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ING.CIVIL Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Método: Castigliano

I. Para las siguientes vigas simplemente apoyadas

determínese la deflexión indicada. Por los métodos geométricos y los energéticos

PROBLEMA NRO.: 1

W

 

 2L  L  R1Y    R3Y    0  3  3  2L  L R1Y    R3Y    2 R1Y  R3Y ......  3  3

M

2

0 

 2

Reemplazando (2) en (1):

R1Y  R3Y 



3R3Y WL  P 2 2

entonces:

R3Y WL  R3Y  P 2 2 3  WL  R3Y    P , 2 2 

WL P  2





1  WL  R1Y     P 2 2 

1. Por Superposición de cargas: W P

2L 3

L 3 Ma

RESOLUCIÓN Aplicamos una fuerza imaginaria P  0 , en el punto 2.

R1X

13

1 12 R1Y

W P

2L 3

L 3 P

a

W

R1X

13

1 12

2L 3

R1Y

L 3

R3Y

R1Y

Por ESTÁTICA:

F

 0  R1 X  0



F

0 



X

Y

R1Y  R3Y 

R1Y  R3Y 

WL P 2

......

1

3W 2

9w 2L  x 2L 3 2 9w 2L V2   x 4L 3 3 3w 2L M2   x 4L 3

Y2 

WL P0 2

3W 2 3w Y1  x 2L 3w 2 Ma V1  x 4L w 3 M1  x 4L

x a



R3Y

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS 

y1 3w 2  x L

 y1 

2

3w x 2L

x2 L 3

  EI   wL  x3    w  x5    12    20 L   x 0 

3w x 2L 3w 2 V1  x 4L w 3 M1  x 4L Y1 



y1 3w 2  x  2L 3 L 3

 Y2 

x2 L 3

 w  L2 2 w  L4    12 x  24    x 0

9w 2L  x 2L 3

V2 

9w 2L  x 4L 3

 2     wL4   81   26  4     wL  3645EI 

2

3w 2L M2   x 4L 3

 26  4  wL  3645EI 

Rpta.:  x  2 L 3  

3

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

2 L  w 3 3w 2L   Ma  R1Y  x   P  x  x   x  3  4L 4L 3   Ma : 3. Determinamos P  Ma 2L  2 L x 2 L 3x     x       x  P 3  3 2 3 2  el

 2     w  L4   81 

 2wL4   8wL4   2wL4  wL4 2wL4     243  81   1215   405  27

9w 2L  x 2L 3

en

 2w 4   L   405 

  EI  

Y2 

4. Reemplazando

RESISTENCIA DE MATERIALES II

Primer

Teorema

3

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Método: Castigliano

x  WSen    L  de

Castigliano:



 

M M  EI   P

  dx , 

" P " Carga concentrada ficticia P  0

 w 3 3w     R1Y  x   x    4L 4L   w 3 3w     R1Y  x   x    4L 4L   w 3 3w   R1Y  x   4L  x  4L    w 3 3w     R1Y  x   x    4L 4L   w 3 3w   R1Y  x   4L  x  4L  

2L x 3 x

2L 3

x

2L 3

2L x 3 2L x 3

5. Deflexión en 2 , para: x  2 L 3

  2 L 3x    dx   2   3 3   2L     dx   3  3   3x      dx  2  3   2L     dx   3  3   3x      dx  2  3

L

RESOLUCIÓN Aplicamos una fuerza imaginaria P  0 , en el punto 2.

x  a WSen    L  Ma

R1X

13

1

12 R1Y

Por ESTÁTICA:

L

a

R3Y

Ingeniería Civil 

F



F

  

X

 0  R1 X  0

L x   0  R1Y  R3Y   WSen   dx  P  0 0  L  2WL R1Y  R3Y   P ...... 1 





Ma 

WL2   x  Px Sen   2   L  2

Y

M

2

0 

R1Y  R3Y

L L  R1Y    R3Y    0 2 2

 R1Y  R3Y ......

x

WL   x   WL Va  R1Y  Cos  P     L 0  Ma 

 Ma 

2WL 2WL  P  R1Y  R1Y  P   2WL WL P 2 R1Y   P  R1Y  R3Y     2 R1Y  R3Y 

1. Carga aplicada: x  WSen    L  P



a

R3Y

L

P

  EI 



  EI  

a

   Ma

R1Y

 

M M  EI   P

  dx , 

" P " Carga concentrada ficticia P  0

13

x  WSen    L 

 Ma x  P 2

Castigliano:

1

R1Y

 Ma : P

4. Reemplazando en el Primer Teorema de a

Ma

12

WL2   x  Px Sen   2   L  2

3. Determinamos



R1X

WL2   x  Px Sen   2   L  2

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

 2

Reemplazando (2) en (1):



ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

3

L2

0

 WL2   x    x   2 Sen      dx  L  2   

L4W 4



 EI  

L4W 4

WL4 1   4 EI

Rpta.:  x  L 2  

WL4 1   4 EI

x

a

L 2

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Método: Castigliano

L 2

Ecuación del momento en la sección:



x  Va   dV  R1Y   WSen   dx  R1Y  P 0  L 



WL   x   WL Va  R1Y  Cos  P     L 0 



x   WL   x   WL M a    R1Y  Cos    P  dx       L 0   

W

x

n

x

x

WL  WL P    x   WL  x    x  2 Sen     Px  Ma   2      L 0 2

L 4

x

WL2  WL P    x   WL  x    x  2 Sen     Px  Ma   2      L 0

RESOLUCIÓN

L

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS

4

RESISTENCIA DE MATERIALES II W

Aplicamos una fuerza imaginaria P  0 , en el punto 1.

a

P

W

n

a

P

Ma n



Ma

a

R3Y

R2Y a

L 4

R3Y

R2Y

L 4

L W

L

P

a

W

P

n



a n

Ma



Ma

R3Y

R2Y x

R3Y

R2Y x

Y1  kx n

a

kx n 1 n 1 kx n  2 M1   n  1 n  2  V1 

Por ESTÁTICA:

    

F

Wa  0  R2Y  R3Y  P0  n  1

Y

R2Y  R3Y 

M

2

W 5L  P  n  1 4

......

