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Instituto Tecnológico de Aguascalientes.

Ingeniería Industrial

Estadística Inferencial II

Duron López Luz Andrea Flores Reyes Gilberto

Profr. MESC Felipe de Jesús Gándara González

Problemario unidad II.

Aguascalientes, Ags. 4 Octubre 2016.

1. Un fabricante está interesado en la resistencia a la tensión de una fibra sintética. Se sospecha que la resistencia está relacionada con el porcentaje de algodón en la fibra. para investigar esto, se emplean 5 niveles de porcentaje de algodón, y se corren 5 réplicas en orden aleatorio; con ello se obtienen los datos siguientes: Porcentaje de algodón 15 20 25 30 35

1

2

Observaciones 3

4

5

7 12 14 19 7

7 17 18 25 10

15 12 18 22 11

11 18 19 19 15

9 18 19 23 11

a) Los 5 porcentajes de algodón tienen las mismas observaciones con un α=5%. X=Porcentaje de algodón Y=Resistencia a la tensión Niveles: 5 Replicas: 5 Fuente Entre grupos Intra grupos Total (Corr.)

Tabla ANOVA para resistencia por porcentaje algodón Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P 475.76 4 118.94 14.76 0.0000 161.2 20 8.06 636.96 24

H0:M1=M2=M3=M4=M5 H: MI1≠M2≠M3≠M4≠M5 RECHAZAR Ho si valor –P < a 0.000valor-p Con un nivel de confianza del 95% y con los datos de la tabla puedo asegurar que NO rechazo Ho, porque el valor de a de 0.05 es menor al valor P de 0.919766, o sea que los 3 porcentajes de algodón tienen la misma varianza, los datos son confiables para tomar decisiones.

2. Se estudia la resistencia a la compresión del concreto, así como cuatro técnicas de mezclado diferentes. Del estudio se obtienen los siguientes datos: Técnica de mezclado

Resistencia a la compresión (lb/pulg2)

1

3129

3000

2865

2890

2

3200

3300

2975

3150

3

2800

2900

2985

3050

4

2600

2700

2600

2765

a) Define: Variable de respuesta, Factor (variable independiente), Niveles de factor, Tratamientos y Replicas. Variable de respuesta: Resistencia a la comprensión Factor (Var. Independiente): Técnica de mezclado Tratamientos: 4 Replicas: 4 H0 (μ1= μ2= μ3= μ4= μ5=): La técnica de mezclado no afecta en la resistencia a la compresión del concreto. H1 (μ1≠ μ2≠ μ3≠ μ4≠ μ5≠): La técnica de mezclado si afecta a la resistencia a la compresión del concreto Rechazar H0 si Valor-P < α. Tabla ANOVA para Resistencia a la compresión por Técnica de mezclado Fuente

Suma de Cuadrados

Gl

Cuadrado Medio Razón-F

Entre grupos

489740.

3

163247.

Intra grupos

153908.

12

12825.7

Total (Corr.)

643648.

15

12.73

Valor-P 0.0005

Debido al resultado de que Valor-P = 0.0005 < 0.05 es verdadero, rechazo H0 y tomo H1 , por lo cual con un nivel de confianza del 95% llego a la conclusión de que la técnica de mezclado si afecta a la resistencia a la compresión del concreto. b) Estime la media general y la media de cada tratamiento. Tabla de Medias para Resistencia a la compresión por Técnica de mezclado con intervalos de confianza del 95.0%

Nivel 1 2 3 4 Total

Casos 4 4 4 4 16

Error Est. Media (individual) 2971.0 60.2785 3156.25 67.9882 2933.75 54.1362 2666.25 40.4853 2931.81

Límite Inferior 2779.17 2939.88 2761.46 2537.41

Límite Superior 3162.83 3372.62 3106.04 2795.09

Con un nivel de confianza del 95% tengo la evidencia necesaria para reforzar mi toma de decisión en la prueba de hipótesis ya que observo que ciertamente hay una diferencia muy significativa entre las técnicas de mezclado que supera las 100 unidades entre ellas, por lo que sigo afirmando que si afecta la técnica de mezclado. c) Pruebe todos los pares de medias empleando la prueba de rangos múltiples de Duncan. Método: 95.0 porcentaje Duncan Nivel Casos Media Grupos Homogéneos 4 4 2666.25 X 3 4 2933.75 X 1 4 2971.0 X 2 4 3156.25 X Contraste Sig. Diferencia 1-2 * -185.25 1-3 37.25 1-4 * 304.75 2-3 * 222.5 2-4 * 490.0 3-4 * 267.5 * indica una diferencia significativa . En base a las pruebas de múltiples rango de Duncan puedo observar que existen 5 pares de medias de 6 posibles con una significante diferencia y 3 grupos homogéneos por lo que me reafirma mi rechazo de H0 , por tanto la técnica de mezclado si afecta la resistencia a la compresión del concreto.

