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• Angel Ariel González Mendoza

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Problema 16 La E.L. Griffith Company es un fabricante grande de zapatos, ubicado en la región del medio oeste en los Estados Unidos de Norteamérica. La Griffith es especialista en la fabricación de botas vaqueras y no vende en forma directa al público sino que, en cambio, vende a través de expendios al menudeo. Según las fluctuaciones en los costos de los diversos componentes, la compañía ha observado que el costo de producción varía de un mes a otro. Debido a estas variaciones en los costos (y al bajo costo de manejo y almacenamiento que es de $ 1.00 por mes por par de botas), la Griffith considera que resulta conveniente fabricar pares de botas en exceso en algunos meses para venderlas en meses posteriores. Los administradores de la Griffith han pronosticado la demanda y los costos por los siguientes siete meses como se muestra en la tabla P3-16. La compañía desea programar la producción para minimizar los costos totales de producción y manejo. Plantee un modelo de PL para el problema. (No existe restricción de capacidad sobre la producción o sobre el almacenamiento) Tabla P3-16 Mes Demanda pronosticada Costo proyectado (por par) 1 150000 36.00 2 110000 42.00 3 180000 38.00 4 100000 40.00 5 200000 35.00 6 180000 39.00 7 110000 37.00 Definición: Determinar cómo programar la producción de los próximos 7 meses para minimizar los costos Alternativa a: Variables: Xi: cantidad (pares) producida en el mes i=1,2,3,4,5,5,7 i : cantidad (pares) de unidades al final del mes i=1,2,3,4,5,5,7 Limitantes: - Satisfacer la demanda - Inventario Final del último periodo - No negatividad min S.A.:

z = 36 X1 + 42 X2+ 38 X3 + 40 X4 +35 X5 + 39 X6 + 37 X7 + 100 ( Ii ) 0 I1 I2 I3 I4 I5 I6

+ + + + + + +

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

= = = = = = =

150000 110000 180000 100000 200000 180000 110000

I7=0 Xi0

+ + + + + + +

I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7

Alternativa b: Variables: Xij: Unidades fabricadas en el periodo i (1,…,7) y vendidas en el periodo j(1,…7) X11 X12 X13 X14 X22 X23 X24 X33 X34 X44

X15 X25 X35 X45 X55

X16 X26 X36 X46 X56 X66

Limitantes:

X17 X27 X37 X47 X57 X67 X77





Inventario 1: Inventario 2: Inventario 3: Inventario 4: Inventario 5: Inventario 6:

Demanda pronosticada en cada mes No negatividad 

Min.Z= 36 X1j + 42 X2j +38 X3j + 40 X4j + 35 X5j + 39 (X66 +X67) + 37 (X77) + 1(X12+X23+X34+X45+X56+X67) + 2(X13+X24+X35+X46+X57) + 3(X14+X25+X36+X47) + 4(X15+X26+X37) + 5(X16+X27) + 6(X17) s.a.: X11 X12 + X22 Xi3 Xi4 Xi5 Xi6 Xi7

= 150000 = 110000 = 180000 = 100000 = 200000 = 180000 = 110000

Xij > 0 Problema 17 Una cooperativa agrícola del suroeste de los Estados Unidos de Norteamérica opera cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la tabla P3-17ª describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva 3 tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen Limitantes sobre el número de acres de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la tabla P3-17b reflejan el máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en millares de pies cúbicos por acre) para los respectivos cultivos son: 5, 5, y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los cultivos son $500, $150 y $200, respectivamente.

Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 4 granjas, la cooperativa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Plantee un modelo de PL, que permita a la cooperativa a determinar la cantidad (acres) de cada cultivo que deben plantarse en cada granja para que se maximicen las utilidades esperadas por la cooperativa. Tabla P3-17 a Granja 1 2 3 4

Disponibilidad de agua (pies cúbicos) 480000 1320000 370000 890000

Disponibilidad de tierras (acres) 450 650 350 500

Tabla P3-17b Granja 1 200 150 200

Cultivo A B C

Granja 2 300 200 350

Granja 3 100 150 200

Granja 4 250 100 300

Definición: Determinar la cantidad de acres que deben plantarse de cada cultivo para maximizar utilidades Variables: Xij: cantidad (acres) de cultivos i= A,B,C en cada granja j=1,2,3,4 Limitantes:

- Disponibilidad de acres - Disponibilidad de agua - Cantidad máxima de acres - No negatividad

max z = 500XAj + 350XBj + 500XCj S.A.: 6XA1 6XA2 6XA3 6XA4

+ + + +

5XB1 5XB2 5XB3 5XB4

Xi1 Xi2 Xi3 Xi4

   

450 650 350 500

+ + + +

4XC1 4XC2 4XC3 4XC4

   