1

WL2  5L   R2Y  L   P    0  4  ( n  1)(n  2) WL 5 R2Y  P     4  (n  1)(n  2)

 2

Reemplazando (2) en (1):



W 4L R1Y  R3Y   P  n  1 5



W 4L WL 5 R3Y    P  P    n  1 5  4  (n  1)(n  2)



R3Y 

WL  4 1  1     P   n  1  5 n  2   4 



R3Y 

WL  4 1  1     P   n  1  5 n  2   4 

1. Carga aplicada:

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

L kx n  2   Ma  R2Y  x    P  x   4  n  1 n  2  

0

WL 5 ......  R2Y  P     4  (n  1)(n  2)

a

 Ma : P  Ma 5  L  x 5L     x     x     P 4 4  4 16  3. Determinamos

4. Reemplazando en el Primer Teorema de Castigliano:



 

M M    dx , EI   P 

" P " Carga concentrada ficticia P  0

   x 5L  L kx n  2      R2Y  x        dx 4 n  1 n  2         4 16     x 5L  WL L kx n 2      x       dx   4   n  1 n  2    4 16   (n  1)(n  2) 

Ingeniería Civil

5

x  WL L  x 5L     x     dx  0 ( n  1)( n  2)   4  4 16   

   x 5L  kx n 2   0   n  1 n  2   4  16  dx     x  x 2 5L WL Lx 5L2     x   dx   16 64   (n  1)(n  2)  0  4 16

  x x k 5Lx     0  16   n  1 n  2    4

n2

  dx 

   x3 5L 2 Lx2 5L2 WL x        32 64  (n  1)(n  2)  12 32

 x 0 x

 x 

 W    x n4 1 5Lx n 3        5L 4 n    n  1 n  2    4  n  4  16  n  3   

   x3 3L 2 5L2 WL   x    64  (n  1)(n  2)  12 16

8. Reemplazando en el Primer Teorema de Castigliano:



 

M M  EI   P

  dx , 

" P " Carga concentrada ficticia P  0 x

   x n4 k 5 Lx n 3          n  1 n  2    4  n  4  16  n  3  0

   x3 3L 2 5L2 WL   x    64  (n  1)(n  2)  12 16

 Ma : P  Ma 5  L  L  x L    x  x      P 4 4  4 4 4

7. Determinamos

x

n 3

ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

 x 

 W    x n4 1 5Lx n 3          5L 4 n    n  1 n  2    4  n  4  16  n  3   

5. Deflexión en 1 , para: x  0

  x L  L kx n  2      R2Y  x        dx 4   n  1 n  2    4 4      x L  WL L kx n 2          dx x  4   n  1 n  2    4 4   (n  1)(n  2)  x  WL L  x L     x     dx    0 ( n  1)( n  2) 4  4 4   

  x L  kxn2  0   n  1 n  2   4  4  dx   x

  x  x2 L WL Lx L2     x   dx   16 16   (n  1)(n  2)  0  4 4

  x  x n3 Lx n 2  k     0   dx 4    n  1 n  2    4 x

 L     R2Y  x      





x 0





  x 5L  kx n  2     dx 4   n  1 n  2    4 16 

  625WL EI      6144 L  n  1 n  2  n  3 4   30 16    6  n  4   n  3 n  4   5 25  

  625WL  x 0      6144 L  n  1 n  2  n  3 4   30 16    6  n  4   n  3 n  4   5 25   Aplicamos una Fuerza Ficticia " P " en el Punto 2, donde P  0 :

6. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

L L kx n  2    Ma  R2Y  x    P  x    4 4   n  1 n  2   

   x3 5L 2 L2  WL x  x      16  0  (n  1)(n  2)  12 32 x

   x n4 k Lx n 3          n  1 n  2    4  n  4  4  n  3  0

   x3 5L 2 L2  WL   x  x   16   (n  1)(n  2)  12 32  W    5L 4 n 

   x n 3   x 1 L             n  1 n  2    4    n  4   n  3  

9. Deflexión en 2 , para: x  L 4

  xL 4

3 2     L 4  5L  L  L2  L   WL         32  4  16  4    (n  1)(n  2)   12

  L  n 3    L           W   1  4     4   L      n    5L 4     n  1 n  2    4    n  4   n  3        

  xL 4

3 3 2    L WL L  L  5L  L             (n  1)(n  2)   64 12  4  32  4  

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS   L 3   W     4    L 1 L      n       5     n  1 n  2    4   4  n  4   n  3       

   11L3  WL   xL 4      (n  1)(n  2)  1536 

6

RESISTENCIA DE MATERIALES II

RESOLUCIÓN Levantamos el grado de indeterminación o hiperestacidad:

a

W P

 W    L4     3n  13  1  n      5    n  1 n  2    256   4  n  3 n  4    

Ma 3 M3

  11WL   xL 4     1536(n  1)(n  2)  4

1 2

  WL4    3n  13 1024   5n n  1 n  2 n  3 n  4        

  WL4  11  3n  13   xL 4       n  512   3 2  5   n  1 n  2  n  3 n  4  





xL 4

xL 4

  WL4  11  3n  13    EI    n  512   3 2  5   n  1 n  2  n  3 n  4  



 

EI



Rpta.:

  625WL  x 0     6144 L n  1 n  2 n  3  4        30 16    6  n  4   n  3 n  4   5 25  

levante el grado de hiperestaticidad y determine deformaciones en los puntos indicados por los métodos geométricos y energéticos.

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Método: Castigliano PROBLEMA NRO.: 4

W

L 3

L 3

F

0 

Y

R1Y  R3Y 

R1Y  R3Y 

WL P 2

......

