• Author / Uploaded
• Jose Alberto R P

Citation preview

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”

“ANÁLISIS DE ONDAS SISMICAS EN ENTORNO MATLAB”

T E S I S QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: INGENIERO EN CONTROL Y AUTOMATIZACION

PRESENTA:

OSCAR SAAVEDRA MORALES

ASESORES:

ING. RAFAEL NAVARRETE ESCALERA FIS. NUC. MIGUEL FERNANDO ROCHA BARAJAS

MÉXICO, D.F. 2013

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZMATEOS"

TEMA DE TESIS QUE PARA OBTENEREL TITULO DE

INGENIERO EN CONTROL Y AUTOMATIZACION

POR LA OPCIÓN DE TITULACIÓN DEBERA(N) DESARROLLAR

TESIS Y EXAMEN ORAL INDIVIDUAL C. OSCAR SAAVEDRA MORALES

"ANÁLISIS DE ONDAS SISMICAS EN ENTORNO MATLAB"

ANÁLISIS DE LAS ONDAS SÍSMICAS, DE ACUERDO A SUS TIEMPOS DE LLEGADA, PARA DETERMINAR LAS

DIFERENTES PROPIEDADES DEL SUELO, CON LA FINALIDAD DE TENER UNA ALTERNATIVA EN LA EXPLORACIÓN

PETROLERA. ESTE ANÁLSIS SE REALIZA UTILIZANDO LAS HERRAMIENTAS PROPORCINADAS POR EL LENGUAJE DE

PROGRAMACIÓN MATLAB.

~

~ ~ ~ ~ ~

~

PREFACIO.

INTRODUCCIÓN.

EXPLORACIÓN TERRESTRE. Y TEORÍA DE LAS ONDAS.

REFRACCIÓN, REFLEXIÓN Y VELOCIDAD DE LAS ONDAS.

ANÁLISIS DE ONDAS EN MATLAB. CONCLUSIONES. BlBLIOGRAFÍA.

MÉXICO D. F., A 25 DE ABRIL DE 2013.

AGRADECIMIENTOS

La conclusión de este trabajo ha significado un gran esfuerzo ya que se ha realizado en una etapa de mi vida en la que las condiciones son diferentes a las ideales para un tesista. Primeramente quiero agradecer el apoyo y comprensión de Sonia y Ana Sofia por el tiempo que me permitieron apartarme y dedicarlo a concluir este trabajo, asi como toda la motivación y comprensión. A mi Madre y Hermanos que han estado con migo en los momentos mas difíciles y nunca me han dejado caer, ni desistir. A mis profesores en general como apoyo constante en la formación profesional ya que su apoyo y realimentación han permitido eliminar las perturbaciones del proceso, permitiendo que los logros de salida sean los mas apegados a los anhelos iniciales. Al Ing. Navarrete e Ing. Rocha por su paciencia y apoyo incondicional para la conclusión de este trabajo.

ÍNDICE

PÁGINA

PREFACIO. INTRODUCCIÓN. OBJETIVO CAPÍTULO 1. EXPLORACION TERRESTRE Y TEORIA DE LAS ONDAS.

1 2 5 5

1.1.0 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2.0 1.2.1 1.3.0 1.4.0 1.5.0 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7 1.5.8

La exploración sísmica Geófonos Amplificadores. Registro Analógico de Datos Presentación visual de los datos Teoría de las Ondas Definición de Rayo sísmico Ley de Reflexión Ley de Refracción Concepto de Onda. Definición de Onda Elementos de una Onda Características Polarización Descripción Matemática Ecuación de la Onda. Clasificación de las Ondas Contenido espectral de las Ondas

7 9 11 12 13 13 14 16 16 19 19 19 20 21 22 23 24 28

CAPÍTULO 2. ELASTICIDAD DE LAS ONDAS.

30

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

31 31 32 33 34 35

Principios de la Teoría de la Elasticidad. Deformación. Ley de Hooke. Constantes elásticas en Medios Isotropicos. Constantes elásticas en Medios Anisotropicos. Velocidades de las Ondas Elásticas.

CAPÍTULO 3. REFRACCION, REFLEXION Y VELOCIDAD DE LAS ONDAS

36

3.1 3.2 3.2.1 3.3 3.3.1 3.4

37 38 38 39 41 42

Método de Reflexión Sísmica. Refracción Sísmica. Descripción General. Propagación y Trayectoria de las Ondas. Fenómenos en la Propagación Curvas Tiempo Distancia.

i

3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.5.5 3.6

Principios Generales de Interpretación en Refracción. Ley de Snell de la refacción Ley de las velocidades aparentes. Principios de Reciprocidad Principio de Intercepto en el Origen Principio de Paralelismo Velocidad.

44 46 41 47 48 49 50

CAPÍTULO 4. ANALISIS DE ONDAS EN MATLAB

57

4.0 4.1 4.2 4.3 4.4

58 58 60 63 67

Herramientas de Velocidad en Matlab Ley de Snell aplicada a Matlab. Trazo de rayo en un medio v(z). Trazo de Rayo cuando v=v0+cz. Herramienta de Matlab para raytracing v(z) geberal

CONCLUSIONES. BIBLIOGRAFIA. GLOSARIO.

75 76 78

ii

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. PREFACIO La Compañía Mexicana de Exploraciones (COMESA), me brinda la oportunidad de laborar en su departamento de sísmica, adscrito al activo integral de Pemex, en el Puerto de Veracruz. Entre las diferentes actividades que realiza, esta la exploración sísmica, que utiliza con la finalidad de ubicar los yacimientos de gas, los cuales, posteriormente serán perforados y explotados. La importancia de esta actividad radica en la información que se pueda tener de estos yacimientos antes de hacer una inversión tan fuerte en su perforación. Si se conoce la capacidad de producción del yacimiento y esta, a su vez representa una alternativa de perforación en la relación costo-producción, entonces se dice que este yacimiento es candidato a ser perforado y posteriormente explotado. La información que se requiere para realizar el análisis anterior, nos la proporciona la exploración sísmica, cuyo estudio se realiza con procedimientos largos y complejos, sin dejar atrás los altos costos que representan las tecnologías desarrolladas en la generación de software y sistemas computacionales encargados de desarrollar el análisis de estos estudios sísmicos. Con base a todo lo anterior se presenta la necesidad de buscar una solución práctica y de bajo costo, que nos proporcione información confiable y aceptable, misma que colabore en el proceso del análisis sísmico; esta opción se pretende implementar realizando dicho análisis de las ondas sísmicas en un entorno del lenguaje de programación tan potente como lo es Matlab. La exploración sismológica es una tecnología compleja, que mezcla física avanzada, matemáticas y computación. Frecuentemente el aspecto computacional es descuidado en la enseñanza por que tradicionalmente el software de procesamiento sísmico es parte de un caro y complejo sistema. En contraste aquí pretendemos presentar una serie de algoritmos que corren efectivamente en una pequeña computadora personal. Los algoritmos están escritos en código Matlab, este hecho no debe parecer un impedimento porque Matlab está ganando rápidamente popularidad y los costos en cierta medida son reducidos. Los algoritmos son agrupados en un pequeño número de toolboxes que extienden la funcionalidad de Matlab efectivamente, esto permite experimentar con algoritmos como parte del proceso de estudio.

Oscar Saavedra Morales

1

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

INTRODUCCIÓN Los métodos sísmicos representan una de las técnicas geofísicas más importantes. Su predominio sobre otros métodos de exploración se debe a su alta resolución y gran penetración; se usan principalmente en la exploración petrolera. Estudios por métodos de refracción sísmica fueron unos de los primeros métodos geofísicos aplicados en investigaciones relacionadas con estructuras geológicas asociadas con petróleo. Hoy, sin embargo, la exploración petrolera recae casi exclusivamente sobre algunas variedades modernas de sismógrafos que emplean el método de reflexión como elemento fundamental para la adquisición de datos sísmicos. Recientes progresos en exploración geofísica para la búsqueda de petróleo tiene su raíz en el refinamiento de la instrumentación utilizada en la actualidad así como el avance de las computadoras utilizadas para procesar el gran volumen de datos de campo. Los métodos de exploración sísmica involucran básicamente los mismos tipos de mediciones que se realizan en simbología de terremotos. Sin embargo, las fuentes de energía son controladas y móviles, y los offset son relativamente pequeños. Muchos trabajos sísmicos consisten de un cubrimiento continuo, en donde la respuesta de porciones sucesivas de terrenos se muestra a lo largo de perfiles. Los explosivos y otras fuentes de energía se usan para generar las ondas sísmicas, y arreglos de geófonos se usan para detectar las ondas reflectadas en las diferentes capas de la tierra. La data adquirida se graba de manera digital o en cintas magnéticas, la cual se procesa para extraer la información significativa que permita una adecuada interpretación de las estructuras geológicas del subsuelo. La técnica básica de la exploración sísmica consiste en la generación de ondas sísmicas y medir el tiempo requerido por las ondas para viajar de las fuentes hasta las discontinuidades de los extractos del subsuelo y regresar a una serie de geófonos, dispuestos usualmente según el patrón de adquisición que se vaya a utilizar. Del conocimiento de los tiempos de viaje y de las velocidades de las ondas, reconstruimos los senderos seguidos por las ondas sísmicas. A información geológica de una estructura, se origina principalmente de senderos o trazos que se pueden ubicar en una dos categorías tiaestructural se deriva principalmente de senderos que caen dentro de dos categorías, en la cual la porción principal del sendero seguido por las ondas esta a lo largo de la interface entre dos o más capas de secuencias estratigráficas, y los senderos reflejados, el principal en las que en algún punto del subsuelo los trazos son reflejados a la superficie. Para ambos tiempos de senderos, los tiempos de viajes dependen de las propiedades físicas de las rocas y de las formas como estén dispuestos los distintos estratos que conforman el subsuelo. Así, el objetivo de la exploración sísmica es deducir informaciones acerca de las características de las Oscar Saavedra Morales

2

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. rocas, estratos, a partir de los tiempos de arribo y de las variaciones en amplitud, frecuencia, fase y forma de onda, de las ondas sísmicas generadas con explosivos u otras fuentes de energía. En los últimos años, ha habido avances significativos en lo que respecta a la adquisición, procesamiento e interpretación de datos sísmicos utilizando el método de reflexión sísmica. Esos avances se deben en gran parte al gran desarrollo experimentado por la industria electrónica y las computadoras. Además, en las últimas tres décadas, los métodos de reflexión sísmica tridimensionales (3D) han revolucionado la exploración y producción de recursos petroleros; ya que mediante este levantamiento se adquieren reflexiones sísmicas en varias direcciones horizontales simultáneamente, esto permite obtener un volumen de datos tridimensionales directamente interpretables en términos estructurales sin requerir inferencias. En consecuencia de estas necesidades que presenta la industria se ha visto obligada a interactuar con otras disciplinas para poder crear avances, herramientas y métodos que le permitan el mejor desempeño de sus operaciones, es por esto que un sin número de facilidades para el nuevo modelado sísmico han sido creadas en Matlab. Estas incluyen trazo de rayo para (z) trazo de rayo para modelado de forma de onda completa. La facilidad del trazo de rayo : es un trazo de rayo flexible y rápido que determina los tiempos de viaje en un medio horizontal isotópico. Este puede disparar abanicos de rayos o funciona trazando dos puntos de rayo. (Trazando dos puntos de rayos significa que un rayo es trazado a través de un punto de origen específico y puntos finales. Disparo de Rayo significa que el punto de inicio y el ángulo de disparo del rayo son prescritos pero los del punto final no). Las funciones son provistas para una determinación automática de tiempo de viaje de las ondas en el registro de tiro geométrico para los modos P-P, S-S, P-S y S-P. Con un ligero esfuerzo un multimodal arbitrario puede ser trazado y otras configuraciones tales como un Perfil Sísmico Vertical (PSV) puede ser modelado. El trazo de rayo puede disparar rayos a través de un campo de velocidad variable arbitraria (en 2D) y así determinar los tiempos de viaje de las ondas. Esto trabaja para solucionar la ecuación diferencial de rayos en una malla espacial. Los rayos son encaminados en incrementos de tiempo constante a través de la malla usando una solución de Runge-Kutta de 4 orden.

¿Por qué utilizar Matlab? Matlab no ha estado disponible si no hasta mediados de los 80’s y antes de eso Fortran era el lenguaje seleccionado para los procesos científicos computacionales. Sin embargo el lenguaje C fue también una posibilidad solo que se le considero como desventaja el manejo de números complejos, por otro lado a Fortran le falto ventajas de C como son estructuras, punteros y asignación de memoria dinámica. Matlab desarrollado del paquete de Linpack que fue familiar a los programas de Fortran como una colección robusta de herramientas para álgebra lineal. De esta manera Matlab 3 Oscar Saavedra Morales Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. también presento un nuevo lenguaje de programación orientado a vectores, un ambiente interactivo y aplicación de graficas. Estas características ofrecen suficientes ventajas. Herramientas de Programación La programación en Matlab tiene similitudes con otros lenguajes pero también tiene características únicas. Esta sección ofrece algunas estrategias para utilizar Matlab efectivamente para explorar y manipular series de datos sísmicos, en combinación con las herramientas y toolboxes desarrolladas por CREWES. Matlab tiene dos construcciones de programación básica: scripts y funciones: a) Scripts Matlab es diseñado para proveer un gran ambiente interactivo que permite pruebas de ideas muy rápidas. Es muy fácil para crear resultados que son casi in reproducibles. Un aprovechamiento mejor es escribir los comandos en un archivo de texto y ejecutarlos después como un script. Esto tiene la virtud de que el código está en una grabación permanente y es mantenido para que los resultados puedan ser reproducidos en cualquier ocasión simplemente re ejecutando el script. Un script es la más simple estructura de programación de Matlab, este script es nada más que una secuencia de comandos correctos sintéticamente que han sido escritos en un archivo, el nombre del archivo debe terminar en extensión .m y debe aparecer en la ruta de búsqueda de Matlab. Cuando tú escribes el nombre del archivo sin la extensión .m en el prompt de Matlab, el programa buscara su trayectoria para los archivos con extensión .m con el nombre y ejecutara los comandos contenidos allí. Si tú tienes duda acerca de que tu script sea el primero nombrado en la trayectoria entonces podemos usar el comando which, el cual te mostrara la trayectoria completa de la búsqueda del archivo que será ejecutado. b) Funciones Las funciones de Matlab proveen una construcción de programación un poco más avanzada que el script. Estas funciones son simplemente una lista de comandos de Matlab que se ejecutan en el espacio de trabajo base. Las funciones se ejecutan en su propio espacio de trabajo independiente que comunica con variables de entrada y salida en el workspace base.

