci´on de transferencia ai ,bi para i = 0, 1, 2 se obtienen utilizando la matriz de la ecuaci´on (17.16) en la forma  











a0 1 1 1 1      0 −2  ×  0   a1  =  2  a2 1 −1 1 0 







(17.32) 

b0 1 1 1 1      0 −2   b1  =  2  ×  1, 479  b2 1 −1 1 1, 094

(17.33)

Los valores de los coeficientes correspondientes a las expresiones anteriores son a0 = 1 a1 = 2 a2 = 1 b0 = 3, 574 b1 = −0, 188 b2 = 0, 615 Con los valores de estos coeficientes se puede expresar la funci´on de transferencia H(z) en la forma: H(z)

1 + 2z −1 + z −2 3, 574 − 0, 188z −1 + 0, 615z −2

B: Transformaci´ on paso bajas a paso altas Si se transforma la funci´on de transferencia ecuaci´on (17.31) a paso baja es necesario determinar el coeficiente k utilizando la equaci´on (17.23). 2

3

π300 k = tg = 0, 0674 14000 Utilizando la matriz de Pascal para filtros paso altas Ppa y para n = 2 se obtiene 











a0 1 1 1 1      0 −2   a1  =  2 × 0  a2 1 −1 1 0 290

(17.34)

(17.35)













1 1 1 1 b0      0 −2  ×  0, 0954   b1  =  2  b2 1 −1 1 0, 00454

(17.36)

Con la soluci´on de las expresiones (17.35) y (17.36) se obtienen los coeficientes correspondientes a la funci´on de transferencia del filtro paso altas de forma tal que: a0 = 1 a1 = −2 a2 = 1 b0 = 1, 0099 b1 = −1, 9909 b2 = 0, 9092

De este modo la funci´on de transferencia paso altas obtenida esta dada por la expresi´on: H(z) =

1 − 2z −1 + z −2 1, 0998 − 1, 9909z −1 + 0, 9092z −2

(17.37)

C: Transformaci´ on paso bajas a paso banda Para llevar a cabo la transformaci´on de la funci´on anal´ogica paso bajas (17.31)a una funci´on digital pasa banda, primaremente se determinan las constantes 3

2

π300 = 1, 0459 c = ctg 14000 3 2 π3400 k = tg = 0, 0674 14000 Los coeficientes de la funci´on de transferencia ai , bi para i = 0, 1, 2, 3, 4 se obtienen por medio de la matriz (17.30) 

1 1 1 1 1 1 a0          −4 −2  a1  0 2 4 0        a2  =  6 0 −2 0 6 −2  ×         2 0 −2 4 0    a3   −4  1 −1

a4













1 −1 1

1







1 1 1 1 1 1 b0        b1   −4 −2   0 2 4 0       b2  =  6  0 −2 0 6 −2     ×      2 0 −2 4 0    b3   −4  b4

1 −1

1 −1 1

1

0 0 1 0 0 0

         

1, 0939 1, 4792 1 0, 0953 0, 0045 0, 1410

(17.38)

         

(17.39)

Resolviendo las matrices (17.38) y (17.39) se obtienen los coeficientes de la funci´on de transferencia a0 = 1 a2 = −2 a4 = 1 b0 = 3, 8140 b1 = −7, 1252 b2 = 4, 3088 b3 = −1, 5899 b4 = 0, 6650

Con los valores de estos coeficientes, la funci´on de transferencia paso banda toma la forma H(z) =

1 − 2z −2 + z −4 3, 814 − 7, 1252z −1 + 4, 308z −2 − 1, 589z −3 + 0, 665z −4 291

(17.40)

17.7

Dise˜ no de los filtros desde la respuesta al Dirac

Hasta ahora se dise˜ naron los filtros digitales desde las especificaciones en la plantilla. Se pueden tambi´en dise˜ nar los filtros si se conocen exigencias a la respuesta al impulso. En otras palabras se busca una funci´on de transferencia discreta de un filtro digital que tiene la misma respuesta a impulso que un circuito anal´ogico. La respuesta de un circuito anal´ogico es cont´ınua y para nuestro prop´osito es necesario conseguir las muestras como se ve en la figura 17.14.

Figura 17.14: Respuesta del circuito anal´ogico a un Dirac y sus muestras Este m´etodo se llama impulse Invariance Invariancia de impulsos. Si se conoce la forma anal´ıtica de la respuesta a un impulso la transformaci´on se puede llevar a cabo usando la transformada zeta. H(z) = z {f (t)} Ejemplo 9. Dise˜ nar el filtro digital cuya respuesta a impulso es igual a la respuesta del circuito de la figura 17.15. Elige la frecuencia de muestreo fm = 8000 Hz.

Figura 17.15: Circuito RC Primero se calcula la funci´on de transferencia H(s) del circuito y despu´es mediante la transformada de Laplace se calcula la respuesta a impulso unitario h(t). De la respuesta a impulso unitario h(t) se obtiene la respuesta a un impulso discreto h(nT). Mediante la transformada Zeta se calcula H(z) que se realiza. 292

H(s) = h(t) = L

−1

U2 s s = 1 = U1 s + 1333, 3 s + CR

=

1333, 3 1− s + 1333, 3

I

= δ(t) − 1333, 3e−1333,3t

1333, 3 − 1333,3 n e 8000 8000 La funci´on de transferencia H(z) se obtiene mediante la transformada-z h(nT ) = δ(nT ) − 1333, 3e−1333,3nT = δ(nT ) − ?

@

H(z) = Z δ(nT ) − 0, 1666e−0,1666n = 1 + H(z) = 1 +

−0, 16666 1 − e−0,1666 z −1

−0, 16666 1 − 0, 846z −1

(17.41) (17.42) (17.43)

(17.44) (17.45)

La estructura corespondiente a la ecuaci´on (17.45) es en la forma paralela y se muestra en la figura 17.16

Figura 17.16: Circuito discreto equivalente a circuito RC Ejemplo 10. Dise˜ nar el filtro digital cuya respuesta a impulso es igual a la respuesta del circuito de la figura 17.17. Elige la frecuencia de muestreo fm = 8000 Hz.

Figura 17.17: Circuito LR 293

La funci´on de transferencia del circuito en la figura 17.17 es U2 R 1428.57 = H(s) = = U1 R + sL 1 + 1428.57

(17.46)

Mediante la transformada de Laplace inversa se calcula la respuesta a impulso unitario h(t) h(t) = L−1 {H(s)} = 1428, 57e−1428,57t

(17.47)

La respuesta discreta h(nT) normalizada tiene la forma 142857 − 1428,57 n e 8000 = 0, 17857e−1,7857n 8000 La funci´on de transferencia H(z) se calcula mediante la transformada-z de h(nT) h(nT ) =

H(z) = Z {h(nT )} =

0, 17857 1 − 0, 836z −1

(17.48)

(17.49)

El circuito correspondiente a la funci´on de transferencia H(z) se muestra en la figura 17.18

Figura 17.18: Circuito digital equivalente al circuito RL Ejemplo 11: Dise˜ nar el filtro digital cuyas respuesta a impulso es igual a la respuesta del circuito de la figura 17.19. Elige la frecuencia de muestreo fm = 800 Hz.

Figura 17.19: Filtro paso baja RLC Se calcula primeramente la funci´on de transferencia de circuito en la figura 17.19. 294

R 1 R U1 1+sRC LC = = = 1 R U2 s2 LCR + sL + R + s2 + s CR sL + 1+sCR

1 LC

1, 777.106 U2 = 2 U1 s + 1, 3329.103 s + 1, 777.106 Si la u ´ltima ecuaci´on se arregla en la siguiente forma 1, 5392.103 (1, 1545.103 ) U2 1, 777.106 = = U1 (s + 666, 45)2 + (1, 1545.103 )2 (s + 666, 45)2 + 1, 3328.106 entonces usando la transformada Laplace inversa a esa ecuaci´on se obtiene la respuesta al impulso siguiente G

H

U2 = h(t) = 1, 5392.103 e−666,45t sen (1154, 5t) U1 La respuesta al impulso de un circuito discreto es L−1

h(n) = 1, 5392.103 e−

666,45 n 800

sin

1154, 5 n = 1, 53924.103 e−0,83304n sen 1, 443208n 800

de una tabla de la transformada-z se puede escribir las siguiente transformaciones z

sen naT ⇐⇒

z2 z

zsen aT − 2z cos aT + 1 5

e−naT ⇐⇒ X eaT z Usando estas transformaciones se obtiene Z {sin 1, 443208n} = Si se sustituye por z

z2

6

0, 9918z zsen 1, 443208 = 2 − 2z cos 1, 443208 + 1 z − 0, 2544z + 1

z = ze0,83304 = 2, 3003z se obtiene 3

0, 9918(2, 3003)z 1,5392.10 0, 8296z −1 800 = H(z) = Z {h(n)} = (2, 3003z)2 − 0, 2544(2, 3003)z + 1 1 − 0, 11063z −1 + 0, 18898z −2 El circuito que realiza esta funcion de transferencia y tiene la misma respuesta al impulso se muestra en la figura 17.20 Usando la transformada de Laplace la respuesta a un impulso de un circuito con la funci´on de transferencia H(s) = se puede escribir en la forma

N -

ai i=1 s + si

295

(17.50)

Figura 17.20: Filtro digital de segundo orden

h(t) =

N -

Ai e−si t

(17.51)

i=1

Utilizando la transformada-z se obtiene la funci´on de transferencia H(z) H(z) =

N Ai z i=1

z − pi

(17.52)

donde pi = e−si T

(17.53)

Ejemplo 12: Calcular filtro digital Butterworth de tercer orden para amax = 3 dB y T=2. La funci´on de transferencia normalizada obtenida desde las tablas se puede escribir como: H(s) =

1 A = + H1 (s) 2 (s + 1)(s + s + 1) s+1

Calculando A se obtiene 1 |s=−1 = 1 +s+1 La funci´on de transferencia parcial H2 (s) se obtiene calculando la ecuaci´on A=

H2 (s) =

s2

1 1 −s − = 2 2 (s + 1)(s + s + 1) s + 1 s +s+1

Entonces la funci´on de transferencia H(s) es la suma de dos funci´ones de transferencia H1 (s)+ H2 (s) H(s) =

1 −s + 2 s+1 s +s+1 296

(17.54)

Utilizando la transformaci´on (17.50), (17.51), (17.52) y (17.53) la funci´on de transferencia H1 (s) se transforma en (17.55) H1 (z) =

z 1 | = T =2 z − e−T 1 − 0.13533z −1

(17.55)

La funci´on de transferencia H2 (s) se tiene que arreglar en la forma H2 (s) =

A1 −s A2 √ √ + = s2 + s + 1 s + 12 − j 23 s + 12 + j 23

H2 (s) =

s+

√

3 √ ) 1 2 j 3 √ 1 3 + j 2 2

(− 12 − j

+

s+

√

3 √ ) 1 2 j 3 √ 3 1 − j 2 2

( 12 − j

(17.56)

Utilizando la transformada (17.50), (17.52) y (17.53) se obtiene H2 (z) = Para T=2 el resultado es H2 (z) =

z √

j

(− 12 − j 3 T

z − e− 2 e−j

j

z √

(− 12 − j 3

z−

√

3 ) 2

T

√ 3 2

+

j

+

Arreglando la u ´ltima ecuaci´on se obtiene H2 (z) =

(1 − j 3 2 T

z − e− 2 ej

√

3 ) 2 √ e−1 e−j 3

z √

j

z √

(1 − j 3 2

z−

√

3 ) 2

T

√ 3 2

(17.57)

√

3 ) 2 √ e−1 ej 3

−1 + 0.150574z −1 1 + 0.11813z −1 + 0.135335z −2

(17.58)

(17.59)

y la funci´on de transferencia completa se puede escribir en la forma

H(z) = H1 (z) + H2 (z) =

1 −1 + 0.150574z −1 + 1 − 0.13533z −1 1 + 0.11813z −1 + 0.135335z −2

(17.60)

La estructura se muestra en la figura 17.21

17.8

S´ıntesis de los circuitos discretos con la ayuda de las matrices circulares

Los coeficientes ai y bi de la funci´on de transferencia de un sistema discreto se pueden calcular con la ayuda de las matrices circulares. Los coeficientes de la funci´on de transferencia se calculan usando la ecuaci´on (cykl h) × a = b Esta ecuaci´on se puede escribir en la forma matricial 297

Figura 17.21: Estructura paralela del filtro digital

                                 

h0 hN −1 h1 h0 h2 h1 ··· ··· ··· ··· ··· ··· hn hn−1 hn+1 hn hn+2 hn+1 ··· ··· ··· ··· ··· ··· h2n h2n−1 ··· ··· ··· ··· hN −1 hN −2

hN −2 hN −1 h0 ··· ··· ··· hn−2 hn−1 hn ··· ··· ··· h2n−2 ··· ··· hN −3

· · · hN −n · · · hN −n+1 · · · hN −n+2 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· h0 ··· h1 ··· h2 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· hn ··· ··· ··· ··· · · · hN −n−1

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···





                                ×                                

1 a1 a2 ··· ··· ··· an 0 0 ··· ··· ··· 0 ··· ··· 0





                                =                                

b0 b1 b2 ··· ··· ··· bn 0 0 ··· ··· ··· 0 ··· ··· 0

                                 

(17.61)

La ecuaci´on matricial (17.61) la pod´emos dividir en dos ecuaciones matricial (17.62) y (17.63)          

h0 hN −1 hN −2 h1 h0 hN −1 h2 h1 h0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· hn hn−1 hn−2

· · · hN −n · · · hN −n+1 · · · hN −n+2 ··· ··· ··· ··· ··· h0 298





        ×        

1 a1 a2 ··· ··· an





        =        

b0 b1 b2 ··· ··· bn

         

(17.62)

         

hn+1 hn+2 hn+3 ··· ··· h2n





        +        

··· ··· ··· ··· ··· ···

hn hn−1 hn+1 hn hn+2 hn+1 ··· ··· ··· ··· h2n−1 h2n−2

h1 h2 h3 ··· ··· hn





        ×        

a1 a2 a3 ··· ··· an





        =        

0 0 0 ··· ··· 0

         

(17.63)

Si se marregla la ecuaci´on (17.63) se obtiene la ecuaci´on matricial (17.64). De esta ecuaci´on matricial se puede calcular el vector a, y si se conocen los coeficientes de la respuesta al impulso h1 hasta h2n .          

a1 a2 a3 ··· ··· an





         = −        

hn hn−1 hn+1 hn hn+2 hn+1 ··· ··· ··· ··· h2n−1 h2n−2

··· ··· ··· ··· ··· ···

h1 h2 h3 ··· ··· hn

−1         



    ×    

hn+1 hn+2 hn+3 ··· ··· h2n

         

(17.64)