WL P0 2

1

 2L  L  R1Y    R3Y    M 3  0  3  3  2L  L   R1Y  ......  2    R3Y    M 3  0  3  3

M

2

0 

Reemplazando (2) en (1):

 

II. En el siguiente grupo de ejercicios hiperestáticos

R3Y

Por ESTÁTICA:

  WL4  11  3n  13   512   3  n 2  5   n  1 n  2  n  3 n  4     

2L 3

2L 3

R1Y

a

 WL   2L  L   P  R3Y     R3Y    M 3  0  2  3  3  WL   2L   L    P   R3Y    M3  0  2  3   3 

1. Por Superposición de cargas:

R3 X

Ingeniería Civil

Ma

13 M3

1 12

a

2L 3

4. Reemplazando en el Primer Teorema de

R3 X

Castigliano:

R3Y



L 3 P

3w 3W Y1  2 L  x 2 3w 2 V1  x 4L w 3 M a M M1  4L  x 3 R3 X

a

W

R1Y

R3Y x a



y1 3w 2  x L

 y1 

3W 2 9w 2L Y2   x 2L 3 9w 2L V2   x 4L 3 3w 2L M2   x 4L 3

3w x 2L

Y2  V2  M2 

 Y2 

3

M M  EI   P

  dx , 

" P " Carga concentrada ficticia P  0 3  w 3 3w 2L   2L      R1Y  x   x   x    x   dx  4L 4L 3  3   3  w 4 3w 2L  2      R1Y  x   x   x x   dx   4L 4L 3   3  2L   2L  w 3 w   R1Y  3 x   6  x  2  x  3  dx   3  1  wL  2 w 4 3w 2L      x  x   x x   dx   2  2    4 L 4L 3   3  1  wL  2 L  w 3 w 2L  x   x   x   dx    2  2  2 3   3  6 

5. Deflexión en 2 , para: x  2 L 3

4   EI  199 L 87480

3w x 2L 3w 2 V1  x 4L w 3 M1  x 4L

y1 3w 2  x  2L 3 L 3

2

 

4 4 4   EI  31WL  2WL  5WL 4374 1215 648

Y1 



 Ma : P  Ma 2L  2L    x     x  P 3  3 

3. Determinamos

a

W P

R1Y

ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

7

Segundo Teorema de Castigliano:

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna: w 3 3w 2L x   x  Ma  R1Y  x   4L 4L 3

9w 2L  x 2L 3

3. Determinamos

9w 2L  x 2L 3 9w 2L  x 4L 3 3w 2L  x 4L 3



2

 Ma x  R1Y en

Castigliano:

 199  4  wL  87480EI 

  

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna: 2 L  w 3 3w 2L  x   x  Ma  R1Y  x   P  x   3  4L 4L 3 

 Ma :  R1

4. Reemplazando

3

3

3

el

Primer

Teorema

de

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS  



M M  EI   P

  dx , 



4

3

  x dx 



L L  R1Y    R3Y  ` M 3  0 2 2 L L ......  2   R1Y    R3Y  ` M 3  0 2 2

M

2

0 

Reemplazando (2) en (1):

4

R1Y L WL 7WL   0 3 20 3240

R1Y 

RESISTENCIA DE MATERIALES II 

 w 3 3w 2L     R1Y  x   x   x  4L 4L 3  3

8

 

31WL4 216

2WL 2WL  P  R1Y  R1Y  P   2WL WL P 2 R1Y   P  R1Y  R3Y     2 R1Y  R3Y 

1. Carga aplicada: x  WSen    L  P

 199  4  wL  87480 EI 

Rpta.:  x  2 L 3  

a

Ma

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Método: Castigliano

M3 1

12

x  WSen    L 

R1Y

a

R3Y 13

L

x  WSen    L 

P

a

Ma

M3

L

R1Y

RESOLUCIÓN Aplicamos una fuerza imaginaria P  0 , en el punto 2.

x  WSen    L  P

a

R3Y

L 2

x x  Va   dV  R1Y   WSen   dx  R1Y  P 0  L 



WL   x   WL Va  R1Y  Cos  P     L 0 



x   WL   x   WL M a    R1Y  Cos    P  dx       L 0   

x

1

L

L 2



a

M3

R1Y

x

a

R3 X

x

R3Y 13

WL2  WL P    x   WL  x    x  2 Sen     Px  Ma   2      L 0 x

Por ESTÁTICA:



F



F



X

 0  R1 X  0

L x   0  R1Y  R3Y   WSen   dx  P  0 0  L  2WL R1Y  R3Y   P ...... 1 

Y

R3 X

Ecuación del momento en la sección:

Ma

12

R3 X

WL2  WL P    x   WL  x    x  2 Sen     Px  Ma   2      L 0 

Ma 

WL2   x  Px Sen   2   L  2

Ingeniería Civil

ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

9 x

WL   x   WL Va  R1Y  Cos  P     L 0  Ma 

WL2   x  Px Sen   2   L  2

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

 Ma 

WL4  3 1  1     3  16   EI

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Método: Castigliano

WL    x   Px x  LSen         L  2

3. Determinamos



Rpta.:  x  L 2 

W

 Ma : P

n

 Ma x  P 2

4. Reemplazando en el Primer Teorema de Castigliano:



 

M M  EI   P

L 4

  dx , 

RESOLUCIÓN

" P " Carga concentrada ficticia P  0

  EI 



L2

0

WL    x   Px    x  x  LSen        dx    L  2   2   

Aplicamos una fuerza imaginaria P  0 , en el punto 1.

L4W 3L4W L4W L4W L4W    4  3   EI  48 48 3 48 3  4   EI 

4

WL 3

L

W a

P

 3 1     16  

n

Ma

WL4  3 1  1    3      16   EI Segundo Teorema de Castigliano:

a

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:  Ma 

L 4

R3Y

 Ma :  R1Y

L W

P

a

 Ma x    R1Y 2

n

Ma

4. Reemplazando en el Primer Teorema de

M3

Castigliano:



 

R3 X

R2Y

WL    x   Px x  LSen         L  2

3. Determinamos

M3

M M    dx , EI   P 

R3Y R3Y

R2Y x

 WL    x      x  LSen     x dx   L     

Por ESTÁTICA:

WL 3WL  R1Y    3    





F

Y

a

Wa  0  R2Y  R3Y  P0  n  1

R2Y  R3Y 

W 5L  P  n  1 4

......

