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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN ESCUELA PROFESIONAL DE ING INDUSTRIAL

CAP. II: PROBLEMAS PROPUESTOS (INTERÉS COMPUESTO) 1. Calcular el interés compuesto que genera S/. 1 000 al 20% anual capitalizable anualmente durante 4 años. Datos: P=1 000 ι=20 anual=0,20 anual η=4 años

P=1 000

0

1

2

3

4

F= ¿?

Solución: F=( P+ι )η F=(1 000+0,20)4 F=1000,20 4 F=2 074

I =F−P I =2074−1000

I =S /.1074

2. ¿A qué tasa de interés equivalen S/. 550 de hace un año y S/. 650 dentro de un año? Datos: P=550 η=2años F=650

ι=? 1

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Solución: F=P ( 1+ι )

η

650=550 ( 1+ι )2 1,1818=( 1+ι )2 1,0871=1+ι

ι=0,0871=8,71 3. ¿Cómo se explica el hecho de que dos cantidades diferentes de dinero puedan ser equivalentes la una a la otra? RESPUESTA: Esto sucede ya que el tiempo que separa estas cantidades se ve afectada por el interés esto hace que una de las cantidades genere diferentes intereses. 4. Una compañía, invirtió S/.50 000 en un nuevo proceso hace un año y acaba de obtener una cantidad de S/.57 500. ¿Cuál ha sido la tasa de retorno basado en esta inversión? Datos: P=50 000

η=1 año F=57 500

ι=? Solución: F=P ( 1+ι )η 57 500=50 000 ( 1+ι )1 1,15=1+ι

ι=0,15 →15

2

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5. Suponiendo que se le presente una oportunidad de inversión en la que puede invertir S/.1 000 al 7% de interés simple anual por tres años, o invertir los mismos S/.1 000 al 6% de interés compuesto anual durante tres años. ¿Qué tipo de capitalización aceptaría? Caso a: Interés simple

P=S /.1 000

ι=7 anual

η=3 años Solución: F=P ( 1+ι ×η ) F=1000(1+3 x 0,07)=S /.1 210 I =1210 – 1000=S / .210

Caso b: Interés compuesto P=S /. 1,000

i=6 anual n=3 años

Solución: F=P(1+ι)η 3

F=1,000(1+0,06) 3

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F=1191,1

I =1191,1 – 1 000 I =S /. 191,1

Interpretación: El interés que produce el capital en el caso a es mayor que el producido en el caso b esto equivale a decir que las ganancias serán mayores al final del período de inversión. Siendo mejor oportunidad de inversión un interés simple del 7% anual que un interés del 6% anual. 6. ¿Cuánto dinero deberá una persona después de dos años, si solicita un préstamo por S/.60 000 al 1% de interés simple mensual? Datos: P=60 000 ι=1 mensual

η=2años=24 meses

Formulas: I =P× ι× η

F=P+ I Solución: I =P× ι× η

I =60 000 ×(0,01)×(24) I =14 400

F=P+ I F=60 000+14 400

4

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F=74 400

7. Si invierte S/.10 000 hoy en un negocio que promete producir S/.14 641. ¿En qué momento debe recibir los S/.14 641 para obtener al menos el 10%, anual de interés sobre su inversión? Datos: P=10 000 F=14 641

ι=10 η=¿?

Solución : F=P(1+ι)η 14 641=10 000(1+ 0,10)η η

1, 4641=(1+ 0,10)

ln ( 1,4641 )=η × ln (1,10 ) 0,3812=η (0,0953)

n=4 años

8. Alguien comenta que acaba de pagar un préstamo que solicitó hace tres años al 10% de interés simple anual. Sabiendo que pagó S/. 195. ¿Por cuánto fue el préstamo? Datos: η=3 años

ι=10 anual

5

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F=195

P=¿ ? Solución :

F=P(1+η ×ι) 195=P ( 1+3 × ( 0,10 ) ) 195=P ×(1,3) P=S /.150

9. Sabiendo que S/.1 000 al 6% de interés simple equivalen a S/.1 180 en tres años. Busque la tasa de interés de capitalización anual compuesta para el cual la equivalencia también es correcta. Datos: P=1 000 F=1180

η=3 años ι=¿ ?

