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• Javier Solis Torres

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Problema # 8.- Un eje de acero hueco, con 100 mm de diámetro externo y 50 mm de diámetro interno, transmite 0.75 MW a 500 rpm y está sometido también a un empuje axial de 50 kN en su extremo. Calcule el momento flector máximo que puede aplicarse dentro de los límites de seguridad junto con el momento de torsión aplicado y el empuje, para que el esfuerzo principal máximo de compresión no exceda de 100 MPa. Determine entonces el valor de: • el otro esfuerzo principal • el esfuerzo cortante máximo DATOS D= 100 mm= .1 m d= 50 mm= .05 m Pot= 0.75 MW = 500 rpm= 52.36 rad/s P= 50 kN 2= -100 MPa

DESARROLLO: • Esfuerzo por carga directa: donde A=(D2-d2)/4= 5.89e-3

p= -P/A= -8.488 MPa;

• El esfuerzo por flexión esta dado por: Donde: I = /64*(D4-d4)= 4.602e-6 m4 c = D/2= 0.05 f = M (0.05)/ 4.602e-6 (1)

f= Mc/I

(1)

• Por efecto de esfuerzos combinados el esfuerzo total de compresión es: x= p+f

(2) compresión

• Por otro lado, el elemento esta también sometido a cortante por torsión: xy=Tc/J; Donde:

J= /32*(D4-d4)= 9.2038e-6 Pot=T. T= 0.75e6/52.36= 14,324 N-m xy = 77.82 MPa = 77.82 e6 Considerando la condición del esfuerzo máximo de compresión tenemos que: 2 =

x

  −  x  +  xy2 = −100 2  2  2

Despejando:

(3)

x = -39.44 MPa

Comprobación: 𝜎2 =

−39.44 2

2

−39.44 − √( ) + 77.822 = −100𝑀𝑃𝑎 2

Así: 1= -19.72+ 80.28 = 60.56 MPa

max= 80.28 MPa

De (2) f = x- p = -39.44 – (-8.488)= - 31.23 MPa De (1) Mmax= -31.23( 4.602e-6)/0.05 = - 2.84 KN-m Sol.

Problema # 9.- Una viga de sección I simétrica se apoya libremente en cada extremo y en el centro de su claro de 3 m se le aplica una carga concentrada de 100 kN. Las dimensiones de la sección transversal son; patines, 150 mm de ancho por 30 mm de espesor; peralte total 200 mm. Despreciando la masa propia de la viga, calcule la magnitud y naturaleza de los esfuerzos principales para la sección transversal en el punto de aplicación de la carga, considerando un punto en la parte superior del alma donde ésta se une al patín. L=3 m P= 100 kN B= 150 mm= 0.15m t= 30 mm= 0.03m H= 200 mm=0.2m

La viga se encuentra sometida a un esfuerzo cortante por carga vertical y a una flexión • Por Flexión:  = Mc/I Donde: Momento de inercia 𝐵𝐻 3

𝑏ℎ3

𝐼= − 2 [ ] = 7.256 e-5 m4 12 12 h=0.2-2(0.03) = 0.14 b= (0.15-0.03)/2 = 0.06 I= 7.256 e-5 m4 c=0.14/2 = .07 m M= 75 KN-m Así: x= 72.354 MPa 𝑉𝑄

• El efecto Cortante por carga vertical es 𝜏𝑥𝑦 = = 𝐼𝑡 Donde: V carga cortante en la sección V= 50 Ap  área por encima del punto de interés Ap=B(t)= 0.0045

𝑉𝐴𝑝 𝑦 𝐼𝑡

𝑦  Distancia del eje neutro al centroide del área Ap, 𝑦 =

𝐻 2

𝑡

− = 0.085 2

t= ancho de la sección en el punto de interés; t=0.03 (por ser el espesor más crítico en el punto A) Así: xy= 8.785 MPa Sustituyendo en (4) − 72.354  72.354  2 =    + 8.785 = -36.177 + 37.22 2  2  2

 max,min =  1, 2

1= 1.05 MPa 2= - 73.4 MPa

; max= 37.22 MPa

EJEMPLO 15. UN TRAMPOLIN APOYADO EN VIGA PARCIALMENTE VOLADA APARECE EN LA FIGURA. SUPONGA DIMENSIONES DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE 305 mm X 32 mm. ENCUENTRE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES MAS ELEVADOS EN EL TRAMPOLÍN CUANDO UNA PERSONA DE 100 Kg ESTÉ DE PIE EN SU EXTREMO LIBRE. ¿CUAL ES EL FACTOR DE SEGURIDAD ESTÁTICO, SI EL MATERIAL ES FIBRA DE VIDRIO FRÁGIL DE Sut= 130 MPa EN DIRECCIÓN LONGITUDINAL?

El elemento está sometido a flexión y a cortante por carga transversal. En este caso el efecto de la carga transversal no será considerado dado que la sección es muy pequeña y el esfuerzo cortante más alto es pequeño comparado con el de flexión. El cortante 𝜏 =

3𝑉 2𝐴

= 280 𝐾𝑃𝑎

Para el efecto de flexión: MB= P(l-d)=100(9.81)(2-0.7)= 1275.5 N-m I= ab3/12 = (0.305)(0.032)3/12= .8328 e-6 m4 𝑀𝑐 en este caso : 𝜎1 = 𝜎𝑥 = = 24.5 MPa 𝐼

Como se trata de una condición de carga uniaxial podemos utilizar la teoría del Esfuerzo Normal Máximo: 1