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• Cesar Vera

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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN Problema del valor frontera Ec . Diferencial de la forma : y ' ' =f ( x , y , y ' ) Condicióninicial ( CI ) : y ( x o )= y 0 Condición final ( CF ) : y ( x f ) = y f Método numérico=h Hallar los puntos intemedios= y1 , y 2 , …

 Método de diferencias finitas  Método del disparo

MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS Se usarán las siguientes fórmulas: y 'i=

y i+1− y i−1 2h

y ' 'i=

y i+1−2 y i + y i−1 2

h

Ejemplo1: Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria: y ”− y ’−2 y=0

con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e y(0.5)=0.283. considere h=0.1 ,hallar y(0.1) , y(0.2) , y(0.3) , y(0.4) Solución: y ”= y ’ +2 y x 0=0

x 1=0.1

x 2=0.2

y 1 =?

y 2 =?

y 0=0.1

x 3=0 .3 y 3=?

x 4=0.4 y 4 =?

Aplicando las fórmulas:

yrSub{size8{i} -y'rSub{size8{i} -2yrSub{size8{i} =0} {}# ital Par ~i=1:4{}# { yrSub{size8{i+1} -2yrSub{size8{i} +yrSub{size8{i-1} } over {hrSup{size8{2} } - { yrSub{size8{i+1} -yrSub{size8{i-1} } over {2h} -2yrSub{size8{i} =0{} }{ ¿ ¿ ¿

Reemplazando i=1, i=2, i=3, i=4

x 5=0.5 y 5=0.283

y 2 −2 y 1 + y 0

y 2− y 0

−2 y 1=0 2 h h y 3 −2 y 2 + y 1 y 3 − y 1 − −2 y 2 =0 2 2 h h y 4 −2 y 3 + y 2 y 4 − y 2 − −2 y 3=0 2 2h h y 5 −2 y 4 + y3 y 5− y 3 − −2 y 4 =0 2 2h h 2

−

Teniendo en cuenta que: y0=0.1, y5=0.283 y h=0.1 Se forma el siguiente sistema:

100 ( 0 .1 )−200 y 1 +100 y 2 +5 ( 0 .1 )−5 y 2 −2 y 1=0 100 y 1−200 y 2 +100 y 3 +5 y 1−5 y 3 −2 y 2 =0 100 y 2−200 y 3 +100 y 4 +5 y 2 −5 y 4 −2 y 3 =0 100 y 3−200 y 4 +100 ( 0 . 283 ) +5 y 3 −5 ( 0. 283 ) −2 y 4 =0 Ordenando, el sistema de ecuaciones queda así:

[

−202 95 0 0 105 −202 95 0 0 105 −202 95 0 0 105 −202

][ ] [ ] [ ] [ ] y1 y1 −10. 5 0 .1238 y2 y 0 = ⇒ 2 = 0 .1527 0 0 .1879 y3 y3 0. 2308 y 4 −26 . 885 y4

MÉTODO DEL DISPARO Ec . Diferencial de la forma : y ' ' =f ( x , y , y ' ) Condicióninicial ( CI ) : y ( x o )= y 0 Condición final ( CF ) : y ( b )=B Método numérico=h Hallar los puntos intemedios= y1 , y 2 , …

u=gleft(,u 'right)} {}# size12{uleft( rSub{size8{0} right)=urSub{size8{0} } {}#uleft(bright)=B{} }{ ¿ ¿ ¿

Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria: y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e y(0.5)=0.283. considere h=0.1. Solución.-

b=0 .5 B=0 . 283 B− y 0 0. 283−0 .1 s0= = =0 .366 b−x 0 0. 5−0 Luego debemos resolver el Problema de Valor Inicial: Mediante un cambio de variable tendremos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

y'=z z'=z+2 y y ( 0 )=0. 1 z ( 0 )=0.366 El cual lo resolvemos por Runge-Kutta de orden 4, como se puede ver en la siguiente tabla: Resultados mediante Runge-Kutta de orden 4:

Calculando una nueva pendiente aproximada s1:

Mediante interpolación lineal obtenemos la tercera pendiente s3: