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PROBLEMAS TEMA 4: EVALUACIÓN DE INVERSIONES 1. Una persona recibe una pensión anual de 1.000€ durante 10 años. Calcular el valor actual y el valor final de esa renta, suponiendo que el interés es un 12%. 2. Calcula cuanto tiempo tiene que pasar para que cualquier capital se duplique si el tipo de interés es del 4%. 3. Si invertimos 100€ en una imposición a plazo fijo al 4% anual ¿cuál será el valor neto de la inversión después de 5 años teniendo en cuenta que Hacienda nos cobra un 20% de impuestos sobre los intereses? Si la inflación estimada es del 2,4% anual, ¿en qué porcentaje ha crecido la inversión en términos reales? 4. Si recibiremos un premio de 1.000€ dentro de un año y el tipo de interés nominal hoy es del 4% y la inflación del 1,8%, calcular el poder adquisitivo del premio a día de hoy. 5. ¿A qué tipo de interés anual devengado anualmente corresponde un interés del 5% anual devengado mensualmente? ¿A qué tipo de interés mensual devengado mensualmente equivale un interés del 5% anual devengado mensualmente? ¿A qué tipo de interés semestral devengado mensualmente equivale un interés del 12% anual devengado mensualmente? ¿A qué tipo de interés semestral devengado trimestralmente equivale un 12% anual devengado semestralmente? 6. Se compra una máquina a crédito por 5.000€ a amortizar en 4 años con un interés del 12%. Construir el cuadro de amortización del préstamo si hay anualidades constantes. 7. Un cliente pide a una entidad financiera un préstamo hipotecario de 5.000.000€, a 3 años, al 3% de interés anual pagadero en tres veces al año. Al final del primer año se modificaron los intereses, que se incrementan hasta un 6%. Al acabar el segundo año el cliente realizó una amortización parcial anticipada de 1.000.000€ sin comisión de cancelación. a) Elaborar la tabla de amortización si se modifica el plazo. b) Elaborar la tabla de amortización si se modifica la cuota. 8. Una empresa solicita un préstamo de 100.000€ a 5 años al 2% en cuotas trimestrales. Existe una comisión de apertura y de cancelación del 1%. En la cuarta cuota se cancela completamente el préstamo. a) Elabora la tabla de amortización del préstamo si se utiliza el sistema americano. b) Plantea la ecuación con la que calcularías la TAE trimestral del préstamo sin comisiones y con comisiones. ¿Cómo calcularías el coste efectivo anual? c) ¿Cuál sería el coste anual si se amortiza en la quinta cuota? d) Repite los cálculos con el sistema alemán y compara los resultados. 9.

Observa la siguiente tabla de amortización de un préstamo en cuotas semestrales a un 4% anual, en el que la amortización de capital es arbitraria. ¿Puedes decir sin hacer ningún cálculo cuál será la TAE semestral (devengado semestralmente)? Pendiente Intereses Amortización Cuota 100.000,00 € 2.000,00 € 50.000,00 € 52.000,00 € 50.000,00 € 1.000,00 € 25.000,00 € 26.000,00 € 25.000,00 € 500,00 € 10.000,00 € 10.500,00 € 15.000,00 € 300,00 € 14.000,00 € 14.300,00 € 1.000,00 € 20,00 € 1.000,00 € 1.020,00 €

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10. Un famoso delantero de fútbol acaba de firmar un contrato de 15.000.000€; 3.000.000€ al año durante 5 años (comienza a cobrar dentro de un año). Un defensa menos famoso firmó uno de 14.000.000€ en cinco años, 4.000.000€ ahora y 2.000.000€ durante 5 años. a) ¿Cuál es el mejor pagado si el tipo de interés es del 10%? b) ¿Depende la respuesta del tipo de interés? 11. Calcula el tipo efectivo anual de un depósito a seis meses al 6% anual, capital e intereses pasan a una cuenta al 2% anual con intereses pagaderos mensualmente durante año y medio. ¿Cuál sería el tipo de interés efectivo anual REAL si la inflación el primer año fue de un 2% y el segundo de un 3%? 12. Considera el siguiente producto financiero: un depósito a seis meses al 6% anual, en el que SOLO el capital pasa a una cuenta a plazo al 3% anual devengado trimestralmente durante el resto del primer año. Pasado ese primer año SOLO el capital pasa a una cuenta durante otro año al 3% anual pagado trimestralmente. La inflación es del 1% y el 2% en cada año a) Indica la ecuación con la que calcularías la rentabilidad nominal de la combinación. b) Indica la ecuación con la que calcularías la rentabilidad real. 13. Considera un préstamo que se amortiza por el sistema alemán de 24.000€, al 3% anual devengado mensualmente durante 20 años. a) Realiza la tabla de amortización para los CUATRO primeros meses. b) Sin hacer ningún cálculo contesta a las siguientes preguntas: si en la cuota 100 se amortiza todo el capital pendiente en ese momento, ¿cuál ha sido el coste de la financiación? ¿cómo será dicho coste si se amortiza en la 200 en lugar de en la 100? 14. Si los bonos a 10 años del estado Español tuvieran un nominal de 1.000€ y un interés del 5%. Si tienes la posibilidad de comprar en el mercado secundario a un precio de 950€ un paquete de bonos a los que les faltan cinco años para llegar al vencimiento, ¿cuál será la rentabilidad anual que obtendrás? ¿Y si los intereses se pagaran semestralmente? 15. Calcula la rentabilidad de las siguientes inversiones, teniendo en cuenta que el tipo impositivo sobre la renta es del 20%: A. Se compran acciones a 5€ cada una y se venden 1.000 días después a 7€. Se han tenido que pagar 0,1€ por acción en concepto de comisiones a la compra y 0,2€ en la venta y se ha recibido 0,5€ por acción en concepto de dividendos a la hora de vender. B. Calcula además la rentabilidad en términos nominales y reales, teniendo en cuenta que la inflación del año 2013 y siguientes es del 0,8%, 1% y 1,2%, respectivamente: a) b) c)

El 10/01/2013 se compran acciones por 10.000€, pagando comisiones del 1%. El 25/04/2013 se invierten de nuevo 20.000€ con comisiones del 0,7%. El 15/07/2013 se vende el primer paquete de acciones por 9.500€, con comisiones del 0.7% y se habían cobrado unos dividendos de 500€ el día 30/06/2013.