Solución : η

F=P(1+ι)

1180=1 000(1+ι)3

√3 1,180=1+ι 1,0567=1+ι ι=0,0567

ι=5,67 anual

6

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10.

Cuál es el valor de: a. S/.1 000 dentro de 8 años, si el interés es 15%. Datos: P=1 000 η=8 años ι=15 anual

F=¿? Solución :

F=P

F P

ι

( )

F F=P P

η 0,15

( )

8

Donde: F P

0,15

( )

=3,059

8

Reemplazando:

F=1000 ×(3,059) F=3 059

b. S/.1 000 8 años antes, si el interés es 20%. Datos: η=8 años ι=20 anual

F=1000 P=¿ ?

Solución: P ι P=F F η

( )

F=F

P F

0,20

( )

8

Donde:

7

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P F

0,20

( )

=0,2326

8

Reemplazando: F=1000 (0,2326) F=232,6

c. Una suma actual de S/.5 000 en 10 años, si el interés es 25%. Datos: P=5 000 η=10 años ι=25 anual

F=¿? Solución: F ι F=P P η

( )

F=P

F P

0,25

( )

10

Donde:

F P

0,25

( )

=9,313

10

Reemplazando: F=5 000×(9,313)

F=46 565 d. S/.8 000 pagados dentro de 8 años, si el interés es de 30%, qué anualidades deberían pagarse al mismo interés (recuperación de capital). Datos: F=8 000 ι=30 anual η=8 años

8

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A=¿?

Solución :

A=F

A F

ι

( )

A A=F F

η 0,30

( )

8

Donde:

A F

0,30

( )

=0,0419

8

Reemplazando: F=8 000 ×(0,0419)

F=335,2

e. Depósitos de S/.15 000 anuales hechos al final de cada año, durante los próximos 11 años, si el interés es del 35%, calcular el valor actual. Datos: A=15 000 η=11 años ι=35 anual

P=¿ ? Solución: P= A

P A

ι

( )

P P= A A

η 0,35

( )

11

Donde:

P A

0,35

( )

=2,752

11

Reemplazando:

9

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P=15 000 ×(2,752)

P=41280 f. Una serie de fin de año de S/.1 000, durante los próximos 10 años, cual es el valor futuro, al 40%. Datos: A=1 000 η=10 años ι=40 anual

F=¿? Solución: F ι F=A A η

( )

F=A

F A

0,25

( )

10

Donde:

F A

0,40

( )

=69,814

10

Reemplazando: F=1000 ×(69,814)

F=69 814

g. S/.1 000 al 35%, expresado en una serie de pagos durante 15 años. Datos: P=1 000 ι=35 anual η=15 años

A=¿? Solución: A=P

10

A P

ι

( )

η

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A=P

0,35

A P

( )

15

Donde:

A P

0,35

( )

=0,3539

15

Reemplazando: P=1 000 ×( 0,3539)

P=354 11. El señor Juan Pérez desea saber el valor presente de una renta anual de S/.150 000 en 35 años a una tasa de interés del 25.5%. Datos: A=150 000 η=35 años ι=25,5 =0,255

P=? Solución: ( 1+ι )η−1 P= A η ι ( 1+ι )

[

]

[

( 1+0,255 )35−1 P=150 000 0,255 ( 1+ 0,255 )35

]

P=150 000 ( 3,92 )=588 028

12. Cuánto dinero se acumularía en 25 años si se depositan S/.60 000 dentro de un año, S/.24 000 dentro de 6 años y S/.3 300 dentro de 8 años, todo a una tasa de interés del 15%.

Datos: F=? η=25 años

ι=15

Solución:

11

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F=P ( 1+ι )

η

P=

F η (1+ι )

P=

60 000 24 000 3 300 + + =63 628,55 1 6 8 (1+0,15) (1+ 0,15) (1+0,15)

F=63 628,55 x ( 1+ 0,15 )25 F=S / . 2094 585

Interpretación: Se acumulan aproximadamente S/. 2 094 585 luego de 25 años. 13. Un hombre de 25 años de edad, está incapacitado para el trabajo por causa de un accidente. Si tuviera que retirarse ordinariamente por 15 años y su salario actual es de S/.120 000 anuales, la tasa de interés se calcula en 25%. ¿Qué compensación global fuera justa? Datos: A=120 000 η=15 años

ι=25 anual P=¿ ?

