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Problemas Resueltos de Hidráulica de Canales Abiertos Book · May 2020

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1 author: Raúl López Universitat de Lleida 30 PUBLICATIONS   173 CITATIONS    SEE PROFILE

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Problemas Resueltos de

Hidráulica de Canales Abiertos Segunda edición

Raúl López Alonso

Citar como: López, R. (2020). Problemas Resueltos de Hidráulica de Canales Abiertos (2a ed.). Universidad de Lleida, Lleida. Primera edición 2019 Segunda edición 2020 © Raúl López Alonso 2020. Algunos derechos reservados.

Esta obra está sujeta a la licencia Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0

 

Contenido Prólogo Simbología Granulometría de sedimento fluvial Problema 1 Problema 2 Problema 3 Flujo uniforme Problema 4 Problema 5 Problema 6 Problema 7 Problema 8 Problema 9 Problema 10 Problema 11 Problema 12 Problema 13 Problema 14 Problema 15 Régimen crítico Problema 16 Problema 17 Problema 18 Problema 19 Problema 20 Problema 21 Problema 22 Flujo gradualmente variado Problema 23 Problema 24 Problema 25 Problema 26

 

1 4 6 8 9 10 11 13 15 17 19 21 24 26 28 30 32 34 35 37 40 43 45 49 52 56

Problema 27 Problema 28 Problema 29 Problema 30 Problema 31 Problema 32 Problema 33 Problema 34 Vertederos y cuencos de amortiguación Problema 35 Problema 36 Problema 37 Problema 38 Problema 39 Problema 40 Problema 41 Problema 42 Inicio del movimiento del sedimento. Estabilidad de cauces Problema 43 Problema 44 Problema 45 Problema 46 Problema 47 Problema 48 Problema 49 Problema 50 Transporte sólido de fondo Problema 51 Problema 52 Problema 53 Problema 54 Problema 55 Problema 56 Problema 57 Bibliografía y referencias

59 62 65 69 72 75 78 82 86 89 91 94 97 100 106 112 115 117 120 123 125 128 130 134 137 138 140 143 147 150 154 156

 

Prólogo La presente colección de problemas resueltos se concibió como material docente práctico de asignaturas del Grado en Ingeniería Forestal y el Grado en Ingeniería Agraria y Alimentaria, impartidos en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Agraria de la Universidad de Lleida. No obstante, la colección propuesta también es adecuada para estudiantes de grado o postgrado en disciplinas de, por ejemplo, Ingeniería Civil, Ingeniería Industrial, Ingeniería Ambiental, Geografía Física o Geología. Los ejercicios recopilados abordan problemas hidráulicos de nivel básico para flujo en lámina libre en diversos tipos de cauces: conductos cerrados, canales de laboratorio, canales artificiales (con o sin revestimiento), ríos encauzados y ríos naturales de lecho de grava, ríos de montaña o torrentes. En dicho ámbito, se resuelven problemas sobre los siguientes temas: análisis granulométrico de sedimento fluvial, flujo uniforme, régimen crítico, flujo permanente y gradualmente variado, dimensionado de vertederos y cuencos amortiguadores de pequeñas presas, inicio del movimiento del sedimento y estabilidad de revestimientos granulares, así como capacidad de transporte sólido de fondo en ríos con lecho granular no cohesivo y torrentes. Los conocimientos teóricos necesarios para comprender los problemas aquí presentados pueden adquirirse consultando alguno de los diversos manuales básicos sobre hidráulica en canales abiertos o hidráulica fluvial. En cualquier caso, para facilitar el aprendizaje, la resolución de los problemas presentados se expone paso a paso y en detalle (incluyendo los datos necesarios, las ecuaciones aplicadas, los cálculos, el apoyo de figuras ilustrativas y, sobre todo, justificando y argumentando el modo de proceder). Además, se adjunta una lista de símbolos unificada para toda la colección. Al primar un enfoque didáctico, los ejercicios corresponden a casos concisos y se han ordenado en cada tema de menor a mayor complejidad. Raúl López Alonso

 

 

Simbología Lo que sigue es una lista de los principales símbolos del presente trabajo. Otros símbolos de uso específico o de menor importancia se han indicado explícitamente en el texto. b di dm e f g h

hc hn n n’ p po q qc qsp qsv q*

 

Ancho del lecho de la sección mojada Diámetro intermedio de la partícula para el que el i % de la muestra es inferior Diámetro intermedio medio aritmético de las partículas de sedimento Espesor en coronación de la presa o dique transversal Factor de fricción de Darcy−Weisbach Constante de aceleración de la gravedad (1) Calado del flujo (profundidad máxima) en la sección mojada (2) Sobreelevación del flujo en el vertido (3) Altura del vertedero Calado crítico del flujo en la sección mojada Calado normal del flujo en la sección mojada (1) Coeficiente de Manning (2) Coeficiente de Manning asociado solo a las partículas de sedimento Coeficiente de Manning total (partículas más formas de fondo) (1) Altura de contradique (2) Profundidad de rebaje de solera Porosidad del sedimento Caudal líquido por unidad de ancho Caudal líquido crítico por unidad de ancho Caudal sólido de fondo en peso y por unidad de ancho Caudal sólido de fondo en volumen y por unidad de ancho Caudal sólido de fondo adimensional

[L] [L] [L] [L] [−] [LT−2] [L] [L] [L] [L] [L] [TL−1/3] [TL−1/3] [TL−1/3] [L] [L] [−] [L2T−1] [L2T−1] [MT−3] [L2T−1] [−]

x y yc yn A Cd D E F H L La Lr P Q Qc Qsv R Re* S Sf So T V Vb Vc Vs V* γ γs

Coordenada cartesiana Calado medio del flujo en la sección Calado crítico medio del flujo en la sección Calado normal medio del flujo en la sección Área de la sección mojada Coeficiente de desagüe o descarga del vertedero Diámetro de las secciones circular y semicircular Energía específica del flujo Número de Froude Altura útil de la presa o dique transversal (1) Anchura del vertedero rectangular (2) Anchura de la base del vertedero trapecial Alcance del flujo en vertido libre Longitud del resalto hidráulico Perímetro de la sección mojada Caudal líquido Caudal líquido crítico de inicio del movimiento del sedimento Caudal sólido de fondo en volumen Radio hidráulico de la sección mojada Número de Reynolds de corte Pendiente del cauce Pendiente de la línea de energía del flujo Pendiente del cauce Ancho superficial de la sección mojada Velocidad media del flujo en la sección Volumen de sedimento (bruto) Velocidad media del flujo en la sección para régimen crítico Volumen de sedimento (neto) Velocidad de corte del flujo Peso específico del fluido Peso específico de las partículas de sedimento

[L] [L] [L] [L] [L2] [−] [L] [L] [−] [L] [L] [L] [L] [L] [L] [L3T−1] [L3T−1] [L3T−1] [L] [−] [−] [−] [−] [L] [LT−1] [L3] [LT−1] [L3] [LT−1] [ML−2T−2] [ML−2T−2]

 

ν ρ ρs τ τc τcm τl τm τ* τ*c Δ Δt

 

Viscosidad cinemática del agua Densidad del fluido Densidad de las partículas de sedimento Tensión de corte media en el contorno Tensión de corte crítica de inicio del movimiento del sedimento en lecho Tensión de corte crítica de inicio del movimiento del sedimento en el margen Tensión de corte máxima en el lecho Tensión de corte máxima en el margen Tensión de corte adimensional o número de Shields Tensión de corte adimensional crítica o número de Shields crítico Frecuencia en una clase de la muestra de sedimento Intervalo de tiempo

[LT−2] [ML−3] [ML−3] [ML−1T−2] [ML−1T−2] [ML−1T−2] [ML−1T−2] [ML−1T−2] [−] [−] [−] [T]

 

Solución

Problema 1 Los datos de un muestreo granulométrico por el método de Wolman del

Cálculo de los percentiles granulométricos (di): tabla 1 y figuras 1 y 2. Los

sedimento del lecho de un río se muestran en la tabla adjunta.

límites de las clases se han tomado siguiendo la escala Wentworth (serie

Determínese: d90, d84, d75, d50, d30, d25, d16, d10 y dm.

de progresión geométrica con un factor de 2), habitual en estudios de sedimentación fluvial.

Nº de fila Diámetro intermedio b (mm) 9 54 100 158 232 685 1 11 59 102 161 235 692 2 12 62 106 162 247 730 3 12 65 110 166 247 997 4 17 69 111 171 260 1120 5 19 76 114 171 300 6 20 76 114 182 316 7 20 78 114 184 320 8 21 78 118 186 328 9 21 79 119 189 340 10 27 80 122 191 389 11 27 82 123 193 392 12 33 82 123 206 396 13 33 84 125 213 425 14 35 90 136 216 490 15 39 92 143 217 520 16 40 94 150 226 537 17 45 95 151 227 547 18 48 96 153 228 552 19 52 98 154 230 630 20 Nota: se detectaron diez partículas con tamaño igual o inferior a 8 mm.

 

Tabla 1. Distribución de frecuencias de tamaño. Clase Nº partículas Partículas Diámetro Nº partículas (mm) retenidas retenidas (%) (mm) menores (%) (1) (2) (3) (4) (5) yn la pendiente es fuerte. Por consiguiente, si suponemos cauce

energía entre una sección del embalse suficientemente alejada aguas arriba

prismático de longitud indefinida, en el extremo aguas abajo del cuenco se

del vertedero (sección 0) y la sección de impacto del chorro de vertido

cumple y3 = yc (ya que la transición del cuenco al torrente implica un

libre (sección 1) (véase el apartado b del problema 40)

cambio de régimen de flujo lento a rápido que pasa por régimen crítico (de

y13 − ( E0 ) y12 +

forma similar a lo expuesto en el problema 25)). Por lo tanto, p = y2 − 0,91

Q2 =0 2 gb2 k

(1)

Tomando el eje de coordenadas del nivel de energía coincidente con la

El calado conjugado mayor del resalto hidráulico (y2) puede calcularse

base rebajada del cuenco, el desnivel de vertido se ve aumentado por la

aplicando la fórmula de Bélanger, válida para sección rectangular y lecho

profundidad de rebaje de solera (p): H + p (siendo H la altura útil del

horizontal

dique)

y2 =

y1 2

( 1 + 8F − 1) 2 1

Expresando la ecuación anterior en función de Q y sustituyendo

 

⎞ ⎛ V02 Q2 =0 y − ⎜⎜ H + h + + p ⎟⎟ y12 + 2g 2 gb 2 k ⎠ ⎝ 3 1

V02 Suponiendo H + h + p >> y k = 0,65 para chorro de vertido libre 2g

107

 

y13 − (H + h + p ) y12 +

Tabla de iteración.

