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Contenido 4.- Principios básicos de la mecánica. ................................................................................................... 2 4.1. Principio de la Conservación de la cantidad de Movimiento lineal y angular. ............................... 5 Mecánica lagrangiana y hamiltoniana ........................................................................................... 6 Cantidad de movimiento de un medio continuo .......................................................................... 7 Momento angular de una masa puntual ....................................................................................... 9 Momento angular y momento dinámico ...................................................................................... 9 Momento angular de un conjunto de partículas puntuales........................................................ 10 Momento angular de un sólido rígido ......................................................................................... 10 Ejemplo........................................................................................................................................ 12 4.2. Principio de Conservación de la masa .......................................................................................... 14 4.3. Principio de Conservación de la energía. ..................................................................................... 15 Conservación en presencia de campo electromagnético............................................................ 19 Conservación en presencia de campo gravitatorio ..................................................................... 19

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4.- Principios básicos de la mecánica. Este capítulo desarrolla algunos principios fundamentales sobre los que se basa la teoría de la mecánica clásica, en la que se centra este curso. Conocer dicho punto de partida, así como las limitaciones de la teoría empleada, resulta imprescindible para una asimilación adecuada de la materia.

1. La Mecánica como Teoría Científica Definición: La mecánica es una teoría científica que estudia el movimiento de los cuerpos y sus causas, o bien el equilibrio, es decir, la falta de movimiento. Se trata de una teoría científica porque pretende interpretar fenómenos físicos que se observan experimentalmente. Para ello la mecánica parte de unos postulados o principios fundamentales, sobre los que se basa una teoría a través de modelos matemáticos, dando así una interpretación coherente a las observaciones experimentales. En la actualidad existen diversas teorías de la mecánica, y a lo largo del tiempo han existido muchas más que han quedado obsoletas bien por no ser prácticas en su aplicación, o bien por no adecuarse sus predicciones a la realidad física observada. Para juzgar las teorías científicas, y en concreto la mecánica, no tiene sentido emplear criterios de veracidad absoluta. A pesar de que la mecánica tenga un elevado contenido de modelos matemáticos, habiendo sido a lo largo de la historia una de las motivaciones principales para el desarrollo de las matemáticas, no es la elegancia ni el rigor formal de estos modelos matemáticos un criterio adecuado para valorar una teoría de la mecánica. Cada teoría (y sus principios subyacentes) es tan buena como la interpretación que realiza de las observaciones experimentales de la realidad física. Si las predicciones teóricas se corresponden adecuadamente con las observaciones experimentales, la teoría será adecuada, independientemente de su elegancia matemática. Por el contrario, si los resultados no se corresponden con las observaciones, llegaremos a la conclusión de que se precisa otra teoría distinta para el fenómeno en cuestión. Así, las tres teorías principales de la mecánica existentes en la actualidad son: La Mecánica Clásica Cuyo desarrollo moderno se considera generalmente iniciado por Newton (1686: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) y continuado hasta nuestros días por diversos matemáticos y científicos: Juan, Daniel y Jacobo Bernouilli, L. Euler, J. D’Alembert, J.L. Lagrange, W. Hamilton, etc. Los modelos newtonianos, enunciados por Isaac Newton, y desarrollados algo más tarde por Euler, fueron los primeros que lograron explicar satisfactoriamente al mismo tiempo el movimiento de los cuerpos celestes (observaciones de Kepler y otros sobre el movimiento de los planetas) y el de los cuerpos a escala humana (observaciones de Galileo sobre la caída de los cuerpos).

