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• vladimir

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PROBLEMA 3.H2 Distribuion de velocidad entre dos cilindros que giran

determinar Vθ (r) entre dos cilindros coaxiales de radios R y kR que giran con velocidades angulares Ω0 y Ω1 respectivamente. Supongase que el espacio comprendido entre dos cilindros esta ocupado por un fluido isotermico imcomprensible que se mueve con flujo laminar . • Ecuacion de movimiento de coordenadas cilindricas

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r θ θ θ + Vr ∂Vr θ + Vrθ ∂V + VrrVθ + Vz ∂V ) = − 1r ∂P + µ[ ∂∂r ( 1r ∂∂r (V θr)) + r12 ∂∂θV2θ + r22 ∂V + ∂∂ZV2θ ] + ρ%θ ρ( ∂V ∂T ∂θ ∂z ∂θ ∂r (1)

• Eliminando terminos

∂ 1 ∂ µ[ ∂r ( r ∂r (V θr))] = 0 (2)

• Resolviendo la ecuacion diferencial (variables separables y µ y cero son constantes se eliminan ya que no afectan a la ec. dif)

R

∂ (V θr)) = ∂θ (3) ∂( 1r ∂r

R

1 ∂ (V r ∂r)

θr) = C1 (4)

• Resolviendo la ecuacion diferencial ya que es de segundo orden (variables separables)

R

R

∂(V θr) = C1 r∂r (5)

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r V θ = C1 r2 + C2 (6) • Pasando la r del otro lado dividiendo y reduciendo terminos

V θ = C1 2r +

C2 r

(7)

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• condiciones de frontera

Vθ = Ω1 KR@r = KR

Vθ = Ω0 R@R = R • Sustituir las condiciones de fronteras en la ecuacion

Ω1 KR = C1 KR + 2

Ω0 R = C1 R2 +

C2 KR

C2 R

• despejar C1 de la ec. 1 de sustitucion de fronteras

C1 = (Ω0 R +

C2 2 ) R R

• sustituyendo en la ec. de Vθ

Vθ = − Ω0rRr = C2 ( Rr2 − 1r ) • Despejar C2

C2 =

Vθ −Ω0 r ( r2 − r1 ) R

• Sustituir la condicion de frontera Ω1 KR para r = kR

C2 =

Ω1 KR−Ω0 KR KR 1 2 − KR R

• Factorizando terminos

C2 =

Ω1 k2 R4 −Ω0 K 2 R4 K 2 R2 −R2

• Se hace la igualdad de C1 Y C2 2

C1 = 2Ω0 +

2C2 R2

= 2Ω0 +

2(KR)2 (Ω1 −Ω0 ) (KR)2 −R2

• Pasando del otro lado de la igualdad y eliminando terminos

C1 =

2R2 (Ω1 k2 −Ω0 ) (KR)2 −R2

• Sustituyendo C1 y C2 en Vθ

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K Ω1 −R ΩO Vθ 2r(R − 2((KR)2 −R2 )

K 2 R4 (Ω1 −Ω0 ) (−1) r((KR2 )−R2 )

• Eliminando terminos y factorizando

Vθ =

r(R2 Ω0 −K 2 R2 Ω1 ) R2 −K 2 R2

−

K 2 R4 (Ω0 −Ω1 ) r((R2 −K 2 R2 ))

• Obteniendo el resultado

Vθ =

1 (r(R2 Ω0 R2 (1−K 2 )

− R2 K 2 Ω1 ) −

K 2 R4 (Ω0 r

− Ω1 ))

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