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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

: MECÁNICA DE SÓLIDOS I

CURSO

PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL

PROBLEMAS RESUELTOS DE MOMENTOS DE INERCIA PROBLEMA Nº 1 Determine los momentos de inercia de masa Ix, Iy, Iz , para el disco circular delgado de masa “m” y radio “r” mostrado en la figura. z m

r

y

x

Resolución Para calcular los momentos de inercia del

z

disco circular delgado se debe recordar que en coordenadas cilíndricas, el volumen para el

r‟

r ϕ

z

dm

y

elemento

diferencial

de

masa

“dm”,

mostrado en la figura, viene dado por:

dV  r '  dr '  d  dz

x

Cálculo de I z (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z) Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z que atraviesa su centro de masa, viene dado por: 2

I z   (r ' ) dm

,

r ' = distancia perpendicular del eje z al elemento “dm”

m

Se cumple:

dm    dV   (r '  dr '  d  dz)

z 2 r

Reemplazando “ dm ”, la ecuación de

Iz

queda:

Iz  

  (r´)

2

(  r´ dr´ d dz )

0 0 0

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “  ” del disco circular:



m m  , V  r2 z

obtenemos que:

Iz 

1 mr2 2

Cálculo de I x (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x) Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x que atraviesa su centro de masa, viene dado por: 2

I x   (r ' ' ) dm ,

r ' ' = distancia perpendicular del eje x al elemento “dm”

m

Al trazar la distancia perpendicular r ' ' , desde el eje x hasta el elemento diferencial “dm”, se obtiene que:

r ' '  r ' sen Si esta distancia

r ' ' y el diferencial de masa “dm” se reemplazan en la ecuación del momento de

inercia I x , tenemos: z 2 r

IX  

  (r ' sen )

2

(   r ' dr ' d  dz )

0 0 0

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “  ” del disco circular:



m m  , V  r2 z

obtenemos que:

IX

1  m r2 4

NOTA.- debido a la simetría de la figura, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje y que atraviesa su centro de masa, es igual al momento de inercia respecto al eje x. Es decir:

1 IY  I X  m  r 2 4

PROBLEMA Nº 2 Determine los momentos de inercia de masa Ix, Iy, Iz , para el cilindro de masa “m”, altura “h” y sección transversal de radio “r” mostrado en la figura. z

r

h/2

y

h/2 x

Resolución Para calcular los momentos de inercia del cilindro se recomienda elegir como elemento diferencial un disco circular delgado de masa “dm”, radio “r” y espesor “dz”, tal como se observa en la figura. z

r

dz

r h/2

y’

z y

h/2 x

Cálculo de I z (momento de inercia del cilindro, respecto al eje z) El momento de inercia para el cilindro, respecto al eje z que atraviesa su centro de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado. Se cumple:

dI z (CILINDRO ) 

1 (dm)  r 2 2

Dónde: dm    dV   ( r  dz ) 2

* Como el elemento diferencial (disco circular delgado) y el cilindro son del mismo material, entonces su densidad  es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa del cilindro entre su respectivo volumen, es decir:

 Reemplazando “ dm ”

m m  V ( r 2  h)

en la ecuación del momento de inercia

“ dI z

(CILINDRO )

”

e

integrando,

obtenemos:

I z (CILINDRO ) 

1 mr 2 2

Cálculo de I Y (momento de inercia del cilindro, respecto al eje y) El momento de inercia para el cilindro, respecto al eje y que atraviesa su centro de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado y aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo. Por lo tanto, se cumple:

dI Y

( CILINDRO )



1 (dm)  r 2  (dm) z 2 4

Reemplazando “ dm ” e integrando, obtenemos:

I Y (CILINDRO ) 

1 m (3 r 2  h 2 ) 12

NOTA.- debido a la simetría de la figura, el momento de inercia del cilindro, respecto al eje x que atraviesa su centro de masa, es igual al momento de inercia respecto al eje y. Es decir:

I X (CILINDRO )  IY (CILINDRO ) 

1 m (3 r 2  h 2 ) 12

PROBLEMA Nº 3 Determine los momentos de inercia de masa para la esfera de masa “m” y radio “r”, respecto a los ejes x, y, z, mostrados en la figura. z