Los coeficientes de la respuesta al impulso h2n+1 hasta hN −1 no los podemos prescribir, pero los podemos calcular con la ayuda de la ecuaci´on (17.65) hk = −

n -

hk−i ai

(17.65)

i=1

Si queremos calcular los coeficientes de la funci´on de transferencia se tienen que conocer 2n + 1 t´erminos de la respuesta al impulso. Estos impulsos se llaman impulsos relevantes. Los impulsos restantes los vamos a llamar impulsos redundantes. Desde los coeficientes 2n + 1 relevantes de la respuesta h se obtienen los coeficientes 2n + 1 de vector a y b. Para calcular el vector b primeramente se tiene que determinar los coeficientes redundantes de la respuesta a un impulso h(n). La s´ıntesis no es un´ıvoca y por eso no se pueden prescribir para cierto sistema cualquiera respuesta al impulso, si se quiere realizar el sistema con m´ınimos elementos. Ejemplo 13: Calcular los coeficientes de la funci´on de transferencia H(z) del orden n = 2 si conoce usted los coeficientes de la respuesta a un impulso y la longitud del period. N = 6 h0 = 0, 23408792 h1 = 0, 52158126 h2 = 0, 32765012 h3 = −0, 0060618 h4 = −0, 06228814 Primeramente se calculan con la ayuda de los 2n + 1 elementos relevantes de la respuesta a un impulso h0 hasta h4 los coeficientos a1 y a2 . Entonces !

a1 a2

"

=

!

0, 32765016 0, 52158126 0, 00606108 0, 32765016

"−1

×

299

!

−0, 0060618 −0, 06228814

"!

a1 a2

"

=

!

−0, 276 0, 185

"

Usando la ecuaci´on (17.65) se puede calcular el coeficiente redundante de la respuesta a un impulso h5 . No podr´ıa ser elegido, si queremos calcular la funci´on de transferencia de segundo orden. h5 = −h4 a1 − h3 a2 = −0, 06228 × 0, 276 + 0, 00606 × 0, 185 = −0, 0160702 Ahora se pueden calcular los coeficientes bi de la funci´on de transferencia H(z)  













b0 h0 h5 h4 1       b1  =  h1 h0 h5   a1  b2 h2 h1 h0 a2







b0 0, 234087 −0, 016070 −0, 062288 1        b1  =  0, 521581 0, 234087 −0, 016070  ×  −0, 276  b2 0, 327650 0, 521581 0, 234087 0, 185 







b0 0, 227      b1  =  0, 454  b2 0, 227

Ya que se conocen todos los coeficientes, la funci´on de transferencia H(z) es H(z) =

0, 227 + 0, 454z −1 + 0227z −2 1 − 0, 276z −1 + 0, 185z 2

La estructura del filtro se muestra en la figura 17.22

Figura 17.22: Filtro digital de segundo orden

300

Cap´ıtulo 18 Filtros digitales con la respuesta finita FIR 18.1

Filtros con la respuesta finita al impulso FIR

La funci´on de transferencia de los filtros digitales con la respuesta finita al impulso tiene la forma siguiente H(z) =

Y (z) = b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bk z −k X(z) H(z) =

k -

bi z −i

(18.1) (18.2)

i=0

Si se utiliza la transformada z inversa a la ecuaci´on anterior se obtiene la ecuaci´on de diferencias y(n) =

k i=0

bi x(n − i)

(18.3)

De esta funci´on se puede dibujar la estructura directa del filtro FIR y se muestra en la figura 18.1. Esta estructura se llama la estructura transversal. En la figura 18.2 es la estructura del filtro FIR en primera forma can´onica.

Figura 18.1: Estructura directa del filtro FIR

301

Figura 18.2: Estructura del filtro FIR de la primera forma De la funci´on de transferencias, ecuaci´on (18.3) se ve, que los coeficientes de la funci´on de transferencia son simult´aneamente las muestras de la respuesta al impulso unitario. Ejemplo 1: Escribir la funci´on de transferencia de un filtro FIR de orden sinco y muestrar en d´onde est´an los ceros y polos en ´el plano de z. H5 (z) = b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + b3 z −3 + b4 z −4 + b5 z −5

H(z) =

b0 z 5 + b1 z 4 + b2 z 3 + b3 z 2 + b4 z + b5 z5

Todos polos son ubicados en el origen y por eso los filtros FIR son siempre estables. Si los coeficientes bi de la funci´on de transferencia son sim´etricos, b0 = b5 b1 = b4 b2 = b3 entonces los ceros de la funci´on de transferencia son tambi´en sim´etricos al respecto del circuito unitario, c´omo se ve en la figura 18.3, y la fase es lineal en todas las frecuencias.

Figura 18.3: La ubicaci´on de los ceros de H(z) en el plano de z 302

Las ventajas del filtro FIR • Los filtros con la respuesta finita son siempre estables. • La fase de la funci´on de transferencia es lineal en todo dominio de las frecuencias. • Las muestras de la salida son dependientes s´olo a las muestras en la entrada y a las muestras de entrada retrasadas. Por eso no son tan sensibles a errores de redondeo como los filtros con la respuesta infinita.

Desventajas del filtro FIR • Para cumplir las especificaciones de la plantilla se necesitan muchos sumadores, amplificadores y elementos de retardo en comparaci´on con los filtros IIR. • El retraso de las se˜ nales es mayor que en los filtros con la respuesta infinita IIR. Los ceros de la funci´on de transferencia que no est´an ubicados en el c´ırculo de radio unitario deben ser rec´ıprocos 1/zi . Entonces se puede escribir la funci´on de transferencia en la forma c J 1 1 b (z − z0i ).(z − H(z) = H(0) k (z − 1)(z + 1) ) z z0i i=1

(18.4)

La respuesta al impulso puede ser dividida en cuatro grupos, como se puede ver en la figura 18.4.

Figura 18.4: Cuatro posibilidades de la respuesta a un impulso

• En la figura 18.4a el n´ umero de impulsos es impar, y la simetr´ıa con respecto al punto M es par, y por eso podemos expresar la funci´on de transferencia en la ecuaci´on (18.5) 303

H(ω)IP

n

2 3

−1 2 n n + 2h(i) cos( − i)ω =h 2 2 i=0

(18.5)

• En la figura 18.4b el n´ umero de los impulsos es par y la simetr´ıa con respecto al punto M es tambi´en par. La funci´on de transferencia se calcula mediante la ecuaci´on (18.6) n−1

PP

H(ω)

2 -

=

2h(i) cos(n − 2i)

i=0

ω 2

(18.6)

• En la figura 18.4c el n´ umero de los impulsos es impar y la simetr´ıa con respecto al punto M es tambi´en impar. La funci´on de transferencia se puede expresar mediante la ecuaci´on (18.7) n−1

II

H(ω)

=

2 -

2h(i) sin

i=0

(n − 2i) ω 2

(18.7)

• En la figura 18.4d el n´ umero de los impulsos es par y la simetr´ıa con respecto al punto M es impar. La funci´on de transferencia se puede calcular mediante la ecuaci´on (18.8)

PI

H(ω)

=

n −1 2

-

2h(i) sin(

i=0

n − i)ω 2

(18.8)

Ejemplo 2: Hallar la funci´on de transferencia H(ω) de un filtro F IR con la respuesta a un impulso que se muestra en la figura 18.5

Figura 18.5: La respuesta de un filtro FIR a un impulso El n´ umero de los impulsos es impar pero la simetr´ıa de los impulsos es par. Por eso se puede calcular la funci´on de transferencia H(ω) mediante ecuaci´on (18.9) H

IP

2 3

n

−i 2 n n 2h(i) cos( − i)ω + (ω) = h 2 2 i=0

304

(18.9)