d) Aplique la prueba de Bartlett para probar la igualdad de varianzas de los tratamientos. H0: σ12 = σ22 = σ32 = σ42 (Las cuatro técnicas de mezclado tienen la misma varianza, por lo que mis datos son confiables para la toma de decisiones). H1: σ12 ≠ σ22 ≠ σ32 ≠ σ42 (Las cuatro técnicas de mezclado no tienen la misma varianza). Rechazar H0 si Valor P < α. Verificación de Varianza Prueba Valor-P de 1.0698 0.870475 Bartlett 7 Con un nivel de confianza del 95% tengo la evidencia necesaria de que 0.870475 < 0.05 es falso, por lo tanto no rechazo H0 y me quedo con ella, por lo que concluyo que las cuatro técnicas de mezclado tienen la misma varianza, así que mis datos son confiables para tomar decisiones.

3. Se realizó un experimento para determinar el efecto de las burbujas de aire sobre la resistencia del asfalto. Para fines del experimento, las burbujas de aire controlan en tres niveles: bajo (2-4 %), medio (4-6%) y alto (6-8%). Los datos obtenidos aparecen en la siguiente tabla: Burbujas de aire Baja 106 Media 80 Alta 78

Resistencia del asfalto 90 69 80

103 94 62

90 91 69

79 70 76

88 83 85

92 87 69

95 83 85

a) Define: Variable de respuesta, Factor (variable independiente), Niveles de factor, Tratamientos y Replicas. Y=Resistencia al asfalto X= Nivel de burbujas de aire Replicas: 8 Tratamientos: 3 𝐻0 : μ1= μ2= μ3 la resistencia al asfalto es igual en todos los niveles 𝐻1 : μ1≠ μ2≠ μ3 la resistencia al asfalto es diferente en todos los niveles Tabla ANOVA para RESISTENCIA AL ASFALTO por BURBUJAS DE AIRE Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P Entre grupos 1230.25 2 615.125 8.30 0.0022 Intra grupos 1555.75 21 74.0833 Total (Corr.) 2786.0 23

RECHAZAR Ho si el valor P < α 0.0022valor P 0.05>0.9727 Con un nivel de confianza del 95% y con los datos que muestra la tabla de verificación de varianza , se asegura que NO se rechaza Ho, porque el valor de α de 0.05 es menor al valor de P de 0.97, o sea que la varianza de resistencia al asfalto dentro de cada uno de los 3 niveles de burbujas de aire es la misma, los datos son confiables para tomar decisiones.

4. Una fábrica de hilados tiene un gran número de telares. se supone cada telar produce la misma cantidad de prendas por minuto. Para investigar esta hipótesis se escogen al azar cinco telares, y se mide en tiempos distintos la cantidad de prendas que producen. Con ello se obtienen los siguientes datos: Telar 1 2 3 4 5

Salida ( lbs / min ) 4.0 4.1 3.9 3.8 4.1 4.2 3.6 3.8 3.8 3.6

4.2 3.9 4.1 4.0 3.9

4.0 4.0 4.0 3.9 3.8

4.1 4.0 3.9 3.7 4.0

a) Define: Variable de respuesta, Factor (variable independiente), Niveles de factor, Tratamientos y Replicas. Variable de respuesta: Cantidad de prendas Factor (Var. Independiente): Telar Tratamientos: 5 Replicas: 5 H0 (μ1= μ2= μ3= μ4= μ5=): El telar NO influye en la cantidad de prendas producidas por minuto. H1 (μ1≠ μ2≠ μ3≠ μ4≠ μ5≠): El telar SI influye en la cantidad de prendas producidas por minuto. Tabla ANOVA para CANTIDAD PRENDAS por TELAR Fuente

Suma de Cuadrados

Gl

Cuadrado Medio

Razón-F

Valor-P

Entre grupos

0.3416

4

0.0854

5.77

0.0030

Intra grupos

0.296

20

0.0148

Total (Corr.)