Oscar Saavedra Morales

4

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. OBJETIVO

Aplicar el código en Matlab desarrollado por Margrave NMES que sirva como herramienta de análisis de ondas sísmicas, que por medio de los tiempos de llegada de estas ondas puedan ser utilizadas para identificar las diferentes propiedades del suelo, que posteriormente sea utilizado como herramienta para la exploración de yacimientos de Gas.

Oscar Saavedra Morales

5

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

CAPÍTULO 1

Exploración Terrestre y Teoría de las Ondas

Oscar Saavedra Morales

6

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

1.0

LA EXPLORACIÓN TERRESTRE

Es un método Geofísico que permite determinar en profundidad la forma y disposición de las diferentes unidades litológicas o capas de la tierra, mediante la detección de ondas acústicas, producidas por una fuente artificial (martillo, vibro, sismigel, explosivos, etc.), propagadas a través del subsuelo según la elasticidad de las capas, que se detectan en la superficie tras reflejarse o refractarse usando sensores (geófonos). La finalidad de los programas de exploración sísmica, es la de localizar las rocas porosas que almacenan los Hidrocarburos (Petróleo y Gas). Para el desarrollo de la exploración sísmica, podemos considerar 4 etapas, descritas a continuación: a) Etapa de Topografía. En esta etapa se determinas las coordenadas del terreno donde se está trabajando, se limpia la zona de la vegetación existente ya que las líneas receptoras deben de estar limpias al igual que las líneas de disparo. Sobre las líneas receptoras se realiza una marcación en donde se pueda identificar los puntos de registro, así se debe señalar la distancia entre estos puntos como lo señala el diseño del proyecto.

Figura 1.1 Arreglo de geófonos y líneas de pozos donde se generaran los tiros y los interceptos.

Oscar Saavedra Morales

7

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

b) Etapa de Perforación. En esta etapa se realizan las perforaciones en los puntos previamente marcados para los disparos, en los huecos realizados se depositaran las cargas de explosivos con la cantidad determinada en el proyecto, además en esta etapa se realiza un arreglo de estos puntos de disparo según la secuencia en la que se quieran realizar estos.

Figura 1.2 Perforación con equipo rotativo para alojar la carga de explosivo que servirá como fuente sísmica. c) Etapa de Registro. En los puntos donde se ubicaron las marcas de registro, se montan los Geófonos, tendiendo una red de cables interconectados entre si y a su vez, estos cables van conectados a los equipos de Registro. Posteriormente se disparan de manera controlada los explosivos, generando con ello, una onda sonora dirigida hacia el centro de la tierra, la cual se propaga a través del subsuelo y al encontrar capas de densidad diferente, genera un rebote de onda hacia la superficie, allí es capturado por los Geófonos y transportado por los cables a los equipos de Registro. Oscar Saavedra Morales

8

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Figura 1.3 Captura y concentración de datos sísmicos en campo provenientes de los Geófonos. 1.1.1 Geófonos Los geófonos detectan la energía sísmica que llega a la superficie del suelo; con frecuencia se denominan sismómetros, detectores, teléfonos o sismo detectores. Aunque se han usado de muchos tipos, los geófonos modernos son casi totalmente del tipo electromagnético de bobina móvil para trabajo terrestre y del tipo piezoeléctrico para trabajo marino y en pantanos, y algunas veces, para mediciones para pozo de sondeos El geófono electromagnético es el más sencillo y el más empleado de los varios tipos de geófonos. Se constituye de una bobina y de un imán. Uno de estos dos elementos está fijado rígidamente con respecto a la superficie terrestre de tal manera, que se moverá junto con la superficie terrestre en repuesta a los movimientos sísmicos. El otro es el elemento inerte y cuelga sujetado por un resorte en un soporte fijo. En la figura 1.4 la bobina está sujetada rígidamente con respecto a la superficie terrestre y el imán, que cuelga sujetado por un resorte en el cajón, es el elemento inerte. Cualquier movimiento relativo entre la bobina y el imán produce una fuerza electromotriz entre los Oscar Saavedra Morales

9

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. terminales de la bobina. El voltaje correspondiente a esta fuerza electromotriz es proporcional a la velocidad del movimiento. En la mayoría de los geófonos construidos para la prospección sísmica. La bobina presenta el elemento inerte y el imán forma una parte del cajón , que se mueve, si la superficie, en que se ubica el cajón, se mueve. La sensibilidad del geófono depende de la fuerza del imán, de la cantidad de espiras de la bobina y de la configuración del sistema. El tamaño de los geófonos electromagnéticos no sobresale la altura de 10cm.

Figura 1.4 Diseño interno de un geófono electromagnético.

Figuran1-5 Diferentes modelos de Geófonos. Oscar Saavedra Morales

10

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. 1.1.2 Amplificadores

Los amplificadores sísmicos son de diseño muy variado, pero todos ellos tienen como característica la alta fidelidad a las bajas frecuencias, ya que el rango de las señales de origen sísmico que normalmente se manejan se encuentra entre 2 y 200 ciclos por segundo. Pueden tener capacidad de amplificación desde 8 veces (18 decibeles) hasta dos millones de veces (126 decibeles). En la mayoría de los sismógrafos pueden operarse simultáneamente varios amplificadores, utilizando algunos elementos comunes, como fuente de poder, sistema de control, filtros, etc. Cada amplificador recibe la señal de un geófono o combinación de geófonos conectados al mismo cable conductor, constituyendo lo que se conoce como un canal de amplificación. Los sismógrafos más comunes pueden operar simultáneamente 1, 6, 8, 12, 24, 48, 96 y hasta más de 1000 canales. Aquellos sismógrafos que operan muchos canales, en realidad no tienen tantos amplificadores como canales, sino que se utilizan dispositivos electrónicos que conectan en secuencias varios geófonos a un mismo amplificador (multiplicador), en un periodo de tiempo muy corto, que para cubrir un ciclo completo de conmutación, puede ser de 2 milisegundos, 4 milisegundos, etc., que puede ajustarse según las necesidades. Al salir la señal del amplificador para ser alimentada a los sistemas de medición o registro, debe ser multiplicada, o sea invertido el proceso de conmutación. Si se exceptúan las señales muy fuertes que llegan inmediatamente después de detonar el tiro, la salida del geófono es demasiado débil para registrarla si no está amplificada. Asimismo, el amplio rango de amplitudes de salida del geófono se extiende desde unas décimas de voltio al inicio del registro, hasta casi 1 cerca del final del registro, unos segundos después del tiro (las señales más débiles que 1 se pierden en el ruido del sistema), que es un cambio relativo o rango dinámico de aproximadamente 105 (100 dB). Por lo tanto, además de amplificar señales débiles, generalmente el amplificador se necesita también para comprimir el rango de señales. Además, los amplificadores se usan para filtrar la salida del geófono, mejorando la señal en relación al ruido. El objetivo de los amplificadores sísmicos es reproducir la entrada con un mínimo de distorsión y, por lo tanto, la ganancia (sin filtros) debe ser constante para todo el espectro de frecuencias de interés.

Oscar Saavedra Morales

11

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Figura 1.6 Equipo de amplificación con geófono. 1.1.3 Registro analógico de datos Durante aproximadamente los primeros treinta años de exploración sísmica, las salidas de los amplificadores se registran directamente sobre papel fotográfico por medio de una cámara. Sin embargo, para 1952 se inició el registro en cinta magnética y actualmente es casi universal. La característica que propicio originalmente la difusión del uso del registro magnético fue su capacidad para tomar el registro en el campo con un mínimo de filtrado, control automático de ganancia, mezcla, etc. Para continuar con la introducción de las cantidades optimas de estos en las reproducciones. Posteriormente la ventaja más importante vino a ser la capacidad para producir secciones de registro, que demostraron ser valiosos auxiliares en la interpretación. Sin embargo, el registro en cinta magnética desarrollo todo su potencial con la introducción de las técnicas digitales durante los inicios de los años sesenta. Los registros analógicos de cinta magnética tienen generalmente cabezas para registrar de 26 a 50 canales en paralelo. En los primeros años se utilizaba el registro directo; la salida del amplificador iba directamente a la cabeza grabadora; la intensidad de la magnetización de la cinta era proporcional a la corriente en la cabeza grabadora y, por lo tanto proporcional también a la fuerza de la señal. Más adelante, el registro directo fue desplazado por las técnicas de modulación de frecuencia y modulación del 12 Oscar Saavedra Morales Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. ancho del pulso, ya que estas están más libres del ruido y pueden aceptar un margen más amplio de la fuerza de la señal. 1.1.4 Presentación visual de datos Los datos presentados en cinta magnética se deben presentar en forma visual para el monitoreo y la interpretación. Esto se hace más comúnmente por medio de una cámara. Los principales elementos de una cámara son 1) una serie de galvanómetros, uno para cada grupo de geófonos, que trasforman las señales eléctricas en puntos de luz intensos que se mueven de acuerdo con las señales, 2) un dispositivo para registrar marcas exactas de tiempo y 3) un medio para registrar las posiciones de los puntos luminosos sobre una banda móvil de papel. Antes, lo último se obtenía principalmente por métodos fotográficos. En algunas brigadas, los métodos de impresión en seco (donde una imagen latente sobre papel se releva gradualmente con exposición a la luz diurna) han remplazado los procesos húmedos de fotografía. Sin embargo, se usan más ampliamente las cámaras electrostáticas en que la luz produce una imagen por carga eléctrica y el polvo de impresión se adhiere al papel donde se carga. Las cámaras electrostáticas usan papel común. 1.2.0 Teoría de las ondas Como ya se ha mencionado, en el método sísmico se utiliza la propagación de ondas a través de la tierra, con las diferentes propiedades elásticas de las rocas. El tamaño y la forma de un cuerpo sólido se pueden cambiar aplicando fuerzas a la superficie externa de ese cuerpo. A estas fuerzas externas se oponen fuerzas internas que resisten los cambios de tamaño y forma. Debido a esto, el cuerpo tiende a regresar a su condición original cuando se eliminan las fuerzas externas. De modo similar, un fluido resiste cambios de tamaño (volumen) pero no cambios de forma. Esta propiedad de resistir cambios de tamaño o forma y regresar a la condición no deformada cuando se eliminan las fuerzas externas se denomina elasticidad. Un cuerpo perfectamente elástico es aquel que se recupera perfectamente después de ser deformado. Muchas sustancias, incluyendo las rocas, se pueden considerar perfectamente elásticas sin error apreciable, ya que las deformaciones son pequeñas. La propagación de ondas cualquiera que sea su naturaleza: mecánicas, electromagnéticas etc, puede ser explicada mediante dos conceptos fundamentales; uno es el concepto de ―rayo‖, de la óptica geométrica, una simplificación de gran utilidad cuyas bases axiomáticas son los principios de Fermat y Huygens. Este concepto es aplicable para analizar trayectorias (con excepciones como el fenómeno de la difracción), como en el caso de la sísmica de refracción, en la que la propagación e interacción de la ondas con medios (suelo y roca) con propiedades variables se simplifica al hacer seguimiento a los rayos, que sufren los efectos de la reflexión y refracción en las diferentes interfaces. Oscar Saavedra Morales

13

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Las leyes de la óptica geométrica son fenomenológicas, es decir que no tienen una realidad física, sin embargo, hoy sabemos cómo se relacionan estas leyes con propiedades del medio de propagación y allí aparece otra utilidad del concepto para la sismología, como campo que estudia las ondas mecánicas (elásticas). El otro concepto fundamental es el que parte de la naturaleza real de la onda como propagación de una perturbación, necesario para explicar todos aquellos fenómenos en los cuales son determinantes las propiedades de la onda, por ejemplo el fenómeno de la difracción, transmisión de energía, interferencia, polarización, la interacción de las ondas con propiedades del medio, etc.

1.2.1. Definición el rayo sísmico En sismología, el rayo sísmico no tiene realidad física, es una abstracción de la realidad. Se llaman rayos sísmicos a las líneas normales a los frentes de ondas sucesivos (Figura 1.7), es decir, la trayectoria de las posiciones ocupadas por un punto dado del frente do ondas a lo largo de todo su recorrido. En un medio homogéneo los rayos sísmicos serán líneas rectas. En medios estratificados con velocidades diferenciadas, los rayos, que se aproximan a curvas de tiempo mínimo, pueden ser representados por varios tramos rectos en cada capa homogénea.

Figura 1.7 La siguiente figura muestra el frente de onda en los rayos sísmicos.

El tamaño y la forma de un cuerpo sólido se pueden cambiar aplicando fuerzas a la superficie externa de ese cuerpo. A estas fuerzas externas se oponen fuerzas internas que resisten los cambios de tamaño y forma. Debido a esto, el cuerpo tiende a regresar a su condición original cuando se eliminan las fuerzas externas. De modo similar, un fluido resiste cambios de tamaño (volumen) pero no cambios de forma. Esta propiedad de resistir cambios de tamaño o forma y regresar a la condición no deformada cuando se eliminan las fuerzas externas se denomina elasticidad. Un cuerpo perfectamente elástico es aquel que se recupera perfectamente después de ser deformado. Muchas sustancias, incluyendo las rocas, se pueden considerar perfectamente elásticas sin error apreciable, ya que las deformaciones son pequeñas. Oscar Saavedra Morales

14

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Principio de Huygens. El principio de Huygens es un método de análisis aplicado a los problemas de propagación de ondas. Puede enunciarse así: Todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden. Esta visión de la propagación de las ondas ayuda a entender mejor los fenómenos de difracción, reflexión y la refracción de las ondas. Si el medio es homogéneo el frente de ondas es esférico en un momento cualquiera t ; un poco más tarde en el tiempo t  t , cada uno de los frentes de onda habrá dado lugar a pequeños frentes de ondas esféricos de radio C *  t donde C es la velocidad del medio. El nuevo frente de ondas, en el instante t   t , será la envolvente de todos los pequeños frentes de onda y, por tanto, será una superficie esférica concéntrica con la primitiva. Si el medio no es homogéneo, cada elemento del frente de ondas se traslada paralelamente así mismo durante el lapso  t , pero con velocidades distintas a lo largo del frente, por lo que el nuevo frente de ondas no será paralelo al primero. Principio de Fermat. El principio de Fermat, en óptica es un principio de tipo extremal y que establece: El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo. Este enunciado no es completo y no cubre todos los casos, por lo que existe una forma moderna del principio de Fermat. Esta dice que: El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria. Esto quiere decir que, si se expresa el trayecto recorrido por la luz entre dos puntos y por medio de una funcional llamada camino óptico definida como la trayectoria real de la luz seguirá un camino extremal respecto de esta funcional:

La característica importante, como dice el enunciado, es que los trayectos próximos al verdadero requieren tiempos aproximadamente iguales

Oscar Saavedra Morales

15

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. 1.3 Ley de reflexión. Si suponemos que un rayo de luz sale del punto A en dirección a la superficie plana, que suponemos reflectora, y viaja hasta el punto B ¿Cuál será la trayectoria seguida por la luz? En este caso la luz viaja durante todo el camino por el mismo medio, con el mismo índice de refracción y, por tanto, a la misma velocidad. Así, el tiempo necesario para recorrer el camino entre A y B (pasando por la superficie P) será la distancia APB dividida por la velocidad de la luz en el medio. Como la velocidad es una constante, la trayectoria real, según el principio de Fermat, será la más corta. Es fácil ver que la distancia APB es la misma que la distancia A'PB, donde A' es la imagen de A. A' está sobre la recta perpendicular al espejo que pasa por A, a la misma distancia del espejo que A y al otro lado del mismo. La distancia mínima A'PB es, obviamente, la línea recta A'P2B, con lo que la trayectoria real es AP2B. El análisis completo de la situación muestra que P2 es tal que los ángulos de incidencia y de reflexión en el punto son iguales, de lo que se deduce la fórmula de la ley de la reflexión: Un rayo que incide entre la interfaz entre dos medios, se refleja (parcialmente). El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están todos en un mismo plano. El ángulo de incidencia i I es igual al ángulo de reflexión (Figura 1.8).