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d)

El 8/7/2015 se vende el segundo paquete por 21.500€, con comisiones de 100€ y dividendos de 120€ el 30/06/2013, 150€ el 30/06/2014 y 200€ el día 30/06/2015.

16. Una empresa solicita 50.000.000€ a una entidad financiera para realizar un proyecto de inversión. Se la conceden a 10 años, un 10% de interés anual pagadero semestralmente, comisiones de apertura y cancelación del 1%. La empresa tiene la intención de cancelar parcialmente la hipoteca al finalizar el primer año y reducir el plazo a un año más, de forma que la duración real de la hipoteca sea de dos años. a) Calcula la cuota de amortización del préstamo indicando claramente cómo lo haces. b) ¿Qué cantidad tiene que amortizar al final del primer año para que la cuota que paga en el segundo año sea aproximadamente de 12.000.000€? c) Realiza la tabla de amortización del préstamo teniendo en cuenta la amortización anticipada d) ¿Cuál es la TAE anual de este préstamo, teniendo en cuenta la amortización anticipada? 17. Un proveedor de ordenadores cobra a sus clientes 1.000€ por cada ordenador marca ACME si los clientes pagan al mes, mientras que hace un descuento de 10% si le pagan al contado. Calcula el coste anual del crédito comercial de este comerciante minorista. 18. Un proyecto de inversión consiste en un desembolso inicial de 50.000€ y unos flujos netos de caja de 20.000, 20.000 y 25.000 durante 3 años. Estimamos que la tasa de descuento es del 10%. Determinar el VAN y compararlo cuando la tasa de descuento es el 15%. Determina la TIR. Si estimamos que la inflación es del 1% en los tres años, ¿cuál es la TIR descontando la inflación? ¿Y si la inflación fuera 1%, 1,5% y 2%, respectivamente? 19. Analizar la conveniencia de dos proyectos de inversión (consistentes en la compra de sendas máquinas), cuyos BDI son los que aparecen en la siguiente tabla y sabiendo que la tasa de descuento adecuada es el 10%: AÑOS PROYECTO A PROYECTO B

0 -1.000 -1.700

1 260 340

2 240 340

3 200 340

4 160 340

5 100 340

Utilizar método de amortización lineal o cuotas fijas, teniendo en cuenta que el valor residual en ambas máquinas es 0. 20. Una empresa se enfrenta a la compra de una máquina que generará los pagos y cobros operativos de la tabla y que tiene un valor residual de 750€. Sin realizar ningún cálculo responde a las siguientes preguntas: ¿qué método de amortización dará el VAN mayor, el de números dígitos crecientes o decrecientes? ¿Es igual tu respuesta si consideramos un impuesto del 30% sobre el beneficio? Tasa de descuento del 5%. Año 0 1 2 3 4

Cobros 1.200 1.200 1.400 1.400

Pagos 3.000 200 200 200 200

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4

5

1.700

200

21. Calcula la duración de un proyecto de inversión que tiene un VAN de 6.000€ a una tasa de descuento del 10%, una inversión inicial de 4.000€ y unos flujos de caja anuales de 1.000€. ¿Cuál es la TIR del proyecto? 22. Una empresa se plantea invertir 140.000.000€ en instalaciones. La planta tiene una vida de 6 años, recuperándose el 10% del valor de las instalaciones (utilizar amortización por números dígitos decrecientes). Los impuestos son el 40% sobre los beneficios y el coste de capital el 13%. Los cobros y pagos anuales (en millones) son: Año Cobros Pagos 1 60 30 2 65 30 3 70 45 4 80 50 5 90 50 6 100 60 Calcular el VAN, TIR, el plazo de recuperación y la tasa de VAN. 23. Una empresa va a comprar una máquina por valor de 800€. Se supone que se depreciará en 5 años y su valor residual será de 500€, aunque se vende por 400€. Aparte de esta compra, el proyecto de inversión conlleva unos pagos operativos de 180€ todos los años y unos cobros de 400€. Existe un impuesto del 15% y la tasa de descuento es del 5%. a) Evalúa el proyecto y di si es realizable. b) Compara los resultados asumiendo que la mitad de la inversión se va a financiar con un préstamo solicitado a un banco a cuatro años con un interés del 8% anual en cuotas anuales. c) ¿Es mejor utilizar financiación ajena o no? ¿Qué dato del problema podrías cambiar para que te resultara indiferente? 24. Una empresa desea incorporar maquinaria nueva a sus instalaciones. Dicha maquinaria cuesta 100.000€. La mitad de la maquinaria se financiará mediante un préstamo por el que se hipoteca un edificio por valor de 50.000.000€. La financiación es a 2 años, al 4% de interés anual pagadero semestralmente con cuotas alemanas y con comisiones de apertura y cancelación del 1%. a) Calcula la cuota y la tabla de amortización del préstamo hipotecario. La maquinaria en cuestión tiene un período de vida de 4 años con un valor residual de 10.000€. b) Realizar la tabla de amortización de la maquinaria mediante el método de los números índices crecientes. Sabiendo que la empresa se encuentra gravada con un 35% por el impuesto de sociedades y que del proyecto de inversión se derivan los siguientes cobros y pagos operativos anuales: Año Cobros Pagos

1 36.000 5.000

2 36.000 0

3 36.000 5.000

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4 36.000 0

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c) Calcula el cash-flow en cada año. Tener en cuenta tanto los pagos financieros como no financieros. d) Evalúa y di si resulta rentable el proyecto. 25. Una empresa está considerando dos proyectos de inversión excluyentes a 10 años. Los pagos y cobros operativos para cada período son: Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cobros A 1.000 1.000 1.200 1.200 1.500 1.500 2.500 2.500 3.200 3.200