0.6376

24

Rechazar H0 si Valor P < α 0.0030 < 0.05 Con un nivel de confianza del 95% tengo la evidencia para rechazar H0 puesto que el valor P de la tabla ANOVA de 0.0030 es menor al valor α de 0.05, por lo que el telar si influye en la cantidad de prendas producidas por minuto.

b) Estime la media general y la media de cada tratamiento. Tabla de Medias para CANTIDAD PRENDAS por TELAR con intervalos de confianza del 95.0% Error Est. TELAR

Casos

Media

(s agrupada)

Límite Inferior

Límite Superior

1

5

4.08

0.0544059

3.99975

4.16025

2

5

3.92

0.0544059

3.83975

4.00025

3

5

4.06

0.0544059

3.97975

4.14025

4

5

3.8

0.0544059

3.71975

3.88025

5

5

3.82

0.0544059

3.73975

3.90025

Total

25

3.936

Con un nivel de confianza del 95% tengo la evidencia para reforzar la toma de decisión hecha anteriormente en la tabla ANOVA de rechazar H0, ya que en la tabla de medias puedo observar que efectivamente el telar influye en la cantidad de prendas producidas.

c) Pruebe todos los pares de medias empleando la prueba de rango múltiple de Duncan con un nivel de a=0.05. Pruebas de Múltiple Rangos para CANTIDAD PRENDAS por TELAR Método: 95.0 porcentaje Duncan TELAR Casos Media 4 5 3.8

Grupos Homogéneos X

5 2

5 5

3.82 3.92

X XX

3 1

5 5

4.06 4.08

X X

Contraste 1-2 1-3 1-4 1-5 2-3 2-4 2-5 3-4 3-5 4-5

Sig.

Diferencia

*

0.16 0.02 0.28

*

* *

0.26 -0.14 0.12 0.1 0.26 0.24 -0.02

* indica una diferencia significativa.

Con un nivel de confianza del 95% y realizando la prueba de múltiples rangos de Duncan, tengo la evidencia necesaria para afirmar que las medias de los telares son distintas con 2 grupos homogéneos, y en la comparación entre sus medias se tienen 4 diferencias significativas. Por lo que el telar si influye en la cantidad de prendas producidas por minuto. d) Aplicar la prueba de Bartlett para probar la igualdad de varianzas de tratamientos con α= 0.05 H0: σ2 1 = σ2 2 = σ2 3 =σ2 4=σ2 5:(Los telares tienen la misma varianza, por lo que los datos son confiables para tomar decisiones) H1: σ2 1 ≠ σ2 2 ≠ σ2 3 ≠ σ2 4≠σ2 5: (Los telares no tienen la misma varianza, por lo que los datos no son confiables para tomar decisiones) Rechazar H0 si Valor P < α 0.6323 < 0.05 Verificación de Varianza Prueba

Valor-P

de Bartlett

0.632342

1.15176

Con un nivel de confianza del 95% tengo la evidencia para no rechazar H0, ya que el valor α de0.05 es menor al Valor P de la prueba de Bartlett de 0.6323 por lo que los telares tienen la misma varianza y por lo tanto los datos son confiables para la toma de decisiones.

5. Se realizó un experimento para investigar la deposición del vapor de polisilicio a baja presión. El experimento se realizó en un reactor de gran capacidad de Sematech, en Austin, Texas. El reactor tiene varias posiciones para las pastillas, y se eligieron al azar cuatro de ellas. La variable de respuesta es la uniformidad en el espesor de la película. Se efectuaron tres réplicas del experimento, y se obtuvieron los datos siguientes: Posición de pastilla 1 2 3 4

Uniformidad 2.76 1.43 2.34 0.94

5.67 1.70 1.97 1.36

4.49 2.19 1.47 1.65

a) Define: Variable de respuesta, Factor (variable independiente), Niveles de factor, Tratamientos y Replicas. X= la posición de la pastilla Y= la uniformidad en el espesor de la película Replicas: 3 Nivel de factor:4 𝐻0 : μ1= μ2= μ3= μ4 la uniformidad en el espesor de la película es igual en todos lo niveles 𝐻1 : μ1≠ μ2≠ μ3 ≠ μ4 la uniformidad en el espesor de la película es igual en todos lo niveles Tabla ANOVA para UNIFORMIDAD por POSICION DE LA PASTILLA Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P Entre grupos 16.2198 3 5.40661 8.29 0.0077 Intra grupos 5.21747 8 0.652183 Total (Corr.) 21.4373 11

RECHAZAR Ho si el valor P < α 0.0077 valor –P 0.05>0.15639 Con un nivel de confianza del 95% tengo la evidencia para decir que NO rechazo Ho, ya que el valor de alfa de 0.05 es menor que el valor de P de 0.15639, quiere decir que la varianza de la uniformidad dentro de cada uno de los 4 niveles de la posición de la pastilla es la misma, los datos son confiables para tomar decisiones.