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La Mecánica Relativista Que suple la inexactitud de la mecánica clásica para velocidades próximas a la de la luz (teoría de la relatividad restringida) o para campos gravitatorios muy intensos (teoría de la relatividad generalizada). Ha sido propuesta por Albert Einstein en este mismo siglo, e involucra una complejidad matemática notablemente mayor. La Mecánica Cuántica Que surge de las observaciones de las partículas elementales, en las que intervienen acciones —productos de energía por tiempo— tan pequeñas que son comparables a la constante de Planck (Et ~ h). En estos casos se aplica el principio de indeterminación de Heisenberg, que establece la imposibilidad de medir de manera precisa la posición y velocidad de la partícula al mismo tiempo, valores que conocemos tan sólo de manera probabilista. También ha sido propuesta este mismo siglo (Congreso de Solvay de Bruselas en 1927), por un grupo de científicos entre los que destacan L. de Broglie, E. Schrödinger y P. Dirac. A pesar de las nuevas teorías de la mecánica surgidas recientemente, se puede afirmar que la mecánica clásica constituye una teoría coherente, capaz de proporcionar interpretaciones suficientemente precisas para la mayoría de los fenómenos que observamos. La teoría de la relatividad es de un orden más general que la mecánica clásica. Cuando la velocidad es pequeña en relación con la de la luz y los campos gravitatorios no son muy intensos, sus predicciones corresponden con las de la mecánica clásica. Sin embargo, es capaz interpretar correctamente otros fenómenos que la mecánica clásica no explica de manera adecuada1. Sería posible por tanto estudiar el movimiento de los objetos cotidianos como un automóvil o un balón, por ejemplo, mediante la teoría de la relatividad. Sin embargo, los modelos y los desarrollos matemáticos resultarían de una complejidad extraordinaria, por lo que este método es prácticamente inviable. La mecánica clásica, a pesar de lo que su nombre parece indicar, no constituye una teoría muerta ni agotada en su desarrollo. En nuestros días se continúa investigando, especialmente en campos como la mecánica de medios continuos, o en los métodos cualitativos para el estudio de sistemas dinámicos complejos (estabilidad de sistemas dinámicos no lineales y movimientos de tipo caótico).

La Mecánica de Medios Continuos

es un subconjunto especializado de la mecánica clásica. En ella se estudia el movimiento y la deformación de los medios continuos (es decir, aquéllos que no se pueden representar mediante idealizaciones discretas con un número finito de grados de libertad, como el punto material o el sólido rígido). Los modelos más simples de la mecánica de medios continuos son la teoría de la elasticidad lineal y la de los fluidos newtonianos, permitiendo estudiar respectivamente la deformación de los sólidos elásticos y las estructuras en régimen lineal y el flujo de los fluidos.

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Recientemente, se han propuesto modelos más generales para comportamientos no lineales, así como métodos y algoritmos muy potentes para su resolución numérica mediante el ordenador (método de los elementos finitos). Es necesario también una investigación experimental constante para conocer las propiedades mecánicas de los nuevos materiales (o incluso de los tradicionales, ya que algunos como el hormigón o los suelos son todavía insuficientemente conocidos). La Dinámica de sistemas no lineales complejos permite estudiar el comportamiento de sistemas que no pueden ser caracterizados de manera determinista. La aparente falta absoluta de orden en su respuesta es debida a menudo a una sensibilidad extrema a la variación de las condiciones iniciales u otros parámetros del sistema, lo que conduce a la denominación de «sistemas caóticos». Estos sistemas precisan ser analizados mediante métodos cualitativos, propuestos a final del siglo pasado por H. Poincaré y Liapounov, en lugar de los métodos cuantitativos y deterministas habituales. También en este caso el ordenador es una herramienta de gran utilidad. Este curso está basado en la Mecánica Clásica, desarrollada a partir de los principios y teoremas newtonianos. Esta se aplicará fundamentalmente a sistemas discretos formados por partículas o masas puntuales, sólidos rígidos, resortes, etc., aunque se hará alguna incursión en medios deformables, como por ejemplo los cables. La mecánica de medios continuos se tratará en otras asignaturas de cursos posteriores, como la resistencia de materiales, elasticidad y plasticidad, la geotecnia, el cálculo de estructuras, la hidráulica, etc. Sin embargo los conceptos básicos para todas estas asignaturas son los mismos que se estudian en este curso de mecánica. Como se ha dicho, en la mecánica juegan un papel importante las matemáticas, ya que se basa en modelos matemáticos que interpreten las observaciones experimentales. El aparato matemático en algunos casos puede resultar de cierta complejidad. Es importante no perder de vista, sin embargo, el sentido físico de los conceptos: Las matemáticas no son un fin en sí, sino un medio para interpretar conceptos y fenómenos físicos. Aunque los modelos matemáticos empleados aquí puedan ser más generales (y más complejos por tanto) que los estudiados en cursos anteriores, no conviene que oscurezcan nunca la interpretación física intuitiva de los conceptos. Uno de los postulados esenciales de la mecánica es la causalidad determinista, lo que ha permitido superar interpretaciones mágicas o religiosas existentes antaño para algunos fenómenos, como el movimiento de los astros y otros fenómenos del firmamento celeste. Aún en nuestros días existen personas que creen en dicho tipo de interpretaciones (por ejemplo los astrólogos y sus seguidores), fruto por lo general de la ignorancia o del miedo a la verdad científica. Sin embargo, conviene admitir que, en ciertas situaciones, el postulado de la causalidad determinista en sentido estricto es cuestionable, siendo necesario acudir a métodos probabilistas para describir los fenómenos (como en la mecánica estadística, basada en la causalidad probabilista) o a métodos cualitativos de análisis (por ejemplo en los