1.4 Ley de refracción El rayo incidente sobre la superficie de separación (interfaz) entre un medio 1 y otro 2, además de reflejarse en el medio 1, se refleja hacia el (figura 1.8b). El rayo incidente, la normal y el rayo refractado se encuentran en el mismo plano. El ángulo de refracción i2 depende de las velocidades en los medios 1 y 2, y del ángulo de incidencia i1 , de acuerdo con la relación de Snell:

sen(i1 ) C1  sen(i2 ) C 2 Donde C1 y C2 son las velocidades respectivas de los medios 1 y 2.

Oscar Saavedra Morales

16

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Figura 1.8. Incidencias de los rayos, según las Leyes de reflexión (a) y refracción (b)

En cierto ángulo de incidencia, conocido como ángulo crítico, i c , el ángulo refractado, i2 se refracta 90ª de la normal, de tal manera que él sen(i2 )  sen(90º )  1; así el ángulo crítico queda definido solamente por las velocidades de los estratos):

sen(ic ) 

C1 C2

Figura 1.9. El rayo de luz se propaga de A a B pasando por P, que es un punto móvil sobre el eje de las abscisas.

Oscar Saavedra Morales

17

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Con el principio de Fermat se puede deducir la ley de Snell, que afirma que el producto del índice de refracción del primer medio de propagación con el seno del ángulo de incidencia es equivalente al producto del índice de propagación del segundo medio con el seno del ángulo refractado.

Planteemos el fenómeno analíticamente, sobre un plano cartesiano. Sea un medio de propagación con índice de refracción y un segundo medio de propagación con índice de refracción tales que situamos la superficie que separa los dos medios de modo que coincida con el eje de las abscisas. Sean ,y Dos puntos fijos situados del plano, de modo que A está situado en el primer medio, y B en el segundo medio. Sea un rayo de luz que se propaga de A a B atravesando la superficie que separa los dos medios en el punto . El siguiente paso es deducir el tiempo que tarda el rayo en recorrer y . Sean y la velocidad de propagación de la luz en el primer y segundo medio respectivamente.

;

Si buscamos el valor de cuando es mínimo, es equivalente si encontramos el valor de para el cual la función derivada de toma el valor 0.

Oscar Saavedra Morales

18

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

1.5 CONCEPTO DE ONDA

1.5.1 Definición En física, una onda consiste en la propagación de una perturbación de alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético, a través de dicho medio, implicando un transporte de energía sin transporte de materia. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un trozo de metal e, incluso, inmaterial como el vacío. La magnitud física cuya perturbación se propaga en el medio se expresa como una función tanto de la posición como del tiempo. Matemáticamente se dice que dicha función es una onda si verifica la ecuación de ondas:

Donde v es la velocidad de propagación de la onda. Por ejemplo, ciertas perturbaciones de la presión de un medio, llamadas sonido, verifican la ecuación anterior, aunque algunas ecuaciones no lineales también tienen soluciones ondulatorias. El movimiento ondulatorio puede considerarse como un trasporte de energía y cantidad de movimiento desde un punto en el espacio a otro, sin trasporte de materia. Las ondas se clasifican en dos categorías: viajeras y estacionarias. En las primeras hay propagación de energía mientras que en las otras la energía asociada a la onda permanece definida entre dos fronteras. En la trayectoria de un frente de ondas se distinguen dos aspectos: 1) el movimiento de las ondas a través del medio y, 2) el movimiento oscilatorio de las partículas del medio.

1.5.2 Elementos de una onda 

Cresta: La cresta es el punto de máxima elongación o máxima amplitud de la onda; es decir, el punto de la onda más separado de su posición de reposo.

Oscar Saavedra Morales

19

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.  



     

Período(T): El periodo es el tiempo que tarda la onda en ir de un punto de máxima amplitud al siguiente. Amplitud(A): La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda. Nótese que pueden existir ondas cuya amplitud sea variable, es decir, crezca o decrezca con el paso del tiempo. Frecuencia(f): Número de veces que es repetida dicha vibración por unidad de tiempo. En otras palabras, es una simple repetición de valores por un período determinado.

Valle: Es el punto más bajo de una onda. Longitud de onda(λ): Es la distancia que hay entre el mismo punto de dos ondulaciones consecutivas, o la distancia entre dos crestas consecutivas. Nodo: es el punto donde la onda cruza la línea de equilibrio. Elongación(x): es la distancia que hay, en forma perpendicular, entre un punto de la onda y la línea de equilibrio. Ciclo: es una oscilación, o viaje completo de ida y vuelta. Velocidad de propagación (v): es la velocidad a la que se propaga el movimiento ondulatorio. Su valor es el cociente de la longitud de onda y su período.

1.5.3 Características Las ondas periódicas están caracterizadas por crestas o montes y valles, y usualmente es categorizada como longitudinal o transversal. Una onda transversal es aquella con las vibraciones perpendiculares a la dirección de propagación de la onda; ejemplos incluyen ondas en una cuerda y ondas electromagnéticas. Onda longitudinal es aquella con Vibraciones paralelas en la dirección de la propagación de las ondas; ejemplos incluyen ondas sonoras. Cuando un objeto corte hacia arriba y abajo en una onda en un estanque, experimenta una trayectoria orbital porque las ondas no son simples ondas transversales sinusoidales. Ondas en la superficie de una cuba son realmente una combinación de ondas transversales y longitudinales; por lo tanto, los puntos en la superficie siguen caminos orbitales. Todas las ondas tienen un comportamiento común bajo un número de situaciones estándar. Todas las ondas pueden experimentar las siguientes:  Difracción - Ocurre cuando una onda al topar con el borde de un obstáculo deja de ir en línea recta para rodearlo.  Efecto Doppler - Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de las ondas y el receptor de las mismas. Oscar Saavedra Morales

20

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.    

Interferencia - Ocurre cuando dos ondas se combinan al encontrarse en el mismo punto del espacio. Reflexión - Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no puede atravesar, cambia de dirección. Refracción - Ocurre cuando una onda cambia de dirección al entrar en un nuevo medio en el que viaja a distinta velocidad. Onda de choque - Ocurre cuando varias ondas que viajan en un medio se superponen formando un cono.

1.5.4 Polarización Una ola rompiendo contra las rocas. Una onda es polarizada, si solo puede oscilar en una dirección. La polarización de una onda transversal describe la dirección de la oscilación, en el plano perpendicular a la dirección del viaje. Ondas longitudinales tales como ondas sonoras no exhiben polarización, porque para estas ondas la dirección de oscilación es a lo largo de la dirección de viaje. Una onda transversal, como la luz puede ser polarizada usando un filtro polarizador o al ser reflejada por un dieléctrico inclinado, e.g. vidrio de ventana.

Oscar Saavedra Morales

21

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. 1.5.5 Descripción matemática

Figura 1.10 Esta imagen nos muestra una Onda con amplitud constante.

Desde un punto de vista matemático, la onda más sencilla o fundamental es la onda sinusoidal descrita por la función

Donde A es la amplitud de una onda (la elongación máxima o altura de la cresta de la onda). Las unidades de amplitud dependen del tipo de onda — las ondas en una cuerda tienen una amplitud expresada como una distancia (metros), las ondas sonoras como presión (pascales) y ondas electromagnéticas como la amplitud del campo eléctrico (voltios/metros). La amplitud puede ser constante, o puede variar con el tiempo y/o posición. La forma de la variación de amplitud es llamada la envolvente de la onda. La longitud de onda (simbolizada por ) es la distancia entre dos crestas o valles seguidos. Se mide en unidades de longitud, tales como el metro (m), sus múltiplo o submúltiplos según convenga. Así, en la óptica, la longitud de onda de la luz se mide en nanómetros. Un número de onda angular puede ser asociado con la longitud de onda por la relación:

Oscar Saavedra Morales

22

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Cada partícula de un medio material en el que se propaga una onda mecánica de desplazamiento transversal realiza una oscilación armónica simple en dirección transversal a la dirección de propagación de la onda. El periodo es el tiempo requerido para que el movimiento de oscilación de la onda describa un ciclo completo. La frecuencia es el número de ciclos completos transcurridos en la unidad de tiempo (por ejemplo, un segundo). Es medida en hercios. Matemáticamente se define sin ambigüedad como: En otras palabras, la frecuencia

y el periodo de una onda son recíprocos entre sí.

La frecuencia angular representa la frecuencia en radianes por segundo. Está relacionada con la frecuencia por

Hay dos velocidades diferentes asociadas a las ondas. La primera es la velocidad de fase, la cual indica la tasa con la que la onda se propaga, y está dada por:

La segunda es la velocidad de grupo, la cual da la velocidad con la que las variaciones en la forma de la amplitud de la onda se propagan por el espacio. Esta es la tasa a la cual la información puede ser transmitida por la onda. Está dada por:

1.5.6 Ecuación de onda La ecuación de onda es un tipo de ecuación diferencial que describe la evolución de una onda armónica simple a lo largo del tiempo. Esta ecuación presenta ligeras variantes dependiendo de cómo se transmite la onda, y del medio a través del cual se propaga. Si consideramos una onda unidimensional que se transmite a lo largo de una cuerda en el eje x, a una velocidad y con una amplitud (que generalmente depende tanto de x y de t), la ecuación de onda es:

Trasladado a tres dimensiones, sería: Oscar Saavedra Morales

23

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Donde es el operador laplaciano. La velocidad v depende del tipo de onda y del medio a través del cual viaja. Jean Le Rondd'Alembert obtuvo una solución general para la ecuación de onda en una dimensión:

Esta solución puede interpretarse como dos impulsos viajando a lo largo del eje x en direcciones opuestas: F en el sentido +x y G en el -x. Si generalizamos la variable x, reemplazándola por tres variables x, y, z, entonces podemos describir la propagación de una onda en tres dimensiones. La ecuación de Schrödinger describe el comportamiento ondulatorio de las partículas elementales. Las soluciones de esta ecuación son funciones de ondas que pueden emplearse para hallar la densidad de probabilidad de una partícula.

1.5.7 Clasificación de las ondas Las ondas se clasifican atendiendo a diferentes aspectos: En función del medio en el que se propagan Tipos de ondas y algunos ejemplos. 

Ondas mecánicas: las ondas mecánicas necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio. Como en el caso de una alfombra o un látigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a través de ella. La velocidad puede ser afectada por algunas características del medio como: la homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la temperatura. Dentro de las ondas mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.



Ondas electromagnéticas: las ondas electromagnéticas se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el vacío. Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de un campo eléctrico, en relación con un campo magnético asociado. Las ondas electromagnéticas viajan aproximadamente a una velocidad de 300 000 km por segundo, de acuerdo a la velocidad puede ser Oscar Saavedra Morales

24

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. agrupado en rango de frecuencia. Este ordenamiento es conocido como Espectro Electromagnético, objeto que mide la frecuencia de las ondas. 

Ondas gravitacionales: las ondas gravitacionales son perturbaciones que alteran la geometría misma del espacio-tiempo y aunque es común representarlas viajando en el vacío, técnicamente no podemos afirmar que se desplacen por ningún espacio, sino que en sí mismas son alteraciones del espacio-tiempo.



Ondas Internas: Las ondas internas viajan a través del interior. Siguen caminos curvos debido a la variada densidad y composición del interior de la Tierra. Este efecto es similar al de refracción de ondas de luz. Las ondas internas transmiten los temblores preliminares de un terremoto pero poseen poco poder destructivo. Las ondas internas son divididas en dos grupos: ondas primarias (P) y secundarias (S).

a) Ondas P Las ondas P (primarias) son ondas longitudinales o compresionales, lo cual significa que el suelo es alternadamente comprimido y dilatado en la dirección de la propagación. Estas ondas generalmente viajan a una velocidad 1.73 veces de las ondas S y pueden viajar a través de cualquier tipo de material líquido o sólido. Velocidades típicas son 1450m/s en el agua y cerca de 5000m/s en el granito.

Figura 1.11 Comportamiento de una Onda P plana longitudinal. En un medio isótropo y homogéneo la velocidad de propagación de las ondas P es:

Oscar Saavedra Morales

25

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

donde K es el módulo de incompresibilidad, es el módulo de corte o rigidez y la densidad del material a través del cual se propaga la onda mecánica. De estos tres parámetros, la densidad es la que presenta menor variación por lo que la velocidad está principalmente determinada por K y μ.

b) Ondas S Las ondas S (secundarias) son ondas en las cuales el desplazamiento es transversal a la dirección de propagación. Su velocidad es menor que la de las ondas primarias. Debido a ello, éstas aparecen en el terreno algo después que las primeras. Estas ondas son las que generan las oscilaciones durante el movimiento sísmico Sólo se trasladan a través de elementos sólidos.