Q2 =0 2 g 0,65b 2

y13 − (7 + 1,37 + p ) y12 +

p (m) 0,00 1,34 1,44 1,45

152 =0 2 ⋅ 9,81 ⋅ 0,65 ⋅ 5,52

y13 − (8,37 + p ) y12 + 0,583 = 0

(3)

Podría obtenerse una aproximación a la ecuación (3) si se asume y13 ≈ 0 , aunque en este caso no se ha optado por esta posibilidad

y2 (m) Ec. (2) 2,25 2,35 2,36 2,36

p’ (m) Ec. (1) 1,34 1,44 1,45 1,45

El alcance del chorro de vertido libre (La) puede calcularse mediante la fórmula de Hong et al. (2010), teniendo en cuenta que el desnivel de

1/ 2

⎛ ⎞ Q ⎟⎟ y1 = ⎜⎜ 2 ⎝ 2 g 0,65b ( H + h + p ) ⎠ 2

vertido es H + p L a = 1,740 y c0 , 489 ( H + p ) 0 , 511 = 1,740 ⋅ 0,91 0 , 489 ( 7 + 1, 45 ) 0 , 511 = 4,95 m

Sustituyendo

La longitud del resalto hidráulico (Lr) para sección rectangular y lecho 1/ 2

⎛ ⎞ 15 ⎟⎟ y1 = ⎜⎜ 2 ⎝ 2 ⋅ 9,81 ⋅ 0,65 ⋅ 5,5 (7 + 1,37 + p ) ⎠ 2

Operando

horizontal calculada mediante la fórmula de Hager (1995) ⎛ F −1⎞ Lr = 220 tanh ⎜ 1 ⎟ y1 ⎝ 22 ⎠

1/ 2

⎛ 0,583 ⎞ y1 = ⎜ ⎟ ⎝ 8,37 + p ⎠

El valor de p puede obtenerse resolviendo iterativamente el sistema compuesto por las ecuaciones (1), (2) y (3), tal como se muestra en la tabla adjunta.

y1 (m) Ec. (3) 0,27 0,25 0,25 0,25

F1 =

Q g ((by1 ) 3 / b)

=

15 9,81((5,5 ⋅ 0,25) 3 / 5,5)

= 7,10

⎛ 7,10 − 1 ⎞ Lr = 220 tanh⎜ ⎟0,25 = 14,68 m ⎝ 22 ⎠ La altura de los muros cajeros (y4) del cuenco (medida desde la base del cuenco) se puede calcular como

y4 = y2 + 0,1( y1 + y2 ) = 2,36 + 0,1(2,36 + 0,25) = 2,62 m  

108

 

p = y 2 − 0,91 = 2,31 − 0,91 1 = 1,40 m

Dado que el vertederro no es de labioo fino, la distanccia entre el paraamento de agu uas arriba del dique y el extremoo aguas abajo deel cuenco (Lp) ess

Ell calado a pie del dique (y1) o calado conjuugado menor del d resalto

L p = e + La + Lr = 1,15 + 4,95 + 14,68 = 20,78 m

hid dráulico será y 1 = 0,54 y c1, 275 ( H + p ) − 0 , 2755 = 0 ,54 ⋅ 0 ,91 1, 2755 ( 7 + 1,40 ) − 0 , 275 = 0 ,27 m

c.- Cu uenco de amortig guación: combinnación metodoló ógica 2 Las consideraciones sobre s la profunddidad de rebaje del d dique y el vaalor de y3 son n las mismas que q en el caso de la combinaación metodológ gica 1 (aparttado b). Por lo taanto, la ecuaciónn (1) es p = y 2 − 0,91

109

Ell alcance del cho orro de vertido liibre será La = 4 ,30 y c0 ,81 ( H + p ) 0 ,19 = 4 ,30 ⋅ 0,91 0 ,81 ( 7 + 1, 40 ) 0 ,19 = 5,98 m

Laa longitud del resalto r hidráulicco (Lr) para seccción rectangulaar y lecho ho orizontal puede estimarse mediante la curva propuesta por el USBR

(1)

(1955) (figura 1).

Las fórmulas f de Ran nd (1955) son de aplicación para p el caso dee flujo

7

vertieendo en régimen n crítico, lo quee corresponderíaa a vertedero dee labio 6

Lr/y2

grueso o

y 2 = 1,66 y c0,81 ( H + p ) 0,19 = 1,666 ⋅ 0,910,81 (7 + p ) 0,19 y 2 = 1,54(7 + p ) 0,19

(2)

Sustittuyendo la ecuaación (1) en laa ecuación (2) se obtiene el calado c conju ugado mayor del resalto hidráulicco (y2)

5 4 Óptim mo

0

1

2

3

4

5

6

7

La pro ofundidad de reb baje será

 

8

9 10 11 12 13 1 14 15 16 17 18 1 19 20

F1

y 2 = 1,54(7 + y 2 − 0,91) 0,19 = 1,54(6,09 + y 2 ) 0,199 y 2 = 2,31 m

Aceptable

3 Fuente: US SBR (1955)

Figura 1. Determin nación gráfica de d la longitud dell resalto hidráuliico. F1 =

Q g ((( by 1 ) 3 / b )

=

15 9,81(( 5,5 ⋅ 0,27 ) 3 / 5,5)

= 6,30

 

De la figura 1 se tiene

d.- Solución adoptada

Lr ≈ 6,1 y 2 = 6,1 ⋅ 2,31 = 14,1 m

De acuerdo con el gráfico de la figura 1 el valor de F1 pertenece al intervalo de comportamiento óptimo del resalto hidráulico.

La altura de los muros cajeros (y4) del cuenco (medida desde la base del cuenco) se puede calcular como y4 = y2 + 0,1( y1 + y2 ) = 2,31 + 0,1( 2,31 + 0,27 ) = 2,57 m

Dado que el vertedero no es de labio fino, la distancia entre el paramento de aguas arriba del dique y el extremo aguas abajo del cuenco (Lp) es

Lp = e + La + Lr = 1,15 + 5,98 + 14,08 = 21,21 m

 

Tabla resumen de resultados. Variable Altura del vertedero h (m) Alcance del flujo La (m) Calado conjugado menor y1 (m) Calado conjugado mayor y2 (m) Longitud resalto hidráulico Lr (m) Profundidad de rebaje p (m) Altura de los muros cajeros y4 (m) Longitud entre paramentos Lp (m)

Combinación 1

Combinación 2

1,37

110

4,95

5,98

0,25

0,27

2,36

2,31

14,68

14,08

1,45

1,40

2,62

2,57

20,78

21,21

 

h

H

y1

y4

y3 111

y2

La

p

Lr

Figura 2. Vista lateral de la sección del vertedero−cuenco de amortiguación y de la superficie libre del flujo. Acotación de las variables de cálculo. 1,37 m

7m

≈ 2,6 m

≈ 1,45 m

≈ 21 m

Figura 3. Vista lateral, no a escala, de la sección del vertedero−cuenco de amortiguación. Acotación de las dimensiones principales.

 

 

Solución

Problema 42 En el marco de un proyecto para estabilizar y consolidar la garganta de un

Si se denomina p1 a la profundidad del rebaje de solera o excavación y p2 a

torrente pirenaico mediante la construcción de diques en cascada se debe

la altura del contradique terminal, se tiene

dimensionar el dique de cierre. La altura útil de dicho dique se fija en 10 m, su espesor en coronación en 2 m, el vertedero rectangular debe tener una anchura de 30 m y el caudal punta de diseño es de 250 m3·s−1. Considérese que en el vertedero el régimen del flujo es el crítico. Está

y2 = p1 + p2 + h' 112

Dado que p2 = 1,5 p1

p1 =

y 2 − h' 2,5

(1)

previsto que la estructura de disipación de energía al pie del dique sea un

La sobreelevación de vertido en el contradique (h’) se puede calcular

cuenco de tipo mixto. Dimensiónese dicho cuenco en situación inicial

suponiendo que este se comporta como un vertedero de labio fino sin

(embalse sin aterramiento) sabiendo que la altura del contradique terminal

contracción

debe ser un 50% superior a la profundidad de rebaje de solera. El espesor en coronación del contradique debe ser de 1 m. Supóngase que el nivel del flujo aguas abajo del contradique no condiciona el funcionamiento del

⎛ Q ⎞ h' = ⎜ ⎟ ⎝ 1,84 L ⎠

3/ 2

⎛ 250 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 1,84 ⋅ 30 ⎠

3/ 2

= 2,74 m

Se confirmará que es de labio fino si e
70), el criterio de Shields para determinar el umbral del movimiento en caso de sedimento de tamaño uniforme es

τ *c =

τc = 0,056 (γ s − γ )d

La ecuación anterior corresponde al tramo de valor constante en la curva de umbral del movimiento del ábaco o diagrama de Shields (figura 1). Despejando τc

τ c = 0,056(γ s − γ )d Igualando el miembro derecho de ambas ecuaciones de tensión

 

117

 

γhS = 0,056 (γ s − γ ) d

⎛ y 8 = 5,760 log ⎜⎜ f ⎝ d 50

tomando γ s = 25,5 kN·m −3 y γ = 9,81 kN·m −3 y sustituyendo el resto de

Igualando, y teniendo en cuenta que la granulometría es uniforme d50 = d y

variables

que R ≈ y ≈ h

9,81h ⋅ 0,025 = 0,056(25,5 − 9,81)d

d = 0,2790h

(1)

Por otro lado, d y h pueden relacionarse mediante una ecuación de resistencia al flujo, en este caso la fórmula de Darcy−Weisbach (en función de Q) 8 = f

V Q = gRS A gRS

Dado que, en caso de sección hidráulicamente ancha: R ≈ y ≈ h y A ≈ b·h

26 m  

Sustituyendo en la fórmula de Darcy−Weisbach

Q 8 = 3/ 2 f h b gS Si se calcula el factor de fricción mediante una fórmula de tipo logarítmico (López y Barragán, 2008)

h

3/ 2

Q ⎛h⎞ = 5,760 log⎜ ⎟ + 1,722 b gS ⎝d ⎠

(2)

Sustituyendo la ecuación (1)

h

3/ 2

h

3/ 2

Q h ⎛ ⎞ = 5,760 log⎜ ⎟ + 1,722 b gS ⎝ 0,2790h ⎠ Q = 4,915 b gS

Despejando h ⎛ ⎞ Q ⎟ h = ⎜⎜ ⎟ b gS 4 , 915 ⎝ ⎠

h≈y≈R

 

⎞ ⎟⎟ + 1,722 ⎠

2/3

⎛ ⎞ 100 ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 4,915 ⋅ 26 ⋅ 9,81 ⋅ 0,025 ⎠

2/3

= 1,357 m

Según la ecuación (1), el valor de d será

d = 0,2790 h = 0,2790 ⋅ 1,357 = 0,379 m Comprobación de la hipótesis adoptada al asumir flujo hidráulicamente rugoso ( τ *c = τ c /(γ s − γ )d = 0,056 ) Re * =

V* d

ν

118

 

La veelocidad de cortee (V*) se puede calcular para sección hidráulicaamente

1

V* =

gRS ≈

ghS =

9 ,81 ⋅ 1,357 ⋅ 0,025 = 0,577 m·s −1

Sustittuyendo Re * =

V* d

ν

=

0,577 ⋅ 0,379 = 2218333 10 − 6

τ* = τ (γs−γ)−1d−1 (−)

anchaa como

Sedimen nto en movimientto 0,1

119 Sedim mento en reposo

Por lo o tanto, dado qu ue se verifica quue el flujo es hiidráulicamente rugoso r (Re* > 70) se da por p válida la relación τ *c = τ c /(γ s − γ ) d = 0,056 0 y tambiién el cálculo sub bsiguiente.