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sistemas caóticos, en los que no es posible predecir el movimiento como ecuaciones horarias, ya que cualquier pequeña perturbación inicial lo modifica). En cualquier caso, es conveniente evitar un exceso de celo en la aplicación de los modelos deterministas de la mecánica, ya que no debemos olvidar que nuestra percepción de la «realidad física» es necesariamente subjetiva. Por otra parte, se postula también la capacidad de definir un conjunto de causas suficientemente reducido para explicar los fenómenos. Las causas muy alejadas en el espacio o en el tiempo no tienen efecto sobre las observaciones de fenómenos presentes. Esto también es cuestionable para interpretaciones muy generales: No es posible prescindir de la estructura del cosmos en el instante posterior a la primera gran explosión (big-bang) para explicar la existencia de las galaxias, estrellas y planetas actuales; asimismo parece que algunos fenómenos cosmológicos no se pueden interpretar sin recurrir a la materia oscura existente en el universo, de naturaleza aún desconocida (agujeros negros, neutrinos). 1- Un ejemplo lo constituye el corrimiento del perihelio (punto de la órbita más cercano al Sol) observado para algunos planetas, especialmente el de Mercurio, el planeta más cercano al Sol y cuya órbita es la más excéntrica (salvo la de Plutón). En efecto, se observa un avance de su perihelio de unos 574 segundos de arco por siglo, y considerando el efecto gravitacional de los restantes planetas, la dinámica clásica sólo predice unos 531 segundos por siglo. Los restantes 43 segundos son obtenidos de manera muy precisa por la teoría de la relatividad, lo que constituye una contundente confirmación de la misma.

4.1. Principio de la Conservación de la cantidad de Movimiento lineal y angular. 

Cantidad de movimiento lineal

La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica la cantidad de movimiento se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. Históricamente el concepto se remonta a Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus1 (movimiento) y vis (fuerza). Moméntum es una palabra directamente tomada del latín mōmentum, derivado del verbo mŏvēre 'mover'. La definición concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulación mecánica a otra: en mecánica newtoniana se define para una partícula simplemente como el producto de su masa por la velocidad, en mecánica lagrangiana o hamiltoniana admite formas más

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complicadas en sistemas de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definición es más compleja aún cuando se usen sistemas inerciales, y en mecánica cuántica su definición requiere el uso de operadores autoadjuntos definidos sobre espacio vectorial de dimensión infinita. En mecánica newtoniana, la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con las leyes de Newton. No obstante, después del desarrollo de la física moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental. El defecto principal es que esta definición newtoniana esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos másicos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones. La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo. En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo. Mecánica newtoniana Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana En las formulaciones más abstractas de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana, además del momento lineal y del momento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados o momentos conjugados,

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asociados a cualquier tipo de coordenada generalizada. Se generaliza así la noción de momento. Si se tiene un sistema mecánico definido por su lagrangiano L definido en términos de las coordenadas generalizadas (q1,q2,...,qN) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenada qi viene dado por:2

Cuando la coordenada qi es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.

Cantidad de movimiento de un medio continuo Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal:

Mecánica newtoniana En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica newtoniana del sistema de partículas puede probarse que existe una integral del movimiento dada por:

Donde son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula i-ésima medidas por un observador inercial. Mecánica del medio continuo Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de

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movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal:

Si se introduce el tensor de tensiones que caracteriza las fuerzas internas en el interior de un medio continuo la ecuación de balance de la cantidad de movimiento en términos de las fuerzas exteriores se puede expresar como:

donde: es el tensor de tensiones de Cauchy. es la densidad de materia. la densidad de fuerza sobre el cuerpo. la velocidad en cada punto del medio continuo. 