Formulas: P= A

P A

ι

P A

ι

( )

η

Solución: P= A

( )

P=120 000

12

η

P A

0,25

( )

15

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donde :

P A

0,25

( )

=3,859

15

entonces : P=120 000 ×3,859

P=463 080 14. Se hace un préstamo de 400 nuevos soles al 15% de interés por un periodo de 3 años. ¿Cuál es el importe total que hay que reembolsar al final del periodo del préstamo? Datos: P=400 ι=15 η=3 años

F=¿? Solución :

F=P F=400

F P

ι

F P

0,15

( )

η

( )

3

F=400(1,521) F=608,4

15. ¿Cuánto dinero habrá que invertir hoy para disponer de un saldo de 500 nuevos soles dentro de 4 años, si el tipo de interés es del 35%? Datos: F=500 η=4 años

ι=35 anual 13

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P=¿ ?

Solución : P=F P=500

P F

ι

P F

0,35

( )

η

( )

4

Donde:

P F

0,35

( )

=0,3011 4

Entonces: P=500 ×(0,3011)

P=S /.150,6 16. Una persona desea comprar una propiedad que le han ofrecido generosamente. El programa de pagos es S/.300 000 anuales durante 8 años, empezando dentro de 4 años. ¿Cuál es el valor futuro de esta generosa oferta?, ¿Cuál su valor presente si la tasa de interés es del 40%? Datos: A=300 000 η=8 años Empezando de 4 años F=¿? P=¿ ? ι=40 anual

Solución: F=A

F A

ι

( )

F=300 000

η

F A

0,40

( )

8

F=300 000(34,395) F=S /.10 318500

14

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P 1= A

P1 A

ι

( )

η

P1=300 000

P1 A

0,40

( )

8

P1=300 000(2,331) P1=699 300=F

P=F

P F

0,40

( )

3

P=699 300(0,3644 ) P=S /.254 825

17. ¿Qué tipo de interés anual eleva una inversión de S/.1 140 a S/.14 000 en 9 años?

Datos: F=14 000 P=1 400

η=9 años Solución: F=P ( 1+ι )η 14 000=1 400 (1+ι )9

√9 10=1+ι 1,2915−1=ι ι=0,2915

ι=29,15 =29 18. ¿Cuántos años se necesitaran para que el saldo que se tiene en una cuenta de ahorros aumente de 1 000 nuevos soles a 2 500 nuevos soles si el interés recibido es de un 6%? Datos:

15

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P=1 000

F=2500 ι=6 =0,06

η=? Solución: F=P ( 1+ι )

η

2500=1 000 (1+ 0,06 )

η

2,5=1,06 η Sabiendo que:

a x = y → log a y =x η=log 1,06 (2,5 )=15,72→ 15,7 años

19. ¿Cuántos años tardaría, un depósito de S/. 7 900 hecho ahora más un depósito de S/. 15 800 hecho dentro de tres años para acumular S/. 50 000 a una tasa de interés de 25%? Datos: P1=S/. 7 900 P2=S/. 15 800 F1=? F2 =S /.50 000 ι=25

η=3 a ñ os Solución: F1=P 1(1+ι)η 3

F1=7 900(1+0, 25) F1=15 429,69 P4 =P 2+ P3

P4 =15 800+ 15 429, 69 P4 =31229, 69

16

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P3=15 429, 69 F2 =P 4 (1+ι) η−3 η−3

η−3

50 000=31 229, 69(1+0, 25)

ln(1,60104)=ln(1,25)

η – 3=2,1

η=5,1 años 20. Un grupo de inversionistas, está considerando las cualidades atractivas de la compra de una propiedad por 1 800 000 nuevos soles .El grupo provee que el valor de la propiedad aumentara a S/. 3 500 000 en cinco años. ¿Cuáles es la tasa de retorno de la inversión? Datos: P=1 800 000 F=3 500000 η=5 años

ι=¿ ? Formulas: F=P ( 1+ι )η Solución F=P ( 1+ι )η 3 500 000=1 800 000(1+i)5

1+ι=√5 1,9444 ι=0.1422

ι=14.22 21. Puede adquirirse una herramienta mediante un paso inicial de 4 000 nuevos soles y cuatro pagos de 2 000 nuevos soles que deberán efectuarse al principio de los cuatro años siguientes. Cuando vence el segundo paso de 2 000 nuevos soles, la compañía decide pagar el resto de la obligación en una suma global. ¿Qué cantidad resultaría aceptable para la compañía si su tasa mínima requerida de rendimiento es 35%?

17

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Datos:

P=4 000

A=2000 ι=35

η=4 años

Solución: F1=P

P=4 000

F2 =A

( FP ) ni

( FA ) ni

A=2000

F1=4 000 ( 3,322 )

i=35

F1=13288

F2 =2000 ( 6.633 ) F2 =13266

n=4 años F3 =F1 + F 2 F3 =26 554 F 4=P

( FP ) ni

F 4=4 000

F5 =A

( FP )352

F5 =2000 ( 2.35 ) F 4=4 000 ( 1,823 ) F5 =4 700 F 4=7292 F6 =F 4 + F5 F6 =11 992 F3 −F6 =14 562

18

( FA ) ni

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22. Una compañía de seguro social particular, tiene un programa de jubilación en el cual los trabajadores inscritos invierten S/. 6000 anuales durante 30 años, empezando un año después del inicio de sus labores. Si la compañía garantiza la suma de S/. 360000 en el momento de jubilarse ¿Cuál es la tasa de retorno de la inversión? Datos: A=6 000 η=30 años F=360 000

ι=¿

?

Solución: F A

ι

( ) F 360 000=6 000 ( ) 30 A ι F=A

60=

η

( FA ) 30ι

Interpolando :

61,007−−−−−−−−4,5 %  60.−−−−−−−−ι

56,085−−−−−−−−4 ι=4,4

23. Hace 3 años un estudiante tomó a préstamo S/.40 000 para financiar sus estudios, comprometiéndose a reembolsar el préstamo en 100 plazos a un interés del 3% mensual. Acaba de recibir una herencia y desea pagar de una sola vez el remanente de la deuda. ¿Cuánto debe actualmente, para efectuar el pago? Datos: η=3 años=36 meses P=40 000

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η=100 plazos

ι=3 mensual 24. ¿Cuál es la cantidad mínima de años durante los cuales una persona debe depositar S/.8 500 por año. Con el objeto de tener por lo menos S/.150 000 en la fecha de su último depósito?. Use una tasa de interés del 35% y redondee el año al número entero más alto. Datos: η=¿? A=8500 F=150 000

ι=35 Solución: ( 1+ι )η−1 F=A ι

(

150 000=8 500

(

) ( 1+0,35 )η −1 0,35

)

η

17,6471 ( 0,35 )+1=(1+0,35) 7,1765=(1+0,35)η ln ( 7,1765 )=η ( ln ( 1,35 ) )

1,9708=0,3001 × η η=6,5671

η=7 años 25. ¿Cuánto pagaría como máximo al contado por un carro que se ofrece en venta con la siguiente forma de pago : S/. 30 000 de cuota inicial y 24 cuotas mensuales de S/. 50 000 c/u? Se asume una capitalización mensual del 3%. Datos: η=24 meses A=50 000 ι=3 20

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Cuota inicial= 30 000 P=¿ ? Solución : P= A

P A

ι

( )

η

P P=50 000 A

0,03

( )

24

P=50 000 ( 16,936 ) P=846 800 Pero el precio del carro es: Preciocarro =P+ cuota inicial Preciocarro =846 800+30 000 Preciocarro =S /. 876 800 26. Una compañía le paga a un inventor 500 000 nuevos soles de regalías al final de cada año por el uso de una patente que tiene 12 años de futuro. Suponiendo que las regalías sigan siendo abonadas en esa tarifa anual ¿Qué suma le podría ofrecer la compañía al inventor si la taza aceptable de rendimiento para la compañía es de 45%?, ¿Es este precio favorable para la compañía o para el inventor? Datos: A=S /.500 000 ι=45 anual η=12 años