Si se sustituye en la ecuaci´on (18.9) por n=4

h0 = h4 = 1

h1 = h3 = 2

h2 = 3

se obtiene H IP (ω) = h(2) + 2h(0) cos 2ω + 2h(1) cos ω = 3 + 2 cos 2ω + 4 cos ω Ejemplo 3: Hallar la funci´on de transferencia en el dominio de z y de ω de un filtro F IR que tiene la funci´on de diferencias y(n) = 3x(n) + 2x(n − 1) + 2x(n − 2) + 3x(n − 3)

Utilizando la transformada-z se obtiene

Y (z) = 3X(z) + 2z −1 X(z) + 2z −2 X(z) + 3z −3 X(z) Y (z) H(z) = = 3 + 2z −1 + 2z −2 + 3z −3 X(z) La respuesta del sistema a un impulso se muestra en la figura 18.6

Figura 18.6: Respuesta del sistema a un impulso El n´ umero de los impulsos es par y la simetr´ıa de los impulsos es tambien par. La funci´on de transferencia en el dominio de ω se puede escribir mediante la ecuaci´on (18.10) n−1

H P P (ω) =

2 -

i=0

Si se sustituyen los valores: n=3

2h(i) cos(n − 2i)

h(0) = h(3) = 3

ω 2

(18.10)

h(1) = h(2) = 2

en la ecuaci´on (18.10) se obtiene 2

3

ω 3ω ω 3ω + 2h(1) cos = 2 3 cos + 4 cos H(ω) = 2h(0) cos 2 2 2 2 Las respuestas de los cuatro tipos de filtro F IR se muestran en la figura 18.7a-d. 305

Figura 18.7: Respuestas de cuatro tipos de filtro FIR

18.2

Dise˜ no del Filtro FIR

La caracter´ıstica en la figura 18.7a o en la figura 18.8 se aproxima mediante la serie de Fourier |H| = A(f ) =

M -

cm ej2πf mT

(18.11)

m=−M

donde los constantes cm y c−m se pueden calcular mediante la ecuaci´on (18.12) cm = c−m

f 2 < 2m = A(f ) cos(2πf T m)df fm 0

(18.12)

Si se sustituye en la ecuaci´on (18.11) por ej2πf T = z se obtiene H1 (z) =

M -

cm z m

(18.13)

m=−M

Esta funci´on es la funci´on de transferencia de un sistema no causal. Para ai = cM −i la u ´ltima ecuaci´on se puede escribir en la forma 2M 1 ai z −i H(z) = M z i=0

(18.14)

Esta funci´on es una funci´on de transferencia de un filtro causal F IR. El t´ermino 2M significa que el filtro F IR tiene 2M elementos de retardo. Si la frecuencia de muestreo normalizada es 2, los coeficientes cm se calculan mediante la ecuaci´on (18.15) cm =


N

j=0 H(z1 , z2 ) = >i=0 M >N i=0

aij z1i z2j

i j j=0 bij z1 z2

.

(23.1)

La funci´on de transferencia se puede escribir tambi´en en la forma matricial, como se muestra en la ecuaci´on (23.2)

+



1 z1 z12

H(z1 , z2 ) = +

1 z1 z12

a00  a  10 ,   a20 . . . z1m ×   ...    ... am0  b00   b10 ,   b20 . . . z1m ×   ...    ... bm0

a01 a11 a21 ... ... am1 b01 b11 b21 ... ... bm1

a02 a12 a22 ... ... am2 a02 b12 b22 ... ... bm2

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...







1 a0n   a1n    z2    2    a2n   ×  z2    ...   ...      ...   ...  amn z2n   . b0n 1   b1n    z2    2    b2n   ×  z2    ...   ...        ... ...  bmn z2n

(23.2)

El elemento aij (resp. bij ) son los coeficientes de polinomio de numerador, (resp. denominador). Los filtros de dos dimensiones se pueden dise˜ nar mediante dos maneras a) Las especificaciones de la plantilla se aproxima en el dominio de dos dimensiones. Pero de esta manera la aproximaci´on es muy exigente. b) Las especificaci´ones de la plantilla se pueden aproximar en el dominio s de una dimensi´on y despues utilizando la transformaci´on transformar la funci´on de tranferencia de una dimensi´on H(s) a la funci´on de transferencia de dos dimenciones H(s1 , s2 ). Posteriomente utilizando la transformada bilineal se transforma la funci´on de transferencia H(s1 , s2 ) desde el dominio s1 , s2 al dominio discreto H(z1 , z2 ). Adelante se utiliza este m´etodo para dise˜ nar los filtros digitales de dos dimensiones. 391

23.1

Dise˜ no de un filtro de paso bajas

Dise˜ ne un filtro de dos dimensiones paso bajas que cumple las especificaciones de la plantila que se muestra en la figura 23.1. La frecuencia de muestreo en los dos ejes son iguales fV 1 = fV 2 = fV = 16000 Hz. Para calcular el orden del filtro de typo CAUER tenemos que calcular el coeficiete de selectividad k y el constante q.

Figura 23.1: Especacificiones del filtro digital de paso bajas de una dimensi´on

k= 

!

7 82

k2  k 1+2 q= 16 4 2

3400 f2 = = 0, 666 f1 5100

0, 6662 0, 666 q= 1+2 16 4

32

7 84

k + 15 4 2

0, 666 + 15 4

34

7 86

k + 150 4 2

4

. . .

0, 666 + 150 4

36 " 4

= 0, 036458.

El orden n del filtro se obtiene sustituyendo en la ecuaci´on (23.3) n=

ln(e0,23amax − 1) − 0, 23amin − 2, 77 . ln q

(23.3)

Sustituyendo por amax = 0, 8695 , q = 0, 036458 y amin = 21, 379 se obtiene el orden del filtro Cauer n=

ln(e0,23.0,8695 − 1) − 0, 23.21, 379 − 2, 77 = 2, 81. ln 0, 036458

Se elige el orden del filtro n = 3. Los ecuaciones siguientes para calcular los ceros y los polos de la funci´on de transferencia se pueden utilizar solo para el c´alculo de los ceros y polos de los filtros del orden impar. Los ceros de la funci´on de transferencia se calculan mediante la ecuaci´on (23.4) 1

Ω0k = 2q 4

sin 2kπ − q 2 sin 6kπ + q 6 sin 10kπ 2n 2n 2n . 4 cos 4kπ + 2q 1 − 2q cos 2kπ n n

Sustituyendo por q = 0, 036458, k = 1 y n = 3 se obtiene 392

(23.4)

Ω01 = 0, 873933

0, 8660254 − 2, 0337.10−9 = 0, 73123. 1 + 0, 036458 − 1, 7667.10−6

Para calcular los ceros de la funci´on de transferencia, se tiene que calcular el parametro w !

"

1 2 (0, 115amax )2 w= ln + + ... . 2n 0, 115amax 12

(23.5)

Sustituyendo por n y amax en la ecuaci´on (23.5) se obtiene 1 [2, 99573 + 0, 00083] = 0, 499427. 6 La funci´on de transferencia es de orden impar y por lo tanto un cero es real y otro cero es complejo. El cero real se obtiene mediante la ecuaci´on (23.6) w=

1

α0 = t = 2q 4

senh w − q 2 senh 3w + q 6 senh 5w . 1 − 2q cosh 2w + 2q 4 cosh 4w

(23.6)

La parte real de la raiz compleja se calcula mediante la ecuaci´on (23.7) αk =

#

t −Ω20k (k + k −1 − Ω20k )

(23.7)

1 + t2 Ω20k

y la parte imaginaria del cero complejo se calcula mediante la ecuaci´on (23.8) ±Ωk = ±

#

Ω0k 1 + t2 (k + k −1 + t2 ) 1 + t2 Ω20k

.