Cantidad de movimiento angular

El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación conocida como ley de conservación del momento angular. El momento angular para un cuerpo rígido que rota respecto a un eje, es la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variación de la velocidad angular. En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kg·m²/s. Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo al momento lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento angular de una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se conserva. El nombre tradicional en español es momento cinético,1 pero por influencia del inglés angular momentum hoy son frecuentes momento angular y otras variantes como cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.

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Momento angular de una masa puntual

El momento angular de una partícula con respecto al punto momento lineal por el vector .

es el producto vectorial de su

En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento con respecto a ese punto. Normalmente se designa mediante el símbolo . Siendo el vector que une el punto O con la posición de la masa puntual, será

El vector es perpendicular al plano que contiene y , en la dirección indicada por la regla del producto vectorial o regla de la mano derecha y su módulo o intensidad es:

esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo ( en el dibujo), definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de la partícula. Momento angular y momento dinámico Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad y, como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento , el producto vectorial es cero. En cuanto al segundo paréntesis, tenemos:

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donde es la aceleración de la partícula, de modo que , es la fuerza que actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de por la fuerza es el momento o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:

Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión ambos momentos, y deberán estar referidos al mismo punto O. Momento angular de un conjunto de partículas puntuales El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

La variación temporal es:

El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los momentos producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los momentos de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los momentos externos:

El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias. Momento angular de un sólido rígido Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:

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Donde:  

es la velocidad angular del sólido. es el tensor de inercia del cuerpo.

Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia , depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no existe un análogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes principales de inercia sucede que:

Donde es la aceleración angular del cuerpo. Por eso resulta más útil plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del sólido, así se logra que , aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:

Conservación del momento angular clásico Cuando la suma de los momentos externos es cero

Eso quiere decir que como en dirección.

. Y como

, hemos visto que:

es un vector, es constante tanto en módulo

Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su Momento de inercia es y su velocidad angular . Si el objeto cambia de forma (sin intervención de un momento externo) y que la nueva distribución de masas hace que su nuevo Momento de inercia sea , su velocidad angular cambiará de manera tal que:

En algunos casos el momento de inercia se puede considerar un escalar. Entonces la dirección del vector velocidad angular no cambiará. Solo cambiará la velocidad de rotación. Hay muchos fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene mucha importancia. Por ejemplo: 

En todos las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas, etc. Por ejemplo, para hacer una pirueta, una bailarina o una patinadora toman impulso con los brazos y una pierna extendida para aumentar sus momentos de inercia alrededor de la vertical. Después, cerrando los brazos y la pierna, disminuyen sus momentos de inercia,

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lo cual aumenta la velocidad de rotación. Para terminar la pirueta, la extensión de los brazos y una pierna, permite disminuir la velocidad de rotación. Sucede lo mismo con el salto de plataforma o el trampolín. También es importante en el ciclismo y motociclismo, ya que la conservación del momento angular es la responsable de la sencillez con que es posible mantener el equilibrio.  Para controlar la orientación angular de un satélite o sonda espacial. Como se puede considerar que los momentos externos son cero, el momento angular y luego, la orientación del satélite no cambian. Para cambiar esta orientación, un motor eléctrico hace girar un volante de inercia. Para conservar el momento angular, el satélite se pone a girar en el sentido opuesto. Una vez en la buena orientación, basta parar el volante de inercia, lo cual para el satélite. También se utiliza el volante de inercia para parar las pequeñas rotaciones provocadas por los pequeños momentos inevitables, como el producido por el viento solar.  Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en púlsar (estrella de neutrones). Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente.  Debido a las mareas, la luna ejerce un momento sobre la tierra. Este disminuye el momento angular de la tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la luna aumenta. En consecuencia, la luna aumenta su energía alejándose de la tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La luna se aleja y los días y los meses lunares se alargan. Ejemplo

La masa gira tenida por un hilo que puede deslizar a través de un tubito delgado. Tirando del hilo se cambia el radio de giro sin modificar el momento angular. En el dibujo de la derecha tenemos una masa que gira, tenida por un hilo de masa despreciable que pasa por un tubito fino. Suponemos el conjunto sin rozamientos y no tenemos en cuenta la gravedad. La fuerza que el hilo ejerce sobre la masa es radial y no puede ejercer un momento sobre la masa. Si tiramos del hilo, el radio de giro disminuirá. Como, en ausencia de momentos

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externos, el momento angular se conserva, la velocidad de rotación de la masa debe aumentar.