Solución: P i P= A A n

( )

P=500 000

P A

0,45

( )

12

Por tablas: P=500 000(2,196)

P=S /. 1 098 000 21

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Interpretación: Este precio resulta favorable para la compañía, ya que con la tasa aceptable de rendimiento de 45% de esta, las regalías del inventor serían mayores. 27. Demostrar ¿Cómo puede determinar el valor numérico de un factor de recuperación de capital (A/P) si la única tabla disponible es la que proporciona el factor. A=P

ι

A P

( )

η

ι

A A = P P

( )

P

(

η η

ι ( 1+ι ) ( 1+ι )η−1 P

)

=

A P

ι

( )

η

(

η

A ι ι (1+ι ) = P η ( 1+ι )η −1

( )

)

28. Demostrar que las igualdades representan expresiones idénticas. 

P ι P ι P − = A η F η A

ι

( ) ( ) ( )

η−1

η

η

(1+ι) −1 (1+ι) −1 1 − = η η ι (1+ι) ( 1+ι ) ι(1+ι)η−1 (1+ι)η−1−ι (1+ι)η ×(1+ι)−1−1 = ι(1+ι)η ι(1+ ι)η ×(1+ι)−1 (1+ι )η −1 (1+ι)η−1−ι (1+ι) = ι(1+ι)η ι(1+ι)η (1+ι) (1+ι)η−1−ι (1+ι)η−1−ι = ι(1+ι)η ι(1+ ι)η

22

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A A −ι= P η F

ι

( ) ( )



η

Por formula sabemos que: ι ι A A = +ι P η F η

( ) ( ) ι

ι

(( ) ) ( ) A A + ι −ι= F η F ι

A A = F η F

η

ι

( ) ( ) ι



ι

F F F − = A η P η A

η

ι

( ) ( ) ( )

η−1

η

η+1

(1+ι) −1 −1 η (1+ι) + ( 1+ι ) = ι ι η

η

η

(1+ι) −1+ι (1+ι) (1+ ι) ×(1+ι )−1 = ι ι η

η

(1+ι) ×(1−ι) (1+ι) ×(1−ι) = ι ι 29. ¿Qué gasto anual durante 15 años sería equivalente a gastar 10 000 nuevos soles al cabo del primer año, 20 000 nuevos soles al cabo de cuatro años y 30000 nuevos soles al cabo del octavo año, si el interés es del 30% anual? Datos: η=15 años P1=10 000 P2=20 000 P3=30 000 I =30 A=?

Solución

F=P1+ P 2+ P3

23

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F=P1

F F F 7 14 11 P1 0,3+ P2 P2 0,3+ P3 P2 0,3

( )

( )

( )

F=10 000 (39,374 ) +20 000 ( 17,922 )+30000 (6,275)

F=393 740+ 358 440+188 250 F=940 430

A=F

( AF ) 0,315

A=940 430(0,006) A=5 642,58

30. Una pequeña compañía refinadora firma un contrato para adquirir materias primas con el acuerdo de pagar S/.60 000 ahora y S/.15 000 anuales comenzando al final del quinto año. El contrato tiene una duración de 10 años. Al final del tercer año, debido a beneficios inesperados, la compañía solicita que le permita hacer un pago único para liquidar por anticipado el resto de la deuda. Ambas parten acuerdan que el 25% anual es un tipo de interés justo ¿Cuál es el importe de la suma única que debe pagar? Datos: P1=6 000 A=150 000 F3 =F1 + F 2 Solución:

F3 =F1 + F 2 F3 =P1

F P

0,25

( )

10

+A

F A

( )

0,25

5

F3 =6 000 ( 9,313 ) +150 000 ( 8,207 ) F3 =35 408

31. Si tenemos que pagar una deuda, con S/.6 000 nuevos soles anuales durante los primeros cinco años, los ocho años siguientes con S/.12 00 nuevos soles anuales. Por ciertos imponderables se debe pagar en un solo pago al finalizar el 24

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tercer año de comenzar a pagar la deuda. ¿Cuál será el monto que se debe pagar si la tasa de interés es del 25% anual? 32.