Esfera de masa “m”

r y

x

Resolución z Al igual que en el caso del cilindro,

r‟

dz

para

calcular

los

momentos de inercia de la esfera se recomienda elegir

r

como elemento diferencial un disco circular delgado de masa y

“dm”, radio “r „ ” y espesor “dz”, tal como se observa en la

z

figura.

x Debido a la simetría de la figura, los momentos de inercia para la esfera, respecto a los tres ejes coordenados que atraviesan su centro de masa, son iguales. En consecuencia es suficiente calcular sólo uno de ellos.

Cálculo de I X (momento de inercia de la esfera, respecto al eje x) El momento de inercia para la esfera, respecto al eje x que atraviesa su centro de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado y aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo. Por lo tanto, se cumple:

dI X

( ESFERA )



1 (dm)  (r ' )2  (dm) z 2 4

De la figura se observa que:

z 2  (r ' ) 2  r 2



(r ' ) 2  r 2  z 2

dm    dV     (r ' )2  dz

dm      (r 2  z 2 )  dz



* Como el elemento diferencial (disco circular delgado) y la esfera son del mismo material, entonces su densidad  es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa de la esfera entre su respectivo volumen. Es decir:



m m  4 3 V r 3

2

Reemplazando “ dm ” y “ (r ' ) ” en la ecuación del momento de inercia “ dI X

(ESFERA ) ”

e integrando,

obtenemos:

I X ( ESFERA ) 

2 m r2 5

Nota.- Por simetría de la figura, se cumple que:

I X ( ESFERA )  I Y ( ESFERA )  I Z ( ESFERA ) 

2 m r2 5

PROBLEMA Nº 4 Determine los momentos de inercia de masa para la placa delgada de masa “m” y lados “a” y “b”, respecto a los ejes x, y, z, mostrados en la figura z

Placa delgada de masa ”m”

a

y

b x

Resolución Para calcular los momentos de inercia de la placa delgada elegimos un elemento diferencial de masa “dm”, ubicado a una distancia perpendicular “r”, respecto al eje z, tal como se aprecia en la figura siguiente. De ella también se concluye que las componentes de r : “x” e “y”, son distancias perpendiculares del elemento diferencial a los ejes coordenados. Además, asumiremos que la placa delgada tiene espesor “z”.

z

y x

r

dm

a

y

b x

Cálculo de I z (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje z) Por definición, el momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje z que atraviesa su centro de masa, viene dado por:

I z   r 2 dm

,

r = distancia perpendicular del eje z al elemento “dm”

m

Se cumple:

dm    dV   (dx  dy  dz)

De la figura se observa que: r  x  y 2

2

2

Iz

2

Reemplazando “ r ” y “ dm ”, la ecuación de z/2

Iz 

b/2

a/2

   (x

2

queda:

 y 2 ) (   dx  dy  dz )

 z / 2 b / 2  a / 2

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “  ” de la placa delgada:



m m  , V a b z

obtenemos que:

Iz 

1 m (a 2  b 2 ) 12

Cálculo de I X (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje x) Por definición, el momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje x que atraviesa su centro de masa, viene dado por: 2

I x   (r ' ) dm ,

r ' = distancia perpendicular del eje x al elemento “dm”

m

Al trazar la distancia perpendicular r ' , desde el eje x hasta el elemento diferencial “dm”, se observa que esta distancia es igual a la distancia “y”. Es decir:

r ' y

Si esta distancia “ r ' ” y el diferencial de masa “dm” se reemplazan en la ecuación del momento de inercia I x , tenemos: z/2

IX 

b/2

a/2

   (y)

2

(   dx  dy  dz )

 z / 2 b / 2  a / 2

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “  ” de la placa delgada:



m m  , V a b z

obtenemos que:

IX 

1 m  b2 12

Cálculo de I Y (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje y) Para calcular el momento de inercia

I Y se procede de manera similar al cálculo de I X . En este

caso, la distancia perpendicular del eje y que atraviesa su centro de masa, al elemento diferencial, es “x”. Al evaluar la ecuación del momento de inercia I Y se obtiene que:

IY 

1 m  a2 12

PROBLEMA Nº 5 Determine los momentos de inercia de masa para el prisma rectangular de masa “m” y lados “a”, “b” y “c”, respecto a los ejes x, y, z, mostrados en la figura z

a y

c

b x

Resolución z

a y

c dy

y

b x

Cálculo de I X (momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje x) El momento de inercia para el prisma rectangular, respecto al eje x que atraviesa su centro de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para una placa delgada, y además aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo. Por lo tanto, se cumple:

dI X ( PRISMA) 

1 (dm)  (c) 2  (dm) y 2 12

El elemento diferencial tiene masa:

dm    dV    (a  c  dy ) * Como el elemento diferencial (placa delgada) y el prisma rectangular son del mismo material, entonces su densidad  es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa del prisma entre su respectivo volumen. Es decir:



m m  V a b c

Reemplazando “ dm ” en la ecuación del momento de inercia “ dI X

I X ( PRISMA) 

( PRISMA) ”

e integrando, obtenemos:

1 m (c 2  b 2 ) 12

Cálculo de I Y (momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje y) El momento de inercia para el prisma rectangular, respecto al eje y que atraviesa su centro de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para una placa delgada. Por lo tanto, se cumple que:

dI Y

( PRISMA )



1 (dm)  (a 2  c 2 ) 2

donde: dm    dV    (a  c  dy )

;

siendo:  

m m  V a b c

Reemplazando “ dm ” en la ecuación del momento de inercia “ dI Y

I Y ( PRISMA) 

( PRISMA) ”

e integrando, obtenemos:

1 m (a 2  c 2 ) 12

NOTA.- para calcular el momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje z que atraviesa su centro de masa, se procede de manera similar al cálculo del momento de inercia con respecto al eje x. Procediendo de esta forma, se obtiene que:

I z ( PRISMA) 

1 m (a 2  b 2 ) 12

PROBLEMA Nº 6 Determine el momento de inercia de masa Iz del sólido que se forma al girar el área sombreada alrededor del eje z. La densidad del material es 7,85 Mg/m3. z

z 2  8y 4m

y

x Resolución Al girar el área sombreada alrededor del eje z, se obtiene el sólido mostrado a continuación. Para calcular el momento de inercia de dicho sólido elijo como elemento diferencial un disco circular delgado porque se conoce sus momentos de inercia de masa, respecto a los ejes x, y, z. Se sabe que:

Ix  Iy  Iz 

z

1 m r 2 4

Disco circular delgado de masa “m”

1 m r 2 2

r x

y

z

R=2m

r

dz

z 2  8y

4m

z

y y x Para el problema dado, el momento de inercia del disco será un diferencial del momento de inercia del sólido, es decir:

dI Z ( SOLIDO) 

1 (dm)  r 2 . . . (1) 2

Dónde:

ry



r

z2 8

dm    dV   (  r 2  dz )  dm     

;

z4  dz 64

Reemplazamos en (1):

dI Z ( SOLIDO)

1 z4 z4      dz  2 64 64

Integrando tenemos: 4

I Z ( SOLIDO) 

1      z 8 dz 2(64)(64) 0

I Z ( SOLIDO)  87 685,546 kg  m 2

PROBLEMA Nº 7 El cilindro circular mostrado está hecho de aluminio con densidad de 2 700 kg/m 3 y hierro con densidad de 7 860 kg/m3. Determine sus momentos de inercia con respecto a los ejes x´ e y´. Resolver el problema tomando como referencia los valores conocidos de los momentos de inercia de un disco circular delgado.

y

y’

Al

C.M.

z

Fe

60 cm

10 cm 60 cm

z’

x, x’

