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TEMA 2

REPRESENTACIÓN EXTERNA

2.1 Hallar la expresión temporal para la variable x si su transformada de Laplace toma las siguientes expresiones:

1 s ( s + 2s + 2) 5(s + 2) X ( s) = 2 s ( s + 1)(s + 3) 2 X ( s) = 2 s( s + ω 2 ) X ( s) =

2

2.2 Resolver, mediante la aplicación de la Transformada de Laplace, la siguiente ecuación diferencial:

&x&(t ) + 3x& (t ) + 6 x = 6

siendo las condiciones iniciales:

x(0) = 0; x& (0) = 3

2.3 Encontrar la función de transferencia del diagrama de bloques de la figura mediante la técnica de simplificación de diagramas de bloques F

D

x A

B

-+

+

C +

y

+

E

2.4

Hallar la función de transferencia del sistema de la figura, donde se considera como salida del sistema el desplazamiento x(t) de la masa m y como entrada la fuerza f(t) que se aplica sobre ella.

1

B

K K x(t)

B dx(t)/dt

m

x(t) f(t)

2.5 El sistema de la figura representa un absorbedor de energía. Hallar la función de transferencia que relaciona la fuerza externa f(t) con el desplazamiento x(t) de la masa m. La masa m1 es relativamente pequeña y está unida a la masa principal m a través de un muelle de constante k1 y un amortiguador de constante b, con objeto de reducir vibraciones en el desplazamiento x(t) de la masa m por acción de la fuerza f(t).

x(t)

x1(t)

k1

f(t)

m1

b

m k

2.6

Sea el sistema que aparece en la figura. El sistema consiste en una carga inercial y un amortiguador de fricción viscosa. Obtener la función de transferencia entre el par aplicado T y la velocidad angular (ω).

b J T(t)

ω(t)

2

2.7

La figura representa un sistema mecánico de rotación que incluye un engranaje. Puede observarse que está formado por dos sistemas mecánicos de rotación con inercia y fricción viscosa, unidos por un engranaje de N1 y N2 dientes respectivamente. T,θ1,b1

N1 r1

J1 θ2,b2 J2 ω(t)

N2 r2

Considerando un engranaje ideal, se cumplen las siguientes igualdades: * La relación entre el radio y el número de dientes es

N 1 r1 = N 2 r2

* Los desplazamientos lineales de ambas ruedas son iguales θ 1 r1 = θ 2 r2 * No hay pérdida de energía en el engranaje T1 (t )θ 1 (t ) = T2 (t )θ 2 (t )

Por tanto:

r1 N θ (t ) T1 (t ) = 1 = 2 = r2 N 2 θ 1 (t ) T2 (t )

Obtener la función de transferencia que relaciona la salida en posición del segundo eje 2.8

θ1 y el par de entrada del motor T.

Sea el circuito de la figura, formado por una resistencia, una bobina y un condensador:

R

e(t)

L

i(t)

C

v(t)

Obtener la función de transferencia entre la tensión en bornes del condensador v(t) y la tensión de alimentación del circuito e(t).

3

2.9

Sea el circuito de la figura:

R1

e(t)

R2

C1

i1(t)

i2(t)

v(t)

C2

Obtener la función de transferencia entre la entrada E(s) y la salida V(s). 2.10 Sea el circuito de la figura. Si la impedancia de entrada del segundo elemento es infinita, la salida del primer elemento no resulta afectada por la conexión al segundo elemento. En esta situación, la función de transferencia de todo el sistema es el producto de las funciones de transferencia de los elementos individuales.