Pagos A 500 500 400 400 300 300 300 300 300 300

Cobros B 1.800 1.800 2.000 2.000 2.500 2.700 2.700 2.700 3.500 3.500

Pagos B 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200

La inversión inicial total en el proyecto A es de 5.000€, mientras que para el proyecto B es de 9.000€. Parte de la inversión en el proyecto A es la compra de maquinaria que dura los cinco primeros años del proyecto, por valor de 3.900 que se amortiza por el método de los números dígitos crecientes (con valor residual de 700€). En ambos proyectos será necesario solicitar al final del año 5 un préstamo a un banco para 5 años, por valor de 3.000 € con un tipo de interés del 5% anual pagadero mensualmente y comisión de apertura y cancelación del 1%. El tipo impositivo del impuesto de sociedades es del 30% anual. a) Elabora la tabla de amortización del préstamo. b) Calcula la TAE del préstamo. c) Calcula los flujos de caja de cada periodo para cada proyecto. d) Utiliza los criterios de evaluación de inversiones que consideres oportunos para decidir qué proyecto te parece más adecuado, razonando por qué (tasa de descuento= 5%). 26. Una empresa se encuentra en plena expansión. Estima vender 1.000 unidades el primer año de operación y crecer en un 10% el segundo, el resto hasta los 8 años estima que crecerá al 2% anual. Para ello la empresa debe invertir 300.000€ en maquinaria a la que se estima una vida útil de cinco años, aunque contablemente se deprecia en diez años con valor residual de 30.000€. A los cinco años la vende por su valor residual y compra otra nueva igual. Se estima que la segunda máquina se podrá vender al final de la vida del proyecto por el 200.000€. El producto se venderá a 200€ por unidad durante los tres primeros años, para luego estabilizarse en un 15% superior. Los costes de fabricación son de 80€ por unidad y los costes fijos de 50.000€ anuales los tres primeros años y, a partir del cuarto, a 46.000€. La rentabilidad exigida a la inversión es del 12%. El impuesto de sociedades es del 30%. Estudiar la viabilidad del proyecto sin financiación ajena y con la financiación ajena

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por la que se le concede el 60% del importe de la primera máquina a 5 años, al 5% anual pagado mensualmente, con comisión de apertura y cancelación del 1%. 27. Sea un proyecto de inversión que requiere un desembolso inicial de 10.000 € y que genera los siguientes flujos de caja: 2.000€, 3.000€, 4.000€, 3.000€. La rentabilidad requerida en ausencia de inflación sería un 5 por 100 anual, pero la tasa de inflación anual acumulativa es del 6 por 100. Se desea determinar: a) El VAN de la inversión. b) Si la inversión es, o no, recomendable, según este criterio. c) ¿Podríamos saber si el valor de la TIR es mayor o menor que el 11,3%? 28. Cierta inversión requiere un desembolso inicial de 7.500 € y 1.000€ de flujos durante los 10 años siguientes. ¿Para qué tipos de descuento es recomendable o deja de serlo? Compara el resultado obtenido con el que obtendrías utilizando la siguiente información: El VAN para un tipo de descuento igual a 3% es 1.030,20 € y para un tipo de descuento igual a 7% es -476,42€. 29. La adquisición por unos determinados equipos por una empresa industrial supone un desembolso inicial de 9.500 € Se estima que generará en los 3 años de duración de su vida útil unos flujos netos de caja anuales de 5.000, 2.000 y 5.000 € respectivamente para los años primero, segundo y tercero. Si existe una tasa de inflación del 2% anual acumulativa y la rentabilidad que se le requeriría en ausencia de inflación es del 7%. Calcula el VAN, la TIR, la TIR real y la TIR real si la inflación no fuera constante, es decir, si fuera del 1%, 1,5% y 2% para cada uno de los años. 30. La empresa RISK, S.A. va a realizar una inversión en bienes de equipo cuyo valor de adquisición es de 10.000 € La amortización está prevista en 4 años con un valor residual igual a 2.000 € y es calculada de forma lineal. La empresa dispone de dos opciones en cuanto a la forma de materializar la inversión. Opción A: Para cada uno de los 4 años que dura la inversión se obtienen unos cobros de explotación anuales de 7.000 € y unos pagos de explotación anuales de 3.000 € Opción B: Años Cobros explotación Pagos explotación 1 4.000 1.000 2 5.000 1.000 3 7.000 2.000 4 7.000 1.000 Teniendo en cuenta que el coste del capital es del 8% y que el tipo impositivo del impuesto sobre sociedades es del 35%, determinar cuál es la opción más aconsejable según los criterios del VAN y de la TIR. Nota: En los cobros y pagos de la opción A y B no se han tenido en cuenta los gastos fiscales. 31. Juan Gómez está pensando en comprarse un piso en Ciudad Real. Para comprarse el piso de sus sueños necesita pedir un préstamo de 60.000 €. Después de buscar entre diferentes entidades bancarias ha seleccionado dos bancos con las ofertas más competitivas. El banco A le ofrece los 60.000 € que necesita durante dos años, cobrándole un 5% anual en intereses. Por otro lado, el banco B le cobra unos intereses anuales del 3% y, además una comisión de apertura del 5%. a) Se desea saber cuál es el crédito que tiene menor coste. b) Calcula la tabla de amortización del préstamo más barato.