1

R3 X

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS   

M

2

0

10

RESISTENCIA DE MATERIALES II 

WL2  5L   R2Y  L   P     M1  0  4  ( n  1)( n  2) WL 5 R2Y  P     M1  4  (n  1)(n  2)

WL 5  R2Y  P     M 1 ......  4  (n  1)(n  2)

 2

1. Carga aplicada: W

n

M3

a

" P " Carga concentrada ficticia P  0

   x 5L  L kx n  2      R2Y  x        dx 4   n  1 n  2    4 16       x 5L  WL L kx n 2          dx x  4   n  1 n  2    4 16   (n  1)(n  2) 

   x 5L  kx n 2  0   n  1 n  2   4  16  dx  

R3 X

R3Y

  x  x 2 5L WL Lx 5L2     x   dx   16 64   (n  1)(n  2)  0  4 16

  x  x n3 5Lx n 2  k     0   dx 16    n  1 n  2    4

R2Y L

x

   x3 5L 2 Lx2 5L2  WL x   x      32 64  0  (n  1)(n  2)  12 32

W

P

  dx , 

x

Ma

L 4

M M  EI   P

x  WL L  x 5L     x     dx    0 ( n  1)( n  2) 4  4 16   

a

P

 

x

   x n4 k 5 Lx n 3          n  1 n  2    4  n  4  16  n  3  0

a n

Ma

M3

5. Deflexión en 1 , para: x  0 R3 X

R3Y R3Y

R2Y x

  625WL   x 0 EI    256( n  1)(n  2)  n  3 n  4     

 11 3 n  4     n4  8  5  8 10 

a

Y1  kx n kx n 1 n 1 kx n  2 M1   n  1 n  2  V1 

  625WL  x 0      256(n  1)(n  2)  n  3 n  4    11 3 n  4     n4  8  5  8 10 

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

L kx n  2   Ma  R2Y  x    P  x   4  n  1 n  2    Ma : 3. Determinamos P  Ma 5  L  x 5L     x     x     P 4 4  4 16  4. Reemplazando en el Primer Teorema de Castigliano:

Rpta.:

  625WL  x 0     256( n  1)( n  2) n  3 n  4       11 3 n  4     n4  8  5  8 10  Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Método: Castigliano

Ingeniería Civil

ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

11

a

W P

W

Ma

1

M1 R1Y

2L 3

12

R1Y

a

2L 3

R3 X

R3Y

L 3 P

RESOLUCIÓN

3W 3w 2 Y1  x

a

2L 3w 2 V1  x Ma M 4L 3 R3 X w 3 M1  x 4 L R

W

Levantamos el grado de indeterminación o hiperestacidad: R1Y

a

M3

1

L 3

W P

13

3Y

x a

M1

R1X

Ma 3 M3

1

M1 R1Y

2

2L 3

a

 

 

F

0 

Y

R1Y  R3Y 

R3Y

L 3

 R1Y  R3Y 

WL P 2

......

WL P0 2

2



0 

1  WL  R1Y     P 2 2 

1. Por Superposición de cargas:

3w x 2L

3w x 2L 3w 2 V1  x 4L w 3 M1  x 4L

 2

R3Y WL WL R1Y  R3Y  P   R3Y  P 2 2 2 3R3Y WL 3  WL   P ,   P  R3Y   2 2 2 2 

entonces:

 y1 

Y1 

Reemplazando (2) en (1):



y1 3w 2  x L

1

 2L  L  R1Y    R3Y    0  3  3  2L   L R1Y    R3Y    2 R1Y  R3Y ......  3  3

M

9w 2L  x 2L 3 9w 2L V2   x 4L 3 3w 2L M2   x 4L 3 Y2 

R3 X

Por ESTÁTICA:

3W 2



y1 3w 2  x  2L 3 L 3 Y2 

 Y2 

9w 2L  x 2L 3

9w 2L  x 2L 3

9w 2L V2   x 4L 3 3w 2L M2   x 4L 3

2

3

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna: 2 L  w 3 3w 2L  Ma  R1Y  x   P  x  x   x  3  4L 4L 3 

3

 M1

2

3

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS  Ma : P  Ma 2L  2L    x     x  P 3  3 

12

RESISTENCIA DE MATERIALES II

3. Determinamos

4. Reemplazando en el Primer Teorema de Castigliano:



 

M M  EI   P

 



  dx , 

M M  EI   P

  dx , 

 w 3 3w 2L     R1Y  x   x   x  4L 4L 3   w 3 3w 2L     R1Y  x   x   x  4L 4L 3 

  x dx  0  3    1 dx  0  3

Entonces, resolviendo:

" P " Carga concentrada ficticia P  0 3  w 3 3w 2L   2L      R1Y  x   x   x    x   dx  4L 4L 3  3   3  w 4 3w 2L  2      R1Y  x   x   x x   dx   4L 4L 3   3  2L   2L  w 3 w   R1Y  3 x   6  x  2  x  3  dx   3  1  wL  2 w 4 3w 2L      x  x   x x   dx   2  2    4 L 4L 3   3  1  wL  2 L  w 3 w 2L  x   x   x   dx    2  2  2 3   3  6 

R1Y 

23WL 108

M1 

5WL2 108

 31  4  x2 L 3    wL  21870 EI 

Rpta.:

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Método: Castigliano

x  WSen    L 

L

5. Deflexión en 2 , para: x  2 L 3

 1  wL  2 w 4 3w 2L      x  x   x x   dx    2 2  4 L 4 L 3   3  1  wL  2 L  w 3 w 2L   x   x   x   dx    2  2  3 6 2 3      31  4     wL  21870EI 

RESOLUCIÓN

3

Aplicamos una fuerza imaginaria P  0 , en el punto 2. a P

1

Ma

R1X M1

Segundo Teorema de Castigliano:

12

R1Y

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:  Ma  R1Y  x   M1 

w 3 3w 2L x   x 4L 4L 3

3

 Ma 3. Determinamos : P  Ma  Ma x  1   R1Y  M1

R3Y

R3 X 3

Por ESTÁTICA:



F



F



4. Reemplazando en el Primer Teorema de Castigliano:

a

M3



X

 0  R1 X  0

L x   0  R1Y  R3Y   WSen   dx  P  0 0  L  2WL R1Y  R3Y   P ...... 1 

Y

M

2

0 

L L  R1Y    R3Y    M 1  0 2 2

Ingeniería Civil

ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

13

1. Carga aplicada:

4. Reemplazando en el Primer Teorema de Castigliano:

x  a WSen   P  L  Ma

R1X

1

M3

M1 R1Y

12

a

  dx , 

L2

 WL2   x    x  Px  M1    dx  2 Sen     L  2    2 

  EI 



  EI 

WL4  1 1 1    2 2    2 4  

0

a

P

Rpta.:  x  L 2

Ma

M3

x

R1Y

R3 X

13

R1X M1

M M  EI   P

" P " Carga concentrada ficticia P  0

R3Y

L

x  WSen    L 

 



a

L 2

R3 X

R3Y

L 2

WL4  2 

1  1 1 1  2  4   2   EI

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Método: Castigliano

W

Ecuación del momento en la sección:

n



x x  Va   dV  R1Y   WSen   dx  R1Y  P 0  L 



WL   x   WL Va  R1Y  Cos  P     L 0 



x   WL   x   WL M a    R1Y  Cos    P  dx      L 0   

n

x

2L 3

RESOLUCIÓN

x

WL2  WL P    x   WL  x    x  2 Sen     Px  Ma   2      L 0 x

WL  WL P    x   WL  x    x  2 Sen     Px  Ma   2      L 0 2



Aplicamos una fuerza imaginaria P  0 , en el punto 1.