R1

R2 C1

e(t)

i1(t)

i2(t)

Amplificador

v(t)

C2

Hallar la función de transferencia entre la salida v(t) y la entrada e(t). 2.11

Hallar la función de transferencia entre el flujo de salida entrada qe, del sistema de la figura:

qs

y el flujo de

qe

h R

R qs A

4

2.12

La siguiente figura representa el diagrama de bloques del control automático del freno de un tren de alta velocidad, donde: Vr = voltaje equivalente a la velocidad deseada v = velocidad del tren en m/s K = ganancia del amplificador = 100 M = masa del tren = 25 T Kt = constante del tacómetro = 0.15 V.s/m

Vr

Amplificador K

e +

Freno

et

f(t)

v(t) Tren

Tacómetro Kt

Sabiendo que la respuesta del Freno a una entrada escalón unitario, despreciando −10t las fuerzas de fricción, obedece a la ecuación: f (t ) = 100(1 − e )

a) Determinar la función de transferencia del bloque TREN y del bloque FRENO. b) Obtener la función de transferencia del sistema en lazo cerrado. c) Si la velocidad del tren se quiere mantener de forma estable a 60 m/s, ¿cuál debe ser el valor de Vr? 2.13

Calcular la evolución de la salida en un sistema representado por la ecuación diferencial:

dy (t ) + 3 y (t ) = 2u (t ) ante la entrada dada por la siguiente dt

gráfica:

u(t)

2

0

1

2

3

4

5

TEMA 3 3.1

ANÁLISIS TEMPORAL: RÉGIMEN TRANSITORIO

La figura 2 representa la respuesta del sistema de la figura 1 a entrada escalón unitario. Determinar los valores de K y τ a partir de la curva de respuesta. 1.4

0,254

1.2

R(s)+ -

K s(τs +1)

1

C(s)

0.8

0.6

0.4

Figura 1

0.2

0 0

5

3

3.2

10

15

Figura 2

Determinar los valores de las constantes K y k del sistema de la figura 3 de forma que el sobreimpulso máximo en la respuesta a escalón unitario sea del 25% y el tiempo de pico 2 segundos. Suponer que J = 1 Kg m 2 R(s)

+

1 Js 2

K 1

C(s)

+

Figura 3 3.3

Calcular analíticamente los valores significativos y dibujar la respuesta del sistema de la figura 4 a escalón unitario. S+1

+

-

10 s2

C(s)

Figura 4 3.4

Dibujar la respuesta escalón unitario de los siguientes sistemas:

6

a ) G1 ( s ) = c) G3 ( s ) = 3.5

−s s+2 1,25

b ) G2 ( s ) = d ) G4 ( s ) =

s 2 + s + 2,5

s−2 s+4 1 s 2 + 2s − 1

Obtener el sistema de orden reducido, equivalente al dado en la figura 5, razonando la simplificación. ¿ Qué diferencia cabría esperar entre la respuesta de ambos a entrada escalón unitario? Comprobarlo mediante simulación. R(s)

0,05 s + 0,4

+

1 s +3

C(s)

-

1 s+2 Figura 5 3.6

El sistema de primer orden de la figura 6 a) tiene como respuesta a entrada escalón unitario la gráfica de la figura 6 b). Obtener a partir de dicha respuesta los parámetros del sistema. Se realimenta el sistema tal y como se indica en la figura 6 c). Calcular analíticamente los parámetros que definen la respuesta escalón unitario del sistema en bucle cerrado y dibujar la forma de respuesta. R(s)

R(s) +

C(s)

K

τs + 1

K -

Figura 6 (a)

C(s)

τs + 1 0,5

c(t)

Figura 6 (c)

3 2,433 1,633

0,5

1

t(seg)

Figura 6 (b)

7

3.7

Dibujar la respuesta escalón unitario del sistema de la figura 7a) y 7b), calculando los valores más significativos de ambas. Comprobar los resultados mediante simulación. R(s)

R(s)

C(s)

5

s2 + s + 8

s + 2 ,5

Figura 7 (b)

Figura 7 (a)

3.8

Dada la función de transferencia G ( s ) = a)

ω n2 s 2 + 2δω n s + ω n2

sombrear la zona del plano s en la que el tiempo de establecimiento es menor de 2 segundos y el sobreimpulso menor del 10% ¿Cuáles son los valores de δ y ω n ?

b) 3.9

C(s)

6

La figura 9b) representa el sistema de control de altitud del satélite de la figura 9a), donde el momento de inercia se ha normalizado a la unidad. θ(t)

T(t) Satélite

T ( t) = J G(s) =

d 2θ (t )

dt 2 θ (s)

T ( s)

=

1 Js 2

Figura 9 a) satélite

θr

+

1 s

K

-

-

θ

1 s

θ

Kv

Figura 9 b)