6. Se realizó un experimento para investigar los efectos de cuatro blanqueadores químicos sobre la brillantez de la pulpa. Estos blanqueadores se escogen al azar de una población muy grande de sustancias blanqueadoras. Los datos son los siguientes:

Sustancia química 1 2 3 4

Brillantez de la pulpa 77.199 74.466 80.522 79.306 79.417 78.017 78.001 78.358

92.746 81.914 91.596 77.544

76.208 80.346 80.802 77.364

82.876 73.385 80.626 77.386

a) Define: Variable de respuesta, Factor (variable independiente), Niveles de factor, Tratamientos y Replicas Variable de respuesta: Brillantez de la pulpa Factor (Var. Independiente): Sustancia química blanqueadora Tratamientos: 4 Replicas: 5 H0 (μ1= μ2= μ3= μ4= μ5=): La sustancia química blanqueadora NO influye en la brillantez de la pulpa H1 (μ1≠ μ2≠ μ3≠ μ4≠ μ5≠): =): La sustancia química blanqueadora SI influye en la brillantez de la pulpa . Tabla ANOVA para brillantes de pulpa por sustancia química Fuente

Suma de Cuadrados

Gl

Cuadrado Medio

Razón-F

Valor-P

Entre grupos

53.9821

3

17.994

0.75

0.5383

Intra grupos

383.991

16

23.9994

Total (Corr.)

437.973

19

Rechazar Ho si Valor P < α 0.5383 < 0.05 Con un nivel de confianza del 95% tengo la evidencia para no rechazar H0 puesto que el valor P de la tabla ANOVA de 0.5383 es mayor al valor α de 0.05, por lo que la sustancia química blanqueadora no influye en la brillantez de la pulpa. b) Estime la media general y la media de cada tratamiento. Tabla de Medias para brillantes de pulpa por sustancia química con intervalos de confianza del 95.0%

Error Est. sustancia química

Casos

Media

(s agrupada)

Límite Inferior

Límite Superior

1

5

80.699

2.19086

77.4149

83.9831

2 3

5 5

79.0946 82.0916

2.19086 2.19086

75.8105 78.8075

82.3787 85.3757

4

5

77.7306

2.19086

74.4465

81.0147

Total

20

79.9039

Con un nivel de confianza del 95% tengo la evidencia para reforzar la toma de decisión hecha anteriormente en la tabla ANOVA de no rechazar H0, ya que en la tabla de medias puedo observar que efectivamente no existe una diferencia significativa entre las medias por lo que la sustancia blanqueadora no afecta en la brillantez de la pulpa. c) Pruebe todos los pares de medias empleando la prueba de rango múltiple de Duncan con un nivel de a=0.05.

Pruebas de Múltiple Rangos para brillantez pulpa por sustancia quimica Método: 95.0 porcentaje Duncan Nivel Casos Media Grupos Homogéneos 4

5

77.7306

X

2

5

79.0946

X

1

5

80.699

X

3

5

82.0916

X

Contraste

Sig.

Diferencia

1-2

1.6044

1-3

-1.3926

1-4

2.9684

2-3

-2.997

2-4

1.364

3-4

4.361

* indica una diferencia significativa.

Con un nivel de confianza del 95% y realizando la prueba de múltiples rangos de Duncan, tengo la evidencia necesaria para afirmar que no existen diferencias significativas entre las medias de la sustancia blanqueadora, solo se tiene un grupo homogéneo, y en la comparación entre sus medias no se tienen diferencias significativas. Por lo que la sustancia blanqueadora no influye en la brillantez de la pulpa.

d) Aplicar la prueba de Bartlett para probar la igualdad de varianzas de tratamientos con α= 0.05 . H0: σ2 1 = σ2 2 = σ2 3 =σ2 4:(Las sustancias blanqueadoras tienen la misma varianza, por lo que los datos son confiables para tomar decisiones) H1: σ2 1 ≠ σ2 2 ≠ σ2 3 ≠ σ2 4: (Las sustancias blanqueadoras no tienen la misma varianza, por lo que los datos no son confiables para tomar decisiones) Rechazar H0 si Valor P < α 0.0008 < 0.05 Verificación de Varianza Prueba Valor-P de Bartlett

3.14357

0.000855292

Con un nivel de confianza del 95% tengo la evidencia para rechazar H0, ya que el valor α de 0.05 es mayor al Valor P de la prueba de Bartlett de 0.0008 por lo que las sustancias químicas tienen la misma varianza y por lo tanto los datos no son confiables para la toma de decisiones.