W

WL   x  Px M a  2 Sen     L  2 2

n



M3

R1X M1 R1Y

WL2   x  Px Sen   M1  2   L  2

2L 3

Por ESTÁTICA:

WL   x  Px Sen   M1  2   L  2  Ma : 3. Determinamos P  Ma x   P 2



 Ma 

a

3

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna: 2

n

1

x

WL   x   WL Va  R1Y  Cos  P     L 0  Ma 

L 3

 

F

a

R3Y

Wa  0  R2Y  R3Y  WL  P0  n  1

Y

R2Y  R3Y 

M

L 3

2

0

W 5L  P  n  1 4

......

1

R3 X

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS  

 Ma : P  Ma 5  L  x 5L     x     x     P 4 4  4 16  3. Determinamos

 2

Reemplazando (2) en (1):



4. Reemplazando en el Primer Teorema de

W 4L R1Y  R3Y   P  n  1 5

Castigliano:

R3Y 

W 4L WL 5   P  P    n  1 5  4  (n  1)(n  2)



R3Y 

WL  4 1  1     P   n  1  5 n  2   4 



R3Y 

WL  4 1  1     P   n  1  5 n  2   4 



W

" P " Carga concentrada ficticia P  0

x  WL L  x 5L     x     dx    0 ( n  1)( n  2) 4  4 16   

a

M3

R1X

L 3

    03 3L 2 5L2 WL   x 0 EI    0      0  64  (n  1)(n  2)  12 16  n 3  W    0n  4 5L  0   1         5L 4 n    n  1 n  2    4  n  4  16  n  3     

W

R1X M2 R2Y  0

5. Deflexión en 1 , para: x  0

R3Y

Ma

M1 R1Y

R3 X

a

a

a

M3

R3Y

   x 5L  kx n 2  0   n  1 n  2   4  16  dx   x

3

2L 3

  dx , 

   x 5L  L kx n  2      R2Y  x     M 1     dx 4   n  1 n  2      4 16 

1

M1 R1Y

M M  EI   P

   x 5L  L kx n  2      R2Y  x     M 1     dx 4   n  1 n  2      4 16 

n



 



1. Carga aplicada:

n

RESISTENCIA DE MATERIALES II L kx n  2   Ma  R2Y  x    P  x   4  n  1 n  2  

WL2  5L   R2Y  L   P    0  4  ( n  1)(n  2) WL 5 R2Y  P     4  (n  1)(n  2)

WL 5 ......  R2Y  P     4  (n  1)(n  2)

14

R3 X

12  5n  9    WL4   27       EI  13122 (n  1)(n  2)(n  3)(n  4)  Rpta.:

12  5n  9    WL4   27  x2L 3       EI  13122 (n  1)(n  2)(n  3)(n  4)  W

Y1  W V1  Wx M1 

Wx 2 2

Y1  kx n kx n 1 n 1 kx n  2 M1   n  1 n  2  V1 

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

Ingeniería Civil

ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

15

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430

Método: Tres Momentos

III. En los siguientes vigas continuas y marcos simples determinar las reacciones en los apoyos diagrama

de la estructura deformada y diagramada de fuerzas axiales, cortante y momentos por los métodos de los tres momentos; giros y desplazamientos y rigideces según corresponda.

4 Ton / m

4m

x  5Sen    5 

4 Ton / m

2m

4m

6m

2m 6m

5m 15cm

60cm

60cm 40cm

30cm

30cm 15cm

RESOLUCIÓN 4 Ton / m

4m L0

x  5Sen    5 

4 Ton / m

2m L1 6m

4m

2m

L2

L3

5m

6m

L4

15cm

60cm

60cm 40cm

30cm

30cm 15cm

1. Determinamos las constantes de carga: A) W

Por ESTÁTICA:

 

2L 3

F

R1Y  R3Y 

WL 0 2

0 

 R1Y  L  

WL  L   0 2 3

WL 6

R1Y 

0 

Y

R1Y  R3Y 



M



R1Y 

2

WL 2



 x  WSen    L 

1 2

3

Área

xc

xd

R1Y L R L2  L   1Y 2 2 2 WL L WL3   4 3  1 16 WL2 1  L  WL3    36 3  1  3  432

2L 3 4L 5 4L 15

L 3 L 5 L 15

c. Determinamos

L Tenemos:

a. De Área de Momentos, se obtiene:

L 3

6 Aa 6  R1Y L2  2 L  WL3  4 L  WL3  4 L           , L L  2  3  16  5  432  15  



6 Aa 6  R1Y L3 WL4 WL4      , L L 3 20 1620 



6 Aa 6  WL  L3 WL4 WL4     ,   L L  6  3 20 1620 



6 Aa 6 WL4 WL4 WL4  6 WL4       , L L  18 20 1620  L  162 

R3Y

R1Y L 

 WL2 4 

WL2 36

6Aa 6Ab y : L L



W

2L 3

1

......

b. Determinamos centroides:

L 3

B)

R1Y

WL 6



6 Aa WL3  L 27



6 Ab 6  R1Y L2  L  WL3  L  WL3  L           , L L  2  3  16  5  432  15  



6 Ab 6  R1Y L3 WL4 WL4      , L L 6 80 6480 



6 Ab 6  WL  L3 WL4 WL4     ,   L L  6  6 80 6480 



6 Ab 6 WL4 WL4 WL4  6  5WL4       , L L  36 80 6480  L  324 

Ingeniería Civil 

ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

17

6 Ab 5WL3  , L 54



6 Aa 6 WL3  L  WL3  L L L     3    3     , L L        2 2  



6 Aa 6 WL3  L  WL3  L    3    3  L   , L L        

a. De Área de Momentos, se obtiene: 

x  WSen    L 



6 Aa 6  WL4 WL4 WL4   4  3  4 L L    

6 Aa 6WL3  3 L 

Por Simetría:

R1Y

R3Y

L



 6 WL4  6WL3   3  3 ,   L   

6 Aa 6 Ab  L L

6 Aa 6 Ab 6WL3   3 L L 

WL2 x  Sen   2   L 

W



R1Y

L 2

L 2

2L 3

Por ESTÁTICA:



L x  R1Y  R3Y   W  Sen  0 0  L 

 FY  0 

6 Aa WL3  L 27

6 Ab 5WL3  L 54 x  WSen    L 

WL 2WL x  R1Y  R3Y   Cos    2   L 0 L



R1Y  R3Y

Por Simetría:



R1Y 

L 3

2WL  1     2



R1Y 

WL 

......