8

a) b)

Calcular la función de transferencia en bucle cerrado Supongamos que el objetivo es que la posición del satélite sea de 10º (por lo que θ r (t ) = 10 u (t ) ). Una vez desaparecido el transitorio (es decir cuando el sistema alcance el estado estacionario), ¿cuál será el valor de la posición ( θ ss (t ) )?

c)

Se desea que el sistema responda a entrada escalón en un tiempo mínimo y sin sobreimpulso, lo que significa que el coeficiente de amortiguamiento del sistema realimentado sea 1. Encontrar el valor de kv en función del valor de k que satisface esta especificación.

d) e)

Comprobar mediante simulación los resultados obtenidos. La señal de velocidad se mide mediante un giróscopo. Supongamos que este dispositivo deja de funcionar por lo que no aparece señal en el camino de realimentación de velocidad (equivalentemente kv = 0 ).

f)

¿Qué tipo de respuesta puede esperarse para este modo de fallo? (Este fallo ocurrió realmente en una misión del espacio de la NASA con el resultado predecible). Simular el sistema para esa situación verificando los resultados.

3.10 Obtener las funciones de transferencia de los sistemas cuyas respuestas al escalón unitario son las que aparecen en las figuras.

9

3.11

La gráfica de la figura representa la salida de un sistema en respuesta a rampa unitaria, r(t)=t. A partir de ella, determinar la función de transferencia del sistema G(s), razonando la respuesta. 0.6 0.55 0.5 salida rampa unitaria

0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

3.12

0

0.9

1.8

2.7 tiempo (seg)

3.6

4.5

La respuesta de la figura corresponde a un sistema de segundo orden cuando se le excita con un escalón de amplitud 2. Encontrar la función de transferencia de dicho sistema.

10

TEMAS 4-7 SISTEMAS REALIMENTADOS. ESTABILIDAD. ACCIONES DE CONTROL 4.1

Sea el siguiente sistema realimentado:

R(s)

Y(s)

+-

con G ( s ) =

K

G(s)

A donde el valor nominal de los parámetros A y T es 1 pero 1 + Ts

ambos pueden variar con las condiciones de operación en un factor de 2 en cualquier dirección. Se desea encontrar un valor de K que, a pesar de estas variaciones asegure que el error en estado estacionario a entrada escalón no exceda del 10%, manteniendo la constante de tiempo del sistema por debajo de los 0,2 segundos.

4.2 Para el mismo diagrama de bloques si G ( s ) =

( s + 1)( s + 3) s ( s + 2)( s + 4)

a)

¿De qué tipo es este sistema?

b)

¿Cuál es la ganancia en bucle cerrado?

c)

Hallar ess a entradas escalón y rampa unitarios.

4.3 Para el mismo diagrama de bloques si G ( s ) = a)

¿Cuánto

tardaría

en

desaparecer

1 ( s + 1)( s + 7) casi

completamente

la

parte

transitoria de la respuesta si no hubiera realimentación? b)

¿Cuál es la ecuación característica en bucle cerrado y dónde debe ubicarse el polo dominante del sistema para dividir por dos el tiempo calculado en el apartado a)?

c)

¿Qué valor de K lo logrará?

d)

¿Cuál es el error en estado estacionario a entrada escalón unitario?

11

4.4

1 ( s + 2)( s + 10)

Sea el mismo sistema realimentado con G ( s ) = Examinar el efecto de la realimentación:

a)

Calculando la respuesta escalón unitario para K=7 y K=20.

b)

Hallando ess en ambos casos a partir de los coeficientes estáticos de error.

c)

Comparando ambas respuestas en cuanto al tiempo de asentamiento y la naturaleza de la respuesta.

4.5

s +1 s ( s + 3)

Sea el mismo sistema realimentado con G ( s ) = a)

Encontrar el valor de K que hace que la constante de tiempo dominante del sistema sea de 2 segundos. Encontrar asimismo el 2º polo.

4.6

b)

¿ess ? a entradas escalón y rampa unitarios.

c)

Calcular y(t) a entrada escalón unitario.

