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• Jaime

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PROBLEMAS ESTÁTICA

Una persona sostiene en la mano un peso de 50 N con el antebrazo en posición horizontal. El músculo bíceps está fijo a 0.030 m de la articulación, y el peso está a 0.350 m de la misma. Determinar la fuerza ascendente que el bíceps ejerce sobre el antebrazo (el cúbito) y la fuerza descendente sobre el antebrazo (el húmero) que actúa en la articulación. No hay que tener en cuenta el peso del antebrazo.

   

Una persona de 70 N de peso está en posición erecta parada sobre un piso horizontal. Su centro de gravedad se encuentra en la línea recta que pasa por el punto medio de la distancia entre sus pies, que es de 30 cm, ¿cuáles son las fuerzas que ejerce el piso sobre su pie derecho y sobre su pie izquierdo?

Solución: Aplicando la segunda condición de equilibrio, W= 70kgf 

obtenemos:

RB × 30 cm = 70 kgf × 15 cm 15 cm 

RB= 35kgf

15cm 

Aplicando la primera condición de equilibrio, 30 cm 

tenemos: RA 

RB 

RA + RB = 70Kgf

           

RA = 35 Kgf

Localizar el centro de gravedad para una paciente, de 60 N de peso y 1.65 m de altura, en decúbito sobre una tabla. La báscula ubicada en los pies muestra una lectura de 23 N. Además, ¿cuánto vale la fuerza de contacto sobre su cabeza?

       

Con el antebrazo en posición horizontal, tal y como aparece en la figura, la mano ejerce una fuerza de 88.2 N sobre la balanza. Hallar los módulos de las fuerzas Fm y Fc que ejercen sobre el antebrazo el tríceps y el húmero. Despreciar el peso del antebrazo.

 

Halla el valor de la fuerza F que equilibra dos fuerzas F1 = 3.5 N y F2 = 1.5 N, de distinto sentido, aplicadas al extremo de una barra de 2 m de longitud, tal y como se indica en la figura. Además, determina donde está aplicada la fuerza F y cuál es su sentido. Nota: se aconseja tomar el eje de rotación donde está aplicada la fuerza F.

F1

2m

F2

Localizar el CG del cuerpo de la figura, teniendo en cuenta la postura que está adoptando este  atleta. Datos: altura del atleta: 1.85 m; masa del atleta: 90 kg; masa de la cabeza (H): 5.5 kg;  masa del tronco (T): 44.5 kg; masa de las piernas (L): 27 kg. Los centros de gravedad son: H  (cabeza), T (tronco), L (piernas), A (cabeza + tronco).  

 

 

 

   

 

    EST‐ 1. ¿Cuáles son las tensiones T1 y T2 de las cuerdas de la figura?  

T2

8 kg

T1

3 kg

 

   

EST‐ 2. La figura representa a un hombre de 70 kg de pie con los pesos de diferentes partes de  su cuerpo.  

  Responde a las siguientes cuestiones:   a) ¿Cuál es el módulo de la fuerza de contacto que sostiene la cabeza y el cuello?   b) ¿Cuál es la fuerza total que sostiene al tronco en las dos articulaciones de la cadera?   c) ¿Cuál es la fuerza de contacto total en las articulaciones de las rodillas?   d) Si el hombre se apoya en un pie, ¿cuál es la fuerza de contacto de la articulación de  la rodilla sobre la que está apoyado?  e) ¿Cuál es la fuerza en la articulación de la rodilla que sostiene la pierna que no se  apoya en el suelo?    

   

1) a) Las partes posterior y anterior del músculo deltoides elevan el brazo al ejercer las fuerzas Fp (4 N) y Fa (6 N) que muestra la figura, ¿cuál es la magnitud de la fuerza total sobre el brazo y qué ángulo forma con la vertical?

b) Un peso de 60 N se sostiene en la mano formando el brazo y el antebrazo un ángulo de 90º, tal y como se muestra en la figura. El músculo bíceps ejerce una fuerza Fm cuya dirección dista 3.4 cm del punto pivote O en la articulación del codo. Despreciando el peso del brazo y de la mano, (i) ¿cuál es la magnitud de la fuerza muscular Fm si la distancia del peso al punto pivote O es 30 cm?; (ii) determinar la fuerza ejercida sobre la articulación del codo, Fa, por la parte superior del brazo.

y

2

Además:

2

R  Rx  R y  8,27 kp 1,86kp tan   8,06kp   13º

6 kp 6 cos 40º

4 kp 4 cos 30º

30º 40º

4 sen30º 6 sen 40º

Ry= 8,06 kp

De la figura: • Rx= 6 sen 40º‐4 sen 30º= 1,86 kp • Ry= 6 cos 40º+ 4 cos 30º= 8,06 kp  Luego:

θ R= 8,27 kp

Rx= 1,86 kp  

 

14. El levantador de pesas puede generar una fuerza de 3000 N. Si dispone de una palanca con un brazo de fuerza de 2 m. y uno de resistencia de 50 cm.

a. ¿Qué peso máximo podrá levantar? b.