(23.8)

Sustituyendo los valores w y q a la ecuacion (23.6) se calcula t, y despues α1 , y Ω1 . α0 = t = 2.0, 436466

α1 =

Ω1 =

0, 520449 − 0, 002825 + 1, 4167.10−8 = 0, 50908 1 − 0, 112417 + 0, 0000133

#

1 + 0, 509082 .0, 730232

#

1 + 0, 509082 .0, 730232

0, 50908 1 − 0, 730232 (0, 666 + 0, 666−1 − 0, 730232 ) 0, 73023 1 + 0, 509082 (0, 666 + 0, 666−1 + 0, 509082 )

= 0, 16046

= 0, 81877.

La funci´on de transferencia resultante se calcula mediante la ecuaci´on (23.9). G(s) = K(s + t)

s2 + 2α1 s + α12 + Ω21 . 1 + Ω12 s2

(23.9)

01

La funci´on de transferencia toma la forma G(s) = K(s + 0, 50908)

s2 + 0, 32092s + 0, 6961317 . 0, 5332359s2 + 1

El constante K se calcula bajo la condici´on de que el m´odulo de la funci´on de transferencia para ω = 0 es igual a uno. Para obtener |G(0)| = 1 el constante K debe ser K = 2, 8217761. 393

Se puede comprobar si las especificaciones de la plantilla se cumplen para las frecuencias ω = 0, 816 y ω = 1, 224. Para ω = 0, 816 se obtiene G(0, 816) = 2, 821.(j0, 816 + 0, 509)

0, 696 − 0, 8162 + j0, 3209.0, 816 1 − 0, 533.0, 8162

|G| = |2, 302j + 1, 436| ×| 0, 0469 + j0, 406| =⇒ amax = 0, 8695 [dB].

Similarmente para ω = 1, 224 se obtinene

G(1, 224) = 2, 821.(0, 509 + j1, 224)

0, 696 − 1, 2242 + j.0, 3209.1, 224 1 − 0, 533.1, 2242

|G| = |1, 436 + j3, 4538| ×|− 3, 9879 + j1, 9529|. =⇒ amin = 21, 379 [dB].

De esta manera se compruebe si se cumplen las especificaciones en las frecuencias de corte. Para transformar la funci´on de transferencia desde el dominio unidimensional al dominio de dos dimensiones se utiliza la transformada de Shanks. s = s2 cos β − s1 senβ.

La funci´on de transferencia G(s) se define H(s) =

1 , G(s)

(23.10)

que es la relacion salida/entrada.

1 1 + s2 0, 53332359 . × s + 0, 509908 0, 6961317 + 0, 32092s + s2 La desnormalizaci´on y la transformada de Shanks se muestra en el c´alculo de la funci´on de transferencia H1 (s) H(s) = 0, 3543867

H1 (s) =

1 . s + 0, 509908

Para desnormalizaci´on de frecuencias se utilizan las relaciones s = s/ω0 , donde ω0 = 2π3400 y se obtiene H1 (s/ω0 ) =

ω0 . s + ω0 0, 509908

Si se aplica a la u ´ltima ecuaci´on la transformada de Shanks de dos dimensiones (23.10), se obtiene H1 (s1 , s2 ) =

ω0 . s2 cos β − s1 senβ + ω0 0, 509908

La funci´on de transferencia H1 (s1 , s2 ) se transforma mediante la transformada z bilineal desde el dominio s a dominio de z. 2 1 − z1 2 1 − z2 s2 = . T 1 + z1 T 1 + z2 Sustituyendo s1 y s2 a la funci´on de transferencia H1 (s1 , s2 ) se obtiene s1 =

H1 (z) =

T ω0 (1 + z1 + z2 + z1 z2 ) , b00 + b21 z1 + b12 z2 + b22 z1 z2

donde 394

b21 b12 b22 b00

= 2 cos β + 1senβ + 0, 509908ω0 T = −2 cos β − 2senβ + 0, 509908ω0 T = −2 cos β + 2senβ + 0, 509908ω0 T = 2 cos β − 2senβ + 0, 509908ω0 T.

Para β = 270◦ , f0 = 3400 [H]z y fv = 1/T = 16000 [Hz] la funci´on de transferencia toma la forma: 1 + z1 + z2 + z1 z2 . (23.11) 1 − 0, 492082z1 + z2 − 0, 492082z1 z2 Igual como la funci´on de transferencia H1 (z) se calcula la funci´on de transferencia H2 (s). Las circuitos con las funciones de transferencia H1 (z) y H2 (z) se conectan en cascada. H1 (z1 , z2 ) = 0, 498048

1 + 0, 53323s2 . 0, 69613 + 0, 32092s + s2 Despues de un c´alculo similar como en el caso de la funci´on de transferencia H1 (s), se obtiene el siguiente resultado H2 (s) =

H2 (z1 , z2 ) = 1, 3191

+ +

23.2

1 z1 z12

,

1 z1 z12

,

 

×  

×

1 2 1 −0, 7669 −1, 5337 −0, 7669 1 2 1 1 2 1 −1, 2587 −2, 5173 −1, 2587 1, 391 2, 782 1, 391









  ×   ×

1 z2 z22 1 z2 z22

  

.

(23.12)

 

An´ alisis del filtro digital de dos dimensiones

Si se utiliza la transformada de dos dimensiones se obtiene la funci´on de transferencia paso bajas H(z1 , z2 ). La gr´afica de la funci´on de transferencia se muestra en la figura 23.2.

Figura 23.2: Caracter´ıstica de la amplitud del filtro paso baja. La banda de paso est´a marcada con n´ umero 1. Si se analiza la funci´on de transferencia (23.13) H(z1 , z2 )H(z1 , z2−1 ) 395

(23.13)

Figura 23.3: Caracter´ıstica de la amplitud de un filtro paso bajas sim´etrico se obtiene la respuesta de un filtro sim´etrico como se muestra en la figura 23.3. En el caso de la simetr´ıa octagonal, es necesario calcular el m´odulo de la funci´on de transferencia mediante la ecuaci´on (23.14) H(z1 , z2 )H(z1 , z2−1 )H(z1−1 , z2 )H(z1−1 , z2−1 ).

(23.14)

El filtro recursivo de dos dimensiones con la fase cero, se obtiene si se conectan en cascada los filtros sim´etricos. Si se filtra una se˜ nal de dos dimensiones primeramente por medio del filtro sim´etrico en el primer cuadrante con la funci´on de transferencia H(z1 , z2 ) y despues con el filtro sim´etrico en el tercer cuadrante con la funci´on de transferencia H(z1−1 , z2−1 ), se obtiene el filtro resultante con la funci´on de transferencia que tiene la fase cero H2 (z1 , z2 ) = H(z1 , z2 )H(z1−1 , z2−1 )

23.3

(23.15)

Dise˜ no de un filtro paso bajas sim´ etrico

Ejemplo 1: Dise˜ ne un filtro de dos dimensiones con la caracter´ıstica de Butterworth de orden n = 2 para amax = 3 dB, Ω0 = 1 a β = π4 . La funci´on de transferencia del filtro de Butterworth de segundo orden es H(p) =

1 . 1 + 1, 41421s + s2

Si se sustituye por s la transformada de Shanks (23.10) y despues la transformada z bilineal como en ejemplo anterior, se obtiene la funci´on de transferencia de dos dimensiones H(z1 , z2 ). Este filtro discreto de paso bajas no es sim´etrico. El filtro sim´etrico lo obtenemos calculando la ecuaci´on HDP (z1 , z2 ) = H(z1 , z2 )H(z1 , z2−1 ). Calculando se obtiene la matriz de los coeficientes del filtro paso bajas sim´etrico 396





   B=   

9, 219577 −32, 45760 96, 08774 −32, 45760 9, 219578

   A=   

1 4 6 4 1 4 16 24 16 4 6 24 36 24 6 4 16 24 16 4 1 4 6 4 1

62, 98387 −245, 6205 100, 5595 −245, 6205 62, 98387

158, 6508 −83, 16479 593, 0211 −83, 16479 158, 6508

       

−54, 98386 −440, 1478 −52, 55957 −440, 1478 −54, 98386

19, 57162 147, 6223 435, 5436 147, 6223 19, 57162



   .   

