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• Juan Carlos Povis Rodriguez

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Problema 2.128 La tira de latón AB se encuentra unida a un soporte fijo en A y descansa sobre un soporte rugoso en B.Si se sabe que el coeficiente de fricción entre la tira y el soporte en B es de 0.60.Determine el descenso de temperatura para el cual sería inminente el deslizamiento.

Solución:

Por la primera condición de equilibrio se observa que: ∑ 𝐹𝑦 = 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶

𝑁−𝑊 =0→𝑁 =𝑊

Pero 𝑊 = 100𝑥9.81 = 981 𝑁 ∴ 𝑁 = 981 𝑁 De la misma forma en la condición de equilibrio ahora para el eje X: ∑ 𝐹𝑥 = 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶

𝑃 − 𝑢𝑥𝑁 = 0 → 𝑃 = 𝑢𝑥𝑊

∴ 𝑃 = 981𝑥0.6 = 588.6 𝑁

El deslizamiento inminente se lograra cuando las deformaciones sean iguales. Recordar que la fuerza P es una fuerza de compresión y esta genera una deformación mediante la siguiente formula:

𝛿=

𝑃𝐿 𝐸𝐴

La otra deformación con la que se compensara es la de la temperatura: 𝛿 = 𝐿𝛼(∆𝑇) Entonces igualando dichas deformaciones: 𝑃𝐿 588.6𝑥40𝑥10−3 = 𝛼𝐿(∆𝑇) → = 40𝑥10−3 𝑥20𝑥10−6 𝑥∆𝑇 𝐸𝐴 105𝑥109 𝑥60𝑥10−6

∴ ∆𝑻 = 𝟒. 𝟔𝟕°𝑪

Problema 2.135 La varilla uniforme BC tiene un área de sección transversal uniforme A y está hecha de un acero suave que puede asumirse como elastoplastico con un módulo de elasticidad E y una resistencia de fluencia de 𝜎𝑦 . Con el sistema de boque y soporte mostrado en la figura , se desea simular la deflexión del extremo C de la varilla conforme se aplica y retira gradualmente la fuerza axial P ; esto es la deflexión de los puntos C y C’ debe ser la misma para todos los valores de P .Si 𝜇 es el coeficiente de friccion entre el bloque y la superficie horizontal , obtenga una expresión para 𝑎) 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑚 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 , 𝑏) 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑘 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒.

Solución: Analizando de forma minuciosa se puede decir que al aplicar gradualmente una fuerza P a la varilla BC y luego retirarla se obtendrá:

Se sabe que un material esto plástico es aquel que posee un comportamiento lineal elástico hasta un determinado esfuerzo y a partir de ahí se comporta de manera plástica hasta alcanzar la tensión de rotura (lo que lo diferencia de un material lineal es que la tensión después de llegado a ese esfuerzo se mantiene constante) la gráfica de un material esto plástico se observa en la siguiente figura:

El esfuerzo 𝜎𝑦 es el máximo esfuerzo para que ocurra la deflexión en C; de esta manera se observa:

𝑃 = 𝜎𝑦 𝐴 Ahora pasemos al análisis del bloque-resorte: Al aplicar la fuerza P se activara de inmediato la reacción del resorte en el bloque cuya magnitud será igual a P, ahora el bloque no se moverá si la fuerza de fricción será mayor a la fuerza P.

El DCL de dicho bloque será:

Ahora por condiciones de equilibrio se observa: ∑ 𝑓𝑌 = 0 . 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∶ 𝑁 − 𝑊 = 0 ∴𝑁=𝑊 De la misma forma se cumplirá que en el eje X: ∑ 𝐹𝑥 = 0. 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑃 − 𝐹𝑓 = 0 ∴ 𝑃 = 𝐹𝑓 Pero la 𝐹𝑓 = 𝜇𝑥𝑁 = 𝑢𝑚𝑔 a) Igualando las fuerzas P por condición del problema:

𝜎𝑦 𝐴 = 𝑢𝑚𝑔 𝝈𝒚 𝑨 ∴𝒎= 𝒖𝒈 b) Ahora pasemos a igualar las deformaciones: La deformación en la varilla estará dada por: 𝛿=

𝑃𝐿 𝐸𝐴

De la misma forma la deformación en el bloque está dado por:

𝐹𝑟𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 = 𝑃 = 𝛿𝑥𝑘 ∴𝛿=

𝑃 𝑘

Igualando las deformaciones se tendrá:

𝑃 𝑃𝐿 = 𝑘 𝐸𝐴 𝑬𝑨 ∴𝒌= 𝑳

𝛿=

Problema 4.76 La barra AB de bronce rojo C83400 y la barra BC de aluminio 2014-T6 están unidas en el collarín B y empotradas en sus extremos .Si no hay carga en las barras cuando T 1=50°F, determine el esfuerzo normal promedio en cada una de ellas cuando T2=120 °F ¿Cuánto se desplazara el collarín? El área transversal de cada miembro es 1.75 pulg2.

Solución: A la temperatura de 50°F no habrá ninguna carga nos dice el enunciado; pero a la temperatura de 120°F la barra se dilata y de esta forma se observan cargas en dicha barra

La reacción de dichas fuerzas hacia el bloque se dará en sentido contrario y serán fuerzas de compresión:

Por condición de equilibrio en el eje x se tendrá: ∑ 𝐹𝑥 = 0; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹𝑎𝑙 = 𝐹𝑏𝑟 = 𝑃

Ahora las deformaciones al interior de la barra deben ser nulas por lo tanto se tiene que: 𝛿=0 ∴− −

𝐹𝑏𝑟 𝐿𝐴𝐵 𝐹𝑎𝑙 𝐿𝐵𝐶 − + 𝛼𝑏𝑟 ∆𝑇𝐿𝐴𝐵 + 𝛼𝑎𝑙 ∆𝑇𝐿𝐵𝐶 = 0 𝐸𝑏𝑟 𝐴𝑏𝑟 𝐸𝑎𝑙 𝐴𝐵𝐶

𝑃𝑥3𝑥12 𝑃𝑥2𝑥12 − + 9.8𝑥10−6 𝑥70𝑥3𝑥12 + 12.8𝑥10−6 𝑥70𝑥2𝑥12 = 0 6 1.75𝑥14.6𝑥10 1.75𝑥10.6𝑥106 𝑃𝑥2.7028𝑥10−6 =

200 5000

∴ 𝑃 = 17093.384 𝑙𝑏

Los esfuerzos de ambos materiales serían los mismos: 𝜎𝑎𝑙 = 𝜎𝑏𝑟 =

17093.38 = 9.77 𝑘𝑝𝑠𝑖 1.75

Ahora si la resistencia a la fluencia del aluminio y del cobre son mayores que este valor habrá un deslizamiento 9.77 𝑘𝑝𝑠𝑖 < 𝜎𝑦𝑏𝑟 , 𝜎𝑦 𝑏𝑟

Entonces el desplazamiento en B estará dado por 𝛿𝐵 = −

𝑃𝐿 −17093.38𝑥3𝑥12 + 𝛼𝑏𝑟 ∆𝑇𝐿𝐴𝐵 = + 9.80𝑥10−6 𝑥70𝑥36 = 6.11𝑥10−4 𝑖𝑛 𝐸𝐴 1.75𝑥14.6𝑥106

∴ 𝜹 = 𝟔. 𝟏𝟏𝒙𝟏𝟎−𝟒 𝒊𝒏