Sea G ( s ) =

1 s−2

a)

¿Es un sistema estable?

b)

Demostrar que su comportamiento dinámico varía al introducir una realimentación con ganancia proporcional K.

c)

Encontrar el valor de K que estabiliza el sistema con constante de tiempo T=0,1 segundos.

d)

4.7

¿Cuál es el error en estado estacionario a entrada escalón unitario?

Un sistema realimentado como el de la figura del ejercicio 1 y con

G ( s) =

s+2 ( s − 2)( s + 4)

sería

inestable

sin

realimentación.

¿Por

qué?.

12

Demostrar que es así y calcular el valor de K para que la constante de tiempo dominante del sistema en lazo cerrado sea 1 segundo.

4.8

Sea el servomotor de la figura.

Y (s )

R (s )

+-

+-

1 s ( s + 1)

K

Kg s

Se pide: a)

Suponer que no existe realimentación de velocidad. Encontrar el valor de K que hace que el sistema en lazo cerrado tenga un coeficiente de amortiguamiento

δ = 0,5. Calcular asimismo el error en estado

estacionario a entrada rampa unitaria. b)

Todavía sin realimentación de velocidad calcular el valor de K para que el error en estado estacionario a rampa unitaria sea de 0,1. ¿Cuál es el valor del coeficiente de amortiguamiento en este caso?

c)

Introducir realimentación de velocidad con la K obtenida en el apartado anterior.

¿Qué

valor

de

Kg

es

necesario

para

obtener

un

amortiguamiento de valor 0,5?. ¿Cómo es el error en comparación con el del apartado b)?

4.9

En la figura se representa un sistema como el del ejercicio 8 para K=10 pero añadiéndole un amplificador de ganancia Ka. Investigar si con esta estructura es posible alcanzar las especificaciones de los problemas anteriores. Es decir, error en estado estacionario a rampa unitaria 0,1 y

13

coeficiente de amortiguamiento 0,5. ¿Qué valores de K, si es que existen, lo hacen posible? R(s )

Y (s)

+-

10 s ( s + 1)

+-

Ka

Kg s

4.10

La realimentación de velocidad transitoria que se representa en la figura es una variante de la del problema anterior. Determinar el error en estado estacionario a entrada escalón y rampa y compararlos con los obtenidos con realimentación de velocidad pura. Y (s )

R(s)

+-

+

Ka

10 s( s + 1)

-

Kgs 0.1s + 1

4.11

El diagrama de bloques de un estabilizador de balanceo de un barco es el representado en la figura. Dado que la dinámica del barco se caracteriza por tener un amortiguamiento bajo, se incluye realimentación de velocidad. Td R(s)

+-

K1

+-

Ka

++

Y (s ) 0,5 2 s + 0,2s + 2

Kgs

Se pide:

14

a)

Expresar la función de transferencia que asocia el efecto de perturbación producida por las olas Td con el ángulo de balanceo del barco Y(s). Encontrar las ecuaciones que deben satisfacer Ka , K1 y Kg

b)

para

asegurar un valor en estado estacionario para y no mayor de 0,1 en respuesta

a

un

escalón

unitario

en

Td

y

un

coeficiente

de

amortiguamiento de 0,5.

La planta de la figura tiene como función de transferencia G ( s ) =

4.12

1 Con s +1

objeto de demostrar que por razones de estabilidad generalmente se diseña control PI en lugar de control con acción I pura si se desea eliminar el error en estado estacionario a entrada escalón, diseñar ambos controladores para conseguir un coeficiente de amortiguamiento de 0,5 y una de las siguientes condiciones: a)

error en estado estacionario a rampa unitaria de 0,25

b)

tiempo de asentamiento aproximado de 4 seg.

Suponer;

⎛

Control PI G c ( s ) = K p ⎜⎜1 +

⎝

Control I G c ( s ) =

1 ⎞ ⎟ Ti s ⎟⎠

Kp Ti s

R(s)

+

4.13

Y(s)

-

Gc (s)

G(s)

Últimamente han adquirido gran importancia las grandes antenas para microondas tanto en radioastronomía como en el rastreo de satélites. Estas antenas están expuestas a momentos de torsión muy grandes debidos a las

15

ráfagas de viento. Concretamente, para una antena de 20 m. de diámetro, los experimentos muestran que un viento de 56 Km/h ejerce una perturbación máxima de 2 voltios a la entrada Td de la amplidina. Otro de los problemas asociado al control de antenas grandes es su resonancia estructural, que se pone de manifiesto en el siguiente modelo para el conjunto antena - motor de mando – amplidina.