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32. Dado un cliente que acude a una oficina bancaria para solicitar un crédito a cuatro años por 57.000.000€ para comprarse un modesto apartamento en el cinturón de una capital de provincia. El director de la oficina tiene orden de aplicar una tasa anual equivalente (TAE) del 20% en este tipo de créditos, y de utilizar el sistema de cuotas constantes. Se desea conocer: a) La cuota constante que deberá pagar el cliente si las cuotas son anuales. b) El cuadro de amortización del préstamo. 33. Si en una entidad financiera se efectúa un depósito de 1,5 millones de euros al 10% anual: a) ¿Qué capital se tendrá en 2 años si los intereses se devengan anualmente? b) ¿Y si se devengan semestralmente? c) ¿Cuál será el tipo de interés efectivo anual en el segundo caso? 34. Sea el caso de un préstamo de 1 millón que se amortiza por el sistema alemán. El plazo es a dos años, por trimestralidades y a un interés nominal del 8% anual (2% trimestral). Se pide: a) El cuadro de amortización del préstamo. b) La Tasa Anual Equivalente o tipo de interés efectivo. c) ¿Cuál sería la TAE si existe una comisión de apertura de 2%? 35. Una determinada empresa está considerando la posibilidad de invertir en unos bienes de equipo cuyo valor de adquisición son 90.000 euros. Los cobros y pagos de explotación vienen descritos en la siguiente tabla: Año Cobros explotación Pagos explotación 1 70.000 10.000 2 110.000 10.000 La amortización de estos bienes de equipo está prevista en 2 años y con un valor residual igual a 0. La empresa tiene la posibilidad de utilizar dos formas de calcular la amortización de dichos bienes. a) Mediante la técnica de amortización lineal b) Mediante la técnica de los números dígitos decrecientes Seleccione la técnica de amortización que proporciona un mayor Valor Actual Neto (VAN), donde la tasa de descuento es del 8% y los impuestos son del 35%. 36. AUCLM, S.A. tiene que elegir entre los créditos que puede obtener en el banco A y en el banco B. El primero le ofrece los 2 millones de € que dicha empresa necesita durante dos años, cobrándole un 16% anual. El segundo le cobra unos intereses anuales del 15% y, además, una comisión inicial del 10% por 1 de los 2 millones de € En cualquiera de los dos casos, la devolución del principal del crédito, es decir, de los 2 millones de € ha de efectuarse al final del segundo año, junto con el pago de los intereses correspondientes a este período. Se desea saber cuál es el crédito que tiene menor coste. 37. BUCLM, S.A., ha emitido, a través de un grupo bancario encargado de colocarlas entre sus clientes, 10.000 obligaciones a 5.000€ cada una, a las que pagará un interés del 3% trimestral durante dos años, al final de los cuales las amortizará por su valor de emisión. El grupo bancario le ha cobrado una comisión, por la intermediación, del 0,1%. ¿Cuál es la rentabilidad anual de estos títulos para los obligacionistas? ¿Cuál es el coste anual del empréstito para BUCLM?

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SOLUCIONES TEMA 4

1  1  0,12  5,65 0,12  1000a10 0,12  5650,2 10

1.

a10 0,12  A10 0,12

C10 0,12  10001  0,12 a10 0,12  17548,7 10

2. 3.

70 ln 2  17,5  17,67 años  4 ln(1  0,04) El 4% de interés anual queda reducido por los impuestos a 0,04 * 0,8 = 0,032 = 3,2% Después de 5 años, la cantidad neta será 100 * 1,0325 = 117,05 (1  0,04) x  2

x

1 + Interés nominal = (1 + interés real) (1 + inflación) Interés nominal = interés real + inflación + interés real * inflación Despejando el interés real Interés real = (Interés nominal – inflación) / (1 + inflación) = = (0,032 – 0,024) / (1 + 0,024) = 0,00781 = 0,781% 4.

El equivalente del premio a día de hoy es 1.000 * (1 + 0,018) / (1 + 0,04) = 978,85 Otra forma es calcular el tipo de interés real y actualizar los 1.000 a ese tipo (1 + interés nominal) = (1 + interés real) (1 + inflación) (1 + 0,04) = (1 + interés real) (1 + 0,018) interés real = 2,1611% Valor hoy de los 1.000 será 1.000 / (1 + 0,021611) = 978,85

5.

1+x =(1+0,05/12)12 (1+x)12 =(1+0,05/12)12 (1+x/6)12 =(1+0,12/12)12 (1+x/2)4 =(1+0,12/2)2

x= 5,12% x= 5%/12 x= 24% x= 5,91%

Cuota= 1646= 5000/a4 | 0,12 Capital Plazo: pendiente: 1 5.000,00 € 2 3.953,83 € 3 2.782,11 € 4 1.469,80 €

Intereses: 600,00 € 474,46 € 333,85 € 176,38 €

6.

7. Cuota: Plazo: 1 2 3 Cuota:

583,70 € Capital pendiente: 5.000,00 € 4.466,30 € 3.927,26 € 603,92 €

Intereses: 50,00 € 44,66 € 39,27 €

Amortización parcial: 1.046,17 € 1.171,71 € 1.312,32 € 1.469,80 €

Amortización parcial: 533,70 € 539,04 € 544,43 €

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Amortización acumulada: 1.046,17 € 2.217,89 € 3.530,20 € 5.000,00 €

Amortización acumulada: 533,70 € 1.072,74 € 1.617,17 €

9

4 5 6 7 8

3.382,83 € 2.846,56 € 2.299,57 € 741,64 € 152,56 €

Plazo: Cuota: 7 8 9

Capital pendiente: 257,17 € 741,64 € 499,31 € 252,12 €

67,66 € 56,93 € 45,99 € 14,83 € 3,05 €

536,27 € 546,99 € 557,93+1000 € 589,09 € 152,56 €

2.153,44 € 2.700,43 € 4.258,36 € 4.847,44 € 5.000,00 €

Intereses:

Amortización parcial:

Amortización acumulada:

14,83 € 9,99 € 5,04 €

242,33 € 247,18 € 252,12 €

4.500,68 € 4.747,80 € 5.000,00 €

8. a) La tabla de amortización considerando la cancelación anticipada en la cuarta cuota sería la siguiente: El tipo de interés para cada trimestre será 𝟐%⁄𝟒 = 𝟎, 𝟓% Sistema americano: Trimestres Pendiente 1 100.000 2 100.000 3 100.000 4 100.000

Interés Amortización 500 0 500 0 500 0 500 100.000

Cuota 500 500 500 100.500

b) El coste trimestral en el caso en el que no haya comisiones se calcula: 𝟎 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 −

𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎. 𝟓𝟎𝟎 − − − 𝟐 𝟑 (𝟏 + 𝒊) (𝟏 + 𝒊) (𝟏 + 𝒊) (𝟏 + 𝒊)𝟒