¿Qué significa el término valor de dinero en el tiempo?

Valor de dinero en el tiempo El valor del dinero cambia con el tiempo y mientras más largo sea este, mayor es la evidencia de la forma como disminuye su valor. La finalidad de realizar una inversión es obtener un rendimiento de esta, es decir que podamos decidir un interés o retribución por el dinero prestado o invertido. El dinero funciona como depósito de valor cuando se le emplea como medio de cambio a través del tiempo. Esto es, que puede servir también para efectuar pagos en el futuro. Otra forma de ver esta función del dinero es que los individuos tienen la alterativa de ahorrar en lugar de gastar sus ingresos. Las instituciones financieras actúan como un intermediario financiero, tienen el mismo fin, es decir tratan de captar recursos monetarios a través de sus clientes quienes depositan dinero este es incrementado a través de la tasa de interés positiva al mismo tiempo se hacen colocaciones de recursos monetarios a los inversionistas o empresarios, por lo que se cobra la tasa de interés activo, la diferencia entre dichas tasas representa la ganancia de la institución crediticia. 33. Calcule la cantidad de interés por pagar después de 1 año de sobre préstamo de S/. 5 000 si el interés es 8% anual. ¿Cuál es el periodo de interés? Datos: η=1 año P=S /. 5 000 ι=8 anual

I =? Solución: F=P

F P

ι

( )

η

F=5000(1,080)

25

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F=S /.5 400

I =F−P

I =5 400−5 000

I =S /. 400

n=1año . 34. ¿Cuál fue la cantidad de préstamo si la tasa de interés es 1.5% mensual pagadero mensualmente y el prestatario acaba de hacer el primer pago mensual de $ 25 en interés? Datos: I =25 ι=1,5 P=¿ ?

Formulas F=P ( 1+ι )

η

Solución F=P ( 1+ι )η P+ I =P(1+ι) P+ I =P+ P× ι

I =P× ι 25=P ×(0.015)

P=1 666,67 P=1 667

35. ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene una mejor tasa de retorno: S/.200 invertidos durante 1 año con S/.625 pagados en interés o S/.500 invertidos durante 1 año con S/.18 pagados en interés? Datos: Opción 1: P=200 η=1

F=6,25+200=206,25 ι=¿ ?

Solución : 26

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F=P(1+ι)

206,25=200 (1+ ι)1 1,03125=1+ι

ι=0,03125 ι=3,125

Opción 2: P=500 η=1

F=18+500=518 ι=¿ ?

Solución: F=P(1+ι)η 1

518=500(1+ ι) 1,036=1+ι ι=3,6

La que tiene mayor tasa de retorno es la segunda opción y es de 3,6%. 36. ¿A qué tasa anual de interés equivalen S/. 450 hace un año y S/. 550 dentro de un año? Datos: P=450 F=550

ι=¿ ? Solución: F=P(1+ι)η 550=450(1+ι) 2 . ι=10,5 % 

37. Starbust, Inc. Empleó S/.50 000 en una inversión conjunta en el exterior hace apenas un año y ha reportado una utilidad de S/.7 500. ¿Qué tasa anual está rindiendo esta inversión? 27

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Datos: P=50 000 I =7 500 η=1 año

ι=¿ ? Solución: F=P(1+ι)η P+ I =P(1+ι)η 50 000+7 500=50 000( 1+ι)1 57 500=50 000(1+ι ) ι=0,15=15 anual

38. ¿Cuál es una mejor oportunidad de inversión: S/.1 000 al 7% de interés simple durante tres años o S/. 1 000 al 6% compuesto anual durante tres años? INTERES SIMPLE: Datos: P=1 000 η=3 años

ι=7 anual Solución: F=P(1+ι× η)

F=1000 (1+0,07 ×3) F=1210

INTERES COMPUESTO: Datos: P=1 000 η=3 años

ι=6 anual Solución: F=P(1+ι)η F=1000 (1+0,06)3 28

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F=1191,016

La mejor oportunidad de inversión es de interés simple con un interés del 7% ya que el monto producido es mayor que el monto q produce un interés compuesto al 6%. 39. (a) ¿Cuánto interés total se pagaría si se obtuviera en préstamo $1 500 durante tres meses a una tasa de ¾ mensual compuesto mensualmente? (b) ¿Qué porcentaje del préstamo original representa esta cantidad de interés? Datos: P=1 500 η=3 meses

