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• Miguel Angel Chipa

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Principio de Bernoulli El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. Índice 

1 La ecuación de Bernoulli



2 Ecuación de Bernoulli con fricción y trabajo externo



3 Aplicaciones del principio de Bernoulli



4 Véase también

La ecuación de Bernoulli[editar] La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: 

cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido;



potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea;



energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

La siguiente ecuación conocida como "ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

donde: 

= velocidad del fluido en la sección considerada.



= densidad del fluido.



= presión a lo largo de la línea de corriente.



= aceleración gravitatoria



= altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:



Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.



Caudal constante



Flujo incompresible, donde ρ es constante.



La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo irrotacional

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler. Un ejemplo de aplicación del principio se da en el flujo de agua en tubería.

También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por

, de esta forma el término relativo a la

velocidad se llamarápresión dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.

Esquema del efecto Venturi.

o escrita de otra manera más sencilla:

donde

  

es una constante-

Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:

En una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía realmente se deriva de la conservación de la Cantidad de movimiento. Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica porqué las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehículo pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

Ecuación de Bernoulli con fricción y trabajo externo[editar] La ecuación de Bernoulli es aplicable a fluidos no viscosos, incompresibles en los que no existe aportación de trabajo exterior, por ejemplo mediante una bomba, ni extracción de trabajo exterior, por ejemplo mediante una turbina. De todas formas, a partir de la conservación de la Cantidad de movimiento para fluidos incompresibles se puede escribir una forma más general que tiene en cuenta fricción y trabajo:

donde: 

es el peso específico ( ). Este valor se asume constante a través del recorrido al ser un fluido incompresible.



trabajo externo que se le suministra (+) o extrae al fluido (-) por unidad de caudal másico a través del recorrido del fluido.



disipación por fricción a través del recorrido del fluido.



Los subíndices y indican si los valores están dados para el comienzo o el final del volumen de control respectivamente.



g = 9,81 m/s2.

Aplicaciones del principio de Bernoulli[editar] Chimenea Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor. Tubería La ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad también nos dicen que si reducimos el área transversal de una tubería para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducirá la presión. Natación La aplicación dentro de este deporte se ve reflejado directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presión y mayor propulsión. Carburador de automóvil En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire. Flujo de fluido desde un tanque La tasa de flujo está dada por la ecuación de Bernoulli.

Dispositivos de Venturi En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de débito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual está basado en el principio de Bernoulli. Aviación Los aviones tienen el extradós (parte superior del ala o plano) más curvado que el intradós (parte inferior del ala o plano). Esto causa que la masa superior de aire, al aumentar su velocidad, disminuya su presión, creando así una succión que sustenta la aeronave.

EL MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE LA PROBABILIDAD PROPUESTO POR JACOB BERNOULLI. APORTES CIENTÍFICOS DE JACOB BERNOULLI:

Mientras desde Inglaterra la noción de un universo newtoniano determinista y mecanicista comenzaba a expandirse a todo el mundo entre los hombres de ciencia y los librepensadores, se observa que por la misma época en Suiza una importante familia de comerciantes y matemáticos, de apellido Bernoulli, también aportó su grano de arena al desarrollo de la Teoría de la Probabilidad.

En efecto, Jacob Bernoulli (1654−1705), quien también es conocido como James o Jacques Bernoulli, fue un matemático nacido en Basilea (Suiza), quien mantuvo correspondencia con el sabio Gottfried Leibniz para debatir los fundamentos del cálculo infinitesimal, y luego en compañía de su hermano Johann Bernoulli (1667−1748) profundizó en el estudio de las curvas integrales o logarítmicas y en las ecuaciones que surgen a partir de las líneas espirales, y así terminó desarrollando métodos innovadores para la solución de las ecuaciones diferenciales. Jacob Bernoulli conoció sobre los trabajos de Fermat, Pascal y Huygens referentes a la probabilidad, y así concluyó que el modelo ideal que ellos propusieron para establecer la forma como se comportan los fenómenos aleatorios se basaba en una