Figura 1.12 Comportamiento de la Onda de corte Plana. La velocidad de propagación de las ondas S en medios isótropos y homogéneos depende del módulo de corte y de la densidad del material.

 Oscar Saavedra Morales

26

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

b) En función de su dirección

Figura 1.13 Direcciones que puede tomar una onda. 

Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de onda son planos y paralelos.



Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella. a) Love (Onda L): Se propagan de forma similar que las ondas S haciendo vibrar las partículas horizontalmente en sentido perpendicular al de propagación, pero sin movimiento vertical. b) Rayleigh (ondas R): tienen un movimiento similar al de las ondas de la superficie de agua, haciendo vibrar las partículas sobre un plano que apunta en dirección de la trayectoria de las ondas, con movimientos elíptico y vertical simultáneamente.

Oscar Saavedra Morales

27

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Las ondas L y R solo se propagan en discontinuidades de impedancia. 

Ondas tridimensionales o esféricas: son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas.

c) En función del movimiento de sus partículas 

Ondas longitudinales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas del medio se mueven o vibran paralelamente a la dirección de propagación de la onda. Por ejemplo, un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.



Ondas transversales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas del medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

d) En función de su periodicidad 

Ondas periódicas: la perturbación local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda senoidal.



Ondas no periódicas: la perturbación que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las ondas aisladas también se denominan pulsos.

1.5.8 Contenido espectral de las ondas Cada una de las ondas sísmicas presentadas tiene rangos de periodos de vibración característicos (Tabla 1.1). En los métodos de refracción y reflexión de la geofísica aplicada, que miden principalmente la llegada de las ondas P, de frentes de onda que se han refractado o reflejado en las diversas capas del suelo, las frecuencias asociadas con la reflexión se mantienen en una banda entre los 20 y 100 Hz, mientras que en la refracción se encuentran entre 1 y 20 Hz. Tabla 1.1. Periodos característicos de vibración de ondas sísmicas.

TIPO DE ONDAS Ondas Internas Ondas Superficiales Oscilaciones Libres Oscar Saavedra Morales

PERIODO (S) 0,05 – 50 10 – 350 350- 3600 Fuente: Lay & Wallace (1995) 28 Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Por su parte, la ingeniería y dinámica de suelos están interesadas en los periodos característicos de vibración de los suelos y edificios. La respuesta de los edificios depende de la frecuencia predominante del movimiento sísmico – las frecuencias predominantes de las ondas S y P y de las frecuencias naturales de la columna de suelo y de edificio. La respuesta del edificio se verá afectada si las dos frecuencias coinciden.

Oscar Saavedra Morales

29

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

CAPITULO 2 ELASTICIDAD DE LAS ONDAS

Oscar Saavedra Morales

30

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. 2.1. PRINCIPIOS DE LA TEORIA DE LA ELASTICIDAD Una perturbación sobre un medio elástico, en función del tiempo (por ejemplo; un sismo, un impacto de un meteorito, una explosión nuclear, el golpe de un martillo sobre el suelo) genera ondas elásticas. Estas perturbaciones producen cambios locales en esfuerzo y deformación. Para obtener la propagación de las ondas elásticas es necesario describir cinematicamente la deformación del medio y las fuerzas resultantes – esfuerzos – La relación entre deformación y esfuerzo está gobernada por las constantes elásticas.

2.2 Deformación Cuando un cuerpo elástico está sujeto a esfuerzos ocurren cambios en la forma y en las dimensiones. Estos cambios se conocen como deformaciones. Así, la deformación se define como un cambio relativo en la dimensión (volumen) o forma en un cuerpo. Si se tiene un cubo de dimensiones X, Y y Z para cada uno de los ejes cartesianos x, y, y z, entonces se producirán dos tipos de deformaciones: normales y de cizalla. La deformación primaria (o elemental) es la deformación normal. Según el eje cartesiano en que se produzca la fuerza se tendrá:

x  u / x y  v / y z  w / z Donde u, v y w son los cambios en longitud a cada lado del cubo en los ejes coordenados x, y, z, respectivamente. La deformación de cizalla se define como la combinación de deformaciones en los planos xy, xz ó zy así:

v u  x y w v  yz   zy   z z u w  xz   zx   z x

 xy   yx 

Oscar Saavedra Morales

31

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Los cambios en las dimensiones dadas por las deformaciones normales resultan de los cambios en el volumen, cuando el cuerpo es deformado. El cambio en volumen por unidad de volumen es llamado dilatación, que puede representarse con la siguiente fórmula:

   xx   yy   zz 

u v w   x y z

2.3 Ley de Hooke. Para calcular las deformaciones cuando los esfuerzos son conocidos, se debe conocer la relación que existe entre el esfuerzo y la deformación. Cuando las deformaciones son pequeñas esta relación está dada por la ley de Hooke, la cual establece que, dada una deformación, esta es directamente proporcional al esfuerzo producido. Cuando existen varios esfuerzos, cada uno produce deformaciones, independiente de los otros esfuerzos, entonces el total de las deformaciones es la suma de las deformaciones individuales producidas por cada esfuerzo. En medios isotrópicos es decir, cuando las propiedades o características del medio no varían, o no dependen de la dirección sobre la cual se aplican las fuerzas, la relación entre esfuerzo y deformación puede definirse de la siguiente forma:

 ii   *   2 *  *  ii , donde i  x, y, z;  ij   *  ij , Donde ij  x, y, z para i  j. Donde  y  son las constantes elásticas de Lame;  es la dilatación y  ii y  ij las deformaciones,  es una medida a la deformación de cortante y es conocido como el Modulo de rigidez al cortante o modulo de cizalla. Los líquidos no oponen resistencia a la cizalla, por lo tanto   0. 2.4 Constantes elásticas en medios isotrópicos.

Las constantes que describen el comportamiento elástico en un medio isotropico son los módulos de Lame y de rigidez. Existen tres módulos adicionales que permites describir también el comportamiento elástico en términos de los dos primeros módulos, ellos son: 1. Modulo de elasticidad, E. 2. Modulo de incompresibilidad, K. Oscar Saavedra Morales

32

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. 3. Cociente de Poisson,  6 . En la litosfera las rocas se aproximan a medios isotrópicos, es decir que no lo son completamente. Especialmente las rocas sedimentarias y metamórficas presentan anisotropías. Por ejemplo, las rocas sedimentarías presentan diferencias en sus propiedades si son medidas en planos paralelos o perpendiculares al plano de estratificación. (1) Modulo de elasticidad o de Young, E. Es la cantidad de esfuerzo por unidad de deformación. E = esfuerzo / Deformación E = Fuerza por unidad de área / Cambio en longitud por unidad de longitud. Considerando solo esfuerzo normal el modulo elástico queda definido como:

E   ii /  ii Aplicando la ley de Hooke: E

 (3  2 ) 

(2) Modulo incompresibilidad, K. Es una medida de la resistencia de los materiales elásticos a la compresión, es decir, al cambio de volumen sin que varíe su forma. Si un cuerpo está sometido a un esfuerzo de compresión en todas las direcciones, su volumen disminuirá una cantidad  ii . Así, el modulo de incompresibilidad es la relación entre el esfuerzo y el cambio unitario de volumen. K = Esfuerzo / deformación. K = Presión / Cambio volumen por unidad de volumen. Para definir el modulo de incompresibilidad, usualmente se supone que el cuerpo está sujeto solamente a la presión hidrostática, es decir;

 xx   yy   zz   P  xy   yz   xz  0 Entonces el modulo de incompresibilidad queda definido como:

K 

Oscar Saavedra Morales

33

P  Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. El signo menos es insertado para que K sea positivo. AL sustituir según la ley de Hooke se tiene:

K

3  2  3

(3) Cociente de Poisson,  . Es la relación entre las deformaciones unitarias trasversales y longitudinal. Para definirla asúmase que todos los esfuerzos son cero excepto  xx . Entonces se tiene:



 yy    zz  ii  ii

Donde el signo negativo es insertado para que el cociente sea positivo. Al reemplazar según las ecuaciones de la ley de Hooke se obtiene:



 2(   )

La relación de Poisson es una medida de la contracción lateral del material. En el caso de materiales elásticos varía entre 0 y 0.5. Como los líquidos no oponen resistencia a esfuerzo cortante. Valores en el rango 0    0.05 corresponden a rocas muy duras; y rocas alrededor de 0.45 son muy blandas. 2.5 Constantes elásticas en medios anisotropicos. La propagación de ondas elásticas difiere significativamente entre medios iso y anisotropicos:    

Mientras que en medios isotrópicos son suficientes dos variables elásticas, en anisotropicos se requieren 21 constantes elásticas independientes. Hay un fenómeno de partición de la onda (análogo al caso de la óptica de doble refracción), para ondas con componentes transversales. Las ondas viajan a diferentes velocidades dependiendo de la dirección de propagación y de la polarización (aplica a onda S u ondas superficiales). La polarización de las ondas de compresión y de cortante puede no ser perpendicular o paralela al frente de ondas.

Los suelos, de gran interés en la ingeniería civil, no se aproximan tanto como las rocas a medios isotópicos. Para esto se supone que los medios están estratificados, y cada Oscar Saavedra Morales

34

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. estrato es homogéneo e isotropito, razón por la cual se pueden emplear las constantes que describen el comportamiento elástico isotropito.

2.6 Velocidades de las ondas elásticas. En un medio homogéneo la velocidad de las ondas elásticas depende de la densidad de masa de suelo  , y de los parámetros elásticos: modulo de elasticidad, cociente de Poisson y modulo de rigidez. La velocidad de las ondas P y S viene dada por las siguientes ecuaciones:

 E (1   )  Cp   (1   )(1  2 )     Cs     

12

12

Tabla 2.1 Velocidades típicas de las ondas P Medio Material superficial Meteorizado Gravas, guijo, arenas (seca) Arena (húmeda) Arcilla Agua (dependiendo de la Tª y contenido de sales. Agua de mar Arenisca Shale (roca arcillosa que se parte en laminas) Tiza (chalk-arcilla) Caliza (limestone) Sal Granito Rocas Metafóricas

Oscar Saavedra Morales

35

Cp,m/s 305 a 610 468 a 915 610 a 1830 915 a 2750 1430 a 1680 1460 a 1530 1830 a 3970 2750 a 4270 1830 a 2970 2140 a 6100 4270 a 5190 4580 a 5800 3050 a 7020

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

CAPITULO 3 Refracción, Reflexión y Velocidad de las Ondas

Oscar Saavedra Morales

36

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

3.1. Método de Reflexión Sísmica En años más recientes han cambiado considerablemente las técnicas sísmicas y existen muchas variaciones. La técnica que se describe a continuación proporciona los antecedentes para comprender las explicaciones subsecuentes. Suponemos que se tiene una brigada terrestre que usa una carga explosiva como fuente de energía. El primer paso después de determinar las posiciones más adecuadas es la perforación de un pozo vertical en el suelo en el punto de tiro. El diámetro del pozo será quizás de 10 o 12 cm. Y su profundidad de entre 6 y 30 metros, comúnmente. Se arma una carga de uno a 25 Kg. De explosivo con una cápsula detonante eléctrica y luego se coloca cerca del fondo del pozo. Se extienden dos alambres desde la cápsula hasta la superficie, donde se conectan a un detonador que se usa para enviar corriente eléctrica a través de ellos a la cápsula, que luego se detona iniciando la explosión de la dinamita (el tiro). Se tienden dos cables de 2 a 4 Km. De largo en línea recta a cada lado del pozo de tiro que se va a detonar. Los cables contienen muchos pares de conductores eléctricos y cada par termina en un conector eléctrico múltiple en ambos extremos del cable. Además, cada par de alambres se conecta a una de varias tomas que están espaciadas a intervalos de 25 a 100 m a lo largo del cable. A cada una de esta toma se conectan varios geófonos (sismómetros), de modo que cada par de alambres dentro del cable conduzca la energía de salida de un grupo de geófonos hasta los instrumentos de registro. Debido al pequeño espaciamiento entre los geófonos del grupo conectado a cada par de alambres, el grupo completo equivale aproximadamente a un solo geófono virtual situado en el centro del grupo. Usualmente se colocan 48 o más grupos de geófonos a intervalos iguales a lo largo del cable. Cuando se detona la carga de dinamita, cada grupo de geófonos genera una señal que depende del movimiento del suelo en las cercanías del grupo. El resultado neto es la generación de señales que proporcionan información acerca del movimiento del suelo en un número de puntos regularmente espaciados (los centros de grupo) a lo largo de una línea recta que pasa a través del punto de tiro. Las señales eléctricas provenientes de los grupos de geófonos van a igual número de amplificadores. Estos amplificadores incrementan la intensidad de la señal general y parcialmente eliminan (filtran) partes de la señal de entrada que se consideran indeseables. Las salidas de los amplificadores, junto con señales precisas para la medición del tiempo, se registran en cinta magnética y/o en registro de papel. Por lo tanto, los datos registrados corresponden a varias trazas, cada una de las cuales muestra como varia el movimiento individual de un grupo de geófonos con respecto al tiempo posterior al tiro. Comúnmente los datos se procesan para atenuar el ruido por comparación con la energía reflejada, basándose en las características que los diferencian entre sí, y los datos se presentan visualmente de forma adecuada para la interpretación. Oscar Saavedra Morales

37

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Los eventos, es decir las llegadas de energía que varían sistemáticamente de una traza a otra y que se piensa que representan energía reflejada, se identifican en los registros. Los tiempos de arribo (el intervalo entre el instante de tiro y la llegada de la energía a un grupo de geófonos, también conocido como tiempo de viaje) de estos eventos se miden para varios grupos de geóponos. La posición y actitudes de la interface que dio lugar a cada evento de reflexión se calculan entonces a partir de los tiempos de llegada. La velocidad sísmica se requiere en el cálculo de la posición y la actitud de las interfaces, los resultados se combinan en secciones transversales y mapas de contornos que representan la estructura de las interfaces geológicas responsables de los eventos. Algunas beses los patrones que aparecen en los datos sísmicos se interpretan en términos de características estratigráficas o como indicadores de hidrocarburos. Sin embargo la presencia o ausencia de hidrocarburos u otros minerales se infiere usualmente a partir de la información estructural.