G( s) =

100 s + 8s + 100 2

En la siguiente figura se muestra un sistema de control de la antena, en el que el controlador es un amplificador magnético con función de transferencia:

Gc ( s) =

Ka 0,2 s + 1

Se pide: a) Determínese la estabilidad del sistema en función de la ganancia Ka del amplificador b) Determínese la salida en estado estacionario del sistema en bucle abierto con R(s)=0, para una ráfaga de viento de 56 Km/h c) ¿Existe un valor de Ka que asegure que el sistema en bucle cerrado en las mismas condiciones del apartado c) (R(s)=0 y ráfaga de viento de 56 Km/h) presente un error en estado estacionario por debajo de 2º?. Si existe, calcúlese su valor. Si no existe, calcúlese el mínimo error que puede obtenerse y el correspondiente valor de Ka Td(s) R(s)

+-

Amplificador Magnético Gc(s)

++

Posición (radianes)

Antena, motor de mando Y amplidina G(s)

θ(s)

sensor Ks =1

16

4.14

Para controlar un sistema G(s), cuya salida y(t) ante entrada escalón de 2 unidades está representada en la figura, se utiliza un captador H(s); dicho captador mide la señal y(t), y su salida, z(t), responde ante entrada escalón −t según la ecuación z (t ) = (3 − 3e )u −1 (t ) . La señal z(t) se resta de una señal

de referencia r(t) y el error actúa sobre un integrador de ganancia K variable, cuya salida x(t) actúa sobre el sistema. 0.6 0.5 0.4

area1=2.32

0.3 0.2

area2=0.32

0.1 0 -0.1 0

5

10

15

20

3.6sg Para el sistema realimentado ante entrada r(t) escalón unitario, se pide: a)

Ajustar el valor de K para que el tiempo de establecimiento del sistema de segundo orden reducido equivalente sea

4.15

b)

Estudiar la validez de la aproximación anterior

c)

Calcular y(t) en régimen permanente para k=2

π 0,155

s

La figura muestra el diagrama de bloques del sistema de control de antena del campo de colectores solares. La señal D(s) denota las perturbaciones de las ráfagas de viento que actúan sobre la antena. La función de transferencia de la trayectoria directa G d (s ) se utiliza para eliminar el efecto de D(s) sobre la salida Y(s). Encontrar la función de transferencia

Y ( s) . Determinar la expresión de G d (s ) de tal forma que el efecto de D( s) R =0 D(s) sea eliminado por completo.

17

D(s)

Gd ( s) R(s)

4.16

+

-

E(s)

s +5 s +10

-

10 s(s +5)

+

+

Y(s)

En la figura se muestra una posible representación de un sistema de control de velocidad de un automóvil con control integral. a)

Si la entrada Vc =0, encontrar la función de transferencia que relaciona la salida v con la perturbación del viento w

b)

¿Cuál es la respuesta en estado estacionario de v si w es una función rampa y la entrada Vc=0?

c)

¿De qué tipo es este sistema en relación a cada una de las entradas?

w + vc

k1

+

e

k2 s

m s

+

-

v

k3 k1

18

TEMA 8 LUGAR DE LAS RAICES 8.1

Dado el siguiente sistema:

R(s )

G c (s )

G (s )

Y (s )

G (s ) =

0,5 (s + 1)(s + 5 )

Diseñar un controlador que cumpla las siguientes especificaciones:

8.2

a) t s

2%

≤ 2 seg , M p ≤ 4,3% , e ss p ≤ 35%

b) t s

2%

≤ 2 seg , M p ≤ 4,3% , e ss p = 0

c) t s

2%

≤ 1 seg , M p ≤ 4,3% , e ss p ≤ 20%

d) t s

2%

≤ 1 seg , M p ≤ 4,3% , e ss p = 0

Sea la función de transferencia de planta:

G (s ) =

1 (s + 2 ) + 1 (s + 5)

(

2

)

Diseñar un controlador (P, PI, PD, PID) que cumpla las siguientes especificaciones: a) t s

2%

≤ 4 seg , M p ≤ 4,3%

b) t s

2%

≤ 4 seg , M p ≤ 4,3% , e ss p = 0

c) t s

2%

≤ 1 seg , M p ≤ 4,3% , e ss p ≤ 20%

d) t s

2%

≤ 1 seg , M p ≤ 4,3% , e ss p = 0

19

TEMA 9 ANALISIS Y ESTABILIDAD EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 9.1

Sea la función de transferencia:

G( s ) =

1 ( s + 1)(1 + 0,1s )

a) Hallar su diagrama polar aproximado. b) Calcular la respuesta en estado estacionario a las siguientes entradas seno: r(t)=2 sen 0,5t r(t)=2 sen 5t y observar el efecto de la frecuencia en la amplitud y desfase de la salida respecto a la entrada. 9.2

Para el sistema anterior determinar la frecuencia a la que la salida presenta un desfase de 90º respecto a la entrada y encontrar la relación de amplitudes a dicha frecuencia. Nota: Recordar que el sistema es de 2º orden con dos polos reales, por lo que el desfase es de 90º cuando G(jω) corta al eje imaginario negativo.

9.3

Si en la función de transferencia anterior se introduce un integrador en el origen, ¿cómo varía el diagrama polar?. Calcular la intersección de G(jω) con el eje real del plano complejo.

9.4

Hallar el diagrama polar aproximado de: 10(1 + s ) G(s ) = s+5 calculando el módulo y el argumento para: ω=1, ω=5 y ω=25

9.5

Dibujar el diagrama polar aproximado de:

G1 ( s) =

2 2 y G 2 ( s) = s +1 1 + 0,1s

hallando el módulo y el argumento en al menos 3 puntos. ¿En qué difieren sus diagramas polares?. Demostrar que su forma es circular. 9.6

Hallar el diagrama polar aproximado de:

G1 ( s) =

10 10 y G 2 ( s) = (1 + s)(1 + 0,1s) (1 + s )(1 + 0,5s )

21

calculando su módulo y argumento para ω=1, ω=2 y ω=6. ¿Qué ocurre con el diagrama polar si la 2ª constante de tiempo es más pequeña que la dominante de 1 seg.? 9.7

Construir y comparar los diagramas polares de:

G ( s) =

ω n2 s 2 + 2δ ω n s + ω n2

para ωn = 1 y: a) δ = 0,75 b) δ = 0,25 Calculando el valor exacto del módulo y argumento para ω = 0.5, ω=1 y ω =2. 9.8

Dibujar el diagrama polar aproximado de: a) c)

1 s(1 + s) 1 G3 ( s ) = 2 s ( s + 1)

b)

G1 ( s) =

G 2 ( s) =

1 s ( s + 1)(1 + 0,5s)

basándose en el comportamiento a bajas y altas frecuencias y calculando el valor exacto del módulo y el argumento para ω = 0.5, ω= 1 y ω =2. 9.9

Construir el Bode asintótico de las siguientes funciones de transferencia: a) G1 ( s ) =

4 ( s + 2)

c) G3 ( s ) =

8 s(1,25s + 1)( s + 2)

b) G 2 ( s ) =

4 (1 + 0,4s)(1 + s)

9.10 Construir el Bode asintótico de las siguientes funciones de transferencia. Para el caso de polos complejos conjugados con amortiguamiento bajo, hallar la curva real calculando el valor de máxima amplitud.