0,01 1

10

1000

1000

10000

1000000

Re* (−) Figura 1. Diagram ma de Shields parra material granuular (no cohesivo o).

En la figura 1 se ha representado r el ppunto de coorden nadas (Re*, τ*) igual i a 333, 0,056), corrrespondiente al uumbral del mov vimiento del pro oblema (2183 resuellto. En la prácctica, para la inmensa mayoríía de problemaas con materrial granular Ree* >> 70. Por ello, es prácticca habitual obv viar la comprobación de quee el flujo es hiddráulicamente ru ugoso (tal y como se procederá en el resto de problemas dee la presente coleección).

 

 

Solución

Problema 45 Considérese un tramo de río de montaña de sección hidráulicamente ancha con 75 m de anchura y pendiente longitudinal 6,8 m·km−1. Respecto a la distribución del tamaño del sedimento del lecho se dispone del histograma representado en el figura adjunta. Calcúlese el valor del caudal en régimen permanente y flujo uniforme para el que la tensión de corte ejercida por la corriente duplique a la resistencia de las partículas de sedimento. Aplíquese la fórmula de Darcy−Weisbach para el cálculo de la resistencia al flujo.

La fórmula de Darcy−Weibach en función del caudal (Q) 8 = f

En caso de sección hidráulicamente ancha: R ≈ y ≈ h y A ≈ b·h

8 Q = 3/ 2 f h b gS Despejando Q

Muestra retenida (%)

Q= 50

36

10

12

9

75 m 8 3/ 2 h b gS f

(López, 2005)

30 20

h≈y≈R

Si se calcula el factor de fricción mediante una fórmula de tipo logarítmico

43

40

V Q = gRS A gRS

⎛ R ⎞ 8 ⎟⎟ + 2,9 = 5,3 log⎜⎜ f ⎝ d 50 ⎠

Sustituyendo (teniendo en cuenta que R ≈ y ≈ h)

0

6-23

23-64 64-128 128-512 Tamaño (mm)

⎛ ⎞ ⎛ h ⎞ ⎟⎟ + 2,9 ⎟⎟h 3 / 2 b gS Q = ⎜⎜ 5,3 log⎜⎜ ⎝ d 50 ⎠ ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ ⎛ h ⎞ ⎟⎟ + 2,9 ⎟h 3 / 2 75 9,81 ⋅ 0,0068 Q = ⎜⎜ 5,3 log⎜⎜ ⎟ ⎝ d 50 ⎠ ⎠ ⎝

 

120

 

⎛ ⎞ ⎛ h ⎞ ⎟⎟ + 2,9 ⎟h 3 / 2 Q = 19,37⎜⎜ 5,3 log⎜⎜ ⎟ ⎝ d 50 ⎠ ⎝ ⎠

Puesto que la sección se trata como hidráulicamente ancha, es indistinto considerar la tensión de corte media en la sección o la tensión de corte máxima en el lecho

En función de la información granulométrica suministrada, se ha optado por aproximar el valor de d50 por el de dm (calculado en la tabla 1).

τ l = γhS ≈ τ = γRS Por otro lado, la tensión crítica del sedimento se calculará aplicando la 121 fórmula de Meyer−Peter y Müller (1948)

Tabla 1. Cálculo de dm.

τ = 0,047(γ − γ )d m c

Clase di Δi di Δi (mm) (mm) (%) (mm·%) 6−23 14,5 9 131 23−64 43,5 36 1566 64−128 96,0 43 4128 128−512 320,0 12 3840 ∑ 9665

dm =

∑d Δ ∑Δ i

i

i

=

9665 = 96,65 mm = 0,09665 m 100

s

Sustituyendo ambas ecuaciones en τ l = 2τ c

γhS = 2 ⋅ 0,047(γ − γ )d m s

h=

2 ⋅ 0,047(γ s − γ )d m γS

Despejando h y sustituyendo

h=

2 ⋅ 0,047(9,81( 2,65 − 1))0,09665 = 2,20 m 9,81 ⋅ 0,0068

A efectos de comprobación El valor de h debe cumplir con la condición impuesta a la relación entre la

τ l = γhS = 9,81 ⋅ 2,20 ⋅ 0,0068 = 0,147 kN·m −2

tensión de corte ejercida por el flujo en el lecho (τl) y la resistencia de las

τ = 0,047 (γ − γ ) d m c

= 0,047 ( 9,81( 2,65 − 1)) 0,09665 = 0,074 kN·m − 2

partículas de sedimento (τc), es decir,

τ l = 2τ c

 

s

Por último, Q será

 

⎛ ⎞ ⎛ 2,20 ⎞ 3/ 2 3 −1 Q = 19,37 ⎜⎜ 5,3 log ⎜ ⎟ + 2,9 ⎟⎟ 2,20 = 640,2 m ·s . 0 , 09665 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

122

 

 

Solución

Problema 46 En un canal de laboratorio, que cuenta con mecanismos para variar su

Dado que las márgenes no se deberán tener en cuenta a efectos de fricción

pendiente longitudinal, se han planificado una serie de ensayos con el

(lo que equivale a sección hidráulicamente ancha)

objetivo de investigar la resistencia al flujo de un lecho de gravas (en

P≈T

régimen permanente y uniforme). El canal es de sección rectangular de 60

h≈y≈R

cm de anchura. Durante los experimentos el lecho se hallará cubierto de

En este caso se adoptará h como variable definitoria de la profundidad.

sedimento granular no cohesivo (con d84 = 29 mm, d90 = 30 mm y γs/γ = 2,65). Los márgenes del canal son de vidrio, pero no se deberán

Por otro lado, se tomará

tener en cuenta a efectos de fricción (P ≈ T). En algunos de los ensayos se

γ = 9810 N·m−3

requiere que el lecho sea fijo, es decir, que las partículas permanezcan en

γs = 2,65·9810 = 25996,5 N·m−3.

reposo. En este sentido, para un caudal de 50 l·s−1, determínese el valor que debe darse a la pendiente longitudinal del canal de modo que la

En primer lugar, se establecerá la relación requerida entre la tensión de

tensión resistente de las partículas triplique el valor de la tensión de corte

corte máxima en el lecho y la tensión crítica del sedimento del lecho

máxima ejercida por el flujo en el lecho.

τ c = 3τ l τ c = 0,029 (γs − γ ) d84 τ l = γhS Sustituyendo 0,029(γs − γ )d 84 = 3γhS Despejando S

 

123

 

S=

0,029(γs − γ )d 84 3γh

Sustituyendo y operando S=

0,029( 25996,5 − 9810)0,029 = 4,63 ⋅ 10− 4 h −1 3 ⋅ 9810h

(1)

h≈y≈R

Si (P ≈ T = b)

60 cm

Calculando el coeficiente de Manning con la fórmula de Meyer−Peter y Müller (1948), resulta 1/ 6

n=

d90 0,0301 / 6 = = 0,021 26 26

Sustituyendo

 

⎛ 3,19 ⋅ 10 − 6 ⎞ ⎟ h = ⎜⎜ −4 ⎟ ⎝ 4,63 ⋅ 10 ⎠

124 3/ 7

= 0,1185 m

S = 4,63 ⋅ 10−4 h −1 = 4,63 ⋅ 10−40,1185−1 = 0,00390 m·m−1.

1 V = R 2 / 3 S 1/ 2 n

1 (bh )5 / 3 1 / 2 Q= S n b2 / 3

4,63 ⋅ 10 −4 h −1 = 3,19 ⋅ 10 −6 h −10 / 3

Despejando h

resistencia al flujo, en este caso la fórmula de Manning

1 A5 / 3 1 / 2 S n P2 / 3

(2)

Igualando el miembro derecho de las ecuaciones (1) y (2)

Por otro lado, S y h pueden relacionarse mediante una ecuación de

Q=

2

2

⎛ 0,05 ⋅ 0,021 ⎞ ⎛ Qn ⎞ − 6 −10 / 3 S = ⎜ 5/3 ⎟ = ⎜ ⎟ = 3,19 ⋅ 10 h 5/3 0 , 6 bh h ⎝ ⎠ ⎠ ⎝

 

Solución

Problema 47 Un cauce prismático trapecial simétrico (de 15 m de base y ángulo del

El Factor de Seguridad de las márgenes (FSm) (en función de la tensión de

talud de 1V: 1,75H) de pendiente longitudinal de 0,008 m·m−1 se

corte máxima) será

encuentra revestido con partículas de 20 cm de diámetro, 39º de ángulo de

FSm =

rozamiento interno y peso específico de 24 kN·m−3. Determínese el factor de seguridad de las márgenes evaluado en función de la tensión de corte máxima actuante cuando circulan 300 m3·s−1 en flujo uniforme.