F = 3000 N

F .d = R . r

R = ¿?

d = 2 m. r= 50cm R = 12000 N

La figura siguiente muestra la situación del tendón del cuádriceps al pasar por la rótula. La tensión T del tendón es de 140 N, y se puede descomponer en dos tensiones iguales T1 = 140 N y T2 = 140 N, tal y como aparecen en la figura. La tensión resultante TR (no dibujada en la figura) de ambas tensiones está en equilibrio con la fuerza de contacto FC ejercida por el fémur sobre la rótula. a) Dibuja de forma cualitativa el vector TR. b) Calcula el módulo de la fuerza FC. c) Calcula la dirección de la fuerza FC (es decir, el valor del ángulo c).

16.‐    La figura muestra la forma del tendón de cuádriceps al pasar por la  rótula.  Si  la  tensión  T  del tendón es 140 kgf ¿cuál es el módulo y la dirección de la fuerza de contacto FC ejercida por el  fémur sobre la rótula?      Solución:                        En este caso, primero descomponemos las fuerzas en sus           componentes x e y, luego aplicamos las ecuaciones de 

. 

Y

equilibrio

 

T=140kgf Fc 

                          F   F       1 . ∑ (→) = ∑ (←) 

370

θ X 

800 

T=140kgf 

 

 

             F cos θ = 140 cos 37 º + 140 cos 80 º  C           F cos θ = 136,12 kgf    C                       Dividimos   2 entre 1:              tang θ   =   53,62 kgf                    θ = 21,50  136,12kgf     

     

 ∑ F ∑F 2.         (↑) =  (↓)                F senθ = 140 sen 37 º+  140 sen 80 º  C              F senθ = 53,62 kgf  C  

 

 

          Reemplazamos en 1 y obtenemos: 

 

 

 

FC = 146,3kgf   

17.   Una  persona  de  70  kgf  de  peso  está  en  posición  erecta  parada  sobre  un  piso   horizontal. Su centro de gravedad se encuentra en la   línea  recta  que  pasa  por   el punto medio de la distancia entre sus pies, que es de 30 cm, ¿cuáles  son  las   fuerzas,  en  kgf,  que  ejerce  el piso sobre su pie derecho y sobre su pie izquierdo?    Solución:   

 

 

 

W= 70kgf 

 

 

 

Aplicando la segunda condición de equilibrio, obtenemos: 

 

 

 

RB × 30 cm = 70 kgf  × 15 cm 

 

 

 

 

15cm 

15 cm 

 

 

RB= 35kgf  

30 cm 

 

RA  

 

  RB 

 

Aplicando la primera condición de equilibrio, tenemos: 

 

 

 

 

 

 

RA + RB = 70Kgf            RA = 35 Kgf 

18. El  freno de  alambre que  se ve en la figura tiene una tensión T igual a  2N a lo largo de  él.   Por, lo tanto ejerce fuerzas  de  2N en los dientes a los que se fija, en las dos direcciones  que se indican. Calcular la fuerza resultante sobre el diente, debida al freno.                           Solución:              Como se trata de dos fuerzas que tienen el mismo punto de origen, para calcular la  resultante se    aplica el método del paralelogramo.    2N          Magnitud o módulo de la resultante: 

1400  R

2N 

      R=  2

2

2 2 2 𝑐𝑜𝑠140º 

            Reemplazando   Cos 1400 = ‐ 0,766, y simplificando obtenemos:   R = 1,368N    19. Calcule la masa m que se necesita para sostener la pierna mostrada  en  la  figura.  Suponga  que  la  pierna tiene  una  masa  de 12 kg y que  su  centro  de  gravedad   está   a   36 cm   de   la articulación de la cadera. El cabestrillo está a 80,5 cm de la articulación de la cadera.              Solución:    En  este  tipo  de  problemas,  primero  se  hace  el  DCL  correspondiente  y luego se  aplica la primera y/o la segunda condiciones de equilibrio.  * Para facilitar el dibujo la pierna se está graficando como una barra (ver DCL)   

∑τ   ( A n tihorarios )  =∑τ   ( H o rarios ) 

 

mg (g) 

 

 

Luego: 

 

 

m(g) × 85,5 cm = 12kg(g) × 36 cm

 

 

 

           

80,5 cm  O 

36 cm 

c.g  12kg (g) 

             

 

 

 

m = 5,37 kg 

 

 

¿Qué fuerza muscular FM debe ejercer el tríceps sobre el antebrazo para sujetar una pelota de peso FP = 73 N tal y como se muestra en la figura? Suponer que el antebrazo y la mano tienen un peso FP’ = 28 N y que su centro de gravedad (CG) está a 12 cm del codo.