480 1320 370 890

XA1 XA2 XA3 XA4 X

XB1200 XB2300 XB3100 XB4250

200 300 100 250 i 1

450

= Xi 2 650

= Xi 3 = 350

XC1200 XC2300 XC3100 XC4250 Xi 4 500

X ij  0

Problema 20 El gerente de la línea de producción de una empresa electrónica debe asignar personal a cinco tareas. Existen cinco operadores disponibles para asignarlos. El gerente de línea tiene a su disposición datos de prueba que reflejan una calificación numérica de productividad para cada uno de los cinco trabajadores en cada uno de los trabajos. Estos datos se obtuvieron a través de un examen de operación y prueba administrado por el departamento de ingeniería industrial (véase la tabla P3-20). Suponiendo que un operador pueda ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que conduzca a la asignación óptima de tareas. Número de Operador 1 2 3 4 5

1 12 6 10 2 7

Tabla P3-20 Número de trabajo 2 3 16 24 8 20 6 16 4 2 10 6

4 8 14 18 24 6

5 2 6 12 20 18

Definición: Determinar cómo asignar las tareas a los individuos para maximizar utilidades Variables: Xij: asignación del operador i= 1,2,3,4,5 a la tarea j=1,2,3,4,5

Limitantes:

- Cada operador puede recibir sólo una tarea - Cada tarea puede asignarse al operador 1,2,3,4, ó 5 - No negatividad

Max Z = 12X11 + 16X12 + 24X13 + 8X14 + 2X15 + 6X21 + 8X22 + 20X23 + 14X24 + 6X25 + 10X31 + 6X32 + 16X33 + 18X34 + 12X35 + 2X41 + 4X42 + 2X43 + 24X44 + 20X45 + 7X51 + 10X52 + 6X53 + 6X53 + 6X54 + 18X55 s.a.: Para los trabajadores Para las tareas X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1 X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1 X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1 X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1 X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1 X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1 X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1 X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1 Xij≥ 0 Problema 23. La Riccardo Manufacturing Company está considerando ampliar la capacidad de su planta para los próximos ocho trimestres. El objetivo de la compañía es hacer que su capacidad fabril sea tan amplia como sea posible al final de dos años (al final de los ocho trimestres). La compañía fabrica un solo producto. Los costos de materias primas y otros costos variables son de $l20 por unidad. Cada unidad que se fabrica requiere 1.2 unidades de capacidad de producción. Todos los costos y requerimientos de producción ocurren en un solo periodo; las ventas ocurren en el periodo inmediatamente posterior. Cada unidad se vende en $175. Por propósitos de expansión (en cualquier periodo) la compañía tiene dos políticas; pueden utilizarse una o ambas de ellas. Bajo la política 1, cada unidad de capacidad adicional requiere $24,000 al principio del periodo; la capacidad nueva está disponible al principio del siguiente periodo. Cada unidad de capacidad adicional bajo la política 2 requiere $ 18,000,al principio del periodo en el que se comienza la ampliación; pero esa capacidad no está disponible sino hasta el principio de dos periodos siguientes al periodo de ampliación. La compañía tiene $320,000 al principio del periodo 1. Ese dinero debe utilizarse para financiar la producción y la expansión de la planta. Después del periodo 1 no existen fondos “externos” disponibles. Tanto la producción como la expansión de la planta, después del periodo 1, deben financiarse del fondo para materiales o de fondos generados con ventas. A principios del periodo 1, resultan funcionales un total de 960 unidades de capacidad. Todas las ampliaciones deben estar en condiciones de operarse: hacia finales del periodo 8. Plantee un modelo de PL que señale el número de activos de capacidad que la Ricardo debe adicionar en cada trimestre y la política o políticas de construcción que debe emplear en la ampliación.

Definición: Determinar cuántas unidades de capacidad debe expandir a través de cada política en cada período y adicional las unidades producidas en cada período para maximizar la capacidad fabril. Variables: Xij = unidades de capacidad adicional por la alternativa i = 1, 2 en el período j = 1........ 8.

Yi = unidad producida en el período i = 1.......... 8. Si = dinero no utilizado en el período i = 1.......... 8.

1 X11

2 X12

X21

3 X13

4 X14

5 X15

6 X16

7 X17

8 X18

X22 X23 X24 X25 X26 X27

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7

Y8

Limitantes:

  Disponibilidades de capital tanto para producir unidades como para la expansión.  

 

Capacidad de producción.  No negatividad.



Max z= 960 + x1j + x2j s.a 24000x11 + 18000x21 + 120y1 + S1 = $320,000 24000x12 + 18000x22 + 120y2 + S2 = S1 +175y1 24000x13 + 18000x23 + 120y3 + S3 = S2 + 175y2 24000x14 + 18000x24 + 120y4 + S4 = S3 + 175y1 24000x15 + 18000x25 + 120y5 + S5 = S4 + 175y4 24000x16 + 18000x26 + 120y6 + S6 = S5 + 175y5 24000x17 + 120y7 + S7 = S6 + 175y6 120y8 + S8 = S7 + 175y7 1.2 y1  960 1.2 y2  960 + x11 1.2 y3  960 + x11 + x12 + x21 1.2 y4  960 + x11 + x12 + x13 + x21 + x22 1.2 y5  960 + x11 + x12 + x13 + x14 + x21 + x22 + x23 1.2 y6  960 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x21 + x22 + x23 + x24 1.2 y7  960 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x21 + x22 + x23 + x24 + x25 1.2 y8  960 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 + x21 + x22 + x23 + x24 + x25 + x26 xij  0 , yi  0