3.2. REFRACCIÓN SÍSMICA

3.2.1 DESCRIPCIÓN GENERAL Dentro de los métodos sísmicos de la geofísica aplicada se encuentran los de refracción y reflexión sísmica. En estos métodos se mide el tiempo de propagación de las ondas elásticas, transcurrido entre un sitio donde se generan ondas sísmicas y la llegada de éstas a diferentes puntos de observación. Para esto se disponen una serie de geófonos en línea recta a distancias conocidas, formando lo que se conoce como tendido sísmico o línea de refracción – o reflexión - sísmica. A una distancia conocida del extremo del tendido, en el punto de disparo, se generan ondas sísmicas, - con la ayuda de un martillo o por la detonación de explosivos -, las cuales inducen vibraciones en el terreno que son detectadas por cada uno de los sensores en el tendido. El equipo básico consiste de los sensores; la unidad de adquisición, en donde se almacenan los movimientos del terreno detectados por cada sensor; los cables de conexión entre los sensores y la unidad de adquisición; el cable del trigger, que se encarga de marcar el momento de inicio de registro en la unidad de adquisición. Los registros de cada sensor tienen información de los movimientos del terreno en función del tiempo y son conocidos como sismogramas. Estos son analizados en la refracción sísmica para obtener el tiempo de llegada de las primeras ondas a cada sensor desde el punto de disparo, y en la reflexión para obtener información de las ondas que son reflejadas en las diferentes interfaces de suelo, para lo cual es estudiado el sismograma completo.

Oscar Saavedra Morales

38

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. 3.3. PROPAGACIÓN Y TRAYECTORIA DE LAS ONDAS Cuando se generan ondas sísmicas, a partir de golpes en el suelo con una porra, o con explosiones de pólvora, éstas incluyen tanto ondas sísmicas internas, - Primarias y Secundarias -, como superficiales. Las ondas P, también conocidas como ondas longitudinales, son las de mayor interés en la refracción sísmica. Las leyes que rigen la propagación y la trayectoria de las ondas sísmicas en la refracción, son las mismas que se utilizan en óptica: (1) Principio de Huygens. (2) Principio de Fermat, y (3) Ley de refracción (o de Snell),

Ley de refracción. Como consecuencia del Principio de Huygens y/o del principio de Fermat, la Ley de refracción dice que el seno del ángulo incidente es al seno del ángulo de refracción como la velocidad de la onda incidente es a la velocidad de la correspondiente onda refractada. Para explicar la trayectoria de las ondas en el método de la Refracción sísmica, consideremos un medio, con velocidad 1 C, que suprayace un medio semi infinito, con velocidad 2 C, mayor que 1 C (Figura 3.1). Una vez se han generado las ondas en el punto de disparo, éstas empiezan a viajar por el medio superior conformando unos frentes de onda en el espacio.

Figura 3.1. Modelo de dos capas, la inferior de mayor velocidad

Al hacer un corte vertical por el punto de disparo, el frente de ondas luciría como se ilustra (Figura 3.2-a). Dicho frente se conocen como frente de ondas directas. En la parte b) de la Figura3.2 el frente de ondas se ha encontrado con el límite de los medios y ocurren las primeras refracciones hacia la capa inferior. En la parte c), ha pasado Oscar Saavedra Morales

39

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. más tiempo y se pueden observar claramente 3 frentes de onda: 1. de las ondas directas; 2. de las ondas refractadas hacia la capa inferior, y 3. de las reflejadas hacia la capa superior. Al observar en detalle puede identificarse un cuarto frente de ondas. El frente de ondas refractado hacia la capa inferior, no tiene una curvatura constante, de tal manera que corresponde a dos frentes de onda, el que se refracta hacia abajo, y el que se refracta hacia la capa superior. Como se puede observar, este frente de ondas está más alejado del punto disparo que el frente de ondas directas en la primera capa, por lo que llegará más rápido a los geófonos donde aún no había llegado el frente de ondas directas.

Figura 3.2. Propagación de las ondas en un medio de dos capas En la parte d), de la figura, ha pasado aún más tiempo desde el momento de disparo, y los 4 frentes de onda se diferencian claramente

El frente de ondas refractadas hacia el medio superior se genera cuando los rayos provenientes de la fuente alcanzan en ángulo crítico, ic , la interfaz entre los medios. El ángulo refractado tiene 90º con respecto a la normal, de tal manera que el

sen(i2 )  sen(90)  1 La refracción a 90º del ángulo crítico, ilustrada en la Figura 3.3, implica que las ondas no se propagan por la capa inferior, sino por el contacto entra ambas capas – es decir por la superficie de refracción - con la velocidad v 2 de la capa inferior, siguiendo la ley de los recorridos mínimos o Principio de Fermat.

Oscar Saavedra Morales

40

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Figura 3.3 La siguiente figura muestra Ángulo crítico de refracción c i.

3.3.1 Fenómenos en la propagación. Cuando el medio en que se propagan las ondas sísmicas no es homogéneo, se producen los fenómenos de difracción, dispersión y scattering (p. ej. Cantos, 1973). Difracción. Desvío de los rayos, en cierta extensión, ocurrido cuando se limita parte del frente de ondas (e. g. Tipler, 1990). Dispersión. Es la variación de la velocidad de una onda con el cambio de frecuencia. En un medio elástico homogéneo no hay dispersión, pero si la hay en un medio imperfectamente elástico como en la tierra. En refracción sísmica no hay evidencia de que exista dispersión apreciable (p. ej. Cantos, 1973), excepto cuando se usan explosivos en inmediaciones de la explosión. Scattering. Corresponde a la formación de pequeñas ondas que propagan la energía en todas las direcciones. Se produce cuando un frente de ondas choca con partículas libres u objetos pequeños comparados con su longitud de onda. Este fenómeno no es mayor para frecuencias altas. Parte de lo que se considera ―ruido‖ en un registro puede deberse a este fenómeno ya que produce energía distribuida al azar en superficie (p. ej. Cantos, 1973). La disminución de la energía sísmica con la distancia, causada por los tres fenómenos explicados anteriormente, va acompañada de pérdidas debidas a la absorción de la energía, produciendo amortiguamiento. Cuando el impulso sísmico viaja a través de las diferentes capas las altas frecuencias son absorbidas más rápidamente que las bajas frecuencias. Oscar Saavedra Morales

41

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. 3.4.0 CURVAS TIEMPO-DISTANCIA Las curvas tiempo distancia se construyen con los tiempos de llegada de las ondas P a cada uno de los sensores, y la distancia de cada sensor al punto de disparo. Los tiempos de llegada pueden ser leídos directamente en la pantalla de la unidad de adquisición, (o de una impresión realizada desde dicha unidad); o en la computadora, a través de un software especializado, una vez los datos hayan sido transferidos de la unidad de adquisición al computador. El conjunto de registros (del total de geófonos) como se pueden apreciar en una impresión realizada desde la unidad de adquisición, son mostrados en la Figura 3.4 Para tener información más detallada del subsuelo a analizar, se realizan tendidos de refracción conjugados, llamados tendido directo, reverso e intermedio. En el primero el punto de disparo se ubica en un extremo del tendido a una distancia conocida, mientras que en el segundo el punto de disparo se ubica al otro extremo del tendido; en el tendido intermedio, el punto de disparo es colocado usualmente hacia el centro del tendido. Cuando se van a estudiar terrenos muy extensos, o cuando se necesita información muy detallada, se acostumbra hacer tendidos traslapados que permiten modelar mejor la topografía de las discontinuidades.

Figura 3.4 La siguiente figura muestra un registro típico de los sismogramas

Las curvas de diferentes puntos de disparo (p. ej. directo, reverso) de un mismo tendido se dibujan sobre una misma gráfica como se ilustra a continuación (Figura 3.5).

Oscar Saavedra Morales

42

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Figura 3.5 Curva tiempo – distancia para disparos directo y reverso

Cuando se realizan tendidos de refracción traslapados, las curvas tiempo – distancia también se dibujan en relación con el traslape de los tendidos. La distancia crítica , es aquella medida entre el punto disparo y el sitio donde emerge la primera onda refractada en superficie. Dependiendo de las velocidades de la capa superior, y del refractor – o capa inferior -, y de la profundidad a éste, la distancia crítica puede ser o no menor que la longitud del tendido en observación. En la Figura 3.6 se muestra la relación entre el contraste de velocidades de la primera xc y la capa v1 y del refractor v 2 , versus la relación entre la distancia crítica profundidad h .

Oscar Saavedra Morales

43

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Figura 3.6 Relación entre la distancia crítica y la profundidad

A medida que aumenta la relación v 2 v1 la relación xc h disminuye. Como regla práctica, las longitudes de los tendidos de refracción deben ser mayores que el doble de la profundidad al refractor para observar refracciones sin interferencias indebidas de las ondas P originales.

3.5.0 PRINCIPIOS GENERALES DE INTERPRETACIÓN EN REFRACCIÓN Una vez construidas las curvas tiempo-distancia (T  x) se procede a su interpretación. La tarea principal es identificar las secciones de las curvas que pertenecen a un mismo refractor. El conjunto de puntos que pertenecen a un refractor conforma lo que se conoce como dromocrona. La identificación de las dromocronas es la parte más importante de la interpretación de los datos de refracción sísmica. Hay algunas características del subsuelo que se pueden prestar para malas interpretaciones, a saber: • Un cambio de pendiente de la curva T  x no significa necesariamente un cambio de refractor, sino que puede significar un cambio de pendiente del primer refractor. (p. ej. Cantos, 1989). • Cuando existe un estrato o una capa delgada de suelo cuya velocidad es menor que la de la capa superior, no hay refracción crítica, de tal manera que no habría indicios de Oscar Saavedra Morales

44

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. su presencia en las primeras llegadas en cada punto de la línea de sísmica. ( p. ej. Sheriff &Geldart, 1991:282). • Cuando existe una capa demasiado delgada, a pesar de tener velocidades mayores no alcanza a producir primeros arribos por el hecho mismo de ser tan delgada (p. ej. Sheriff &Geldart, 1991:283, Sarria, 1996). Hay 5 principios (y/o leyes) generales que conforman la base para la interpretación de un conjunto de datos de refracción sísmica. Dichos principios que se explican a continuación: 1. Leyes de Snell de la refraccion 2. Ley de las velocidades aparentes. 3. Principios de reciprocidad. 4. Principio del tiempo de intercepto en el origen. 5. Principio de paralelismo.

3.5.1 Ley de Snell de la refaccion Consideremos un frente de ondas que se acerca a la superficie de separación de dos medios de distintas propiedades. Si en el primer medio la velocidad de propagación de las ondas es v1 y en el segundo medio es v2 vamos a determinar, aplicando el principio de Huygens, la forma del frente de onda un tiempo posterior t. A la izquierda de la figura 3.7, se ha dibujado el frente de ondas que se refracta en la superficie de separación de dos medio, cuando el frente de ondas incidente entra en contacto con el segundo medio. Las fuentes de ondas secundarias situadas en el frente de ondas incidente, producen ondas que se propagan en todas las direcciones con velocidad v1 en el primer medio y con velocidad v2 en el segundo medio. La envolvente de las circunferencias trazadas nos da la forma del frente de ondas después de tiempo t, una línea quebrada formada por la parte del frente de ondas que se propaga en el primer medio y el frente de ondas refractado que se propaga en el segundo. El frente de ondas incidente forma un ángulo θ1 con la superficie de separación, y frente de ondas refractado forma un ángulo θ2 con dicha superficie. En la parte central de la figura 3.7, establecemos la relación entre estos dos ángulos. 

En el triángulo rectángulo OPP’ tenemos que v1·t=|OP’|·senθ1



En el triángulo rectángulo OO’P’ tenemos que v2·t=|OP’|·senθ2

Oscar Saavedra Morales

45

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. La relación entre los ángulos θ1 y θ2 es

Figura 3.7 Análisis de frente de ondas reflectado. 3.5.2 Ley de las velocidades aparentes. La ley de las velocidades aparentes dice que la velocidad con que aparenta transmitirse una onda en un cierto punto de la superficie del suelo es igual entre la velocidad superficial y el seno del ángulo de emergencia, toma dos ambos en dicho punto. Donde el ángulo de emergencia es formado por la onda emergente con la superficie (p. ej. Cantos, 1973). Sea un corte vertical del terreno (Figura 3.8) y un frente de ondas GL llegando a la superficie en G . Considérese dos rayos infinitamente próximos llegando a dos geófonos G y G' separados una distancia x . Sean GA y BG ' los tiempos de llegada. La velocidad con que aparente transmitirse los rayos G y G ' será Va  x , t consideremos adicionalmente que el frente de ondas se desplaza de L a G ' con su velocidad superficial V0 donde s  V0 y como s  x * sen( 0 ) , se obtiene la t V velocidad aparente a :

Va 

Oscar Saavedra Morales

V0 x s   Con Va  V0 t sen( 0 ) * t sen( 0 )

46

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. La velocidad aparente en el punto A, será la tangente a la domocrona AB en el punto A, x ya que Va  lim , cuando t 0 teniendo finalmente que: t Va 

dx dt

3.5.3 Principio de reciprocidad. Este principio establece que el tiempo de propagación de una onda sísmica del un punto A al B, es el mismo que el de B hacia A. Esto es una consecuencia directa del Principio de Fermat, o del recorrido de tiempo mínimo. Sea la Figura 3.8 en donde se han considerado dos refractores. Por el principio de reciprocidad la prolongación de las dromocronas de un mismo refractor generadas por puntos de disparo conjugados, por ejemplo dromocrona H  I y K  J , deben interceptar el eje del tiempo en un mismo valor, es decir

T1d  T1a .

Figura 3.8 La siguiente figura representa la Ley de las velocidades aparentes.

Oscar Saavedra Morales

47

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Figura 3.9 LA siguiente figura muestra el Principio de reciprocidad considerando dos refractores.

3.5.4 Principio del intercepto en el origen. Sea un refractor inclinado (Figura 3.10) y supóngase que desde la superficie se efectúan dos tiros en O y que se registran las ondas en dos puntos A y D; el principio del tiempo de intercepto en el origen dice que si se prolongan las dromocronas a y d hasta que cortan el eje de tiempo Ot los tiempos de intercepto en el origen son iguales.

Oscar Saavedra Morales

48

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Figura 3.10 La figura muestra el Tiempo de intercepto en el origen.

3.5.5 Principio de paralelismo. Este principio permite deducir las dromocronas relacionadas con puntos de disparo intermedios entre dos puntos de disparo en los extremos del tendido; o deducir una dromocrona con un punto de disparo por fuera (alejado) de dos puntos de disparo complementario (normal y reverso). Este principio funciona idealmente para refractores horizontales o inclinados planos; en el caso de refractores cóncavos, por ejemplo hacia arriba para distancias cortas las ondas viajaran por la superficie del refractor, pero para distancias largas viajaran (más rápido) por dentro del refractor. (Siguiendo el Principio de Fermat). Según la Figura 3.10a) la dromocrona intermedia O1 HE' se puede deducir por simple paralelas de las dos dromocronas complementarias ODE y O' FG a partir del punto de supuesto disparo

Oscar Saavedra Morales

49

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Figura 3.11 Aplicación del principio de paralelismo.