1

b. Determinamos centroides: L



Área 3

1 2

WL 3 WL3 3

c. Determinamos

xc

xd

L  L L L   2 2 

L  L L L   2 2 

6Aa 6Ab y : L L

6 Aa 6 Ab 6WL3   3 L L  Por Tres Momentos: Considerando dos apoyos ficticios (Apoyo 0 y Apoyo 5), ya que existen dos empotramientos es posible:

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS 4 Ton / m

4m L0

x  5Sen    5 

4 Ton / m

2m

4m

L1 6m

L3

5m

6m

L4

 M 3 L3  2M 4  L3  L4   M 5 L4 

 M 0 L0  2M1  L0  L1   M 2 L1 

6 Aa0 6 Ab0  0 L L

Como en el Tramo 0 -1 los factores:

6 Aa0 0 L

y



 2M1  6   M 2  6  

6 Aa5 6 Ab5  0 L L



6Aa0 6 Ab0  0 L L

6 Ab0  0 , entonces: L

3 6 Ab0 WL3 4  6     32 L 27 27 ......  12M 1  6M 2  32  0

y

M5  0



 6M 3  12M 4 

6 Aa0 6 Ab0  0 L L

6 Aa0  0 , entonces: L

3 6 Aa0 5WL3 5  4  6     80 L 54 54

 6 M 3  12M 4  80  0

1

2. TRAMO 1 – 2:

......

 4

De (1), (2), (3) y (4):

 M1L1  2M 2  L1  L2   M 3 L2 

6 Aa0 6 Ab0  0 L L

 M1  6   2M 2  6  5   M 3  5  

6 Aa0 6 Ab0  0 L L

 6M1  22M 2  5M 3 

6 Aa0 6 Ab0  0 L L

 M 3  6   2M 4 6  L4  M 5 L4 



 3

Como en el Tramo 4 -5 (Tramo ficticio) los factores:



M0  0

 M 0 L0  2M 1 L0  L1  M 2 L1 

......

4. TRAMO 3 – 4:

1. TRAMO 0 – 1:



RESISTENCIA DE MATERIALES II 3 6 Ab0 WL3 4  6     32 L 27 27 3750  5M 2  22M 3  6M 4  3  32  0 

2m

L2

18

6 Aa0 6 Ab0   0 , entonces: L L

6 Aa0 5WL3 5  4  6   L 54 54

3

  80

6 Ab0 6WL3 6  5  53 3750  3   3 L  3  3750  6M1  22M 2  5M 3  80  3  0 

......

 2

3. TRAMO 2 – 3: 6 Aa0 6 Ab0  0  M 2 L2  2M 3  L2  L3   M 4 L3  L L  M 2  5  2M 3  5  6   M 4  6  

 M1   1.722   M   8.777   2     M 3   3.636      M 4   4.848

5. Cálculo de reacciones: Tramo 1 – 2:

4 Ton / m

6 Aa0 6 Ab0  0 L L

6 Aa0 6 Ab0   0 , entonces:  5M 2  22M 3  6M 4  L L 6 Aa0 6WL3 6  5  53 3750  3   3 L  3 

32    12 6 0 0   M1  3750    6 22 5 0   M  80  3     2     0 5 22 6   M 3  3750   32       3   0 0 6 12  M 4    80 

8.777

1.722

R1Y

2L 3

L 3

R2Y

Ingeniería Civil Por ESTÁTICA:

  

F

0 

Y

R1Y  R2Y  12

M

2

ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

19 4  6 0 2 R1Y  12  R2Y ......

4 Ton / m

R1Y  R2Y  

1

3.636

0

 26  6  R1Y    R2Y    1.722  8.777  0  3  3  4 R1Y  2 R2Y  7.055  0 ......  2 



40.945  6.824 6 R2Y  40.945  0  R2Y  6 R1Y  12  6.824  5.176  R1Y  5.176



Tramo 2– 3:



x  5Sen    5 

3.636

2

1

 0 (Momento en el centro de la luz)



6 R4Y  46.788  0 



R3Y  12  7.798  4.202

46.788  7.798 6  R3Y  4.202

R4Y 

R1Y  5.176 Ton

......

1

 M 2  0 (Momento en el centro de la luz) L L  R2Y    R3Y    8.777  3.636  0 2 2

5.141    R2Y  R3Y   ...... 5

R2Y  6.824  7.444  14.268 Ton R3Y  8.471  4.202  12.673 Ton R4Y  7.798 Ton Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Método: Giros y Desplazamientos 8 Ton / m

 2

Reemplazando (1) en (2):



M



6. Finalmente:

 5 R2Y  5 R3Y  5.141  0  5  R2Y  R3Y   5.141



R3Y  R4Y  12

4  6 0 2 R3Y  12  R4Y ......

