• Author / Uploaded
• Luis Pascual

• Categories
• Estrés (Mecánica)
• Tensor
• Geometría diferencial
• Geometría
• Espacio

Citation preview

Cuestiones y problemas Mec´anica de Medios Continuos

October 2, 2013

1. Expansione las siguientes expresiones seg´ un la convenci´ on del sumatorio. (a) ui vi wj ej (b) Tij vi ej (c) Tii vj ej 2. Reescriba con notaci´ on indicial (a) a1 x1 x3 + a2 x2 x3 + a3 x3 x3 (b) x1 x2 + x2 x2 (c) a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a31 x + a32 y + a33 z = b3 3. Expansione la expresi´ on Aij xi xj 4. Demuestre que (a) εjkq εmkq = 2δjm (b) εjkq εjkq = 6 (c) Obtenga el valor num´erico de εijk δ2j δ3k δ1i

1

5. Demuestre que (a) εijk εjki = 6 (b) εijk Aj Ak = 0 (c) δij εijk = 0 − − → → → → → − 6. Sea el vector v dado por → v = (→ a ·− n )− n +− n × (− a ×− n ), donde → a es un vector → arbitrario y − n un vector unitario. Obtenga v en t´erminos de los vectores unitarios − → ei , base del sistema de coordenadas, de la forma mas simplificada posible. 7. Por expansi´ on directa de la expresi´ on vi = εijk wjk determine las componentes del vector vi en funci´ on de las del tensor wjk . 8. Expansione las siguientes expresiones y simplif´ıquelas hasta donde sea posible. (a) δij δij (b) δij δjk δki (c) δij δjk (d) δij Aik 9. Demuestre que el producto interno de un tensor sim´etrico y otro antisim´etrico es nulo. 10. Usando las notaciones A(ij) =

Aij +Aji 2

y A[ij] =

Aij −Aji 2

,demuestre que:

(a) El tensor A se puede descomponer en funci´on de su parte sim´etrica A(ij) y antisim´etrica A[ij] como Aij = A(ij) + A[ij] (b) La traza de A es Aii = A(ii) (c) Para dos tensores arbitrarios A y B Aij Bij = A(ij)B(ij) + A[ij]B[ij]

2

11. Determine la forma mas simplificada de: (a) ε3jk aj ak (b) εijk δkj (c) ε1jk a2 Tkj (d) ε1jk δ3j vk 12. Exprese el siguiente conjunto de ecuaciones usando notaci´ on de sub´ındices εxx =

1 E [τxx

− ν(τyy + τzz )] ; εxy = (1 + ν)τxy /E

εyy =

1 E [τyy

− ν(τxx + τzz )] ; εyz = (1 + ν)τyz /E

εzz =

1 E [τzz

− ν(τxx + τyy )] ; εxz = (1 + ν)τxz /E

13. Calcule los valores y las direcciones principales del tensor de segundo orden T cuya matriz es: 

Tij

 5  =  2 



2 0   2 0  

0 0 3



14. Deduzca una expresi´ on para el cambio de volumen de un volumen unidad sometido a deformaciones eij peque˜ nas. ¿C´omo interpreta el primer invariante del tensor eij ? 15. Un cubo de hule ABCDE de 20 cm de lado se deforma en un paralelep´ıpedo A′ B ′ C ′ D ′ E ′ cuyas dimensiones se dan en la figura. Calcule las deformaciones longitudinales y angulares, isotr´ opicas y distorsionales.

3

Figura problema 15.

Figura problema 16

Figura problema 17

4

16. Considere una placa de tama˜ no unidad deformada seg´ un la figura. Calcule las componentes de la deformaci´ on. 17. Se deforma una placa uniformemente desde la configuraci´on a) a la b) como se muestra en los tres casos de la figura. Calcule las componentes E11 , E12 , E22 y e11 , e12 , e22 18. Una membrana cuadrada −1 ≤ x ≤ 1

−1 ≤ y ≤ 1 se estira de tal manera que

el desplazamiento se describe como: u = a(x2 + y 2 )

v = bxy

w=0

Calcule los componentes de la deformaci´ on. Suponga que las constantes a y b son infinitesimales. ¿Cu´ al es la deformaci´ on principal en el origen (0,0)? 19. Un movimiento bidimensional en un medio continuo viene descrito por :

x1 = a1 (1 + exp(kt)) x2 = a2 (1 + exp(−2kt)) x 3 = a3 (a) Obtenga la transformaci´on inversa (b) Exprese el desplazamiento en forma lagrangiana y euleriana (c) Obtenga el campo de aceleraciones 20. El movimiento de un cierto Medio Continuo est´ a dado por las ecuaciones x1 = a1 e−t

x2 = a2 et

x3 = a3 + a2 (e−t − 1)

Sea el campo de temperatura θ = e−t (x1 − 2x2 + 3x3 ). Calcule el campo de velocidades y, a partir de el, la derivada total de θ. 21. El campo de temperatura en un continuo est´ a dado por : θ = e−3t /x2

x2 = x21 + x22 + x23 5

El campo de velocidades es v1 = x2 + 2x3

v2 = x 3 − x 1

v3 = x1 + 3x2

Calcule la derivada total del campo de temperatura. 22. Sea el campo de velocidades v1 = x1 x3

v2 = x22 t

v3 = x2 x3 t

Calcule el vector vorticidad y el tensor vorticidad y compruebe que εpqi wi = wqp 23. Suponga que un cierto medio continuo es incompresible y no hay desplazamiento en la direcci´ on z. Los desplazamientos u y v son infinitesimales y funciones de x y. Si en un cierto dominio u = (1 − y 2 )(a + bx + cx2 )

a, b, c son ctes.

Calcule el desplazamiento v en la direcci´ on y. 24. Calcule los invariantes principales de la deformaci´ on representada por la matriz: 



 6 0 0     0 4 0    

0 0 3



25. Considere el movimiento x1 = a1 + 0.2ta2

x 2 = a2

x 3 = a3

Donde (ai ) es la posici´ on de la part´ıcula material en t = 0. Represente la configuraci´ on en el instante t = 2 para un cuerpo que en t = 0 tiene la forma de un cubo de lados unidad y el origen coincide con una de las esquinas. 26. Dado el movimiento: xi = ai + 0.2ta2 δ1i y el campo de temperatura dado por: θ = 2x1 + (x2 )2 6

(a) Calcule la descripci´ on material de la temperatura (b) Determine la tasa de cambio de la temperatura de la part´ıcula material que en t=0 estaba en (0,1,0) 27. Dado el movimiento xi = ai (1 + t) 1 ≥ t ≥ 0 Obtenga la descripci´on espacial del campo de velocidad. 28. Dado el campo de velocidades vi = 2x2 δ1i . Determine: (a) Los tensores de deformaci´ on y rotaci´ on (b) La tasa de dilataci´ on relativa del elemento de l´ınea P’Q’= (1,2,0) (c) Los estiramientos m´ aximo y m´ınimo 29. Las deformaciones de una viga sujeta a la pared seg´ un la figura est´ an dadas por e11 = Aa1 a2

e22 = −νAa1 a2

2e12 = A(1 + ν)(h2 − a22 )

Siendo A,h,ν constantes positivas A