Un tirón sobre el hilo comunica una velocidad radial suma vectorial de la velocidad precedente y

a la masa. La nueva velocidad es la

En el dibujo siguiente aparece la masa que gira con un radio en el momento en el cual se da un tirón del hilo. El término correcto del "tirón" física es un impulso, es decir una fuerza aplicada durante un instante de tiempo. Ese impulso comunica una velocidad radial a la masa. La nueva velocidad será la suma vectorial de la velocidad precedente con . La dirección de esa nueva velocidad no es tangencial, sino entrante. Cuando la masa pasa por el punto más próximo del centro, a una distancia , cobramos el hilo suelto y la masa continuará a girar con el nuevo radio . En el dibujo, el triángulo amarillo y el triángulo rosado son semejantes. Lo cual nos permite escribir:

o sea:

Y, si multiplicamos por la masa como lo esperábamos:

, obtenemos que el momento angular se ha conservado,

Vemos como el momento angular se ha conservado: Para reducir el radio de giro hay que comunicar una velocidad radial, la cual aumenta la velocidad total de la masa. También se puede hacer el experimento en el otro sentido. Si se suelta el hilo, la masa sigue la tangente de la trayectoria y su momento angular no cambia. A un cierto momento frenamos el hilo para que el radio sea constante de nuevo. El hecho de frenar el hilo,

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comunica una velocidad radial (hacia el centro) a la masa. Esta vez esta velocidad radial disminuye la velocidad total y solo queda la componente de la velocidad tangencial al hilo en la posición en la cual se lo frenó. No es necesario hacer la experiencia dando un tirón. Se puede hacer de manera continua, ya que la fuerza que se hace recobrando y soltando hilo puede descomponerse en una sucesión de pequeños impulsos.

4.2. Principio de Conservación de la masa La ley de conservación de la masa o ley de conservación de la materia o ley de LomonósovLavoisier es una de las leyes fundamentales en todas las ciencias naturales. Fue elaborada independientemente por Mijaíl Lomonósov en 1745 y por Antoine Lavoisier en 1785. Se puede enunciar como «En una reacción química ordinaria la masa permanece constante, es decir, la masa consumida de los reactivos es igual a la masa obtenida de los productos».1 Una salvedad que hay que tener en cuenta es la existencia de las reacciones nucleares, en las que la masa sí se modifica de forma sutil, en estos casos en la suma de masas hay que tener en cuenta la equivalencia entre masa y energía.2 Esta ley es fundamental para una adecuada comprensión de la química. Está detrás de la descripción habitual de las reacciones químicas mediante la ecuación química, y del análisis gravimétrico de la química analítica.

Cuando se enunció la ley de la conservación de la materia no se conocía el átomo, pero con los conocimientos actuales es obvio: puesto que en la reacción química no aparecen ni destruyen átomos, sino que sólo se forman o rompen enlaces, la masa no puede variar.

Historia

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Los ensayos preliminares hechos por Robert Boyle en 1673 parecían indicar lo contrario: pesada meticulosa de varios metales antes y después de su oxidación mostraba un notable aumento de peso. Estos experimentos, por supuesto, se llevaban a cabo en recipientes abiertos.2 La combustión, uno de los grandes problemas que tuvo la química del siglo XVIII, despertó el interés de Antoine Lavoisier porque éste trabajaba en un ensayo sobre la mejora de las técnicas del alumbrado público de París. Comprobó que al calentar metales como el estaño y el plomo en recipientes cerrados con una cantidad limitada de aire, estos se recubrían con una capa de calcinado hasta un momento determinado del calentamiento, el resultado era igual a la masa antes de comenzar el proceso. Si el metal había ganado masa al calcinarse, era evidente que algo del recipiente debía haber perdido la misma cantidad de masa. Ese algo era el aire. Por tanto, Lavoisier demostró que la calcinación de un metal no era el resultado de la pérdida del misterioso flogisto, sino la ganancia de algo muy material: una parte de aire.