      20. ¿Qué fuerza muscular FM debe ejercer el tríceps sobre el antebrazo para sujetar una  bala  de  7,3   kg como se muestra en la figura? Suponga que el antebrazo y la mano tienen    una    masa    de 2,8 kg y su centro de gravedad  está  a  12  cm del codo.                                       

       Solución:  Se procede en forma similar  a  los problemas anteriores.  Primero hacemos el DCL del  antebrazo   y   mano   juntos,   y   luego   aplicamos equilibrio de torques.   *  El  antebrazo  y  la  mano  se  están  dibujando  como  una  barra  (ver DCL)   

 

  c.g 

 

2,5 cm 

 

 

 

 

 

  30 cm 

 

73N 

    Por la 2da condición de equilibrio: 

∑τ   ( A ntihorarios )  =∑τ   ( H o rarios ) 

 

 

       

 

 

    Luego: 

 

 

 

 

 

    Obtenemos: FM = 1010,4 N

12 cm 

 

 

 

FM(2,5cm) = 28(12cm)+ 73(30cm) 

28N 

  FM 

 

  Fc 

      Otra opción:   Fm1∙dm = R∙r  Fm2∙dm = F∙f  Fm1 = 0.12∙28/0.025 = 134.4 N  Fm2 = 0.3∙73/0.025 = 876 N  Fm total = Fm1 + Fm2 = 1010.4 N       

 

Veamos un ejemplo práctico. En un frigorífico que cierra herméticamente se enfría aire a  presión atmosférica desde 20 ºC hasta 8 ºC. ¿Qué diferencia de presión aparece entre los  recintos inferior y exterior del frigorífico? Las dimensiones de la puerta del frigorífico son:  altura 0.90 m y anchura 40 cm, el pomo de la puerta se halla a 5 cm del canto. ¿Con qué fuerza  mínima se debe tirar para abrir la puerta?     Como el volumen se mantiene constante es una transformación isócora, y es válida la ley de  Gay‐Lussac: P/V = cte.   Por tanto: P/T = P0/T0  Siendo P0 = 1 atm, T0 = 293 K y T = 281 K.   Por tanto: P = (T/T0)∙P0 = 0.96 atm  La diferencia de presión entre el exterior y el interior del frigorífico es:   P = 1  0.96 = 0.04 atm  La fuerza que actúa sobre la puerta del frigo debido a esta diferencia de presión es:   F = S∙P = 0.90 ∙ 0.40 ∙ 0.04 ∙ 1.013∙105 N/m2 = 1.46∙103 N  Donde hemos tenido en cuenta que 1 atm = 1.013∙105 N/m2   

 

 

 

 

Esta fuerza queda aplicada en el centro de la puerta del frigorífico y produce un momento  respecto al eje en torno al cual gira la puerta, cuyo valor es M = F∙d, siendo d = anchura/2 =  0.40/2 = 0.20 m.  Por tanto M = 1.46∙103 ∙ 0.20 = 2.92∙102 N∙m  Este momento es opuesto al que se debe hacer para abrir la fuera. Si F’ es la fuerza mínima  que se debe hacer, al estar aplicada a una distancia 40 cm  5 cm = 35 cm = 0.35 m del eje de  giro, su momento es: M’ = F’∙0.35 = 2.92∙102 N∙m.  Esto es porque el momento total respecto al eje de giro en el caso de fuerza mínima es nulao,  esto es, M = M’ o M  M’ = 0. Por tanto:   F’ = 2.92∙102 / 0.35 = 8.34∙102 N   

 

 

   

Si mantenemos nuestro antebrazo en posición horizontal, como se muestra en la figura, el bíceps ejerce una fuerza hacia arriba de módulo F, aplicada a 4.0 cm del eje de rotación situado en el codo. Esta fuerza hacia arriba del bíceps suministra el par de fuerzas (junto con el peso del antebrazo) que mantiene el antebrazo en reposo. Si el antebrazo tiene una masa de 2.25 kg y la distancia entre el codo y la punta de los dedos es de 50 cm, calcular la fuerza F.

         

Un gimnasta que está practicando la posición del cristo en las anillas se encuentra en reposo con sus brazos extendidos horizontalmente, sujetando cada anilla con una mano. Las anillas están separadas 1.66 m y la masa del gimnasta es de 62.4 kg. Vamos a suponer que existe simetría, estando el centro de gravedad del gimnasta en una línea vertical situada a mitad de camino entre ambas anillas. a) ¿Cuál es la fuerza ascendente que cada anilla ejerce sobre la mano del gimnasta? b) Demostrar que el momento neto con respecto a cada anilla es cero, como requiere el equilibrio de rotación.

El músculo deltoides sube el brazo hasta una posición horizontal. El músculo está fijado a 15 cm de la articulación (punto O) y forma un ángulo  = 18° con el húmero. Suponiendo que el peso del brazo es de 40 N y que se puede aplicar todo él en el centro de masas situado a 35 cm de la articulación, calcular la fuerza R (de contacto) que hace la articulación, el ángulo  que dicha fuerza forma con el húmero cuando el brazo está horizontal y la tensión T (fuerza muscular) que realiza el músculo. y x

T 15 cm

O

O



 = 18º 

 P R 35 cm

dT = 15 cm dP = 35 cm

De Fm sólo me interesa la componente vertical (por eso multiplico el módulo por el seno del ángulo).