τ cm τm

125

La tensión crítica de las partículas en las márgenes

τ cm = τ c cos λ 1 −

tan 2 λ tan 2 θ

La tensión crítica del lecho granular, mediante la fórmula de Shields

τ c = 0,056(γs − γ )d = 0,056( 24 − 9,81)0,2 = 1,59 ⋅ 10 −1 kN·m −2 El ángulo de inclinación de las márgenes (λ) z = 1,75

λ = arctan(1 / z ) = arctan(1 / 1,75) = 29,74 º

1

λ z

El ángulo de rozamiento interno θ = 39 º

Sustituyendo

τ cm = 1,59 ⋅ 10 −1 cos 29,74 º 1 −

 

tan 2 29,74 = 9,78 ⋅ 10 − 2 kN·m − 2 2 tan 39

 

T

La ten nsión de corte máxima m en las máárgenes

τ m = 0,75γhS = 0,75 ⋅ 9,81h ⋅ 0,008 = 5,89 ⋅ 10 −2 h h

z

b

126

A( h ) = bh + zh 2 = 15h + 1,75h 7 2

P(h) = b + 2h 1 + z 2 = 15 + 2h 1 + 1,752 = 15+ 4,03h zh

El callado máximo en n la sección se puuede calcular ap plicando la fórm mula de Mann ning

h

⎞ ⎛ 1 A( h ) ⎜⎜ S 1 / 2 ⎟⎟ − Q = 0 2/3 ⎠ ⎝ n P(h ) 5/ 3

Calcu ulando el coeficieente de Manningg mediante la fórrmula de Strickller 1/ 6 d 1 / 6 0,2 n= = = 0,036 21,1 21,1

La geeometría hidráuliica de una seccióón trapecial siméétrica en función n de h

ustituyendo Su 2 5/3 ⎛ 1 (15 ⎞ ) 0,008 5 h + 1 , 75 h ⎜ 0 1 / 2 ⎟ − 300 = 0 2 / 3 ⎜ 0,036 (15 + 4,03h ) ⎟ ⎝ ⎠

h = 3,27 m Su ustituyendo

τ m = 1,92 ⋅ 10 1 −1 kN·m−2

 

1

λ z

Iteerando

1

λ

 

FS m =

τ cm 9,78 ⋅ 10 −2 = = 0,51 τ m 1,92 ⋅ 10 −1

El valor del FSm es inferior a 1, lo que significa que para las condiciones especificadas en el enunciado, las partículas no permanecerían en reposo. 127

 

 

Solución

Problema 48 Sea un cauce de pendiente longitudinal 3·10−5, sección trapecial simétrica de contorno móvil (erosionable) constituido por partículas granulares de

La condición de inicio o umbral del movimiento de las partículas del lecho

τl = τc

(1)

1,5 mm de diámetro, cuyo ángulo de rozamiento interno es de 30º y su

La condición de inicio o umbral del movimiento de las partículas de las

densidad relativa de 2,6. Determínese el ángulo de inclinación de las

márgenes

márgenes de modo que tanto las partículas situadas en el lecho como en las márgenes cumplan simultáneamente la condición de inicio del movimiento (umbral del movimiento).  

128

τ m = τ cm

(2)

La ecuación (2) se puede expresar en función de las tensiones en el lecho si se tiene en cuenta

τ m = 0,75τ l

                   

 

Por otra parte, de la relación de tensiones críticas

τ cm = cos λ 1 −

tan 2 λ sen 2λ τ = 1 − τc c tan 2 θ sen 2θ

Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación (2)

 

0,75τ l = 1 −

sen 2λ τc sen 2θ

(3)

La ecuación (3) es una versión de la ecuación (2), por lo tanto expresa la condición de inicio del movimiento de las partículas de las márgenes. Para que la ecuación (3) sea equivalente a la ecuación (1) (que expresa la condición de inicio del movimiento de las partículas del lecho) se debe cumplir 0,75 = 1 −

sen 2 λ sen 2θ

De esta última ecuación puede obtenerse el valor del ángulo de las márgenes (λ) de modo que tanto las partículas situadas en el lecho como en las márgenes cumplan simultáneamente la condición de inicio del movimiento. Despejando λ

λ = arcsen (1 − 0,752 )sen 2θ Sustituyendo el valor de θ y operando

λ = arcsen (1 − 0,752 )sen 2 30º = 19,31º = 0,337 rad.    

 

 

129

 

So olución

Pro oblema 49 Sea un u tramo de cau uce de pendientte longitudinal 0,01 0 m·m−1 y seección

Laa condición corrrespondiente al diámetro mínim mo necesario parra que no

transv versal de geomeetría trapecial assimétrica (véase la figura adjuntta). Se

accontezca movimiiento es la condiición de inicio o umbral del mo ovimiento.

deseaa dimensionar un n revestimiento granular de graanulometría unifforme,

Diicha condición para p cada segmen nto del perímetroo es

constiituido por partícculas de roca ressultado de trituraación (cuyo ángulo de

Leecho (1)

rozam miento interno es de 43º y ρs / ρ = 2,5 ). Diccho revestimien nto se

τl = τc

dispon ndrá circundand do todo el perím metro de la secciión, de modo qu ue será

τc =1,0 τl

el miismo para todass sus partes. Ell caudal de disseño es de 20 m3·s−1 supon niendo flujo un niforme. Para dichas condicio ones, determíneese el

A partir de la ecuaación anterior see obtendría un diámetro d1.

diámeetro mínimo neecesario de diccho revestimien nto de modo qu ue no aconteezca el movimieento de partículas en ningún seegmento del períímetro

τ m 2 = τ cm 2

mojad do. Exprésese el resultado en mm m.

φ φ = 0,41 rad

h 8m

ψ ψ = 27 7,8º

       

 

M Margen izquierdo (2)

130

 

ϕ = 0,41 rad = 23,49 º

Margen derecho (3)

tan 23,49 º = 0,435

τ m 3 = τ cm3

cos 23,49 º = 0,917

ψ = 27,80º

z2 = cot 23,49º = 1 / 0,435 = 2,30

tan 27,80º = 0,527

El ángulo de rozamiento interno: θ = 43 º

cos 27,80º = 0,885

tan 43º = 0,933

z3 = cot 27,80º = 1 / 0,527 = 1,90

τ cm 2 tan 2 ϕ 0,435 2 = cos ϕ 1 − = 0 , 917 1 − = 0,811 τc tan 2 θ 0,933 2

τ cm 3 tan 2 ψ 0,527 2 = cos ψ 1 − = 0 , 885 1 − = 0,730 τc tan 2 θ 0,933 2

0,75τ l = 0,811τ c

0,75τ l = 0,73τ c

A partir de la ecuación anterior se obtendría un diámetro d2.

τc = 0,92 τl

A partir de la ecuación anterior se obtendría un diámetro d3.

τc = 1,03 τl

La ecuación anterior muestra un cociente inferior a 1. Ello que indica que

La ecuación anterior muestra un cociente superior 1. Ello indica que el

el margen izquierdo requiere un diámetro menor que el lecho (d2 < d1). Es

margen derecho requiere un diámetro mayor que el lecho (d2 < d1 < d3). Es

decir, que si se fija un valor de d2 para el revestimiento, el valor del factor

decir, que si se fija un valor de d3 para el revestimiento, el valor del factor

de seguridad (FS) para el margen izquierdo sería de 1,00, mientras que

de seguridad (FS) para el margen derecho sería de 1,00, mientras que para

para el lecho sería sólo de 0,92 (dando lugar a movimiento de partículas

el lecho sería de 1,03 (dando lugar a la estabilidad de partículas del lecho).

del lecho). En conclusión, dado que el revestimiento debe ser el mismo para todo el perímetro, el diámetro debe determinarse para el segmento más  

131

 

desfavorable (es decir, el segmento que requiera un diámetro mayor: el

Por otro lado, h puede calcularse a partir de una ecuación de resistencia al

mayor de d1, d2 y d3). A partir de la comparación de las ecuaciones de

flujo, por ejemplo, la fórmula de Manning. En este caso se añade la

equilibrio tensional, el segmento más desfavorable corresponde al margen

dificultad de que el coeficiente de Manning (n) no tiene un valor fijo sino

derecho (d2 < d1 < d3)

que depende de d (por lo tanto, h dependerá del valor de d). Puesto que, a su vez, d depende de h (como ha quedado establecido en el equilibrio 132

d2 φ φ = 0,41 rad

h 8m

d1

d3

tensional: d = 0,122h), se da una relación de causalidad circular entre las ψ

dos variables. En consecuencia, la aplicación de la fórmula de Manning

ψ = 27,8º

supone la obtención de una segunda ecuación que relaciona d y h

d3 = d

V=

0,75τ l = 0,73τ c

1 A5 / 3 1 / 2 Q= S n P2/3

Sustituyendo 0,75γhS = 0,73 ⋅ 0,056 (γ s − γ ) d

1 A5 / 3 1 / 2 S −Q = 0 n P2/3

Despejando d

0,75γhS d= 0,73 ⋅ 0,056(γ s − γ ) Sustituyendo d=

0,75 ⋅ 1 ⋅ h ⋅ 0,01 0,73 ⋅ 0,056( 2,5 − 1)

d = 0,122h

 

1 2 / 3 1/ 2 R S n

La geometría hidráulica de una sección trapecial de márgenes asimétricos

z2h 1

φ

z2

z3h h

h 8m

ψ

1

z3  

A = bh +

1 1 2 h (z 2 + z 3 ) = 8h + h 2 (2,3 + 1,9 ) = 8h + 2,10 h 2 2 2

 

(

)

(

)

P = b + h 1 + z22 + 1 + z32 = 8 + h 1 + 2,32 + 1 + 1,9 2 = 8 + 4,66h El coeficiente n de Manning depende del diámetro de las partículas, aplicando la fórmula de Strickler

d 1/ 6 n= 21 Al sustituir la relación entre d y h obtenida en el equilibrio tensional

d = 0,122h d 1 / 6 (0,122h )1 / 6 n= = = 0,03355h1 / 6 21 21 Sustituyendo la ecuación anterior en la fórmula de Manning, queda h como única incógnita 1 A( h ) 5 / 3 1 / 2 S −Q = 0 n(h ) P(h ) 2 / 3 1 (8h + 2,10 h 2 ) 5 / 3 0,011/ 2 − 20 = 0 0,03355h1/ 6 (8 + 4,66h ) 2 / 3

2,98 (8h + 2,1 h 2 ) 5 / 3 − 20 = 0 h1 / 6 (8 + 4,66h ) 2 / 3

Iterando h = 0,850 m y, por lo tanto d = 0,104 m = 104 mm.

 

133

 

Solución

Problema 50 Considérese un tramo de canal excavado en el terreno y sin revestir. El

a) Ángulo de inclinación de las márgenes

trazado de dicho canal tendrá una pendiente longitudinal de 3,15·10–5

Ángulo de rozamiento interno: θ = 28º

m·m–1, su sección transversal será trapecial simétrica y el caudal de diseño

z = cot 28º = 1 / tan 28º = 1 / 0,532 = 1,88

es de 15 m3·s–1 (suponiendo flujo uniforme). De un estudio geotécnico del

Para aumentar la estabilidad de las partículas de las márgenes debe

terreno se conoce que su ángulo de rozamiento interno es de 28º y que el

disminuirse el ángulo respecto al valor de θ

valor de d50 y d84 es de 1,5 y 2,4 mm, respectivamente. Determínense la

z ' = FS ⋅ z = FS ⋅ cot 28º = 1,20 ⋅ 1,88 = 2,26

anchura de la base de la sección y la profundidad a la que habrá que

El ángulo de las márgenes será

excavar dicha base, si se deben cumplir de forma concurrente las

λ = arccot 2,26 = 23,9º

siguientes condiciones: (a) el factor de seguridad (FS) de la cotangente del z’

ángulo que forma la margen del canal con la horizontal debe ser del 20%; 1

(b) el FS del calado máximo en la sección debe ser del 15% respecto a la tensión máxima de dimensionado (supuesta una distribución tensional no

θ

λ

z z’

uniforme); (c) el resguardo (incremento de la profundidad del canal) para evitar desbordamientos de flujo tendrá un FS del 10% respecto al calado resultado del punto (b). Dibújese un esquema de la sección transversal del

b) Calado máximo y ancho de la base

canal acotando tanto la geometría hidráulica como la construida. Es

Equilibrio de tensiones en el lecho

imprescindible presentar todos los cálculos en el Sistema Internacional de

τl =τc

unidades.

