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• Javier López Caubín

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PROBLEMAS DE VIBRACIONES Y ONDAS 1.

Una partícula de 5g de masa vibra con una amplitud de 10 m y una frecuencia de

50Hz. Calcula: a)La constante recuperadora. b)La velocidad 0,1 s después de pasar por la posición de equilibrio. SOLUCIÓN:

ω = 2 π f = 2 π 50 = 100 π rad / s K = m ω 2 = 5 ·10 − 3 · (100 π ) 2 = 50 π 2 N / m Para t = o → y = A → y = A sen ( ω t + ρo ) → sen ( ω t + ρo ) = 1 → sen( ω 0 + ρ o ) = 1 → sen ρ o = 1 → ρ o = v=

π π → y = A sen (100 π t + ) 2 2

dy π = 0 ,1· 100 π cos (100 π · 0,1 + ) = 0 dt 2 SOL: 50 π 2 N/m ; 0 m/s

2.

Una partícula vibra con una velocidad máxima de 20 m/s y una amplitud de 10 cm.

Calcula: a)La frecuencia del movimiento. b)La aceleración máxima. c)La velocidad de la partícula cuando se encuentra a 2 cm de la posición de equilibrio. SOLUCIÓN:

Vmáx = A · w → ω =

vmáx 20 = = 200 rad / s w = 2 π f → A 0,1

f =

200 100 = Hz 2π π

amáx = − ω 2 x = -2002 0,1 = - 4 · 103 m/s2 Ver libro página 100 →

v = ± ω ( A2 − x 2 ) = ± 200 0,12 − 0,02 2 = 19,6 m / s SOL:

100 Hz ; 4000 m/s2 ; 19,6 m/s. π

1

3.

La posición de una partícula que se mueve en una dimensión viene dada por:

x = 5·cos 4 π t (SI). a) Halla la amplitud, la frecuencia angular, la frecuencia y el período del movimiento. b) Calcula la expresión para la velocidad de la partícula en un instante cualquiera. c) ¿Cuál es la velocidad en el instante t = 0 s?

SOLUCIÓN: a) A = 5 m ; w = 4 π rad/s ; w = 2 π f → f = b) v =

1 1 4π = 2 Hz → T = = s f 2 2π

dx = − 5 · 4π sen 4π t = − 20 π sen 4 π t dt

c) v = − 20 π sen 4 π 0 = 0 SOL: a) 5m; 4 π rad/s; 2Hz; 0,5s b)v = - 20· π ·sen4 π t ; c) 0 m/s 4.

Una partícula tiene un desplazamiento x dado por la expresión x = 3·cos(5 π t + π ) (SI)

a) ¿Cuál es la frecuencia y el período del movimiento? b) ¿Cuál es la mayor distancia que recorre la partícula desde su posición de equilibrio? c) ¿Dónde está la partícula en el instante t=0? d) Velocidad de la partícula en función del tiempo. e) ¿Cuál es la velocidad máxima? f) Aceleración de la partícula en función del tiempo. g) ¿Qué vale la aceleración máxima? SOLUCIÓN w = 5π

→ w = 2π f

→

f =

5π = 2,5 Hz 2π

→ T =

x= A=3m t = 0 → la partícula está en x = 3 cos (5π 0 + π ) = − 3 m

1 1 = = 0,4 s f 2,5 La mayor distancia

que recorre la partícula es de 3 m

2

dx = − 15 π sen (5 π t + π ) → sen (5π t + π ) = 1 → v = ± 15 π m / s dt dv a= = − 15 π · 5π = ± 75 π m / s 2 dt

v=

SOL: a) 2,5Hz ; 0,4s b) 3 m; c) -3m ; d) v=-15 π sen(5 π t + π ) m/s; e)15 π m/s f) a =-75 π 2 cos(5 π t + π ) ; g) 75 π 2 m/s2 5.

La posición de una partícula viene dada por la expresión x = 4sen2t en (SI).

a) ¿Cuál es el valor máximo de x? b) ¿En qué instante, después de t =0, se vuelve a presentar dicho valor máximo? c) Calcula la velocidad en función del tiempo. d) ¿Qué velocidad tiene para t =0? e) Calcula la aceleración en cualquier instante. f) ¿Cuál es la aceleración para t =0? g) Valor máximo de la aceleración.

SOL: a) xmáx = 4m; b) t = 6.

