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• Emanuel Sifuentes

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

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RESISTENCIA DE MATERIALES II “Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso Climático”

PROBLEMAS RESUELTOS DE EXAMEN DE TERCERA UNIDAD RESISTENCIA DE MATERIALES II

DOCENTE:  Ing. VILLAVICENCIO GONZÁLES, Felipe. AUTORES:  REQUE VALQUI, Jaiver Jens  VELÁSQUEZ ARELLANO, Williams Iván CICLO:  SEXTO

2014 NUEVO CHIMBOTE – PERÚ PROBLEMA 1

Página 3

RESISTENCIA DE MATERIALES II

Calcular los momentos y reacciones, luego dibujar los DFC y DMF de la siguiente viga, usando Hardy Cross y verificar por el Teorema de los Tres Momentos. (Determinando y ubicando lo puntos críticos). 4Tn 2m 3T/m 3T/m 1.5T/m A

B

2m

7m

6m

D

C 5m

1) Calculo de K

I I K= = L 6

K=7 42 I

K=6

I I K= = L 7 35 I

K=5

I I K= = L 5

2) Calculo de

K=7

r ij

PUNTO A

r AB=1

PUNTO B

r BA =

7 =0.54 13

PUNTO C

r CB =

Página 4

5 =0.42 12

PUNTO D

r DC =1

RESISTENCIA DE MATERIALES II

r BC =

6 =0.46 13

r CD =

7 =0.58 12

3) Calculo de momento de empotramiento perfecto Tramo AB

3T/m

6m

M AB=M BA =±

1 2 1 q l =± ×3 ×6 2=± 9 12 12

Tramo BC

2m

4Tn 1.5T/m

M BC =

1 2 Qab 1 4 ×2 ×5 q l + 2 b= ×1.5 × 72+ ×5=10.21 12 12 l 72

M CD =

1 2 Qab 1 4 × 2× 5 q l + 2 a= ×1.5 ×72 + × 2=7.78 2 12 12 l 7

Tramo CD

Página 5

RESISTENCIA DE MATERIALES II

3T/m

5m

M CD =M DC =±

1 2 1 q l =± × 3 ×52=± 6.25 12 12

2m

3T/m

2m

0.00 -6.00

4Tn 3T/m

1.5T/m

7m

6m

1.00 +9.0 0 -3.00

0.54 -9.00

-0.33

-1.50

+0.3 3 +0.3 2 -0.32

+0.64

+0.1

-0.16

-0.65

+0.17 +0.23

0.46 10.2 1 -0.56

5m

0.42 -7.78 +0.64

+0.3 2 +0.5 4 -0.60

-0.28 -1.20 +0.27

+0.2 0 -0.01

-0.02 +0.10 Página 6

0.58 +6.2 5 +0.8 9 +3.1 3 1.65 0.23 0.02 +0.4

1.00 -6.25 +6.2 5 +0.4 5 -0.45 -0.83 +0.8 3 -0.01

0.00

RESISTENCIA DE MATERIALES II

2 -0.12

+0.09

+0.0 5 -0.05

MF

-0.06 +0.10

+6.0 0

-10.14

+0.0 8 -0.12

-0.23 +0.04

+0.0 8 +10. 14

-0.02 -8.48

4 0.31 +0.0 1 0.03 +8.4 8

+0.0 1 -0.16 +0.1 6 0.00

4) Obtención de Reacciones Definitivas

2m

Q=3T/

2m

6.00

-0.69 6.00

8.31

14.31

Q=3T/

Q=1.5

7m

6m

9.00

P=

9.00

5m

5.25

5.25

2.86

1.14

+0.69

+0.2 4

-0.24

9.69

8.33

6.17

18.02

7.50

9.19

15.36

7.5 0

Ro q Ro p

∀M L

5.81

R Def

5.81

N Col

Ro q = Reacciones isostáticas de las cargas Q (uniformes). Ro p = Reacciones isostáticas de las cargas P (puntuales). Dm/L = termino de corrección, si el momento izquierdo (MA) es mayor que el derecho (MB) la reacción de finitima RA Def se incrementa (se suma la reacción isostática) y la otra se decrementa. Y viceversa. R Def = reacciones definitivas, es la suma de los valores anteriores. N Col = cargas llegan a las columnas (suma de las reacciones concurrentes al nudo). Estas deben ser sumarse a las vigas en sentido perpendicular a las consideradas. 5) Momentos Máximos de tramo Página 7