De donde 𝒊 = 𝟎, 𝟓% = 𝟐%/𝟒. La TAE anual se puede calcular de dos formas: 𝟎 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 −

𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎. 𝟓𝟎𝟎 − − − 𝟏/𝟒 𝟐/𝟒 𝟑/𝟒 (𝟏 + 𝒊𝑨 ) (𝟏 + 𝒊𝑨 ) (𝟏 + 𝒊𝑨 ) (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟒/𝟒

O bien, visto el coste trimestral, pasándolo sencillamente al anual: (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟓)𝟒 = 𝟏 + 𝒊𝑨 De donde 𝒊𝑨 = 𝟐, 𝟎𝟏𝟓%. Cuando hay comisiones el flujo inicial es 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟗𝟗, y el final – 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏, 𝟎𝟏 − 𝟓𝟎𝟎. La TAE trimestral con comisiones es 1%, y el anual es 4,07%. El coste con comisiones prácticamente se duplica. c) La solución para la 5ª cuota sin comisiones es la misma que antes. Si hay comisiones el cálculo sería:

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𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 − − − 𝟏/𝟒 𝟐/𝟒 𝟑/𝟒 (𝟏 + 𝒊𝑨 ) (𝟏 + 𝒊𝑨 ) (𝟏 + 𝒊𝑨 ) (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟒/𝟒 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟏, 𝟎𝟏 + 𝟓𝟎𝟎 − (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟓/𝟒

𝟎 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟗𝟗 −

La TAE anual es 3,66%. d) Sistema alemán: Trimestres Pendiente 1 100.000 2 95.000 3 90.000 4 85.000

Interés Amortización 500 5.000 475 5.000 450 5.000 425 85.000

Cuota 5.500 5.475 5.450 85.425

A pesar de que los flujos de caja son muy diferentes a los del sistema americano, la TAE trimestral y anual sin comisiones son los mismos. Cuando hay comisiones el coste trimestral se calcularía como: 𝟎 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟗𝟗 −

𝟓. 𝟓𝟎𝟎 𝟓. 𝟒𝟕𝟓 𝟓. 𝟒𝟓𝟎 𝟖𝟓. 𝟒𝟐𝟓 + 𝟖𝟓. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟎𝟏 − − − 𝟐 𝟑 (𝟏 + 𝒊) (𝟏 + 𝒊) (𝟏 + 𝒊) (𝟏 + 𝒊)𝟒

De donde 𝒊 = 𝟏%. El coste anual se calcula: 𝟓. 𝟓𝟎𝟎 𝟓. 𝟒𝟕𝟓 𝟓. 𝟒𝟓𝟎 − − (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟏/𝟒 (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟐/𝟒 (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟑/𝟒 𝟖𝟓. 𝟒𝟐𝟓 + 𝟖𝟓. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟎𝟏 − (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟒/𝟒

𝟎 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟗𝟗 −

De donde 𝒊𝑨 = 𝟒, 𝟎𝟕%, igual que el americano. Si el préstamo se amortiza en la 5ª cuota la tabla de amortización sería Trimestres Pendiente Interés Amortización Cuota 1 100.000 500 5.000 5.500 2 95.000 475 5.000 5.475 3 90.000 450 5.000 5.450 4 85.000 425 5.000 5.425 5 80.000 400 80.000 80.400 𝟓. 𝟓𝟎𝟎 𝟓. 𝟒𝟕𝟓 𝟓. 𝟒𝟓𝟎 𝟓. 𝟒𝟐𝟓 − − − (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟏/𝟒 (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟐/𝟒 (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟑/𝟒 (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟒/𝟒 𝟖𝟎. 𝟒𝟎𝟎 + 𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟎𝟏 − (𝟏 + 𝒊𝑨 )𝟓/𝟒

𝟎 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟗𝟗 −

Y la TAE anual es 3,66%, igual que el americano. 9.

Es un 2%, puesto que en cada cuota se está pagando el tipo de interés que le corresponde.

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11

10.

3 3 3 3 3  2  3  4  5  11.372 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 2 2 2 2 2 VAN defensa  4   2  3  4  5  11.581 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 La respuesta depende del tipo de interés. 3.000 × 𝑎5|𝑖 = 4.000 + 2.000 × 𝑎5|𝑖 Se puede calcular la TIR de la diferencia de los dos proyectos. Los flujos de caja serían [4 -1 -1 -1 -1 -1], la TIR en ese caso es 7,93%. Para tipos de interés por encima, el contrato del defensa es mejor. VAN delantero 

0,02 18

0,06

11.

(1 + 12 ) (1 + 12 ) = (1 + 𝑗)2 (1 + 𝑗)2 = (1 + 𝑟)2 × 1,02 × 1,03 j=1,76% r=-0,72%

12.

(1 + 𝑖)2 = 1 + 0,06/2 + (1 + 0,03/4)2 − 1 + (1 + 0,03/4)4 − 1. 𝑖 = 3,7% (1 + 𝑖𝑅𝐸𝐴𝐿 )2 × 1,01 × 1,02 = (1 + 0,037)2 . 𝑖 = 2,17%

13.

a) Plazo:

Cuota:

Capital pendiente:

Intereses:

Amortización parcial:

180,00 € 24.000,00 € 80,00 € 100,00 € 179,67 € 23.900,00 € 79,67 € 100,00 € 2 179,33 € 23.800,00 € 79,33 € 100,00 € 3 179,00 € 23.700,00 € 79,00 € 100,00 € 4 a) Puesto que no existen comisiones ni ningún tipo de gasto aparte de los intereses, la TAE será siempre la misma, es decir, (1 + 𝑇𝐴𝐸) = (1 + 0.03/12)12 . 𝑇𝐴𝐸 = 3,04%. Si existieran gastos adicionales, la TAE cambiaría con la amortización anticipada y estaría tanto más cerca de 3,04% cuanto más tarde se realice dicha amortización. 1

14.