«Distribución Uniforme y Frecuentista» de la probabilidad, es decir, el modelo propuesto por Pascal, Fermat y Huygens asume que cada posible resultado de un juego de azar, al ser equiprobable, debe aparecer homogéneamente y según sus probabilidades una determinada cantidad de veces dentro de un número de jugadas realizadas: por ejemplo, si en el lanzamiento de un solo dado al aire la probabilidad de aparición de un punto de sus seis caras (1, 2, 3, 4, 5, 6) es de 1/6, entonces dentro de 6 lanzamientos del dado las matemáticas indican que ese punto debe aparecer idealmente una sola vez (6 lanzamientos del dado × 1/6 de probabilidad = 6/6 = 1), y dentro de 12 lanzamientos del dado ese punto debe aparecer idealmente 2 veces (12 lanzamientos × 1/6 de probabilidad = 12/6 = 2), y dentro de 18 lanzamientos del dado ese punto debe aparecer 3 veces (18 lanzamientos × 1/6 = 18/6 = 3), y así sucesivamente en una relación que es directamente proporcional al número de lanzamientos realizados. Por tanto, para Jacob Bernoulli el modelo de la probabilidad existente hasta ese momento se basaba en asumir que cada posible resultado de un juego de azar, según su respectiva probabilidad de ocurrencia, debe observar cierta «Frecuencia» de aparición dentro de un determinado número de lanzamientos o ensayos, lo cual implica que a la luz de este modelo ideal se puede calcular por anticipado la cantidad esperada de aciertos que ocurrirán dentro de un número de lanzamientos o ensayos, idea que es el fundamento de lo que actualmente se conoce como Teorema de Bernoulli o «Ley de los Grandes Números», que en su primera formulación afirma que la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio se mantiene constante sin importar el aumento en el número de jugadas, lanzamientos o ensayos realizados. LA OBRA ARS CONJECTANDI (EL ARTE DE CONJETURAR) Y EL MODELO DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE LA PROBABILIDAD:

Estas conclusiones sobre el modelo ideal de la probabilidad desarrollado por Fermat, Pascal y Huygens, las expuso Jacob Bernoulli en su obra titulada Ars conjectandi (El arte de conjeturar),

la cual sólo sería publicada póstumamente hasta 1713. En esta obra Bernoulli afirma que el modelo ideal de la probabilidad propuesto hasta el momento era claramente «frecuentista», es decir, se trataba de un modelo matemático que siempre asume que los resultados aleatorios posibles de un juego de azar deben aparecer según cierta frecuencia dentro de un determinado número de jugadas o ensayos, frecuencia que está condicionada por la probabilidad individual de ocurrencia de cada resultado. En este razonamiento, que constituye el eje del Teorema de Bernoulli, está implícito el fundamento de lo que actualmente se conoce como la «Ley de los Grandes Números» entendida como una forma de «Regularidad Estadística», porque si por ejemplo al lanzar un solo dado hay una probabilidad de 1/6 para que aparezca cualquiera de los seis puntos del dado (que son equiprobables), entonces dentro de 6 lanzamientos del dado cada uno de los seis puntos del dado debe aparecer 1 vez, y dentro de 12 lanzamientos del dado cada uno de los seis puntos del dado debe aparecer 2 veces, y dentro de 18 lanzamientos del dado cada uno de los seis puntos del dado debe aparecer 3 veces, y así sucesivamente de forma homogénea y uniforme porque la probabilidad se mantiene constante, por lo cual se puede concluir que «a largo plazo», entre más lanzamientos se realicen, la frecuencia de aparición determinará que todos los seis puntos del dado aparezcan un mismo número de veces dentro de cierta cantidad de lanzamientos, todo lo cual se observa en las siguientes gráficas:

La primera gráfica muestra que si un punto específico del dado (1, 2, 3, 4, 5, 6) tiene una probabilidad de aparición equivalente a 1/6, entonces según esa probabilidad dentro de 6 lanzamientos del dado el punto debe aparecer 1 vez, y dentro de 12 lanzamientos del dado el punto debe aparecer 2 veces, y dentro de 18 lanzamientos del dado el punto debe aparecer 3 veces, y así sucesivamente en una relación que es proporcional, homogénea y