3.6.0 VELOCIDAD La exploración sismológica está literalmente desbordando con velocidades, solo para poner un ejemplo, hay velocidad de intervalo, velocidad instantánea, velocidad aparente, velocidad rms, velocidad promedio, velocidad media, velocidad de apilamiento, velocidad horizontal, velocidad vertical, velocidad de fase, velocidad de grupo, velocidad de onda P, velocidad de onda S, velocidad de migración entre otras, pero el objetivo del presente proyecto es definir las velocidades para poder poner orden en las ideas y en los conceptos que aquí utilizaremos. Para empezar hay una gran distinción entre velocidades físicas y medidas de velocidad. Anteriormente se referían a la velocidad como la propagación de ondas físicas. Ejemplos de esto son la velocidad instantánea, las velocidades de onda P y S, velocidad de fase y de grupo. En uno y otro sentido las medidas de velocidad son típicamente cantidades derivadas del análisis de datos que tienen las dimensiones físicas de la velocidad pero son relacionadas a velocidades físicas de alguna forma indirecta. Ejemplos de medidas de velocidad incluida la velocidad promedio, media, rms, intervalos, apilamiento, aparente y migración. En contraste para las velocidades físicas, generalmente no puede esperar que una onda física, actualmente propagada en la velocidad de una de estas medidas de velocidad.

Oscar Saavedra Morales

50

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Usando el dato medido para el análisis de la velocidad y la aplicación para corrección de aplicaciones de datos que depende sobre la velocidad para el procesamiento sísmico. La velocidad junto con la geometría de la adquisición sísmica y la forma de los reflectores, causas la característica forma del traveltime (como una hipérbole) en los datos. Las variaciones espaciales en la velocidad causan distorsiones de la simple forma canónica y estas distorsiones deben ser contadas por un procesamiento. Algunas beses la información de la velocidad puede ser obtenida de los datos de soporte, también de los registros, medidas base y mapas geológicos, pero esta información inherentemente escasa con respecto a la cobertura de los propios datos sísmicos. Últimamente la única forma para obtener información de velocidad densa espacial requerida en el procesamiento es de los propios datos. Esto es conocido como análisis de la velocidad y es la fuente de algunas de las medidas de velocidad tales como son las velocidades de apilamiento y de migración. La interpretación de las medidas de la velocidad que pueden ser convertidas a medidas de velocidades físicas es llamada inversión de velocidad. Para simplificar, considerar el caso de una propagación de onda P en una tierra homogénea (esto puede ser tratado similarmente para las ondas S. la medida de velocidad será definida por ambas relaciones matemáticas para la velocidad de onda P o para describir como puede ser derivada de datos sísmicos. Velocidad instantánea vins o solo v La velocidad instantánea generalmente se refiere a la velocidad de propagación de ondas sísmicas en la tierra. La palabra instantáneo se refiere a la velocidad de onda local como el desarrollo de la onda de un instante de tiempo a al siguiente próximo, el termino puede ser aplicado para cualquier tipo de onda (P,S, superficie, etc.), sin embargo aquí nos especializamos en las ondas P. Como muchas velocidades sísmicas, vins usualmente no es un vector cantidad a sí que no es una velocidad como los físicos utilizan el termino. Esto es una escalar el cual puede ser como la magnitud de un vector de velocidad. Para experimentación sísmica práctica vins debe ser reconocido para ser una función muy variable de posición en la tierra. En el caso más general de un medio anisotropico, esto depende de la dirección. Raramente puede ser asumida para ser constante pero a menudo hay significativas variaciones en una sola dirección. Este es comúnmente el caso de las cuencas sedimentarias donde la velocidad varía fuertemente con la profundidad pero solo débilmente en la dirección horizontal. Traveltime Vertical:  Dada una especificación completa de vins como una función de posición, vins (x, y, z), el traveltime sobre cualquier trazo puede ser computado. Desde que hay muchas Oscar Saavedra Morales

51

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. posibilidades de trazos entre dos puntos cualquiera. Esto es irrazonable para esperar que aquí exista una relación ambigua entre el traveltime y la profundidad. Como sea si un trazo especial es elegido, entonces esta relación puede ser desarrollada. Para este propósito es común relacionar la profundidad z , para el traveltime a lo largo de un trazo vertical de 0 a z . Este traveltime vertical es una cantidad útil, como primer punto es la coordenada de tiempo de las secciones de apilado final, es la coordenada de tiempo para las secciones de tiempo migrado. Ni siquiera vins es una función general de posición para el cálculo del traveltime vertical, este puede ser considerado como una función de una sola profundidad, por que el cálculo en cada (x,y) es independiente. Por lo tanto la velocidad instantánea será ahora escrita como vins (z ) , con el entendimiento que el cálculo puede ser realizado para todas las (x, y). Traveltime vertical es calculado considerando un pequeño intervalo de profundidad, dz sobre el cual vins puede ser considerada para ser aproximadamente constante. El traveltime vertical sobre este intervalo es simplemente

d 

dz vins (z )

3.1

Un traveltime de una forma total de la superficie a la profundidad z es simplemente la suma de pequeñas contribuciones. En el límite como dz  0 esto se convierte en la integral z

d~ z v (~ z) 0 ins

 ( z)  

3.2

La dependencia de z aparece como el límite superior de la integral mientras ~z es solo una falsa variable de integración. Definida en esta forma  (z ) es una función que incrementa automáticamente con z . Tanto que esto debe ser garantizado para tener una inversa. Así que dada  (z ) esto es posible para encontrar z ( ) y viceversa. La función  (z ) es llamada una curva tiempo profundidad y puede ser usada para encontrar la profundidad dado el traveltime vertical o la inversa. Continuando con la función de la velocidad universal de la ecuación 3.1 el traveltime vertical de la ecuación 3.2 llega a ser: d~ z 1 v0 cz d 1  cz     ln 1   ~ v0 v ( z ) c  c  v0  0 z

 ( z)  

3.3

Por lo tanto una variación lineal de la velocidad con la profundidad se rinde un logaritmo de curva tiempo-profundidad. Esto es solo un claro ejemplo para invertir la ecuación 3.3 para z ( ) obtiene:

Oscar Saavedra Morales

52

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. z ( ) 





v0 c e 1 c

3.4

Para el caso de la función de velocidad universal, las curvas  (z ) y z ( ) son mostradas en la figura 3.12 respectivamente. La grafica de z ( ) es solo la transpuesta de la gráfica de  (z ) .

Figura 3.12. La curva tiempo-profundidad La curva profundidad-tiempo

( ( z )) de la ecuación 5.4 para el caso de v 0 =1800m/s y c=.6/s

( z( )) de la ecuación 5.4 para el caso de v0  1800 m / sec y c  .6 sec 1

La velocidad instantánea vins como una función del traveltime vertical: vins ( ) En la sección anterior se ha mostrado que para cualquier localización (x, y) arreglada, cada profundidad z tiene un traveltime vertical único asociado con esta. Por lo tanto, vins la cual es físicamente una función de z pueda ser expresada como una función de  (z ) . Lo cual es:

vins ( )  vins ( z ( ))

3.5

Dada vins ( ) en la ecuación 3.1 una expresión para z ( ) sigue como: 





z ( )   vins ( )d 

3.6

0

Comparando las ecuaciones 3.2 y 3.6 muestran que el conocimiento de vins (z ) permite el computo de  (z )

y conociendo la vins ( ) permite el computo de z ( ) En

práctica vins (z ) podría ser obtenida directamente de un buen registro sónico, mientras que vins ( ) puede ser estimada del análisis de las velocidades de apilamiento. Oscar Saavedra Morales

53

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Para la función de la velocidad universal de la ecuación 3.1 el traveltime vertical resulta en la expresión logarítmica dada en la ecuación 3.3 y z ( ) es dada por la ecuación 3.4. Por lo tanto vins ( ) llega a ser:

v  vins ( )  vins ( z ( ))  v0  c  0 (e c  1) c 

3.7

La cual se reduce a

vins ( )  v0e c 3.8 Por lo tanto cuando vins es lineal con la profundidad esto es actualmente exponencial con el traveltime vertical. Para el caso de la función de la velocidad universal, vins ( ) es presentada en la figura 3.13

Figura 3.13 Para la función de velocidad universal la

vins es una función exponencial del traveltime

vertical.

Velocidad Promedio: v ave La definición industrial típica de v ave es que es una profundidad particular dividida por el traveltime vertical de la superficie a esa profundidad. Dada cualquier curva z ( ) , escoge un punto ( 0 , z0 ) y v ave es la pendiente de la línea conectando con el origen con el punto ( 0 , z0 ) mientras vins es la tangente a la curva en ese punto. Matemáticamente, v ave es expresada como:

Oscar Saavedra Morales

54

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

vave ( z ) 

z   ( z)



z

0

z dz vins ( z )

3.9

Mientras que la vave ( ) es vave ( ) 

z ( )





1





v  0

ins



( )d 

3.10

La ecuación 3.10 muestra que la velocidad promedio es solo un promedio matemático con respecto al traveltime vertical. Cuando considerada como una función de la profundidad, la velocidad promedio no es un promedio matemático. Para correr el ejemplo de la variación lineal de la velocidad con la profundidad, vave (z ) llega a ser: 3.11 y v ave ( ) es dada por:

3.12

Estas ecuaciones son graficadas en la figura 3.14 y 3.15

Figura 3.14.

v ave y vins son mostradas contra la profundidad para el caso de las funciones de

velocidad universal (ecuación 5.1) con Figura 3.15:

v 0 =1800 m/s y c  .6 sec 1 .

v ave y vins son mostradas contra el tiempo para el caso de las funciones de la velocidad

universal (ecuación 5.1) con

Oscar Saavedra Morales

v 0 =1800 m/s y c  .6 sec 1 .

55

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Velocidad Media: v mean Desde que v ave es un promedio matemático de vins sobre traveltime y no de la profundidad esto es útil para definir otra medida de la velocidad que es un promedio de la profundidad, la velocidad promedio, v mean es definida como; vmean ( z ) 

1 z vins ( ~ z )d~ z. z 0

3.13

Por la variación lineal de vins (z ) , vmean (z ) llega a ser: vmean ( z ) 

1 z v0  c~z  d ~z  v0  1 cz  0 z 2

3.14

Lo cual muestra que la velocidad media incrementa en la mitad del porcentaje de vmean (z ) . Por supuesto la vmean (z ) puede ser re expresada como una función de  sustituyéndolo z ( ) , resultando: v mean ( ) 

Oscar Saavedra Morales

56



v0 1  e c 2



Ingeniería en Control y Automatización

3.15

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

CAPITULO 4 ANALISIS DE ONDAS EN MATLAB

Oscar Saavedra Morales

57

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. 4.0. HERRAMIENTAS DE VELOCIDAD DE MATLAB En este punto, la discusión de las medidas de velocidad ha sido ilustrada con una velocidad instantánea, cuya forma es una función analítica conocida. Realmente las funciones de velocidad son intrínsecamente numéricas porque estas son derivadas de un experimento. La conversión de dichas velocidades numéricas de una forma a otra es a menudo necesario en el procesamiento de datos y herramientas de software son requeridos para este propósito. Dos enfoques alternos están propuestos (1) Ajuste las funciones de velocidad numérica con un orden polinomial n th y realice la integración necesaria usando reglas de integración polinomial, o (2) implemente un plan de integración numérico para las formulas de conversión; este último enfoque es el que tomamos en el presente proyecto. Cinco funciones están disponibles para convertir funciones de velocidad de una forma a otra, hay también una útil función de ploteo para dibujar líneas constantes.

v int 2t Computa el traveltime vertical dando la velocidad de intervalos contra la profundidad. v int 2vave Convierte la velocidad de intervalos a velocidad promedio. vave2v int Convierte la velocidad promedio a velocidad de intervalos. v int 2vrms Convierte de intervalos a velocidad rms. vrms2v int Convierte la velocidad rms a velocidad de intervalos. No se proporciona ninguna utilidad para tratar con velocidad instantánea puesto que esta puede ser tratada simplemente generando sutilmente una velocidad de intervalo comprobada. Como las trazas sísmicas, las funciones de velocidad son especificadas prescribiendo dos vectores, uno para las velocidades y otro para la profundidad o el tiempo que se apliquen. 4.1. Ley de Snell aplicada en Matlab La ley de Snell es una relación que gobierna los ángulos de reflexión y refracción de los frentes de ondas (o trazo de rayos equivalentes) en interfaces de velocidad. Para entender sus orígenes, considerar la figura 4.1 que muestra una onda plana periódica propagándose a través de una interface planar entre dos medios de velocidad v1 y v 2 . En el primer medio, la longitud de onda es 1  v1 f mientras que en el segundo medio esto es 2  v2 f . Mientras los frentes de ondas cruzan las interfaces, deben hacerlo en una manera continua, si no, los frentes de ondas en el segundo medio se adelantaran o se retrasaran en el primer medio. La única manera para los dos sistemas de frente de ondas para mantenerse constantemente a través de la interface y todavía tiene diferentes longitudes de onda, es para que tengan ángulos diferentes con respecto a la interfaz. La relación entre estos ángulos sigue una consideración de velocidad aparente. Suponga un arreglo de receptores fueron posicionados a lo largo de la interface. Entonces el requisito de la continuidad del frente de onda significa que 58 Oscar Saavedra Morales Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. la componente de la longitud de onda medida a lo largo de la interface debe ser la misma cuando es evaluada en cualquier medio. Desde que la frecuencia f no cambia (esta es una propiedad de la propagación de una onda lineal), la velocidad aparente medida a lo largo de la interfaz debe ser la misma en ambos medios. Trabajando con las coordenadas de giro (x’, z’) la velocidad aparente v x ' debe dar el mismo resultado cuando se valoro usando v1 y  como cuando se usa v 2 y  por lo tanto. v1x ' 

v1 v  v2 x '  2 sin  sin 

4.1

Este resultado es llamado la ley de Snell. Los ángulos involucrados en la ley de Snell pueden ser considerados como los ángulos entre el frente de onda y la interface o entre el trazo de rayos y la normal a la interface.

Figura 4.1 La ley de Snell resulta del requerimiento físico que la velocidad aparente a lo largo de una interfaz conserva.