50

50

50

50

1.050

0 = −950 + (1+𝑖) + (1+𝑖)2 + ⋯ + (1+𝑖)5

𝑖 = 6,19%

1.050

0 = −950 + (1+𝑖) + (1+𝑖)2 + (1+𝑖)3 25

25

25

𝑖 = 6,9% 25

1.025

0 = −950 + (1+𝑖)0,5 + (1+𝑖)1 + (1+𝑖)1,5 + (1+𝑖)2 … + (1+𝑖)5

15.

A) 𝟎 = −𝟓 − 𝟎, 𝟏 +

𝟕−𝟎,𝟐+𝟎,𝟓−𝟎,𝟐×𝟐 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝑖𝐴 = 6,27%

𝒊 = 𝟏𝟏, 𝟔𝟔%

(𝟏+𝒊) 𝟑𝟔𝟓

B) Los impuestos se calculan sobre los dividendos y sobre la diferencia de venta menos compras libre de gastos, es decir, restando las comisiones. r 0,0247 Fechas 10/01/2013 25/04/2013 30/06/2013

VAN 0,00 Días Ac.

Ventas Flujos Compras Comisiones Dividendos Impuestos Flujos actualizados 0 -10000 100 -10100,00 -10100,00 105 -20000 140 -20140,00 -19999,13 171 620 124 496,00 490,36

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12

15/07/2013 30/06/2014 30/06/2015 08/07/2015

186 536 901 909

9500

66,5

21500

150 200 200

100

9433,50 120,00 160,00 21280,00

30 40 320

9316,93 115,78 150,65 20025,41

La rentabilidad libre de impuestos es 2,47%. 𝟎 = −𝟏𝟎. 𝟏𝟎𝟎 −

𝟐𝟎.𝟏𝟒𝟎 𝟏𝟎𝟓 (𝟏+𝒊)𝟑𝟔𝟓

+

𝟒𝟗𝟔 𝟏𝟕𝟏 (𝟏+𝒊)𝟑𝟔𝟓

+

𝟗.𝟒𝟑𝟑,𝟓 𝟏𝟖𝟔 (𝟏+𝒊)𝟑𝟔𝟓

𝟐𝟎. 𝟏𝟒𝟎

𝟎 = −𝟏𝟎. 𝟏𝟎𝟎 − (𝟏

𝟏𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟓 + 𝒓)𝟑𝟔𝟓 𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟑𝟔𝟓

(𝟏 +

𝟓𝟑𝟔 𝒓)𝟑𝟔𝟓

+ +

𝟏𝟐𝟎 𝟓𝟑𝟔 (𝟏+𝒊)𝟑𝟔𝟓

+

𝟏𝟔𝟎

(𝟏 +

𝟑𝟓𝟓

+

𝟗𝟎𝟏 (𝟏+𝒊)𝟑𝟔𝟓

𝟒𝟗𝟔

+

𝟏𝟐𝟎

+

+

𝟏𝟕𝟏 𝟏𝟕𝟏 𝒓)𝟑𝟔𝟓 𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟑𝟔𝟓

𝟐𝟏.𝟐𝟖𝟎 𝟗𝟎𝟗

𝒊 = 𝟑%

(𝟏+𝒊)𝟑𝟔𝟓

𝟗. 𝟒𝟑𝟑, 𝟓

+

𝟏𝟖𝟔

𝟏𝟖𝟔

(𝟏 + 𝒓)𝟑𝟔𝟓 𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟑𝟔𝟓

𝟓𝟑𝟔−𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟓

× 𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟑𝟔𝟓 × 𝟏, 𝟎𝟏 𝟏𝟔𝟎

𝟗𝟎𝟏

𝟑𝟓𝟓

𝟗𝟎𝟏−𝟑𝟔𝟓∗𝟐 𝟑𝟔𝟓

𝟗𝟎𝟗

𝟑𝟓𝟓

𝟗𝟎𝟗−𝟑𝟔𝟓∗𝟐 𝟑𝟔𝟓

(𝟏 + 𝒓)𝟑𝟔𝟓 × 𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟑𝟔𝟓 × 𝟏, 𝟎𝟏 × 𝟏, 𝟎𝟏𝟐 𝟐𝟏. 𝟐𝟖𝟎 (𝟏 + 𝒓)𝟑𝟔𝟓 × 𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟑𝟔𝟓 × 𝟏, 𝟎𝟏 × 𝟏, 𝟎𝟏𝟐

La rentabilidad real libre de impuestos es 1,5%. 16. a) b)

Cuota = 50.000 / a20 | 0,05 = 4012,13 En el período 3 el capital pendiente sería 46.900,13. Capital pendiente: Intereses: 50.000,00 € 2.500,00 € 48.487,87 € 2.424,39 € 46.900,13 €

Plazo: 1 2 3 12.000 =

46.900,13−𝑥 𝑎2⌉0,05

Cuota: 4012,13 4012,13

Amortización: 1.512,13 € 1.587,74

𝑥 = 46.900,13 − 12.000 ∗ 1,85 = 24.587,2

c) Plazo: 1 2 3 3 4

Capital pendiente: 50.000,00 € 48.487,87 € 46.900,13 € 22.312,93 € 11.428,57 €

Intereses: Cuota: Amortización: 2.500,00 € 4.012,13 1.512,13 € 2.424,39 € 4.012,13+24.578,2 1.587,74+24.587,2 1.115,65 € 571,43 €

12.000 12.000

10.884,36 11.428,57

d) El coste anual será: 4.012,13

0 = 50.000 × 0,99 − (1+𝑟)0,5 −

4.012,13+24.578,2×1,01 12.000 − (1+𝑟)1,5 (1+𝑟)1

12.000

− (1+𝑟)2

𝑟 = 11,51% 17.