Problema 24 La BL & C Paper Company fabrica papel y lo vende a su vez a vendedores comerciales. La compañía fabrica un rollo de papel “estándar” de 120 pulgadas de ancho. Sin embargo, no necesariamente todos los pedidos son para este ancho. Es frecuente que la compañía reciba pedidos para rollos más angostos. Para satisfacer esos pedidos, los rollos más angostos se cortan de los rollos estándar. Para el mes siguiente, la compañía ha comprometido pedidos para el siguiente número de rollos: Ancho de Rollo 80 plg 70 plg 60 plg 50 plg

Pedidos 1800 500 1200 1400

A la BL & C le gustaría determinar el número mínimo de rollos estándar que se requerirán para satisfacer esta demanda. Plantee un modelo de PL apropiado para el problema.

Definición: Determinar las combinaciones de corte para cada rollo para minimizar perdidas o para minimizar rollos. Variables: xi = cantidad de rollos cortados de la forma i, donde i = 1, 2 , 3, 4 , 5. X1 = cantidad de rollo cortados 80-40 X2= cantidad de rollos cortados 70-50 X3 = cantidad de rollos cortados 60-60 X4 = cantidad de rollos cortados 60-50-10 X5 = cantidad de rollos cortados 50-50-20 Limitantes:



Satisfacer Demanda. min Min z = x1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6

s.a

x1

 1800 x2  500 2x3 + x4  1200 x2 + x4 + 2x5  1400

xi  0

Problema 25 La D. M. Riddle Company vende al menudeo productos novedosos. La compañía está considerando añadir dos nuevos productos a la línea que ya tiene. La empresa ha decidido trabajar los productos, a prueba, durante dos años. Adquirirá ambos productos con un mayorista. El costo por unidad para cada producto para el horizonte de tiempo de dos años se muestra en la tabla P3-25. El producto 1 se venderá en $1.20 y el producto 2 en $1.05. El precio de venta será fijo para el periodo de dos años. Costo Producto 1 2

Año 1 $0.75 $0.70

Ventas Año 2 $0.80 $0.85

Año1

Año 2

6 unidades 9 unidades

7 unidades 12 unidades

La compañía reconoce que las ventas de los nuevos productos dependerá en gran medida de la publicidad. El departamento de publicidad ha proyectado las ventas para los próximos dos años. Estas proyecciones, expresadas en unidades vendidas por dólar de publicidad se muestran también en la tabla P3-25. El departamento de publicidad ha pronosticado también que en ambos años cuando menos el 30%, pero no más del 60% del total de unidad vendidas (de ambos productos), serán del producto tipo 2. A principios del año 1, la compañía tenía $12,000 disponibles para publicidad y compras. Los productos pueden comprarse un año y conservarse hasta el año siguiente sin incurrir en costos de mantenimiento. La publicidad en cualquier año tiene efecto sólo sobre las ventas de ese año. Los gastos de compras y publicidad en el año 2 pueden financiarse con las utilidad des del año 1. A la Riddle le gustaría desarrollar un modelo que refleje los dólares de publicidad y compras que deben invertirse en cada uno de los dos siguientes años con el objeto de maximizar las utilidades totales para los dos años.

Definición: Determinar cuanto invertir en cada producto en cada año y en publicidad en cada producto para maximizar utilidades. Variables: xij = $ en compra en productos i = 1,2 en el año j= 1,2. Yij = $ en publicidad del producto i= 1,2 en el año j= 1,2 $ invertidos en compras $ invertidos en publicidad

x11

x12

y11

y12

x21

x22

y21

y22

unidades compradas

unidades vendidas

x11/0.75

x12/0.80

6y11

7y12

x21/0.70

x22/0.85

9y21

12y22

Limitantes:

  % mínimo y máximo de ventas en cada año del producto 2.  





 

Disponibilidad para publicidad y compras en cada año.  Disponibilidad para la venta.  No negatividad.



Max z= 1.20 (x11/0.75 + x12/0.80 ) + 1.05 ( x21/0.70 + x22/0.85 ) -  x11 +x12 + S.A. 0.3  9y21/(6y11 + 9y21)  0.6

0.3  12y22/ (7y12 + 12 y22)  0.6

(x11 + x21) + ( y11 + y21) +S1 = 12000 (x12 + x22) + (y12 + y21) +S2 = S1 + 1.20 (x11/0.75) + 1.05 (x21/0.70) 6y11  x11/0.75 9y21  x21/0.70 7y12  x12/0.80 + x11/0.75 – 6y11 12y22  x22/0.85 + x21/0.70 –9y21 xij  0 yij  0

x21 + x22