La caracter´ıstica de amplitud del filtro de paso bajas sim´etrico HDP (z1 , z2 ) se muestra en la figura 23.4.

Figura 23.4: Caracter´ıstica de la amplitud del filtro paso bajas sim´etrico

23.4

Dise˜ no del filtro paso altas sim´ etrico

Usando la transformada (23.10) a la funci´on de transferencia de paso altas H(s) se obtiene la funci´on de transferencia discreta de filtro de paso alta H(z1 , z2 ). La caracter´ıstica de la amplitud se muestra en la figura 23.5. Para poder sumar las funciones de transferencia y no solo sus modulos, es necesario que la fase de la funci´on de transferencia es cero. La funci´on de transferencia con la fase cero se obtiene mediante la ecuaci´on (23.16) HHP (z1 , z2 ) = H(z1 , z2 ).H(z1−1 , z2−1 )

(23.16)

Ejemplo 2: Dise˜ ne la funci´on de transferencia de un filtro pasa alta sim´etrico de segundo orden con las especificaciones de primer ejemplo. La funci´on de transferencia de un filtro anal´ogico de paso alta de segundo orden es 397

s2 . s2 + 1, 41421s + 1 Usando la transformada de Shanks y la transformada z bilineal, los coeficientes de la funci´on de transferencia de paso altas de dos dimensi´ones toman la forma H(p) =





13, 39569 0 0   −26, 79120 0 A= 0  0 0 13, 39569 



9, 219 −3, 176021 1  B=  −3, 17602 −22, 79120 7, 1760215  . 1 7, 176021 19, 571620

La funci´on de transferencia del filtro sim´etrico de paso altas con la fase cero se calcula mediante la ecuaci´on (23.16). Se obtiene la matriz de la funci´on de transferencia que tiene 13 × 13 elementos y por esto raz´on no la escribimos. En la figura 23.5a se muestra la caracteristica de la amplitud del filtro sim´etrico de paso altas. En la figura 23.5b se muestra la caracter´ıstica del mismo filtro en tres dimensiones.

Figura 23.5: a) Caracter´ıstica de la amplitud del filtro paso altas en dos dimensiones b) Caracter´ıstica de la amplitud del filtro paso altas en tres dimensiones

23.5

Dise˜ no del filtro supresor de banda

La funci´on de transferencia de un filtro supresor de banda se obtiene si se suman las funciones de transferencia de un filtro paso bajas con una frecuencia del corte Ω01P BF y la funci´on de transferencia de un filtro paso altas con una frecuencia del corte Ω01P A . Se calcula HSB = HP BF + HP A . Para que se pueden sumar las funciones de transferencias es necesario calcular las funci´ones de transferencia con la fase cero. Para calcular la funci´on de transferencia de un filtro sim´etrico supresor de banda se aprovechan las funciones de transferencia del filtro paso bajas y paso altas desde los ejemplos anteriores. Es necesario cambiar la frecuencia del corte del filtro paso altas para cumplir la ecuaci´on Ω01BP F < Ω01P A . 398

Las caracter´ısticas de amplitud de supresor de banda en dos y en tres dimensiones se muestran en la figura 23.6a,b.

Figura 23.6: Caracter´ıstica de amplitud del filtro supresor de banda sim´etrico

23.6

Dise˜ no del filtro de paso banda

La funci´on de transferencia de un filtro paso banda se obtiene si se multiplican las funci´ones de transferencia de un filtro paso bajas con frecuencia de corte Ω01P BF con la funci´on de tranferencia de un filtro paso altas con frecuencia del corte Ω01P A . Para estas frecuencias se debe de cumplir la condici´on Ω01P BF > Ω01P A . La gr´afica de dos dimensiones del filtro paso banda HP B = HP BF + HP A se muestra en la figura 23.7a. La caracter´ıstica de la amplitud de paso banda en tres dimensiones se muestra en la figura 23.7b.

Figura 23.7: Caracter´ısticas de la amplitud del filtro paso banda

399

Figura 23.8: Realizaci´on directa de la funci´on de transferencia

23.7

Realizaci´ on de las funciones transferencias de dos dimensiones

La estructura del filtro de dos dimensiones con la respuesta infinita al impulso se dibuja desde la funci´on de transferencia (23.3) H(z1 , z2 ). La realizaci´on directa de la funci´on de transferencia se muestra en la figura 23.8 H(z1 , z2 ) =

a00 + a01 z2 + a10 z1 + a11 z1 z2 1 + b01 z2 + b02 z22 + b10 z1 + b11 z1 z2 + b12 z1 z22

(23.17)

La estructura en la figura 23.8 tiene mucho elementos de retardo. Otra posibilidad es la realizaci´on de la funci´on de transferencia de dos dimensiones mediante el quebrado de escalera. La funci´on de transferencia H(z1 , z2 ) se puede desarrollar en el quebrado de escalera de varias maneras. Si se desarrolla la funci´on de transferencia H(z1−1 , z2−1 ) en el quebrado de escalerade de la siguiente manera H(z1 , z2 ) = C1 +

1 A1 z1−1

+

(23.18)

1

C2 +

1 B1 z −1 + 1 2

..

.

y si los constantes C2 , C3 , . . . A1 , A2 . . . B1 , B2 no son iguales a cero, la estructura se muestra en la figura 23.9a. Si se arregla la funci´on de transferencia H(z1 , z2 ) en la forma que se muestra en la ecuaci´on (23.19), se obtiene la estructura que se muestra en la figura 23.9b H(z1 , z2 ) = C1 +

A1 z1−1

1 + C2 + B

.

1

−1 1 1 z2 +C3 +

..

(23.19)

.

Si se arregla la funci´on de transferencia H(z1 , z2 ) en la forma (23.20), se obtiene la estructura que se muestra en la figura 23.10. 400

Figura 23.9: Las estructuras escaleras del filtro digital H(z1 , z2 )

H(z1 , z2 ) =

1 C1 +

.

1

A1 ,z1−1 + C2 +

(23.20)

1

1 B1 z −1 + 1 2

..

.

