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2.8 Distribución Marginal conjunta Probabilidad Marginal En el caso de una distribución bivariable (Una distribución con dos características), muchas de las veces solo se tiene interés en la distribución de probabilidades de variables individuales consideradas separadamente. No obstante, la distribución de probabilidades univariables de cada una de las variables individuales puede ser obtenida mediante la suma de las probabilidades conjuntas a través de filas o columnas de una tabla que represente las variables. Marginal: Comportamiento de una variable sin considerar otra. Para la variable aleatoria Y: • Px ( x ) ≡ P[ X = x ] = ∑∀y p xy ( x , y i ) i

•

Fx ( x ) ≡ P[X ≤ x ] = ∑x ≤x p x ( x i ) = Fxy ( x , ∞) lo cual es igual a

•

∑ ∑

i

x i ≤x

∀y i

p xy ( x i , y i )

Similarmente se hace para la variable aleatoria X Probabilidad Conjunta En un espacio muestra bivariable o multivariable cada resultado posible hace referencia a dos o más características. Entonces la probabilidad de un resultado conjunto es denotado de la siguiente forma: P (A1 ᴖB1) (A1 y B1 son variables del conjunto). Conjunta: Cuando dos o más variables tienen comportamientos conjuntos •

Pxy ( x , y) ≡ P[(X = x )  (Y = y)]

•

Fxy ( x , y) ≡ ∑x ≤x ∑y ≤y p xy ( x i , y i ) lo i

i

cual

es

igual

a

P[(X ≤ x )  ( Y ≤ y)]

Probabilidad Condicional Usualmente, es deseado conocer la probabilidad de que un evento ocurra, dado que un segundo evento ocurra a su vez. Esto significa que la probabilidad de que un evento se dé, esta condicional a un segundo evento que permita el desarrollo del mismo. Condicional: Si se conoce el valor de una de las variables aleatorias Y=y 0, las probabilidades relativas de los diferentes valores de la otra variable están dados por p xy ( x , y 0 ) , se tiene una fmp condicional de X dado Y.

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2.8 Distribución Marginal conjunta

•

Px / y ( x, y) = P[X = x / Y = y] =

•

Px / y ( x , y) =

p xy ( x , y) p y ( y)]

=

∑

P[(X = x )  ( Y = y)] , lo cual equivale a P[Y = y]

p xy ( x , y)

∀x i

p xy ( x i , y)

.

Se cumple además lo señalado anteriormente •

0 ≤ ox / y ≤ 1 y

∑

p ( x i , y) = 1 .

∀ xi x / y

Para Y dado X. Conjunta a partir de las probabilidades Marginales y Condicionales •

Pxy ( x , y) = p x / y ( x , y) p y ( y) = p y / x ( y, x ) p x ( x )

Función de distribución de probabilidad: •

x2

P[ x1 ≤ X ≤ x 2] = ∫

x1

y2

∫

y1

f xy ( x , y)dydx

La función de distribución de probabilidad satisface: f xy ( x , y) ≥ 0 Y

∫∫f

xy

( x , y)dxdy =1

para todo el intervalo

Y la cumulada, Fxy ( x, y ) = P[( X = x ) ∧ (Y = y )] = P[( − ∞ ≤ X ≤ x ) ∧ ( − ∞ ≤ Y ≤ y ) ] = x

∫ ∫

y

−∞ −∞

f xy ( x 0 , y 0 )dy 0 dx 0 ∂ f xy ( x , y) = FXY ( x , y) ∂ x∂ y

De donde,

Función de distribución de probabilidad marginal y Condicional. Densidad conjunta se integra sobre valores de Y y se tiene función de distribución de probabilidad marginal de X: ∞

f X ( x ) =∫ f

− ∞ XY

x

FX ( x ) = ∫ f

−∞ X

( x , y )dy

( x 0 )dx 0 =FXY ( x , ∞)

Y para la Condicional:

O sea,

f X (x) =

∂ FXY ( x , ∞) ∂x

∞

f Y ( y 0 ) =∫ f XY ( x , y 0 )dx

Por lo cual, f X / Y ( x , y) =

−∞

f XY ( x , y) f Y ( y) x

FX / Y ( x , y) = P[ X ≤ x / Y = y] = ∫ f X / Y ( u , y)du −∞

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2.8 Distribución Marginal conjunta

Ejemplo: a partir del ejemplo que vimos en la lección anterior (serie con los pesos y medidas de los alumnos de una clase) vamos a estudiar sus distribuciones marginales.

Estatura / Peso

31 kg

32 kg

1,21 cm 1,22 cm 1,23 cm 1,24 cm 1,25 cm 1,26 cm 1,27 cm 1,28 cm 1,29 cm 1,30 cm

0 0 0 0 1 0 2 0 3 0

0 1 0 2 1 0 1 1 0 0

33 kg 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0

34 kg 2 0 0 0 0 0 2 0 1 2

35 kg 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1

Las variables marginales se comportan como variables unidimensionales, por lo que pueden ser representadas en tablas de frecuencias. a) Distribución marginal de la variable X (estatura) Obtenemos la siguiente tabla de frecuencia:

Variable (Estatura) xx 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30

Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Simple Acumulada Simple Acumulada xx xx xx xx 3 3 10,0% 10,0% 3 6 10,0% 20,0% 0 6 0,0% 20,0% 3 9 10,0% 30,0% 3 12 10,0% 40,0% 0 12 0,0% 40,0% 6 18 20,0% 60,0% 3 21 10,0% 70,0% 6 27 20,0% 90,0% 3 30 10,0% 100,0%

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b) Distribución marginal de la variable Y (peso) Obtenemos la siguiente tabla de frecuencia: Variable (Peso) xx 31 32 33 34 35

Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Simple Acumulada Simple Acumulada xx xx xx xx 6 6 20,0% 20,0% 6 12 20,0% 40,0% 6 18 20,0% 60,0% 7 25 23,3% 83,3% 5 30 16,6% 100,0%

Fuentes consultadas:  http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-11-est.htm  www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r71765.DOC  es.wikipedia.org/wiki/Distribución_marginal

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