τc =1 τl

 

λ λ = 23,9º

1

134

 

Equilibrio de tensiones en las márgenes

τ m = τ cm τ cm tan 2 23,9 º = cos 23,9 º 1 − = 0,51 τc tan 2 28 º

Sustituyendo en función de las tensiones en el lecho 0,75τ l = 0,51τ c

τc = 1,47 τl

0,75τ l = 0,51τ c Sustituyendo 0,75γhS = 0,51 ⋅ 0,029(γ s − γ )d 84 Tomando γ = 9,81 kN·m −3 y γ s = 26 kN·m −3 y sustituyendo 0,75 ⋅ 9,81 ⋅ h ⋅ 3,15 ⋅ 10−5 = 0,51 ⋅ 0,029( 26 − 9,81)( 2,4 / 1000) Despejando h = 2,46 m Para aumentar la seguridad de las partículas en las márgenes el calado máximo permitido h’ debe ser inferior a h, por lo tanto, aplicando el factor de seguridad indicado h ' = 2,46(1 − 0,15) = 2,09 m

λ

2,09 m

Dado que el terreno es homogéneo, resulta más desfavorable la ecuación correspondiente al equilibrio tensional en las márgenes. En efecto, la

λ = 23,9º

última ecuación muestra que, para que una partícula situada en la margen

El ancho de la sección resulta de aplicar la fórmula de Manning

permanezca en reposo (relación de tensiones igual a 1), se requiere que en

(imponiendo el calado de la sección mojada h’ = 2,09 m)

el lecho la relación de tensiones sea igual a 1,47. Por lo tanto, tomando la ecuación más desfavorable para el dimensionado  

⎛ 1 A( b ) 5 / 3 1 / 2 ⎞ ⎜⎜ S ⎟⎟ − Q = 0 2/3 ⎝ n P (b ) ⎠

135

 

La geometría de una sección trapecial simétrica

c) Profundidad de excavación Para disminuir la probabilidad de desbordamiento del flujo, la profundidad

A(b) = bh '+ z ' h ' 2 = 2,09b + 2,26 ⋅ 2,09 2 = 2,09b + 9,87

de excavación (h”) debe ser superior al calado (h’). Aplicando el factor de

P ( b ) = b + 2 h ' 1 + z ' 2 = b + 2 ⋅ 2,09 1 + 2,26 2 = b + 10,33

seguridad de resguardo resulta

T

h" = 2,09(1 + 0,10) = 2,30 m

Finalmente el esquema de la sección dimensionada será

h b

λ z’

1

λ λ = 23,9º

Al aplicar la fórmula de Strickler para el cálculo del coeficiente de Manning resulta 1/ 6

d 50 0,0151 / 6 n= = = 0,016 21,1 21,1

⎛ 1 ( 2,09b + 9,87)5 / 3 ⎞ ⎜⎜ (3,15 ⋅ 10− 5 )1 / 2 ⎟⎟ − 15 = 0 2/3 ⎝ 0,016 (b + 10,33) ⎠

Iterando

b = 10,72 m

 

136

2,09 m

10,72 m

2,30 m

 

Solución

Problema 51 La pendiente longitudinal de un río de montaña con lecho de material grueso (tamaño canto) es del 1,43%. El diámetro medio aritmético del

a.- Número de Shields (o tensión de corte adimensional) (τ*)

R=

sedimento es 15 cm. Para la sección mojada de la figura adjunta, determínese el valor del número de Shields y del número de Einstein aplicando la fórmula de Wong y Parker.

P = 10,5 m

Suponiendo ρs/ρ = 2,65

τ* =

A = 3,67 m2

A 3,67 = = 0,350 m P 10,5

γRS 9,81 ⋅ 0,35 ⋅ 0,0143 = = 0,0202 (γ s − γ )d m 9,81( 2,65 − 1)0,15

b.- Número de Einstein (o transporte de fondo adimensional) (q*) Según la fórmula de Wong y Parker (2006) q* = 4,93(τ * − 0,0470)1,60 Dado que τ * = 0,0202 < 0,047 no se supera el umbral de movimiento del sedimento y q* = 0 . Es decir, que debe interpretarse que no se da el transporte de sedimento.

 

137

 

Solución

Problema 52 En el marco de una investigación sobre el transporte de sedimento en el curso bajo del río Ebro, se han llevado a cabo una serie de registros hidrométricos en un tramo del río a su paso por la población de Móra d’Ebre. La pendiente longitudinal del cauce en dicho tramo es de 8,5·10−4

Si se aplica la fórmula de Meyer−Peter y Müller (1948) 2/3

(n n') γRS − 0,047 0,25 = (γs − γ )dm (γs − γ )dm 3/ 2

138

Despejando qsp

m·m−1, el diámetro medio aritmético del sedimento del lecho es de 26 mm y su densidad es de 2600 kg·m−3. Para uno de los registros instantáneos el

1/ 3

⎛ qsp(γs − γ ) ⎞ ⎛ γ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ γs ⎝ ⎠ ⎝g⎠

q sp

1/ 3 ⎛ ⎛ (n n ' )3 / 2 γ RS ⎞ ⎛ g ⎞ (γ s − γ ) d m ⎞⎟ ⎜ ⎜ = − 0,047 ⎟⎟ ⎜ ⎟ 0,25 ⎟⎠ γ s − γ ⎜⎝ ⎜⎝ (γ s − γ ) d m ⎠⎝ γ ⎠

γs

3/2

radio hidráulico alcanzó un valor de 3,80 m. Para dicho registro,

Dado que se trata de un tramo de río con lecho de grava y no se informa

determínese la capacidad de transporte de sedimento (carga de fondo) por

del efecto de las formas de fondo sobre la tensión de corte media ejercida

unidad de ancho (tanto en peso como en volumen).

por el flujo se supondrá (n/n’) = 1. Además, si se toma γs = ρs·g = 2600·9,81 = 25506 N·m−3 ≈ 25,5 kN·m−3, y se sustituyen el resto de variables

qsp =

25,5 25,5 − 9,81

1/ 3 ⎛ ⎛ 1 ⋅ 9,81 ⋅ 3,80 ⋅ 8,5 ⋅ 10 − 4 ⎞⎛ 9,81 ⎞ ( 25,5 − 9,81)0,026 ⎞⎟ ⎜ ⋅ ⎜⎜ − 0,047 ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ( 25,5 − 9,81)0,026 ⎟ 9 , 81 0,25 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Operando

qsp = 1,625((0,078 − 0,047 )1,632 )

3/ 2

 

= 0,0182 kN·s −1·m −1

3/ 2

 

El caudal sólido (carga de fondo) unitario en volumen

qsv = qsp / γ s = 0,0182/ 25,5 = 7,14·10−4 m3·s−1·m−1 Si se aplica la fórmula de Wong y Parker (2006)

τ* =

γRS 9,81 ⋅ 3,80 ⋅ 8,5·10 −4 = = 0,0777 (γ s − γ )d m ( 25,5 − 9,81)0,026

Dado que el valor de τ* (tensión de corte adimensional o número de Shields) es superior a 0,0470, en este caso se supera el umbral del movimiento del sedimento. El caudal (carga de fondo) volumétrico adimensional por unidad de ancho (q*) será q* = 4,93(τ * − 0,0470)1,60 = 4,93(0,0777 − 0,0470)1,60 = 0,0187 Por último, el caudal (carga de fondo) volumétrico por unidad de ancho qsv = q* ((γ s / γ ) − 1) gd m d m = 0,0188 (( 25,5 / 9,81) − 1)9,81 ⋅ 0,026 0,026

qsv = 3,10 ⋅ 10 −4 m 3·s −1·m −1 El caudal sólido (carga de fondo) unitario en peso

qsp = qsvγ s = 3,10 ⋅ 10−4 ⋅ 25,5 = 7,92 ⋅ 10−3 kN·s−1·m −1 .

 

139

 

Solución

Problema 53 En un canal de laboratorio, que cuenta con mecanismos para variar su

a.- Dado el elevado valor de la pendiente longitudinal del cauce, una de las

pendiente longitudinal, se han planificado una serie de ensayos con el

fórmulas aplicables para el cálculo de la capacidad de transporte de fondo

objetivo de investigar el transporte de sedimento de fondo (en condiciones

es la de Smart y Jaeggi (1983)

de flujo uniforme y equilibrio de transporte sólido). El canal es de sección rectangular de 60 cm de anchura. Los márgenes del canal son de vidrio, pero no se deberán tener en cuenta a efectos de fricción (P ≈ T). Durante los experimentos el flujo líquido se alimentará con sedimento granular no cohesivo (d30 = 19 mm, d50 = 22,2 mm, dm = 22,8 mm, d84 = 28,8 mm, d90 = 30,5 mm, γs/γ = 2,57 y ángulo de rozamiento interno de 40,5º). Calcúlese la capacidad de transporte de sedimento (carga de fondo) por unidad de ancho (tanto en volumen como en peso) de un caudal de 60 l·s−1 si la pendiente longitudinal del canal se fija en un 9%. Aplíquese la fórmula de Darcy−Weisbach para el cálculo de la resistencia al flujo.