R3Y  R4Y 

Reemplazando (1) en (2):

R3Y

L

2WL   FY  0  R2Y  R3Y  0  2  5 5 50  R2Y  R3Y   R2Y   R3Y  



0 

Y

 26  6  R3Y    R4Y    3.636  4.848  0  3  3  4 R3Y  2 R4Y  1.212  0 ......  2 

Por ESTÁTICA:



F

R4Y



8.777

R2Y

L 3

Por ESTÁTICA:

Reemplazando (1) en (2):



2L 3

R3Y





4.848

4 Ton / m

50 5.141   R2Y  7.444  5 50 R3Y   7.444  8.471  R3Y  8.471 

2R2Y 

Tramo 1 – 2:

1m 6 Ton 6 Ton 4m

2 4 Ton / m

2m

1m 5m

2m

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS

20 RESISTENCIA

DE MATERIALES II

 Wx3  2     R1Y  x   M1  Wx    1 dx  0 6L    Wx3       R1Y  x   M1  Wx 2   dx  0 6 L  

1. Por Superposición de cargas: a 2W

 R1Y  x 2  Wx3 Wx 4   0     M1 x   2 2 24 L   0 L

W

M1

M3

R1X

x

R1Y

R3 X

R3Y

a

L

y1 3w 2  x  2L 3 L 3

 Y2 

13WL 20 103WL2 M1  120

9w 2L  x 2L 3

Wx L Wx 2 V1  Wx  2L Wx 3 M 1  Wx 2  6L

5. Por Estática:

43WL 20 7WL2 M3  8 R3Y 

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

1. Por Superposición de cargas:

3

Wx 6L  Ma  Ma y 3. Determinamos  R1Y  M1  Ma  R1Y  x   M 1  Wx 2 

a

el

P

P

 Ma  Ma  x y  1  R1Y  M1 en

 2

R1Y 

Y1  W 

4. Reemplazando

......

5. De (1) y (2), se obtiene:

Levantamos el grado de libertad:



R1Y L2 WL3 WL3   M1L   0 2 2 24

Primer

Teorema

de

M1

M3

Castigliano:



M   Ma      dx , EI   R1Y 

M   Ma      dx EI   M 1 

 Wx3      R1Y  x   M1  Wx 2    x  dx 6 L    Wx 4  2 3     R1Y  x   M1 x  Wx   dx 6L  

R1Y

x

L 2

a L

L

1

L 2

R3Y

Levantamos el grado de libertad:

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

L 3L      P x   4 4     Ma  Ma y 3. Determinamos  R1Y  M1  Ma  R1Y  x   M 1  P  x 

R M x 2 Wx 4 Wx5     1Y  x3   1    0 2 8 30 L  0  3 R1Y L3 M 1 L2 WL4 WL4     0 ...... 3 2 8 30

R1X



 Ma  Ma x y  1  R1Y  M1

R3 X

Ingeniería Civil 4. Reemplazando Castigliano:



en

M   Ma    dx , EI   R1Y 

 

ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

21 el

Primer

 

Teorema

de

M   Ma    dx EI   M 1 

 L 3L         R1Y  x   M 1  P  x    P  x     x  dx 4 4    

a

W2 W1

M1

M3

R1X R1Y

W1 L2 W2  W1  L  12 30 2 2 W1 L W2  W1  L M3    12 20 2

M1 

 L 3L         R1Y  x 2   M 1 x  Px  x    Px  x    dx 4 4    

 L 3L          R1Y  x   M 1  P  x    P  x    dx 4 4     R1Y L2 PL2 PL2   M1L   0 2 4 4

......

Sean las ecuaciones de giros y desplazamientos:

 6  M ij  M ij  Kij  4i  2 j    l ij    6  M ji  M ji  K ji  2i  4 j    lij   Determinando la rigideces relativas: I  20 Considerando:

 2

K12  20 / 4  5

5. De (1) y (2), se obtiene:

K 23  20 / 4  5

Por Simetría:

K 24  20 / 5  4

R1Y  R3Y  P

K 45  20 / 4  5

PL M1  M 3  2

Tenemos:

M 12  W

M3

M1 a

x

L 2

M1  M 3 

L 2

n  n  4 WL2 12  n  1 n  3

425 33 16  15

M 24 

n

R1Y

336 55

M 23  12

a

n

R1X

R3Y

a L

 L 3L         R1Y  x 2   M 1 x  Px  x    Px  x    dx 4 4    

R1Y L3 M 1 L2 5 PL3 PL3     0 ...... 1 3 2 24 24  L 3L         R1Y  x   M 1  P  x    P  x     1 dx 4 4    

x

R3 X

M 45

M 21 

1312 165

M 32  12 150 11 16 M 54   15

M 42 

R3 X Planteamiento de ecuaciones

R3Y

 336 6  336   5  41  2 2   10 2  55 lij  55    1312 6  1312  M 21   5  21  4 2   20 2  165 lij  165   M 12 

 6  M 23  12  5  4 2  23    12  20 2  103  l ij  

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS  6  M 32  12  5  2 2  43    12  10 2  203  l ij    425 6  425 M 24   4  4 2  2 4   16 2  8 4    33 l 33 ij    150 6  150 M 42   4  2 2  4 4   8 2  16 4    11 l 11 ij   16  6  16 M 45   5  4 4  25     20 4  105 15  lij  15 16  6  16 M 54   5  2 4  45   10 4  205    15 l 15 ij   Por Continuidad:

M 21  M 23  M 24  0 931  56 2  103  8 4  0 55 M 32  0

12  102  203  0

......

1

......

 2

......

 3

......

 4

M 42  M 45  0 2074  8 2  36 4  105  0 165 M 54  0 

16  10 4  205  0 15

De (1), (2), (3) y (4):

 2  0.532rad 3  0.866rad  4  0.526rad 5  0.209rad 336  10 2 , 55 ,  M 12  0.789

 M 12 

1312  20 2 165 M 21  18.952

M 21 

 M 23  12  20 2  103  10.02  M 32  12  10 2  203  0

425  16 2  8 4  2.695 33 150  8 2  16 4  8.575  M 42  11 16  20 4  105  9.497  M 45  15  M 24 

22 RESISTENCIA M 54 

DE MATERIALES II

16  10 4  205  0.013 15 Rpta.:

 2  0.532rad 3  0.866rad  4  0.526rad 5  0.209rad

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430

Método: Trabajo Virtual

IV. Para las armaduras mostradas determine los grados de libertad en todos los puntos por los métodos

de trabajo virtual y castigliano. NOTA: Si la armadura es hiperestática levante su grado de indeterminación. 4 Ton

4 Ton

2 Ton

2m

5m

4m

4m

De la figura, se obtiene: 4 Ton

4 Ton

2 Ton 2m

5m

R5 X

R1X R1Y

R5Y 2m

2m

2m

2m

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS

24 RESISTENCIA

Por ESTÁTICA:



F F



M



X

 0  R1 X  2  R5 X

Y

0 

R1Y  R5Y  4  4  0

0 

4  2   2  7   4  6   R5Y  8   0

1

 R5 X  R1 X  2

......

R1Y  R5Y  8



......