4.3. Principio de Conservación de la energía. La ley de la conservación de la energía constituye el primer principio de la termodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema físico aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un calefactor. Dicho de otra forma: la energía puede transformarse de una forma a otra o transferirse de un cuerpo a otro, pero en su conjunto permanece estable (o constante).

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Sistema mecánico en el cual se conserva la energía, para choque perfectamente elástico y ausencia de rozamiento.

Conservación de la energía y termodinámica

Dentro de los sistemas termodinámicos, una consecuencia de la ley de conservación de la energía es la llamada primera ley de la termodinámica, la cual establece que, al suministrar una determinada cantidad de energía térmica (Q) a un sistema, esta cantidad de energía será igual a la diferencia del incremento de la energía interna del sistema (ΔU) menos el trabajo (W) efectuado por el sistema sobre sus alrededores:

(Ver Criterio de signos termodinámico) Aunque la energía no se pierde, se degrada de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica. En un proceso irreversible, la entropía de un sistema aislado aumenta y no es posible devolverlo al estado termodinámico físico anterior. Así un sistema físico aislado puede cambiar su estado a otro con la misma energía pero con dicha energía en una forma menos aprovechable. Por ejemplo, un movimiento con fricción es un proceso irreversible por el cual se convierte energía mecánica en energía térmica. Esa energía térmica no puede convertirse en su totalidad en energía mecánica de nuevo ya que, como el proceso opuesto no es espontáneo, es necesario aportar energía extra para que se produzca en el sentido contrario. Desde un punto de vista cotidiano, las máquinas y los procesos desarrollados por el hombre funcionan con un rendimiento menor al 100%, lo que se traduce en pérdidas de energía y

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por lo tanto también de recursos económicos o materiales. Como se decía anteriormente, esto no debe interpretarse como un incumplimiento del principio enunciado sino como una transformación "irremediable" de la energía.

El principio en mecánica clásica 

En mecánica lagrangiana la conservación de la energía es una consecuencia del teorema de Noether cuando el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo. El teorema de Noether asegura que cuando se tiene un lagrangiano independiente del tiempo, y por tanto, existe un grupo uniparamétrico de traslaciones temporales o simetría, puede construirse una magnitud formada a partir del lagrangiano que permanece constante a lo largo de la evolución temporal del sistema, esa magnitud es conocida como hamiltoniano del sistema. Si además, la energía cinética es una función sólo del cuadrado de las velocidades generalizadas (o lo que es equivalente a que los vínculos en el sistema sean esclerónomos, o sea, independientes del tiempo), puede demostrarse que el hamiltoniano en ese caso coincide con la energía mecánica del sistema, que en tal caso se conserva.



En mecánica newtoniana el principio de conservación de la energía, no puede derivarse de un principio tan elegante como el teorema de Noether, pero puede comprobarse directamente para ciertos sistemas simples de partículas en el caso de que todas las fuerzas deriven de un potencial, el caso más simple es el de un sistema de partículas puntuales que interactúan a distancia de modo instantáneo.

El principio en mecánica relativista Una primera dificultad para generalizar la ley de conservación de la energía de la mecánica clásica a la teoría de la relatividad está en que en mecánica relativista no podemos distinguir adecuadamente entre masa y energía. Así de acuerdo con esta teoría, la sola presencia de un partícula material de masa m en reposo respecto observador implica que dicho observador medirá una cantidad de energía asociadada a ella dada por E = mc2. Otro hecho experimental contrastado es que en la teoría de la relatividad no es posible formular una ley de conservación de la masaanáloga a la que existe en mecánica clásica, ya que esta no se conserva. Así aunque en mecánica relativista no existan leyes de conservación separadas para la energía no asociada a la masa y para la masa, sin embargo, sí es posible formular una ley de conservación "masa-energía" o energía total.Dentro de la teoría de la relatividad especial, la materia puede respresentarse como un conjunto de campos materiales a partir de los cuales se forma el llamado tensor de energía-impulso total y la ley de conservación de

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la energía se expresa en relatividad especial, usando el convenio de sumación de Einstein, en la forma:

(1)

A partir de esta forma diferencial de la conservación de la energía, dadas las propiedades especiales del espacio-tiempo en teoría de la relatividad especial siempre conduce a una ley de conservación en forma integral. Esa integral representa precisamente una mangitud física que permanece invariable a lo largo de la evolución del sistema y es precisamente la energía. A partir de la expresión (1), escrita en términos de coordenadas galileanas divergencia tenemos:

,

y

usando

el teorema

de

la

(2)

Si la segunda integral que representa el flujo de energía y momentum se anula, como sucede por ejemplo si extendemos la integral a todo el espacio-tiempo para un sistema aislado llegamos a la conclusión de que el primer miembro de la expresión anterior permanece invariable durante el tiempo. Es decir:

(3)

La componente "temporal" es precisamente la energía total del sistema, siendo las otras tres la componentes del momento lineal en las tres direcciones espaciales.