0, 2

⎛ d 90 ⎞ ⎛ τ ((γ s / γ ) − 1) d m ⎞ ⎟⎟ q S 1,6 ⎜⎜1 − *c ⎜⎜ qsv = ⎟⎟ ((γ s / γ ) − 1) ⎝ d 30 ⎠ yS ⎝ ⎠ 4

⎛ tan α ⎞ τ *c = 0,05 cos α ⎜⎜1 − ⎟ tan β ⎟⎠ ⎝ El calado normal (y) de una sección rectangular, mediante las fórmulas de Darcy−Weisbach y de López et al. (2009)

⎧⎛ 8 ⎞1 / 2 V QP1 / 2 Q (b + 2h )1 / 2 = 3/ 2 = ⎪⎜⎜ ⎟⎟ = gRS A gS (bh ) 3 / 2 gS ⎪⎝ f ⎠ ⎨ 1/ 2 ⎛ y ⎞ ⎪⎛ 8 ⎞ ⎪⎜⎜ f ⎟⎟ = 5,36 log⎜⎜ d ⎟⎟ + 2,87 ⎝ 50 ⎠ ⎩⎝ ⎠ Al despreciar la fricción de los márgenes, la sección se considera hidráulicamente ancha y se adoptan las siguientes aproximaciones geométricas P ≈T R≈ y≈h

A ≈ b·h

 

h≈y≈R 60 cm

140

 

⎧⎛ 8 ⎞1 / 2 QP1 / 2 Qb1 / 2 Q = = 3/ 2 ⎪⎜⎜ ⎟⎟ = 3 / 2 3/ 2 A gS (bh ) gS bh gS ⎪⎝ f ⎠ ⎨ 1/ 2 ⎛ h ⎞ ⎪⎛ 8 ⎞ ⎪⎜⎜ f ⎟⎟ = 5,36 log⎜⎜ d ⎟⎟ + 2,87 ⎝ 50 ⎠ ⎩⎝ ⎠ Igualando el miembro derecho de ambas ecuaciones y sustituyendo Q bh 3 / 2

⎛ h ⎞ ⎟⎟ + 2,87 = 5,36 log⎜⎜ d gS ⎝ 50 ⎠

0,060 ⎛ h ⎞ − 5,36 log⎜ ⎟ − 2,87 = 0 3/ 2 0,6h 9,81 ⋅ 0,09 ⎝ 0,0222 ⎠ Iterando se obtiene el valor del calado

Asimismo, α = arctan(0,09) = 5,14º (puesto que S = tanα = 0,09) y β = 40,5º por lo tanto, 0,09 ⎞ tan 5,14º ⎞ ⎛ ⎛ = 0,05 cos 5,14º ⎜1 − ⎟ = 0,05 ⋅ 0,996⎜1 − ⎟ = 0,045 tan 40,5º ⎠ ⎝ 0,854 ⎠ ⎝

Sustituyendo

 

qsv = 4,46 ⋅10 −3 m 3·s −1·m −1 El valor de la carga de fondo en peso y por unidad de ancho

q sp = q sv γ s = 4 , 46 ⋅ 10 − 3 ⋅ 2 ,57 ⋅ 9 ,81 = 0,112 kN·s − 1 ·m − 1

b.- Asimismo, dado el elevado valor de la pendiente longitudinal del cauce, otra de las fórmulas aplicables para el cálculo de la capacidad de transporte de fondo es la de Rickenmann (1990). El caudal crítico unitario

1, 67

⎛γ ⎞ qc = 0,065⎜ s − 1⎟ ⎝γ ⎠

1,5 −1,12 g 0,5d50 S

Sustituyendo

qc = 0,065(2,57 − 1)

1, 67

9,810,50,02221,50,09 −1,12

Operando 0, 2

qsv =

ancho

de inicio del movimiento del sedimento es

h = y = 0,071 m

τ *c

Operando resulta el valor de la carga de fondo en volumen y por unidad de

4 ⎛ 0,0305 ⎞ ⎛ 0,06 ⎞ 1, 6 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0,09 (2,57 − 1) ⎝ 0,0190 ⎠ ⎝ 0,6 ⎠ ⎛ 0,045 ( 2,57 − 1) 0,0228 ⎞ ⋅ ⎜1 − ⎟ 0,071 ⋅ 0,09 ⎝ ⎠

qc = 2,12 ⋅ 10 −2 m 3·s −1·m −1 La carga de fondo en volumen y por unidad de ancho es 0, 2

⎛d ⎞ ⎞ ⎛γ qsv = 12,6⎜⎜ 90 ⎟⎟ (q − qc )S 2,0 ⎜ s − 1⎟ ⎠ ⎝γ ⎝ d30 ⎠

−1,6

141

 

Sustituyendo 0, 2

⎛ 0,0305 ⎞ −1, 6 2,0 qsv = 12,6⎜ ⎟ (0,10 − 0,0212)0,09 (2,57 − 1) ⎝ 0,0190 ⎠

Operando

⎛d Q sv = 4,45 ⎜⎜ 90 ⎝ d 30

⎞ ⎟⎟ ⎠

0, 2

⎛ S 1,5 ⎜ 1 − ⎛⎜ Q c ⎞⎟ (γ s / γ ) − 1 ⎜ ⎝Q ⎠ ⎝

El valor de la carga de fondo en peso y por unidad de ancho q sp = q sv γ s = 4 ,29 ⋅ 10 − 3 ⋅ 2 ,57 ⋅ 9 ,81 = 0,108 kN·s − 1 ·m − 1

⎞ ⎟Q ⎟ ⎠

Sustituyendo ⎛ 0,0305 ⎞ Q sv = 4,45 ⎜ ⎟ ⎝ 0,0190 ⎠

qsv = 4,29 ⋅ 10−3 m 3·s −1·m −1

0 , 375

0,2

0 , 375 ⎞ 0,091,5 ⎛⎜ ⎛ 8,64 ⋅ 10 − 3 ⎞ ⎟0,06 ⎟ 1 − ⎜⎜ ⎟ 2,57 − 1 ⎜ ⎝ 6,00 ⋅ 10 − 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠

Operando Q sv = 2,61 ⋅ 10 −3 m 3 ·s −1

La carga de fondo volumétrica por unidad de ancho es c.- De igual modo, dado el elevado valor de la pendiente longitudinal del cauce, otra de las fórmulas aplicables para el cálculo de la capacidad de transporte de fondo es la de Lefort. El caudal crítico de inicio del

q sv = Q sv / b = 2,61 ⋅ 10 −3 /0,6 = 4,35 ⋅ 10 −3 m 3 ·s −1·m −1

El valor de la carga de fondo en peso y por unidad de ancho es q sp = q sv γ s = 4 ,35 ⋅ 10 − 3 ⋅ 2 ,57 ⋅ 9 ,81 = 0 ,110 kN·s − 1 ·m − 1

movimiento del sedimento es 8/ 3

⎛γ ⎞ 8/ 3 Qc = 0,0776⎜⎜ s − 1⎟⎟ S −13/ 6 (1 − 1,2 S ) g d m5   γ ⎝ ⎠

Nótese que los resultados de las tres fórmulas aplicadas son muy similares. Ello es debido, en parte, a que las bases de datos experimentales de ajuste

Sustituyendo

de las tres ecuaciones son coincidentes en porcentajes significativos.

Qc = 0,0776(2,57 − 1) 0,09−13 / 6 (1 − 1,2 ⋅ 0,09) 8/3

Operando Qc = 8,64 ⋅ 10 −3 m 3·s −1 La carga de fondo volumétrica es

 

8/3

9,81⋅ 0,02285

142

 

Solución

Problema 54 Sea un tramo de un río de gravas cuya pendiente longitudinal es de 5,8

Para resolver el problema es necesario conocer el valor de diferentes

m km–1 y su anchura de 37 m (con P ≈ T). Del sedimento del lecho se sabe

percentiles granulométricos y del diámetro medio aritmético. Su cálculo se

que su ángulo de rozamiento interno es de 35º y que ρs/ρ = 2,65. Además,

muestra en las tablas 1 y 2, así como en la figura 1. 143

a partir de su análisis granulométrico, se dispone de la información mostrada en la tabla adjunta. Aplicando la fórmula de Smart y Jaeggi, determínese el caudal sólido de fondo (en masa y por unidad de ancho) cuando la tensión de corte media ejercida por la corriente en la sección sea el triple que la tensión resistente del sedimento. Supóngase flujo uniforme y que la disponibilidad de sedimento no limita el transporte sólido.

Diámetro Nº partículas (mm) menores 6 33 9 52 17 81 28 146 38 211 53 273 70 309 95 325

Tabla 1. Distribución de frecuencias de tamaño. Diámetro Nº partículas Nº partículas (mm) menores menores (%) 6 33 10 9 52 16 17 81 25 28 146 45 38 211 65 53 273 84 70 309 95 95 325 100 De la representación en un gráfico semilogarítmico de la primera y de la última columna de la tabla 1 se obtiene la curva granulométrica de la figura 1. Por interpolación gráfica, de dicha curva se obtiene d90 ≈ 60 mm d84 = 53 mm d30 ≈ 20 mm.

 

Muestra más fina (%)

 

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Tabla 2. Cálculo del diámetro medio aritmético. Clases di (mm) (mm) 0−6 3,0 6−9 7,5 9−17 13,0 17−28 22,5 28−38 33,0 38−53 45,5 53−70 61,5 70−95 82,5

1

10 Diámetro (mm)

100

dm =

i =1 n

i

∑Δ i =1

(mm·%) 30,0 45,0 117,0 450,0 660,0 864,5 676,5 412,5 ∑3255,5

144

n

n

i =1

i =1

d m = ∑ d i Δ i / ∑ Δ i = 3255,5 / 100 ≈ 326 mm Por imposición del enunciado, la tensión de corte media ejercida por la corriente en la sección (τ) debe ser el triple que la tensión resistente del

n

∑d Δ

diΔi

El diámetro medio o media aritmética de la distribución será

Figura 1. Curva granulométrica de la muestra de sedimento. El diámetro medio aritmético (dm) se calcula como

Δi (%) 10 6 9 20 20 19 11 5 ∑ 100,0

i

sedimento (τc)

τ = 3τ c

i

(1)

denotando di el diámetro intermedio de la clase i, Δi la frecuencia de la

La tensión media ejercida por el flujo en una sección hidráulicamente

muestra en dicha clase i (en %) y n el número total de clases. En la tabla 2

ancha

se expone la aplicación de la fórmula anterior para cada clase de tamaño.