1 2 46 8

R5Y 



DE MATERIALES II

......

 3

Reemplazando (3) en (2):



R1Y  R5Y  8 

R1Y  8  R5Y 

R1Y  8 

46 18  8 8



R1Y 

18 8

Liberamos el grado de indeterminación:

4 Ton 12

4 Ton 14

3m

2 Ton

2m

7

7 13

5/ 2

5/ 2

5

5m

5

4

4

15

R5 X

1

R1X R1Y

2m

2m

A) Armando la matriz de cosenos:

2m

2m

M1

R1X

R1Y

R5 X

S12 5 221 14 221 5 221 14 221

1X

1

0

0

1Y

0

1

0

2X

0

0

0

2Y

0

0

0

3X

0

0

0

0

3Y

0

0

0

0

4X

0

0

0

0

S13 4 41 5 41

S23

S24

S34

S35

S45

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

3 5 4 5 3 5

4 41 5 41

4 41 5 41

3 5 4 5 3 5 4 5

0

0

0 0

0 0

1

0

0 0

5 221

Ingeniería Civil

ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

25

14 221 5 221 14 221

4Y

0

0

0

0

0

0

0

4 5

5X

0

0

0

0

0

0

0

0

5Y

0

0

1

0

0

0

0

0

B) Matriz de cargas:

M2

Real

R2 X

R2 y

R3 X

R3 y

R4 X

R4 y

R5 X

R5 y

0 0

0 0

2 4

1

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

1

1X 1Y 2X 2Y 3X 3Y

DEFORMACIONES:

0 0 0

4X 4Y

4

5X 5Y

3.1 0

0 0 0 0 0 0 0

1

0 0 0 0 0 0

A  40cm2  4 103 m2 ,

1

0 0 0 0 0

1

1

0 0 0 0

0

4 41 5 41

1

0 0 0

0 0

E  2 106 Kg cm2  2 1012 Ton

Nodos: Barra L

S

S2x

S2y

S3x

S3y

SLS2x

SLS2y SLS3x

SLS3y

1_2

7.430 -1.670

-0.719

1.319

1_3

6.403 -0.849 2.500 -3.012 3.000 -0.750 2.500

1.988

-0.710

8.921 -16.366 14.877 11.899 2.246 -0.516 -10.807 3.860 -12.210 2.805

0.847

-0.302

1.411 -1.129

-6.378

2.274 -10.625 8.501

-1.750

0.625

-1.250 1.000

3.938

-1.406

2.813

-2.250

1.976

-0.706

1.411 -1.129

-3.764

1.345

-2.688

2.151

3_5

6.403 -0.762 7.430 -3.019

0.904

-0.323

0.645 -0.516 -17.475

4_5

-3.590

-1.678

0.599

-1.199 0.959 44.758 -15.978 31.982 25.580

2_3 2_4 3_4

Barra L

S

S4x

S4y

-1.199 0.959

S5x

S5y SLS4x

6.244 -12.468 9.975

SLS4y

SLS5x

SLS5y

1_2

7.430 -1.670 -0.719

0.599 -2.398

0

8.921

-7.432

29.755

0.0

1_3

6.403 -0.849 1.988 -0.323 2.892 2.500 -3.012 0.847 -0.706 2.823 3.000 2.500 -0.750 -0.750 0.625 -2.500

0

-10.807

1.756

-15.721

0.0

0

-6.378

5.316

-21.257

0.0

0

1.688

-1.406

5.625

0.0

2_3 2_4

MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS 3_4 3_5

6.403 -0.762 7.430 -3.019

4_5

Nodo 5:



u5 



v5 

1X

L

EA

S S

1Y

EA

L

DE MATERIALES II

1.976

-0.302

2.823

0

-3.764

0.904

-0.710

2.892

0

-17.475

1.319 -2.398

0

44.758 -35.183

-3.590 -1.678

S S

26 RESISTENCIA



u

1.083 EA



u  1.3528 103



v

0 EA



v0

TENSIONES COMBINADAS

-5.378

0.0

13.725 -55.904

0.0

63.964

0.0



Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Tema: T.C.

V. Para el elemento mostrado, halle el rango de valores de  xy para el cual el esfuerzo cortante máximo en el plano es igual o menor que

0.575

16ksi R 8ksi

20 ksi.

C1

C2 

D 16ksi

8ksi

x2

x1

 xy

Sea C1 la ubicación del radio del círculo que limita más a la izquierda y C2 sea el de la derecha.

 C1 R  20ksi

y C2 R  20ksi

Además C1 DR y C2 DR 2

2

 C1 D  DR  C1 R Mediante el Círculo de Morh, ubicamos los esfuerzos, el punto se sitúa en el R. El radio de los círculos limitante es 20Ksi:

2

son triángulos rectángulos: 2

 C1 D  82  20 2

 C1D  4 21

......

1

Coordenadas del punto C1 :





C1  0,16  4 21   0, 2.330 ksi  Coordenadas del punto C 2 :





C 2  0,16  4 21   0, 34.330 ksi  Asimismo: Coordenadas del punto x1 :





x1  2.330  4 21, 8   20.660 ksi, 8ksi  Coordenadas del punto x 2 :





C2  34.330  4 21, 8   52.660 ksi, 8ksi 

Ingeniería Civil



El punto x1 x2 :

xy

, xy  debe encontrarse en la línea

ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

27 A

D

H

20.660 ksi   xy  52.660 ksi

kk

L 2

Rpta.: 20.660 ksi   xy  52.660 ksi

G

E

COLUMNAS Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Código: 120430 Tema: Columnas

L 2

k F

B

Un marco consta de 4 elementos en L conectados por cuatro resortes torsionales de constante K, cada uno. Si se aplican fuerzas P iguales en A y D halle la carga crítica Pcr para el

C

VI.

sistema

L 2

L 2

Tenemos:

P

P

P A



H

A

D

k

E

L 2 k

k

C

F L 2

L 2

k  2  P El radio de los círculos limitante es 20Ksi: L L  x  Sen    y C2 R  20ksi 2 2 Además

M

E

0

 k  2   k  2   Px  0  Px  k  4   P

Sea " " la rotación del elemento en forma de L Cambio de ángulo a través de cada resorte de torsión es 2

k  2 

E

G

L 2

k

B

H

4k x

Entonces Pcr  Rpta.: Pcr 

8k L

8k L