π s; c) v=8·cos2t; d) v = 8m/s; e) a =16·sen2t; f) 0m/s2 g)16 m/s2 4

Una partícula con m.a.s. está en reposo a una distancia de 6 cm de su posición de

equilibrio en el instante t = 0. Su período es de 2 s. Escribe las ecuaciones correspondientes a su posición “x”, su velocidad “v” y su aceleración “a” en función del tiempo. SOLUCIÓN:

ω=

2π = π rad / s 2

x = A sen ( ω t + ρo ) En el instante inicial t = 0 → x = 0,06 m → sen ρ o = 1 → ρ o = x = 0,06 sen (π t +

π 2

π )m 2

dx π = 0,06 π cos (π t + ) dt 2 dv π a= = − 0,06 π 2 sen (π t + ) dt 2

v=

SOL: X = 0,06sen ( π t+n/2) ; v = 0,06 π cos ( π t+

π π ) ; a = -0,06 π 2sen( π t+ ) 2 2

3

7.

Calcula la energía mecánica de una partícula oscilante de 3 g a su paso por la

posición de equilibrio, siendo su período 0,2 s y su amplitud 4 cm. SOLUCIÓN:

ω=

2π = 10 π rad / s 0,2

E=

1 1 1 K A2 = mw2 A2 = 3 · 10-3 (10 π )2.(4 · 10-2)2 = 2,37 · 10 -3J 2 2 2 SOL: 2,37· 10 -3 J

8.

Un oscilador armónico se encuentra en un instante en la posición X =

A . ¿Qué 2

relación existe entre sus energías cinética y potencial? Cuando la posición es x = EC =

A su energía cinética es: 2

1 m v 2 teniendo en cuenta que 2

v =ω±

A2 − x 2 → EC =

1 1 A2 3 m ω 2 ( A2 − x 2 ) = m ω 2 ( A2 − ) = m ω 2 A2 2 2 4 8

En ese instante su energía potencial es : EP =

1 1 1 A2 1 K x2 = m ω 2 x2 = m ω 2 = m ω 2 A2 2 2 2 4 8

Dividiendo estas expresiones tenemos: 3 m ω 2 A2 EC 8 = = 3 → EC = 3 EP 1 EP 2 2 mω A 8 SOL: Ec=3Ep

4

9.

Un oscilador de 2 Kg tiene una frecuencia de 40 Hz, una amplitud de 3 m y comienza

su movimiento en la posición de equilibrio. a) ¿En qué posición se encuentra cuando su energía potencial es la mitad de su energía cinética? b) ¿Qué tiempo transcurrirá desde el comienzo de su movimiento hasta que su energía sea igual a su energía potencial? SOLUCIÓN:

ω = 2 π f = 80 π rad / s La condición que nos da el problema es: EC = 2 EP Teniendo en cuenta que: EP =

ET

=

1 2m

ω2

A

2

=

EC

1 1 → m ω 2 x 2 = m ω 2 A2 → x = 2 6 b) ET = EC + EP = 2 E p =

1 mω 2 A2 2

+

EP

A2 = 3

=

2

EP

+

EP

=

3

EP

1 m ω 2 x2 2

→ EP =

1 m ω 2 A2 6

9 = 1,7 m 3

→ EP =

1 mω 2 A2 4

1 1 A 3 mω 2 x 2 = mω 2 A2 → x = = 2 4 2 2 3 π = 3 sen 80 π t → 80 π t = → t = 3,125 · 10 − 3 s 4 2 SOL: x = 1,7 m; 3,125 ·10-3 s. 10.

Una partícula material de 10 g de masa describe un movimiento armónico simple de

amplitud 5 cm y en cada segundo realiza media vibración. Calcula: a) Ecuación que rige el movimiento. b) Fuerza que es capaz de producirlo. c) Valores de la elongación para los cuales la velocidad sea máxima. d) Valores de la elongación para los cuales la aceleración es nula. SOL: x = 0,05sen π t; F = -4,9·10-3 sen π t; x = 0; x = 0.

5

11.

Un punto móvil de 0,5 Kg de masa está animado por un M.A.S. de 10 cm de amplitud

y realiza 2 oscilaciones por segundo. Calcula: a) Elongación de dicho punto

1 de segundo después de alcanzar la máxima elongación. 6

b) La constante recuperadora del movimiento. c) La energía cinética que posee el punto móvil al pasar por la posición inicial de equilibrio. SOL: x = 0,0866m; K = 78,95 N/m; Ec = 0,39J. 12.

Una onda se mueve hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de

12 m/ s. Su frecuencia es de 60 Hz y su amplitud de 0,2m. Escribe la ecuación de la onda SOL: y = 0,2 sen 10 π (12 t – x ) 13.

Una onda está descrita por la ecuación: y = 4 sen π (5 t - 2 x)

Si las magnitudes están expresadas en el SI, calcula: a) El período de vibración de las partículas alcanzadas por la onda. b) La frecuencia. c) La amplitud de la vibración. d) La longitud de la onda. SOL: T = 0,4s; f = 2,5 Hz; A = 4m; A = 1m.

14.

