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Problemas Propuestos (10-2),(10-10)y(10-15)

sdt(081471)

1

Problema 10-2 Se

utilizaron métodos de regresión para analizar los datos de un estudio para investigar la relación entre la temperatura superficial de una carretera (x) y la deflexión del pavimento (y) la cantidades resumidas fueron sdt(081471)

2

Cantidades

n  20

 y 12.75  y  x  1478  x  xy  1083.67 i

2 i

 8.86

i

2 i

 143215.8

sdt(081471)

3

Pregunta a) Calcular

las estimaciones de mínimos cuadrados de la pendiente y la ordenada al origen grafique la recta de regresión

sdt(081471)

4

Solución a) y  y x

ˆ1

i

n  xi n

12.75   0.6375 20 1478   73.9 20

ˆ0  y  ˆ1 x

 n xy     y   x   20  1083.67   12.75  1478    0.0042  20  143215.8  1478  n x     x  2

2

2

 ˆ0  y   1 x   0.6375   0.0042  73.9   0.327 yˆ  ˆ0  ˆ1 x  y  0.327  0.0042 x sdt(081471)

5

Graficar la recta de regresión yˆ  ˆ0  ˆ1 x  yˆ  0.327  0.0042 x tabulamos P1  (5 ; 0.0537) P2  (10 ; 0.369)

sdt(081471)

6

Pregunta b),c) Use

la ecuación de la recta ajustada para predecir la deflexión del pavimento que se observara cuando la temperatura superficial es 85º F, 90º F sdt(081471)

7

Solución b)

c)

yˆ  ˆ0  ˆ1 x yˆ  ˆ0  ˆ1 x yˆ  0.327  0.0042 x yˆ  0.327  0.0042 x yˆ  0.327  0.0042(85) yˆ  0.327  0.0042(90) yˆ  0.684 yˆ  0.705

sdt(081471)

8

Pregunta d) Que

cambio en la deflexión media del pavimento se emplearía para un cambio de 1º F en la temperatura superficial sdt(081471)

9

Solucion  85º F yˆ  ˆ0  ˆ1 x yˆ  0.327  0.0042 x yˆ  0.327  0.0042(85) yˆ  0.684

 86º F yˆ  ˆ 0  ˆ1 x yˆ  0.327  0.0042 x yˆ  0.327  0.0042(86) yˆ  0.6882

cambiro de defexion yˆ (86 )  yˆ (85)  0.6882  0.684  0.0042

sdt(081471)

10

Pregunta (10-10) En

un articulo de wear (Vol. 152 pp. 171-181) se presentan los datos del desgaste por rozamiento del acero dulce y la viscosidad del aceite los datos representativos con X = viscosidad del aceite y Y = volumen de desgaste 10 4 mm  sdt(081471)

11

Tabla X

Y

1.6

240

9.4

181

15.5

193

20.0

155

22.0

172

35.5

110

43.0

113

40.5

75

33.0

94

sdt(081471)

12

X

Y

X²

Y²

XY

1.6

240

2.56

57600

384

9.4

181

88.36

32761

1701.4

15.5

193

240.25

37249

2991.5

20

155

400

24025

3100

22

172

484

29584

3784

35.5

110

1260.25

12100

3905

43

113

1849

12769

4859

40.5

75

1640.25

5625

3037.5

33

94

1089

8836

3102

∑x 220.5

∑y 1333

∑x² 7053.67

∑y² 220549

sdt(081471)

∑xy 26864.4 13

Datos

 x  220.5  y  1333  x  7053.67  y²  220549  xy  26864.4 2

sdt(081471)

14

a) Construya un diagrama de dispersión

sdt(081471)

15

Pregunta b) Ajuste el modelo de regresión lineal simple usando mínimos cuadrados

 x  220.5  y  1333  x  y²  220549  xy  26864.4

2

 7053.67

n9

sdt(081471)

16

Solucion y  y x

i

n  xi

ˆ1 

n



1333  148.11 9

n9

220.5   24.5 9

ˆ0  y  ˆ1 x

 n xy     y   x   9  26864.4  1333  220.5   3.51  9  7053.67    220.5  n x     x  2

2

2

ˆ0  y  ˆ1 x  148.11    3.51 24.5  234.105 yˆ  ˆ0  ˆ1 x  yˆ  234.105  3.51x sdt(081471)

17

Pregunta c) Prediga el desgaste por rozamiento cuando la viscosidad es X=30

yˆ  ˆ0  ˆ1 x  yˆ  234.105  3.51x yˆ  234.105  3.51 30   128.805 sdt(081471)

18

Pregunta d) Obtenga

el valor ajustado de y cuando X = 22.0 y calcule el residual yˆ  ˆ0  ˆ1 x  yˆ  234.105  3.51x yˆ  234.105  3.51 22.0   156.885 valor residual ei  y i  yˆ i  172  156.885  15.115 sdt(081471)