 

τ = γRS ≈ γyS

 

Por otro lado, en la fórmula de Smart y Jaeggi (1983), los términos que representan la comparación entre la tensión de corte media ejercida por el flujo y la tensión crítica del sedimento (umbral del movimiento) pueden escribirse como

1−

τ *c ((γ s / γ ) − 1) d m yS

=1−

τc τ

Imponiendo la ecuación (1) 1−

1 2 τc τ =1− c =1− = 3τ c τ 3 3

Para determinar el caudal líquido (Q) se requiere previamente calcular el valor del calado medio (y), mediante la relación de tensiones (ecuación (1))

γyS = 3τ *c (γ s − γ )d m En la fórmula de Smart y Jaeggi, la tensión de corte crítica adimensional o

Sustituyendo

γyS = 3 ⋅ 0,050(γ s − γ )d m Despejando y

y =3

0,050(γ s − γ )dm γS

145

Sustituyendo y operando

y =3

0,050 ⋅ 9,81(2,65 − 1)0,0326 = 1,38 m 9,81⋅ 0,0058

El caudal líquido correspondiente a dicho calado, puede obtenerse aplicando la fórmula de Darcy−Weisbach (al suponer flujo uniforme) para sección hidráulicamente ancha (P ≈ T) 8 = f

V Q = gRS A gRS

Dado que, en caso de sección hidráulicamente ancha: R ≈ y ≈ h y A ≈ b·h

número de Shields crítico ( τ *c ) se calcula

h≈y≈R

⎛ tan α ⎞ τ *c = 0,05 cos α ⎜1 − ⎟ tan β ⎠ ⎝

38 m

Siendo tanα = 0,0058, cosα =1 y β = 35º ⎛ 0,0058 ⎞ τ *c = 0,05 ⋅ 1,000⎜1 − ⎟ = 0,050 0,70 ⎠ ⎝

 

Sustituyendo en la fórmula de Darcy-Weisbach Q 8 = 3/ 2 f y b gS

 

Si se calcula el factor de fricción mediante una ecuación de tipo logarítmico para ríos de grava (López et al. (2008)) ⎛ 12 y ⎞⎛ 0,1 ⋅ 1,77d 84 ⎞ 8 ⎟⎟⎜1 − = 5,46 log⎜⎜ ⎟ f y ⎠ ⎝ 1,77d 84 ⎠⎝

Igualando el miembro izquierdo de ambas ecuaciones y despejando Q ⎛ 12 y ⎞⎛ 0,1 ⋅ 1,77d 84 ⎞ 3 / 2 ⎟⎟⎜1 − Q = 5,46 log⎜⎜ ⎟ y b gS y ⎠ ⎝ 1,77d 84 ⎠⎝

Sustituyendo

0, 2

qsv =

4 0,050 ( 2,65 − 1) 0,0326 ⎞ ⎛ 0,06 ⎞ ⎛ 150 ⎞ 1, 6 ⎛ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 0,0058 ⎜1 − (2,65 − 1) ⎝ 0,02 ⎠ ⎝ 38 ⎠ 1,38 ⋅ 0,0058 ⎠ ⎝

Operando se obtiene la capacidad de transporte sólido de fondo en volumen y por unidad de ancho

qsv = 2,05 ⋅ 10 −3 m 3 s −1 m −1 La capacidad de transporte sólido de fondo en masa y por unidad de ancho

qsp = qsv ρ s = 2,05 ⋅ 10−3 ⋅ 2,65 ⋅ 1000 = 6,63 kg s −1 m −1 .

⎛ 12 ⋅ 1,38 ⎞ Q = 5,46 log⎜ ⎟ ⎝ 1,77 ⋅ 0,053 ⎠ ⎛ 0,1 ⋅ 1,77 ⋅ 0,053 ⎞ 3/ 2 ⋅ ⎜1 − ⎟1,38 38 9,81 ⋅ 0,0058 1,38 ⎝ ⎠ Operando

Q = 179,0 m3 s−1 Aplicando la fórmula de Smart y Jaeggi 0, 2

⎛ d 90 ⎞ ⎛ 0,047 ((γ s / γ ) − 1) d m ⎞ ⎟⎟ q S 1,6 ⎜1 − ⎜⎜ qsv = ⎟ ((γ s / γ ) − 1) ⎝ d 30 ⎠ yS ⎠ ⎝ 4

Suponiendo que todo el ancho del cauce es activo para la carga de fondo (q = Q/b) y sustituyendo 0, 2

4 ⎛ 0,06 ⎞ ⎛ 179 ⎞ 1, 6 ⎛ 2 ⎞ qsv = ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 0,0058 ⎜ ⎟ (2,65 − 1) ⎝ 0,02 ⎠ ⎝ 38 ⎠ ⎝ 3⎠  

También puede calcularse como

Puesto que la capacidad de transporte sólido de fondo no se encuentra limitada por la disponibilidad de sedimento, este último valor coincide con el caudal sólido de fondo.

146

 

Solución

Problema 55 En un tramo de cauce de sección rectangular de 15 m de ancho y pendiente

Según las coordenadas indicadas y teniendo en cuenta que cauce tiene un

longitudinal de 0,09, el sedimento del lecho, cuyo peso específico es de 27

ancho de 15 m, el hidrograma continuo de la avenida se muestra en la

kN·m–3, presenta la curva granulométrica adjunta. En dicho tramo se ha

figura 1.

construido un dique transversal de retención de sedimento. Considérese una avenida cuyo hidrograma triangular viene determinado por las

1,25

acarreo una vez retenido aguas arriba del dique (porosidad en deposición 20%) y (b) el peso del acarreo retenido aguas arriba del dique. Debe trabajarse con un incremento temporal de 0,25 h. 90 Muestra más fina (%)

1,00 0,75 0,50 0,25

100

0,00

80

0,0

70 60 50

0,5

1,0

1,5

2,0 t (h)

2,5

3,0

3,5

4,0

Figura 1. Hidrograma continuo de avenida.

40 30

Dado que las fórmulas de capacidad de transporte sólido de fondo son,

20

generalmente, de aplicación en régimen permanente, debe transformarse el

10 0 1

 

Q (m3·s−1)

siguientes coordenadas tiempo (h) y q (m3·s–1·m–1): (0, 0), (2, 0,10), (4, 0). En relación con dicha avenida, calcúlese: (a) el volumen ocupado por el

147

1,50

10

100 Diámetro (mm)

1000

hidrograma continuo (representado en la figura 1) en una sucesión temporal de flujos permanentes de 0,25 horas de duración (figura 2).

  1,50

Según la fórmula de Lefort (1991), el caudal crítico de inicio del

1,41 1,41 1,22

1,22

Q (m3·s−1)

1,03 1,00

movimiento (Qc) es 1,03

0,84

0,84

0,66

0,66

0,47

0,50

⎞ ⎛γ Qc = 0,0776 ⎜⎜ s − 1⎟⎟ ⎠ ⎝γ

0,28

0,09

0,09 3,75-4,00

3,50-3,75

3,25-3,50

3,00-3,25

2,75-3,00

2,50-2,75

2,25-2,50

2,00-2,25

1,75-2,00

1,50-1,75

1,25-1,50

1,00-1,25

0,75-1,00

0,50-0,75

0,25-0,50

0,00-0,25

0,00

t (h)

Figura 2. Hidrograma de avenida de bloques.

Los percentiles granulométricos necesarios se obtienen de la curva granulométrica

d90 ≈ 0,46 m d50 ≈ 0,12 m d30 ≈ 0,063 m.

 

S −13 / 6 (1 − 1,2 S )

8/3

g d m5

Tomando d50 como aproximación de dm y sustituyendo

0,47

0,28

8/3

⎛ 27 ⎞ Q c = 0,0776 ⎜ − 1⎟ ⎝ 9,81 ⎠

8/3

0,09 −13 / 6 (1 − 1,2 ⋅ 0,09 )

8/3

148

9,81 ⋅ 0,12 5

Operando resulta Q c = 0,74 m 3 ·s −1

De acuerdo con la fórmula de Lefort, el caudal sólido neto (sin huecos) de cada bloque (en volumen) ⎛d Q sv = 4,45 ⎜⎜ 90 Q ⎝ d 30

⎞ ⎟⎟ ⎠

0,2

⎛ S 1,5 ⎜ 1 − ⎛⎜ Q c ⎜Q (γ s / γ ) − 1 ⎜⎝ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

0 , 375

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Sustituyendo ⎛ 0,46 ⎞ Q sv = 4,45 ⎜ ⎟ ⎝ 0,063 ⎠

0,2

0 , 375 ⎛ ⎞ 0,09 1,5 ⎜ 1 − ⎛⎜ 0,74 ⎞⎟ ⎟Q ⎜ Q ⎟ ⎟ ( 27 / 9,81) − 1 ⎜⎝ ⎝ ⎠ ⎠

Operando Q sv

⎛ = 0,102 ⎜ 1 − ⎜ ⎝

⎛ 0,74 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Q ⎠

0 , 375

⎞ ⎟Q ⎟ ⎠

 

Al sustituir Q para cada bloque se obtiene el valor de Qsv (tabla 1). Nótese

El volumen bruto, contabilizando los huecos, se obtiene sabiendo que la

que para aquellos valores de Q inferiores a Qc (en este caso 0,74 m3·s−1) el

porosidad es del 20% Vb = Vs /(1 − po ) = Vs /(1 − 0,20) = 124,6 / 0,80 = 155,8 m 3

valor de Qsv debe ser 0.

El peso del sólido será Tabla 1. Caudal sólido para cada bloque. Intervalo (h) Q (m3·s−1) 0,00−0,25 0,094 0,25−0,50 0,281 0,50−0,75 0,469 0,75−1,00 0,656 1,00−1,25 0,844 1,25−1,50 1,031 1,50−1,75 1,219 1,75−2,00 1,406 2,00−2,25 1,406 2,25−2,50 1,219 2,50−2,75 1,031 2,75−3,00 0,844 3,00−3,25 0,656 3,25−3,50 0,469 3,50−3,75 0,281 3,75−4,00 0,094

P = Vsγ s = 124,6 ⋅ 27 = 3364,3 kN . Qsv (m3·s−1) − − − − 0,004 0,013 0,021 0,031 0,031 0,021 0,013 0,004 − − − − Σ 0,138

El volumen neto (sin huecos) será

Vs = ∑Qsvi Δti = Δt ∑Qsvi = 0,25 ⋅ 60 ⋅ 60 ⋅ 0,138 = 124,6 m3

 

149

 

Solución

Problema 56 Sea un tramo de torrente con pendiente longitudinal del 16% y una anchura de 15 m (R ≈ y). En el figura 1 se muestra la distribución del tamaño de sedimento del lecho (ρs/ρ = 2,5). En dicho tramo se ha construido un dique transversal de retención de sedimento. Supóngase que en el citado tramo acaece una crecida cuyo hidrograma se representa en la figura 2. Calcúlese (a) el volumen ocupado (aguas arriba del dique) por el acarreo de la avenida si la porosidad es del 30% y (b) el peso del acarreo de la avenida.

40

56

44 32 20

16

20

48

Qsv =

4

((γ s / γ ) − 1)

(d 90

⎛ τ ((γ s / γ ) − 1) d m ⎞ 0, 2 d 30 ) Q S 1,6 ⎜⎜1 − *c ⎟⎟ yS ⎝ ⎠

siendo ⎝

24

tan α ⎞ ⎟ tan β ⎟⎠

El cálculo de las variables granulométricas necesarias, d90, d30 y dm, se ha

12

representado en las tablas 1 y 2 y en la figura 3. 724-980

512-724

362-512

256-362

128-256

64-128

32-64

16-32

Tabla 1. Cálculo de la distribución granulométrica.

Figura 1. Distribución del tamaño del sedimento. 15

12

5

8 5

3

4

3

0,3

2 40-45

35-40

30-35

25-30

20-25

15-20

10-15

5-10

0-5

0

1 0,5 0,2

Tiempo (minutos)

Figura 2. Hidrograma de bloques de la avenida.