5( s + 0,6) s(2,5s + 1)( s + 2)(0,25s + 1) 1,6 G3 ( s ) = ( s + 0,4)( s + 0,8)( s + 1)

G1 ( s) =

G2 (s) =

3,12s s ( s + 0,625s + 1,5625) 2

9.11 Aplicar el criterio de Nyquist para calcular la estabilidad del sistema cuya función de transferencia en lazo abierto es la siguiente:

G(s )H (s ) =

s−z s (s + p )

s, p > 0

9.12 Sea el servosistema cuya función de transferencia en cadena abierta es la siguiente:

22

G(s )H (s ) =

K s(1 + s )(1 + 2s )(1 + 3s )

Hallar el diagrama de Nyquist. 9.13 Sea el sistema de control de realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:

G(s ) =

as + 1

s2 Determinar el valor de a para que el margen de fase sea de 45º 9.14 Suponiendo que la función de transferencia en bucle abierto de un sistema es:

G (s )H (s ) =

Ke −2 s s

¿Cuál es el máximo valor de K para el cual el sistema en bucle cerrado es estable? 9.15 Determinar la función de transferencia sabiendo que se verifica:

G(s) del sistema de la figura,

1.- El error estacionario de velocidad es de 1/50 rad/seg. 2.- El margen de ganancia es de 6 dB. 3.- G(s) tiene un polo doble (fuera del origen) 9.16 Estudiar por Nyquist la estabilidad del sistema de la figura cuando K varia de -∞ hasta +∞.

+ -

(s - 1) (s + 7)(s + 2)

K

2 s+1 9.17 Estudiar mediante la aplicación del criterio de Nyquist la estabilidad de:

G (s )H (s ) = K

(s + 4 ) s (s − 2 )

9.18 Dado el sistema de la figura:

23

G(s) G( s) =

K (T1 s + 1) s 2 (T2 s + 1)

Se pide: 1- Aplicando el criterio de Nyquist determinar la estabilidad del sistema para los siguientes casos. a) T1 > T2 ; b) T1 = T2 ; c) T1 < T2 b) Para T1 = T2 1. Determinar el coeficiente de amortiguamiento (δ) y la frecuencia natural (ωn) del sistema. 2. Dibujar la ubicación de polos y ceros del sistema 3. Dibujar la respuesta del sistema para una entrada escalón de amplitud 0.5 unidades 2- Estudio del error en estado estacionario del sistema (en los tres casos T1 > T2, T1 = T2, T1 < T2) para las siguientes entradas: a)

Escalón unitario; b) Rampa unitaria; c) Parábola unitaria; d) r(t)=2 - 2t + 3t2

3- Para T1 > T2 a)

Dibujar el diagrama de Bode (aproximadamente), sabiendo que la frecuencia de ganancia crítica (cruce de ganancia) está entre las frecuencias 1/T1 y 1/T2.

b)

Indicar sobre la gráfica el Margen de Ganancia (MG) y el Margen de Fase (MF).

c)

¿Cómo afecta la variación de K al MF?

4- Para T1=1 y para T2=0.1 a) Determinar analíticamente el valor de K para que la atenuación a frecuencias mayores que 100 Rad/s sea por lo menos de un 0.1%. Dibujar el nuevo diagrama de Bode (aproximadamente) indicando la zona prohibida que corresponda. b) ¿Qué error en estado estacionario tiene el sistema, ante una entrada rampa unitaria?

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5- Para K=10,T1=1 y T2=0.1 calcular la salida del sistema y(t) para las siguientes entradas: a)

r (t ) = sen(0.25t )

b)

r (t ) = 0.5 sen(0.5t )

c)

r (t ) = 0.5 sen(100t )

9.19 El sistema de control de la Fig.1 incluye dos lazos. La curva de módulo de la Fig.2 corresponde a la función de transferencia de fase mínima del lazo interno, G1(s). Determinar, utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, para qué rango de ganancia K el sistema es estable. R (s )

+

+ -

Y (s )

K ( s + 0,1)

G1 ( s )

-

Fig.1 G1 dB

-40dB/dec

0 dB

0,1

0,5

ω

1 0

logω

-60dB/dec

Fig.2 9.20 El sistema de la figura representa de forma simplificada el control de temperatura de un proceso. Dado que la temperatura no se mide en el propio tanque de reacción sino en un punto corriente abajo de la trayectoria del fluido, el sistema cuenta con un tiempo de retardo de 0.12 seg. Se pide determinar la máxima ganancia K, para que el sistema sea estable.

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Referencia ACTUADOR

Sensor deTemperatura -

Actuador calentador +

K -

100 s + 10

Retardo

e −0.1s

Sensor de Tenperatura -

50 s + 50

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