Figura 23.10: Realizaci´on de la funci´on de transferencia H(z1 , z2 ) con el quebrado de escalera Ejemplo 3: Realizar con el quebrado de cadena la funci´on de transferencia de dos dimensiones 48z12 z2 + 12z12 + 144z1 z2 + 33z1 + 81z2 + 15 48z12 z2 + 12z12 + 12z1 z2 + 27z2 + 2 Si se arregla la funci´on de transferencia en quebrado de cadena se obtiene H(z1 , z2 ) =

H(z1 , z2 ) = 1 +

1 2z1 +

1 2+

3z2 +

. 1

1 4+ z 1+2 1

La estructura se muestra en la figura 23.11. Otra posibilidad c´omo obtener la estructura del filtro digital de dos dimensiones es mediante ampliaci´on de las matrices similarmente como se realizan los filtros unidimensi´onales. 401

Figura 23.11: Estructura de ejemplo

23.8

Realizaci´ on de la funci´ on de transferencia mediante ampliaci´ on de la matriz

Dise˜ nar la estructura del filtro que realiza la siquiente funci´on de transferencia H(z1 , z2 ) =

(1 + z1−1 )(1 + z2−1 ) . 1 + az1−1 + bz2−2 + cz1−1 z2−1 + dz1−1 z2−2

Primeramente se construye la matriz de transferencia de segundo orden !

(1 + z1−1 )(1 + z2 ) NT = 1 + az1−1 + bz2−1 + cz1−1 z2 −1 + dz1−1 z2−2

"

−1 .

Si se elige n23 = 1 + z2−1 n33 = −1 − az1−1 − bz2−1 − cz1−1 z2−1 − dz1−1 z2−2

n31 = 1 + x−1 1 n32 = 0,

se obtiene n321 = n221 +

n322 = n222 +

n323 .n331 =0 n333

n323 .n332 = −1. n333

La matriz con dos renglones y tres columnas toma la forma (3)

N

=

!

0 1 1 + z2−1 1 + z1−1 0 −1 − az1−1 − bz2−1 − cz1−1 z2−1 − dz1−1 z2−1

"

Si se siguye este procedimiento ampliando las matrices se obtiene al fin N(7) 402

.

Figura 23.12: Estructura de un filtro digital de dos dimensiones



N(7)

    =    

0 −1 1 0 1 0 0 1 0 −1 0 −b z1−1 0 0 0 −a −1 −c 0 1 −1 0 0 z2 0 −1 0 0 1 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 −dz2−1 0 −1



    .    

De la matriz del flujo N(7) se puede graficar la estructura del filtro de dos dimensiones. La estructura se muestra en la figura 23.12. El orden de la fiunci´on de transferencia es igual al n´ umero de elementos de la estructura. Por lo que la estructura es can´onica.

23.9

Estabilidad de los filtros de dos dimensiones

El la literatura fueron propuesto algunos criterias para verificar si el circuito digital con la funci´on de transferencia H(z) es etable. Un criterio que propuso en la revista IEEE on Audio June 1962 pagina 116 Shanks es el siguiente. Si se cumplen para la funci´on de transferencia H(z) las condiciones 23.22 - 23.24 el circuito es estable H(z1 , z2 ) =

A(z1 , z2 ) 1 + b21 z1 + b12 z2 + b22 z2

(23.21)

1 |> 1 b12

(23.22)

| 1 + b12 | >1 | b21 + b22 |

(23.23)

1 − b12 |> 1 b21 − b22

(23.24)

|

|

403

Ejemplo 4: Verifique si el circuito con la funci´on de transferencia H(z) es estable. H(z) = |

1 1 − 0, 7z1 − 0, 5z2 + 0, 3Z1 z2

| 1 − 0, 5 | >1 | −0, 7 + 0, 3 |

1 |> 1 −0, 5

|

(23.25) 1 + 0, 5 |> 1 −0, 7 − 0, 3

El circuito es estable, porque se cumplieron todas las criterias. El criterio de estabilidad del circuito de dos dimensiones que propuso Alan V. Oppenheim es el siguiente. Se buscan los ceros de los polinomios B(Z1 , 1) y B(1, z2 ) si son menores que uno el circuito est´a estable si se cumple todavia la condici´on B(ω1 , ω2 ) #= 0 para qualquiera ω. Es necesario que se cumplen los condiciones siguientes B(z1 , 1) = 0

z1 < 1

(23.26)

B(1, z2 ) = 0

z2 < 1

(23.27)

B(ω1 , ω2 ) #= 0

(23.28)

Ejemplo 5: Calcular si el circuito con la funci´on de transferencia H(z1 , z2 ) es estable. H(z1 , z2 ) =

1 1−

0, 6z1−1

B(z1 , 1) = 1 − 0, 6z1−1 − 0, 6 = 0

(23.29)

− 0, 6z2−2 z1 =

0, 6 >1 0, 4

No se cumple la primera condici´on z1 > 1 entonces el circuito no es estable. Ejemplo 6: Calcular si el circuito con la funci´on de transferencia H(z1 , z2 ) es estable. H(z1 , z2 ) = B(z1 , 1) = 1 − 34 z1−1 − 0, 6 = 0 B(1, z2 ) = 1 − 21 − 14 z2−1 = 0

1−

0, 5z1−1 3 4

z1 = z2 =

1 2

M −k k=1 ak z

(24.13)

y la funci´on de transferencia con los coeficientes cuantizados es HQ (z) =

>M

k=0 bkQ z

1+

>M

k=1

−k

akQ z −k

(24.14)

Los coeficientes cuantizados se pueden expresar por medio de los coeficientes originales y los errores: 410

Figura 24.6: Localizaci´on de los polos y ceros de un filtro con paso de banda angosta

akQ = ak − ∆ak bkQ = bk − ∆bk

(24.15)

Tambi´en la posici´on de los polos y ceros se cambian gracias a la cuantizaci´on de los coeficientes. zQi = zi + ∆zi

(24.16)

En las condiciones ideales el sistema es estable, pero debido a un eror de cuantizaci´on el polo mas cercano a un circulo unitario puede salir a fuera del c´ırculo y el filtro se convierte a un circuito inestable, como se puede observar en la figura 24.6. En la gr´afica son dislocados ceros y polos de un filtro paso banda. La influencia de los erores de cuantizaci´on a la amplitud se muestra en la figura 24.7.

Figura 24.7: La caracter´ıstica de la amplitud del filtro ideal y cuantizado Algunas estructuras son muy sensibles a la cuantizaci´on de los coeficientes. Las estructuras directas del orden m´as grande que n = 2 son muy sensibles a la cuantizaci´on de los coeficientes, porque la dislocaci´on de los polos depende de muchos coeficientes de la funci´on de transferencia. Las estructuras en cascada y las estructuras paralelas son menos sensible a los erores de cuantizaci´on. 411

24.2.1

Sobrefujo en los circuitos digitales.

Si se realiza el filtro mediante el microcontrolador que trabaja con punto fijo es necesario tomar en cuenta el sobreflujo. Sobreflujo ocure en las salidas de los sumadores de un circuito, figura 24.8

Figura 24.8: Filtro digital de segundo orden Para evitar las posibilidades de sobreflujo y as´ı de desbordamiento se puede utilizar un factor de ganancia G. Con este factor se dividen los coeficientes Bi en el numerador de la funci´on de transferencia (24.17). b0 + b1 z −1 + b2 z −2 a + a1 z −1 + b2 z −2 y se obtiene nueva funci´on de transferencia HG (z) que se realiza H(z) =

+ bG1 z −1 + bG2 z −2 a + a1 z −1 + b2 z −2 La respuesta a una se˜ nal de entrada se define por la ecuaci´on HG (z) =

y(n) =

b0 G

N −1 m=0

h(m)x(n − m)

(24.17)

(24.18)

(24.19)

En el caso desfavorable, cuando la se˜ nal en la entrada tiene su valor m´aximo x(n) = {1 1 1 1 1 1 1 1 ... } la respuesta a una se˜ nal de entrada puede ser escrita en la forma y(n) =