uniforme porque la probabilidad de aparición se mantiene constante independientemente del aumento del número de lanzamientos. Las apariciones esperadas del punto del dado están determinadas por una frecuencia matemática, la cual a su vez se basa en la respectiva probabilidad de ocurrencia del punto. Si esto es así, entonces la segunda gráfica muestra que si se realizan 600 lanzamientos de un dado, «a la larga» lo que debería ocurrir según el modelo frecuentista es que cada uno de los 6 puntos del dado debería aparecer una misma cantidad de veces, es decir, 100 veces cada uno, porque cada punto del dado dentro de los 600 lanzamientos simplemente aparecerá cumpliendo la frecuencia delimitada por su propia probabilidad de ocurrencia: 1/6 de probabilidad × 600 lanzamientos = 600/6 = 100 apariciones esperadas para cada punto del dado. Jacob Bernoulli también profundizó en el estudio de un nuevo modelo ideal de la probabilidad en el cual no sólo se tiene en cuenta la frecuencia de ocurrencia de un evento aleatorio, sino además las muchas maneras como pueden aparecer los aciertos a un determinado resultado cuando se presentan las múltiples combinaciones que se dan entre un resultado A que es favorable al jugador y un resultado Ā que es desfavorable al jugador, todo lo cual es representado dentro de una relación binomial. De este modo, Jacob Bernoulli planteó lo que actualmente se conoce como «Distribución Binomial» o «Distribución de Bernoulli» de la probabilidad, la cual es una medida ideal de la aleatoriedad basada en la frecuencia de ocurrencia de un evento y en el Análisis Combinatorio de la posible aparición de dos resultados opuestos, probabilidad la cual se calcula mediante la siguiente fórmula matemática propuesta por Bernoulli: b(k, n, p) =

﴾ ﴿ n k

p k (1 − p) n − k

La explicación de esta fórmula y la forma de aplicarla será un tema a tratar en profundidad mucho más adelante, al momento de explicar los fundamentos del Análisis Combinatorio (también conocido como Combinatoria) y los fundamentos de la resolución

de los denominados Coeficientes Binomiales aplicados al cálculo de probabilidades. EL VALOR MATEMÁTICO DE LA PROBABILIDAD:

En Ars conjectandi también Bernoulli señaló que como la probabilidad es una proporción que se expresa mediante un número fraccionario (x/y), en el cual generalmente los resultados a favor de un jugador son menores o iguales a la cantidad de resultados posibles que arroja el juego (x ≤ y), entonces el valor resultante de ese fraccionario siempre estará ubicado entre 0 y 1, ante lo cual se puede asumir que los valores más cercanos a 0 indican una baja o nula probabilidad de ocurrencia de un resultado, mientras que los valores más cercanos a 1 indican una alta probabilidad de ocurrencia de un resultado. En otras palabras, la probabilidad de ocurrencia de un evento siempre se puede medir mediante valores matemáticos que fluctúan entre 0 y 1. Por ejemplo, si al lanzar un dado un jugador sólo puede ganar cuando obtiene el as, entonces al tener una sola opción favorable su probabilidad es de 1/6 = 0,1666, es decir, su probabilidad es baja porque aún es cercana a 0; pero si el jugador puede ganar si en el tiro del dado obtiene el as, el 2 o el 3, entonces ahora tiene 3 opciones a su favor y por tanto su probabilidad es de 3/6 = 0,5, lo que equivale a que ahora su probabilidad está a medio camino entre los valores 0 y 1; y si el jugador pudiera ganar si en el tiro del dado aparece el as, el 2, el 3, el 4 o el 5, entonces su probabilidad se incrementa porque ahora tiene 5 opciones favorables sobre 6 posibles y por tanto su probabilidad es 5/6 = 0,8333 que se aproxima más al valor de 1; y por supuesto, si el jugador pudiera ganar con la aparición de cualquiera de los 6 números del dado, entonces su probabilidad sería de 6/6 = 1, lo que indica que sería un juego con la máxima probabilidad para ganar siempre. En síntesis, Bernoulli descubrió que la probabilidad de cualquier evento aleatorio siempre tiene un Valor, el cual se ubica entre 0 y 1, lo cual permite concluir que el evento es improbable cuando el valor obtenido se aproxima a 0 y que el evento es más probable cuando el valor obtenido se aproxima a 1.