55-60

6

50-55

10

45-50

Q (m3·s−1)

es la de Smart y Jaeggi (1983)

τ *c = 0,05 cos α ⎜⎜1 −

Tamaño (mm)

 

fórmulas aplicables para el cálculo de la capacidad de transporte de fondo

⎛

48

0 8-16

Nº de partículas

60

Dado el elevado valor de la pendiente longitudinal del cauce, una de las

Clase Partículas (mm) retenidas

8−16 16−32 32−64 64−128 128−256 256−362 362−512 512−724 724−980

32 16 20 12 24 44 56 48 48 ∑ 300

Partículas Tamaño Partículas retenidas (mm) menores (%) (%) 10,7 8 0 5,3 16 10,7 6,7 32 16,0 4,0 64 22,7 8,0 128 26,7 14,7 256 34,7 18,7 362 49,3 16,0 512 68,0 16,0 724 84,0 980 100,0 Σ 100

150

 

De la representación en un gráfico semilogarítmico de las dos últimas

El diámetro medio aritmético (dm) se calcula como

columnas de la tabla 1 se obtiene la curva granulométrica de la figura 3.

n

dm =

De dicha curva se obtiene: d90 ≈ 800 mm y d30 ≈ 170 mm.

∑d Δ i

∑Δ i =1

100

i

denotando d i el diámetro intermedio de la clase i, Δi la frecuencia de la 151

90 Muestra más fina (%)

i

i =1 n

80

muestra en dicha clase i (en %) y n el número total de clases. En la tabla 2

70

se expone la aplicación de la fórmula anterior para cada clase de tamaño.

60 50

Tabla 2. Cálculo del diámetro medio aritmético.

40

Clases di (mm) (mm) 8−16 12 16−32 24 32−64 48 64−128 96 128−256 192 256−362 309 362−512 437 512−724 618 724−980 852

30 20 10 0 1

10

100 Diámetro (mm)

1000

Figura 3. Curva granolumétrica de la muestra de sedimento del lecho.

Δi (%) 10,7 5,3 6,7 4,0 8,0 14,7 18,7 16,0 16,0 ∑ 100,0

diΔi

(mm·%) 128,0 128,0 320,0 384,0 1536,0 4532,0 8157,3 9888,0 13632,0 ∑ 38705

El diámetro medio o media aritmética de la distribución será n

n

i =1

i =1

d m = ∑ d i Δ i / ∑ Δ i = 38705/ 100 ≈ 387 mm

 

 

Para obtener el valor de la profundidad media de la corriente (y) puede

El transporte sólido de fondo para el bloque i será

aplicarse la fórmula de Manning

Qsv i

1 V = R 2 / 3 S 1/ 2 n

siendo

1 A5 / 3 1 / 2 Q= S n P2/3

⎛

τ *c = 0,05 cos α ⎜⎜1 − ⎝

Si la sección es hidráulicamente ancha (R ≈ y ≈ h y P ≈ b)

Q=

5/ 3

5/ 3

1b y n b2 / 3

S 1/ 2

β (ángulo de rozamiento interno del sedimento) igual a 39º. Asimismo, α =

h≈y≈R 3/ 5

15 m

El coeficiente n de Manning puede calcularse con la fórmula de Ho y Huang (1992), preferible para ríos de fuerte pendiente y baja sumersión relativa d 90 0,751 / 6 = = 0,060 16 16

3/5

⎛ Q ⋅ 0,06 ⎞ =⎜ 1/ 2 ⎟ ⎝ 15 ⋅ 0,16 ⎠

⎛ ⎝

τ *c = 0,05 cos 9,1º ⎜1 −

tan 9,1º ⎞ ⎛ 0,16 ⎞ ⎟ = 0,040 ⎟ = 0,05 ⋅ 0,987⎜1 − tan 39º ⎠ ⎝ 0,81 ⎠

Sustituyendo el resto de variables 0, 2

Qsv i

0,040 (2,5 − 1) 0,387 ⎞ 4 ⎛ 0,80 ⎞ 1, 6 ⎛ ⎟ = ⎜ ⎟ Qi 0,16 ⎜⎜1 − (2,5 − 1) ⎝ 0,17 ⎠ 0,0632Qi3 / 5 0,16 ⎟⎠ ⎝

⎛ 2 ,296 ⎞ Q sv i = 0,194 Q i ⎜⎜ 1 − 3 / 5 ⎟⎟ Qi ⎠ ⎝

Sustituyendo ⎛ Qn ⎞ y = ⎜ 1/ 2 ⎟ ⎝ bS ⎠

arctan(0,16) = 9,1º (puesto que S = tanα = 0,16), por lo tanto,

Operando

1/ 6

n=

tan α ⎞ ⎟ tan β ⎟⎠

Teniendo en cuenta el tamaño del sedimento, puede adoptarse un valor de

Despejando y ⎛ Qn ⎞ y = ⎜ 1/ 2 ⎟ ⎝ bS ⎠

0, 2

⎛ τ ((γ s / γ ) − 1) d m ⎞ ⎛ d 90 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ Qi S 1,6 ⎜⎜1 − *c ⎜⎜ = ((γ s / γ ) − 1) ⎝ d 30 ⎠ yi S ⎠ ⎝ 4

3/5

= 0,0632 Q 3 / 5

El resultado de aplicar la ecuación anterior a cada bloque se muestra en la tabla 3. Nótese que para aquellos valores de Qi para los que no se supera el umbral del movimiento del sedimento el valor de Qsi es nulo.

 

152

 

Tabla 3. Cálculo del caudal sólido de fondo. Bloque Intervalo t Q (min) (m3·s−1) 1 0−5 0,3 2 5−10 3,0 3 10−15 6,0 4 15−20 8,0 5 20−25 12,0 6 25−30 5,0 7 30−35 4,0 8 35−40 3,0 9 40−45 2,0 10 45−50 1,0 11 50−55 0,5 12 55−60 0,2

y Qsv (m) (m3·s−1) 0,031 − 0,122 − 0,185 0,252 0,220 0,528 0,281 1,123 0,166 0,122 0,145 0,001 0,122 − 0,096 − 0,063 − 0,042 − 0,024 − Σ 2,026

El volumen neto ocupado por el sedimento transportado por la avenida (sin contabilizar los huecos)

Vs = ∑Qsvi Δti = Δt ∑Qsvi = 5 ⋅ 60⋅ 2,026 = 607,9 m3 El volumen bruto, contabilizando los huecos (volumen ocupado una vez retenido el sedimento), sabiendo que la porosidad es del 30%

Vb = Vs /(1 − po ) = 607,9 /(1 − 0,30) = 868,4 m 3 El peso del sedimento transportado por la avenida P = Vsγ s = 607,9 ⋅ 2,5 ⋅ 9,81 = 14908 kN.

 

153

 

Solución

Problema 57 Considérese un tramo de cauce perteneciente a un ancho río de gravas de

En este caso, dado el valor de la pendiente longitudinal y el tamaño del

la Columbia británica (oeste de Canadá). La pendiente longitudinal del

sedimento, puede aplicarse la fórmula de Wong y Parker (2006).

cauce es del 0,045% y el valor del diámetro medio aritmético del sedimento del lecho es de 15 mm. En dicho tramo el calado medio (y en

Si se comienza el cálculo por el mes más caudaloso (junio)

m) viene dado por la ecuación y = 1,36Q 0,0894 (Q en m3·s−1); mientras que

y = 1,36Q 0,0894 = 1,36 ⋅ 90000,0894 = 3,07 m

el ancho del flujo (T en m) viene dado por la ecuación: T = 72,8Q 0,2681

T = 72,8Q 0,2681 = 72,8 ⋅ 90000, 2681 = 836,1 m

(Martin y Ham, 2005). En la figura adjunta se muestra el hidrograma de un

Aplicando la fórmula de Wong y Parker, suponiendo sección

año completo con un incremento temporal mensual. Calcúlense el volumen

hidráulicamente ancha (R ≈ y)

y el peso de la carga de fondo para dicho hidrograma. 10

9,0

Q (103 m3·s−1)

8

Shields) es superior a 0,0470, en este caso se supera el umbral del

6,5 5,5 3,5

4

movimiento del sedimento. Sustituyendo q* = 4,93(τ * − 0,0470)1,60 = 4,93(0,0558 − 0,0470)1,60 = 0,002533

3,0 2,0

2,5 1,0

0,9 0,8 0,8 F

M

A

M

J

J

A

Tiempo (mes)

 

El caudal sólido de fondo en volumen y por unidad de ancho será q sv = q* ((γ s / γ ) − 1) gd m d m

0 E

γRS 9,81 ⋅ 3,07 ⋅ 0,00045 = = 0,0558 (γ s − γ )d m ( 26 − 9,81)0,015

Dado que el valor de τ* (tensión de corte adimensional o número de

8,5

6

2

τ* =

S

O

N

D

Sustituyendo q sv = 0,002533 (( 26 / 9,81) − 1)9,81 ⋅ 0,015 ⋅ 0,015 −1

154

 

El volumen neto (sin huecos) total acarreado por la avenida

Operando resulta q sv = 1,872 ⋅ 10 −5 m 3·s −1·m −1

12

VsT = ∑Vsi = 153422m3 i =1

El caudal sólido de fondo en volumen

El peso total acarreado por la avenida

Q sv = q sv T = 1,872 ⋅ 10 −5 ⋅ 836,1 = 1,57 ⋅ 10 −2 m 3·s −1

PT = VsT γ s = 153422·26 = 3988970 kN = 406623 tf.

El volumen de sedimento (transporte de fondo) durante el mes de junio V s = Q sv t = 1,57 ⋅ 10 −2 ⋅ 30 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 = 40574 m 3

El peso de sedimento (transporte de fondo) durante el mes de junio Ps = Vsγ s = 40574·26 = 1054920 kN = 107535 tf El resultado del cálculo para todos los meses se muestra en la tabla 1.

Tabla 1. Cálculo mensual del transporte sólido de fondo. Mes E F M A M J J A S O N D

 

Q (m3·s−1) 900 800 800 3500 6500 9000 8500 5500 3000 2000 2500 1000

y (m) 2,50 2,47 2,47 2,82 2,98 3,07 3,05 2,94 2,78 2,68 2,74 2,52

T (m) 451,0 437,0 437,0 649,1 766,3 836,1 823,4 732,7 622,8 558,6 593,1 463,9

τ* (-) 0,045 0,045 0,045 0,051 0,054 0,056 0,056 0,053 0,051 0,049 0,050 0,046

qsv (m3·s−1·m−1)

Qsv (m3·s−1)

Vs (m3)

− − −

− − −

− − −

7,99·10−4 1,84·10−3 2,53·10−3 2,40·10−3 1,52·10−3 6,00·10−4 1,96·10−4 3,96·10−4

3,83·10−3 1,04·10−2 1,57·10−2 1,46·10−2 8,23·10−3 2,76·10−3 8,08·10−4 1,74·10−3

9939 27866 40574 39173 22047 7159 2164 4500

−

−

−

155

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