En u medio acústico, cuando solo hay un medio de propagación de ondas, resulta que el Angulo de incidencia y el Angulo de reflexión son iguales. Sin embargo, en un medio elástico, las ondas incidentes y reflectadas pueden ser cualquiera tipo de onda P u onda S. por ejemplo en el caso de una onda P incidente, reflectando como una onda S, el estado de la ley de Snell.

sin  p sin   vp vs

4.2

Como un resumen final, estado de la ley de Snell que la propagación del frente de onda que cruza una interface de velocidad siempre conserva la velocidad aparente a lo largo de la interface.

Oscar Saavedra Morales

59

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. 4.2.0Trazo de rayo en un medio v(z ) Un medio v(z ) es uno donde  x v   y v  0 y todas las interfaces de velocidad son horizontales. En este caso la ley de Snell dice que la velocidad aparente horizontal del frente de onda asociado con el rayo es conservado. Usando la notación de la figura 2.14 esta debe permanecer para la interface j th como:

sin  j  1 sin  j  v j 1 vj

4.3

Así que todas las interfaces de velocidad son horizontales,  j   j , entonces

sin  j  1 sin  j  v j 1 vj

4.4

Este análisis debe ser repetido en cualquier otra interface con una conclusión similar. Por lo tanto la cantidad p  sin j v j es conservada desde el principio hasta el final en la propagación de onda de entrada. P es generalmente referida para los parámetros del rayo desde que es una constante única para cualquier rayo. La conservación de P y su identificación como la lentitud aparente horizontal es una consecuencia directa de la ley de Snell. Este análisis generaliza para una variación continua de v con z , por lo que:

P

sin( ( z ))  Una constante para cualquier rayo v( z )

Figura 4.2 En un medio v (z ) , todas las interfaces de velocidad son horizontales y la propagación del rayo es especialmente simple.

Oscar Saavedra Morales

60

Ingeniería en Control y Automatización

4.5

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Figura 6.15 Un elemento de un rayo diferencial Angulo  (z ) con respecto a la horizontal.

ds , en profundidad z está desplazando en un

Una expresión general para el traveltime y la distancia horizontal desplazada para cualquier rayo en un medio v(z ) puede ser fácilmente derivada. La figura 6.15 muestra un elemento diferencial de un rayo. De esta geometría obtenemos.

dx  tan( ( z ))dz dt 

ds dz  v( z ) v( z ) cos( ( z ))

4.6

4.7

La ley de Snell es incorporada para remplazar la función trigonométrica usando pv( z )  sin( ( z )) así que obtenemos:

pv( z )

dx 

dt 

1  p 2v 2 ( z)

dz

dz v( z ) 1  p 2 v 2 ( z )

4.8

4.9

Expresiones para trazo de rayos microscópicos son obtenidas simplemente integrando estos resultados. Para el desplazamiento de un rayo entre profundidades z1 y z 2 la distancia horizontal desplazada llega a ser:

x( p)  

z2

z1

pv( z ) 1  p 2 v 2 ( z)

dz

4.10

y el traveltime total es: z2

dz

z1

v( z ) 1  p 2 v 2 ( z )

t ( p)   Oscar Saavedra Morales

61

4.11 Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Dada una función de velocidad y un parámetro de rayo podemos computar exactamente la distancia horizontal (offset) y el traveltime para un rayo que se desplaza entre dos profundidades. La dificultad es que esto es usualmente deseado para trazar un rayo con un offset especifico y no hay una sola forma simple para determinar los parámetros del rayo que hará esto. Generalmente el proceso es interactivo. El offset producido por un arco de rayos es examinado con optimismo ya que dos valores p serán encontrados que soporten el offset deseado. Después un nuevo y refinado arco de rayos puede ser construido y el proceso repetido hasta que un rayo es encontrado que produzca el offset deseado dentro de la tolerancia especificada (llamado radio de captura). Si el medio v(z ) es discretamente separado en capas, algo que continuamente varia, entonces la forma de la suma de la ecuación 4.10 y 4.11 son más apropiadas. Esto es fácilmente ver ya que es: n

x( p )  

pvk

zk

k 1

1  p 2v 2k

n

zk

k 1

vk 1  p 2 v 2 k

t ( p)  

4.12

4.13

Figura 4.3 los parámetros del rayo pueden ser medidos directamente, esto es posible midiendo la demora o el retardo entre la llegada del frente de ondas en los receptores sucesivos.

Medición de los parámetros de rayo Dada una fuente sísmica, los parámetros del rayo para la próxima llegada de ondas en la propagación del receptor pueden ser estimados, midiendo la velocidad aparente Oscar Saavedra Morales

62

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. horizontal de cada onda. Como es mostrado en la figura 4.3, el ángulo emergente,  0 de un rayo arribando en un par particular de receptores es: sin  0 

v0 t r

4.14

Donde v 0 es la velocidad instantánea inmediatamente debajo de los receptores, r es el espacio entre receptores y t es el tiempo de retardo entre la llegada del frente de onda en r y r  r . Para el arribo en esta expresión, cualquier curvatura de frente de onda ha sido asumida para ser inconsecuencial en el sitio local de medición. De acuerdo a la ecuación 4.5 los parámetros del rayo están dados por  0 v0 , así que:

t 1 sin  0   p r v r v0

4.15

Donde v r es la velocidad aparente horizontal en la ubicación de la medida. Generalmente es esperado que p cambie de posición a causa de los cambios en el ángulo emergente y a causa de la variación lateral en la velocidad instantánea. Los eventos horizontales, las ondas desplazándose verticalmente cuando alcanza el arreglo de los receptores, tienen un parámetro de rayo de 0. Las ondas desplazándose horizontalmente a través del arreglo tiene parámetros de rayo de 1 v0 y una grafica sísmica (x, t) tiene la máxima pendiente posible. Ni siquiera los frentes de onda son verticales, la pendiente en la sección del tiempo no puede exceder de 1 v0 . Tomando la muestra en cuenta, el rango de los valores posibles para el parámetro del rayo es  v01  p  v01 . Esta inclinación máxima en el espacio (x, t) es una característica fundamental de una sección sísmica de tiempo. Asumiendo un valor para v 0 en el curso del procesamiento de datos significa que cualquier evento con pendientes mas empinadas que v 01 es interpretada como una no física y debe ser rechazada. Desde que las velocidades aparentes pueden también ser expresadas en el espacio (k x , f ) como f k x , este fenómeno significa que el espacio

(k x , f ) se divide en segmentos de regiones permitidas y prohibidas. 4.3. Trazos de rayo cuando v  v0  cz Esto no es difícil para ecuaciones integrales 4.10 y 4.11 para el caso de la velocidad instantánea que incrementa linealmente con la profundidad (función de la velocidad universal). Dejando v( z )  v0  cz , z=0, z=z, el resultado es igual a: x ( z, p ) 

Oscar Saavedra Morales



1 2 1  p 2 v02  1  p 2 v0  cz  pc

63



4.16

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. y 2 2 1   v0  zc   1  1  p v0  t ( z, p )  ln  c   v0  1  1  p 2 v0  cz 2  

    

4.17

Slotnick muestra que la ecuación 4.16 describe un arco de un circulo, teniendo 1 ( pc) de radio y centro en x0  1  p 2 v02 ( pc) y z0   v0 c . Por lo que la ecuación 4.16 describe un rayo como si fuera de 0 a la profundidad z . Puesto que la velocidad esta siempre incrementándose en este caso, los Angulo de la ley de Snell son siempre obtenidos más largos como un rayo más profundo. Eventualmente el rayo se atenúa, cuando  ( z)  sin 1 ( pv( z ))  90 , y da vuelta hacia arriba. Por lo tanto, la profundidad en la cual un rayo toca fondo, llamado turning point es obtenido de: z max 

1 pv0 pc

4.18

La trayectoria de rayo completa para un rayo que alcanza su turning point y después regresa a la superficie debe tener dos valores de x para cada z , así que la función x(z ) es un valor doblemente matemático. De cualquier manera z(x ) está todavía solo valorado así que el trazo de rayo completo computado lo más fácil posible solucionando la ecuación 4.16 que para z queda como: z



1 2 1  pcx  cos  0   pv0 pc



4.19

Figura 4.4 Una selección de trazos de rayos es mostrada para la función de la velocidad universal de la figura6.1. El código6.11.1 crea este grafico.

Oscar Saavedra Morales

64

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Figura 4.5. Una serie de frentes de ondas asociada con trazos de rayos de la figura 4.3. Esto fue creado con el código 4.1.

El fragmento del código implementa la ecuación 4.19 para crear el despliegue la trayectoria del rayo mostrada en la figura 4.4. Este código establece un rango de distancia horizontal y unas series de ángulos de disparo en las líneas 1-3 del código. Después bucleando sobre los rayos deseados, es calculada una profundidad para cada elemento del vector x . Independientemente del resultado, muchos de estos rayos no cubrirán el rango completo de x . La ecuación 4.19 regresa un número complejo para una distancia x que no puede ser alcanzada por un rayo particular. Las líneas 11-14 del código buscan para estos puntos y sustituyen sus profundidades con NaN . También el código genera valores z que son negativos así que las líneas 15-18 del código fijan esto para NaN . La flexión del rayo en la figura 4.4 es mucho más realista que un simple cálculo de velocidad constante usando rayos derechos. La energía de una fuente sísmica no puede penetrar grandes profundidades porque es girada por el efecto de refracción. Todas las trayectorias de rayos son obviamente arcos circulares cuyos centros se mueven a la derecha como disminuyan los parámetros del rayo. Código 4.1 Este código implementa la ecuación 4.19 y hace la figura 4.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

x=1:50:35000; vo=1800;c=.6;nrays=10; thetamin=5;thetamax=80; deltheta=(thetamax-thetamin)/nrays; zraypath=zeros(nrays,length(x)); for k=1:nrays theta=thetamin+(k-1)*deltheta; p=sin(pi*theta/180)/vo; cs=cos(pi*theta/180); z = (sqrt( 1/(pˆ2*cˆ2) - (x-cs/(p*c)).ˆ2) -vo/c); ind=find(imag(z)˜=0.0); if(˜isempty(ind)) z(ind)=nan*ones(size(ind)); end ind=find(real(z)1); 68 Oscar Saavedra Morales Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

cs=sqrt(1-sn.*sn); vprop=v(iprop)*ones(1,length(p)); thk=abs(diff(z))*ones(1,length(p)); if(size(sn,1)>1) x=sum( (thk.*sn)./cs); t=sum(thk./(vprop.*cs)); else x=(thk.*sn)./cs; t=thk./(vprop.*cs); end %assign infs if(˜isempty(ichk)) x(pchk)=inf*ones(size(pchk)); t(pchk)=inf*ones(size(pchk)); end

Fin del Código El trazo del rayo es completado en las líneas 9 a la 15 y una declaración if es usada para manejar el caso de una sola capa. Usando las matrices m x n thk , sn, cn , la línea 10 computa la ecuación 6.58 usando el operador.* para la expresión de forma pvkzk / 1  p 2 vk2 como una matriz m x n . Después como se discutió en la sección 4.8, la función sum es usada para completar la suma discreta que aproxima la integral en la ecuación 4.11. Cuando aplicamos a una matriz, sum, esta produce un vector fila que es la suma da cada columna de la matriz. Este comportamiento determina la construcción de las matrices m x n con p constante en cada columna. La declaración if es requerida para el caso de una sola capa también para el comportamiento de sum . Si hay una sola capa, entonces las matrices m x n serán todos vectores fila 1 x n . Cuando se da un vector fila, sum les agrega entradas para obtener un solo valor en lugar de agregar columnas de longitud 1. La declaración if evita este comportamiento omitiendo completamente sum en el caso de una sola capa. El paso final, la línea17 a la 20 asigna inf para estos valores no físicos que fueron marcados anteriormente en la línea 5. La función shootray no checa para la consistencia de las entradas para asegurar que v y z son vectores columna y p es un vector fila. También, a esto le falta flexibilidad para indicar el inicio e y el final de las profundidades y siempre dispara los rayos de z (1) a z(end ) . Rayfan traza rayos con el mismo esquema como shootray pero incorpora comprobaciones de error y permite el inicio y el final de las profundidades para ser especificados. Esto hace a rayfan mas fácil de usar, pero más lento. Shootray es planeado para ser usado con un esquema de trazado más largo mientras rayfan es más fácilmente usado de líneas de comando.

Oscar Saavedra Morales

69

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Las funciones de trazo de rayos de dos puntos, traceray_pp, traceray_ps, y traceray, todas trabajan similarmente con un esquema interactivo participando con múltiples llamadas a shootray. Loscódigosestán muy intrincados y no serán desplegados. Traceray_pp y traceray_ps son construidos para trazar reflexiones primarias y nada más. Tarceray es más general y puede trazar un rayo arbitrario que tiene múltiples límites (reflexiones) y conversiones de modo. Los tres códigos utilizan esquemas similares de construcción de construcción un modelo equivalente que permita a los problemas ser dirigidos disparando rayos en una sola dirección. Por ejemplo. El problema de reflexión PP requiere un rayo para ser remontado abajo a través de una serie de capas para una profundidad específica y después que regrese a la superficie otra vez, sin embargo casi la misma serie de capas (esta será exactamente la misma serie si la profundidad de las fuentes y receptores es la misma). En lugar del problema de los dos puntos, un problema de una sola manera es aplicado para determinar las capas de la parte superior y localizarlas debajo del reflector en el orden que ellos son encontrados (figura 4.7). Las capas conteniendo la fuente, el receptor y reflector son ajustados en grosores que shootray puede ser usado para trazar rayos de z (1) a z(end ) .