19

Problema (10-15 )  Suponga

que quiere ajustarse el modelo

Yi   0   1 ( xi  x)   , donde Yi  y i  y n

n

(i  1,2,  n) encuentre las estimaciones de min imos cuadrados de  0^ y 1^ ¿ como se relacionan con ˆ 0 yˆ1 ?

sdt(081471)

20

Solución YIn   0  1 ( xi  x)   , YIn  y i  y  y i  y   0  1 xi   1 x   ,

 ,  y  y i   1 xi   1 x   0 n

L    i2 i 1



L  0 L  0



   0 1

 0 1 n



n



n

  i 1

 0

2 i

 

   y  y i   1 xi   1 x   0  i 1

2

 0

 2  y  y i   1 xi   1 x   0 



 2 y  y i   1 xi   1 x   0  0 1 i 1

sdt(081471)

21

Solucion 

L  1 L  1



   0 1

n

 i 1

2 i

 0

 

n

 

   y  y i   1 xi   1 x   0  i 1

2

 0

n

 0 1 n

 2  y  y i  1 xi  1 x   0  x x  i 1





 2 y  y i   1 xi   1 x   0  x x   0ç i 1

 x x    y  yi    xi    x      0 2 n

i 1

1

1

0

sdt(081471)

22

Solución n









 2 y  y i   1 xi   1 x   0  0 i 1 n

  y  y i   1 xi   1 x   0  0 1 i 1

n





  x x   y  y i   1 xi   1 x   0  0  2 i 1

n

n

n

 y  y   i 1

i 1

n

i

i 1

 1

n

n

xi    1 x   0  0 1 

i 1

n

i 1

n

 x y  x   x x y   x   x i 1

i 1



i

i

1

i 1

2 i

  x  1

sdt(081471)

2



n

n

 x  x    x i 1



i

0

i 1

i

 0  2

23

Solución n

n

n

i 1

i 1

i 1

n

n

 y  y   x   x     i  1 i  1  0  01 n





i 1

n

i 1

n

 x y   x   x   xi y i   x    x i 1 i 1 i 1 

1

n

n

i 1

i 1

n

n

i 1

i 1

2 i

  x  1 2



n

n

 x  x    x i 1



i

0

i 1

i

 0  2

n

 y   x  y   x     1  i  1 i  0 

n

n y  n 1 x   y i   1 



i 1

n

 x y  x   x i 1

2



i 1

n

 x  n   i 0 1 i 1

n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

i 1

 1  xi   x   xi y i   x   1  x i2   x   0  xi  2

sdt(081471)

24

Solución n

n

i 1

i 1

n y  n 1 x   y i   1  xi

  0 1

n n

 x y  x   x i 1

2

n

n

n

i 1

i 1

 1  xi   x   xi y i   x   1  x 2i i 1

n

 x x i 1

  0  2

i

1en 2 n

n

i 1

i 1

n

n y  n 1 x   y i   1  xi



n

 x y  x   x i 1

2

n

i 1

n

i 1

i

 n 1  x 

2

n

n

i 1

i 1

n

 x x i 1

 n y  x   x

n

 1  xi   x   xi y i   x   1  x i2

n

n

i 1

i 1

n

n

i 1

i 1

i n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

 xi   x   xi  yi   1  x   xi  xi  n x y   xi  n x   1  xi  n x   xi yi  n x   1  x i2 i 1

i 1

n

n

n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

2

  x   xi  y i   1  x   xi  xi   n x   xi y i  n x   1  x 2i

sdt(081471)

25

Solución n

n x   x i y i  n  x   1



i 1

 x



n

n

n

x i 1

n

n

n

i 1

i 1

i





 n  x i   xi  xi    x   i 1 i 1  i 1   n n  n    xi  y i  n xi y i    1   i 1 n i 1 n i 1n   2  n  x i   xi  xi  i 1 i 1  i 1  

2

n

n

i 1

i 1

  x   xi  y i   1  x   xi  xi

2

1

sdt(081471)

n



n

x y i 1

i

i 1

i

n



i 1



 n xi y i 

26

Relación 



n

n

n

i 1

i 1

i 1

 xi  y i  n xi y i  

 1   

n



i 1

n

n

i 1

i 1

n

n

n

i 1

i 1

i 1

n

n

i 1

i 1

   a  b c  d  



 n x i   xi  xi  2

 

 n xi y i   xi  y i 

ˆ 1  

 1  ˆ1



n



i 1

   b  a c  d  

 n x i   xi  xi 

 a  b c  d   b  a c  d 

2



 a  b b  a





 a  b    b  a



 a  b   a  b

sdt(081471)

 1   1   ˆ1 

27

Relación ˆ0  y i  ˆ1 xi  0  y i   1 xi 



ˆ0 y i ˆ1 xi y i  ˆ1  xi         ˆ y i 1 xi y i   1  xi 0 ˆ0 ˆ0   11  2   0   2 0 sdt(081471)

28