No hay duda de que la labor investigativa de Bernoulli ocasionó que la Teoría de la Probabilidad adquiriera mayor cuerpo doctrinal como disciplina diferenciada de la simple aritmética, pues ahora gracias a sus aportes el análisis combinatorio de los posibles resultados aleatorios comenzó a ser entendido desde la óptica de las Distribuciones de la Probabilidad, desde el Valor de la Probabilidad que le corresponde a un evento aleatorio y desde la Ley de los Grandes Números como un límite ideal a la ocurrencia de los eventos aleatorios.

Daniel Bernoulli

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NURIA MARTÍNEZ MEDINA (RADIO 5) 16.04.2010

Toda la estructura de la Hidrodinámica de Daniel Bernoulli, en la que investiga gran cantidad de problemas teórico-prácticos, gira en torno a un tema central, que se conoce como el teorema que lleva su nombre. Describe el movimiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Y expresa que en un fluido ideal, sin viscosidad ni rozamiento, que circule por un circuito cerrado, la energía que posee se mantiene constante a lo largo de su recorrido. Este principio se aplica tanto para una chimenea, como una tubería de agua o el vuelo de los aviones, o para aplicar el efecto de un balón de fútbol. Posteriormente Euler y Lagrange se encargarán de precisar matemáticamente las ideas esbozadas por Daniel. En esta magnífica obra, también desarrolló la teoría de la cinética de los gases, en la que las moléculas que los componen se mueven independientemente entre sí en todas las direcciones del espacio que ocupan, chocando de forma elástica unas con otras y contra las paredes del recipiente. Fue capaz de ofrecer las leyes básicas de la teoría de gases, y perfiló la ecuación de estado que sería desarrollada por Van der Waals un siglo después. Daniel Bernoulli realizó un aporte importante al cálculo de probabilidades al sistematizar el uso de los métodos infinitesimales. Y se interesó por el problema del análisis de los errores en las observaciones. En esa época era común considerar el promedio de las observaciones realizadas como el mejor valor de la magnitud medida. Bernoulli mostró la insuficiencia de tal razonamiento y aconsejó utilizar un método que puede considerarse un antecedente al método de los mínimos cuadrados desarrollado posteriormente por Gauss.

En 1732, Daniel regresó a Basilea donde trabajó como profesor de botánica y anatomía. Sus conferencias de Fisiología se hicieron rápidamente famosas, por su capacidad didáctica. Mantuvo su relación amistosa y científica con Leonhard Euler mediante una abundante y valiosa correspondencia entre ambos, en la que discutieron de la mecánica de los medios flexibles y elásticos, y en particular sobre los problemas de pequeñasoscilaciones de cuerdas y vigas. Como solía suceder en esta familia, acabó enfrentado con su padre por un problema de celos. Johann lo llegó a expulsar de su casa y también publicó un libro Hydraulica en el que trató de atribuirse los descubrimientos de su hijo en esta materia. Pero a pesar de los problemas familiares, la fama de Daniel como hombre de ciencias era notoria en toda Europa. Dos años después de la muerte de su padre, la universidad de Basilea le otorgó sin concurso la cátedra de Física, manteniéndole su derecho a participar con voz y voto, en las actividades de la Facultad de Medicina. Sus clases de Física Experimental. eran extraordinariamente atractivas y sus conferencias solían estar abarrotadas de un público venido de toda Europa para escuchar al maestro.

A lo largo de su vida ganó 10 Premios de la Academia de Ciencias de París Daniel Bernoulli fue elegido miembro de la Royal Society el 3 de mayo de 1750. En dos ocasiones fue rector de la Universidad de Basilea y siempre se sintió muy comprometido con el desarrollo de esta institución. De hecho, hizo donaciones considerables de dinero para equipamiento de laboratorios y compra de nuevos títulos en la Biblioteca. Al final de su vida, llevó a cabo varias obras de beneficencia como la financiación de un pequeño hostal que servía de refugio a los estudiantes temporales sin recursos. El 17 de marzo de 1782 Daniel Bernoulli murió de parada cardiorrespiratoria en la ciudad que tanto lo admiraba. A lo largo de su vida publicó 86 trabajos y ganó 10 Premios de la Academia de Ciencias de París. Sólo fue superado por el líder de todos los matemáticos de la época, su amigo Leonhard Euler que ganó 13 Premios. Su nombre figura en lugar destacado en la Historia de la Ciencia.

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