Dada la ecuación en unidades del SI: y = 3 sen 2 π (6 t - 0,2 x)

a) Calcula el período y la frecuencia. b) Determina la longitud de onda y la velocidad de propagación. c) La amplitud. d) Escribe la ecuación de onda correspondiente a un movimiento ondulatorio de las mismas características pero que se propaga en sentido opuesto. SOL: T =

1 s ; f = 6 s -1 ; λ = 5m ; A = 3m ; y = sen 2 π ( 6 t + 0,2 x) 6

6

15.

La ecuación de una onda es: y = 0,03 cos ( 2 π x - π t) (SI)

a) Halla la amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación. b) Calcula la elongación del punto x = 0,25 m en el instante t = 1 s. SOL: A = 0,03m ; f = 0,5 HZ; A =lm ;v = 0,5m/s ; x = 0 16.

Dada la onda armónica: Ψ (x, t) = 4 sen 2 π (0,2 x - 3 t) calcula los parámetros

característicos de la misma. (SI). SOL: Ψ o = 4m; k =0,4 π m-l; v=15 m/s ; A = 5m; T=

17.

Dada la onda armónica: Ψ (x,t) =

1 s; v = 3Hz; w = 6 π rad/s 3

1 sen (7 x + 3,5 t) (SI) determina los parámetros 2,5

característicos de la misma. SOL: Ψ =0,4 m; k = 7m-l ; w = 3,5 rad/s; T = 18.

2π 3, 5 2π s;v= Hz; λ = m; v = 0,5m/s 3, 5 2π 7

La ecuación de una cierta onda que se propaga transversalmente a lo largo de una

cuerda es: Ψ (x ,t) = 3 cos (62,8 t - 6,28 x) expresadas en SI, calcula: a) Amplitud; b) Longitud de onda; c) Frecuencia; d) Frecuencia angular; e) Velocidad de propagación de la onda; f) Velocidad y aceleración para cualquier punto del medio. SOL: Ψ o = 3m; λ = 1m; f = 10 Hz ; w = 62,8 rad/s; v = 10 m/s; V = - 188,4 sen (62,8 t - 6,28 x) ; a = - 11831,5cos (62,8t - 6,28 x) 19.

La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda es :

Y (x ,t) = 20 sen π (2x - 0,4t) (SI). Calcula: a) Amplitud. Longitud de onda. Frecuencia. Velocidad de propagación de la onda. b) ¿Cuál es la velocidad transversal máxima de un punto de la cuerda? c) Aceleración transversal máxima. SOL: a) A = 20m; v = 0,2 m/s; λ = 1m; f = 0,2Hz b) Vmáx=8 π m/s C) amáx = 3,2 π 2m/s2

20.

La ecuación de una cierta onda armónica viene expresada por la ecuación:

7

y = 3 cos 2 π (2x - 16t ) en el SI. Calcula la amplitud, longitud de onda, frecuencia, velocidad de propagación y velocidad y aceleración máxima de un punto del medio. SOL: A = 3m; v = 8 m/s; λ = 0,5 m; f = 16Hz; Vmáx = 96 π m/s, amáx = 3072 π 2 m/s2 21.

La ecuación de una onda armónica que se propaga en una cuerda en el SI es: y(x,t) =

0,5 sen π ( x – 0,1t -

1 ) . Calcula: 3

a) La amplitud, el período y la longitud de onda. b) La frecuencia y la frecuencia angular. c) La velocidad de propagación. d) La velocidad máxima de un punto de la cuerda. SOL: a) A = 0,5m; T=20s; λ = 2m b) f = 0,05 Hz; w = 0,1 π rad/s c) v = 0,1m/s; d) vmá x= 0,05 π m/s

22.

Una onda transversal se propaga por una cuerda con una velocidad de 7,5 m/s. Si

su frecuencia es 100 Hz y su amplitud 0,2 cm, escribe la función de onda. SOL: y (x, t) = 0,002 sen (26,67 π ·x ± 200 π ·t ).

23.

La ecuación de una onda transversal viene dada por: y (x, t) = 40 sen 2 π (2 t - 5 x).

Calcula: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La distancia entre dos puntos cuya diferencia de fase sea π radianes. c) El período de oscilación de cada punto. SOL: a) v = 0,4 m/s; b) d = 0,1 m; c) T = 0,5 s.

24.

Se produce una explosión en el aire que libera una energía de 5000 J en una 8

centésima de segundo. Si la onda originada tiene una longitud de onda

λ = 50 cm y la

velocidad de propagación vale v = 330 m/s, calcula: a) Frecuencia de la onda sonora. b) Intensidad de la onda a 50 m de la explosión. SOL: a) f = 660 Hz; b) I = 15,92 W/m2 25.

Una motocicleta emite ruido con una potencia sonora de 12 W. Calcula el nivel de

intensidad sonora a una distancia: a) De 2 m .b) De 10 m. SOL: a) 0,24 W/m2 ; 9,5·10-3 W/m2

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