RESISTENCIA DE MATERIALES II

Tramo AB: La posición del momento máximos (corte nulo) desde el apoyo A es:

Xa=

R A 8.31Tn = =2.77 m q 3 Tn/m M máx=8.31Tn ×2.77 m−3

Tn ×2.77 m×2.77 m ×0.5−6 Tn. m m

M máx=5.5 Tn . m Tramo BC: Si la carga puntual está a la izquierda del centro de la luz de la viga, calculamos la posición de X desde el apoyo derecho (

Xb=

X b ) y viceversa:

R B 6.17 Tn = =4.11 m q 1.5Tn/m M máx=6.17Tn × 4.11 m−1.5

Tn ×4.11 m× 4.11 m× 0.5−8.48 Tn . m m

M máx=4.18 Tn. m Tramo CD:

X c=

RC 9.19 Tn = =3.06 m q 3 Tn/ m M máx=9.19Tn ×3.06 m−3

Tn × 3.06 m×3.06 m ×0.5−8.48 Tn. m m

M máx=5.58 Tn . m En la unión del tramo CD – columna (apoyo derecho) en general el momento negativo es:

−q l2 M= = 20

−

3 Tn ×5 m ×5 m m =−3.75Tn . m 20

Página 8

RESISTENCIA DE MATERIALES II

Diagrama de Corte y Momentos Flectores: DFC: 9.19 8.33

8.31

4.11

2.77 5.81

6.00

617 9.69

DMF:

-10.16

-6.00

-6.00

-3.75

+5.5

+4.18

Página 9

+5.58

RESISTENCIA DE MATERIALES II

POR EL TEOREMA DE TRES MOMENTOS

3T/m

2m

4Tn 3T/m

1.5T/m B

A 2m

D

C 7m

6m

5m

Tramo A-B  B-C 4Tn 2m

3T/m

1.5T/m B

A

C

B

6m

7m

P.a.b =5.71 L DM

q L2 =13.5 8

2 A I = ×6 × 13.5=54 3

2

qL =9.19 8 2 A 1 D = ×7 × 9.19=42.88 3 2 D=¿

´x I =3

7 × 5.71 =19.99 2 A¿

´x 1 D=3.5 1 2 5.71 ×( 5+ ×2)+ 14.28×( × 5) 3 3 ´x 2 D= =4 19.99

Página 10

RESISTENCIA DE MATERIALES II

M A ( LI ) +2 M B ( L I + LD ) + M C ( LD )=

M A ( 6 ) +2 M B ( 6+7 ) + M C (7 )=

−6 × A I × ´x I 6 × A D × ´x D − LI LD

−6× 54 ×3 6 ×(42.88 × 3.5+19.99× 4) − 6 7

6 M A +26 M B +7 M C =−358.94

Tramo B-C  C-D 2m

4Tn 3T/m 1.5T/m 5m

7m

P.a.b =5.71 L DM 2

qL =9.38 8

2

qL =9.19 8 2 A 1 I = ×7 × 9.19=42.88 3 2 I =¿

2 A D= × 5× 9.38=31.27 3

7 ×5.71 =19.99 2 A¿

´x I =3.5

´x D =2.5

2 1 5.71 × ×2+14.28 ×(2+ ×5) 3 3 ´x 2 D= =3 19.99

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

M B ( LI ) + 2 M C ( LI + L D ) + M D ( L D ) =

−6 × A I × ´x I 6 × A D × x´ D − LI LD

M B ( 7 ) +2 M C ( 7+5 )+ M D ( 5 )=

−6× ( 42.88 ×3.5+19.99 × 3 ) 6 × 31.27 ×2.5 − 7 5

7 M B +24 M C +5 M D =−273.85 Resumen:

M A=−6 Tn . m M D =0

6 M A +26 M B +7 M C =−358.94 7 M B +24 M C +5 M D =−273.85

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

Solución del Sistema de Ecuaciones: Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan 1 6 0 0

0 26 7 0

0 7 24 0

0 0 5 1

-6 -358.94 -273.85 0

de 2 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 6 1 0 0 0

0 26 7 0

0 7 24 0

0 0 5 1

-6 -322.94 -273.85 0

Dividamos 2-ésimo por 26 1 0 0 0

0 1 7 0

0 7/26 24 0

0 0 5 1

-6 -16147/1300 -273.85 0

de 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 7 1 0 0 0

0 1 0 0

0 7/26 575/26 0

0 0 5 1

-6 -16147/1300 -60744/325 0

Dividamos 3-ésimo por 575/26 1 0 0 0

0 1 0 0

0 7/26 1 0

0 0 26/115 1

-6 -16147/1300 -121488/14375 0

de 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por 7/26 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 -7/115 26/115 1

-6 -583361/57500 -121488/14375 0 Página 13

RESISTENCIA DE MATERIALES II

de 2; 3 filas sustraigamos la 4 línea, multiplicada respectivamente por -7/115; 26/115 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

-6 -583361/57500 -121488/14375 0

Resultado:

MA

= -6 Tn.m

MB

= -583361/57500 = -10.14 Tn.m

MC

= -121488/14375 = -8.44 Tn.m

MD

=0

Para las Reacciones se realiza del mismo método que en Hardy Cross.

PROBLEMA 2: Aplicando el Teorema de Tres Momentos hallar los Momentos Flectores de la viga continua y comprobar por Hardy Cross

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

SOLUCION Hacemos un tramo imaginario de L=0 y M5=0

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

M1=M5=0 , L4=0 Hallamos los valores de los Momentos analizando por tramos .  Tramo 1-3

−6 xA 1 xa 1 L1 3

M1L1 + 2M2(L1+L2) + M3(L2) =

2M 2

(

6 4 4 + +M 3 = 3 4 4

)

()

−

{

−6 xA 2 xb 2 L2 4

}

4 [ 62 ( 2 x 62−6 2) −32 (2 x 6 2−32) ] 4 (6) +0 3

6 M 2+ M 3=−40.5 … … … … … …(i)

 Tramo 2-4

M 2 L2+2 M 3 ( L 2+ L3 )+ M 4 ( L3 ) =

−6 xA 2 xa 2 −6 xA 3 xb 3 L2 L3

5 ( 2) 2 2 (5 −2 ) 4 4 5 5 5 M 2+2 M 3 + + M 4=−0+ 4 4 4 4 4

(

)

4 M 2+18 M 3+5 M 4=−42 … … … … … .(ii)

 Tramo 3-5

M 3 L 3+2 M 4 ( L 3+ L 4 ) + M 5 ( L 4 )=

−6 xA 3 xa 3 −6 xA 4 xb 4 L3 L4

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

5 ( 3) 2 2 (5 −3 ) 5 5 5 M 3+2 M 4 +0 = +0 4 4 4

( )

−

5 M 3+ M 4 ( 10 )=−48 … … … … … … … …(iii )

−4 x ( 1 ) +6 x ( 2 ) :

Haciendo:

104 M 3+ 30 M 4=−90 …( 4) Luego:

−3 x ( 3 ) + ( 4 ) :

89 M 3=54 → M 3 =0.61Ton .m Reemplazando en

(4 ) y (1) :

104 ( 0.61 ) +30 M 4=−90 → M 4=−5.1Ton .m 6 M 2+ 0.61=−40.5 → M 2=−6.85 Ton . m

 COMPROBANDO POR HARDY CROSS Cálculo de rigideces:

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K AB=

K BC =

4I =I 4

K CD =

4I 5

3I I = 6 2

( 10I )

K BC =10

K CD =8

Cálculo de los coeficientes de distribución:

r AB=1 r BA =

3.75 3 = 10+3.75 11

r BC =

10 8 = 10+3.75 11

r CB =

10 5 = 10+ 8 9

r CD =

8 4 = 10+8 9

r DC =0 Cálculo de los momentos transmitidos:

M AB=

5 ( 4 ) ( 62 )=3.75 192

M BA =

−11 ( 4 ) ( 6 2) =−8.25 192

( 34 )=3.75

K AB=5

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

M BC =M CB =0

M CD =

5(3) ( 22 ) =2.4 52

M DC =

−5 ( 32 ) ( 2 ) =−3.6 52

1.00 +3.7 5 -3.75

3/11 -8.25

8/11 0

5/9 0

2.25 -1.875

6 0.66 7 1.85

-1.333 3

-1.067 0

-1.667

1.33 3 0

0.69

-0.83 0.226

0.07

0.023

0

0.008 -6.86

0.93

0.6

-0.52

-0.26 0.19

0.3 -0.17

0.08 5 0.06 2 -0.03

0.095

0.02 6.86

-0.053 0.031 -0.017 0.599

Página 19

4/9 2.4

0.41 0 0.13 0

-0.042 0 -0.014 -0.599

0 -3.6 0 0.534 0

0.665 0 -0.21 0 0.065 0 0.021 0 5.095

RESISTENCIA DE MATERIALES II

Página 20