Figura4.7 (A) Una reflexión P-P entre una fuente y un receptor en profundidades diferentes. (B) El trazo de rayo de una forma equivalente para el rayo de dos formas, mostrado en (A). La línea rayada es el reflector en ambos casos. (1)

Un encodado equivalente puede ser siempre construido para un rayo que cambie modo (entre P y S) y que tome cualquier número de limites extras. En el caso anterior, el encodado equivalente simplemente debe usar las velocidades correctas. En el último caso el acodado equivalente puede contener muchas repeticiones de una sección. Este es un esquema simple par computar cualquier rayo en v(z ) . Las funciones de trazo de rayos de dos puntos pueden todas trazar rayos de un solo punto de inicio para múltiples receptores la vez. Esto es, que serán sectorizados para producir ganancias de fuente simple. Aunque, la profundidad de la fuente no necesita Oscar Saavedra Morales

70

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. igual profundidad del receptor, si los múltiples receptores están especificados, todos estos deben estar en la misma profundidad. Esto significa que las geometrías como la de un perfil sísmico vertical deben ser manejados llamando el trazador de rayos separadamente para cada profundidad del receptor. Los tres programas repiten hasta que los receptores tienen un trazo de rayo dentro del radio de captura de su posición o hasta un número máximo de interacciones es alcanzado. Un radio de captura es el radio de un circulo imaginario de cada receptor lo cual, si un rayo cae dentro de este, es considerado bastante bueno para el receptor. Si la banderilla optflag es puesta para 1, entonces el traveltime actual y el parámetro del rayo están directamente interpolados entre el rayo capturado y el siguiente más cerca. Si optflag es cero, entonces el rayo capturado es usado directamente.

El código 4.4 Exhibe el uso de traceray_pp y traceray_ps para modelar reflexiones PS y PP con la función de velocidad universal como el medio de fondo. Los resultados son mostrados en la figura 4.8 y 4.9. (1)

Figura 4.8: Una reflexión PP es mostrada para un medio fondo de v p ( z )  1800  .6zm / s. Figura 4.9: Una reflexión PS es mostrada para un medio de fondo de v s ( z )  900  .3z. La línea 1 define los modelos de la velocidad de v p y v s con un v p v s de 2. Líneas 2 y 3 establecen la geometría básica de la fuente, receptor y reflector. El radio de captura es fijado al 10% del espaciamiento del receptor y el número máximo de interacciones es fijado a 4 el cual es adecuado para los medios atenuados. La llamada a traceray_pp esta en la línea 7 y el parámetro final dflag manda al programa dibujar los rayos dentro de la ventana de la figura actual. Las líneas 9 y 10 dibujan símbolos indicando la fuente y el receptor y la línea 12 plotea el traveltime en la mitad inferior de la figura. Las líneas15 a la 22 son muy similares, excepto que traceray_ps es llamada para crear una reflexión P-S. Una reflexión P-S podría ser creada invirtiendo el orden de los argumentos de la velocidad (p.e. traceray_ps (vs,Zs,vp,zp…)). Similarmente una Oscar Saavedra Morales

71

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. reflexión S-S puede ser modelada usando traceray_pp y abasteciéndolo con las funciones de velocidad de onda-S. Código 4.4. Este código ejemplifica una reflexión P-P y P-S en un medio gradiente lineal. Esto crea las figuras 4.8 y 4.9.

1 2 3 iter 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

zp=0:10:4000;vp=1800+.6*zp;vs=.5*vp;zs=zp;% velocity model zsrc=100;zrec=500;zd=3000;%source receiver and reflector depths xoff=1000:100:3000;caprad=10;itermax=4;%offsets, cap radius, and max pfan=-1;optflag=1;pflag=1;dflag=2;% default ray fan, and variousflags % create P-P reflection figure;subplot(2,1,1);flipy; [t,p]=traceray_pp(vp,zp,zsrc,zrec,zd,xoff,caprad,pfan,itermax,optflag,... pflag,dflag); title([’Vertical gradient simulation, P-P mode zsrc=’ ... num2str(zsrc) ’ zrec=’ num2str(zrec)]) line(xoff,zrec*ones(size(xoff)),’color’,’b’,’linestyle’,’none’,’marker’,’v’) line(0,zsrc,’color’,’r’,’linestyle’,’none’,’marker’,’*’) grid;xlabel(’meters’);ylabel(’meters’); subplot(2,1,2);plot(xoff,t);grid; xlabel(’meters’);ylabel(’seconds’);flipy % P-S reflection figure;subplot(2,1,1);flipy; [t,p]=traceray_ps(vp,zp,vs,zs,zsrc,zrec,zd,xoff,caprad,pfan,itermax,... optflag,pflag,dflag); title([’Vertical gradient simulation, P-S mode zsrc=’ ... num2str(zsrc) ’ zrec=’ num2str(zrec)]) line(xoff,zrec*ones(size(xoff)),’color’,’b’,’linestyle’,’none’,’marker’,’v’) line(0,zsrc,’color’,’r’,’linestyle’,’none’,’marker’,’*’) grid;xlabel(’meters’);ylabel(’meters’); subplot(2,1,2);plot(xoff,t);grid; xlabel(’meters’);ylabel(’seconds’);flipy;

Fin del Código

Oscar Saavedra Morales

72

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Aplicación del método. Como un ejemplo final para demostrar la herramienta utilizada para el trazo de rayos, consideramos el cálculo de P y S para múltiples fuentes. Los datos específicos son: un rayo P de profundidad 0 a 1000 m. En 1000 m este se convierte en un rayo S y viaja de regreso hasta 800 m y después retrocede a 1000 m, mientras que es restado un rayo S. En la segunda reflexión en 1000 m se convierte en un rayo P y viaja hasta 100 m donde termina. Lo siguiente es meter a nuestro sistema el código de lenguaje en Matlab que nos permita definir las profundidades y las formas del trazo de rayo. Considerando que un código de rayo para esta aplicación la cargamos al sistema como una matriz nx2. Código 4.5: Hay una demostración del uso de traceray para computar trayectorias de múltiples límites y múltiples modos. Este código crea las figuras 4.10 y 4.11.

1 zp=0:10:4000;vp=1800+.6*zp;vs=.5*vp;zs=zp; 2 xoff=1000:100:3000; 3 caprad=10;itermax=4;%cap radius, and max iter 4 pfan=-1;optflag=1;pflag=1;dflag=2;% default ray fan, and various 5 6 raycode=[0 1;1500 1;1300 1;2000 1;1800 1;3000 1;2000 1;2300 1;1000 1; 1500 1; 0 1]; 7 figure;subplot(2,1,1);flipy 8 [t,p]=traceray(vp,zp,vs,zs,raycode,xoff,caprad,pfan,itermax,optflag,pflag,dflag); 9 title(’A P-P-P-P-P-P-P-P-P-P mode in vertical gradient media’); 10 xlabel(’meters’);ylabel(’meters’) 11 line(xoff,zeros(size(xoff)),’color’,’b’,’linestyle’,’none’,’marker’,’v’) 12 line(0,0,’color’,’r’,’linestyle’,’none’,’marker’,’*’);grid 13 subplot(2,1,2);plot(xoff,t); 14 grid;flipy;xlabel(’offset’);ylabel(’time’) 15 16 raycode=[0 1;1500 2;1300 2;2000 2;1800 2;3000 1;2000 1;2300 1;1000 1; 1500 2; 0 1]; 17 figure;subplot(2,1,1);flipy 18 [t,p]=traceray(vp,zp,vs,zs,raycode,xoff,caprad,pfan,itermax,optflag,pflag,dflag); 19 title(’A P-S-S-S-S-P-P-P-P-S mode in vertical gradient media’); 20 xlabel(’meters’);ylabel(’meters’) 21 line(xoff,zeros(size(xoff)),’color’,’b’,’linestyle’,’none’,’marker’,’v’) 22 line(0,0,’color’,’r’,’linestyle’,’none’,’marker’,’*’);grid 23 subplot(2,1,2);plot(xoff,t); 24 grid;flipy;xlabel(’offset’);ylabel(’time’) Oscar Saavedra Morales

73

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. Fin del Codigo

Figura 4.10: Un rayo múltiple y complicado es mostrado que permanece un rayo P en todas partes. Figura 4.11: Un rayo complicado es mostrado que convierte atrás y delante de P a S como su límite.

Resultados: Este cálculo puede es realizado con traceray y es mostrado en el código 4.6. La idea clave aquí es para usar un código de rayo que defina las profundidades y los tipos de modo de las diferentes partes del trazo del rayo. con la primera columna siendo una lista de profundidades y la segunda conteniendo cualquiera 1 entero (onda-P) o 2(onda-S). La matriz formada para este código [0 1; 1000 2;800 2;1000 1;100 1] La entrada final en la columna dos es sin sentido. El código 4.6 muestra esta facilidad creando un rayo P de límite múltiple complicado (no conversiones de modo) en la línea 8 y un rayo multimodo en la línea 17. En las figuras plasmada se muestra las diferentes trayectorias seguidas por las ondas S y P, así como los diferentes modos de reflexión conseguidas en estos trazos. También podemos ver claramente la dispersión del rayo desde la fuente o foco y como se dispersa un abanico de rayos con características similares en sus trazos y recorridos.

Oscar Saavedra Morales

74

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. CONCLUSIONES Los códigos planteados y desarrollados para los ejercicios del presente trabajo, nos permiten observar en los gráficos obtenidos, la trayectoria de un abanico de rayos desde la fuente, hasta su regreso a los puntos de recolección (Geófonos), así como sus puntos de reflexión. Los resultados proporcionan información de velocidades adquiridas en toda su trayecto, por los frentes de onda generados en los puntos de disparo, de esta manera al conocer las velocidades podemos determinar a qué profundidades se reflectan estos frentes de onda; además si conocemos las velocidades de reflexión, podemos conocer el medio de desplazamiento, que resulta lo más interesante en este estudio. Es muy importante señalar que el estudio realizado se basa únicamente en el análisis de un punto de disparo y por consiguiente solo podremos trabajar con esta herramienta con un frente de ondas a la vez, lo que representa una limitante, ya que un estudio sísmico comprende un extenso arreglo de geófonos tendidos en grandes extensiones. Sin embargo, esta limitante se puede compensar comparando la calidad de los resultados del frente de ondas, con el alto costo que implica la adquisición de un software tan sofisticado como los usados en la Industria.

Oscar Saavedra Morales

75

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. BIBLIOGRAFIA BAUER, J. (1981). Guía básica de los minerales. Omega, Barcelona. BERRY, L.G.; MASON, B. & DIETRICH, R.V. (1983). Mineralogy. Freeman, San Francisco. GARY F MARGRAVE in Matlab (NMES) 1

Numerical Methods of Exploration Seismology with algorithms

Deriva Continental y Tectónica de Placas (1976). 268p. H. Blume Ediciones, Madrid. MARESCH, W., MEDENBACH, O. & TROCHIM, H.D. (1990): Rocas. 287 páginas, Blume (editorial). MELENDEZ B. & FUSTER J. (2003): Geología. - 911 páginas; 9º edición; Thomson Editores, Madrid, España.

OROZCO, M., AZAÑÓN, J, AZOR, A. & ALONSO-CHAVES, F (2004): Geología Física.- 302 páginas, 2da. Edición; Thomson Editores, Madrid, España.

ROGERS, 446

J.W. & ADAMS, A.S. (1969): páginas, Ediciones

SIMONS ROBINSON, E. (1990): 699páginas, Editorial Limusa (México).

Fundamentos Omega

Geología

de

la geología. (Barcelona).

Física

Básica.

STRAHLER, A. (1992): Geología Física.- 629 páginas; Omega Ediciones, Barcelona. WATT, A. (1986): Diccionario Ilustrado de la Geología Everest. 208 páginas; Editorial Everest, Madrid. DEER, W.A.; HOWIE, R.A. & ZUSSMAN, J. (1963). Rock Forming Minerals. John Wiley and Sons, New York. HURLBUT, C.S. & KLEIN, C. (1993). Manual of Mineralogy. John Wiley and Sons, New York. McClay, K. (1987): The mapping of Geological Structures.-161 páginas, Geological Society of London- Handbook Series; Ed. John Wiley & Sons; New York, Toronto. RICHTER, C. (1958), Elementary Seismology. W. H. Freeman y Co., EUA.

Oscar Saavedra Morales

76

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. BULLEN, K. (1963), An Introduction to the Theory of Seismology. Tercera edición. Cambridge Univ. Press, G. B. AKI, K, Y P. RICHARDS (1980), Quantitative Seismology. W. H. Freeman y Co., EUA. UDÍAS, A. (1971), Introducción a la sismologia y estructura interna de la Tierra. Taller del I. G. y C., Madrid, España. GRANT, F., Y G. WEST (1965), Interpretation Theory in Applied Geophysics. McGrawHill Co., EUA. BURRIDGE, R. (1976), Some Mathematical Topics in Seismology.Universidad de Nueva York, EUA. BRACEWELL, R. (1965), The Fourier Transform and Some of its Applications. McGraw-Hill Book Co., EUA. TSAI, Y, Y K. AKI (1970), "Precise focal depth determination from amplitude spectra of surface waves". J. Geophys. Res., vol. 75, pp. 5729-5743. GILBERT, F. (1970), "Excitation of normal modes of the Earth by earthquake sources". Geophys. J. R. astr. Soc., vol. 22, pp. 223-226. GILBERT, F., Y A. DZIEWONSKI (1975), "An application of normal mode theory to the retrieval of structural parameters and source mechanism from seismic spectra". Phil. Trans. Roy. Soc., vol. A278, pp. 187-269. CRUZ, G., Y M. WYSS (1983), "Large earthquakes, mean sea level, and tsunamis along the Pacific coast of Mexico and Central America". Bull. Seism. Soc. Amer., vol. 73, pp. 553-570.

Oscar Saavedra Morales

77

Ingeniería en Control y Automatización

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab. GLOSARIO

Anisotropico: Medio con características diferentes. Bucle: Un bucle o ciclo, en programación, es una sentencia que se realiza repetidas veces a un trozo aislado de código, hasta que la condición asignada a dicho bucle deje de cumplirse. Dromacrona: El diagrama de espacio-tiempo con los tiempos de llegada de las ondas sísmicas refractadas Etatigrafico: Medio de la tierra con diferentes capas, de propiedades diferentes entre ellas. Isotropico: Medio con características iguales. Traveltime: Desplazamiento contra tiempo de un frente de ondas. Trigger: Cable conectado apropiadamente a la fuente sísmica, de tal manera que en el instante en que se golpea el suelo con el martillo o cuando la carga explosiva es detonada, el sistema de registro empieza a grabar Rayfan: Función de que dispara un abanico de rayos dando sus parámetros de rayo para v(z ) Rayfan_a: Función similar a rayfan pero los rayos son especificados por Angulo. Shootray : Función similar a rayfan pero con menos errores de comprobación (mas rápido) Traceray_pp : Función que traza una reflexión P-P (o S-S) para v(z ) Traceray_ps: Función que traza una reflexión P-S (o S-P) para v(z ) . Traceray: Función que traza un rayo arbitrario dando su código de rayo par v(z ) . Drawray: Función que plotea rayos dando sus parámetros de rayo.

Oscar Saavedra Morales

78

Ingeniería en Control y Automatización