Resolución Primero hallo masa del aluminio m Al , masa del hierro m Fe y la coordenada “x” del centro de masa del cilindro compuesto ( x ). Las masas m Al y m Fe se determinan utilizando la ecuación m   V , dado que la densidad del cuerpo (  ) es dato del problema y el volumen V se halla multiplicando el área de la sección transversal y la altura. Es decir:

mAl   Al VAl  2700 kg / m3 (  0,12 )(0,6) m3

m Al  50,8938 kg

mFe   Fe VFe  7860 kg / m3 (  0,12 )(0,6) m3

mFe  148,1575 kg

Para calcular x (coordenada “x” del centro de masa) aplico la ecuación siguiente:

x

 x m  x m

Al

m Al  x Fe mFe m Al  mFE

* De la figura dada se obtiene que: x Al  0,3 m

y

x  0,7466 m

xFe  0,9 m

Cálculo de I x ' (TOTAL ) (momento de inercia para el cilindro compuesto, respecto al eje x ' ) Por tratarse de un cilindro compuesto se cumple el principio de superposición, es decir que el momento de inercia total, respecto al eje x ' , es igual a la suma de los momentos de inercia del cilindro de aluminio y del cilindro de hierro, con respecto al mismo eje x ' .

I x ' (TOTAL )  I x ' ( Al )  I x ' ( Fe )

. . . (1)

Hallo I x ' ( Al ) (momento de inercia del cilindro de aluminio, respecto al eje x ' ): Si consideramos como elemento diferencial un disco circular delgado de radio r, masa dm y espesor dx, se sabe que su momento de inercia, respecto al eje x ' , está dado por:

dI x ' ( Al ) 

1 (dm) r 2 2

; donde: dm   Al (  r ) dx 2

Reemplazamos “ dm ”:

dI x ' ( Al ) 

1 (  Al   r 2  dx) r 2 2

Integrando, tenemos:

I x ' ( Al ) 

 Al   r 4 2

0, 6

I x ' ( Al )  0,25497 kg  m 2

 dx 0

Hallo I x ' ( Fe ) (momento de inercia del cilindro de hierro, respecto al eje x ' ): En este caso, se cumple:

dI x ' ( Fe ) 

1 (dm) r 2 2

; donde: dm   Fe (  r ) dx 2

Reemplazamos “ dm ” :

dI x ' ( Fe ) 

1 (  Fe   r 2  dx) r 2 2

Integrando, tenemos:

I x ' ( Fe ) 

 Fe   r 4 2

1, 2

 dx

I x ' ( Fe )  0,740789 kg  m 2

0, 6

Reemplazando en la ecuación (1), tenemos:

I x ' (TOTAL )  0,94526 kg  m 2 Cálculo de I y ' (TOTAL ) (momento de inercia para el cilindro compuesto, respecto al eje y ' ) En este caso debemos recordar que el momento de inercia para un cilindro de masa “m”, altura “h” y sección transversal de radio “r”, respecto al eje centroidal “y”, el cual es perpendicular al eje del cilindro, viene dado por la ecuación siguiente:

I y (Cilindro) 

r

1 m (3 r 2  h 2 ) 12 h

Eje centroidal y

Aplicando esta ecuación y el principio del eje paralelo, tenemos que el momento de inercia del cilindro de aluminio, respecto al eje y ' , está dado por:

I y ' ( Al )  I y ' ( Al ) 

1 2 m Al (3 r 2  h 2 )  m Al d1 12

1 m Al (3 r 2  h 2 )  m Al (0,7466  0,3) 2 12

I y ' ( Al )  11,804896 kg  m 2

Para comprender mejor la ecuación anterior, ver la figura siguiente:

y Eje centroidal para el aluminio

y’

Al

Eje centroidal para el hierro

d1 d2 0,3 m

C.M.

z

Fe 10 cm

x  0,7466 m 0,9 m

x, x’

z’

Para el cilindro de hierro, tenemos:

I y ' ( Fe )  I y ' ( Fe ) 

1 2 mFe (3 r 2  h 2 )  mFe d 2 12

1 (148,1575) (3  0,12  0,6 2 ) 148,1575 (0,9  0,7466) 2 12

I y ' ( Fe )  8,307495 kg  m 2 Para calcular I y ' (TOTAL ) aplicamos principio de superposición. Es decir:

I y ' (TOTAL )  I y ' ( Al )  I y ' ( Fe )

y

120 10,75  40  5,9904 mm 10,75  5,9904

I y ' (TOTAL )  20,106391 kg  m 2 y  91,37 mm