3 ι= =3/ 400 4 Solución: a) I= ¿? F=P ( 1+ι )η

(

F=1500 1+

3 400

3

)

F=1534 I =F−P=1 534−1500=34

b) x= ¿? x ( 1 500 )=34 x=0,0227 → 2,27

40. Una pareja recién casada y los padres del novio compraron muebles nuevos por los cuales no tendrán que pagar intereses durante algunos meses. El precio de compra que obtuvieron los recién casados es de S/.3 000 con interés simple del 12% anual, y una pago diferido del principal e intereses se vence en 6 meses. El precio de compra de los padres también es S/. 3 000 con intereses al 9% anual compuesto mensualmente y aun pago retrasado se vence en 13 meses. Determine el interés acumulado por meses y establezca el pago total para cada pareja. ¿Quién pagó más y por qué cantidad? Datos: Pareja 1: Interés simple 29

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P1=S /.3 000

i=12 anual

= 1% mensual

n=6 meses

Solución: F1=P 1 ( 1+ι× η ) F1=3 000 ( 1+0,01 ×6 )=S/. 3 180 → I 1=3 000 – 3 180 I 1 =S /.180 Pareja 2: Interés compuesto P2=S/. 3 000 ι=9 anual

η=13 meses=

13 años 12

Solución: F2 =P 2( 1+ι )η 13/12

F2 =3 000(1+0,09)

=S /. 3 294

I 2 =3 294 – 3 000 I 2 =S /.294

I 3 =I 2 −I 1

30

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I 3 =294−180 I 3 =S /.114 Interpretación: La segunda pareja con un interés anual compuesto del 9% en 6 meses, pagó $ 114 más que la primera pareja con un interés del 12% en 13 meses. 41. ¿Cuánto dinero tendrá una joven después de 4 años si ella ahorra $ 1 000 ahora al 7% anual de interés simple? Datos: P=1 000 ι=7 anual η=4 años

Formula: I =P× ι× η F=P+ I

Solución: I =P× ι× η I =1 000× ( 0,07 ) × ( 4 ) I =280 F=P+ I

F=1000+ 280 F=S / .1280

42. ¿Cuánto puede una persona obtener en préstamo hoy si debe pagar $ 850 durante dos años a partir de hoy a una tasa de interés del 6% anual compuesto anualmente? Datos: Solución: P= A

P A

0,06

( )

31

2

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P=850 ( 1,833 ) P=1 558,05

43. Si se obtiene S/. 1 500 ahora en préstamo y se deben rembolsar S/. 1 850 dentro de dos años, ¿Cuál es la tasa de interés anual del préstamo? Datos: P=1 500 F=1850 η=2años

ι=?

Solución: η F=P(1+ι) 1 850=1 500(1+ι)2 ι=0,1105

ι=11,05 44. Una persona acaba de invertir 10000 soles en un proyecto de negocios de un amigo que promete un retorno de 15000 soles o más en algún momento del futuro. ¿Cuál es el número de años mínimo (números completos) que la persona puede esperar para recibir los 15000 con el fin de hacer 10% o más compuesto anualmente? Datos: F=15 000 P=10 000

32

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ι=10 anual

η=¿? Solución: F=P ( 1+ι )η 15 000=10 000 ( 1+0.10 )η 1,5=( 1.10 )

η

n=log 1,10 (1,5 ) η=4,25

Como nos dice el mínimo número de años (numero completo) para obtener 15000 o más el número de años mínimo seria 5 años. 45. Si se invierten $ 3500 ahora en cambio de un ingreso garantizado de $ 5000 en una fecha posterior, ¿cuándo se debe recibir el dinero para pagar exactamente un interés simple del 8% anual? Datos: P=S /.3 500 F=S /.5 000

ι=8 anual η=?