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Conservación en presencia de campo electromagnético

En presencia de campos electromagnéticos la energía cinética total de las partículas cargadas no se conserva. Por otro lado a los campos eléctrico y magnético, por el hecho de ser entidades físicas que evolucionan en el tiempo según la dinámica propia de un lagrangiano, puede asignárseles una magnitud llamada energía electromagnética dada por una suma de cuadrados del módulo de ambos campos que satisface:

(4)

El término encerrado en el primer paréntesis es precisamente la integral extendida a todo el espacio de la componente , que de acuerdo con la sección precedente debe ser una magnitud conservada para un campo electromagnético adecuadamente confinado. Conservación en presencia de campo gravitatorio

El campo gravitatorio dentro de la mecánica relativista es tratado dentro de la teoría general de la relatividad. Debido a las peculiaridades del campo gravitatorio tal como es tratado dentro de esta teoría, no existe una manera de construir una magnitud que represente la energía total conjunta de la materia y el espacio-tiempo que se conserve. La explicación intuitiva de este hecho es que debido a que un espacio-tiempo puede carecer de simetría temporal, hecho que se refleja en que no existen vectores de Killing temporales en dicho espacio, no puede hablarse de invariancia temporal de las ecuaciones de movimiento, al no existir un tiempo ajeno al propio tiempo coordenado del espacio-tiempo. Otra de las consecuencias del tratamiento que hace la teoría de la relatividad general del espacio-tiempo es que no existe un tensor de energía-impulso bien definido. Aunque para ciertos sistemas de coordenadas puede construirse el llamado pseudotensor de energíaimpulso, con propiedades similares a un tensor, pero que sólo puede definirse en sistemas de coordenadas que cumplen ciertas propiedades específicas. Por otro lado, aún en la teoría de la relatividad general para cierto tipo de sistemas muy especiales, puede construirse una magnitud asimilable a la energía total del sistema. Un ejemplo de estos sistemas son los espacio-tiempos asintóticamente planos caracterizados por una estructura causal peculiar y ciertas condiciones técnicas muy restrictivas; estos sistemas son el equivalente en teoría de la relatividad de los sistemas aislados.

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UNIDAD 4

Finalmente cabe señalar, que dentro de algunas teorías alternativas a la relatividad general, como la teoría relativista de la gravitación de Logunov y Mestvirishvili, sí puede definirse unívocamente la energía total del sistema de materia. Esta teoría totalmente equivalente a la teoría de la relatividad general en regiones desprovistas de materia, y predice desviaciones de la misma sólo en regiones ocupadas por materia. En particular la teoría de Logunov y Mestvirishvili, predice la no ocurrencia de agujeros negros,1 y esa es una de las principales predicciones que la diferencian de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein.

El principio en mecánica cuántica En mecánica cuántica aparecen algunas dificultades al considerar la cantidad de energía de un sistema a lo largo del tiempo. Así la energía total en ciertos sistemas aislados no está fijada para algunos estados cuánticos sino que puede fluctuar a lo largo del tiempo. Sólo los estados llamados estacionarios que son autovectores del operador hamiltoniano tienen una energía bien definida, cuando además el hamiltoniano no depende del tiempo. Sin embargo, en sistemas aislados aún para estados no estacionarios, puede definirse una ley de conservación de la energía en términos de valores medios. De hecho para un sistema cuántico cualquiera el valor medio de la energía de un estado puro viene dado por:

(1)

,

Y por tanto cuando el hamiltoniano no depende del tiempo, como sucede en un sistema aislado el valor esperado de la energía total se conserva. Aunque para algunos estados se observen fluctuaciones oscilantes de la energía cuya desviación estándar se relacionan con el principio de indeterminación de Heisenberg mediante:

(2)

,

Donde:

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