N −1 -

h(m),

(24.20)

m=0

y el factor de ganancia G figura 18.4 se calcula mediante la ecuaci´on G=

N −1 4 m=0

4 4 4 4h(m) 4

(24.21)

Los coeficientes de la funci´on de transferencia en el numerador se dividen entre G y as´ı se evita el sobreflujo. 412

Ejemplo 5: Calcular nuevos coeficientes del numerador de la funci´on de transferencia H(z) para evitar el sobreflujo. 1 + 1.621784z −1 + z −2 (24.22) 1 − 0.4030703z −1 + 0.233262z −2 Una de las estructuras que realiza la funci´on de transferencia (24.22) se muestra en la figura 24.9. Es necesario calcular las respuestas al impulso en la salida de cada sumador. Para calcular las respuestas al impulso h3 y h4 es necesario calcular las funciones de transferencias H3 (z) y H4 (z). H(z) =

Figura 24.9: Filtro digital de segundo orden

H3 (z) =

Y3 (z) X1 (z)

H4 (z) =

Y4 (z) X1 (z)

Para obtener H3 (z) se numeran los nodos del circuito como se muestra en la figura 24.10a. Calculando la matriz N6 se obtiene

Figura 24.10: Filtros digitales de segundo orden 

   6 N =   



b1 −1 1 0 0 −a1  0 0 −1 0 z −1 0   0 z −1 0 −1 0 0   b2 0 0 0 −1 −a2   b0 0 0 1 0 −1 413

(24.23)

{h} 1 2.024854 1.582892 0.165686 -0.302451 ——————————1.284583.10−6 > |h(n)| = 5.307

{h4 } 2.024854 1.582893 0.1656869 -0.302562 -0.160654 ——– ——– 1.316025.10−5 > |h4 (n)| = 1.771

{h5 } 0.766733 -0.47233 -0.3692353 −3.864915.10−2 7.055178.10−2 —————– —————– −2.99649.10−7 > |h5 (n)| = 4.307

Tabla 24.1: La tabla de los respuestas al impulso Si se reduce la matriz N(6) hasta N 2 se obtiene la funci´on de transferencia entre nodo 1 y 2. 2.024854 + 0.7667338z −1 (24.24) 1 − 0.4030703z −1 + 0.233266z −1 La matriz de transferencia H4 (z) se calcula desde la estructura en la figura 24.10b. En este caso el nodo 2 se marca despues de segundo sumador. Calculando la matriz flujo de se˜ nales N(6) se obtiene H4 (z) =



   6 N =   



b2 −1 0 0 0 −a2  0 z −1 −1 0 0 0   0 0 0 −1 z −1 0   b1 0 1 0 −1 −a1   b0 0 0 1 0 −1

(24.25)

y la funci´on de transferencia reduciendo N 6 a N 2 toma la forma H5 (z) =

0.7667338 − 0.6363365z −1 1 − 0.4030703z −1 + 0.233266z −1

(24.26)

Calculando las respuestas al impulso en la salida de cada sumador se obtienen h(n), h4 (n) y h5 (n), y los valores que se muestran en la tabla 24.1. Como el factor de ganancia G se elege el mayor n´ umero. Para G=5.307, la funci´on de transferencia que se va a realizar toma la forma 1.621 −1 1 1 + 5.307 z + 5,307 z −2 0.188 + 0.305z −1 + 0.188z −2 5.307 = (24.27) H(z) = 1 − 0.403z −1 + 0.233z −2 1 − 0.403z −1 + 0.233z −2 Si se realiza filtro con la nueva funci´on de transferencia, no se ocure el sobreflujo, pero se disminuye la relaci´on se˜ nal-ruido (RSR).

414

´Indice de Materias Filtros activos, 127 de segundo orden, 127 paso altas de primer orden, 133 paso bajas de primer orden, 134 paso banda de primer orden, 135 ARC con retroalimentaci´on, 137 Filtros ARC con gyradores, 144 Filtros digitales an´alisis, 341 con la respuesta infinita IIR, 277 con la respuesta finita FIR, 301 de dos dimensiones, 391 diferenciador, 317 dise˜ nados desde la respuesta, 292 estructuras de cascada, 279 estructura paralela, 280 la forma cruz, 371 la forma Markel y Gray, 382 la forma transverzal, 378 transformador de Hilbert, 318 Filtros electromec´anicos, 161 Filtros con capacidores Conmutados, 167 Filtros pasivos, 113 RC elementales, 113 RC con Y en paralelo, 124 Foster I, 28 Foster II, 35 Funci´on de transferencia car´acteristica, 24 de espejo, 20 de trabajo, 21 Funci´on de transferencia, 329

A Acoplamiento perfecto, 17 An´alisis de los filtros SC, 173 Aproximaci´on de Bessel, l85 Butterworth, 66 Cauer, 89 Chebychev, 75 Chebychev inverso, 80 las plantillas, 65 ARC paso altas, 138 ARC paso banda, 139 ARC paso bajas, 137 C Cascada de filtros RC, 116 RC progresivos, 119 RC con divisor, 121 Cauer I, 38 Cauer II, 40 Ceros de la funci´on de transferencia, 67 Circuito de bi-puertas, 13 Convoluci´on matricial, 203 Corelaci´on, 217 normalizada, 219 de las se˜ nales parecidas, 221 Cuantizaci´on, 405 D Darlington, 94 E

G

Ecuaciones de cascada, 14 Ecuaci´on car´acteristica, 23 Ecualizador de fase, 191 de atenuaci´on, 189

Gyrador, 144 I Impedancia car´acteristica, 18

F 415

S

de Im´agen, 15 de entrada, 24

se˜ nal cont´ınua y no peri´odica, 195 cont´inua y peri´odica, 197 discreto y peri´odico, 199 discreto y no peri´odico, sistemas causal, 201 estable, 201 invariante en el tiempo, 200 lineal, 201 Sobreflujo, 412 Skwirzinski, 96

M Matriz circular, 262,297 de admitancia, 13 de cascada, 11 de dispersi´on, 14 de estado, 343 de Fourier, 260 de impedancia, 12 de transferencia, 13 flujo de estado, 343,355 inversa, 262

T Tablas de los filtros de Butterworth, 72,101 Chebychev, 104 Chebychev inverso, 106 los filtros activos, 140 Transformada discreta de Fourier, 223 de Fourier r´apida, 243 decimaci´on en el tiempo, 245 decimaci´on en las frecuencias, 251 macro para TMS320C25, 263 mediante Matlab, 268 zeta, 207 zeta bilineal, 284 zeta inversa, 213 Transformaciones paso bajas a paso altas, 288 paso baja a paso banda, 289 paso bajas a paso bajas, 290 de las plantillas, 53

O Orden del filtro de Butterworth, 67 Cauer, 96 Chebychev, 75 Chebychev inverso, 75 P polos y ceros de la impedancia ZLC , 28 la impedancia ZRC , 28 la impedancia ZLR , 29 Propiedades de la DFT, 236 convoluci´on, 236 corelaci´on circular, 238 desplazamiento en el tiempo, 238 desplazamiento en la frecuencia, 238 linealidad, 236 multiplicaci´onen el tiempo, 238 periodicidad, 236 teorema de Parseval, 239

V Varianza de truncamiento, 408 Ventanas de Hamming, 321 Blackman, 323 Von Hann, 323 Kaiser, 323 Bohman, 324 Poisson, 325 Cauchy, 325

R Realizaci´on de Cauer, 27 de circuitos RLC, 27 de bipuertas, 42 Resonador piezoel´ectrico, 153 Rumpelt, 91 416

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