Solución: F=P ( 1+ι ×η ) 5000=3500(1+ 0,08× η)

1,43=(1+0,08 ×η) η=5,36 años

46. un colega le dice a otra que acaba de reembolsar el principal y el interés de un préstamo que ella había obtenido hace 3 años al 10% de interés simple anual. Si su pago fue $ 1 950, determine el principal? Datos: 33

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η=3 años

ι=10 interes simple F=1 950

P=? I =?

Solución: F=P+ I I =P× ι× η=P ( 0,10 ) ( 3 )=0,30 P 1950=P+0,30 P P=1 500

47. El padre de un niño nacido el 15 de agosto de 1990 quiere establecer un fondo para ayudarlo a financiar sus estudios superiores, para la cual desea depositar en una cuenta de ahorros que rinden el 35% anual, una cantidad fija cada año a partir de 1991 hasta el 2007 inclusive, con el objeto de contar con s/. 500 000 anuales a partir del 2008 hasta el 2012. ¿Qué cantidad anual deberá depositar? Datos: A=? A 1=S /. 500 000 ι=35 anual

η1=5 años η2=17 años Solución: P A= A 1 A

0.35

A × F

0.35

( ) ( ) 5

17

A=500 000 ( 2,2200 ) × ( 0,00214 ) A=S /.2 375,4

34

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48. compárese el interés ganando en una inversión de S/.1 000 durante 15 años al 10 % anual capitalizado a interés simple , con la cantidad de interés que se podría haber ganado de haberse invertido esta misma cantidad durante 15 años al 10 % anual con capitalización compuesta. Datos: I =1 000 η=15 años ι=15

Para interés simple

I =P× ι× η

I =1 000×(0,10) ×( 15)

I =1500 Para interés compuesto F=P F=1000

F P

F P

ι

( )

η

0,15

( )

15

F=1000 ×(4,177)

F=4 177 I =F – P

I =4 177 – 1 000 I =3 177

49. Suponga que tiene un plan de ahorros que cubre los próximos 10 años, de acuerdo con el cual se ahorran S/. 600 hoy y S/. 500 al final de cada año par y S/. 400 al final de cada año impar. Como parte de este plan se espera retirar S/. 300 al final de cada uno de los próximos tres años y S/. 350 al final de cada año impar de allí en adelante. 35

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a. Determine el diagrama de ahorros y retiros.

b. Cual el monto final acumulado F 15 F 15 F 15 F 15 F 15 F 15 F 15 F F=P + 400 +200 + 100 +200 + 50 +500 + 50 P 10 P 9 P 8 P 7 P 6 P 5 P 4 P

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

F=600 ( 4,046 ) + 400 (3,518 )+ 200 ( 3,059 )+100 ( 2,660 ) +200 ( 2,313 ) +50 ( 2,011 ) +500 ( 1,749 ) +50 F=7 445,3 50. Un comerciante deposita una suma de dinero en su cuenta de ahorros que le produce un interés del 30%. El depositante desearía cubrir la prima de su seguro de vida(S/.2 250al año) por los tres años siguientes con el dinero que tiene en su cuenta, los pagos se hacen al inicio de cada año. a) Que cantidad depositar, de manera tal que con el tercer pago el deposito quede cancelado. Datos: A=2250 ι=30 η=3 años

F=2250 Solución: η (1+ι) −1 P= A ι(1+ι )η

[

[

]

( 1+0,3 )3−1 P=2 250 0,3 (1+ 0,3 )3

] 36

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P=4 086

51. Si se realizan durante 3 años una inversión de 20 000 soles, los siguientes cuatro años de 15 000 soles, los siguientes tres años de 10 000 soles. ¿Cuál será el valor total obtenido dentro de 12 años a un interés del 35%, se debe tener en cuenta que las inversiones son al final de cada año?

Datos: P1=F 1 P2=F 2 P3=F 3 F P

0,35

F 4=P1

( ) F P

0,35

F5 =P2

( ) F P

0,35

F6 =P3

9

3

( )

2

F=F 4+ F5 +F 6

37

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F=20 000 ( 4,172 ) (14,8937 )+ 15000 ( 6,633 )( 4,4840 )+10 000 (4,172)(1,8225)

F=242730,33+ 446 135,6+76 034,7 F=S / .1764 901

38