En realidad lo que sucede es que el proveedor presta 900€ a sus clientes por cada ordenador y los clientes le devuelven 1.000€ al mes. Los intereses son 100€ sobre

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13

un capital de 900€. La rentabilidad mensual es, por tanto, 100/900= 11,11%, y la anual es [(1 + 0,1111)12 − 1] × 100 = 254%. 18. 𝑉𝐴𝑁(10%) = −50.000 +

20.000 20.000 + (1,01)2 1,01

25.000

+ (1,01)3 = 3.493,61

𝑉𝐴𝑁(15%) = −1.047,91 20.000

20.000

25.000

0 = −50.000 + (1+𝑇𝐼𝑅) + (1+𝑇𝐼𝑅)2 + (1+𝑇𝐼𝑅)3

𝑇𝐼𝑅 = 13,78%

20 20 25 + + (1 + 𝑇𝐼𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙)(1,01) (1 + 𝑇𝐼𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙)2 (1,01)2 (1 + 𝑇𝐼𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙)3 (1,01)3 𝑇𝐼𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙 = 12,65%

0 = −50 +

Otra forma de calcular la TIR real es (1 + 0,1378) = (1 + 𝑇𝐼𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙)(1,01) Con inflación creciente la TIRreal sería 12,28%, 20 20 25 0 = −50 + + + 2 3 (1 + 𝑇𝐼𝑅)(1,01) (1 + 𝑇𝐼𝑅) (1,01)(1,015) (1 + 𝑇𝐼𝑅) (1,01)(1,015)(1,02) pero en la realidad este tipo de cálculos no se hacen porque no sabemos con precisión qué va a suceder con la inflación. Tabla de Cash-Flow: (Amortizaciones son 200 en A y 340 en B) AÑOS PROYECTO A PROYECTO B

0 -1.000 -1.700

1 460 680

2 440 680

3 400 680

4 360 680

5 300 680

CRITERIO

Proyecto A

Proyecto B

Plazo de recuperación

2 años y 3 meses 514,5 0,514 30,17%

2 años y 6 meses 877,6 0,516 28,65%

Valor Actual Neto (VAN) Tasa de valor actual Tasa Interna de Rentabilidad (TIR)

B Indiferentes A

VANa VANb

1500 1000 500 0 -500 -1000

0

5

10

15

20

25 k(%)

30

35

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40

45

TOTAL 1.960 3.400

Proyecto mejor A

2000

VAN(k)

19.

50

14

Los dos proyectos son realizables puesto que la TIR es superior a la tasa de descuento y el VAN es positivo. La decisión sobre uno u otro es complicada, puesto que el VAN del B es superior, pero con una inversión superior. 20.

El método de amortización no influye, porque no hay impuestos. El flujo de caja es directamente la diferencia de cobros y pagos, con independencia del método de amortización de la máquina. Si los impuestos fueran del 30% el sistema más beneficioso es el de dígitos decrecientes, porque los beneficios al principio del proyecto son menores (al haber más amortización), con lo que se paga menos impuestos y los flujos de caja son mayores al principio. La curva del VAN en función de la tasa de descuento con amortización según dígitos decrecientes está siempre por encima…

VAN(crecientes)= 1.432,36 TIR(creciente)= 20,51% Recuperación: 3,48 VAN(decreciente)= 1.517,45 TIR(decreciente)= 21,48% Recuperación: 3,24 Ejemplo de tabla con dígitos crecientes.

t: 0 1 2 3 4 5

Dígitos Flujos de caja: crecientes -3.000,00 € 745,00 € 150,00 € 790,00 € 300,00 € 975,00 € 450,00 € 1.020,00 € 600,00 € 2.025,00 € 750,00 €

Valor residual

750,00 €

Cobros Pagos BAI BDI -3.000,00 € -3.000,00 € -3.000,00 € 1.000,00 € 850,00 € 595,00 € 1.000,00 € 700,00 € 490,00 € 1.200,00 € 750,00 € 525,00 € 1.200,00 € 600,00 € 420,00 € 1.500,00 € 750,00 € 525,00 €

21.

6.000=4.000+1.000*ani

n= infinito. TIR= 1000/4000= 25%

22.

Ver el Excel “Ejercicio 20”

23.

Ver el Excel “Ejercicio 21”. Que resulte o no utilizar financiación ajena depende del interés del préstamo. Con los datos del problema es mejor utilizar financiación ajena.

24.

Ver el Excel “Ejercicio 22”

25.

Ver el Excel “Ejercicio 23”. La TAE mensual es del 0,45%, que equivale a una TAE del 5,54%.

26.

Ver el Excel “Ejercicio 24”

27.

La rentabilidad requerida incluyendo la inflación será 𝑖 = [(1 + 0,05)(1 + 0,06) − 1] × 100 = 11,3. 2.000 3.000 4.000 3.000 𝑉𝐴𝑁 = −10.000 + 1,113 + 1,1132 + 1,1133 + 1,1134 = 9.074,86. La inversión es realizable al ser el VAN positivo. La TIR es mayor que 11,3% porque el VAN sale positivo para esa tasa de descuento.

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15 1−(1+𝑇𝐼𝑅)−10

28.

0 = −7.500 + 1.000𝑎10|𝑇𝐼𝑅 = −7.500 + 1.000 . 𝑇𝐼𝑅 Probando valores podemos calcular la TIR= 5,60%. 1.030,2×0,04 La TIR aproximada será 𝑇𝐼𝑅 = 0,03 + 1.030,2+476,42 = 5,67%.

29.

𝑉𝐴𝑁 = −9.500 + 1,07×1,02 + 1,072 ×1,022 + 1,073 ×1,023 = 606,39

5.000

2.000

5.000

5.000

2.000

5.000

La TIR es 0 = −9.500 + (1+𝑇𝐼𝑅) + (1+𝑇𝐼𝑅)2 + (1+𝑇𝐼𝑅)3; 𝑇𝐼𝑅𝑟 = 12,73%. 5.000 2.000 + (1+𝑇𝐼𝑅 )2 ×1,022 𝑟 )×1,02 𝑟

La TIR real es 0 = −9.500 + (1+𝑇𝐼𝑅

5.000 3 3; 𝑟 ) ×1,02

+ (1+𝑇𝐼𝑅

𝑇𝐼𝑅𝑟 =

10,52%. Esta TIR es equivalente a actualizar los flujos de caja por la inflación y calcular la TIR con la ecuación habitual. También se podría calcular la TIR nominal con la ecuación habitual y utilizar la ecuación siguiente para calcular la real (1 + 𝑇𝐼𝑅) = (1 + 𝑇𝐼𝑅𝑟 )(1 + 𝑔). Ninguna de esas ecuaciones nos sirve para responder a la última pregunta, que es necesario acudir a la ecuación original de la TIR, es decir, 5.000 2.000 5.000 0 = −9.500 + (1+𝑇𝐼𝑅 )×1,01 + (1+𝑇𝐼𝑅 )2 ×1,01×1,015 + (1+𝑇𝐼𝑅 )3 ×1,01×1,015×1,02; 𝑟

𝑟

𝑟

𝑇𝐼𝑅𝑟 =11,24%. 30.

La

cuota de amortización de activo por el método lineal es 10.000  2.000 A  2.000 . 4 La tabla para la opción A es 2.400€ y por tanto es una inversión realizable, la TIR es 17,56%. Flujos de Inversión Valor Cobros t: caja: inicial residual Amortiz. pagos BAI Impuesto 0 -10.000 10.000 0 0 1 3.300 2.000 4.000 2.000 700 2 3.300 2.000 4.000 2.000 700 3 3.300 2.000 4.000 2.000 700 4 5.300 2.000 2.000 4.000 2.000 700 Para el caso B tenemos Flujos Inversión Valor Cobros t: de caja: inicial residual Amortiz. pagos BAI Impuesto 0 -10.000 10.000 0 0 1 2.650 2.000 3.000 1000 350 2 3.300 2.000 4.000 2000 700 3 3.950 2.000 5.000 3000 1050 4 6.600 2.000 2.000 6.000 4000 1400 Con un VAN de 3.269,76 y una TIR de 19,86%.

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16

31.

60.000

Calculamos las cuotas de amortización en los dos casos, 𝛼𝐴 = 𝑎 60.000

32.268,29€ y 𝛼𝐴 = 𝑎

2|0,03

2|0,05

=

= 31.356,65.

La TAE del préstamo A se calculará como 0 = 60.000 −

32.268,29 32.268,29 − (1+k )2 . (1+kA ) A

Naturalmente la TAE es del 5%. En el caso B, 0 = 60.000 × 0,95 −

31.356,65 31.356,65 − (1+k )2 . (1+kA ) A

El coste ahora es 5,7%.

Aunque el tipo de interés es menor, la TAE es mayor, B es una hipoteca más cara. La tabla de amortización de la más barata es:

Plazo:

Cuota: Capital pendiente: Intereses: Amortización parcial:

1 32.268,29 €

60.000,00 € 3.000,00 € 30.731,71 € 1.536,59 €

2 32.268,29 €

29.268,29 € 30.731,71 €

32.

Plazo:

Cuota: Capital pendiente:

1 22.018,48 €

Intereses: Amortización parcial:

57.000,00 € 11.400,00 € 46.381,52 € 9.276,30 € 33.639,34 € 6.727,87 € 18.348,73 € 3.669,75 €

2 22.018,48 € 3 22.018,48 € 4 22.018,48 €

10.618,48 € 12.742,18 € 15.290,61 € 18.348,73 €

33.

34.

a) 𝐶2 = 1.500.000 × (1 + 0,1)2 = 1.815.000€. b) 𝐶2 = 1.500.000 × (1 + 0,1/2)4 = 1.823.000€. c) (1 + 0,1/2)4 = (1 + 𝑖)2 , 𝑖 = 10,25%. Los períodos ahora son trimestres. a)

Plazo: 1 2 3 4 5 6 7 8

Capital Cuota: pendiente:

145,00 € 142,50 € 140,00 € 137,50 € 135,00 € 132,50 € 130,00 € 127,50 €

1.000,00 € 875,00 € 750,00 € 625,00 € 500,00 € 375,00 € 250,00 € 125,00 €

Intereses:

Amortización parcial:

20,00 € 17,50 € 15,00 € 12,50 € 10,00 € 7,50 € 5,00 € 2,50 €

125,00 € 125,00 € 125,00 € 125,00 € 125,00 € 125,00 € 125,00 € 125,00 €

la fórmula del interés efectivo, (1 + 𝑖) = (1 + 0,08/4)4 . 145

142,5

127,5

c) 0 = 1.000 × 0,98 − (1+𝑖)0,25 − (1+𝑖)0,5 − ⋯ − (1+𝑖)2 ; 𝑖 = 10,3%.

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b) La TAE se puede calcular con

17

35.

Para el caso de cuotas lineales tenemos: Flujos de Inversión t: caja: inicial Amortiz Cobros - pagos BAI Impuesto 0 -90.000 90000 0 0 1 54.750 45000 60000 15000 5250 2 80.750 45000 100000 55000 19250

El VAN es 29.924,55€. En el caso de números dígitos decrecientes: Flujos de Inversión t: caja: inicial Amortiz Cobros - pagos BAI Impuesto 0 -90000 90000 0 0 1 60000 60000 60000 0 0 2 75500 30000 100000 70000 24500

El VAN es 30.284,64€. Es mayor en este caso porque al amortizar más al principio del proyecto el BAI es más pequeño y el impuesto es también menor. En general esto siempre es así, los empresarios siempre prefieren amortizar el inmovilizado lo más rápidamente posible. 36.

Préstamo A, 0 = 2.000.000 − Préstamo B, 0 = 2.000.000 −

37.

0,16×2.000.000 1,16×2.000.000 − (1+𝑘 )2 ; 𝑘𝐴 = 16%. (1+𝑘𝐴 ) 𝐴 0,15×2.000.000 1,15×2.000.000 0,1 × 1.000.000 − − (1+𝑘 )2 ; (1+𝑘𝐵 ) 𝐵

𝑘𝐵 =

18,2%. La rentabilidad es de un 3% trimestral, por lo que la rentabilidad que nos piden es simplemente la rentabilidad anual equivalente, es decir, 𝑖 = (1 + 0,03/4)4 − 1 = 12,55%. El coste del empréstito para la BUCLM es 0 = 50.000 × 0,999 − 0,03×50.000 − (1+𝑘)0,5

⋯−

1,03×50.000 ; (1+𝑘)2

𝑘 = 12,61%.

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0,03×50.000 − (1+𝑘)0,25